2018年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 （考试时间：5月11日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分） 1．已知集合{}1A x x a =-<，{}22x B y y x ==≤，，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]1-∞，B ．(1)-∞，C ．(]01，D ．(]3-∞， 【答案】 A【解答】0a ≤时，A φ=，符合要求。

0a >时，(11)A a a =-+，，(]04B =，。

由A B A ⋂=知，A B ⊆。

1014a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得01a <≤。

∴ a 的取值范围为(]1-∞，。

2．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥内切球的体积为（ ）A ．B C ．43π D ．163π【答案】 A【解答】设圆锥底面半径为R ，母线长为l ，则1222l R ππ⨯=，2l R =。

又2122S l ππ==圆锥测。

因此，2l =，1R =。

圆锥的轴截面是边长为2的正三角形。

所以，其内切球半径12323r =⨯⨯=34()3327V π=⨯=。

3．函数y x = ）A ．⎡-⎣B ．2⎡-⎣C ．1⎡-⎣D ．⎡⎣【答案】 B【解答】由y x -=22224y xy x x -+=-，222240x yx y -+-=。

∴ 2248(4)0y y =--≥△，y -≤≤又2y x ≥≥-，因此，2y -≤≤2⎡-⎣。

4．给出下列命题：（1）设l ，m 是不同的直线，α是一个平面，若l α⊥，l m ∥，则m α⊥。

（2）a ，b 是异面直线，P 为空间一点，过P 总能作一个平面与a ，b 之一垂直，与另一条平行。

（3）在正四面体ABCD 中，AC 与平面BCD（4）在空间四边形ABCD 中，各边长均为1，若1BD =，则AC 的取值范围是(0。

其中正确的命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】 C 【解答】（1）显然正确。

（2）若存在平面α，使得a α⊥，b α∥，则a b ⊥。

但a ，b 是未必垂直。

故不正确。

（3）作A O B C D ⊥平面于O ，则O 为正三角形BCD 的中心，ACO ∠是AC 与平面BCD 所成角。

设AB BC a ==，则23CO ==，cos ACO ∠=。

故，（3）正确。

（4）取BD 中点O ，则OA OC ==。

由O 、A 、C 构成三角形知，(0AC ∈。

故，（4）正确。

5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x R ∈，均有(3)()f x f x +=，当3(0)2x ∈，时，2()ln(1)f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]06，上的零点个数为（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个 【答案】 D【解答】由2()ln(1)0f x x x =-+=知，211x x -+=，0x =或1x =。

∴ ()f x 在区间3(0)2，内有唯一零点1。

结合()f x 为奇函数知，()f x 在区间3(0)2-，内有唯一零点1-。

又由(3)()f x f x +=知，()f x 在区间3(3)2，内有唯一零点2；在区间9(3)2，内有唯一零点4；在区间9(6)2，内有唯一零点5。

又由33()()22f f -=-，333()(3)()222f f f -=-+=知，3()02f =，9()02f =。

又(6)(3)(0)0f f f ===。

∴ ()f x 在区间[]06，上的零点个数为9。

6．已知函数()f x =。

给出下列四个判断：（1）()f x 的值域是[]02，； （2）()f x 的图像是轴对称图形；（3）()f x 的图像是中心对称图形； （4）方程[]()f f x = 其中正确的判断有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】 B【解答】设(32)A ，，(52)B ，，(0)P x ，，则()f x PA PB ==-。

（1）∵ ()2f x PA PBAB =-≤=，AB 与x 轴不相交（即P 、A 、B 三点不共线）。

∴ 等号不成立，()f x 的值域是[)02，。

（1）不正确。

（2）∵(4)f x -==，(4)f x +==∴ (4)(4)f x f x -=+，()f x 的图像关于直线4x =对称。

（或从几何图形上看，当Q 与P关于点(40)，对称时，PA PBQA QB-=-）。

（2）正确。

（3）显然不正确。

（若（3）正确，则结合（2）可得()f x 为周期函数，矛盾。

）（4）∵ (0)f ==[)0()02f x ∈的值域，，∴ 方程[]()f f x =4x =是方程的解）。

（4）正确。

二、填空题（每小题6分，共36分） 7．已知集合{}22()(2014)(2014)1A x y x y =-+-≤，，{}()201422014B x y x y a =-+-<，，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 。

【答案】)+∞【解答】问题等价于圆在菱形内部（不含边界）。

∴ 0a >，且圆心到直线(2014)2(2014)x y a -+-=的距离1d =>。

∴a >8．如图，在等腰直角三角形ABC 中，4CA CB ==，D 、E 分别为AC 、AB 的中点。

将ADE △沿DE 折起，使得折起后二面角A DE B--为60︒。

则折起后四棱锥A DEBC -的体积为 。

【答案】【解答】由条件知，在四棱锥A DEBC -中，ED DA ⊥，DE DC ⊥。

∴ A D C ∠是二面角A D E B --的平面角，且D E A D⊥平面。

∴ 60ADC ∠=︒，且ADC DEBC ⊥面面。

作AF CD ⊥于F ，则AF DEBC ⊥面。

由2DA DC ==知，ADC △为正三角形，AF 。

∴ 四棱锥A DEBC -的体积124232V +=⨯= 9．已知函数221()log ()x f x x-=的图像关于点A 对称，则点A 的坐标为 。

【答案】 1(1)4， 【解答】由函数定义域为1(0)()2-∞⋃+∞，，；值域为(1)(1)-∞⋃+∞，，。

猜测点A 坐标为1(1)4A ，。

下面给出证明： ∵ 222211212111828222()()log ()log ()log ()log ()1144141444x x x x f x f x x x x x +------++-=+=++-+-2221162log 2116x x-=+=-。

∴ ()f x 的图像关于点1(1)4A ，对称。

10．ABC △中，已知4AB =，若C A B =，则ABC △面积的最大值为 。

【答案】【解答】以AB 中点O 为坐标原点，直线AB 为x 轴建立直角坐标系，则(20)A -，，(20)B ，。

设()C x y ，。

则由CA CB == 整理，得22(4)12x y -+=。

∴ 点C 在以(40)D ，为圆心，半径为x 轴的交点）上运动。

∴ 点C 到直线AB 即x轴距离的最大值为∴ ABC △面积的最大值为142⨯⨯=11．已知二次函数2()f x ax bx c =++，若对任意[]02x ∈，均有()2f x ≤成立，则b 的最大值为 。

【答案】 8【解答】(0)f c =，(1)f a b c =++，(2)42f a b c =++，(0)2f ≤，(1)2f ≤，(2)2f ≤。

∴ 13132(1)(2)(0)22(2)(2)82222b f f f =--≤⨯-⨯--⨯-=， 当且仅当(1)2(2)422(0)2f a bc f a b c f c =++=⎧⎪=++=-⎨⎪==-⎩，即482a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩时，等号成立。

∴ b 的最大值为8。

12．不等式2286log x x -≥+的解集为 。

【答案】 (][)014⋃+∞，，【解答】不等式化为203826log xx x <<⎧⎨-≥+⎩……… ①；或23286log x x x≥⎧⎨-≥+⎩ ……… ②。

由2826log x x -≥+，得22log 2x x +≤，由于函数2()2log x f x x =+为增函数，且(1)2f =。

所以，不等式①的解为01x <≤。

由2286log x x -≥+，得22log 14x x ≥+。

设()2x g x =，2()log 14h x x =+。

如图，在同一坐标系内作函数()y g x =与()y h x =的图像，它们有两个交点11()A x y ，，22()B x y ，(120x x <<)，其中101x <<，24x =。

所以，②的解为4x ≥。

由①、②可知，不等式的解集为(][)014⋃+∞，，。

三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分） 13．（本题满分16分）求二次函数2()21f x ax x =-+在区间[]12，上的最小值()g a 的表达式。

【解答】211()()1f x a x a a=-+-。

当0a <时，10a <，()f x 在区间[]12，上的最小值为(2)43f a =-。

…………… 4分 当0a >时，10a>。

若101a<<，即1a >时，()f x 在区间[]12，上的最小值为(1)1f a =-。

…………… 8分 若112a ≤≤，即112a ≤≤时，()f x 在区间[]12，上的最小值为1()1f a a=-。

……………………… 12分若12a >，即102a <<时，()f x 在区间[]12，上的最小值为(2)43f a =-。

∴ 1430211()11211a a a g a a a a a ⎧-<≠⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，且。

……………………… 16分已知两个同心圆1C ：224x y +=和2C ：2216x y +=，P 圆2C 上一点。

过点P 作圆1C 的两条切线，切点分别为A 、B 。

（1）若P点坐标为-，求四边形OAPB 的面积。

（2）当点P 在圆2C 上运动时，是否存在定圆恒与直线AB 相切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，请说明理由。

【解答】（1）依题意，OA AP ⊥，OB BP ⊥，且2O A O B ==，PA PB =∴122OAP OBP S S ==⨯⨯△△。

∴ 四边形OAPB的面积为 ………………… 4分 （2）设()P m n ，，则2216m n +=。

当点P 在圆2C 上运动时，恒有PA PB ===∴ 点A 、B 在以P为圆心， 该圆方程为22()()12x m y n -+-=。