事件与概率学习中的几个问题
概率与统计题型归纳总结
概率与统计题型归纳总结在学习概率与统计的过程中，我们不可避免地要接触到各种各样的题型。
在这些题型中，有的看似简单却需要一定思考，有的则需要我们具备一定的数学基础。
本文将围绕这些题型展开，帮助大家更好地总结归纳概率与统计中的题型。
一、基本概率基本概率是概率学习中最基础的部分，要求我们计算某一事件发生的可能性，其公式为：P(A)=n(A)/n(S)。
其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A出现的次数，n(S)表示总体出现的次数。
二、条件概率条件概率是建立在基本概率之上的，要求我们在已知某一事件发生的情况下，计算其他事件发生的概率。
其公式为：P(A|B)=P(B∩A)/P(B)。
其中，P(A|B)表示在B发生的前提下，A发生的概率，P(B∩A)表示A与B同时发生的概率，P(B)表示B发生的概率。
三、贝叶斯定理贝叶斯定理是一种利用先验信息来更新后验概率的方法。
其公式为：P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)。
其中，P(A)为先验概率，P(B|A)为A发生的情况下，B发生的概率，P(B)为后验概率。
四、独立事件独立事件是指两个或多个事件，其中任意一个事件的发生与其他事件的发生无关。
其公式为：P(A∩B)=P(A)P(B)。
其中，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B各自发生的概率，P(A∩B)表示A和B同时发生的概率。
五、全概率公式全概率公式是用来计算某一事件在多种情况下的概率的公式。
其公式为：P(A)=∑(i=1)^(n)P(A|B_i)P(B_i)。
其中，B_1,B_2...B_n是一组互不相交的事件，且它们包含了所有可能的情况。
P(A)表示事件A的概率，P(A|B_i)表示在B_i发生的前提下，A发生的概率，P(B_i)表示B_i 发生的概率。
六、随机变量随机变量是指某一随机事件在其过程中所反映的变量。
在统计学中，我们常常会用随机变量来描述概率分布。
常见的随机变量有离散随机变量和连续随机变量。
小学概率问题 知识点总结
小学概率问题知识点总结概率是描述事件发生可能性的数学概念。
在小学数学中，概率是一个重要的知识点，学生通过概率问题的学习可以提高他们的数据分析能力、逻辑思维能力和数学解决问题的能力。
本文将总结小学数学中涉及概率问题的知识点，并简要介绍概率的基本概念、概率计算方法、概率相关问题的解决方法等。
概率的基本概念在小学数学中，概率的基本概念主要包括事件、随机试验和样本空间。
事件是指一个可能会发生的结果，如抛掷一个骰子，出现1点、2点、3点、4点、5点或6点都可以看作是一个事件。
随机试验是指重复进行的具有随机性的实验，如抛硬币、掷骰子等。
样本空间是随机试验的所有可能结果的集合，如抛掷一枚硬币的样本空间为{正面，反面}。
概率计算方法在小学数学中，概率计算主要涉及事件的概率、互斥事件的概率、对立事件的概率等。
事件的概率是指事件发生的可能性大小，通常用P(A)表示，其中A是事件。
对于随机试验的样本空间S，事件A的概率P(A)可以通过以下公式计算得到：P(A) = n(A)/n(S)其中n(A)表示事件A发生的结果的个数，n(S)表示样本空间S的结果的个数。
互斥事件是指两个事件不可能同时发生的事件，如抛掷一个骰子得到奇数点数和偶数点数就是互斥事件。
对于两个互斥事件A和B，它们的概率之和为1，即P(A)+P(B) = 1。
对立事件是指事件A的对立事件是不发生A的事件，即A和A的对立事件互斥并且它们的概率之和为1。
用例和掷骰子是经常用来教授学生概率知识的例子之一，且相关的问题也经常考察学生对于概率知识的掌握情况。
概率相关问题的解决方法小学生在解决概率问题时，通常需要通过实际操作、图表分析等多种方式进行解决。
实际操作是指通过具体的实验或观察来获取事件的概率，如抛硬币、掷骰子等。
通过实际操作可以让学生直观地感受到事件的概率。
图表分析是指通过图表来展示事件的可能性大小，如用概率树图、频率分布表等来展示事件的概率分布，让学生通过图表来深入理解和掌握概率的知识。
古典概型中求事件概率应注意的几个问题
古典概型中求事件概率应注意的几个问题Ξ□覃承仁(河池市第三高级中学,广西河池546400)[摘 要] 古典概型中概率的计算是概率学习中的一个基本而又重要的问题。
该文提出了古典概型中求事件概率应注意非等可能性、事件重复、排列组合混淆、样本空间不一样等问题。
求解古典概型问题时注意到这些问题就容易获得正确的解答。
[关键词] 古典概型;事件概率;等可能性[中图分类号] G 63316 [文献标识码] A [文章编号] 1002-5227(2008)S -0142-051 引 言古典概型,也称为先验概率,是概率论发展史上首先被人们研究的概率模型。
它是在一定条件下,以客观对称性为基础的一种模型,是在特殊情况下直接计算的比值,是真实的概率而不是估计值。
设古典概率模型的一个试验基本事件总数为n ,事件包含基本事件数为m ,则有p (A )=mn 。
这个定义是法国数学家拉普拉斯(Laplace )在1812年提出的。
这个定义同时也给出了计算公式。
古典概型是各类概率模型中最基本的一种,在实际问题中经常会遇到,因此,它历来是概率论教学中的重点内容。
在学习过程中,我们会发现在用古典概型公式解题时,不是无从下手,就是不得要领而发生错误。
这是因为:首先,古典概型涉及到的实际问题千变万化,需要敏锐的洞察力和深人细致的分析,才能解决古典概型问题;其次,古典概型的计算涉及到诸如加法原理、乘法原理、排列、组合等数学知识,特别是加法原理、乘法原理的应用很容易混淆,而排列与组合则更难,都可能导致错误的计算结果。
上述问题的产生,固然与古典概型本身复杂有关,但更重要的原因:对古典概型的理解不深、不透彻,从而思考问题不得要领。
那么,解古典概型问题时,我们应注意些哪些问题,才能提高解题的正确率?以下就来详细讨论这个问题。
2 在古典概型中求事件的概率时应注意的问题古典概率的计算公式是;P (A )=Kμ=A 中所包含的基本事件数基本事件总数在古典概型学习中,大家都能熟记公式,但在具体解题时,往往解错了,也不知道错在哪里。
概率中的典型问题
概率中的典型问题一、 掷币问题:1.将一枚均匀的硬币连掷二次,出现一枚正面向上,一枚反面向上的概率是( )1113 (4234)A B C D2.将一枚均匀的硬币连掷三次,出现两枚正面向上,一枚反面向上的概率是( )2351 (3888)A B C D 3. 将一枚均匀的硬币连掷三次,至少出现一次正面向上的概率是( )7351....8888A B C D 4. 将一枚均匀的硬币连掷五次,如果出现k 次正面向上的概率等于出现k+1次正面向上的概率,则k 的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.45.掷一枚均匀的硬币,若出现正面向上记1分,出现反而向上记2分,则恰好得3分的概率是( )5111 (8824)A B C D 二、 抛掷骰子问题:1. 同时抛掷两个骰子,则(1)向上两个数字相同的概率是_____ (2) 向上两个数字都是奇数(或偶数)的概率是____(3)向上两个数字是一奇一偶的概率是___(4)向上两个数字之和是奇数(偶数)的概率是_____(5)向上两个数字之和是7的概率是____ (6)向上两个数字之积是偶数(奇数)的概率是______(7)向上两个数字之和不小于8的概率是____(8)向上两个数字之差的绝对值为2的概率是_____(9)至少有一个出现5点或6点的概率是_______2.(2006福建)每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6).（I ）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；（II ）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率； （III ）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。
3.先后抛掷两枚均匀的骰子,骰子向上一面的点数分别是x 、y,则2lo g 1y x =的概率是( )1511 (636122)A B C D 4.掷甲、乙两颗骰子，甲出现的点数为x ，乙出现的点数为y ，如果令1P 为1>-y x 的概率，2P 为12+≤x xy 的概率，则____21=+P P )36223620(21+=+P P 5．连续抛掷一枚骰子两次,第一次出现的点数是a , 第二次出现的点数是b ,求方程322ax by x y +=⎧⎨+=⎩有唯一解的概率6．(2007湖北)连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()a m n ，=与向量(11)b =- ，的夹角为θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，的概率是（ ）A ．512 B ．12 C ．712 D ．567．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 横、纵坐标,则点P 在直线x+y=5的下方概率是_____________8．将甲、乙两个骰子先后各抛掷一次,a 、b 分别表示抛掷甲、乙两个骰子所得的点数,(1)若点P(a,b)落在不等式组004x y x y >⎧⎪>⎨⎪+≤⎩表示的平面区域的事件记为事件A,求事件A 的概率(2) 若点P(a,b)落在直线()xym m +=是常数上,且使此事件的概率最大,求m 的值 9．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 坐标,则点P 落在圆2216x y +=内的概率是_____________10．将甲、乙两个骰子先后各抛掷一次,a 、b 分别表示抛掷甲、乙两个骰子所得的点数,若点M(a,b)落在不等式22()x y m m +≤是常数所表示的区域内设为事件C,要使事件C 的概率是P(C)=1,则m 的最小值是( )A.52 B .61 C.72 D.7511(2008成都二诊)连续抛掷一枚骰子两次，得到的点数依次记为m 、n ，则点（m ，n ）恰能落在不等式组333x y x ⎧+-<⎪⎨≤⎪⎩所表示的平面区域内的概率为 。
条件概率与事件的独立性例题和知识点总结
条件概率与事件的独立性例题和知识点总结在概率论中，条件概率和事件的独立性是两个非常重要的概念。
理解它们对于解决各种概率问题至关重要。
下面，我们将通过一些具体的例题来深入探讨这两个概念，并对相关知识点进行总结。
一、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
其定义为：设 A、B 是两个事件，且 P(A)＞0，在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率记为 P(B|A)，且 P(B|A) ＝ P(AB) ／P(A) 。
例 1：一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球。
从中随机取出一个球，已知取出的是红球，求它是第二个红球的概率。
解：设 A 表示“第一次取出红球”，B 表示“第二次取出红球”。
则P(A) ＝ 5/8 。
P(AB) 表示“第一次和第二次都取出红球”，其概率为 5/8 × 4/7 ＝ 5/14 。
所以 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ＝（5/14) ／（5/8) ＝4/7 。
例 2：某班级学生的数学成绩及格率为 80%，英语成绩及格率为70%，已知某学生数学成绩及格，求他英语成绩也及格的概率。
解：设 A 表示“数学成绩及格”，B 表示“英语成绩及格”。
P(A) ＝08 ，P(AB) 表示“数学和英语成绩都及格”，假设两者相互独立，则P(AB) ＝ 08 × 07 ＝ 056 。
所以 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) ＝ 056 ／ 08 ＝07 。
二、事件的独立性如果事件 A 的发生不影响事件 B 发生的概率，事件 B 的发生也不影响事件 A 发生的概率，那么称事件 A 和事件 B 相互独立。
即 P(B|A) ＝ P(B) 且 P(A|B) ＝ P(A) ，等价于 P(AB) ＝ P(A)P(B) 。
例 3：抛掷两枚均匀的硬币，设事件 A 为“第一枚硬币正面朝上”，事件 B 为“第二枚硬币正面朝上”，判断 A、B 是否独立。
初中数学中有哪些常见的概率问题及解决方法
初中数学中有哪些常见的概率问题及解决方法在初中数学的学习中，概率是一个重要的知识点，它与我们的日常生活紧密相连，帮助我们理解和预测各种不确定的现象。
那么，初中数学中有哪些常见的概率问题呢？又该如何解决它们呢？常见的概率问题之一是简单随机事件的概率计算。
例如，从一个装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是多少？解决这类问题，我们首先要明确所有可能的结果总数，在这个例子中，总共有 8 个球，所以结果总数是 8。
然后确定我们所关心的事件发生的结果数，摸到红球的结果数是 5。
那么摸到红球的概率就是5÷8 ＝ 5/8。
再比如，掷一枚质地均匀的骰子，点数为 6 的概率是多少？因为骰子一共有 6 个面，分别标有 1 到 6 的点数，所以总结果数是 6，而点数为 6 的结果只有 1 个，所以掷出点数为 6 的概率就是 1÷6 ＝ 1/6 。
另一个常见的概率问题是列表法或树状图法求概率。
当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
例如，同时掷两枚质地均匀的骰子，求两枚骰子点数之和为 7 的概率。
我们可以通过列表来列出所有可能的结果：｜ 1 ｜ 2 ｜ 3 ｜ 4 ｜ 5 ｜ 6 ｜｜｜｜｜｜｜｜｜ 2 ｜ 3 ｜ 4 ｜ 5 ｜ 6 ｜ 7 ｜｜ 3 ｜ 4 ｜ 5 ｜ 6 ｜ 7 ｜ 8 ｜｜ 4 ｜ 5 ｜ 6 ｜ 7 ｜ 8 ｜ 9 ｜｜ 5 ｜ 6 ｜ 7 ｜ 8 ｜ 9 ｜ 10 ｜｜ 6 ｜ 7 ｜ 8 ｜ 9 ｜ 10 ｜ 11 ｜从表中可以看出，共有 36 种等可能的结果，其中点数之和为 7 的有 6 种，所以两枚骰子点数之和为 7 的概率是 6÷36 ＝ 1/6 。
当一次试验涉及三个或更多因素时，用列表法就不方便了，这时我们通常采用树状图法。
比如，一个口袋里装有 3 个红球和 2 个白球，它们除颜色外完全相同。
事件与概率的基本知识点总结
事件与概率的基本知识点总结事件与概率的基本知识点总结概率论是研究随机现象的可能性的一门数学学科，其中的核心概念就是事件与概率。
事件是我们希望研究的一个或一组结果，而概率是用来描述这个事件发生的可能性的。
一、事件的概念与分类事件是指我们希望研究的一个或一组结果。
根据事件的特性，可以将其分为互斥事件、相对事件和对立事件。
1. 互斥事件：指两个或多个事件不能同时发生的情况。
例如掷一枚硬币的结果只可能是正面或反面，不可能既是正面又是反面。
2. 相对事件：指两个或多个事件至少有一个发生的情况。
例如掷一个骰子，结果可能是1、2、3、4、5或6，至少会出现其中的一个数字。
3. 对立事件：指两个事件在同一次实验中不能同时发生的情况。
例如抽一张扑克牌，事件A是抽到红心，事件B是抽到黑桃，这两个事件是对立事件。
二、概率的定义与性质概率是用来描述事件发生可能性的数值，它介于0和1之间，包括0和1。
1. 频率定义：频率定义概率是指某一事件在相同条件下进行的实验中发生的频率。
即当实验次数趋于无穷大时，事件发生的频率逼近于概率。
2. 古典定义：古典定义概率适用于等可能性事件。
根据古典概率的定义，事件A发生的概率等于事件A包含的基本事件数目除以样本空间中的基本事件数目。
3. 几何定义：几何定义概率适用于几何模型的实验。
根据几何概率的定义，事件A发生的概率等于落入事件A的区域面积与落入样本空间的区域面积之比。
三、概率的运算法则概率运算法则是用来描述事件之间相互关系的数学原理。
1. 加法法则：对于互斥事件A和B，它们的概率和等于两个事件发生概率的和。
即P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。
2. 减法法则：对于事件A，它的补事件是A的对立事件，即A'。
事件A和事件A'是对立事件，它们的概率和等于1。
即P(A') = 1 - P(A)。
3. 乘法法则：对于相对事件A和B，它们的联合概率等于A的概率乘以在A发生的条件下，B发生的条件概率。
高中数学常用问题总结归纳
高中数学常用问题总结归纳在高中数学学习过程中，我们常常会遇到一些困难和难题。
本文将总结归纳高中数学常见的问题，帮助同学们更好地理解和应对这些困难。
以下是一些常见问题及解答：一、代数运算问题高中代数运算问题主要包括整式的运算、方程的解法等。
在解决整式的运算问题时，常常会碰到因式分解和配方法的困扰。
在解决方程的解法时，方程的分解、配方法及根的求解是常见的问题。
解决这些问题的关键在于理解代数运算的基本规则，熟练掌握因式分解和配方法，并且灵活运用这些规则和方法。
二、函数与图像问题函数与图像问题是高中数学中的重点内容。
常见问题包括函数的性质、图像的变换和对称性等。
在解决函数的性质问题时，需要掌握函数的定义、定义域、值域、单调性和奇偶性等基本概念。
在解决图像的变换问题时，了解平移、伸缩、翻转和旋转等变换方式，并能够根据给定的函数式进行图像的变换。
此外，对称性是函数与图像问题中的另一个重要方面，需要熟练掌握函数图像的对称性和判定方法。
三、几何问题高中几何问题包括平面几何和立体几何两个方面。
在解决平面几何问题时，常见的问题包括直线与圆的性质、相交定理、相似三角形等。
解决这些问题的关键在于几何图形的性质和定理的理解和运用。
在解决立体几何问题时，需要掌握立体图形的性质、体积和表面积的计算等。
在解决这些问题时，可以多画图、多列方程，以便更好地理解和解决问题。
四、概率与统计问题概率与统计问题是高中数学中的一块重要内容。
在解决概率问题时，常见的问题包括事件的概率计算、条件概率和独立事件等。
解决这些问题需要掌握基本的概率计算方法和公式，并能够运用它们解决实际问题。
在解决统计问题时，需要了解统计数据的收集和整理方法，以及数据的分析和解读。
同时，也需要掌握频率分布表、直方图和折线图等统计图形的绘制和解读。
总结：在高中数学学习过程中，我们会遇到各种各样的问题，但只要我们充分理解并掌握基本的数学概念和方法，灵活运用它们，就能够解决大多数的困难。
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例 １ 已知 事件 Ａ发生 的概 率是 ０ ７ 事件 Ｂ发 ．， 生 的概率 是 ０ ５ 而事件 Ａ 或 Ｂ 至少 有 一 个 发生 的 ．， 概 率是 ０ ９ 问事件 Ａ 与 Ｂ 的 差事 件 发 生 的 概率 是 ．， 多少 ？
大 多数 学 生就例 １给 出的 回答 是 ０ ２或 ０ ４ 即 ． ．，
公式 ” ．
则称 事件 Ａ 与 Ｂ 互 不相容 ． 若 而
Ｐ（ ＡＢ ）一 Ｐ（ ） （ ， Ａ Ｐ Ｂ）
则称 事件 Ａ 与 Ｂ 相 互独 立Ⅲ“． 这两 个概 念最 容 易引起 混 淆．
解 根 据概 率减 法公 式 ， 有
Ｐ（ — Ｂ） 一 Ｐ（ — ＡＢ ’ Ａ Ａ Ｉ— Ｐ（ ）一 Ｐ（ Ａ ＡＢ ） 一
对 立．
相 容 ？ 抽 球是 ： 回的 ， 与 Ｂ 是 否相 互 独 立 ？ 若 不放 Ａ 是
否 相容 ？
解 对 于有放 回的情形 ， 一次抽 球 时袋 中情 第 况 与第 二次 抽球 时袋 中 的情 况 完 全 相 同 ， 表 明事 这 件 Ａ 的发 生与 否 与事件 Ｂ 是 否发 生互 不 影 响 ， 以 所 Ａ与 Ｂ相 互独 立． 因为 Ａ与Ｂ 可能 同时发 生 ， Ａ与 故 Ｂ是 相容 的 ． 对 于无 放 回的情 形 ， 一 次抽 球 后 将要 改 变 袋 第 中球 的组成 成份 ， 而影 响 了第二 次抽 球 ， 从 它说 明 Ａ
对 立事 件 ．
与 Ｂ 不是互 相 独立 的． 因为袋 中有 ２ 红球 ， 个 即使 无
放 回抽样 ， Ａ与 Ｂ依 然 可能 同时 发生 ， 以Ａ与 Ｂ 是 所
这 是 因 为 ， Ａ发 生 ， Ｂ必 不发生 ； 若 则 反之 ， Ｂ 若
４ ６
高 等 数 学 研 究
２１ ０ ２年 ３月
Ａ 一 “ 一 次抽 出红球 ” 第 ， Ｂ 一 “ 二次 抽 出红球 ” 第 ， 试 问若抽球 是 有放 回的 ， 与 Ｂ是 否相 互 独立 ？ Ａ 是否
则称 事件 Ａ 与 Ｂ 相互 对立 ． 从 定 义 可 看 出 ， 事 件互 不 相 容 的 条件 只有 一 两 个 ， 相互 对立 有 两个 条件 ． 而 由此 可 见 ， 事 件 Ａ 与 若 Ｂ 互 相对 立 ， 则事 件 Ａ 与 Ｂ 必定 互不 相 容 ； 之 ， 反 当 事件 Ａ 与 Ｂ 互不 相容 时 ， 事件 Ａ与 Ｂ并 不一 定互 相
０ ．７— ０ ．５ — ０ ２， ． ０ ．９— ０． ＝ ０ ４． ５ ．
３ 相 容 事 件 与 独 立 事 件 的 概 率
设有 两 个事 件 Ａ 与 Ｂ， 若
Ａ Ｂ 一 ，
这两 个答 案 都是错 误 的． 者 把 差 事件 的概 率 简 单 前
理解 为概 率 的差 ， 后者 理解 为 是事件 Ａ 或 Ｂ 发生 的 概率 减 去事 件 Ｂ 发生 的概 率 ． 它们 的错 误 之处 在 于 不 能正确 理 解概 率性 质 的“ 法 公 式 ”与“ 减 一般 加 法
在概率教学 中， 生们 在对 事件 与概 率这 部分 内 学 容的学 习 中存在 较大 困难 ， 别是对 “ 特 差事 件 、 不相 互 容事件 与对立 事件 、 相容事 件与独 立事件 及不 可能事
差是 指 “ 事件 Ａ 发 生而 Ｂ不 发生 ” 记 作 Ａ—Ｂ． ， 事件
Ａ 和 Ｂ 的差事 件如 图 １中阴影 部分 所示 ．
即事 件 Ａ 与 Ｂ 不一定 相互 独立 ．
结论 １ 差事 件 的概率 不 等 于事件 概率 的差 ．
２ 互 不 相 容 事 件 与 对 立 事 件 的概 率
对“ 相 对立事 件 ”和 “ 不 相 容 事 件 ”这 两 个 互 互
不 同的概 念 ， 分 学生 容 易弄 错 ． 部 教科 书 ［ ］ １ 指 出 ： 若事 件 Ａ 与 Ｂ 的积 事件 为不 可能 事件 ， 即
讲解 ： 几何 意 义 （ 体背 景 ） 代数 性质 （ 象公 理 ） 具 一 抽
一
计算 公 式 （ 体 ） 这 其 实 是 最 抽 象 的公 理 化 定 具 ．
变换 将 行列 式 化简 再计 算 和研究 ． 很 多线 性代 数 教材 第 １页就 从 天而 降行 列式 的 计 算公 式作 为 定 义 ， 既没 有 几 何 意 义 ， 乏 具体 ， 缺 又 没 有 思想 ， 乏 抽 象 ． 顿 “ 威 棒 ”打得 学 生 仇 恨 缺 一 杀
线 性代 数 ． 文在 例 ４中先 由判定 方 程 组 解 的唯 一 本
义． 就象 欧几 里得 由最 简 单 公 理 推 出复 杂 纷 纭 的 几 何 定 理． 小学 算术 四则 运 算 也 是 不 教 公 式 只 教 竖 式
（ 实是 用 运 算 律 计 算 ） 也 是 公 理 化 定 义 ， 是 抽 其 ， 也
摘 要 分 析 并 纠 正 学 生 在 学 习 “ 件 ”与“ 率 ”过 程 中容 易 出 现 的 几 种 错 误 ． 事 概
关 键 词 事 件 ； 率 ； 概 独立
中图 分 类 号
０ １ ． ２ １１
文 献 标 识 码 Ａ
文 章 编 号 １ ０—３ ９ ２ １ ）２０ ４—３ ０ ８１ ９ （ ０ ２ ０—０ ４０
件与必然事件” 概念 的理 解与 概率计 算上 容易 出现 等
错 误 的 结 果 ． 面 对几 种错 误 情 况 进 行 分 析 指 正 ． 下
１ 事 件 差 的 概 率
在 通用 教 材 ［ ］ １ 中 ， 事 件 定 义 为 ： Ａ、 差 若 Ｂ是
两 个定 义在 某 样本 空 间 ｎ 上 的事 件 ， 事件 Ａ 与 Ｂ 的 收稿日 ２１ ０— ； 期： ０ ４ ７修改日 ２１— — ０— ２ 期： １ ２ ３ ０ １２ 容 易看 出
Ａｂ ｔａ ｔ Ｔｈｉ ａ ｒ ｃ ｓｒｃ ： ｓ ｐ ｐｅ ｏｎｓｓ ｓ ｏ ｅ ｉ ｓ ｏ ｎｔ ｒ ｓ ｉ ｇ ｓ ｏｒｅ ． ｉ ｈｉ ｙ ｔ ｅ ｍ ａｎ ｃ ｎｔ ｎｔ ｎ ｉｔ ｆｓ ｒｅ ｆｉ ｅ ｅ ｔｎ ｔ ｉ ｓ ｎ ｔ ｓｗａ ｈ ｉ ｏ ｅ ｓｉ ｌｎｅ ｒ ａ ｇ ｂ ａ ａ ｅｉ ｒ ｄｕｃ ｄ，ｓ ｈ ａ ｙ ｔ ｍ ｆｌ ａ ｑ ｔｏ ｉ ａ ｌ ｅ ｒ ｒ ｎｔ ｏ ｅ ｕｃ ｓｓ ｓ ｅ ｏ ｉ ｒｅ ｕａ ｉ ｎｓ，ｌｎｅ ｒｉ ｅ ｎｄ ｎｔ ｅ ｅ ｍｉ ｎｔ ｎｅ ｉ ａ ｎｄ ｐｅ ｅ ，ｄ ｔ ｒ ｎａ ａ ｄ ｍ ｕ ｔｐｌｃ ｔｏｎ ｏｆｍ ａ ｒｃ ｓ Ｕｓｎｇ ｓ ｆ ｗａ ｅｔ ｖｏ ｄ ｈｅ ｖ ｒ ｎ ｃ ｎ ｌｉ ｉａ ｉ ｔ ｉｅ ． ｉ ｏ ｔ ｒ ｏ ａ ｉ ａ ｙ ｗｏ ｋ ｉ ｏｍｐｕ ａ ｉ ｎ，ｔ ａ ｎ ｉ ｅ ｔ ｔｏ ｈｅｍ ｉ ｄ ａ
ｍ ａ ｒｃ ｓ． ｓ ｆ ｗ ａ ｅ ｉ ａ ｈｅ ａ ｉ ｓ ｔ ｉｅ ｏ ｔ ｒ ｎ ｍ ｔ ｍ ｔｃ
第１ ５卷 第 ２期
傅文德 ： 事件 与概 率 学 习 中的 几 个 问题
４ ５
Ｐ（ — Ｂ） 一 Ｐ（ ）一 Ｐ （ Ａ Ａ ＡＢ ） ，
发 生 ， Ａ必 不 发生 ． 则 即事 件 Ａ 与 Ｂ 不能 同时发生 ，
相 容 的．
能事 件 吗 ？ 一 个事 件 的概率 为 １ 这 个 事 件 一 定 是 若 ，
必 然事 件 吗？
事 实上 ， 于有 放 回的情 形 ， 对 由于
Ｐ ） ，ＢＡ一 （ 一詈 （ 一４ Ｉ Ｐ ） ， Ａ －Ｐ Ｉ Ｕ （ － ） Ｂ ＿ Ｕ ＿ ，
Ｐ（ ）一 Ａ
第 １ ５卷 第 ２期 ２１ Ｏ ２年 ３月
高 等 数 学 研 究
ＳＴＵ Ｄ Ｉ Ｎ ＥＳ Ｉ Ｃ０ ＬＬＥＧ Ｅ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． ５ ＮＯ ２ Ｉ１ ， ．
Ｍ ａｒ ．， ２ ２ Ｏ１
事 件 与概 率 学 习 中 的几 个 问题
傅 文德
（ 里 学 院 理 学 院 ，贵 州 凯 里 ５ ６ １ ） 凯 ５ ０ １
即 有
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类似 地 可 以得 到 ｎ阶行 列式 计算 公 式． 不过 ， 直 接用 计算 公 式来 计 算 行 列 式 太 繁琐 ， 常 利 用 初 等 通
例 ２ 在 ２ 件产 品中 ， １ 件 一 级品 ， 件 二 级 ０ 有 ５ ５ 品． 中任 取 ３ ， “ 从 件 设 取得 的产 品都 是 一级 品” 事 为 件 Ａ，取 得 的产 品都 不是 一级 品”为事件 事 件 Ｂ， “ 问
事 件 Ａ 与 Ｂ互 相 对立 或互 不相 容 ？ 解 事 件 Ａ与 Ｂ是 互不 相 容事 件 ， 不是 互 相 但
事 实上 ， 如果 事件 Ａ 与Ｂ互 不 相容 ， 图 ２ 知 如 可
Ｐ（ ＡＢ ）一 ０ ，
但 是 Ｐ（ ） （ Ａ Ｐ Nhomakorabea）≠ ０，
Ｐ（ 一 ［ Ａ） Ｐ（ 一 Ｐ（ ］一 Ａ） Ｐ（ ＋ Ｂ） Ａ Ｕ Ｂ）
Ｐ（ ） Ｐ（ ＡＵＢ 一 Ｂ）一
Ｏ ．９一 ｏ． — ０ ４ ． ５ ．
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