课时跟踪检测(九) 基本不等式

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2015-2016学年高二数学课时跟踪检测3.4《基本不等式》新人教A版必修5

课时跟踪检测(十九) 基本不等式： ab ≤a ＋b2一、选择题1．下列不等式中正确的是( ) A ．a ＋4a≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 32．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.233．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a＋2b的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6D ．84．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9D ．365．若－4<x <1，则f (x )＝x 2－2x ＋22x －2( )A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1二、填空题6．已知x 、y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________． 7．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．8．设a ＞0，b ＞0，给出下列不等式： ①a 2＋1＞a ；②⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4； ③(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9＞6a .其中恒成立的是________(填序号)．三、解答题9．(1)已知0＜x ＜12，求y ＝12x (1－2x )的最大值．(2)已知x ＜3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值． (3)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值；10.如右图，公园想建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x 米墙，(1)求x 的取值范围；(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米)．答案课时跟踪检测(十九)1．选D a ＜0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B 错，a ＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2．选B 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．3．选B ∵a ，b 是实数， ∴2a＞0,2b＞0，于是2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a ＋b＝2 23＝42，当且仅当a ＝b ＝32时取得最小值4 2.4．选B (1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋x ＋＋y 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y 即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25，故选B.5．选D f (x )＝x 2－2x ＋22x －2＝12[(x －1)＋1x －1]，又∵－4<x <1，∴x －1<0. ∴－(x －1)>0.∴f (x )＝－12[－(x －1)＋1－x －]≤－1.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝0时等号成立． 6．解析：(1)x ＋y ≥2 xy ＝2 15，即x ＋y 的最小值是2 15；当且仅当x ＝y ＝15时取最小值．(2)xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1522＝2254，即xy 的最大值是2254.当且仅当x ＝y ＝152时xy 取最大值．答案：(1)215 (2)22547．解析：因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案：[15，＋∞)8．解析：由于a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，故①恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2.∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4，故②恒成立；由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b ≥21ab，故(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，故③恒成立，当a ＝3时，a2＋9＝6a ，故④不能恒成立．答案：①②③9．解：(1)∵0＜x ＜12，∴1－2x ＞0.y ＝14·2x ·(1－2x )≤14·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116. ∴当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时，y 最大值＝116.(2)∵x ＜3，∴x －3＜0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x＋－x ＋3≤－2 43－x－x ＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号，∴f (x )的最大值为－1.(3)法一：∵x ，y ∈R ＋，∴(x ＋y )(1x ＋3y )＝4＋(y x ＋3x y)≥4＋2 3.当且仅当y x＝3xy，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 法二：∵x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ＝x ＋y 4x＋x ＋y 4y ＝1＋(y 4x ＋3x4y )≥1＋2 y 4x ·3x 4y ＝1＋32.当且仅当y 4x ＝3x4y，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．∴1x ＋3y 的最小值为1＋32. 10．解：(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x 米，则另一边长为144x米，则矩形草地所需铁丝网长度为y ＝x ＋2×144x.令y ＝x ＋2×144x≤44(x ＞0)，解得8≤x ≤36，则x 的取值范围是[8,36]．(2)由基本不等式，得y ＝x ＋288x≥24 2.当且仅当x ＝288x，即x ≈17.0时，等号成立，则y 最小值＝242≈34.0，即最少需要约34.0米铁丝网．。

2022新人教A版高一数学课时同步练习题：基本不等式

第 1 页共 10 页一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·浙江高二学业考试）已知实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的最大值是（）A ．1 BCD ．12【答案】D【解析】因为222x y xy +≥，所以222=1y x x y +≤，得12xy ≤ . 故选：D.2．（2020·江门市第二中学高一期中）若实数,a b 满足22a b +=，则93a b +的最小值是（）A ．18B ．9C ．6D ．【答案】C【解析】因为90,30a b >>，22a b +=，所以936a b +≥==，当且仅当233a b =，即1,12a b ==时取等号，所以93a b +的最小值为6，故选：C3．（2020·上海高三其他）下列不等式恒成立的是（） A ．222a b ab +≤B ．222a b ab +≥-第 2 页共 10 页C．a b +≥-D．a b +≤【答案】B【解析】A.由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；B.2222220a b ab a b ab +≥-⇒++≥，即()20a b +≥恒成立，故B 正确； C.当1,0a b =-=时，不等式不成立，故C 不正确；D.当3,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B4．（2020·全国高一）当1x >时，函数241x x y x -+=-的最小值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】依题意241x x y x -+=-4111x x =-++-，由于1,10x x >->，所以411151x x -++≥=-，当且仅当41,31x x x -==-时，等号成立. 故选B.5．（2020·浙江高一单元测试）已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a的最小值为（） A ．8B ．6C ．4D ．2第 3 页共 10 页【答案】C【解析】()11a ax yx y a x y y x⎛⎫++=+++⎪⎝⎭. 若0xy <，则0yx<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意；若0xy >，则0yx>，0x y >.①当0a <时，1ax ya y x+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥不恒成立； ③当0a >时，())211111a ax y x y a a a x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当=y 时，等号成立.所以，)219≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.故选：C.6．（2020·浙江鄞州宁波华茂外国语学校高三一模）已知实数0a >，0b >，11111a b +=++，则2+a b 的最小值是（）A．B．C ．3D ．2【答案】B第 4 页共 10 页【解析】∵0a >，0b >，11111a b +=++ ∴112(1)12(1)2(1)3[(1)2(1)]()3[12]31111b a a b a b a b a b a b +++=+++-=+++⋅+-=+++-++++≥2(1)111b a a b ++=++，即a =b =.故选B7．（多选）小王从甲地到乙地往返的速度分別为a 和()b a b <，其全程的平均速度为v ，则（）A．a v <<B．v =C2a bv +<D ．2abv a b=+ 【答案】AD【解析】设甲、乙两地之间的距离为s ，则全程所需的时间为s s a b+，22s abv s s a b a b∴==++.0b a >>2a b+<，2ab v a b ∴=<=+ 另一方面22222a b ab a b v a b a b +⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭=<=++，22220ab ab a a a v a a a b a b a b---=-=>=+++， v a ∴>，则a v <<故选：AD.8．（多选）（2020·福建省泰宁第一中学）下列各不等式，其中不正确的是（）A ．212()a a a R +>∈；B ．12(,0)x x R x x+≥∈≠；第 5 页共 10 页C2(0)ab ≥≠； D ．2211()1x x R x +>∈+. 【答案】ACD【解析】对A 项，当1a =时，212a a +=，则A 错误；对B 项，当0x >时，112x x x x +=+≥=，当且仅当1x =时，等号成立当0x <时，112x x x x +=-+≥=-，当且仅当1x =-时，等号成立，则B 正确；对C 项，当0,0a b <<0<，则C 错误；对D 项，当0x =时，22111x x +=+，则D 错误；故选：ACD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．（2020·黑龙江工农，鹤岗一中高一期末（理））若110a b<<，则不等式（1）a b ab +<；（2）a b >；（3）a b <；（4）2b aa b+>中，正确的不等式有__________个．【答案】2【解析】110a b<<，则0a <，0b <，0ab ∴>. 0a b ab +<<，（1）中的不等式正确；第 6 页共 10 页110ab ab a b⋅<⋅<，则0b a <<，（3）中的不等式错误； a a b b =-<-=，（2）中的不等式错误；0b a ->->，则1b b a a -=>-，由基本不等式可得2b a a b +>=，（4）中的不等式正确. 故答案为：2.10．（2020·江苏滨湖，辅仁高中高二期中）已知正实数,x y 满足39x y +=是______.【答案】【解析】正实数,x y，则39x y +=≥92≤，2318x y =++≤≤当93,22x y ==时等号成立.故答案为： 11．（2020·黑龙江建华齐齐哈尔市实验中学高一期中）设a b c >>且11ma b b c a c+≥---恒成立，则m 的取值范围是__________．【答案】(],4-∞【解析】因为a ＞b ＞c ，所以a-b ＞0，b-c ＞0，a-c ＞0.又()()()111124b c a b a c a b b c a b b c a b b c a b b c --⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+=-+-+=++≥ ⎪ ⎪⎣⎦------⎝⎭⎝⎭, 当且仅当b c a ba b b c--=--，即2b=a+c 时等号成立.所以m≤4.第 7 页共 10 页12．（2018·浙江高三月考）已知,a b ∈R ，222a b ab +-=，则+a b 的最大值为________，ab 的取值范围是________．【答案】 2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为,a b ∈R ，222a b ab +-=，所以222()3()4a b a b +=+-．因为22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，所以223()4()2a b a b ++≥+，解得a b -≤+≤，当且仅当a b ==222a b =+2()3ab a b ab -=+-，所以223()0ab a b =+≥+，2)823(ab a b =+≤+，解得223ab -≤≤，所以ab 的取值范围是2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．（2017·甘肃省会宁县第二中学高二期中）（1）已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值；（2）已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x＋2y 的最小值.【解析】（1）因为()()2125255255y x xx x x x =-=-=⨯⨯- 已知205x <≤，所以250x ->，所以()252552512x x x x⎛⎫+-⨯-≤= ⎪⎝⎭第 8 页共 10 页所以15y ≤，当且仅当525x x =-，即15x = 取等号，所以y ＝2x －5x 2的最大值为：15（2）因为8x ＋2y ()⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎝⎭8282101018y x x y xy x y ，当且仅当 x ＋y ＝1，82y x x y =，即21,33x y ==时，取等号，所以8x＋2y 的最小值.为18. 14．（2017·福建高三（理））已知a ，b为正实数，且11a b+=. （1）求a 2＋b 2的最小值；（2）若23()4()a b ab -≥，求ab 的值．【解析】(1)因为a ，b为正实数，且11a b+=，所以11a b +=ab ≥12(当且仅当a ＝b 2=时等号成立)．因为2212212a b ab +≥≥⨯=(当且仅当a ＝b 2=时等号成立)，所以a 2＋b 2的最小值为1.(2)因为11a b+=，所以a b +=，第 9 页共 10 页因为23()4()a b ab -≥，所以23()44()a b ab ab +-≥，即23)44()ab ab -≥，所以(ab )2－2ab ＋1≤0，(ab －1)2≤0，因为a ，b 为正实数，所以ab ＝1.15．（2020·上海高三专题练习）已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z=1，求证：（1x-1）（1y -1）（1z-1）＞8．【解析】∵x +y +z ＝1，x 、y 、z 是互不相等的正实数，∴（1x -1）（1y -1）（1z -1）y z x z x y x y z ⎛⎫+++⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞8． ∴（1x-1）（1y -1）（1z -1）＞816．（2020·江西南康中学高一月考）南康某服装厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用()04x x ≤≤万元满足131m x =-+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数；（2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？【解析】（1）由题意知：每件产品的销售价格为8162mm+⨯， ()816116281681681635611m y m m x m x x x m x x +⎛⎫∴=⋅⨯-++=+-=+--=-- ⎪++⎝⎭第 10 页共 10 页[]()0,4x ∈；（2）由()161656571574911y x x x x ⎡⎤=--=-++≤-=⎢⎥++⎣⎦，当且仅当1611x x =++，即3x =时取等号. 答：该服装厂2020年的促销费用投入3万元时，利润最大.。

高中数学课时训练(十九)基本不等式新人教A版必修5(2021年整理)

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课时跟踪检测（十九) 错误!层级一学业水平达标1．下列结论正确的是( )A．当x〉0且x≠1时，lg x＋错误!≥2B．当x>0时，错误!＋错误!≥2C．当x≥2时,x＋错误!的最小值为2D．当0<x≤2时,x－错误!无最大值解析：选B A中,当0<x〈1时，lg x〈0,lg x＋错误!≥2不成立；由基本不等式知B正确；C中，由对勾函数的单调性，知x＋错误!的最小值为错误!;D中，由函数f（x）＝x－错误!在区间（0，2］上单调递增，知x－错误!的最大值为错误!，故选B.2．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是（）A．lg(x2＋1）≥lg(2x) B．x2＋1〉2xC.1x2＋1≤1 D．x＋错误!≥2解析：选C 对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时,x2＋1＝2x,故B不成立；对于D，当x〈0时，不成立．对于C,x2＋1≥1，∴1x2＋1≤1成立．故选C.3．设a,b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是( )A。

1a＋错误!〈1 B.错误!＋错误!≥1C。

错误!＋错误!〈2 D。

错误!＋错误!≥2解析：选B 因为ab≤错误!2≤错误!2＝4，所以错误!＋错误!≥2错误!≥2错误!＝1.4．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列,则（)A.错误!〉错误!B.错误!〈错误!C.错误!＝错误!D.错误!≤错误!解析:选A 因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又因为a，b，c，d均大于0且不相等，所以b＋c〉2错误!，故错误!>错误!。

高中数学新人教A版必修5课时跟踪检测(十九)基本不等式

课时跟踪检测（十九）基本不等式： ab w a ； b层级一学业水平达标i 下列结论正确的是（）i A .当 x>0 且 X M 1 时，lg x + 》2lg X 1B. 当X >0时，迟+孑》2 1C .当X > 2时，x + -的最小值为2 1D .当Ovx w 2时，X — -无最大值1解析：选B A 中，当Ovxv1时，lg X <0 , lg x +— > 2不成立；由基本不等式知 B 正lg X确；C 中，由对勾函数的单调性，知X + -的最小值为5 ； D 中，由函数f （x ） = X — 1在区间（0,2] 1 3上单调递增，知X — 1的最大值为3故选B.X 2 2.下列各式中，对任何实数 X 都成立的一个式子是（）A . lg （x 1 2 + 1）> lg （2x ）B . X 2+ 1>2X 1 1C. P w 1 D . X + > 2X + 1X解析：选C 对于A ，当x w 0时，无意义，故 A 不恒成立；对于 B ,当X = 1时，X 2 1+ 1 = 2x ,故B 不成立；对于D ,当X <0时，不成立.对于C , X 2+ 1 > 1, /• 2. A w 1成立.故X 十1 选C.3. 设a , b 为正数，且a + b w 4,则下列各式中正确的一个是（）A .1■+ b<1 a b1 1 cda + 看 21 1 鮎+ b v24 2= 4,所以十討2新2 ; 1 = 1解析：选B 因为ab ww4. 四个不相等的正数a ,b ,c ,d 成等差数列，则（）A.宁〉bc a + d a + d 一一 C.—= bcD.—w . bc解析：选A 因为a , b , c , d 成等差数列，则 a + d = b + c ,又因为a , b , c , d 均大___ a I -j____于0且不相等，所以 b + c>2 bc ,故一厂〉,bc.a + d — B. 2 < ■bc2 85. 若 x>0, y>0，且［+ 8= 1，贝V xy 有( )1A .最大值64B .最小值64 1C .最小值2D .最小值64解析：选 D 由题意 xy= | + y Xy = 2y + 8x > ^2y 8x = ^xy,^/xy > 8,即 xy 有最小值64,等号成立的条件是 x = 4, y = 16.6. _____________________________________________________ 若 a>0， b>0，且■+ b = {Ob ，贝V a 3 + b 3的最小值为 _____________________________________ .解析：•/a>0, b>0,二应=O + b 》2\/0£，即卩ab >2，当且仅当a = b=J2时取等号， ••• a 3 + b 3> 2 ab 3> 2 2^= 4 2，当且仅当a = b = 2寸取等号，则a 3+ b 3的最小值为4 2.答案：4.27.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物 600吨，每次购买 x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是解析：由题意，一年购买600次，则总运费与总存储费用之和为6x 0x 6+ 4x = 4 9x00+ x > 8 9x° x = 240,当且仅当x = 30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时 x 的值是 30.答案：30 8.若对任意x>0, 2 | x x | 1 w a 恒成立，则a 的取值范围是x 十3X 十1解析：因为x >0，所以x + x > 2•当且仅当x = 1时取等号, 1 ” 1 1 w =—, 丄 1 十 3 2+ 3 5,x 十十3x即x 2+x x +1的最大值为5故a > 5. 答案：1，+^ /49. (1)已知x<3，求f(x)= 十x 的最大值；x — 31 3⑵已知x , y 是正实数，且 x 十y = 4,求；十y 的最小值. 解：（1） •/ x<3,所以有X x ?+ 3x + 1…x — 3<0,44• f(x)= x —3 + x =x —(x — 3)+33—x + 3— x + 3—2 ,33- x + 3=— 1,4当且仅当3—； = 3-x , 即x = 1时取等号, ••• f(x)的最大值为一1. (2) ■/ x , y 是正实数, •(x +y )x +3 = 4+ x +3x 》4+23 当且仅当y =爭即 x = 2C 3— 1), y = 2(3 — . 3)时取“=号.又 x + y = 4,故3的最小值为1+■/10.设a , b , c 都是正数，试证明不等式: 吐 + c ±a + a±b 》6. a b c证明：因为 a>0， b>0， c>0,b ac a b c所以 a +孑2,c +a 》2, b +b "2, 所以 b +b + c +c + c +b "6当且仅当 b = a c = a c = bb— ?—7 I —?a cb c即a = b = c 时，等号成立.所以吐 + c +a + a +b> 6.a b c 层级二应试能力达标1.1112.已知实数 a , b , c 满足条件 a>b>c 且a + b + c = 0, abc>0，贝U +~ + 一的值()a b c A .一定是正数 B . —定是负数 C .可能是0D .正负不确定解析：选 B 因为 a>b>c 且 a + b + c = 0, abc>0，所以 a>0, b<0, c<0，且 a =— (b +所以III +7+1=—占 + b +1,c b + c b c因为 b<0, c<0,所以 b + c < — 2 bc ,III5.当x >1时，不等式x + 口》a 恒成立，则实数a 的最大值为c),1 1 1b +『2.bc ‘ 又 b +—3-2 ；bc<0，故选 &所以—止+ b +1益21bc — 211123.已知x>0, y>0, x , a , b , y 成等差数列，x , c , d , y 成等比数列，则玄；；的最小值为(B . 12> 2 + 2= 4，当且仅当x = y 时，等号成立.4.设a , b 是实数，且a + b = 3,则2a + 2b 的最小值是(B . 4 2解析：选 B •/ a , b 是实数，••• 2a > 0,2b > 0,■/ x>1，即 x — 1>0 ,1 当且仅当x -1=□，即x =2时，等号成立. a < 3，即a 的最大值为3.1解析：x +-^x — 1 >a 恒成立？ x + x —1 min 》a ,解析：选D 由题意，知a +b = x + y , cd = xy ,所以.a +b 2= x +y 2= x 2+ '+ 2xy =cdxy xy +xy是 2a + 2b > 2 2a 2b = 22a + b = 2 , 23= 4 2，当且仅当a =b =；时取得最小值 4 2.• x + = x — 1 + ~^ + 1> x — 1 x — 1 —1 • 1- + 1 = 3,x — 1答案：31 16. _________________________________________________________ 若正数a , b 满足a + b = 1,则冇+ — 的最小值为 ___________________________________________3a 十2 3b 十2且仅当a = b =殳时等号成立）」9抽+曲字」90（而>7.答案：47•某厂家拟在2018年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量（即该产品k的年产量）x （单位：万件）与年促销费用m （m >0）（单位：万元）满足x = 3-市（k 为常数）, 如果不举行促销活动，该产品的年销售量是 1万件.已知2018年生产该产品的固定投入为 8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2018年该产品的利润y （单位：万元）表示为年促销费用 m 的函数； ⑵该厂家2018年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？2解：（1）由题意，可知当 m = 0时，x = 1,二1 = 3-k ,解得k = 2,二x = 3 — ——m + 1 8 亠 16x又每件产品的销售价格为 1.5X 連元,x⑵•/ m > 0, 辽 + (m + 1)> 2 16= 8,当且仅当一^ = m + 1，即m = 3时等号成立, m +1 m +1 yW — 8+ 29= 21 ,••• y m ax = 21. 故该厂家2018年的促销费用为 3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元.8.已知kf ，若对任意正数 x , y ,不等式3k —专x + ky > . 2xy 恒成立，求实数最小值.解：■/ x>0, y>0,•不等式3k — x + ky > .2xy 恒成立等价于3k — 疔+ k.2恒成立.又 k >1,解析: 1由 a + b = 1,知3a T 2 + 3b + 2 3b + 2+ 3a + 2 3a + 2 3b + 2 9ab+10，又(8 + 16x + m)= 4+ 8x — m+ 29(m > 0).1当 y = x 8 + 16x x — 3 — 2 m + 1 =4+ 8 + m + 1a, b€ R，贝U a2+ b2与2|ab|的大小关系是()a2+ b >2|ab| B. a2+ b2= 2|ab|a2+ b2w 2|ab| D. a2+ b2>2|ab|解析：选 A ••• a2+ b2—2|ab|= (|a|—|b|)2>0,「. a2+ b2>2|ab|(当且仅当|a|= |b|时，等号成立).。

高中数学课时跟踪检测(九)基本不等式新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题

课时跟踪检测（九）基本不等式A 级——学考水平达标练1．若0<a a ＋b2>ab >b B ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab解析：选 C ∵0<a a ＋b ，∴b >a ＋b2>ab .∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b2>ab >a .2．下列不等式一定成立的是( ) A ．3x ＋12x ≥ 6B ．3x 2＋12x2≥ 6C ．3(x 2＋1)＋12(x 2＋1)≥ 6D ．3(x 2－1)＋12(x 2－1)≥ 6解析：选B A 中x 可能是负数，不成立；B 中当且仅当3x 2＝12x 2，即x 4＝16时取等号，成立；C 中当3(x 2＋1)＝12(x 2＋1)时，(x 2＋1)2＝16，不成立；D 中x 2－1也可能是负数，不成立．故选B.3．若x >0，y >0且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1x ＋y >14B.1x ＋1y≥1 C.xy ≥2 D.1xy≥1解析：选B 若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y4＝1，∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ＋x y ≥14(2＋2)＝1，当且仅当x ＝y ＝2时，等号成立． 4．若－4<x <1，则x 2－2x ＋22x －2( )A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1解析：选D x 2－2x ＋22x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x －1)＋1x －1.又∵－4<x <1，∴x －1<0.∴－(x －1)>0. ∴x 2－2x ＋22x －2＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－(x －1)＋1－(x －1)≤－1，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝0时等号成立． 5．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4解析：选C 由题意，得a >0，b >0.∵ab ＝1a ＋2b ≥22ab＝22ab，当且仅当1a ＝2b时等号成立，∴ab ≥2 2.6．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．解析：设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4 m 3，高为1 m ，得另一边长为4xm.记容器的总造价为y 元，则y ＝4×20＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ×1×10＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，等号成立．因此当x ＝2时，y 取得最小值160，即容器的最低总造价为160元．答案：1607．已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c2的大小关系是__________________．解析：因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，所以a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b )(b －c )，当且仅当a －b ＝b －c 时，等号成立．答案：(a －b )(b －c )≤a －c28．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是________．解析：∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＋2ab ≥21ab＋2ab ≥41ab·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．答案：49．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .证明：∵a ，b ，c 都是正数， ∴bc a ，ca b ，abc也都是正数， ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc≥2b ，三式相加得2⎝⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋abc≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 10．(1)已知x <3，求4x －3＋x 的最大值； (2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值．解：(1)∵x <3， ∴x －3<0， ∴4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号，∴4x －3＋x 的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x＝3xy，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32.B 级——高考水平高分练1．某金店用一台不准确的天平(两边臂长不相等)称黄金，某顾客要购买10 g 黄金，售货员先将5 g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将5 g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金( )A ．大于10 gB ．小于10 gC ．大于等于10 gD ．小于等于10 g解析：选A 设左、右两臂长分别为b ，a ，两次放入的黄金的克数分别为x ，y ，依题意有ax ＝5b ，by ＝5a ，∴xy ＝25.∵x ＋y2≥xy ，∴x ＋y ≥10，又a ≠b ，∴x ≠y .∴x ＋y >10，即两次所得黄金大于10 g ，故选A.2．若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2的最小值为________．解析：由a ＋b ＝1，知13a ＋2＋13b ＋2＝3b ＋2＋3a ＋2(3a ＋2)(3b ＋2)＝79ab ＋10，又ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，∴9ab ＋10≤494，∴79ab ＋10≥47，故13a ＋2＋13b ＋2的最小值为47. 答案：473．已知a ，b 为正实数，且1a ＋1b＝2 2.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2＝4(ab )3，求ab 的值．解：(1)因为a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝22，所以1a ＋1b＝22≥21ab ，即ab ≥12(当且仅当a ＝b 时等号成立)．因为a 2＋b 2≥2ab ≥2×12＝1(当且仅当a ＝b 时等号成立)，所以a 2＋b 2的最小值为1.(2)因为1a ＋1b＝22，所以a ＋b ＝22ab .因为(a －b )2＝4(ab )3，所以(a ＋b )2－4ab ＝4(ab )3，即(22ab )2－4ab ＝4(ab )3，即(ab )2－2ab ＋1＝0，(ab －1)2＝0.因为a ，b 为正实数，所以ab ＝1.4．某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？解：设矩形的一边长为x m ，则另一边长为800xm ，因此种植蔬菜的区域宽为(x －4)m ，长为⎝⎛⎭⎪⎫800x －2m.由⎩⎪⎨⎪⎧x －4>0，800x－2>0，得4<x <400，所以其面积S ＝(x －4)·⎝⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3 200x≤808－22x ·3 200x＝808－160＝648(m 2)．当且仅当2x ＝3 200x，即x ＝40时等号成立．因此当矩形温室的两边长为40 m,20 m 时蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648 m 2.5．方程x 2－px －12p2＝0的两根分别为x 1，x 2且满足x 41＋x 42≤2＋2，则p ＝________.解析：由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝p ，x 1·x 2＝－12p 2，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝p 2＋1p2，x 41＋x 42＝(x 21＋x 22)2－2x 21x 22＝⎝⎛⎭⎪⎫p 2＋1p 22－12p 4≤2＋2，即p 4＋12p 4≤2，又p 4＋12p4≥2p 4·12p 4＝2，故p 4＋12p4＝2，当且仅当p 4＝12p 4时等号成立，即p ＝±182.答案：±182。

高中数学-课时跟踪检测(一)不等式的基本性质新人教A版选修

课时跟踪检测(一) 不等式的基本性质1．下列命题中不．正确的是( ) A ．若3a >3b ，则a >b B ．若a >b ，c >d ，则a －d >b －cC ．若a >b >0，c >d >0，则a d >b cD ．若a >b >0，ac >bd ，则c >d解析：选D 当a >b >0，ac >ad 时，c ，d 的大小关系不确定． 2．已知a >b >c ，则下列不等式正确的是( ) A ．ac >bc B ．ac 2>bc 2C ．b (a －b )>c (a －b )D ．|ac |>|bc |解析：选C a >b >c ⇒a －b >0⇒(a －b )b >(a －b )c . 3．(四川高考)若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c b cD.a d －1c>0.又a >b >0，故由不等式性质，得－ad >－b c>0. 所以a d b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b；②a c log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③D ．①②③解析：选D 由a >b >1，c <0，得1a <1b ，c a >c b；幂函数y ＝x c (c <0)是减函数，所以a c b －c ，所以log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，①②③均正确．5．给出四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0. 能得出1a ＜1b成立的有________(填序号)．解析：由1a <1b ，得1a －1b <0，b －a ab <0，故①②④可推得1a <1b成立．答案：①②④6．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列命题对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(填序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.解析：对于命题①，由2＝a ＋b ≥2ab ，得ab ≤1，命题①正确；对于命题②，当a ＝b ＝1时，②不成立，所以命题②错误；对于命题③，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ，由命题①知a 2＋b 2＝4－2ab ≥2，命题③正确；对于命题④，当a ＝b ＝1时，④不成立，所以命题④错误；对于命题⑤，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ，由命题①知1a ＋1b ＝2ab≥2，所以命题⑤正确．所以恒成立的是①③⑤.答案：①③⑤7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．解析：设z ＝2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，即2x －3y ＝(m ＋n )x ＋(m －n )y .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52.∴2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )．∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－2<－12(x ＋y )<12，5<52(x －y )<152.由不等式同向可加性，得3<－12(x ＋y )＋52(x －y )<8，即3<z <8.答案：(3,8)8．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .证明：∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝a －b 2a ＋b ab ，(a －b )2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b >0，ab >0.∴a －b2a ＋bab≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .9．已知－6<a <8,2<b <3，分别求2a ＋b ，a －b ，a b的取值范围．解：∵－6<a <8，∴－12<2a <16. 又20，a ≠1. (1)比较下列各式大小．①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ； ③a 5＋1与a 3＋a 2.(2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，am ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明．解：(1)由题意，知a >0，a ≠1，①a 2＋1－(a ＋a )＝a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0. ∴a 2＋1>a ＋a .②a 3＋1－(a 2＋a )＝a 2(a －1)－(a －1) ＝(a ＋1)(a －1)2＞0，∴a 3＋1>a 2＋a ， ③a 5＋1－(a 3＋a 2)＝a 3(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 2－1)(a 3－1)．当a >1时，a 3>1，a 2>1，∴(a 2－1)(a 3－1)>0. 当0<a <1时，0<a 3<1,0<a 2<1， ∴(a 2－1)(a 3－1)>0，即a 5＋1>a 3＋a 2. (2)根据(1)可得am ＋n＋1＞a m ＋a n.证明如下：a m ＋n ＋1－(a m ＋a n )＝a m (a n －1)＋(1－a n )＝(a m －1)(a n －1)．当a >1时，a m>1，a n>1，∴(a m－1)(a n－1)>0. 当0<a <1时，0<a m<1,0<a n<1， ∴(a m－1)(a n－1)>0.综上可知(a m－1)(a n－1)>0，即a m ＋n＋1>a m ＋a n.。

基本不等式课时练习-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

人教a 版基本不等式、求最大(小)值及其应用拿捏基础1.下列说法正确的是( )A.a 2+b 2≥2ab 成立的前提条件是a ≥0,b ≥0B.a 2+b 2>2ab 成立的前提条件是a,b ∈RC.a+b ≥2√ab 成立的前提条件是a ≥0,b ≥0D.a+b>2√ab 成立的前提条件是ab>0 2.已知a,b 为正实数,则“ab a+b≤2”是“ab ≤16”的( )A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3.不等式a 2+4a 2≥4中,等号成立的条件是( ) A.a=2 B.a=±2 C.a=√2 D.a=±√24.(多选)若a,b ∈R ,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A.a 2+b 2≥2ab B.a+b ≥2√ab C.1a +1b >√abD.b a +ab ≥25.(2023郑州期中)已知a>1,则a+9a−1的最小值为( ) A.5 B.6C.7D.106.已知a>b>0,则a 2+16b(a -b)的最小值为( ) A.8 B.8√2 C.16 D.16√27.(2023连云港期中)若x<23,则y=3x+1+93x−2有( ) A.最大值0 B.最小值9 C.最大值-3 D.最小值-38.(2024广东期末)已知a 2+b 2=ab+4,则a+b 的最大值为( ) A.2 B.4 C.8 D.2√2 9.(2023大庆中学期末)若-4<x<1,则x 2-2x+22x−2( )A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值-1D.有最大值-110.(多选题)已知m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式2x +my ≥4恒成立,则m 的值可以是( )A.1B.√2C.2D.2√211.某服装加工厂为了适应市场需求,引进某种新设备,以提高生产效率和降低生产成本,已知购买m 台设备的总成本为y=1200m 2+m+200(单位:万元).若要使每台设备的平均成本最低,则应购买设备( ) A.100台B.200台C.300台D.400台12.(2023山东青岛月考)(1)已知x<54,求4x-2+14x -5的最大值; (2)设x>-1,求(x+5)(x+2)x+1的最小值.13.(2024四川雅安期末)已知正实数a,b,c 满足a 2+b 2+c 2=3. (1)若a=1,证明:1b 2+1c 2≥2;(2)求ab+bc+ca的最大值.14.(2024广州期末)某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益,拟在下一年度开展促销活动,已知该款食品年销量x吨与年促销费用t万元之间满足函数关系式x=2-k(k为常数),如果不开展促销活动,年销量是1吨.已知每一年生产设备t+2折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1吨该款食品需再投入32万元的生产费用,通过市场分析,若将每吨食品的售价定为“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费用的一半”之和,则当年生产的该款食品正好能销售完.(1)求k的值;(2)将下一年的利润y(单位:万元)表示为促销费用t(单位:万元)的函数;(3)该食品企业下一年的促销费用为多少时,该款食品的年利润最大?注:利润=销售收入-生产成本-促销费用,生产成本=固定费用+生产费用.挑战高考(2022全国新高考Ⅱ)(多选)若x,y 满足x 2+y 2-xy=1,则( )A.x+y ≤1B.x+y ≥-2C.x 2+y 2≤2D.x 2+y 2≥1(2021天津高考)若a>0,b>0,则1a +ab2+b 的最小值为？（请写出解题必要步骤）。

高中数学第三章不等式3.4第1课时基本不等式课时跟踪训练含解析新人教A版必修

学习资料基本不等式［A 组学业达标]1．下列不等式正确的是（ ) A ．a ＋错误!≥2 B ．(－a )＋错误!≤－2 C ．a 2＋错误!≥2 D ．(－a ）2＋错误!2≤－2答案：C2．下列不等式中正确的是( ） A ．a ＋错误!≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C.错误!≥错误!D ．x 2＋错误!≥2错误! 解析：a 〈0，则a ＋错误!≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；a ＝4，b ＝16，则错误!〈错误!，故C 错;由基本不等式可知D 项正确．答案：D3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.错误! B ．错误! C 。

错误!D.错误!解析:由x （3－3x )＝错误!×3x (3－3x ）≤错误!×错误!＝错误!，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝错误!时等号成立．答案：B4．已知m ＝a ＋1a ＋1（a >0）,n ＝3x (x <1），则m ,n 之间的大小关系是（ )A ．m 〉nB ．m 〈nC ．m ＝nD ．m ≤n解析：因为a 〉0，所以m ＝a ＋错误!＋1≥2错误!＋1＝3，当且仅当a ＝1时等号成立．又因为x <1，所以n ＝3x <31＝3，所以m >n 。

答案：A5．已知正数a ，b 的等比中项是2，且m ＝b ＋错误!，n ＝a ＋错误!，则m ＋n 的最小值是( ） A.错误! B ．4 C 。

92D ．5解析:由题意：正数a ，b 的等比中项是2，得ab ＝4,因为m ＝b ＋错误!，n ＝a ＋错误!，所以m ＋n ＝b ＋错误!＋a ＋错误!，由ab ＝4，那么b ＝错误!, 所以b ＋错误!＋a ＋错误!＝错误!＋错误!＋a ＋错误!＝错误!＋错误!≥2错误!＝5,当且仅当错误!＝错误!即a ＝2时取等号．所以m ＋n 的最小值是5。

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1 课时跟踪检测（九）基本不等式
A 级——学考合格性考试达标练
1．下列不等式中，正确的是( )
A ．a ＋4a ≥4
B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b 2 D ．x 2＋3x 2≥2 3
解析：选D a <0，则a ＋4a
≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错，a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b 2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．
2．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是( )
A ．a ＞b ＞a ＋b 2＞ab
B ．a ＞a ＋b 2＞ab ＞b
C ．a ＞a ＋b 2＞b ＞ab
D ．a ＞ab ＞a ＋b 2＞b
解析：选B a ＝a ＋a 2＞a ＋b 2＞ab ＞b ·b ＝b ，因此B 项正确．
3．已知x <0，则x ＋1x
－2有( ) A ．最大值为0
B ．最小值为0
C ．最大值为－4
D ．最小值为－4
解析：选C ∵x ＜0， ∴x ＋1x －2＝－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤（－x ）＋1（－x ）－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1
－x
，即x ＝－1时取等号．
2
4．3x 2＋
6x 2＋1的最小值是( ) A ．3
2－3 B ．3 C ．6 2 D ．62－3
解析：选D 3(x 2＋1)＋6x 2＋1－3≥23（x 2＋1）·6x 2＋1
－3＝218－3＝62－3，当且仅当x 2＝2－1时等号成立，故选D.
5．若x >0，y >0，且2x ＋8y
＝1，则xy 有( ) A ．最大值64
B ．最小值1
64 C ．最小值12 D ．最小值64 解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.
6．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．
解析：设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4 m 3，
高为1 m ，得另一边长为4x
m. 记容器的总造价为y 元，则 y ＝4×20＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ×1×10＝80＋20⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2 x ·4x ＝160，当且仅当x ＝4x
，即x ＝2时，等号成立．因此当x ＝2时，y 取得最小值160，。