非周期信号
信号与系统-第5章
第5 章非周期信号实频域分析本章内容傅里叶变换傅里叶变换的概念典型非周期信号的频谱傅里叶变换的性质线性性质，时移性质，频移性质，尺度变换性质，对称性，卷积定理，时域微分积分特性，频域微分积分特性，调制特性非周期信号作用下的系统分析傅里叶变换非周期信号f(T F(jω)∫+∞∞−−=tet f F td )()j (j ωωωωπωd )j (21)(j teF t f ∫+∞=傅里叶反变换=说明：F∫∞−2122d sin )(d cos )()(⎥⎤⎢⎡⎟⎞⎜⎛+⎟⎞⎜⎛=∫∫∞∞t t t f t t t f j F ωωω所以：∫∫∞∞−∞∞−−=tt t f t t t f d sin )(j d cos )(ωωπ2∫∞−π2∞−∫∫∞∞−+=ωωϕωωπd)](cos[)j(21tFωωϕωωd)](sin[)j(j∫∞++tF典型非周期信号的频谱矩形脉冲信号单边指数信号双边指数信号直流信号单位冲激信号符号信号矩形脉冲信号02τ−τ2τE矩形脉冲信号（续）F)(ωj单边指数信号0t单边指数信号（续）1双边指数信号0t双边指数信号（续）直流信号有些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，ε(t ) 等，但傅里叶变换却存在。
2202lim )j (ωααωα+=→F )0()0(≠=ωω因此，直流信号的频谱函数可能为一冲激函数，下面求其大小。
π2=1)(=t f )(∞<<−∞t 不满足绝对可积条件ωωααd 222∫∞∞−+)(d )(122αωαω∫∞∞−+=∞∞−=αωarctan 2直接用定义式不好求解，可用间接的方法。
如：直流信号的频谱函数可看作双边指数信号频谱在α→0时的极限:⎩⎨⎧∞+=0直流信号（续）所以，直流信号的频谱是：单位冲激信号=t fδ)(t)(t符号函数⎩⎨⎧<−>==0101)sgn()(t t t t f 构造函数：[=t11−0可积条件符号函数（续）[] F傅里叶变换对eαjω+本章内容傅里叶变换傅里叶变换的概念典型非周期信号的频谱傅里叶变换的性质线性性质，时移性质，频移性质，尺度变换性质，对称性，卷积定理，时域微分积分特性，频域微分积分特性，调制特性非周期信号作用下的系统分析傅里叶变换的性质线性性质时移性质频移性质尺度变换性质对称性卷积定理时域微分积分特性频域微分积分特性调制特性线性性质== [[解：22‖例：已知f(t), 求F(jω)‖-解： f (t) = f1(t) –g2(t)f1(t) = 1 ↔2πδ(ω)可知：g2(t) ↔2Sa(ω)∴F( jω) = 2πδ(ω) -2Sa(ω)由gτ(t) ↔τSa(ωτ/2)时移性质=[解：‖例求F (j ω)。
实验四非周期信号频域分析
实验四 非周期信号频域分析1 实验目的(1) 掌握傅里叶变换的分析方法及其物理意义。
(2) 掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质。
(3) 学习掌握利用MA TLAB 语言编写计算CTFT 的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT 的若干重要性质。
2 实验原理及方法2.1连续时间信号傅里叶变换——CTFT傅里叶变换在信号分析中具有非常重要的意义，它主要是用来进行信号的频谱分析的。
傅里叶变换和其逆变换定义如下：⎰∞∞--=dt e t x j X t j ωω)()( 4-1 ⎰∞∞-=ωωπωd e j X t x t j )(21)( 4-2连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。
任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，它可以被看作是由无穷多个不同频率(这些频率都是非常的接近)的周期复指数信号e j ωt 的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号e j ωt 称为频率分量，其相对幅度为对应频率的|X(j ω)|之值，其相位为对应频率的X(j ω)的相位。
X(j ω)通常为关于ω的复函数，可以按照复数的极坐标表示方法表示为：X(j ω)=| X(j ω)|e j ∠ X(j ω)其中，| X(j ω)|称为x(t)的幅度谱， ∠X(j ω)称为x(t)的相位谱。
给定一个连续时间非周期信号x(t)，它的频谱是连续且非周期的。
对于连续时间周期信号，也可以用傅里叶变换来表示其频谱，其特点是，连续时间周期信号的傅里叶变换是由冲激序列构成的，是离散的——这是连续时间周期信号的傅里叶变换的基本特征。
2.2 用MA TLAB 实现CTFT 及其逆变换2.2.1 用MATLAB 实现CTFT 的计算MA TLAB 进行傅里叶变换有两种方法，一种利用符号运算的方法计算，另一种是数值计算，本实验采用数值计算的方法。
严格来说，用数值计算的方法计算连续时间信号的傅里叶变换需要有个限定条件，即信号是时限信号，也就是当时间|t|大于某个给定时间时其值衰减为零或接近于零，这个条件与前面提到的为什么不能用无限多个谐波分量来合成周期信号的道理是一样的。
说明周期信号与非周期信号频谱的区别
说明周期信号与非周期信号频谱的区别
频谱是一种衡量信号频率分布的方式，周期信号和非周期信号是两种不同类型的信号，它们的频谱也有所不同。
周期信号是指具有重复性的信号，它定义为具有相同幅值的基本周期循环，每次循环的具有完全相同的振幅分布，例如正弦信号，它的频谱中含有其特定基频的单一频率。
一般来说，周期信号的频谱只包括基频以及基频的倍频，即谐波，即从基频开始，每次增加一倍，形成阶梯状的频谱结构。
而非周期信号指的是不具有重复性的信号，它的频谱没有明显的谐波结构，频谱中可能含有非常多的频率，频率分布更加分散，一般拆分成很多小的能量来表征它的频谱，而且这些频率的强度范围可以非常大；此外，由于非周期信号的频率分布分散，频谱衰减要比周期信号慢得多。
总而言之，周期信号和非周期信号的频谱有较大的差别，周期信号具有阶梯状的谐波结构，而非周期信号具有分散式的频率分布，频谱特征较为复杂，衰减较慢。
2.5信号的频域分析(非周期信号)2.6傅立叶变换的性质
能 量 谱
由此最后得
E = ∫ x2 (t )dt =
−∞ ∞
1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞
(16)
式（15）亦称巴塞伐尔方程或 能量等式。它表示，一个非周 期信号x(t)在时域中的能量可由 它在频域中连续频谱的能量来 表示。 式（15）亦可写成
E= 1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞ 1 ∞ 2 = ∫ X(ω) dω = ∫ S(ω)dω
证明： 由欧拉公式
X (ω) = ∫ x(t)e
−∞
∞ −∞
∞
− jωt
dt
∞ −∞
X (ω) = ∫ x(t) cosωtdt − j∫ x(t) sin ωtdt
= Re X (ω) + j Im X (ω)
若x(t)为实函数
Re X (ω) = Re X (−ω) Im X (ω) = − Im X (−ω)
x(t) = Arect
(t − t0 )
T
图2.30 具有时移t0的矩形脉冲
X( f ) = AT sin c(πfT) sin c(πfT) > 0 − 2πt0 f , ϕ( f ) = − 2πt0 f ±π , sin c(πfT) < 0
测试技术
2.6傅里叶变换的性质 2.6傅里叶变换的性质
∫
∞
−∞
x(t) dt < ∞
但上述条件并非必要条件 必要条件。因为当引入广义函数概 必要条件 念之后，许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行傅 里叶变换。 若将上述变换公式中的角频率ω用频率f来替代，则由 于ω=2πf，式（5）和（6）分别变为
X( f ) = ∫ x(t)e− j 2πft dt
课件：非周期信号的频谱分析_第一节连续非周期信号的频谱第二节常见连续信号的频谱分析
• 连续非周期信号的频谱 • 常见连续时间信号的频谱 • 连续时间Fourier变换的性质 • 离散周期信号的频域分析 • 离散非周期信号的频域分析
1
连续非周期信号的频谱
从傅里叶级数到傅里叶变换 周期和非周期信号频谱函数的区别 傅里叶反变换 非周期矩形脉冲信号的频谱分析
2
一、从傅里叶级数到傅里叶变换
2
2π
2π
t
t
9
分析：
1. 非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状 与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。
2. 周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的 连续频谱等间隔取样求得
3. 信号在时域有限，则在频域将无限延续。 4. 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点
之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽。
11
一、常见非周期信号的频谱
1. 单边指数信号
f (t) eat u(t)，a 0，
F ( j)
f
(t)ejt dt
0
e
at
e
jt
dt
e (a j)t
1
(a j) 0 a j
➢ 幅度频谱为 ➢ 相位频谱为
F( j) 1 a2 2
() arctan( ) a
12
一、常见非周期信号的频谱
符号表示：
或
F( j) F[ f (t)] f (t) F 1[F ( j)] f (t) FF(j)
7
狄里赫莱条件
（1）非周期信号在无限区间上绝对可积
f (t) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。
（3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。 狄里赫莱条件是充分不必要条件
非周期信号的频谱
(2) 若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频 谱函数F(jω)为ω的虚函数，且为ω的奇函数。
与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变
换表示式改写成三角函数的形式，即
.
6
f(t)21
F(j)ejtd
21
F(j)ej[t()]d
2 1 F (j)co ts [()d ]
2
0
2
t
实偶
4
2
0
2
4
实偶
图 3.4-1 门函数及其频谱
一般而言，信号的频谱函数需要用幅度谱 F( j)和相位
谱 ( )两个图形才能将它完全表示出来。但如果频谱
函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。
F(j) 为负代表相位为 ，
0
.
F(为j正) 代表相位为 。
11
由图可见，第一个零值的角频率为 2 （频率 1 ）。
为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的 概念。
令
F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
称 F(j)为频谱密.度函数。
2
如何求频谱密度函数？ F(j)T l i m 1F /n TT l i m FnT
由式
f(t) Fnejnt
n
，Fn
1 T
T
2 T
2
f(t)ej ntd t可得
可知
'(t)ejtd tdejt j
dt t 0
即 ℱ 'tj
同理可得 ℱ [(n)(t). ](j)n
23
例3.4-6 求单位直流信号的频谱
f(t)1 - t
显然，该信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换
非周期信号的频谱
jnω1t
1 T2 − jnω1t Fn = F (nω1 ) = ∫−T f (t )e dt T 2
i
3.4 非周期信号的频谱
当 T → ∞ 时，
周期信号 离散谱
非周期信号 连续谱
表示频谱就不合适了， 再用 F ( nω1 ) 表示频谱就不合适了，虽然各频 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别， 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，所以我们 在这里引入频谱密度函数。 在这里引入频谱密度函数。 频谱密度函数
jωt
f ( t ) ↔ F ( jω )
3.4 非周期信号的频谱 三、典型信号的傅里叶变换
1.单位冲激信号的频谱 1.单位冲激信号的频谱
f (t ) = δ ( t )
F ( jω ) = ∫ δ ( t ) e− jωt dt = 1
−∞ ∞
即
δ (t ) ↔ 1
3.4 非周期信号的频谱
单位冲激信号的频谱图 单位冲激信号的频谱图 可见， 的频谱是常数1 可见 ， 冲激函数 δ(t) 的频谱是常数 1 。 也就 是说， 中包含了所有的频率分量， 是说 ， δ(t) 中包含了所有的频率分量 ， 而各频率 分量的频谱密度都相等。 显然， 分量的频谱密度都相等 。 显然 ， 信号 δ(t) 实际上 是无法实现的。 是无法实现的。
Fn T jnω1t f (t ) = lim fT (t ) = lim ∑ e T →∞ n =−∞ T
当 T → ∞ 时， Fn T = F ( jω )
i
∞
i
nω1 → ω
n =−∞
1 1 1 = ω1 → dω T 2π 2π
T →∞
lim
∑ →∫
jω t
∞
非周期信号的傅里叶变换
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
2.一般周期信号的傅立叶变换
x( t )
k
C
jk 0 t
k
e
jk 0 t
e
F [ x( t )]
j0t
2( 0 )
k
k
C
jk 0 t
F [e
] 2
k
c ( k
k
0
)
k
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
常数
试求 X ( w ) ( w ) 的傅立叶反变换
1 x( t ) 2 1 ( w )e dw 2
jwt
1
2
(w)
1 2 ( w ) A 2A ( w )
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
4.8 傅立叶级数与傅立叶变换的关系
x(t ) dt
1 2
X ( w )e jwt1 dw x( t1 )
jwt 2
若x(t)在t2点不连续,则: 1
2
X ( w )e
1 dw [ x( t 2 ) x( t 2 )] 2
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
三、常用信号的傅立叶变换 单边指数信号 信号表达式
X ( w )w0 lim C k lim T0 T0 2
X ( w )w0 jkw t 代入(1)式,得: x( t ) lim e T 2 k ~ x ( t ) x( t ) T0 时 0 d , k 0
0 0
1 x( t ) 2
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第一章 信号及其描述
周期信号的频谱是离散的，非周期信号的频谱是连 续的。
第一章 信号及其描述
㈥
富氏变换的若干性质
⒈ 奇、偶、虚、实特性 奇函数----- 如果函数 y=f(x) 在定义域内任意一自变量 f(－x)=f(x)，则 y=f(x) 称为偶函数。 偶函数----- y=f(x) 在定义域内任意一个自变量 x 都有 f(－x)=-f(x) 则 y=f(x) 叫奇函数。 实函数----虚数----有理数和无理数的统称。
第一章 信号及其描述
⒉
线性迭加性 如果，时域信号 x(t) 和 y(t) 的富氏变换分别有：
FT FT
x (t )
⇔
IFT
x( f )
y (t )
⇔
IFT
y( f )
则：a x(t)+b y(t)=a x(f)+b y(f)
[其中 a, b 为任意常数]
其含义为： 其含义为：几个信号的富氏变换 = 各个信号富氏变换之和。
x( f ) + y( f ) = Bδ ( f ) + A/ 2δ ( f − f0 ) + A/ 2δ ( f + f0 )
第一章 信号及其描述 例子： 例子：求下图波形的频谱
用线性叠加定理简化 X1(f)
+
X2(f)
第一章 信号及其描述 ⒊ 对称或对偶定理
x (t ) ⇔ X ( f )
当
则有： 实际意义： 实际意义： 如果X(f)是信号x(t)的谱,则X(t)的谱就是x(-f) 即：利用已知的富氏变换对，即可得出相应的变换对。 【例】
X ( ±t ) ⇔ x ( m f )
第一章 信号及其描述
⒋ 时间尺度改变特性 在信号幅值不变的条件下。若：
x (t ) ⇔ X ( f )
则：(K>0)
∆ω = ω 0 = 2π T
→ ∞
ω 0 = ∆ω ⇒ 0 nω 0 ⇒ (连续变的)ω
因此：
① 离散谱就变成了连续谱。 ② 求和运算则可用积分运算代替。
第一章 信号及其描述
x (t ) =
∫
∞
−∞
ω0 ( 2π
1 ( 2π
∫
∞ −∞
∞
−∞
x (t )e
− jn ω 0 t
dt ) e
jn ω 0 t
时移450
时移900
时移1800
分析: 分析:
时移时, 时移时,并不改变富氏变换频域的幅值大小.
第一章 信号及其描述
⑵ 频移特性
则
无频移
频移f0
频移2f0
第一章 信号及其描述
结论： 结论：假定频率函数x（f）是实数，频率左右位移后迭加，再折半。 分析：① 时间函数 x(f) 与一个余弦函数相乘，这个余弦函数的频率 等于频率的位移量 f0 并称该过程为调制。
打扳
第一章 信号及其描述 哼哼的程度 打扳
第一章 信号及其描述 哼哼的程度 打扳
第一章 信号及其描述 哼哼的程度 打扳
第一章 信号及其描述
卷积分的计算图例
函数x(t)和h(t)和卷积过程 要计算卷积值首先要给出函数 x(τ) 和 h(t-τ)
实现上一步后,下一步进行相乘并积分.过程如下:
第一章 信号及其描述
第一章 信号及其描述
【例】
x(t ) = B ⇔ x( f ) = Bδ ( f )
y (t ) = A cos(2πf 0t ) ⇔ y ( f )
= A/ 2δ ( f − f0 ) + A/ 2δ ( f + f0 )
根据线性迭加原理可得：
x ( t ) + y ( t ) = B + A cos( 2π f 0 t ) ⇔
第一章 信号及其描述 ㈢ 非周期信号的富氏变换
傅立叶的两个最主要的贡献——
• “周期信号都可表示为谐波关系的正弦 信号的加权和” 信号的加权和”——傅里叶的第一个主 要论点 • “非周期信号都可用正弦信号的加权积 分表示” 分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
第一章 信号及其描述 ㈢ 非周期信号的富氏变换
• 如果
F [h(t )} = H (ω ); F [ x(t )] = X (ω ); F [h(t ) x(t )] =
1 2π
H (ω ) * X (ω );
• 则
F [h(t ) x(t )] = H ( f ) * X ( f )
第一章 信号及其描述 二、非周期信号与连续谱
两个或几个无关的周期信号混迭在一起时，即：ωn/ ωm ≠有理 数，就会产生准周期信号。 ㈠ 准周期信号
【例】 x(t ) = x1 sin(3t + φ1 ) + x2 sin(5t + φ 2 ) + x3 sin( 72t + φ3 ) + L
1) 可以看出 3/ 72 和 5/ 72 不是有理数 .
② 时域一个信号被余弦（或正弦）函数数调制以后，在频域 中就按调制频率 f0 向两边分别进行频移。
第一章 信号及其描述 ⒍ 卷积
卷积积分是一种数学方法， 卷积积分是一种数学方法，在信号与系统的理论研 究中占有重要的地位。 究中占有重要的地位。特别是关于信号的时间域与变换 域分析， 域分析，它是沟通时域－ 它是沟通时域－频域的一个桥梁。 频域的一个桥梁。 在系统分析中， 在系统分析中，系统输入／ 系统输入／输出和系统特性的作用 关系在时间域就体现为卷积积分的关系
t1
2t1 3t1 4t1 5t1
分析： ① 图中用斜线标明该函数所对应的是三角形。 ② 该函数的积分便是这个三角形的面积。
第一章 信号及其描述 ⑵
时域和频域的卷积 （卷积定理） 卷积定理）
FT • 如果 h(t ) → H (ω ); FT x(t ) → X (ω ); FT h(t ) * x(t ) → H (ω ) X (ω );
由复数形式的富氏级数可知：
x (t ) =
∑
n = −∞
∞
cne
∞
jn ω
0
t
dt
1 cn = T
∫
T /2
−T / 2
x ( t )e − jn ω 0 t dt
jn ω 0 t
x (t ) =
∑
n = −∞
1 T
∫
T /2
−T / 2
x ( t ) e −
∫
∞
−∞ ∞
x ( t ) cos 2 π ftdt x ( t ) sin 2 π ftdt
∫
−∞
①
若：x(t) 为实的偶函数，则其富氏变换 x(f) 为：
R e x ( f ) = 2 ∫ x ( t ) cos 2π ftdt
0
∞
I m x( f ) = 0
故：x(f) 是 f 的偶函数又是实函数。即 Rex(f) = x(－f)
x(t)
∞
h(t)
y(t)
y (t ) = ∫ x(τ )h(t − τ )dτ = x(t ) ∗ h(t )
−∞
第一章 信号及其描述
卷积的物理意义
对于线性系统而言， 对于线性系统而言，系统的输出y(t)是任意输入x(t)与 系统脉冲响应函数h(t)的卷积。 的卷积。 （1）将信号x(t)分解为许多宽度为 分解为许多宽度为∆ t 的窄条面积之和， 的窄条面积之和， t= n ∆ t 时的第n个窄条的高度为x(n ∆ t )，在∆ t 趋近于 零的情况下， 零的情况下，窄条可以看作是强度等于窄条面积的脉 冲。 x(t) x(n ∆ t ) ∆ t
㈡
瞬态信号
除准周期信号以外的非周期信号都称为瞬态信号。 ①热源消除后的物体温度变化 ②受拉钢丝绳断裂时绳中的应力 ③敲击时的加速度信号…等
第一章 信号及其描述 ㈢ 非周期信号的富氏变换
• 1768年生于法国 • 1807年提出“ 年提出“任何周 期信号都可用正弦函数 级数表示” 级数表示” • 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件 • 拉格朗日反对发表 • 1822年首次发表在 “热的分析理论” 热的分析理论” 傅里叶 Jean Baptise Joseph Fourier 1768～1830 ) • 一书中
• 则
h(t ) * x(t ) → H ( f ) X ( f )
FT
时域卷积定理： 时域卷积定理：时间函数卷积的频谱等于各个时间函数 频谱的乘积， 频谱的乘积，既在时间域中两信号的卷积， 既在时间域中两信号的卷积，等效于在频 域中频谱中相乘。 域中频谱中相乘。
第一章 信号及其描述 ⑵
时域和频域的卷积 （卷积定理） 卷积定理）
第一章 信号及其描述
② 若：x(t) 为实的奇函数，则其富氏变换 x(f) 为：
I m x ( f ) = 2 ∫ x (t ) sin 2π ftdt
0
∞
Re x ( f ) = 0
故：x(f)是 f 的虚奇函数。即 Im x(f) =
－Imx(－f)
熟悉了解这些性质有助于估计富氏变换对的相应图形性质，减少 不必要的计算。
x(n∆t) ∆t h(t- n∆t)
0
t
第一章 信号及其描述
卷积的物理意义
（3）根据线性系统的叠加原理， 根据线性系统的叠加原理，各脉冲引起的响应之和 ∞ 即为输出y(t) y( t) = ∑ x(n∆t) ∆tht ( − n∆t) n =0 y(t)
0
t
第一章 信号及其描述 哼哼的程度
县令打扳子
【例】
f 1 x(kt ) ⇔ X ( ) k k
正常
慢录快放
快录慢放
第一章 信号及其描述 ⒌ 时移和频移特性