数电1-6_公式化简法
数电1-6_公式化简法
阎石主编（第五版）
信息科学与工程学院基础部
标准与或式和标准或与式之间的关系
【 】
内容 回顾
k
若Y
mi，
则Y
k i
m k
M
k i
如果已知逻辑函数Y=∑mi时，定能将Y 化成编号i以外的那些最大项的乘积。
1
2.6 逻辑函数的化简方法
逻辑函数的最简形式
常见逻辑函数的几种形式
5
【例3】 Y AB AC BC AB ( A B)C
AB ( AB )C
AB C
6
5. 配项法 利用公式 A A A 和 A A 1 先配项 或添加多余项，然后再逐步化简。 【例1】 Y A BC ABC ABC
15
一.卡诺图
1. 定义：将逻辑函数的真值表图形化，把真值表中 的变量分成两组分别排列在行和列的方格中，就构成 二维图表，即为卡诺图，它是由卡诺（Karnaugh） 和范奇（Veich）提出的。 2. 卡诺图的构成：将最小项按相邻性排列成矩阵，就 构成卡诺图。实质是将逻辑函数的最小项之和以图形 的方式表示出来。最小项的相邻性就是它们中变量 只有一个是不同的。
（AB AB） (BC BC)
AB AB(C C) BC( A A) BC
配项
被吸收
AB ABC A BC ABC A BC BC
被吸收
AB AC(B B) BC
AB AC BC
整体提公因子A 只有一个变量不同的 两个最大项的乘积等 于各相同变量之和
(A+C)
10
解:
1.Y AB B AB
数电总结以及要点.
1 逻辑代数基础一、 数制和码制1．二进制和十进制、十六进制的相互转换 2．补码的表示和计算 3．8421码表示 二、 逻辑代数的运算规则1．逻辑代数的三种基本运算：与、或、非 2．逻辑代数的基本公式和常用公式 逻辑代数的基本公式（P10） 逻辑代数常用公式：吸收律：A AB A =+消去律：AB B A A =+ A B A AB =+ 多余项定律：C A AB BC C A AB +=++ 反演定律：B A AB += B A B A ∙=+ B A AB B A B A +=+ 三、 逻辑函数的三种表示方法及其互相转换 ★逻辑函数的三种表示方法为：真值表、函数式、逻辑图 会从这三种中任一种推出其它二种，详见例1-6、例1-7 逻辑函数的最小项表示法 四、 逻辑函数的化简： ★1、 利用公式法对逻辑函数进行化简2、 利用卡诺图队逻辑函数化简3、 具有约束条件的逻辑函数化简 例1.1利用公式法化简 BD C D A B A C B A ABCD F ++++=)(解：BD C D A B A C B A ABCD F ++++=)(BD C D A B A B A ++++= )(C B A C C B A +=+ BD C D A B +++= )(B B A B A =+C D A D B +++= )(D B BD B +=+ C D B ++= )(D D A D =+ 例1.2 利用卡诺图化简逻辑函数 ∑=)107653()(、、、、m ABCD Y 约束条件为∑8)4210(、、、、m 解：函数Y 的卡诺图如下：00 01 11 1000011110AB CD111×11××××D B A Y +=第2章 集成门电路一、 三极管如开、关状态 1、饱和、截止条件：截止：be T V V < 饱和：CSBS B Ii I β>=2、反相器饱和、截止判断 二、基本门电路及其逻辑符号 ★与门、或非门、非门、与非门、OC 门、三态门、异或、传输门 （详见附表：电气图用图形符号 P321 ） 二、 门电路的外特性★1、电阻特性：对TTL 门电路而言，输入端接电阻时，由于输入电流流过该电阻，会在电阻上产生压降，当电阻大于开门电阻时，相当于逻辑高电平。
常用的代数化简方法_数字电子技术(第2版）_[共2页]
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第1章 数字电路基础– 19 – 简的形式，因此，经常需要通过化简的手段找出逻辑函数的最简形式。
因为与或表达式是比较常见的，同时与或表达式可以容易同其他形式的表达式相互转换，所以本节所谓化简，一般是指化为最简的与或表达式。
最简与或表达式的标准是：首先应是乘积项的数目最少，其次是每个乘积项中的变量个数最少。
因为乘积项的数目最少，对应的逻辑电路所用的与门个数就最少；乘积项中变量的个数最少，对应逻辑电路所用的与门输入端个数就最少。
所以如果逻辑函数表达式是最简的，则实现它所用的电路也是最简的，即经济又可靠。
1.5.2 常用的代数化简方法代数化简法又称公式化简法，它是直接运用基本定律及规则化简逻辑函数，常用的方法有下述几种。
1．并项法利用基本公式A + A =1将两项合并为一项，并消去一个变量。
A 可以是任何一个复杂的逻辑式。
例如1Y ABC ABC =+()AC B B AC =+=2Y ABC AB AC =++ ()A BC B C =++ ()A BC BC A =+=2．吸收法利用公式A +AB=A 消去多余的乘积项。
A 、B 可以是任何一个复杂的逻辑式。
例如1Y B ABD B =+= 2()[1()]Y AB ABC D E AB C D E AB=++=++=3．消去法（消因子法） 利用A+AB =A+B 消去多余的因子。
A 、B 也可以是任何一个复杂的逻辑式。
例如1Y B ABC B AC =+=+ 2()Y AB AC BCAB A B C AB ABCAB C=++=++=+=+4．消项法 利用AB AC BC AB AC AB +AC BCD AB +AC ++=++及=将BC 或BCD 消去。
其中A 、B 、。
精选数字电路逻辑函数的化简方法讲解讲义
000 001 010 011 100 101 110 111
0
1
2
3
4
5
6
7
m0
m1
m2
m3 m4
m5
m6
m7
第四页，共28页。
4. 最小项是组成逻辑函数的基本单元
任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，都 可以表示成为最小项之和的形式。
[例] 写出下列函数的标准与或式：
Y F ( A ,B ,C ) AB AC [解] Y AB(C C ) AC(B B)
核心
Y AB AC BC 最简与或式
最简
与非-与非式
AB AC
AB AC
最简或与非式 ( A B)( A C )
最简与或非式
AB AC BC
最简或与式 ( A B) ( A C )
A B AC
最简或非-或式
最简或非-或非式
AB AC
第七页，共28页。
1. 2. 2 逻辑函数的公式化简法
Y F ( A ,B ,C ,D ) ( 4 变量共有 16 个最小项) ABC D ABCD ABC D … … ABC D ABCD
( n 变量共有 2n 个最小项)
第二页，共28页。
2. 最小项的性质：
ABC
000 001 010 011 100 101 110 111
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
(1) 两个相邻最小项合并可以消去一个因子
BC
A 00 01 11 10
00
32
CD AB 00 01 11 10
00
1
01 4
6
14
数字电子电路卡诺图法化简
图1 二极管的伏安特性曲线
理想化 伏安特 性曲线
图2 二极管的开关等效电路 (a) 导通时 (b) 截止时
1. 电路
2. 工作原理
A、B为输入信号 （+3V或0V）
F 为输出信号 VCC＝+12V
表1 电路输入与输出电压的关系
A
B
F
0V
0V 0.7V
0V
3V 0.7V
3V
0V 0.7V
3V
3V 3.7V
《数字电子电路设计与制作》
逻辑函数卡诺图化简
课前回顾
逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现 它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。
最简与或表达式为： ① 与项（乘积项）的个数最少； ② 每个与项中的变量最少。
公式化简法
返回
反复利用逻辑代数的基本公式、常用公式和运算规则进 行化简，又称为代数化简法。
与
Y=A·B
全1出1 见0出0
或
Y=A+B
全0出0 见1出1
非
YA
见0出1 见1出0
四、集电极开路门（OC门） 1．集电极开路门的电路结构
(1)电路结构：输出级是集电极开路的。
(2)逻辑符号：用“◇”表示集电极开路。 集电极 开路
集电极开路的TTL与非门 （a）电路 （b）逻辑符号
注意： OC门电路必须外接电源和负载电阻， 才能提供高电平输出信号。
例1-7 将Y=AB+BC展开成最小项表达式。
解：YA B B C A(C B C ) (A A )BC
AC B AB A B CC 或：Y(A ,B,C)m 3m 6m 7
m (3,6,7)
2.卡诺图及其画法
数字电路与系统-逻辑运算与简化（常用三个公式）
数字电路与系统-逻辑运算与简化（常⽤三个公式）
常⽤公式
这些个公式实际上就是教⼈如何利⽤前⾯所述的定律，规则来进⾏简化或论证逻辑函数。
1.并项公式
从名字可以看出，⽅便逻辑运算时简化式⼦。
AB+A'B=B, （A+A'=1,A'是A变量的反变量，逻辑变量是⼆值逻辑，只能是0或者1），此处这种等式还可以进⾏对偶的扩展，
（A+B)(A'+B)=B，这样也侧⾯说明对偶对于公式的论证是有帮助的。
并项顾名思义，并的各部分先得有相同的因⼦，然后合并的部分互成反量即可。
并项也能反应出吸收率A+AB=A(1+B)=A
2.销冗余因⼦公式
消除冗余因⼦定义中主要有两部分组成，从两项到三项。
A+A'B=A+B,从公式看确实是消除了左式中的⼀项的因⼦，证明过程：(A+A')(A+B)=A+B,这步是⽤了分配律的知识，逻辑运算中的分配律挺奇怪，尤其是本式中出现的分配律，⼀个变量“或”两个变量就是可以采⽤逻辑运算中的分配律来进⾏，“或”的这种分配律是貌似算术运算中的分配律。
数电 第二章 逻辑代数基础(3)
3、将合并后的各个乘积项进行逻辑相加。
数字电子技术
16
•
注意：
• 每一个1必须被圈，不能遗漏。
• 某一个1可以多次被圈，但每个圈至少包含一个新的1。
• 圈越大，则消去的变量越多，合并项越简单。圈内1 的个数应是2n（n=0，1，2…）。
• 合并时应检查是否最简。 • 有时用圈0的方法更简便，但得到的化简结果是原函 数的反函数。
在存在约束项的情况下，由于约束项的值始终等于0， 所以既可以将约束项写进逻辑函数式中，也可以将 约束项从函数式中删掉，而不影响函数值。
数字电子技术
21
二.任意项
在输入变量的某些取值下函数值是1 还是 0皆可，并不影响电路的功能。
由于任意项的取值不影响电路的功能。所 以既可以把任意项写入函数式中，也可以不 写进去。
数字电子技术
28
例： 例1 Y
ABC D ABCD ABC D
给定约束条件为： ABCD+ABC D+ABC D+AB C D+ABCD+ABCD+ABCD=0
AB
00 00 0 01 0
CD
01 1 x 0 x
AD
AD
Y BC 00 A 0 0 1 1
数字电子技术
01 1 1 1
11 1 0
10 1 1
13
二、用卡诺图化简函数
例1： 将 Y ( A, B, C ) AC AC BC BC 化简为最简与或式。 Y BC 00 A 0 0 1 1
01 1 1
11 1 0
10 1 1
Y BC 00 A 0 0 1 1
ABC D ABCD ABC D
数字电路复习例题
数电例题：一、公式化简法1、化简函数Ｌ＝EAB++ABD解：先用摩根定理展开：AB＝BA+再用吸收法Ｌ＝D++＝E++BA+ABD＝)++((D+)＝)A++D+A1()1(EBB＝BA+2、化简函数Ｌ＝ABCA++B+BBAEA解：Ｌ＝ABCA+++BBEABA＝)B+E++(ABC()＝)A+B+E+BA)((BCB＝)BCBA+B++++))(A)((BBB(C=)BA+++CBA)(C(=AC+B++=CA+B+BA3、化简函数Ｌ＝B A++A+BBCBC解：Ｌ＝BBA+++CACBB＝)+A++BB⋅⋅+C+C(C)(BAABCA＝CA+CB+++⋅+⋅BABCBACABBCA＝)++⋅⋅A+++)(()(BCBBA＝)()1()1(B B C A A C B C B A +++++⋅ ＝C A C B B A ++⋅4、将下列函数化简成最简的与－或表达式 1）Ｌ＝A D DCE BD B A +++ 2) L=AC C B B A ++ 3) L=ABCD B AB +++ 解：1）Ｌ＝A D DCE BD B A +++ ＝DCE A B D B A +++)( =DCE A B D B A ++ =DCE B A D B A ++ =DCE D +++))(( =DCE D B A ++ =D B A + 2) L=AC C B B A ++ =AC C B C C B A +++)( =AC A A +++ =)1()1(A C B B AC +++ =C B AC +3) L=ABCD C B C A AB +++=ABCD A A C B C A AB ++++)( =ABCD AB ++++ ＝)()(ABCD AB ++++=)+++AB+1()1(BCD＝CAB+A二、逻辑函数的化简—卡诺图化简法：卡诺图是由真值表转换而来的，在变量卡诺图中，变量的取值顺序是按循环码进行排列的，在与—或表达式的基础上，画卡诺图的步骤是：1.画出给定逻辑函数的卡诺图，若给定函数有n个变量，表示卡诺图矩形小方块有n2个。
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(A+C)
10
解:
1.Y AB B AB
A B AB
消因子法
A B
2.Y ABC A B C
看作整体运用还原 律和德摩根定律
ABC (( A B C))
16
卡诺图的构成原则
构成卡诺图的原则是： ① N变量的卡诺图有2N个小方块（最小项）； ② 最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。 逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的 形式不同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合 并。 几何相邻的含义： 一是相邻——紧挨的； 二是相对——任一行或一列的两头； 在五变量和六变量的卡诺图中，用相重来判断 三是相重——对折起来后位置相重。 某些最小项的几何相邻性，其优点是十分突出的。
Y ( A, B, C) AB(C C) A(B B)C ABC
ABC ABC ABC ABC
m7 m6 m5 m1
A BC 00 0 m0 0 m4 01 1 m1 1 m5 11 0 m3 1 m7 10 0 m2 1 m6
0
1
0
1 1 1
32
Y2 ( A, B, C, D) m(0,1,2,3,4,6,7,8,9,11 ,15)
1 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 1
1 1 0 0
33
Y3 A B C ABCD
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
22
二、 用卡诺图表示逻辑函数
（1）从真值表画卡诺图 根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一个小方 块的值（0或1）即可。需注意二者顺序不同。 例1： 已知Y的真值表，要求画Y的卡诺图。 逻辑函数Y的真值表 A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 卡诺图
ABC ( ABC)
1
11
解: 3.Y A (B C)( A B C)( A B C)
A BC( A C)
A ABC BC
A BC
只有一个变量不同的 两个最大项的乘积等 于各相同变量之和
(A+C)
整体提公因子A
AB AC C D ADE AB AC C D
4
4. 消因子法
★
利用公式 A A B A B 消去多余的因 子。
【例1】
Y B ABC
B AC
【例2】
Y AB B A B
A B A B
A B
26
卡诺图如表
Y m(0,1,2,3,5,7,9,10)
Y CD AB 00 00 01 11 10 1 的卡诺图 01 1 1 11 10 1
1
1
1
1
27
(3)观察法
采用观察法不需要前两种方法需要将逻辑函数 转换成最小项，而是采用观察逻辑函数，将应为“ 1” 的项填到卡诺图中
Y的卡诺图
例5 用卡诺图表示下面的 逻辑函数
15
一.卡诺图
1. 定义：将逻辑函数的真值表图形化，把真值表中 的变量分成两组分别排列在行和列的方格中，就构成 二维图表，即为卡诺图，它是由卡诺（Karnaugh） 和范奇（Veich）提出的。 2. 卡诺图的构成：将最小项按相邻性排列成矩阵，就 构成卡诺图。实质是将逻辑函数的最小项之和以图形 的方式表示出来。最小项的相邻性就是它们中变量 只有一个是不同的。
1
2
0
0
0
1
1 A B C (m 1) 0 A BC (m2 ) 1 A BC (m3 ) 1 AB C (m5 )
0 ABC (m6 )
三变量的卡诺图 BC A 00 01 11 10
3
4
0
1
1
0
0 AB C ( m4 )
0
1
m0 m1 m3 m2
5
6
1
1
0
1
m4 m5 m7 m6
数字电子技术基础
阎石主编（第五版）
信息科学与工程学院基础部
标准与或式和标准或与式之间的关系
【 】
内容 回顾
k
若Y
mi，
则Y
k i
m k
M
k i
如果已知逻辑函数Y=∑mi时，定能将Y 化成编号i以外的那些最大项的乘积。
1
2.6 逻辑函数的化简方法
逻辑函数的最简形式
常见逻辑函数的几种形式
AC ABC AC CD
A(C BC C) CD A CD
13
公式化简法评价： 特点：目前尚无一套完整的方法，能否以最快 的速度进行化简，与我们的经验和对公式掌握及运 用的熟练程度有关。 优点：变量个数不受限制。 缺点：结果是否最简有时不易判断。
14
2.6.2 逻辑函数的卡诺图化简法
【 】
内容 回顾
与或非式 摩 根 展 定 开 ★ 理 或非-或非式
2
与或式、与非-与非式、与或非式、或非-或非式
与非-与非式 与或式 摩根定理展开 ★ 两次取反 摩根定理 展开 ★
2.6.1 公式化简法
1. 并项法
★
【 】
内容 回顾
利用公式 AB AB A将两项合并成一项， 并消去互补因子。
2. 吸收法 利用公式A+AB=A消去多余的乘积项。
3
3. 消项法
★
利用公式 AB A C BC AB A C 消 去多余的乘积项。
【例1】 Y AC AB ( B C ) AC AB BC
AC BC
【例2】 Y AB AC ADE C D
Y A' B' C ' D A' BD' ACD AB'
CD AB 00
01
11
10
00
A
1 1 1 1 1 1 1
28
01 11 10
1
解：其卡诺图如右表所示
A
观察法：
首先分别将每个与项的原变量用1表示， 反变量对应的变量用0表示，在卡诺图上找出交叉点， 在其方格上填上1;其没有交叉点的方格上填上0。
m4
m1
m5 m9
m3
m7 m11
m2
m6
m12
m8
m13 m15
m14
m10
相邻
20
五变量的卡诺图
21
① n变量的卡诺图有2n个方格，对应表示2n 个最小项。每当变量数增加一个，卡诺图的 方格数就扩大一倍。 ②卡诺图中任何几何位臵相邻的两个最小 项，在逻辑上都是相邻的。 ③ 5变量卡诺图相邻项不直观，因此它只适 于表示5变量以下的逻辑函数。
25
例4 画出下面逻辑函数的卡诺图
Y ABD BD ABD
解： Y A' BD B' D' A' B' D
A' B(C C ' ) D ( A A' ) B' (C C ' ) D' A' B' (C C ' ) D A' BCD A' BC' D AB' CD ' AB' C ' D' A' B' CD ' A' B' C ' D' A' B' CD A' B' C ' D m7 m5 m10 m9 m2 m0 m3 m1 m(0,1,2,3,5,7,9,10)
30
练习：画出下列函数的卡诺图
Y1 AB B BCD
Y2 ( A, B, C, D) m(0,1,2,3,4,6,7,8,9,11 ,15)
Y3 A B C ABCD
31
Y1 AB B BCD
10XX
0
1 1 1
0 1 1 1
0
1 1 1
19
7
1
1
1 ABC(m7 )
BC A 00 01 11 10 正确认识卡诺图的“逻辑相邻”：是指除了一个变量不同外 三变量ABC C ABC ABC ABC AB其余变量都相同的两个与项。 的卡诺图： 0 相邻 m0 m1 m3 m2 上下相邻，左右相邻，并呈现“循环相邻”的特性， BC ABC ABC ABC 它类似于一个封闭的球面，如同展开了的世界地图一样。 1 Am m m m 4 5 7 6 对角线上不相邻。 相邻 CD AB 00 01 11 10 不 相邻 01 四变量ABCD 11 的卡诺图： 相邻 10 00 m0
17
二变量的卡诺图
二变量
十进 制数
A 0 0 1 1
B
mi
A
二变量的卡诺图
B
0 1 2 3
0 A B (m0 ) 1 A B ( m1 ) 0 AB ( m2 ) 1 AB( m3 )
0
1
0
m0 m2
m1 m3
18
1
三变量的卡诺图
三变量
十进 制数
A 0
B 0
C
mi
0
0 A B C (m0 )
23
（2）化为标准与或型
Y mi
把标准与或表达式中所有的最小项在对应的 小方块中填入1，其余的小方块中填入0。 例2:画出函数Y(A、B、C、D)= ∑m(0,3,5,7,9,12,15) 的卡诺图。