天津市南开区2020届高三数学下学期一模考试试卷 理(含解析)
【详解】设
，
，则三角形 的面积为
，解得
，
由
，且 C，P，D 三点共线，可知
，即 ，
故
.
以 所在直线为 轴，以 点为坐标原点，过 点作 的垂线为 轴，建立如图所示的坐标系，
则
，
，
，
，
则
，
，
，
则
（当且仅当
即
故 的最小值为 .
时取“=”）.
【点睛】三点共线的一个向量性质：已知 O、A、B、C 是平面内的四点，则 A、B、C 三点共
线的充要条件是存在一对实数 、 ，使
，且
.
二、填空题.请将答案填在题中横线上.
9.已知复数
，则的实部为__________．
【答案】0; 【解析】 【分析】 根据复数的运算法则进行化简即可．
【详解】
，则 z 的实部为为 0，
故答案为：0. 【点睛】本题主要考查复数的有关概念，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．
14.设函数
，若函数
有三个零点，则这三个离你单
之和的取值范围是_____．
【答案】
【解析】 【分析】 将原题中有 3 个零点转化为图像 和 得到交点的横坐标之和的范围即可.
有三个交点，在同一坐标系中画出图像，
【详解】函数
若函数
有三个零点,即方程
有三个根， 在同一坐标系中画出函数的图像：
，即图像 和
有三个交点，
满足条件 M＞N，M＝112，N＝81，i＝5
满足条件 M＞N，M＝115，N＝243，i＝6
不满足条件 M＞N，退出循环，输出 i 的值为 6．
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的 M，N，i 的值
是解题的关键，是基础题．
4.设 ， ，则“ ”是“
”的（ ）
故“a＜b”是“（a﹣b）a2＜0”的必要不充分条件，
故选：B．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系进行判断即可．
5.函数
为增函数的区间是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】 【分析】 根据复合函数单调性的关系，结合三角函数单调性的性质进行转化求解即可．
【详解】
,
求
的递增区间，等价于求
组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按
规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些
实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接
2020 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试（一）
数学试卷（理工类）
注意事项：
1.答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干
净后，再涂其他答案标号.
参考公式：椎体的体积公式
，其中 表示椎体的底面积， 表示椎体的高
利用这种典型分布的期望公式求得.
17.如图，在三棱锥
中，
，
，
， ， 分别是 ，
的中点， 在 上且
.
（I）求证：
；
（II）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（III）在线段 上是否存在点 ，使二面角
若不存在，请说明理由.
的大小为 ？若存在，求出 的长；
【答案】I.见解析；Ⅱ. ；Ⅲ.满足条件的点 G 存在，且
内是增函数，
，则不等式
的解集
为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
易判断 f（x）在（-∞，0）上的单调性及 f（x）图象所过特殊点，作出 f（x）的草图，根
据图象可解不等式．
【详解】∵f（x）在 R 上是奇函数，且 f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，
的递减区间，
由
得
得
当 k＝0 时，
，
即函数
的递减区间为
，
则函数
的单调递增区间为
.
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角函数单调性以及单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关
系以及三角函数的单调性是解决本题的关键．根据 y=sint 和
的单调性来研究，由
得单调增区间；由
得单
调减区间.
6.函数 是奇函数，且在
数的几何意义，将目标函数进行变形；常见的类型有截距型（
型）、斜率型（ 型）
和距离型（
型）；(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确
定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
3.执行如图所示的程序框图，若输入的 a 的值为 3，则输出的 i=（ ）.
A. 4 【答案】C 【解析】
【解析】 【分析】 I:建立空间坐标系，求出相应的直线的方向向量和平面的法向量，证明向量的平行即可；Ⅱ： 求出平面 SBD 的法向量，直线 SA 的方向向量，由公式可得到线面角；Ⅲ.假设满足条件的点 G 存在，并设 DG=1.则 G（1，t，0），求出平面 AFG 的法向量，和面 AFE 的法向量，由二面 角的平面角的公式得到关于 t 的方程，进而求解. 【详解】I.以 A 为坐标原点，分别以 AC，AB.AS 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 C-xyz. 则 A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），S（0，0，2），D（1，0，0），E（1，1，0）
由 f（-3）＝0，得 f（﹣3）＝﹣f（3）＝0， 即 f（3）＝0， 作出 f（x）的草图，如图所示：
由图象，得
解得 0＜x＜3 或﹣3＜x＜0， ∴xf（x）＜0 的解集为：（﹣3，0）∪（0，3）， 故选：D． 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草 图是解题关键．
（I）当 时，记事件
，求 ；
（II）当 时，若用表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计），求的分布列和数学期望
【答案】I: ;Ⅱ.见解析. 【解析】 【分析】 I:总的基本事件数为 ，事件 A，可从三类中任取一类，再从该类的 3 个中任取 2 个，然后 再从其余两类的 6 个中任取 1 个，由分步计数原理可得种数，进而可得概率；Ⅱ:可能的取 值为 2，3，4，5，6,求出相应的概率值即可得到分布列. 【详解】I. 总的基本事件数为 ，事件 A，可从三类中任取一类 ，再从该类的 3 个中任
，为
上的一点，若
，则
的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先化简得到曲线 C 的直角坐标方程，设出 P 点坐标根据两点间距离公式得到点 P 的纵坐标，
进而得到面积.
【详解】曲线 C 的参数方程化为普通方程得到
设点
联立两式得到
（舍去），代入抛物线得到
则△POM 的面积为：
故答案为： 【点睛】这个题目考查了参数方程与普通方程的互化，涉及两点间距离公式的应用，题目难 度中等.
,因为 平面 ，所以 所在位置均使该三棱锥的高为 ；而不论
在 上的那一个位置， 均为 ，所以
【考点定位】本题考查空间几何体的体积运算方法，依据空间线面关系推证，进行等积转换 是常考点.这里转换底面极为重要，由于两个动点的出现，加大了定值识别的难度
12.已知在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
，（为参数）.点
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义结合表达式的性质进行判断即可．
【详解】解：若 a＝0，b＝1，满足 a＜b，但（a﹣b）a2＜0 不成立，
若“（a﹣b）a2＜0，则 a＜b 且 a≠0，则 a＜b 成立，
点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定 义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范
围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式 ；②只需要根据一个条件得到关于 的
齐次式，转化为 的齐次式，然后转化为关于 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 ( 的取值范围)．
三个交点分别为：
满足
当
取得最小值-3 时，解得
根据二次函数的对称性得到
.
根据方程： ，即
的零点的范围，
故答案为：
【点睛】这个题目考查了函数的零点之和的问题，在研究函数零点时，有一种方法是把函数 的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化 为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函 数的变化趋势，得出结论． 三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
，则目标函数
的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据不等式组画出可行域，再结合图像得到目标函数的最值.
【详解】首先根据不等式组
画出可行域，可行域如下图阴影部分：
目标函数化为：
，根据图像得到目标函数在点 B 处取得最大值，
令
,代入得到最大值为：-1.
故答案为：B.
【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函
15.在
中， ， ，分别为角 的对边，
，
.
（I）求 的值
天津市南开区2020届高三下学期4月模拟考试(一)数学试题
2019-2020学年度第二学期南开区高三年级模拟考试数学试题一、选择题1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，集合{}1,3,5S =，{}3,6T =，则() U S T U ð等于（ ） A ．∅B ．{}1,3,5,6C ．{}2,4,7D ．{}2,4,62．已知命题2:230p x x +->，命题:q x a >，且q 的一个必要不充分条件是p ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞B ．(],1-∞C ．[)1,-+∞D ．(],3-∞-3．为了调查学生的复习情况，高三某班的全体学生参加了一次在线测试；成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100.若成绩[)60,80的人数是16，则低于60分的人数是（ ）A ．6B ．12C ．15D ．184．函数()sin 3cos x e x f x x+=+的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．若圆C 430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（ ） A ．()()22121x y -+-=B ．()()22211x y -+-=C ．()()22125x y -+-=D ．()()22215x y -+-=6．已知函数()()12x xf x e e -=-，设()20.31a f =，12log 0.31b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2ln 2c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>7．已知函数()()cos f x A x ωϕ=+()0,0ωπϕ>-<<的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．()52cos 12f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()2cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．()52cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()52cos 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭8．已知点A 是抛物线24y x =与双曲线()222103x y b b-=>的一个交点.若抛物线的焦点为F ，且4AF =，则点A 到双曲线两条渐近线的距离之和为（ ） A．B ．4C．D ．29．已知函数()()232,0112,0x x f x x x a x ax x ⎧≤⎪=-⎨⎪-++>⎩，若方程()f x ax =有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,0-B ．()0,1C ．(]0,1D ．()1,+∞二、填空题 10．若212i a i ->-（i 是虚数单位，a 是实数），则a =______. 11．二项式5⎫-⎝的展开式中，常数项为______.12．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 是1CC 上一点，设四棱锥11D A ABB -的体积为1V，三棱柱111ABC A B C -的体积为2V ，则12:V V =______.13．甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为45；乙第一次射击的命中率为78，若第一次未射中，则乙进行二次射击，射击的命中率为34，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击命中率为12.乙若射中，则不再继续射击.则甲三次射击命中次数5的期望为______，乙射中的概率为______.14．已知存在正数,a b使不等式()2log 123x a b>-+成立，则x 的取值范围______. 15．在平面四边形ABCD 中，22AB BC CD ===，60ABC ∠=︒，90ADC ∠=︒，若BE EF FG GC ===u u u r u u u r u u u r u u u r ，则2AE DC AE AF ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ______；若P 为边BC 上一动点，当PA PC ⋅u u u r u u u r取最小值时，则cos PDC ∠的值为______. 三、解答题16．在ABC △中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，若ABC △的面积为2，1a b -=，cos cos 0C A -=.（1）求c 及cos A ； （2）求()cos 2A C -的值.17．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1AB AC AA ==，AB AC ⊥，p 为线段1BC 上一点. （1）若1BP PC =，求PC 与1AA 所成角的余弦值；（2）若1BP =，求PC 与平面11ABB A 所成角的大小； （3）若二面角A AC P --的大小为45︒，求1BPPC 的值.18．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=.数列{}n b 满足：122b b ==，()1*12n n n b b n N ++=∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求()*21121ni i i i a b n N b -=⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∑.19．已知点F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点，过点F 的直线l 交椭圆于,M N 两点.当直线l 过C 的下顶点时，l，当直线l 垂直于C 的长轴时，OMN △的面积为32.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当2MF FN =时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足PM ，PF ，PN 成等比数列，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上. 20．已知函数()ln af x ax x x =-，其中a ∈R .（1）若曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为0x y e --=，其中 2.71828...e =是自然对数的底数，求a 的值；（2）若函数()f x 是()1,+∞内的减函数，求正数a 的取值范围； （3）若方程()0f x =无实数根，求实数a 的取值范围.2019-2020学年度第二学期南开区高三年级模拟考试数学试题参考答案一、选择题二、填空题 10．211．52-12．2:3 13．125，636414．()115．132三、解答题16．解：（1cos sin 0C c A -=cos sin sin 0A C C A -=，∵sin 0A >sin 0C C -=，即tan C = ∵0C π<<，∴3C π=.∴42ABC S ab ==△，即6ab =， 又1a b -=，解得3a =，2b =.由余弦定理得2222cos 7c a b ab C =+-=，解得c =从而222cos 2b c a A bc +-==.（2）由（1）得sin 14A =，∴sin 22sin cos A A A ==，213cos 22cos 114A A =-=-， ∴()cos 2cos2cos sin 2sin A C A C A C -=+13111427⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭.17．解：（1）解法1：∵在三棱柱111ABC A B C -中，11AA CC P ， ∴1PCC ∠即为PC 与1AA 所成角. ∵1CC ⊥底面ABC ，∴1CC BC ⊥， ∵1BP PC =，∴11PCC BC C ∠=∠，不妨设1AB =，∵1AB AC AA ==，∴1BC∴11cos 3PCC PCC ∠=∠=. （1）解法2：如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系D xyz -，不妨设1AB =， 则()1,0,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1A ，()10,1,1C . ∵1BP PC =，∴111,,222P ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴111,,222CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，又()10,0,1AA =u u u r，∴111cos ,3CP AA CP AA CP AA ⋅==⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴PC 与1AA.（2）设(),,P a b c，由1BP =u u u r u u u r，得())1,,,1,1a b c a b c -=---，解得1,2P，∴1,1CP =u u u r ，设PC 与平面11ABB A 所成角为α， ∵平面11ABB A 的法向量为()10,1,0n =，所以1111sin cos ,2n CP n CP n CP α⋅====⋅u u u r u u u r u u u r ， ∴30α=︒.（3）设()1,,BP BC λλλλ==-u u u r u u u u r，则()()()1,1,0,,1,1,CP CB BP λλλλλλ=+=-+-=--u u u r u u u r u u u r.设平面ACP 的法向量为()2,,n a b c =，则()()()()()()22,,0,1,00,,,1,1,110,n AC x y z y n CP x y z x y z λλλλλλ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅--=-+-+=⎪⎩u u u r u u u r 取1z λ=-，得x λ=，即()2,0,1n λλ=-. 又平面1A AC 的法向量为()31,0,0n =， ∴2323cos 45n n n n ⋅︒==⋅，解得12λ=，∴11BPPC =. 18．解：（1）2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S n --+-+=-=-=， 1n =时，111a S ==，满足上式，∴n a n =.∵112n n n b b ++=，∴()122nn n b b n -=≥，∴()1122n n b b n +-=≥，∴{}n b 的奇数项和偶数项分别是2为首项，2为公比的等比数列，∴1222,2,.n n nn b n +⎧⎪=⎨⎪⎩,奇偶为数为数（2）2111112112222n n n ni ii i iii i i i i i a b i i b -====⎛⎫⎛⎫-=-=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑， 设()()231123...10,1n n n M x x x n xnx x -=⋅+⋅+⋅++-+≠，①()2341123...1n n n xM x x x n x nx +=⋅+⋅+⋅++-+②①－②得()()231111...1n nn n n x x x M x x x x nxnx x++--=++++-=--，∴()()1211n n x nx n x M x ++--=-∴()()()11212212212212n nin i n n i n ++=+--⋅⋅==-⋅+-∑，1211112222222112nn in i n n i n +=⎛⎫+--⋅ ⎪+⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭∑， 从而()1211212122n n i i n i i n a b n b +-=⎛⎫+-=-⋅+ ⎪⎝⎭∑. 19．解：（1）由题设：b c=232b c a =，解得2a =，b = ∴椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）当直线l 与x 轴重合时，3MF FN =，不合题意；当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为1x ty =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立2213412x ty x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 整理得()2234690t y ty ++-=， 有122634ty y t -+=+，①122934y y t -=+，②由2MF NF =，得122y y =-， ③联立①②③得，()22227293434t t t --=++，解得t =.20y ±-=.（3）设()00,P x y ，当直线l 与x 轴重合时，∵点P 在椭圆外，∴02x -，02x +同号，由2PM PN PF ⋅=，得()()()2000221x x x -+=-，解得052x =. 当直线l 与x 同不重合时，由（2）知，122634t y y t -+=+，122934y y t -=+，∵10PM y =-，20PN y y =-，0PF =，∵点P 在椭圆外，∴10y y -，20y y -同号，由2PM PN PF ⋅=，得()()210200y y y y y --=，整理得()120120y y y y y -+=，即0229603434ty t t ---=++， 解得032y t =，代入直线l 的方程1x ty =+，得052x =.∴点P 在定直线52x =上.20．解：（1）()()1ln 1a f x a x ax-'=+-，由曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为0x y e --=， 知()0e f e e --=，即()0af e ae e =-=，()121a f e a ae-'=-=，解得1a =.（2）若函数()f x 是()1,+∞内的减函数， 则()()1ln 10a f x a x ax -'=+-≤在()1,+∞恒成立.∵0a >，∴1ln 10a x x -+-≤在()1,+∞恒成立.令()1ln 1a g x x x-=+-，()()211a g x a x x-'=--， ①若01a <≤，()0g x '>，()g x 在()1,+∞单调递增，∴()()10g x g >=.②若12a <<，当1111,1a x a -⎛⎫⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， ∴()()10g x g >=.③若2a ≥，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减， ∴()()10g x g <=.综上，2a ≥时，()f x 是()1,+∞内的减函数. （3）方程()0f x =⇔方程1ln 0a a x x --=.若1a =，则1x =是方程1ln 0a a x x --=的解，∴1a ≠.令1a t x-=，则11a x t-=，∴方程1ln 0a a x x --=⇔方程ln 1at t a =-.①若0a =，方程ln 1at t a =-无实数根. ②若0a ≠，1a ≠，方程ln 1a t t a =⇔-方程1ln a ta t-=. 令()ln t h t t =，()21ln th t t-'=， 当()0,t e ∈时，()0h t '>，当(),t e ∈+∞时，()0h t '<， 所以()h t 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， ∴()()1h t h e e ≤=，∴()1,h t e ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭.若方程1ln a t a t -=无实数根，则11a a e->，解得0a <或1ea e >-，综上，0a ≤或1ea e >-.。
天津市南开区2020年高考数学模拟试卷(4月份) 含解析
天津市南开区2020年高考模拟考试（4月份）数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）设全集为U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合S＝{1，3，5}，T＝{3，6}，则∁U （S∪T）等于（）A．∅B．{1，3，5，6} C．{2，4，7} D．{2，4，6} 2．（3分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0，命题q：x＞a，且q的一个必要不充分条件是p，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3] 3．（3分）为了调查学生的复习情况，高三某班的全体学生参加了一次在线测试；成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．若成绩在[60，80）的人数是16，则低于60分的人数是（）A．6 B．12 C．15 D．184．（3分）函数的部分图象可能是（）A．B．C．D．5．（3分）若圆C的圆心在第一象限，圆心到原点的距离为，且与直线4x﹣3y＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝56．（3分）已知函数f（x）＝，设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c7．（3分）已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则f （x）的解析式为（）A．B．C．D．8．（3分）已知点A是抛物线y2＝4x与双曲线﹣＝1（b＞0）的一个交点，若抛物线的焦点为F，且|AF|＝4，则点A到双曲线两条渐近线的距离之和为（）A．2B．4 C．2D．29．（3分）已知函数，若方程f（x）＝ax有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（0，1] D．（1，+∞）二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）10．（3分）若（i是虚数单位，a是实数），则a＝．11．（3分）二项式的展开式中，常数项为．12．（3分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1上一点，设四棱锥D﹣A1ABB1的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V2，则V1：V2＝．13．（3分）甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为；乙第一次射击的命中率为，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为．乙若射中，则不再继续射击．则甲三次射击命中次数5的期望为，乙射中的概率为．14．（3分）已知存在正数a，b使不等式成立，则x的取值范围．15．（3分）在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD＝2，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，若＝＝＝，则2•+•＝；若P为边BC上一动点，当•取最小值时，则cos∠PDC的值为．三、解答题（共5小题，满分75分）16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若△ABC的面积为，a﹣b＝1，a cos C﹣c sin A＝0．（Ⅰ）求c及cos A；（Ⅱ）求cos （2A﹣C）的值．17．（15分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，p为线段BC1上一点．（Ⅰ）若BP＝PC1，求PC与AA1所成角的余弦值；（Ⅱ）若，求PC与平面ABB 1A1所成角的大小；（Ⅲ）若二面角A1﹣AC﹣P的大小为45°，求的值．18．（15分）已知数列{a n}的前n项和S n＝．数列{b n}满足：b1＝b2＝2，b n+1b n＝2n+1（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求．19．（15分）已知点F是椭圆b＞0）的右焦点，过点F的直线I交椭圆于M，N两点．当直线l过C的下顶点时，l的斜率为，当直线l垂直于C的长轴时，△OMN的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当|MF|＝2|FN|时，求直线l的方程；（Ⅲ）若直线l上存在点P满足|PM|，|PF|，|PN|成等比数列，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上．20．（16分）已知函数f（x）＝axlnx﹣x a，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为x﹣y﹣e＝0，其中e＝2.71828…是自然对数的底数，求a的值：（Ⅱ）若函数f（x）是（1，+∞）内的减函数，求正数a的取值范围；（Ⅲ）若方程f（x）＝0无实数根，求实数a的取值范围．天津市南开区2020年高考模拟（4月份）数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）设全集为U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合S＝{1，3，5}，T＝{3，6}，则∁U （S∪T）等于（）A．∅B．{1，3，5，6} C．{2，4，7} D．{2，4，6}【分析】先算出S与T的并集，再算出S∪T关于U的补集即可．【解答】解：因为全集为U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合S＝{1，3，5}，T＝{3，6}，所以：S∪T＝{1，3，5，6}；∴∁U（S∪T）＝{2，4，7}；故选：C．【点评】本题主要考查了集合的并、交、补集混合运算，属于基础知识的考查．2．（3分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0，命题q：x＞a，且q的一个必要不充分条件是p，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1] C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣3] 【分析】先化简再判断充要性．【解答】解：命题p：x2+2x﹣3＞0，解之得x＜﹣3或x＞1，且q的一个必要不充分条件是p，则a≥1，故选：A．【点评】本题考查解不等式，以及充要性，属于基础题．3．（3分）为了调查学生的复习情况，高三某班的全体学生参加了一次在线测试；成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．若成绩在[60，80）的人数是16，则低于60分的人数是（）A．6 B．12 C．15 D．18【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系即可解答．【解答】解：有直方图得成绩在[60，80）的频率为1﹣（0.005+0.010+0.015）×20＝0.4，又成绩在[60，80）的人数是16，∴总人数＝40，则低于60分的人数是40×0.015×20＝12，故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题．4．（3分）函数的部分图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由f（0）＞0，函数不具有奇偶性，以及x＞0时，函数值大于0，结合选项即可得解．【解答】解：，则可排除A；又函数不具有奇偶性，则可排除C；当x＞0时，e x+sin x＞0，3+cos x＞0，则可排除B．故选：D．【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题．5．（3分）若圆C的圆心在第一象限，圆心到原点的距离为，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5【分析】根据题意，设圆心C的坐标为（m，n），分析可得n＝r，由两点间距离公式可得m2+n2＝5，由直线圆相切的性质可得r＝，联立解可得m、n的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设圆C的圆心C的坐标为（m，n），（m＞0，n＞0）由于圆C 与x轴相切，则圆C的半径n＝r，又由圆心到原点的距离为，则有m2+n2＝5，圆C与4x﹣3y＝0相切，则有r＝，即n2＝，解可得m＝2，n＝1，则圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1；故选：B．【点评】本题考查圆的标准方程的计算，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题．6．（3分）已知函数f（x）＝，设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】分析得函数f（x）为奇函数且在R上单调递减，通过化简比较0.312，log20.31，ln4的大小，根据函数的单调性，比较a，b，c的大小关系．【解答】解：函数f（x）＝，f（﹣x）＝＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数．∵y＝e x在R上为增函数，∴f（x）在R上为减函数．a＝f（0.312），，c＝f（2ln2）＝f（ln4）．∵，∴b＞a＞c．故选：D．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性，需要熟练掌握常见函数的性质和图象，属基础题目．7．（3分）已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则f （x）的解析式为（）A．B．C．D．【分析】先据图象的最高点与最低点求出A，然后根据零点间的横向距离是四分之一周期的倍数求出T，进而求出ω的值，最后利用对应的观点结合范围求出φ的值．【解答】解：易知A＝2．，T＝π，∴．∴，∴，又﹣π＜φ＜0，k＝0时，φ＝符合题意．故f（x）＝2cos（2x﹣）．故选：C．【点评】本题考查了利用五点法作图根据图象求解析式，要注意最后求φ时的对应思想．属于中档题．8．（3分）已知点A是抛物线y2＝4x与双曲线﹣＝1（b＞0）的一个交点，若抛物线的焦点为F，且|AF|＝4，则点A到双曲线两条渐近线的距离之和为（）A．2B．4 C．2D．2【分析】求出A的坐标，代入双曲线方程求出b，然后求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为F，且F A＝4，可得F（1，0），则A（3，±2），点A是抛物线y2＝4x与双曲线﹣＝1（b＞0）一个交点，a＝，可得，解得b＝，则渐近线方程为y＝±x，不妨令A（3，2），则点A到这两条渐近线的距离之和d＝+＝2，故选：A．【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题．9．（3分）已知函数，若方程f（x）＝ax有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（0，1] D．（1，+∞）【分析】显然x＝0满足，然后当x≠0时，研究与y＝a产生三个根，显然在x＜0时一个，在x＞0时，一元二次方程有两个正根，问题可求解．【解答】解：由题意x＝0满足方程f（x）＝ax．①当x＜0时，只需有一个负根，即，解得0＜a＜1；②当x＞0时，只需x2﹣（a+1）x+a＝0有两个正根即可．方程可化为（x﹣1）（x﹣a）＝0，故两根为1，或a．由题意只需a＞0且a≠1．综合①②可知，当0＜a＜1时，方程f（x）＝ax有4个不同的实数根．故选：B．【点评】本题考查了函数零点个数的判断方法，本题是直接解方程进行判断．注意方程与不等式的相互应用．同时考查学生运用转化与化归思想、函数与方程思想解题的能力．是一道中档题．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）10．（3分）若（i是虚数单位，a是实数），则a＝2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0且实部大于求解a值．【解答】解：∵＞，∴，解得a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．11．（3分）二项式的展开式中，常数项为﹣．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得结论．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为：T r+1＝•（）5﹣r•（﹣）r＝（﹣1）r•••x；令＝0⇒r＝3；∴展开式中，常数项为：（﹣1）3••＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．12．（3分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1上一点，设四棱锥D﹣A1ABB1的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V2，则V1：V2＝2：3．【分析】设点D到底面ABC，A1B1C1的距离分别为h1，h2．三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为H，则h1+h2＝H．利用三棱锥、三棱柱的体积计算公式即可得出．【解答】解：设点D到底面ABC，A1B1C1的距离分别为h1，h2．三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为H，则h1+h2＝H．＝＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了三棱锥、三棱柱的体积计算公式，考查考生的计算能力，属于基础题．13．（3分）甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为；乙第一次射击的命中率为，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为．乙若射中，则不再继续射击．则甲三次射击命中次数5的期望为，乙射中的概率为．【分析】甲击中的次数X～B（3，），由此能求出甲三次射击命中次数的期望，利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率加法公式能求出乙射中的概率．【解答】解：甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为，则甲击中的次数X～B（3，），∴甲三次射击命中次数的期望为E（X）＝3×＝，乙第一次射击的命中率为，第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为．乙若射中，则不再继续射击．则乙射中的概率为：P＝＝．故答案为：，．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布、互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．（3分）已知存在正数a，b使不等式成立，则x的取值范围（1﹣，1）．【分析】存在性问题转化为最大值，运用均值不等式＝≤＝，求出的最大值，转化成解对数不等式log2（1﹣x）＜，进而解出x．【解答】解：∵＝≤＝，由于a＞0，b＞0，则2a+3b＞0，∴≤，当且仅当2b＝2a+3b时，∴有最大值，＞＞＞＞＞又存在正数a，b使不等式成立，则log2（1﹣x）＜，即0＜1﹣x＜2，∴1﹣＜x＜1．故答案为：（1﹣，1）．【点评】本题考查均值不等式的应用，对数不等式的解法，和存在性问题，属于中档题．15．（3分）在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD＝2，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，若＝＝＝，则2•+•＝；若P为边BC上一动点，当•取最小值时，则cos∠PDC的值为．【分析】根据题意可知△ABC是等边三角形，△ADC是有一个内角为60°的直角三角形．又知道它们的边长，所以可以建立坐标系，将问题坐标化后进行计算求解．【解答】解：∵平面四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD＝2，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，∴△ABC是边长为2的等边三角，在Rt△ADC中，AC＝2，CD＝1，所以∠ACD＝60°．又＝＝＝，∴E，F，G是BC边的四等分点．如图建立坐标系：则：A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），D（），E（﹣），F（0，0），G（）．所以2•+•＝2（）•（）+（）•（0，）＝．再设P（x，0），∴•＝•（1﹣x，0）＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣．（﹣1≤x≤1）显然x＝时，•最小，此时P（）．∴＝＝．故答案为：，．【点评】本题考查平面向量在几何问题中的应用，通过建系将问题坐标化是一种常见的求角或距离的解题方法．同时考查学生运用转化思想、数形结合思想、函数思想等的解题能力．属于中档题．三、解答题（共5小题，满分75分）16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若△ABC的面积为，a﹣b＝1，a cos C﹣c sin A＝0．（Ⅰ）求c及cos A；（Ⅱ）求cos （2A﹣C）的值．【分析】（Ⅰ）由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式结合sin A≠0可求tan C＝，结合范围C∈（0，π），可求C的值，利用三角形的面积公式可求ab的值，结合已知可求a，b的值，根据余弦定理即可求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式可得sin A，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A 的值，进而根据两角差的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a cos C﹣c sin A＝0，∴sin A cos C﹣sin C sin A＝0，∵sin A≠0，∴cos C﹣sin C＝0，即tan C＝，∵C∈（0，π），∴C＝，∴S△ABC＝ab＝，解得ab＝6，又a﹣b＝1，解得a＝3，b＝2，又余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝7，解得c＝，∴cos A＝＝，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝﹣，∴cos（2A﹣C）＝cos2A cos C+sin2A sin C＝（﹣）×+＝﹣．【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17．（15分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，p为线段BC1上一点．（Ⅰ）若BP＝PC1，求PC与AA1所成角的余弦值；（Ⅱ）若，求PC与平面ABB 1A1所成角的大小；（Ⅲ）若二面角A1﹣AC﹣P的大小为45°，求的值．【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PC与AA1所成角的余弦值．（Ⅱ）设P（a，b，c），由，得P（，2﹣，2﹣），从而＝（，1﹣，2﹣），求出平面ABB1A1的法向量，由此能求出PC与平面ABB1A1所成角的大小．（Ⅲ）求出平面ACP的法向量和平面A1AC的法向量，利用同量法能求出当二面角A1﹣AC﹣P的大小为45°时的值．【解答】解：（Ⅰ）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，p为线段BC1上一点．以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝1，则B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），C1（0，1，1），∵BP＝PC1，∴P（），∴＝（），＝（0，0，1），设PC与AA1所成角为θ，则PC与AA1所成角的余弦值为：cosθ＝＝．（Ⅱ）设P（a，b，c），由，得（a﹣1，b，c）＝（﹣a，1﹣b，1﹣c），解得P（，2﹣，2﹣），∴＝（，1﹣，2﹣），设PC与平面ABB1A1所成角为α，∵平面ABB1A1的法向量为＝（0，1，0），∴sinα＝＝＝，∴PC与平面ABB1A1所成角的大小为30°．（Ⅲ）设＝＝（﹣λ，λ，λ），则＝＝（1，﹣1，0）+（﹣λ，λ，λ），＝（1﹣λ，λ﹣1，λ），设平面ACP的法向量＝（a，b，c），则，取z＝λ﹣1，得＝（λ，0，λ﹣1），平面A1AC的法向量＝（1，0，0），∵二面角A1﹣AC﹣P的大小为45°，∴cos45°＝＝，解得．∴当二面角A1﹣AC﹣P的大小为45°时，＝1．【点评】本题考查民面直线所成角的余弦值、线面角的大小、满足二面角的两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（15分）已知数列{a n}的前n项和S n＝．数列{b n}满足：b1＝b2＝2，b n+1b n＝2n+1（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求．【分析】（Ⅰ）直接根据前n项和与通项的关系求出数列{a n}的通项公式，再根据递推关系式求出数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）先根据a i（b2i﹣1﹣）＝i•2i﹣；然后利用错位相减求和法分别求和，整理即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣＝n；n＝1时，a1＝S1＝1适合上式，所以：a n＝n；∵b1＝b2＝2，b n+1b n＝2n+1；∴b n b n﹣1＝2n（n≥2）；∴b n+1＝2b n﹣1，（n≥2）；∴数列{b n}的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列；∴b n＝．（Ⅱ）∵a i（b2i﹣1﹣）＝i•2i﹣；设M＝1•x+2•x2+3•x3+…+（n﹣1）•x n﹣1+n•x n，（x≠0，1）①∴xM＝1•x2+2•x3+…+（n﹣1）•x n+n•x n+1；②①﹣②得（1﹣x）M＝x+x2+x3+…+x n﹣n•x n+1＝﹣n•x n+1；∴M＝；∴i•2i＝＝（n﹣1）•2n+1+2；＝＝2﹣；∴a i（b2i﹣1﹣）＝（n﹣1）•2n+1+．【点评】本题主要考查数列递推公式的应用以及错位相减求和的应用，计算量较大，学生易错．19．（15分）已知点F是椭圆b＞0）的右焦点，过点F的直线I交椭圆于M，N两点．当直线l过C的下顶点时，l的斜率为，当直线l垂直于C的长轴时，△OMN的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当|MF|＝2|FN|时，求直线l的方程；（Ⅲ）若直线l上存在点P满足|PM|，|PF|，|PN|成等比数列，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上．【分析】（Ⅰ）根据题意得：＝，，及a2＝b2+c2，解得a，b，进而可得椭圆得方程．（Ⅱ）分两种情况：当直线l与x轴重合时，|MF|＝3|FN|，不合题意．当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与椭圆得方程，结合根与系数关系得y1+y2，y1y2，由|MF|＝2|FN|，得y1＝﹣2y2，组成方程组解得t，进而可得直线l得方程．（Ⅲ）设P（x0，y0），分两种情况讨论，当直线l与x轴重合时，当直线l与x轴不重合时，由|PM|•|PN|＝|PF|2，解得x0＝，所以点p在定直线x＝上．【解答】解：（Ⅰ）由题设：＝，，解得a＝2，b＝，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）当直线l与x轴重合时，|MF|＝3|FN|，不合题意．当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，消去x整理得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，有y1+y2＝①，y1y2＝②，由|MF|＝2|FN|，得y1＝﹣2y2③，联立①②③得＝，解得t＝±．所以直线l的方程为x±2y﹣＝0．（Ⅲ）设P（x0，y0）当直线l与x轴重合时，因为点p在椭圆外，所以x0+2，x0﹣2同号，由|PM|•|PN|＝|PF|2，得（x0+2）（x0﹣2）＝（x0﹣1）2，解得x0＝，当直线l与x轴不重合时，由（Ⅱ）知y1+y2＝，y1y2＝，因为|PM|＝，|PN|＝，|PF|＝，因为点p在椭圆外，所以y1﹣y0，y2﹣y0同号，由|PM|•|PN|＝|PF|2，得（y1﹣y0）（y2﹣y0）＝y02，解得x0＝，整理得y1y2﹣y0（y1+y2）＝0，即，解得y0＝，代入直线l方程x＝ty+1，得x0＝，所以点p在定直线x＝上．【点评】本题考查椭圆得标准方程，直线与椭圆相交，等比数列，考查转化能力和计算能力．20．（16分）已知函数f（x）＝axlnx﹣x a，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为x﹣y﹣e＝0，其中e＝2.71828…是自然对数的底数，求a的值：（Ⅱ）若函数f（x）是（1，+∞）内的减函数，求正数a的取值范围；（Ⅲ）若方程f（x）＝0无实数根，求实数a的取值范围．【分析】（I）先对函数求导，然后根据导数的几何意义及已知切线方程即可求解；（II）结合导数与单调性的关系可转化为f′（x）＝a（lnx+1）﹣ax a﹣1≤0在（1，+∞）内恒成立，结合函数的性质可求；（III）结合导数及函数的性质，进行合理的转化后结合导数可求．【解答】解：（I）f′（x）＝a（lnx+1）﹣ax a﹣1，由曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为x﹣y﹣e＝0可得e﹣f（e）﹣e＝0即f（e）＝ae﹣e a＝0，f′（e）＝2a﹣ae a﹣1＝1，故a＝1，（II）若函数f（x）是（1，+∞）内的减函数，则f′（x）＝a（lnx+1）﹣ax a﹣1≤0在（1，+∞）内恒成立，令g（x）＝lnx+1﹣x a﹣1，则，①0＜a≤1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（1）＝0，②若1＜a＜2，当x，g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）＝0，③a≥2时，x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，g（x）＜g（1）＝9综上，a≥2时，满足题意；（III）由f（x）＝0可得alnx﹣x a﹣1＝0，若a＝1，则x＝1是方程alnx﹣x a﹣1＝0的根，故a≠1，令t＝x a﹣1，则＝x，原方程可化为，①a＝0时，没有实根，②a≠0，a≠1时，方程可化为，令h（t）＝，则，当t∈（0，e）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增，当t∈（e，+∞）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减，所以h（t）≤h（e）＝，若没有实根，则，解可得a＜0或a＞，综上a≤0或a＞【点评】本题综合考查了导数的几何意义，导数与单调性，导数与零点的综合应用，属于综合性试题．。
南开区2019～2020学年度第二学期高三年级总复习质量检测(一)参考答案
（10）2；
（11）– 5 ； 2
（12）2∶3；
（13） 12 ， 63 ；（第一个空 2 分，第二个空 3 分） 5 64
（14）(1– 2 ，1)； （15） 13 ， 5 7 ．（第一个空 2 分，第二个空 3 分） 2 14
三、解答题：（其他正确解法请比照给分）
（16）解：（Ⅰ）由 3 acosC–csinA=0 得 3 sinAcosC–sinCsinA=0， …………1 分
∵sinA＞0，∴ 3 cosC–sinC=0，即 tanC= 3 ，
∵0＜C＜，∴C= ． 3
∴S△ABC=
3 ab= 3 3 ，即 ab=6，
4
2
又 a–b=1，解得 a=3，b=2．
由余弦定理得 c2=a2+b2–2abcosC=7，解得 c= 7 ，
…………2 分 …………3 分
…………6 分 …………7 分
∴g(x)＜g(1)=0．
综上，a≥2 时，f(x)是(1，+∞)内的减函数．
…………10 分
（Ⅲ）方程 f(x)=0方程 alnx–xa–1=0．
若 a=1，则 x=1 是方程 alnx–xa–1=0 的解，∴a≠1．
1
令 t=xa–1，则 x= t a1 ，
∴方程 alnx–xa–1=0方程 a lnt=t． a 1
南开区高三年级模拟考试(一)参考答案 第 5 页（共 7 页）
知 e–f(e)–e=0，即 f(e)=ae–ea=0，f(e)=2a–aea–1=1，
解得 a=1．
………5 分
（Ⅱ）若函数 f(x)是(1，+∞)内的减函数，
则 f(x)=a(lnx+1)–axa–1≤0 在(1，+∞)恒成立．
2020届天津市南开区高三下学期一模考试数学(理)试题(解析版)
由 SF=2FE 得 F( , , ) 平面
平面 SBC
Ⅱ.设 （x1，y1，z1）是平面 SBD 的一个法向量，
由于
，则有
令
，则
，即
。
设直线 SA 与平面 SBD 所成的角为 ，而
为锐角
而
（II）
，
，
，又
，
【点睛】
本题考查三角恒等变换中两角和差的余弦公式、利用正弦定理和余弦定理解三角形的问
题，属于基础题.
16．现有长分别为 、 、 的钢管各 3 根（每根钢管的质地均匀、粗细相同且富
有不同的编号），从中随机抽取 根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的，
），
再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根.
【解析】由已知得 求得结果. 【详解】 由
，将
变为
，利用基本不等式
又 均为正实数，则
当且仅当
时取最小值
本题正确结果： 【点睛】 本题考查利用基本不等式求和的最小值问题，关键在于能够通过已知条件将所求式子凑 出乘积为定值的形式.
14．设函数
，若函数
离你单之和的取值范围是_____．
有三个零点，则这三个
的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式 ；②只需要根据一个条件 第 5 页 共 19 页
得到关于 的齐次式，转化为 的齐次式，然后转化为关于 的方程(不等式)，解方 程(不等式)，即可得 ( 的取值范围)．
8．如图，在 中，
，
， 为 上一点，且满足
，
若
的面积为 ，则 的最小值为（ ）
A．
第 12 页 共 19 页
（III）在线段 上是否存在点 ，使二面角 长；若不存在，请说明理由.
2020年6月天津市南开中学2020届高三毕业班高考模拟考试数学答案解析
天津市南开中学
2020届高三毕业班下学期高考模拟考试
数学试题参考答案解析
2020年6月
第一部分
1. D【解析】因为 ，
所以 ．
2. A
3. C
4. C
5. D
【解析】由图可知 最小正周期为 ；又可推得图中 的一个最低点为 ,一个最高点为 ,所以 的单调递减区间为 , ．
6. A【解析】由题意 ,
则直线 的方程为 ．
令 ，得点 的横坐标 ．
又 ，从而 ．
同理， ．
由 得 ．
则 ， ．
所以
又 ，
所以 ．
解得 ，所以直线 经过定点 ．
20. （1） ，则 ，
令 ，得 ，
所以 在 上单调递增．
令 ，得 ，
所以 在 上单调递减．
（2） 因为 ，
所以 ，
所以 的方程为 ．
依题意， ， ．
于是 与抛物线 切于点 ，
如图，过 作 于 ，连接 ．
∴ 是 在平面 内的射影，
∴ ，
∴ 为二面角 的平面角．
在 中， ， ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴二面角 的大小为 ．
方法二：
过 作 于 ，连接 ，设 ，则 ， ， ．
∵ ，
∴
∵ 共线，
∴
由①、②，解得 ， ， ，
∴ 点的坐标为 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ 为二面角 的平面角．
∵ ， ，
∴ ，
∴二面角 的大小为 ．
18. （1） 设数列 的公差为 ，
令 ，得 ，所以
令 ，得 ，所以
2020届天一大联考高三阶段性考试(二)数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届天一大联考高三阶段性考试（二）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{}23{10},1A x B y y x x=-<==+，则()R A B =I ð（ ） A ．{01}x x << B ．{13}x x ≤< C ．{13}x x << D ．{03}x x ≤<答案：A根据分式不等式的解法以及二次函数的值域分别求解,A B ,再求解即可. 解： 由310x-<,得03x <<,即{|03}A x x =<<,由211y x =+…,得{|1}B y y =…,所以{}|1R B x x =<ð,故()R A B =I ð{01}x x <<. 故选：A 点评：本题考查集合的表示､运算以及不等式的解法,考查运算求解能力以及化归与转化思想. 2．下列命题中，真命题是（ ）A ．0x R ∃∈，使得22001sin 2019cos 20192x x += B ．0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin cos x x < C ．0x R ∃∈，使得2001x x +=- D ．1(1,),0x x x∀∈+∞-> 答案：D根据存在性和任意性的定义进行判断即可. 解：因为x ∀∈R ，22sin 2019cos 20191x x +=，故A 是假命题；当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，sin cos x x „，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos x x >，故B 是假命题；x ∀∈R ，221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，故C 是假命题；因为1x >，所以1(0,1)x ∈，所以10x x->，故D 是真命题． 故选：D 点评：本题考查逻辑联结词、推理与证明，考查推理论证能力以及化归转化思想． 3．已知0.10.520190.12,0.5,log 0.1a b c ===，则（ ） A ． a b c >> B ． c a b >>C ． a c b >>D ． c b a >>答案：B分别计算,a b 的大致范围,利用指数函数的单调性,再计算得2019c =判断即可. 解： 因为0.12(1,2)a =∈,10.520.52b -==,根据指数函数2x y =的单调性,知a b >.又20190.1log 0.12019c ==,所以b a c <<.故选：B 点评：本题考查指对数的性质,考查推理论证能力以及函数与方程思想.4．已知向量(1,2),2(3,1)a a b =-+=-r r r，则b =r （ ）A ．B ．5C ．D ．2答案：A根据平面向量线性运算的坐标表示公式，通过解方程组求出向量b r的坐标，再根据平面向量模的坐标表示公式进行求解即可. 解：设(,)b x y =r ，所以2(2,4)a b x y +=+-+r r ．因为2(3,1)a b +=-r r ，所以23,4 1.x y +=-⎧⎨-+=⎩解得5,5.x y =-⎧⎨=⎩所以(5,5)b =-r ，所以||b ==r ．故选：A 点评：本题考查向量的坐标运算和模，考查运算求解能力以及方程思想．5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下表述：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派出7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，则前3天共分发大米（ ） A ．234升 B ．468升C ．639升D ．903升答案：C根据题意，得到等差数列的首项164a =，公差7d =，从而求出其前3项的和，再求出3共分发的大米，得到答案. 解：由题意可知每天派出的人数构成等差数列， 记为{}n a ，且164a =，公差7d =， 则前3项和33236472132S ⨯=⨯+⨯=， 则前3天共分发大米2133639⨯=（升）， 故选：C. 点评：本题主要考查等差数列的前n 项和公式，属于简单题. 6．函数：3()10ln ||f x x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C先判断函数的奇偶性,再根据当01x <<时,()f x 的正负判断排除即可. 解：因为3()10ln ||f x x x =-,33()10()ln ||10ln ||()f x x x x x f x -=---==-,所以()f x 是奇函数,排除选项A,D,当01x <<时,()0f x >,排除选项B.故选：C. 点评：本题考查函数的图象与性质,考查推理论证能力以及数形结合思想.7．已知α为第三象限角sin(2019)3πα-=-，则2sin 2cos 1αα++=（ ）A ．139BC ．-D ．139-答案：A根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式、二倍角的正弦公式进行求解即可. 解：因为sin(2019)πα-=sin 3α=-．又因为α为第三象限角，所以2cos 3α=-．所以2222213sin 2cos 12sin cos cos 121.3339ααααα⎛⎛⎫⎛⎫++=++=⨯-⨯-+-+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A 点评：本题考查三角函数的恒等变换和同角三角函数的关系，考查数学运算求解能力． 8．已知函数()g x 是R 上的奇函数，当 0x <时，()ln(1)g x x =--，且3,0()(),0x x f x g x x ⎧≤=⎨>⎩，若2(2)()f x f x ->，则实数的取值范围是（ ）A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(2,1)--D ．(2,1)-答案：D根据奇偶性求解当0x >时()g x 的解析式,再根据函数()f x 的单调性求解即可. 解：若0x >,则0x -<,因为()g x 是R 上的奇函数,所以()()ln(1)g x g x x =--=+,所以3,0,()ln(1),0,x x f x x x ⎧=⎨+>⎩…则函数()f x 是R 上的增函数,所以当()22()f x f x ->时,22x x ->,解得21x -<<. 故选：D 点评：本题考查函数的性质,考查运算求解能力以及化归转化思想.9．已知,x y 满足约束条件24030220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则目标函数22x y z -=的最大值为（ ）.A ．128B ．64C ．164D ．1128答案：B画出可行域,再求解2x y -的最大值即可. 解：不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示.设2x y μ=-,因为函数2xy =是增函数,所以μ取最大值时,z 取最大值.易知2x y μ=-在A 点处取得最大值.联立220,30x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得4,1.x y =⎧⎨=-⎩即(4,1)A -.所以max 42(1)6μ=-⨯-=,所以6max 264z ==.故选：B 点评：本题考查线性规划,考查化归与转化思想以及数形结合思想. 10．函数()2cos()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的一个单调递减区间为（ ）A ．,24ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．2,32ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：B根据余弦型函数的最高点和零点求出最小正周期，根据最小正周期公式求出ω的值，再根据最高点的坐标，求出ϕ的值，这样求出余弦型函数的解析式，根据解析式求出单调递减区间，四个选项逐一判断即可. 解：由图知，函数()f x 的最小正周期54126T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭．因为0>ω，所以2ππω=，得2ω=．所以()2cos(2)f x x ϕ=+．因为点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭在图象上，所以cos 216πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭．因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由222()3k x k k ππππ-+∈Z 剟，得2()63k x k k ππππ++∈Z 剟．只有22,,()3263k k k ππππππ⎡⎤⎡⎤--⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z . 故选：B 点评：本题考查余弦型函数的图象与性质，考查推理论证能力以及数形结合思想． 11．已知菱形ABCD 的边长为4，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点2DF AF =-u u u r u u u r，则AE BF ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．24B ．7-C ．10-D ．12-答案：D根据平面向量的基本定理,将AE BF ⋅u u u r u u u r用基底,AB AD u u u r u u u r表达,再根据平面向量的数量积公式求解即可. 解：由已知得13AF AD =u u u r u u u r ,12BE BC =u u u r u u u r ,AD BC =u u u r u u u r,所以1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,13BF AF AB AD AB =-=-u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r .因为在菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,所以120BAD ∠=︒.又因为菱形ABCD 的边长为4,所以1||||cos1204482AB AD AB AD ⎛⎫⋅=⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以1123AE BF AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111||||16(8)16126666AB AB AD AD --⋅+=--⨯-+⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：D 点评：本题考查平面向量的线性运算及向量的数量积,考查推理论证能力以及数形结合思想.12．已知函数32()232010f x x ax bx =-++的导函数()f x '的图象关于直线1x =对称．若0[3,5]x ∃∈使得0()2020f x ≥成立，则实数b 的取值范围为（ ）． A ．10,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,6)-∞-C ．[6,)-+∞D ．10,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭答案：C对函数进行求导，根据对称轴求出a 的值，根据存在性的定义，结合函数单调性的性质进行求解即可. 解：依题意，得2()623f x x ax b '=-+．因为函数()f x '的图象关于直线1x =对称，所以2112a--=，解得6a =，所以32()2632010f x x x bx =-++．因为0[3,5]x ∃∈使得()02020f x …成立，即使得3200026320102020x x bx -++…成立，所以[3,5]x ∈时，2min233103223b x x ⎡⎤⎛⎫--++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦…．设223310()3223g x x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，因为函数()g x 在[3,5]上单调递减，所以当5x =时，函数()g x 在[3,5]上取得最小值为6-，所以实数b的取值范围为[6,)-+∞． 故选：C 点评：本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想．二、填空题13．若函数4()32xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是________．答案：17,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．根据零点存在原理进行求解即可. 解：由条件可知函数()f x 在(1,2)上单调递增，所以(1)(2)0f f ⋅<，即(342)(922)0a a ----<，解之得1722a -<<．所以实数a 的取值范围是17,22⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故答案为：17,22⎛⎫- ⎪⎝⎭点评：本题考查零点存在原理的应用，考查运算求解能力．14．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知5,6a c ==，cos 45B =，则sin A =______.答案：13根据余弦定理求得b =再根据同角三角函数公式求解得3sin 5B =,再利用正弦定理求解sin A 即可. 解：由余弦定理,得2222cos 13b a c ac B =+-=.所以b =.又由cos 45B =,(0,)B π∈得3sin 5B =.由正弦定理得5sin 5A =.解得sin 13A =.点评：本题考查正弦定理､余弦定理在解三角形中的应用,考查运算求解能力. 15．已知821(0,0)a b a b +=>>，则ab 的最大值为________. 答案：164根据821(0,0)a b a b +=>>配凑出18216ab a b =⨯⨯再利用基本不等式求解即可. 解：211821821616264a b ab a b +⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭…,当且仅当116a =,14b =时取等号,所以ab 的最大值为164. 故答案为：164点评：本题考查基本不等式的应用,考查运算求解能力和化归与转化思想.16．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知114,29(2)n n a a a n -==-+≥.若对任意的偶数,n ,(3)4n n N S n λ*∈-≥恒成立，则实数λ的最小值为____________.答案：8根据所给的递推公式构造等比数列{}3n a -,继而求得{}n a 的通项公式1132n n a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,根据分组求和可得211332nn S n ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,再代入(3)4n S n λ-≥化简得解：由数列的递推公式,得()()1233n n a a --=--,即()11332n n a a --=--.又1310a -=≠,所以13132n n a a --=--,则数列{}3n a -是首项为131a -=,公比为12-的等比数列,故11312n n a -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭,所以1132n n a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.分组求和可得211332nn S n ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,题中的不等式即211432nλ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦…. 因为n 为偶数,所以不等式等价于211432n λ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭…,整理得3462111122n nλ⨯=--…, 设6()112n f n =-,则因为311142n ≤-<,故668112n<≤-.所以()8f n ≤,故8λ…. 故要使不等式对任意的正偶数n 都成立,λ的最小值为8.故答案为：8 点评：本题考查数列的递推公式､等比数列的前n 项和公式､数列的性质,考查推理论证能力以及化归转化思想.三、解答题17．已知:p 指数函数()(21)xf x a =-在R 上单调递减，:q 关于x 的方程223210x ax a -++=的两个实根均大于0.若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围. 答案：1,1[2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U . 求出:p 112a << ，:q a ＞2，由“p 或q ”为真命题，“p 且q 为假命题，得p 真q 假，或p 假q 真，由此能求出实数a 的取值范围． 解：若p 真，则()(21)xf x a =-在R 上单调递减.所以0211a <-<，即112a << 若q 真，令22()321g x x ax a =-++，则应满足()222(3)421021030a a a a ⎧--+≥⎪⎪+>⎨⎪>⎪⎩，解得2a ≥因为“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，所以p 真q 假或者p 假q 真.①若p 真q 假，则1122a a ⎧<<⎪⎨⎪<⎩所以112a <<.②若p 假q 真，则1122a a a ⎧≤≥⎪⎨⎪≥⎩或，所以2a ≥. 综上，实数a 的取值范围为1,1[2,)2⎛⎫+∞⎪⎝⎭U . 点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的单调性、一元二次方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知角,,B A C 成等差数列．（1）若ABC V的外接圆半径为a ；（2）若cos cos 2c B b C +=，求ABC V 的面积的最大值．答案：（1）6；（2（1）根据三角形内角和定理，结合等差数列的性质、正弦定理进行求解即可；（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式、基本不等式进行求解即可.解：（1）因为ABC V 中，角B ，A ，C 成等差数列，所以2A B C =+．又因为A B C π++=，所以3A π=．因为ABC V的外接圆半径为62a ==． （2）由222222cos cos 2222a c b a b c c B b C c b ac ab+-+-+=⇒⋅+⋅=，可得2a =． 由（1）的解题过程及余弦定理2222cos a b c bc A =+-得224b c bc +-=． 由222b c bc +…可得04bc <„，所以ABC V的面积1sin 2S bc A =„2b c ==时，等号成立）． 故ABC V点评：本题考查正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，考查运算求解能力．19．已知正项等比数列{}n a ，42329,6a a a a =-=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .答案：（1）13-=n n a .（2）113244n n n T ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭ (1) 设等比数列{}n a 的公比为q ,再根据基本量法求解即可.(2)代入(1)中{}n a 的通项公式可得13n n b n -=⋅,再利用错位相减求解即可. 解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ,因为数列{}n a 是等比数列,所以由429a a =,得2229a q a =.因为0n a >,所以3q =.因为326a a -=,所以226a =,即23a =,所以11a =.所以13-=n n a .（2）由（1）得13-=n n a ,所以13n n b n -=⋅. 所以01211323333n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯L , 则12331323333n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯L .两式相减,得1211311213333331322n n nn n n T n n n --⎛⎫-=++++-⨯=-⨯=-⋅- ⎪-⎝⎭L . 所以113244n n n T ⎛⎫=-⋅+⎪⎝⎭. 点评： 本题考查等比数列的性质以及错位相减求和,考查推理论证能力以及化归转化思想.20．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1113,233(2)n n n n a S S S S n --=-+=≥（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使120n a ≥成立的n 的最大值． 答案：（1）3,1,6, 2.(21)(23)n n a n n n -=⎧⎪=⎨⎪--⎩…；（2）6.（1）根据n S 是否能为零，分类讨论可以判断n S 不能为零，这样将等式两边同除以1n n S S -并整理，这样根据等差数列的定义求出n S 的通项公式，然后再利用当2n …时，1n n n a S S -=-进行求解即可；（2）由已知得到不等式，解不等式进行求解即可.解：（1）当2n …时，若0n S =，则由11233n n n n S S S S --+=，得10n S -=，这与113a S ==-相矛盾，所以0n S ≠．由11233n n n n S S S S --+=，等式两边同除以1n n S S -并整理，得11123n n S S --=-． 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1113S =-，公差23d =-的等差数列． 所以321n S n -=-． 所以当2n …时，13362123(21)(23)n n n a S S n n n n --=-=+=----． 又因为13a =-，不符合上式，所以3,1,6, 2.(21)(23)n n a n n n -=⎧⎪=⎨⎪--⎩… （2）由（1）知3,1,6, 2.(21)(23)n n a n n n -=⎧⎪=⎨⎪--⎩… 易知使不等式成立的2n …．所以由题意，得61(21)(23)20n a n n =--…，整理，得2483120n n -+„．所以2 6.5n 剟． 所以使120n a …成立的n 的最大值是6． 点评：本题考查数列的前n 项和与通项的关系、数列的递推公式，考查推理论证能力以及化归转化思想．21．已知函数3()8cos 3cos 212cos f x x x x =--（1）设正实数T 满足()(0)f T f =，求T 的最小值；（2）当,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域． 答案：（1）2π；（2）713,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． （1）利用余弦的二倍角公式把函数的解析式化成关于cos x 的形式，根据()(0)f T f =，结合因式分解可以求出T 的值；（2）利用换元法，结合导数进行求解即可.解：（1）由题意得()3232()8cos 32cos 112cos 8cos 6cos 12cos 3f x x x x x x x =---=--+． 由()(0)f T f =可得324cos 3cos 6cos 50T T T --+=，即2224cos (cos 1)cos 6cos 54cos (cos 1)(cos 1)(cos 5)T T T T T T T T -+-+=-+--()22(cos 1)4cos cos 5(cos 1)(4cos 5)0T T T T T =-+-=-+=．所以cos 1T =或5cos 4T =-． 5cos 4T =-显然不成立，所以cos 1T =． 所以()*2T k k π=∈N ，所以T 的最小值为2π．（2）由（1）得32()8cos 6cos 12cos 3f x x x x =--+． 设cos t x =，32()86123g t t t t =--+，所以2()241212g t t t '=--． 因为,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1cos 1,2t x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦． 由()0g t '=得12t =-或1t =，由()0g t '>得12t <-或1t >，由()0g t '<得112t -<<． 所以()g t 在11,2⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．又11322g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，(1)1g -=，1722g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以713(),22g t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即()f x 的值域为713,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 点评：本题考查三角恒等变换与三角函数的性质，以及利用导数研究函数性质，考查运算求解能力、推理论证能力以及转化与化归的思想．22．已知函数2()()ln ,f x x a x a R =-∈ （1）若3a e =，求()f x 的单调区间；（2）当(1,]x e ∈时，不等式()2e f x ≤恒成立，求a 的取值范围．1.65≈答案：（1）()f x 的单调递增区间为(0,)e 和(3,)e +∞，单调递减区间为(,3)e e ；（2）e ⎡-⎢⎣． （1）对函数进行求导，再通过构造新函数，根据新函数的零点结合()f x 的导函数进行求解即可；（2）对函数()f x 进行求导，构造新函数，结合新函数的正负性结合()f x 的导函数可以判断出函数()f x 的单调性，然后根据题意，列出不等式组，解不等式组即可. 解：（1）若3a e =，则2()(3)ln f x x e x =-．2(3)3()2(3)ln (3)2ln 1x e e f x x e x x e x x x -⎛⎫'=-+=-+- ⎪⎝⎭． 设3()2ln 1e g x x x=+-． 易知函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，且()0g e =，所以e 是()g x 的唯一零点．所以当(0,)x e ∈时，()0f x '>；(,3)x e e ∈时，()0f x '<；(3,)x e ∈+∞时，()0f x '>．所以()f x 的单调递增区间为(0,)e 和(3,)e +∞，单调递减区间为(,3)e e ．（2）由题意得2()()2e f e e a =-…，解得22e a e -+2()()2()ln ()2ln 1x a a f x x a x x a x x x -⎛⎫'=-+=-+- ⎪⎝⎭． 设()2ln 1a h x x x=+-，则(1)10h a =-<，()2ln 0h a a =>，且2()33e a h e ee =--…20=>． 因为()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以()h x 存在唯一零点0x ，且01x a <<，01x e <<．从而当()00,x x ∈时，()0f x '>；()0,x x a ∈时，()0f x '<；(,)x a ∈+∞时，()0f x '>．所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增． 要使()2e f x „对任意(1,]x e ∈恒成立，只需()()20002ln ,2()().2e f x x a x e f e e a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②„„ 由()0002ln 10a h x x x =+-=，得0002ln a x x x =+．③ 将③代入①中，整理得2300ln 8e x x „．因为01x >，注意到23ln y x x =在(1,)+∞上单调递增，故01x <„再由③以及2ln y x x x =+在(1,)+∞上单调递增，得1a <„．由②解得22e a e -+，所以2e a -． 所以a的取值范围为e ⎡-⎢⎣． 点评：本题考查导数的计算、利用导数研究函数的单调性和极值以及解决不等式恒成立问题，考查运求解能力和推理论证能力．。
天津市南开区2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷含解析
天津市南开区2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为( ) A ．－60 B ．240 C ．－80 D ．180【答案】D 【解析】 【分析】求()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项，可转化为求62x ⎫⎪⎭展开式中的常数项和31x 项，再求和即可得出答案. 【详解】由题意，62x ⎫⎪⎭中常数项为2426260C x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，62x ⎫⎪⎭中31x 项为4246321240C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项为：3x ⨯31240160180x-⨯=. 故选：D 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.2．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（ ）A ．12B ．2C D ．3【答案】B 【解析】 【分析】通过抛物线的定义，转化PF PN =，要使||||PF PA 有最小值，只需APN ∠最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值． 【详解】解：由题意可知，抛物线24y x =的准线方程为1x =-，(1,0)A -，过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，由抛物线的定义可知PF PN =，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，||||PF PA 有最小值，则APN ∠最大，即PAF ∠最大，就是直线PA 的斜率最大， 设在PA 的方程为：(1)y k x =+，所以2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩， 解得：2222(24)0kx k x k -++=，所以224()2440k k ∆=--=，解得1k =±， 所以45NPA ∠=︒，||2cos ||2PF NPA PA =∠=． 故选：B ．【点睛】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题．3．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可. 【详解】A ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等差数列，但是此时1k =不成立，故本说法不正确；B ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等比数列，但是此时0t =不成立，故本说法不正确；C ：当1k =时，因此有+1n n n n a a ka t a t -=+-==常数，因此{}n a 是等差数列，因此当{}n a 不是等差数列时，一定有1k ≠，故本说法正确；D ：当 0t a =≠时，若0k =时，显然数列{}n a 是等比数列，故本说法不正确. 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线的右支于点P ，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l 相切，切点为H ，若113F P F H =，则双曲线C 的离心率为（ ） AB．C．D【答案】A 【解析】 【分析】在12PF F ∆中，由余弦定理，得到2||PF ，再利用12||||2PF PF a -=即可建立,,a b c 的方程. 【详解】由已知，1||HF b ===，在12PF F ∆中，由余弦定理，得2||PF ===1133PF HF b ==，12||||2PF PF a -=，所以32b a =，32b a ⇒=2e =∴=， 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算问题，处理双曲线离心率问题的关键是建立,,a b c 三者间的关系，本题是一道中档题.5．已知实数,x y 满足约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A ．-5B ．2C ．7D ．11【答案】A 【解析】 【分析】根据约束条件画出可行域，再将目标函数化成斜截式，找到截距的最小值. 【详解】由约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，画出可行域ABC V 如图3z x y =+变为3y x z =-+为斜率为-3的一簇平行线，z 为在y 轴的截距， ∴z 最小的时候为过C 点的时候，解3020x y x y -+=⎧⎨+=⎩得21x y =-⎧⎨=⎩所以()2,1C -，此时()33215z x y =+=⨯-+=- 故选A 项【点睛】本题考查线性规划求一次相加的目标函数，属于常规题型，是简单题.6．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为（ ）A 10B ．3C 5D ．2【答案】A 【解析】 【分析】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为b x y c a =-，联立方程得到()312222ab y y b a c +=-，()2412222a b y y b a c=-，根据向量关系化简到229b a =，得到离心率.设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为bx y c a=-. 联立2222,1,b x y c a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩整理得()44232420b a y ab cy a b --+=， 则()()3241212222222,ab a b y y y y b a c b a c +==--.因为11122OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r，所以P 为线段1QF 的中点，所以212y y =，()()()()22622221222222224124942a b b a c y y b y y b a b a c a b -+===⋅--，整理得229b a =， 故该双曲线的离心率10e =. 故选：A .【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.7．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．356B ．328C ．314D ．14【答案】C 【解析】分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解. 【详解】由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是233C =；仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是133C =，于是所求的概率2833314P C +==． 故选：C 【点睛】本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题. 8．已知复数z 满足i z11=-，则z =（ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+iD ．1122i --【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的代数运算法则化简即可得到结论. 【详解】由i z11=-，得()()11111111222i i z i i i i ++====+--+， 所以，1122z i =-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题. 9．下列结论中正确的个数是（ ）①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 通项公式为()n a f n =，则该数列是等差数列； ②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则//l α； ③在ABC ∆中，“cos cos A B >”是“B A >”的必要不充分条件； ④若0,0,24a b a b >>+=，则ab 的最大值为2. A ．1B ．2C ．3D ．0【解析】 【分析】根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可； 【详解】解：①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 的通项公式为()n a f n =， 可得1(n n a a k k +-=为一次项系数），则该数列是等差数列，故①正确；②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则l 与α可以相交或平行，故②错误；③在ABC ∆中，(),0,B A π∈，而余弦函数在区间()0,π上单调递减，故 “cos cos A B >”可得“B A >”，由“B A >”可得“cos cos A B >”，故“cos cos A B >”是“B A >”的充要条件，故③错误；④若0,0,24a b a b >>+=，则4222a b a b =+≥⋅，所以2ab ≤，当且仅当22a b ==时取等号，故④正确；综上可得正确的有①④共2个； 故选：B 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．10．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（ ）A ．该市总有 15000 户低收入家庭B ．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C ．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D ．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户 【答案】D 【解析】 【分析】根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案. 【详解】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%， 则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A 正确，该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B 正确， 该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C 正确， 该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D 错误． 故选：D. 【点睛】本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.11．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12B．4C．2log D．2【答案】A 【解析】 【分析】首先()f x 的单调性，由此判断出11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，由()()f a f b =求得,a b 的关系式.利用导数求得2log ab 的最小值，由此求得ab 的最小值. 【详解】由于函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，所以()f x 在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在[]1,2上递增.由于()()()f a f b a b =<，()212112log 5,22488f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，令122log 4x +=，解得14x =，所以11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，且122log 2b a +=，化简得2log 22b a =-，所以2222log log log 22log b ab a b b =+=-+，构造函数()()222log 12xg x x x =-+<≤，()2'112ln 22ln 2ln 2ln 2x xx g x x x -⋅⋅=-+=.构造函数()()212ln 212x h x x x =-⋅⋅<≤，()()'21ln 22ln 20x h x x =-+⋅⋅<，所以()h x 在区间(]1,2上递减，而()2112ln 2120.480.040h =-≈-⨯=>，()2218ln 2180.48 2.840h =-≈-⨯=-<，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =.所以()'g x 在()01,x 上大于零，在()02x ,上小于零.所以()g x 在区间()01,x 上递增，在区间()02x ,上递减.而()()2210,222log 21g g ==-+=-，所以()g x 在区间(]1,2上的最小值为1-，也即2log ab 的最小值为1-，所以ab 的最小值为1122-=. 故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.12．已知x,y 满足不等式组2202100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则点(),P x y 所在区域的面积是( )A ．1B ．2C ．54D ．45【答案】C 【解析】 【分析】画出不等式表示的平面区域，计算面积即可. 【详解】不等式表示的平面区域如图：直线220x y +-=的斜率为2-，直线21x y --的斜率为12，所以两直线垂直，故BCD ∆为直角三角形，易得(1,0)B ，1(0,)2D -，(0,2)C ，52BD =，5BC =115552224BCD S BD BC ∆=⋅=⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届天津市南开区高三基础训练数学(理)试题Word版含解析
2020届天津市南开区高三基础训练数学（理）试题一、单选题1．设集合，，则等于（）. A．B．C．D．【答案】D【解析】所以，故选D2．若变量满足约束条件则的最小值为（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：画出约束条件表示的可行域，如图，平移直线，直线经过点时，取得最大值，故选C．【考点】线性规划．3．下列判断错误的是（）A．若为假命题，则至少之一为假命题B ．命题“，”的否定是“”C ．若向量且，则是真命题 D ．若，则否命题是假命题【答案】C 【解析】, 若为假命题，则，至少之一为假命题，正确；，命题“，”的否定是“，”，正确；，且，则是真命题，不一定正确，例如当时；，若，则的否命题是，则是假命题，时，大小关系是任意的； 故答案选4．下列函数中，即是奇函数又是增函数的为（ ） A ．3ln y x = B ．2y x =- C ．y x x = D ．1y x -=【答案】C【解析】根据奇函数定义域的特点，奇函数、偶函数的定义，二次函数、分段函数，及反比例函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项． 【详解】A ．y=lnx 3的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；B ．y=-x 2为偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；C ．y=x|x|的定义域为R ，且（-x ）|-x|=-x|x|；∴该函数为奇函数；y x x =22,0,0x x x x ⎧≥=⎨-<⎩,∴该函数在[0，+∞），（-∞，0）上都是增函数，且02=-02；∴该函数在R 上为增函数，∴该选项正确；D.1y x=在定义域上没有单调性，∴该选项错误． 故选：C ．【点睛】考查奇函数、偶函数的定义，奇函数定义域的对称性，以及二次函数、分段函数，和反比例函数的单调性．5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】几何体为一个四棱锥（高为，底面为长位，宽为3的矩形）与一个半圆柱（半圆半径为2，高为3）的组合体，所以条件为选A.6．关于x 的方程20ax x a -+=有四个不同的解，则实数a 的值可能是（ ）.A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】A【解析】首先将原问题转化为两个函数有四个交点的问题，然后结合函数的性质得到a 的取值范围即可确定a 的可能的值. 【详解】将方程20ax x a -+=整理变形可得：2||1x a x =+， 则方程20ax x a -+=有四个不同的解等价于函数y a =与函数2||1x y x =+有四个不同的交点，注意到函数2||1x y x =+是定义在R 上的偶函数，且0x >时，2111x y x x x==++，结合对勾函数的性质和复合函数的性质可知函数2||1x y x =+在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，当1x =时，2||112x y x ==+， 据此绘制函数图像如图所示，结合函数图像可知满足题意的实数a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭，结合选项可知：实数a 的值可能是14. 故选：A . 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性，由函数零点个数确定参数的取值范围的方法，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．以双曲线上一点为圆心作圆，该圆与轴相切于的一个焦点，与轴交于两点，若，则双曲线的离心率是（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】首先确定点M的坐标，然后利用几何关系得到a,b,c的齐次方程，最后由离心率的方程可得双曲线的离心率.【详解】不妨设点M位于第一象限，由双曲线的性质可得，由圆的弦长公式可得：，结合可得，整理变形可得：，即，双曲线中，故.故选：B.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．8．已知，，若对，，使得成立，若在区间上的值域为，则实数的取值不可能是（）. A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意首先确定函数的值域，然后数形结合得到关于的不等式，求解不等式可得的取值范围，据此可得选项.【详解】，其中，由题意可知：，即：，则函数的值域为的子集，设函数的最小正周期为，在区间上的值域为，则：，即：，解得.结合选项可知实数的取值不可能是.故选：D.【点睛】本题主要考查双量词问题的处理方法，三角函数的图像与性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题9．随机抽取100名年龄在年龄段的市民进行问卷调査，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在年龄段抽取的人数为__________．【答案】2.【解析】分析：根据频率分布直方图，求出样本中不小于40岁的人的频率与频数，再求用分层抽样方法抽取的人数.详解：根据频率分布直方图，得样本中不小于40岁的人的频率是，所以不小于40岁的人的频数是；从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，在年龄段抽取的人数为，故答案为2.点睛：该题考查的是有关频率分布直方图的问题，在解题的过程中，需要时刻关注直方图的意义，以及相关的公式，注意频率、频数以及样本容量之间的关系，再者就是抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，从而求得结果.10．若为实数，且，则____________.【答案】4【解析】由题意结合复数的运算法则和复数相等的充分必要条件确定a的值即可.【详解】由题意可得：，结合复数相等的充分必要条件可得：.故答案为：4．【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为________________。
天津市南开区2019-2020学年高考数学最后模拟卷含解析
天津市南开区2019-2020学年高考数学最后模拟卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．要得到函数2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数2cos2y x =的图象 A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】先将2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化为2cos 26π⎡⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x ，根据函数图像的平移原则，即可得出结果. 【详解】因为2sin 22cos 22cos 2636y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以只需将2cos2y x =的图象向右平移6π个单位. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型.2．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA =E 为PC的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ） A．39-B．39C． D．5【答案】B 【解析】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用cos ,BE PD BE PD BE PD⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 即可得解. 【详解】Q PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，∴如图建立空间直角坐标系，由题意：()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,0,5P ，()0,2,0D ，Q E 为PC 的中点，∴51,1,2E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. ∴51,1,BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()0,2,5PD =-u u u r ，∴1132cos ,133BE PD BE PD BE PD-⋅===-⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为cos ,BE PD u u u r u u u r即为1339.故选：B.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.3．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．4．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=【答案】D 【解析】 【分析】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，可得最小正周期T π=，从而求得ω，得到函数的解析式，又因为当3x π=时，226x ππ-=，由此即可得到本题答案. 【详解】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π， 所以函数()y f x =的最小正周期T π=，则22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当3x π=时，226x ππ-=， 所以3x π=是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴， 故选：D 【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.5．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221nn N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A ．215B ．15C ．415D ．13【答案】B 【解析】 【分析】基本事件总数15n =，能表示为两个不同费马素数的和只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个，根据古典概型求出概率．【详解】在不超过30的正偶数中随机选取一数，基本事件总数15n =能表示为两个不同费马素数的和的只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个 则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是31155P == 本题正确选项：B 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题．6．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a r 、b r 、c r，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=r r r r r r r r，则（ ）A ．max372a c+-=r r B ．max372a c-+=r r C ．min37a c+-=r r D ．min37a c-+=r r 【答案】A 【解析】 【分析】设θ为a r 、b r 的夹角，根据题意求得3πθ=，然后建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==r u u u r ，()1,3b OB ==r u u u r ，(),c OC x y ==r u u u r，根据平面向量数量积的坐标运算得出点C 的轨迹方程，将a c -r r 和a c +r r转化为圆上的点到定点距离，利用数形结合思想可得出结果.【详解】由已知可得cos 2a b a b θ⋅=⋅=r r r r ，则1cos =2θ，0θπ≤≤Q ，3πθ∴=，建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==r u u u r ，()1,3b OB ==r u u u r ，(),c OC x y ==r u u u r，由()22c a b c ⋅+-=r r r r，可得()(),42322x y x y ⋅-=，即224222x x y -+-=，化简得点C 的轨迹方程为()22314x y ⎛-+= ⎝⎭，则a c -=r r ，则a c -r r 转化为圆()22314x y ⎛-+-= ⎝⎭上的点与点()2,0的距离，maxa c ==∴-r r，min a c ==-r r ，a c +=r ra c +r r 转化为圆()223124x y ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭上的点与点()2,0-的距离，max22a c==∴+r r，m 22im a c ==+r r . 故选：A. 【点睛】本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.7．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ）附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=„，()220.9544P X μσμσ-<+=„.A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.9544【答案】C 【解析】 【分析】根据服从的正态分布可得80μ=，5σ=，将所求概率转化为()2P X μσμσ-<≤+，结合正态分布曲线的性质可求得结果. 【详解】由题意，80μ=，5σ=，则()75850.6826P X <=„，()70900.9544P X <=„， 所以()()185900.95440.68260.13592P X <=⨯-=„，()75900.68260.13590.8185P X <=+=„. 故果实直径在(]75,90内的概率为0.8185. 故选：C 【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题. 8．把函数()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()()0g x m m ->是偶函数，则实数m 的最小值是（ ）A ．512πB ．56π C ．6π D ．12π【答案】A 【解析】 【分析】先求出()g x 的解析式，再求出()()0g x m m ->的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数m 满足的等式，从而可求其最小值. 【详解】()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，所得图象对应的函数解析式为()2sin 2sin 2263g x A x A x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()2sin 223g x m A x m π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭. 令22232x m k πππ--=+，k Z ∈，解得7122k x m ππ=++，k Z ∈. 因为()y g x m =-为偶函数，故直线0x =为其图象的对称轴， 令07122ππ++=k m ，k Z ∈，故7122k m ππ=--，k Z ∈， 因为0m >，故2k ≤-，当2k =-时，min 512m π=. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量x 做加减，比如把()2y f x =的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为()()2122y f x f x =-=-⎡⎤⎣⎦，另外，如果x m =为正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ图象的对称轴，则有()=±f m A ，本题属于中档题．9．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ）【解析】【分析】以O为圆心，以OF为半径的圆的方程为222x y c+=，联立22222221x y cx ya b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，可求出点222,a cb bAc⎛⎫+⎪⎪⎝⎭，则22243bca c b=+，整理计算可得离心率.【详解】解：以O为圆心，以OF为半径的圆的方程为222x y c+=，联立22222221x y cx ya b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取第一象限的解得222a c bxcbyc⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即222,a cb bAc c⎛⎫+⎪⎪⎝⎭，则22243bca c b=+，整理得()()22229550c a c a--=，则22519ca=<（舍去），225ca=，5cea∴==.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.10．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）【解析】 【分析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】正方体的面对角线长为22，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 即最大水面高度为2，故选B. 【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．11．为计算23991223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）A ．100i <B ．100i >C ．100i ≤D ．100i ≥【答案】A 【解析】 【分析】根据程序框图输出的S 的值即可得到空白框中应填入的内容． 【详解】由程序框图的运行，可得：S ＝0，i ＝0满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝1，S ＝1，i ＝1满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝2×（﹣2），S ＝1+2×（﹣2），i ＝2满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝3×（﹣2）2，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i ＝3 …观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝99×（﹣2）99，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i ＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值，所以判断框中的条件应是i ＜1． 故选：A ． 【点睛】本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题．12．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ）AB ．2C ．4D．【答案】C 【解析】 【分析】设221212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将P 点坐标代入切线方程，抽象出直线AB 方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解. 【详解】圆22650x y y +-+=可化为22(3)4x y +-=.设221212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,l l 的斜率分别为1212,22x xk k ==， 所以12,l l 的方程为()21111:24x x l y x x =-+，即112x y x y =-，()22222:24x x l y x x =-+，即222x y x y =-，由于12,l l 都过点(,3)P t -，所以11223232x t y x t y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即()()1122,,,A x y B x y 都在直线32xt y -=-上， 所以直线AB 的方程为32xt y -=-，恒过定点(0,3)，即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4. 故选:C. 【点睛】本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届天津市南开区高考一模数学试题(word无答案)
2020届天津市南开区高考一模数学试题一、单选题(★) 1 . 设全集为，集合，，则等于（）A．B．{1，3，5，6}C．{2，4，7}D．{2，4，6}(★) 2 . 已知命题，命题，且的一个必要不充分条件是，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．(★) 3 . 为了调查学生的复习情况，高三某班的全体学生参加了一次在线测试；成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．若成绩在[60，80）的人数是16，则低于60分的人数是（）A．6B．12C．15D．18(★) 4 . 函数的部分图象可能是（）A．B．C．D．(★★) 5 . 若圆的圆心在第一象限，圆心到原点的距离为，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．B．C．D．(★★) 6 . 已知函数，设，则的大小关系是（）A．B．C．D．(★★) 7 . 已知函数.的部分图象如图所示，则的解析式为（）A．B．C．D．(★★) 8 . 已知点是抛物线与双曲线的一个交点，若抛物线的焦点为，且，则点到双曲线两条渐近线的距离之和为（）A．B．4C．D．2(★★★★) 9 . 已知函数，若方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（0，1]D．（1，+∞）二、填空题(★) 10 . 若（是虚数单位，是实数），则＝_____．(★) 11 . 二项式的展开式中，常数项为_____．(★★) 12 . 如图，在三棱柱中，是上一点，设四棱锥的体积，三棱柱的体积为，则＝_____．三、双空题(★★) 13 . 甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为；乙第一次射击的命中率为，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为．乙若射中，则不再继续射击．则甲三次射击命中次数的期望为_____，乙射中的概率为_____．四、填空题(★★★★) 14 . 已知存在正数使不等式成立，则的取值范围_____ ．五、双空题(★★★★★) 15 . 在平面四边形中，，，若，则_____；若为边上一动点，当取最小值时，则的值为_____．六、解答题(★★) 16 . 在中，分别为三个内角的对边，若的面积为，，．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）求的值．(★★★★) 17 . 在三棱柱中，⊥底面，，，为线段上一点．（Ⅰ）若，求与所成角的余弦值；（Ⅱ）若，求与平面所成角的大小；（Ⅲ）若二面角的大小为，求的值．(★★★★) 18 . 已知数列的前项和，数列满足：，.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）求．(★★★★★) 19 . 已知点是椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于两点，当直线过的下顶点时，的斜率为，当直线垂直于的长轴时，的面积为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）当时，求直线的方程；（Ⅲ）若直线上存在点满足成等比数列，且点在椭圆外，证明：点在定直线上．(★★★★★) 20 . 已知函数，其中．（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，其中是自然对数的底数，求的值：（Ⅱ）若函数是内的减函数，求正数的取值范围；（Ⅲ）若方程无实数根，求实数的取值范围．。