2021届高考数学压轴题系列训练含答案
2021届高考数学压轴题系列训练含答案1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，1222a MF MF =++(222222211321a ab ac ∴=+∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴'∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分）()1112312322DC AP x CH a x a ∴==+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为： …………（12分）2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点(n n A a 在抛物线21y x =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若()()()n n a f n b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k 值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）对任意正整数n，不等式1120111111n n n ab b b +-≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，求正数a 的取值范围.解：（Ⅰ）将点(n n A a 代入21y x =+中得()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）（Ⅱ）()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴==当为偶数时，为奇数， 当为奇数时，为偶数， 舍去综上，存在唯一的符合条件。
……………………（8分）（Ⅲ）由1120111111n n n a b b b +-≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()1212121111111112311111112311111111112512312324241232525n n n n n a b b b n f n b b b n f n b b b b n f n n n n n f n b n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+++ ⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++++⎪⎪⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫++++∴=⋅+=⋅= ⎪+++⎝⎭即记 ()()()()()22min 2523416161416151,14451,315545015n n n n n n f n f n f n f n f a +⋅+++=>++∴+>∴==⋅=∴<≤即递增， ………………………………（14分）3.（本小题满分12分）将圆O: 4y x 22=+上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C. (1) 求C 的方程;(2) 设O 为坐标原点, 过点)0,3(F 的直线l 与C 交于A 、B 两点, N 为线段AB 的中点, 延长线段ON 交C 于点E.求证: ON 2OE =的充要条件是3|AB |= .解: (1)设点)y ,x (P '' , 点M 的坐标为)y ,x ( ,由题意可知⎩⎨⎧='=',y 2y ,x x ………………(2分)又,4y x 22='+'∴1y 4x 4y 4x 2222=+⇒=+. 所以, 点M 的轨迹C 的方程为1y 4x 22=+.………………(4分) (2)设点)y ,x (A 11 , )y ,x (B 22 , 点N 的坐标为)y ,x (00 , ㈠当直线l 与x 轴重合时, 线段AB 的中点N 就是原点O, 不合题意,舍去; ………………(5分)㈡设直线l: ,3my x +=由⎪⎩⎪⎨⎧=++=4y 4x 3my x 22消去x,得01my 32y )4m (22=-++………………①∴,4m m3y 20+-=………………(6分) ∴4m 344m 34m 34m m 33my x 2222200+=++++-=+=,∴点N 的坐标为)4m m 3,4m 34(22+-+ .………………(8分) ①若OE ON 2=, 坐标为, 则点E 的为)4m m32,4m 38(22+-+ , 由点E 在曲线C 上,得1)4m (m 12)4m (4822222=+++, 即,032m 4m 24=-- ∴4m (8m 22-== 舍去). 由方程①得,14m 1m 44m 16m 4m 12|y y |2222221=++=+++=- 又|,)y y (m ||m y m y ||x x |212121-=-=-∴3|y y |1m |AB |212=-+= .………………(10分)②若3|AB |= , 由①得,34m )1m (422=++∴ .8m 2= ∴点N 的坐标为)66,33(± , 射线ON 方程为: )0x (x 22y >±= , 由⎪⎩⎪⎨⎧=+>±=4y 4x )0x (x 22y 22 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±==36y 332x ∴点E 的坐标为),36,332(± ∴OE ON 2=.综上, OE ON 2=的充要条件是3|AB |= .………………(12分)4.（本小题满分14分）已知函数241)x (f x +=)R x (∈.(1) 试证函数)x (f 的图象关于点)41,21( 对称;(2) 若数列}a {n 的通项公式为)m ,,2,1n ,N m ()mn(f a n =∈=+, 求数列}a {n 的前m 项和;S m(3) 设数列}b {n 满足: 31b 1=, n 2n 1n b b b +=+. 设1b 11b 11b 1T n 21n ++++++= . 若(2)中的n S 满足对任意不小于2的正整数n, n n T S <恒成立, 试求m 的最大值.解: (1)设点)y ,x (P 000 是函数)x (f 的图象上任意一点, 其关于点)41,21( 的对称点为)y ,x (P .由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+412y y 212x x 00 得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.y 21y ,x 1x 00 所以, 点P 的坐标为P )y 21,x 1(00-- .………………(2分) 由点)y ,x (P 000 在函数)x (f 的图象上, 得241y 0x 0+=.∵,)24(244244241)x 1(f 0000x x x x x 10+=⋅+=+=-- =+-=-24121y 210x 0,)24(2400x x + ∴点P )y 21,x 1(00-- 在函数)x (f 的图象上. ∴函数)x (f 的图象关于点)41,21( 对称. ………………(4分) (2)由(1)可知, 21)x 1(f )x (f =-+, 所以)1m k 1(21)m k 1(f )m k (f -≤≤=-+ ,即,21a a , 21)m k m (f )m k (f k m k =+∴=-+- ………………(6分)由m 1m 321m a a a a a S +++++=- , ……………… ① 得,a a a a a S m 13m 2m 1m m +++++=--- ………………② 由①＋②, 得,612m 61221m a 221)1m (S 2m m -=⨯+-=+⨯-= ∴).1m 3(121S m -=………………(8分) (3) ∵,31b 1=)1b (b b b b n n n 2n 1n +=+=+, ………………③∴对任意的0b ,N n n >∈+ . ………………④ 由③、④, 得,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1n +-=+=+即1n n n b 1b 11b 1+-=+.∴1n 1n 11n n 3221n b 13b 1b 1)b 1b 1()b 1b 1()b 1b 1(T +++-=-=-++-+-= .……………(10分) ∵,b b ,0b b b n 1n 2n n 1n >∴>=-++ ∴数列}b {n 是单调递增数列. ∴n T 关于n 递增. 当2n ≥, 且+∈N n 时, 2n T T ≥. ∵,8152)194(94b ,94)131(31b ,31b 321=+==+==∴.5275b 13T T 12n =-=≥………………(12分) ∴,5275S m <即,5275)1m 3(121<-∴,394639238m =< ∴m 的最大值为6. ……………(14分) 5．（12分）E 、F 是椭圆2224x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交椭圆于A 、B 两点.（1） 当AE AF ⊥时，求AEF ∆的面积； （2） 当3AB =时，求AF BF +的大小； （3） 求EPF ∠的最大值.解：（1）2241282AEF m n S mn m n ∆+=⎧⇒==⎨+=⎩ （2）因484AE AF AB AF BF BE BF ⎧+=⎪⇒++=⎨+=⎪⎩， 则 5.AF BF +=（1）设)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠221((166t t t t t t -=-÷+==≤++，当t =30tan EPF EPF ∠=⇒∠=6．（14分）已知数列{}n a 中，113a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足2221n n n S a S =-，（2） 求n S 的表达式及2limnn na S →∞的值；（3） 求数列{}n a 的通项公式； （4）设n b =n N ∈且2n ≥时，n n a b <.解：（1）2111121122(2)21n n n n n n n n n n n S a S S S S S S n S S S ----=-=⇒-=⇒-=≥-所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.则121nS n =+. 222limlim 2212lim 1n n n n n nn a S S S →∞→∞→∞===---.（2）当2n ≥时，12112212141n n n a S S n n n --=-=-=+--， 综上，()()21132214n n a n n⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩.（3）令a b ==2n ≥时，有0b a <<≤ （1） 法1：等价于求证112121n n >--+.当2n≥时，0<≤令()23,0f x x x x =-<≤ ()233232(1)2(12(10222f x x x x x x x '=-=-≥-=->，则()fx 在递增.又0<<≤所以3311()(),2121g g n n <+-即n n a b <.法（2）2233331111()()2121(21)(21)n n a b b a b a n n n n -=---=---+-+- 22()()a b a b ab a b =-++-- （2）22()[()()]22ab ab a b a a b b =-+-++- ()[(1)(1)]22b a a b a a b b =-+-++- （3） 因333111110222223a b a b a +-<+-<-<-=-<，所以(1)(1)022b a a a b b +-++-<由（1）（3）（4）知n n a b <.法3：令()22g b a b ab a b =++--，则()12102ag b b a b -'=+-=⇒= 所以()()(){}{}220,,32g b max g g a max a a a a ≤=-- 因10,3a <≤则()210a a a a -=-<，2214323()3()0339a a a a a -=-≤-< 所以()220g b a b ab a b =++--< （5） 由（1）（2）（5）知n n a b < 7． (本小题满分14分)设双曲线2222by a x -=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A ，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.(1) 证明：无论P 点在什么位置，总有|→--OP |2 = |→-OQ ·→--OR | ( O 为坐标原点)；(2) 若以OP 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；解：(1) 设OP ：y = k x, 又条件可设AR: y =ab(x – a ), 解得：→--OR = (b ak ab --,b ak kab --), 同理可得→-OQ = (b ak ab +,bak kab+),∴|→-OQ ·→--OR | =|b ak ab --b ak ab ++b ak kab --b ak kab+| =|b k a |)k 1(b a 222222-+. 4分 设→--OP = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP 方程联立解得:m 2 =22222k a b b a -, n 2= 222222ka b b a k -, ∴ |→--OP|2 = :m 2 + n 2 =22222k a b b a -+ 222222k a b b a k -=222222k a b )k 1(b a -+ ,∵点P 在双曲线上，∴b 2 – a 2k 2 > 0 .∴无论P 点在什么位置，总有|→--OP |2= |→-OQ ·→--OR | . 4分（2）由条件得：222222k a b )k 1(b a -+= 4ab, 2分即k 2 =22a4ab abb 4+-> 0 , ∴ 4b > a, 得e > 4172分2021届高考数学压轴题系列训练含答案1. (本小题满分12分)已知常数a > 0, n 为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x 的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ≥ a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) 解: (1) f n `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,∵a > 0 , x > 0, ∴ f n `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分 （2）由上知：当x > a>0时, f n ( x ) = x n – ( x + a)n 是关于x 的减函数,∴ 当n ≥ a 时, 有：(n + 1 )n – ( n + 1 + a)n ≤ n n – ( n + a)n . 2分又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [x n –( x+ a )n ] ,∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ n n – ( n + a)n ] = ( n + 1 )[ n n – ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分( n + 1 )f n `(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分 ∵( n + a ) > n ,∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) . 2分 2. (本小题满分12分)已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v ∈[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .(1) 判断函数p ( x ) = x 2 – 1 是否满足题设条件？ (2) 判断函数g(x)=1,[1,0]1,[0,1]x x x x +∈-⎧⎨-∈⎩，是否满足题设条件？解： (1) 若u ,v ∈ [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u 2 – v 2 |=| (u + v )(u – v) |，取u =43∈[–1，1]，v = 21∈[–1，1], 则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = 45| u – v | > | u – v |， 所以p( x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论：10. 若u ,v ∈ [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件； 20. 若u ,v ∈ [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件； 30. 若u ∈[–1，0]，v ∈[0，1]，则：|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件; 40 若u ∈[0，1]，v ∈[–1，0], 同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件. 3. (本小题满分14分)已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = 1x x+(x ≠ –1)的图象上，且有t 2 – c 2at + 4c 2 = 0 ( c ≠ 0 ). (1) 求证：| ac | ≥ 4;(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证：(1) ∵ t ∈R, t ≠ –1,∴ ⊿ = (–c 2a)2 – 16c 2 = c 4a 2 – 16c 2 ≥ 0 ， ∵ c ≠ 0, ∴c 2a 2 ≥ 16 , ∴| ac | ≥ 4. (2) 由 f ( x ) = 1 –1x 1+, 法1. 设–1 < x 1 < x 2, 则f (x 2) – f ( x 1) = 1–1x 12+–1 + 1x 11+= )1x )(1x (x x 1221++-. ∵ –1 < x 1 < x 2, ∴ x 1 – x 2 < 0, x 1 + 1 > 0, x 2 + 1 > 0 ,∴f (x 2) – f ( x 1) < 0 , 即f (x 2) < f ( x 1) , ∴x ≥ 0时，f ( x )单调递增. 法2. 由f ` ( x ) =2)1x (1+> 0 得x ≠ –1, ∴x > –1时，f ( x )单调递增.（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ≥|a |4> 0 , ∴f (| c | ) ≥ f (|a |4) = 1|a |4|a |4+= 4|a |4+f ( | a | ) + f ( | c | ) =1|a ||a |++ 4|a |4+> 4|a ||a |++4|a |4+=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 4．（本小题满分15分）设定义在R 上的函数43201234()f x a x a x a x a x a =++++（其中i a ∈R ，i=0,1,2,3,4），当x= －1时，f (x)取得极大值23，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称． （1） 求f (x)的表达式；（2） 试在函数 f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎡⎣上；（3） 若+21,N )2n n n n x y n -==∈，求证：4()().3n n f x f y -< 解：（1）31().3f x x x =-…………………………5分（2）()0,0,⎭或()0,0,.⎛ ⎝⎭…………10分（3）用导数求最值，可证得4()()(1)(1).3n n f x f y f f -<--<……15分 5．（本小题满分13分）设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩………………………………………………………3分由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-………………………………6分 又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x = 直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.xy x y =-……10分 从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==- 代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程.………………13分 6．（本小题满分12分）过抛物线y x 42=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0=⋅PB PA（1）求点P 的轨迹方程；（2）已知点F （0，1），是否存在实数λ使得0)(2=+⋅FP FB FA λ？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.解法（一）：（1）设)(),4,(),4,(21222211x x x x B x x A ≠由,42y x =得：2'x y =2,221x k x k PB PA ==∴ 4,,021-=∴⊥∴=⋅x x PB PA PB PA ………………………………3分直线PA 的方程是：)(241121x x x x y -=-即42211x x x y -= ① 同理，直线PB 的方程是：42222x x x y -= ② 由①②得：⎪⎩⎪⎨⎧∈-==+=),(,142212121R x x x x y x x x ∴点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分（2）由（1）得：),14,(211-=x x FA ),14,(222-=x x FB )1,2(21-+xx P 4),2,2(2121-=-+=x x x x FP 42)14)(14(2221222121x x x x x x FB FA +--=--+=⋅ …………………………10分2444)()(22212212++=++=x x x x FP所以0)(2=+⋅FP FB FA故存在λ=1使得0)(2=+⋅FP FB FA λ…………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线PA 、PB 与抛物线相切，且,0=⋅PB PA ∴直线PA 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA ⊥ 设PA 的直线方程是)0,,(≠∈+=k R m k m kx y由⎩⎨⎧=+=yx m kx y 42得：0442=--m kx x 016162=+=∆∴m k 即2k m -=…………………………3分即直线PA 的方程是：2k kx y -=同理可得直线PB 的方程是：211kx k y --= 由⎪⎩⎪⎨⎧--=-=2211k x k y k kx y 得：⎪⎩⎪⎨⎧-=∈-=11y R k k x 故点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分 （2）由（1）得：)1,1(),1,2(),,2(22---kk P k k B k k A )11,2(),1,2(22--=-=kk FB k k FA)2,1(--=kk FP)1(2)11)(1(42222kk k k FB FA +--=--+-=⋅………………………………10分)1(24)1()(2222kk k k FP ++=+-=故存在λ=1使得0)(2=+⋅FP FB FA λ…………………………………………12分 7．（本小题满分14分）设函数x axxx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数. （1） 求正实数a 的取值范围；（2） 设1,0>>a b ，求证：.ln 1bba b b a b a +<+<+ 解：（1）01)(2'≥-=ax ax x f 对),1[+∞∈x 恒成立， xa 1≥∴对),1[+∞∈x 恒成立 又11≤x1≥∴a 为所求.…………………………4分 （2）取b b a x +=，1,0,1>+∴>>bba b a ，一方面，由（1）知x axxx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数， 0)1()(=>+∴f b b a f0ln 1>+++⋅+-∴b b a bb a a b b a即ba b b a +>+1ln……………………………………8分 另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G)1(0111)('>>-=-=x xx x x G ∴)(x G 在),1(+∞上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(>=G ∴当1>x 时，0)1()(>>G x G∴x x ln > 即bba b b a +>+ln综上所述，.ln 1bba b b a b a +<+<+………………………………………………14分8．(本小题满分12分)如图，直角坐标系xOy 中，一直角三角形ABC ，90C ∠=，B 、C 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，3BD DC =，ABC 的周长为12．若一双曲线E 以B 、C 为焦点，且经过A 、D 两点．(1) 求双曲线E 的方程；相交(2) 若一过点(,0)P m （m 为非零常数）的直线l 与双曲线E于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且MP PN λ=，问在x 轴上是否存在定点G ，使()BC GM GN λ⊥-？若存在，求出所有这样定点G 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1) 设双曲线E 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则(,0),(,0),(,0)B c D a C c -．由3BD DC =，得3()c a c a +=-，即2c a =．∴222||||16,||||124,||||2.AB AC a AB AC a AB AC a ⎧-=⎪+=-⎨⎪-=⎩（3分）解之得1a =，∴2,c b ==∴双曲线E 的方程为2213y x -=．（5分）(2) 设在x 轴上存在定点(,0)G t ，使()BC GM GN λ⊥-．xx设直线l 的方程为x m ky -=，1122(,),(,)M x y N x y ． 由MP PN λ=，得120y y λ+=． 即12yy λ=-① （6分）∵(4,0)BC =，1212(,)GM GN x t x t y y λλλλ-=--+-，∴()BC GM GN λ⊥-12()x t x t λ⇔-=-． 即12()ky m t ky m t λ+-=+-． ② （8分）把①代入②，得12122()()0ky y m t y y +-+=③ （9分）把x m ky -=代入2213y x -=并整理得222(31)63(1)0k y kmy m -++-=其中2310k -≠且0∆>，即213k ≠且2231k m +>． 212122263(1),3131km m y y y y k k --+==--．（10分）代入③，得2226(1)6()03131k m km m t k k ---=--，化简得 kmt k =． 当1t m=时，上式恒成立． 因此，在x 轴上存在定点1(,0)G m，使()BC GM GN λ⊥-．（12分）9．(本小题满分14分)已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*n ∈N 都有(1)n n p S p pa -=-（p 为大于1的常数），记12121C C C ()2n n n n nn na a a f n S ++++=．(1) 求n a ；x(2) 试比较(1)f n +与1()2p f n p+的大小（*n ∈N ）； (3) 求证：2111(21)()(1)(2)(21)112n p p n f n f f f n p p -⎡⎤⎛⎫++-+++--⎢⎥ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦，（*n ∈N ）． 解：(1) ∵(1)n n p S p pa -=-，① ∴11(1)n n p S p pa ++-=-．②②－①，得11(1)n n n p a pa pa ++-=-+，即1n n a pa +=．（3分）在①中令1n =，可得1a p =．∴{}n a 是首项为1a p =，公比为p 的等比数列，n n a p =． （4分）(2) 由(1)可得(1)(1)11n n n p p p p S p p --==--． 12121C C C n n n n n a a a ++++1221C C C (1)(1)n nn n n n n p p p p p =++++=+=+．∴12121C C C ()2n n n n nn na a a f n S ++++=1(1)2(1)nn n p p p p -+=⋅-，（5分）(1)f n +1111(1)2(1)n n n p p p p +++-+=⋅-． 而1()2p f n p+1111(1)2()n n n p p p p p +++-+=⋅-，且1p >， ∴1110n n p p p ++->->，10p ->． ∴(1)f n +<1()2p f n p+，（*n ∈N ）． （8分）(3) 由(2)知 1(1)2p f p +=，(1)f n +<1()2p f n p+，（*n ∈N ）． ∴当2n时，211111()(1)()(2)()(1)()2222n np p p p f n f n f n f p pp p-++++<-<-<<=． ∴221111(1)(2)(21)222n p p p f f f n p p p -⎛⎫⎛⎫++++++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2111112n p p p p -⎡⎤⎛⎫++=-⎢⎥ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦， （10分）（当且仅当1n =时取等号）．另一方面，当2n ，1,2,,21k n =-时，2221(1)(1)()(2)2(1)2(1)k n k k k n k n k p p p f k f n k p p p ---⎡⎤-+++-=+⎢⎥--⎣⎦2221(1)(1)22(1)2(1)k n kk k n k n k p p p p p p ----++⋅⋅--212(1)12(1)(1)nn kn k p p p p p --+=--2212(1)121n nn k n k p p p p p p --+=--+∵22k n k n p p p -+，∴2222121(1)n k n k n n n p p p p p p ---+-+=-．∴12(1)()(2)2()2(1)nn n p p f k f n k f n p p -++-⋅=-，（当且仅当k n =时取等号）．（13分） ∴2121211111()[()(2)]()(21)()2n n n k k k f k f k f n k f n n f n ---====+-=-∑∑∑．（当且仅当1n =时取等号）． 综上所述，2121111(21)()()112n n k p p n f n f k p p --=⎡⎤⎛⎫++--⎢⎥∑ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦，（*n ∈N ）．（14分）1．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT （Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca P F +=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x由P ),(y x 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x P F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x a c a a x 知，所以 .||1x aca P F +=………………………3分 证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r P F r P F ==则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由.||,4,211222121x a ca r P F cx r r a r r +===-=+得 证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x aca由椭圆第二定义得a c ca x P F =+||||21，即.||||||21x a c a c a x a c P F +=+=由0,>+-≥+-≥a c x a c a a x 知，所以.||1x aca P F +=…………………………3分 （Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由0||||2=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a Q F OT ==||21||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+…………………………7分 解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥.又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y cx x因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a Q F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+……………………7分（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y ≤所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cb a 2≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=，由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F 解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x 于是，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cb a 2≥时，记c x y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,， ③ ④③ ④由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以.2|1|tan 212121=+-=∠k k k k MF F …………14分2．（本小题满分12分）函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ； （Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分 （Ⅰ）解：).()(000x f x x f m '-=…………………………………………2分 （Ⅱ）证明：令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则 因为)(x f '递减，所以)(x h '递增，因此，当0)(,0>'>x h x x 时；当0)(,0<'<x h x x 时.所以0x 是)(x h 唯一的极值点，且是极小值点，可知)(x h 的最小值为0，因此,0)(≥x h 即).()(x f x g ≥…………………………6分（Ⅲ）解法一：10≤≤b ，0>a 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(221b a -≤另一方面，由于3223)(x x f =满足前述题设中关于函数)(x f y =的条件，利用（II ）的结果可知，3223x b ax =+的充要条件是：过点（0，b ）与曲线3223x y =相切的直线的斜率大于a ，该切线的方程为.)2(21b x b y +=-于是3223x b ax ≥+的充要条件是.)2(21b a ≥…………………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤-①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2(2121b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b ③因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分（Ⅲ）解法二：0,10>≤≤a b 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(221b a -≤………………………………………………………………8分令3223)(x b ax x -+=φ，于是3223x b ax ≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.0)(≥x φ 由.0)(331--==-='a x xa x 得φ当30-<<a x 时;0)(<'x φ当3->a x 时，0)(>'x φ，所以，当3-=a x 时，)(x φ取最小值.因此0)(≥x φ成立的充要条件是0)(3≥-a φ，即.)2(21-≥b a ………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤-①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式2121)1(2)2(b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分3．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈（I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令212()n n f x a x a x a x =+++，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；（II ）由（I ）知321nn a =⨯- 因为212()n n f x a x a x a x =+++所以112()2n n f x a a x na x -'=+++从而12(1)2n f a a na '=+++=()()23212321(321)n n ⨯-+⨯-++⨯- =()232222n n +⨯++⨯-()12n +++=()1(1)31262n n n n ++-⋅-+ 由上()()22(1)23131212n f n n n '--=-⋅-()21221n n --=()()1212121(21)n n n n -⋅--+=12(1)2(21)n n n ⎡⎤--+⎣⎦①当1n =时，①式=0所以22(1)2313f n n '=-； 当2n =时，①式=-120<所以22(1)2313f n n '<- 当3n ≥时，10n -> 又()011211nnn nn n n n C C C C -=+=++++≥2221n n +>+所以()()12210nn n ⎡⎤--+>⎣⎦即①0>从而2(1)f '>22313n n -4．(本小题满分14分) 已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.解：（I ）如图，设M 为动圆圆心，,02p ⎛⎫⎪⎝⎭为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =即动点M 到定点F 与定直线2px =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其x =中,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹方程为22(0)y px P =>；（II ）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且12,0x x ≠所以直线AB 的斜率存在，设其方程为y kx b =+，显然221212,22y y x x p p==，将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2220ky py pb -+=由韦达定理知121222,p pby y y y k k+=⋅=① （1）当2πθ=时，即2παβ+=时，tan tan 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=，221212204y y y y p -=所以2124y y p =由①知：224pbp k=所以2.b pk =因此直线AB 的方程可表示为2y kx Pk =+，即(2)0k x P y +-=所以直线AB 恒过定点()2,0p -（2）当2πθ≠时，由αβθ+=，得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p +-将①式代入上式整理化简可得：2tan 2p b pk θ=-，所以22tan pb pk θ=+，此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22tan p pk θ+即2(2)0tan p k x p y θ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭所以直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以由（1）（2）知，当2πθ=时，直线AB 恒过定点()2,0p -，当2πθ≠时直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5．（本小题满分12分）已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程； （Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-by a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2的方程为.1322=-y x （II ）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k y x kx y 得代入 由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k即 .412>k ① 0926)31(1322222=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即)2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A BA B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA k x x k k x x y x B y x A 而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=k k kk k k k x x k x x k B A B A .0131315,613732222>--<-+k k k k 即于是解此不等式得.31151322<>k k 或 ③ 由①、②、③得.11513314122<<<<k k 或故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ---- 6．（本小题满分12分）数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a n n a a nn n 且. （Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=2.71828….（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立. （2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k那么221))1(11(1≥+++=+k k k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立.根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立. （Ⅱ）证法一：由递推公式及（Ⅰ）的结论有 )1.()2111(21)11(221≥+++≤+++=+n a n n a n n a n nn n n 两边取对数并利用已知不等式得 n n n a n n a ln )2111ln(ln 21++++≤+.211ln 2nn n n a +++≤ 故n n n n n a a 21)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n 上式从1到1-n 求和可得121212121)1(1321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤-n n n n a a .22111121121121111)3121(211<-+-=--⋅+--++-+-=n n n n n 即).1(,2ln 2≥<<n ea a n n 故（Ⅱ）证法二：由数学归纳法易证2)1(2≥->n n n n对成立，故).2()1(1)1(11(21)11(21≥-+-+<+++=+n n n a n n a n n a nnn n令).2())1(11(),2(11≥-+≤≥+=+n b n n b n a b nn n n 则取对数并利用已知不等式得 n n b n n b ln ))1(11ln(ln 1+-+≤+).2()1(1ln ≥-+≤n n n b n上式从2到n 求和得 )1(1321211ln ln 21-++⨯+⨯≤-+n n b b n .11113121211<--++-+-=nn 因).2(3,3ln 1ln .313ln 11122≥=<+<=+=+++n e eb b a b n n 故故1,,,2,132222121≥<<<≥<-<+n e a e a e a n e e a n n 对一切故又显然成立.7．（本小题满分12分）已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(,21,110N n a a a a n n n ∈-==+ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+ （2）求数列}{n a 的通项公式a n . 解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴210<<a a ，命题正确. 2°假设n=k 时有.21<<-k k a a 则)4(21)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时 ).4)((21))((21)(211111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ---=+---=-----而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a又.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a∴1+=k n 时命题正确.由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a 方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴2010<<<a a ； 2°假设n=k 时有21<<-k k a a 成立，令)4(21)(x x x f -=，)(x f 在[0，2]上单调递增，所以由假设 有：),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(221)4(21)4(2111-⨯⨯<-<---k k k k a a a a也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立，所以对一切2,1<<∈+k k a a N n 有 （2）下面来求数列的通项：],4)2([21)4(2121+--=-=+n n n n a a a a 所以 21)2()2(2--=-+n n a ann n n n n n n n b b b b b a b 22212122222112)21()21(21)21(2121,2-+++----==⋅-=--=-=-= 则令, 又b n =－1，所以1212)21(22,)21(---=+=-=nn n n n b a b 即1．（本小题满分14分） 已知f(x)=222+-x ax (x ∈R)在区间[－1，1]上是增函数.（Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程f(x)=x1的两个非零实根为x 1、x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）f ＇(x)=222)2(224+-+x x ax = 222)2()2(2+---x ax x ，∵f(x)在[－1，1]上是增函数， ∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立， 即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立. ① 设ϕ(x)=x 2－ax －2， 方法一：ϕ(1)=1－a －2≤0，① ⇔ ⇔－1≤a ≤1，。
压轴题01 数列压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
压轴题01数列压轴题题型/考向一：等差数列、等比数列性质的综合题型/考向二：以古文化、实际生活等情境综合题型/考向三：数列综合应用一、等差数列、等比数列的基本公式1.等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；2.等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1.3.等差数列的求和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ；4.等比数列的求和公式：S na 1－a n q1－q ，q ≠1，二、等差数列、等比数列的性质1.通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则对于等差数列，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，对于等比数列，有a m a n ＝a p a q ＝a 2k .2.前n 项和的性质(m ，n ∈N *)：对于等差数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列；对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数情况除外).三、数列求和的常用方法热点一分组求和与并项求和1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，或c nn ，n 为奇数，n ，n 为偶数，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列的通项公式中有(－1)n 等特征，根据正负号分组求和.热点二裂项相消法求和裂项常见形式：(1)分母两项的差等于常数1（2n －1）（2n ＋1）＝1n （n ＋k ）＝(2)分母两项的差与分子存在一定关系2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1；n ＋1n 2（n ＋2）2＝141n 2－1（n ＋2）2.(3)分母含无理式1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .热点三错位相减法求和如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，那么求数列{a n ·b n }的前n 项和S n 时，可采用错位相减法.用其法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写“S n ”和“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“S n －qS n ”的表达式.○热○点○题○型一等差数列、等比数列性质的综合1．已知等比数列{}n a 满足123434562,4a a a a a a a a +++=+++=，则11121314a a a a +++=（）A ．32B ．64C ．96D ．128【答案】B【详解】设{}n a 的公比为q ，则()234561234a a a a q a a a a +++=+++，得22q =，所以()()1051112131412341234264a a a a a a a a q a a a a +++=+++⨯=+++⨯=．故选:B2．已知等比数列{}n a 的公比0q >且1q ≠，前n 项积为n T ，若106T T =，则下列结论正确的是（）A ．671a a =B ．781a a =C ．891a a =D ．9101a a =【答案】C3．已知等差数列n 满足15，36，数列n 满足12n n n n ++=⋅⋅．记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则使0n S <的n 的最小值为（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由1536446a a a a =⎧⎨=+⎩得：111141624206a a da d a d =+⎧⎨+=++⎩，解得：1163a d =⎧⎨=-⎩，()1631319n a n n ∴=--=-+，则当6n ≤时，0n a >；当7n ≥时，0n a <；∴当4n ≤时，0n b >；当5n =时，0n b <；当6n =时，0n b >；当7n ≥时，0n b <；11613102080b =⨯⨯= ，213107910b =⨯⨯=，31074280b =⨯⨯=，474128b =⨯⨯=，()54128b =⨯⨯-=-，()()612510b =⨯-⨯-=，()()()725880b =-⨯-⨯-=-，()()()85811440b =-⨯-⨯-=-，()()()9811141232b =-⨯-⨯-=-，()()()101114172618b =-⨯-⨯-=-，532900S ∴=>，915480S =>，1010700S =-<，100S < ，当10n ≥时，0n b <，∴当10n ≥时，0n S <，则使得0n S <的n 的最小值为10.()()()()()()102120232022k k k k k k k T f a f a f a f a f a f a =-+-++- ，1,2k =，则1T ，2T 的大小关系是（）A ．12T >TB ．12T T <C ．12T T =D ．1T ，2T 的大小无法确定()()101322022...a f a +-)()22023f a -1=125．数列n 满足12，21n n n ++=+∈N ，现求得n 的通项公式为n nn F A B ⎛=⋅+⋅ ⎝⎭⎝⎭，,A B ∈R ，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则812⎡⎤⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为（）A ．43B ．44C ．45D ．46○热○点○题○型二以古文化、实际生活等情境综合6．小李年初向银行贷款M 万元用于购房，购房贷款的年利率为P ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还（）万元.A ．10MB ．()()1010111MP P P ++-C ．()10110M P +D ．()()99111MP P P ++-7．传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）A．105B．107C．1012D．1015次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程是（）A．7里B．8里C．9里D．10里【答案】A【详解】设第六天走的路程为1a，第五天走的路程为2a……第一天走的路程记为6a，9．2022年10月16日上午10时，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕.某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式，认真聆听习近平总书记向大会所作的报告.已知该报告厅共有10排座位，共有180个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（）A ．23B ．25C ．27D ．2910次差成等差数列的高阶等差数列.现有一个高阶等差数列的前6项分别为4,7,11,16,22,29，则该数列的第18项为（）A ．172B ．183C ．191D ．211【答案】C【详解】设该数列为{}n a ，则11,(2)n n a a n n --=+≥，○热○点○题○型三数列综合应用11．在数列{}n a 中，11a =，11n n a a n +=++，则122022111a a a +++= （）A ．20211011B ．40442023C ．20212022D ．2022202312．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()()1133n nn n n n S S S S ++-=+，则2023S =（）A ．202331-B ．202331+C ．2022312+D ．2023312+13．已知一族曲线n ．从点向曲线n 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y ．则下列结论错误的是（）A ．数列{}n x 的通项为1n nx n =+B ．数列{}n y 的通项为n yC ．当3n >时，1352111nn nx x x x x x--⋅⋅⋅>+ Dnnxy <故D 正确.故选：B.14．在数列{}n a 中给定1a ，且函数()()311sin 213n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一零点，函数()()()112πcos π2g x x x x =-且()()()12918g a g a g a +++= ，则5a =（）．A ．14B ．13C ．16D ．1915．已知函数()()*ln N f x nx x n =+∈的图象在点,fn n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为n a ，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n S 为（）A ．11n +B ．()()235212n nn n +++C ．()41nn +D ．()()235812n nn n +++。
2021年全国高考数学全国甲卷(理)-压轴题
绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(甲卷·理科)压轴题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上11．已知A ，B ，C 是半径为1的球О的球面上的三个点，且AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，则三棱锥O －ABC 的体积为( ) A ．√212B ．√312C ．√24D ．√34【命题意图】考查空间几何体的体积，球与组合体的切接问题，考查空间想象及数学运算能力 答案：A解： AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，设O 1为AB 的中点，连接CO 1,OO 1，CO 1=√22，由题意OO 1⊥平面ABC ，在Rt △OO 1C 中，OO 1=√OC 2−CO 12=√22,三棱锥O -ABC 的体积为13×12×1×1×√22=√212.点评：利用直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点，确定截面圆的圆心，再根据球心与截面圆的连线与截面垂直，构造直角三角形，利用勾股定理求三棱锥的高和体积.12．设函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[1，2]时，f(x)＝ax 2＋b ．若f(0)＋f(3)＝6，则f (92)＝( ) A ．−94B ．−32C ．74D ．52【命题意图】考查函数的奇偶性，周期性，考查学生数学抽象，逻辑推理能力 答案：D解：由题意f(x ＋1)为奇函数，则f(-x ＋1)=- f(x ＋1)，f(1)=0, f(x ＋2)为偶函数，则f(x ＋2)= f(-x ＋2)， 则f(x+2)= f(x+1+1)=-f(-x), f(2-x) =-f(-x),f(1)=0 又有f(2-x)= f(1+(1-x))=-f(x), f(-x)= f(x),f(x)为偶函数.f(x+4)= f((x+2)+2)= f(-(x+2)＋2)=f(-x)=f(x),函数f(x)的周期为4， f(3)= f(1)=0，f(0)=-f(2).当x ∈[1，2]时，f (x )＝ax 2＋b ．由f (1)=0得a+b=0, f(0)＋f(3)＝6，f (0)=6, f(2)=-6 4a+b=-6,a=-2,b=2, f (92)= f (12)=- f (32)=-[-2×(32)2+2]= 52.点评：根据函数的奇偶性，求得函数为周期函数，并求出周期，根据特殊函数值列出关于a 、b 的方程组，并求出a ，b ，再利用周期性转化求特殊函数值.16．已知函数f(x)＝2cos (ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则满足条件(f(x)−f (−7π4))(f(x)−f (4π3))>0的最小正整数x 为______．【命题意图】考查三角函数性质及应用，考查数形结合，数学运算能力 答案：2解：由图可知, ()f x 的最小正周期 413,23123T πππω⎛⎫=⨯-=∴= ⎪⎝⎭. 因为13132,2cos 2,2,1266f k k z πππϕϕπ⎛⎫⎛⎫=∴+=∴=-+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以4()2cos 20,2cos 16334426f x x ff f f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-∴==-==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∴(()1)(()0)0()0f x f x f x -->⇔< 或 ()1f x >.结合图象可知, 满足()1f x >的离y 轴最近的正数区间 0,4π⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭, 无整数; ()0f x < 的离y 轴最近的正数区间为 5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭, 最小正整数2x =.点评：根据三角函数的图象，求解三角函数的解析式，利用f(x)的取值范围结合图象，充分利用所求x 为最小整数这个特征，分类讨论求解.21．抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线l ：x ＝1交C 于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ．已知点M(2，0)，且⊙M 与l 相切． (1)求C ，⊙M 的方程；(2)设A 1，A 2，A 3是C 上的三个点，直线A 1A 2，A 1A 3均与⊙M 相切．判段直线A 2A 3与⊙M 的位置关系，并说明理由． 【命题意图】考查抛物线方程，直线与圆的位置关系，考查逻辑推理，数学运算的能力 解：（1）因为1x =与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C 的方程为：22(0)y px p =>， 令1x =，则y =，x根据抛物线的对称性，不妨设P 在x 轴上方，Q 在X轴下方，故(1(1P Q ， 因为OP OQ ⊥，故1102p =⇒=， 抛物线C 的方程为：2y x =，因为M 与l 相切，故其半径为1，故22:(2)1M x y -+=． （2）设11(A x ，1)y ，22(A x ，2)y ，33(A x ，3)y ．当1A ，2A ，3A 其中某一个为坐标原点时（假设1A 为坐标原点时）， 设直线12A A 方程为0kx y -=，根据点(2,0)M 到直线距离为11=，解得k =， 联立直线12A A 与抛物线方程可得3x =， 此时直线23A A 与M 的位置关系为相切，当1A ，2A ，3A 都不是坐标原点时，即123x x x ≠≠，直线12A A 的方程为1212?()0x y y y y y ++=，1=，即22212121(?1)23?0y y y y y ++=， 同理，由对称性可得，22213131(?1)23?0y y y y y ++=， 所以2y ，3y 是方程222111(?1)23?0y t y t y ++= 的两根， 依题意有，直线23A A 的方程为2323?()0x y y y y y ++=，令M 到直线23A A 的距离为d ，则有22122223122123213?(2)(2)?11?21()1()?1y y y y d y y y y ++===+++， 此时直线23A A 与M 的位置关系也为相切， 综上，直线23A A 与M 相切． 21．已知a >0且a ≠1，函数f(x)＝x a a x(x >0)．(1)当a ＝2时，求f(x)的单调区间；(2)若曲线y ＝f(x)与直线y ＝1有且仅有两个父点，求a 的取值范围．【命题意图】考查利用导数研究函数的单调性函数的零点，考查逻辑推理，数学运算能力解：（1）2a =时，2()2x x f x =，2222()2222(22)2()(2)22xxx xxln x x x ln x x xln ln f x ⋅-⋅-⋅-'===，当2(0,)2x ln ∈时，()0f x '>，当2(2x ln ∈，)+∞时，()0f x '<， 故()f x 在2(0,)2ln 上单调递增，在2(2ln ，)+∞上单调递减． （2）由题知()1f x =在(0,)+∞有两个不等实根， ()1a x lnx lnaf x x a alnx xlna x a=⇔=⇔=⇔=， 令()lnxg x x=，21()lnx g x x -'=，()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，又0lim ()x g x →=-∞，g （e ）1e=，g （1）0=，lim ()0x g x →+∞=， 作出()g x 的大致图象，如图所示： 由图象可得10lna a e<<，解得1a >且a e ≠， 即a 的取值范围是(1，)(e e ⋃，)+∞．压轴题模拟1．（2021·安徽省泗县第一中学高三模拟（理））在正三棱锥S ABC -中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱2SA =，则正三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．12πB ．32πC ．36πD ．48π答案：A解：∵M ，N 分别为棱SC ，BC 的中点，∴//MN SB ，∵三棱锥S ABC -为正棱锥，作SO ⊥平面ABC ，连接BO 交AC 与D 点，∵底面是正三角形，SA SB SC ==，AC ⊂平面ABC∴BD AC ⊥，SO AC ⊥，∵BD SO O ⋂=，BD ⊂平面BDS ，SO ⊂平面BDS ，∴AC ⊥平面BDS ， ∵SB ⊂平面BDS ，∴AC SB ⊥，∴MN AC ⊥， 又∵MN AM ⊥，而AMAC A =，且AM ，AC ⊂平面SAC ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC ，∴90ASB BSC ASC ∠=∠=∠=︒，以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的体对角线就是球的直径，R ==2412S R ππ==.故选：A.2．（2021·广东茂名市·高三二模）蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列人第一批国家非物质文化遗产名录．已知某蹴鞠的表面上有四个点S 、A 、B 、C ，满足S ABC -为正三棱锥，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，侧棱2SA =，则该蹴鞠的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．36π答案：C解：取AC 中点N ，连接BN 、SN ， ∵N 为AC 中点，SA SC =， ∴AC SN ⊥，同理AC BN ⊥， 由SNBN N =，即AC ⊥平面SBN ，又SB ⊂平面SBN ，∴AC SB ⊥，而SB AM ⊥且AC AM A ⋂=， ∴SB ⊥平面SAC ，即SB SA ⊥且SB AC ⊥． ∵三棱锥S ABC -是正三棱锥，∴SA 、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直，而侧棱2SA =，∴正三棱锥S ABC -的外接球的直径2R =R = ∴其外接球的表面积2412S R ππ==，故选：C ．3．（2021·宁夏银川市·高三模拟（理））已知()y f x =为R 上的奇函数，()1y f x =+为偶函数，若当[]0,1x ∈，()()2log a f x x =+，则()2021f =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2答案：C 解：()f x 为R 上的奇函数，且当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+∴()00f =，即2log 0a =， 1a，∴当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，()1f x +为偶函数，()()11f x f x ∴+=-+， ()()2f x f x ∴+=-，又()f x 为R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，()()2f x f x ∴+=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，∴()f x 是周期为4的周期函数，∴()()()()22021450511log 111f f f =⨯+==+=，故选：C.4．（2021·济南市·山东省实验中学高三月考）已知函数()f x 定义域为R ，满足()()2f x f x =-，且对任意121x x ≤<均有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦成立，则满足()()2130f x f x ---≥的x 的取值范围是（ ） A ．(]2,2,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭C ．22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：D解：因为函数()f x 满足()()2f x f x =-，所以函数()f x 关于直线1x =对称，因为对任意121x x ≤<均有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦成立，所以函数()f x 在[)1,+∞上单调递减. 由对称性可知()f x 在(],1-∞上单调递增.因为()()2130f x f x ---≥，即()()213f x f x -≥-，所以21131x x --≤--，即222x x -≤-，解得403x ≤≤.故选：D . 5．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三月考）已知函数()sin()(0,,0)2f x A x A πωϕϕω=+><>的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平移(0)αα>个单位长度后，所得图象关于直线34x π=对称，则α的最小值为__．答案：3π解：根据函数()sin()(0,,0)2f x A x A πωϕϕω=+><>的部分图象，可得1A =，1274123πππω=-，求得2ω=． 根据图像可得，函数过,03π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2sin 2033f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再根据五点法作图，23πϕπ⨯+=，3πϕ∴=，故有()sin(2)3f x x π=+．将函数()f x 的图象向左平移(0)αα>个单位长度后，得到函数sin(22)3y x πα=++的图象，由所得图象关于直线34x π=对称， 可得322432k πππαπ⨯++=+，k Z ∈，即423k παπ=-，k Z ∈.因为0α> 所以当2k =，可得α的最小值为3π，6．（2020·江苏南京市·高三三模）已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(其中ω＞0，22ππϕ-<≤)部分图象如图所示，则()2f π的值为____．解：由图象可得2222,133ππππωω⎡⎤⎛⎫=--=∴= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 又222,2,332f k k Z πππϕπ⎛⎫=∴+=+∈⎪⎝⎭. 2,6k k Z πϕπ∴=-+∈，k Z ∈.∵22ππϕ-<≤，∴6πϕ=-.()2sin 6f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.2sin 226f πππ⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．（2021·江苏南京市·南京师大附中高三模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知点E (0，2)，以OE 为直径的圆与抛物线C ∶x 2=2py (p >0)交于点M ，N (异于原点O )，MN 恰为该圆的直径，过点E 作直线交抛物线与A ，B 两点，过A ，B 两点分别做拋物线C 的切线交于点P . （1）求证∶点P 的纵坐标为定值；（2）若F 是抛物线C 的焦点，证明∶∠PFA =∠PFB . 解：（1）以OC 为直径的圆为x 2+(y -1)2=1. 由题意可知该圆与抛物线交于一条直径， 由对称性可知交点坐标为(1，1)，(-1，1) 代入抛物线方程可得2p =1. 所以抛物线的方程为x 2=y . 设A 211(,)x x ，B 222(,)x x ， 所以22121212ABx x k x x x x -==+- 所以直线AB 的方程为21121()()y x x x x x -=+-，即1212().y x x x x x =+- 因为直线AB 过点C (0，2)， 所以122x x -=，所以122x x =-①.因为'2y x =，所以直线P A 的斜率为12x ，直线PB 的斜率为22x 直线P A 的方程为21112()y x x x x -=-，即2112y x x x =-，同理直线PB 的方程为2222y x x x =-联立两直线方程，可得P 1212(,)2x x x x + 由①可知点P 的纵坐标为定值-2. （2）cos ||||FA FP PFA FA FP ⋅∠=⋅，cos ||||FB FPPFA FB FP ⋅∠=⋅，注意到两角都在(0,)π内，可知要证PFA PFB ∠=∠， 即证(*)||||FA FP FB FPFA FB ⋅⋅=，2111(,)4FA x x =-，129(,)24x x FP +=-，所以22212111191777()(41)24441616x x FA FP x x x x +⋅=⋅--=--=-+， 又22111||4FA x x ==+，所以74||FA FP FA ⋅=-， 同理7,(*)4||FB FP FB ⋅=-式得证.8．（2021·浙江高三模拟）已知动直线l ：()210mx y m m R --+=∈恒过定点M ，且点M 在抛物线1C ：()220x py p =>上.（1）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；（2）将曲线1C 沿y 轴向上平移1个单位长度得到曲线2C ，若点()00,P x y 在曲线2C 上，且在曲线1C 上存在A ，B ，C 三点，使得四边形PABC 为平行四边形，求平行四边形PABC 的面积S 的最小值.解：（1）将210mx y m --+=整理为()()210m x y ---=，由20,10,x y -=⎧⎨-=⎩得2,1,x y =⎧⎨=⎩，故()2,1M . 将()2,1代入()220x py p =>，得2p =，所以抛物线1C 的方程为24x y =.所以抛物线1C 的准线方程为1y =-，所以点M 到抛物线1C 的准线的距离为2. （2）由（1）知，抛物线1C 的方程为214y x =，将曲线1C 沿y 轴向上平移1个单位长度得到曲线2C ，其方程为2114y x =+. 点()00,P x y 在曲线2C ：2114y x =+上，故20044x y -=-①. 连接AC ，当直线AC 的斜率不存在时，AC x ⊥轴，与抛物线1C 只有一个交点，不符合题意，故舍去. 当直线AC 的斜率存在时，设直线AC 的方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,C x y ，联立，得2,4,y kx b x y =+⎧⎨=⎩得2440x kx b --=，216160k b =+>△，则124x x k +=，124x x b =-，故线段AC 的中点()22,2D k k b +. 若四边形PABC 为平行四边形，则B ，P 关于点D 对称，所以()2004,42B k x k b y -+-.又点B 在抛物线1C 上，故()()22004442k x k b y -=+-，即()2000148kx b x y +=+ ②. 点P 到直线AC的距离d =，124AC x x =-=，所以1122PAC S AC d =⋅⋅=⨯=△00kx b y +-，结合①②得，2004PACS x y =-△===012k x =时，PACS因为2PACS S=，所以S9．（2021·江西九江市·九江一中高三模拟（理））已知函数()x axf x x e=-（e 为自然常数）． （1）若()f x 在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）设a R ∈，讨论函数()ln ()g x x x f x =--的零点个数．解：（1）()x ax f x x e =-，则()0x xe ax af x e+-'=≥在(0,)+∞上恒成立， 记()x x e ax a ϕ=+-，则()0x ϕ≥在(0,)+∞上恒成立，()x x e a ϕ'=+． 当1a ≥-时，()10x x e a a ϕ'=+>+≥，即()ϕx 在(0,)+∞上单调递增，()(0)10x a ϕϕ∴>=-≥，∴11a -≤≤；当1a <-时，令()0x x e a ϕ'=+=，解得ln()x a =-，当0ln()x a <<-时，()0x ϕ'<，()ϕx 在(0,ln())a -上单调递减，当ln()x a >-时，()0x ϕ'>，()ϕx 在(ln(),)a -+∞上单调递增．()(ln())2ln()0x a a a a ϕϕ∴≥-=-+-≥，解得 21e a -≤<-；综上： 21e a -≤≤（2）()ln ()ln x ax g x x x f x x e=--=-（0x >）， 令()0g x =，得ln x e x a x=（0x >）， 令ln ()x e x h x x=，则2(1)ln ()x xx e x e h x x -+'=， 当(0,1]x ∈时，ln 0,10x x <-<，∴()0h x '>，()h x 为增函数，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 为增函数，所以()h x 在(0,)+∞上为单调递增函数， 又ln (),x e x h x R a R x=∈∈， 所以y a =与ln ()x e x h x x=图象只有一个交点， 所以a R ∈，()g x 只有唯一一个零点.10．（2021·安徽高三模拟（理））已知函数()()32413f x x a x ax =-++-. （1）若()f x 在()2,+∞上有极值，求a 的取值范围；（2）求证：当1a 2-<<时，过点()0,1P -只有一条直线与()f x 的图象相切.解：（1）由题意得：()()()()2421212f x x a x a x x a '=-++-=---， 由()0f x '=得：112x =，22a x =， ()f x 在()2,+∞上有极值，22a ∴>，解得：4a >，a ∴的取值范围为()4,+∞.（2）设过点()0,1P -的直线与()f x 的图象切于点()324,13t t a t at ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭， 则切线斜率()()()32241134210t a t at k f t t a t a t -++-+==-++-'=-， 整理可得：()3281103t a t -++=， 若过点()0,1P -只有一条直线与()f x 的图象相切，则关于t 的方程()3281103t a t -++=有且仅有1个实根， 设()()328113g t t a t =-++，则()()2821g t t a t '=-+， 由()0g t '=得：10t =，2104a t +=>， ∴当()1,0,4a t +⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0g t '>；当10,4a t +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g t '<； ()g t ∴在(),0-∞，1,4a ∞+⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,4a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， ()01g =，()()333118111114341648a a a g a +++⎛⎫⎛⎫=⋅-+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 12a -<<，013a ∴<+<，()3111048a ∴-++>，即104a g +⎛⎫> ⎪⎝⎭， ∴当0t >时，()0g t >，()()885110333g a a -=--+=--<-<，又()g t 在(),0-∞上单调递增， ()0g t ∴=在(),0-∞上有唯一的实数根()01,0t ∈-，即当1a 2-<<时，过点()0,1P -只有一条直线与()f x 的图象相切.。
压轴25 直线的方程 备战2021年高考数学二轮必刷压轴题精选精炼(解析版)
压轴25 直线的方程一、单选题1. 若椭圆x 29+y 24=1的弦AB 被点P (1,1)平分，则AB 所在直线的方程为A. 9x +4y −13=0B. 4x +9y −13=0C. x +2y −3=0D. x +3y −3=0 【答案】B【解析】解：设过点A(1,1)的直线与椭圆相交于两点，E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)，由中点坐标公式可知：{x 1+x 22=1y 1+y22=1， 则{x 129+y 124=1x 229+y 224=1，两式相减得：(x 1+x 2)(x 1−x 2)9+(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，∴y 1−y2x 1−x 2=−49，∴直线EF 的斜率k =y 1−y 2x 1−x 2=−49，∴直线EF 的方程为：y −1=−49(x −1)，整理得：4x +9y −13=0， 故选B ．2. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F(−c,0)，上顶点为A ，离心率为√32，直线FA 与抛物线E:y 2=4cx 交于M ，N 两点，则|MA|+|NA|=A. 2√3aB. 5aC. 4√3aD. 10a【答案】D 【解析】解：如图，离心率为√32，即c a =√32，解得a =2b ，c =√3b ，由F(−c,0)，A(0,b)，则k AF =bc =√33，∴直线FA 的方程y =√33x +b ，又y2=4cx，即y2=4√3bx与y=√33x+b联立消去y得，x2−10√3bx+3b2=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，∴x1+x2=10√3b，则|MA|+|NA|=(√33)1+x2)=√310√3b=20b=10a．故选D．3.下列四个命题：①经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y−y0=k(x−x0)表示；②经过任意两个不同的点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线都可以用方程(x2−x1)(x−x1)=(y2−y1)(y−y1)表示；③不经过原点的直线都可以用方程xa +yb=1表示；④经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示．其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】解：经过定点P0(x0,y0)，且斜率存在的直线都可以用方程y−y0=k(x−x0)表示，①故为假命题；把直线的两点式方程变形，即(x2−x1)(y−y1)=(y2−y1)(x−x1)，故②为假命题；不经过原点，且与坐标轴不垂直的直线都可以用方程xa +yb=1表示，故③为假命题；经过定点A(0,b)，且斜率存在的直线都可以用方程y=kx+b表示，故④为假命题；故选A．4.已知直线l1:mx−y+m=0与直线l2:x+my−1=0的交点为P，若点Q为直线l3:x−y+3=0上的一个动点，则|PQ|的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：易知直线l1:mx−y+m=0过定点A(−1,0)，直线l2:x+my−1=0过定点B(1,0)，当m=0时l1⊥l2，当m≠0时，l1与l2斜率乘积为m·(−1m)=−1，所以l1⊥l2，所以点P 在以AB 为直径的圆上，圆的方程为x 2+y 2=1， 圆心(0,0)到直线x −y +3=0的距离为√2=3√22， 所以|PQ|的最小值为圆心到直线x −y +3=0的距离减去半径，即32√2−1， 故选B ．5. 如已知点A(−1,0),B(1,0),C(0,1)，直线y =kx +b(k >0)将三角形ABC 分割成面积相等的两个部分，则b 的取值范围是A. (1−√22,12) B. (1−√22,12] C. [13,12)D. (0,12]【答案】A【解析】解：由题意可得，三角形ABC 的面积为12⋅AB ⋅OC =1， 由于直线y =kx +b(k >0)与x 轴的交点为M(−b k ,0)，由直线y =kx +b(k >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b >0， 故−bk <0，故点M 在射线OA 上．设直线y =kx +b 和BC 的交点为N ，则由{y =kx +b x +y =1可得点N 的坐标为(1−b k+1,k+bk+1)．①若点M 和点A 重合，则点N 为线段BC 的中点，故N (12,12)， 把A 、N 两点的坐标代入直线y =kx +b ，求得k =b =13．②若点M 在点O 和点A 之间，此时b >13，点N 在点B 和点C 之间， 由题意可得三角形NMB 的面积等于12，即12⋅MB ⋅y N =12，即 12×(1+bk )·k+bk+1=12，可得k =b 21−2b >0，求得b <12 ， 故有13<b <12．③若点M 在点A 的左侧，则b <13，由点M 的横坐标−bk <−1，求得b >k ． 设直线y =kx +b 和AC 的交点为P ，则由{y =kx +b y =x +1求得点P 的坐标为(1−b k−1,k−b k−1)，此时，由题意可得，△CPN 的面积等于12，即12⋅(1−b)⋅|x N −x P |=12， 即12(1−b )·|1−bk+1−1−bk−1|=12，化简可得2(1−b)2=|k 2−1|． 由于此时b >k >0，0<k <1，∴2(1−b)2=|k 2−1|=1−k 2 ．两边开方可得√2(1−b )=√1−k 2<1，∴1−b <√2，化简可得b >1−√22，故有1−√22<b <13．再把以上得到的三个b 的范围取并集，可得b 的取值范围应是(1−√22,12) ，故选A ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，过点P(1,4)向圆C:(x −m)2+y 2=m 2+5(1<m <6)引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点A. (−12,1)B. (−1,32)C. (−12,32)D. (−1,12)【答案】B【解析】解：在平面直角坐标系xOy 中，过点P(1,4)，向圆C ：(x −m)2+y 2=m 2+5(1<m <6)引两条切线，则切线长为√PC 2−r 2=√42+(m −1)2−(m 2+5)=√12−2m ，∴以点P 为圆心，切线长为半径的圆的方程为(x −1)2+(y −4)2=12−2m ， ∴直线AB 的方程为[(x −m)2+y 2]−[(x −1)2+(y −4)2]=(m 2+5)−(12−2m)， 整理得：(x +4y −5)−m(1+x)=0． 令{x +4y −5=0x +1=0，解得{x =−1,y =32． 所以直线AB 过定点(−1,32)． 故答案为(−1,32)． 故选B ．7. 已知直线2x +y +2+λ(2−y)=0与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为S(λ)，当λ∈(0,+∞)时，S(λ)的最小值是A. 12B. 10C. 8D. 4【答案】C【解析】解：如图，由直线2x +y +2+λ(2−y)=0，分别可得与坐标轴的交点(−1−λ,0)，(0,2+2λλ−1)，λ∈(0,+∞)，则S(λ)=12(1+λ)×2+2λλ−1=λ−1+4λ−1+4≥2×2+4=8，当且仅当λ=3时取等号．故选C ．8. 已知直线(3+2λ)x +(3λ−2)y +5−λ=0恒过定点P ，则与圆C:(x −2)2+(y +3)2=16有公共的圆心且过点P 的圆的标准方程为A. (x −2)2+(y +3)2=36B. (x −2)2+(y +3)2=25C. (x −2)2+(y +3)2=18D.(x −2)2+(y +3)2=9【答案】B【解析】解：因为(3+2λ)x +(3λ−2)y +5−λ=0，所以λ(2x +3y −1)+3x −2y +5=0， {2x +3y −1=03x −2y +5=0，解得{x =−1y =1，即P(−1,1)，C:(x −2)2+(y +3)2=16的圆心为(2,−3)， 则所求圆的半径为√(2+1)2+(1+3)2=5， 故所求圆的方程为，故选B ．9. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(−1,1)，直y =kx +m (k >0)将四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，则m 的取值范围是A. (0,1)B. (13,12]C. (13,4−√102] D.【答案】D【解析】解：∵点A(−2,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(−1,1)， 如图，四边形的面积为12×(4+2)×1=3，①若直线在第一象限与CD 相交，设交点为F ， 则直线必与OA 交于一点，设为E ， 连接BF ，DE ，要使直线平分梯形， 只须CF +BE =DF +AE =3，设BE =t ，则E 点坐标为(2−t,0)，F 点坐标为(t −2,1)，EF 关于(0,12)对称，此时m=12②若直线与梯形在第一象限的交点在BC上，设交点为F，BC所在直线的方程为x+y=2．此时直线与AB相交，或者与AD相交，(1)若与AB相交，设交点为E点坐标为(t,0)，则BE=2−t，∴三角形BEF在BE边上的高为32−t ≤1，F点横坐标为(2−32−t,32−t)，其中−2≤t≤−1，经计算，m=3(−t−1t)+4(−2≤t≤−1)，当t=−1时，m有最大值12，t=−2时，m有最小值613，(2)若两交点分别在AD和BC上，如图，此时，过A点时，m最大，为617，当斜率k→0时，有最小值(取不到)4−√102，综上，m∈(4−√102,1 2 ]故选D．二、填空题10.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−4,0)，B(0,4)，从直线AB上一点P向圆x2+y2=4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为______．【答案】3√2【解析】解：因为点A(−4,0)，B(0,4)， 所以直线AB 的方程为x −y +4=0． 设P (x 0,y 0)，因为P 是直线AB 上一点，所以y 0=x 0+4.①又因为以AP 为直线的圆的方程为：x (x −x 0)+y (y −y 0)=0， 即x 2+y 2−xx 0−yy 0=0．由{x 2+y 2=4x 2+y 2−xx 0−yy 0=0两式相减得xx 0+yy 0=4，② 即直线CD 的方程为xx 0+yy 0=4．又因为线段CD 的中点为M ，所以直线OM 的方程为：xy 0−yx 0=0.③ 联立①②③消去x 0，y 0得点M 的轨迹方程为(x +12)2+(y −12)2=12．又因为 A(−4,0)，所以|AM |max =√(−4+12)2+(12)2+√22=3√2．故答案为3√2．11. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=72，且2√S n+1=√S n +√S n+2(n ∈N ∗)，直线√S n+1x +√S n y =1与两坐标轴围成的三角形的面积为T n ，则T 1+T 2+T 3+...+T 2159的值为__________． 【答案】21592160【解析】解：由2√S n+1=√S n +√S n+2(n ∈N ∗)可得， √S n+2−√S n+1=√S n+1−√S n ，则{√S n }为等差数列， 又 S n =na 1+n(n−1)2d =d 2n 2+(a 1−d2)n ，∵√S n 为等差数列，∴a 1=d2，又a 4=72，a 4=a 1+3d ， 则a 4=a 1+3d =d2+3d =72d =72， 故d =1，S n =n 22，√S n =√n 22,√S n ⋅S n+1=√n 22⋅(n+1)22=n⋅(n+1)2，因直线√S n+1x +√S n y =1， 当x =0时，y =S ， 当y =0时，x =S ，T n=2S√S =12⋅1n⋅(n+1)2=1n⋅(n+1)=1n−1n+1，T1+T2+T3+⋯+T2159=1−12+12−13+13−14+⋯+12159−12160=1−12160=21592160．12.若动点P在直线a：x−2y−2=0上，动点Q在直线b：x−2y−6=0上，记线段PQ的中点为M(x0,y0)，且(x0−2)2+(y0+1)2≤5，则x02+y02的取值范围为________．【答案】[165,16]【解析】解：由题意知，直线a：x−2y−2=0与直线b：x−2y−6=0平行，因为动点P在直线a上，动点Q在直线b上，所以PQ的中点M在与a，b平行，且到a，b的距离相等的直线上，设该直线为l，则直线l的方程为x−2y−4=0．因为线段PQ的中点为M(x0,y0)，且(x0−2)2+(y0+1)2≤5，所以点M(x0,y0)在圆(x−2)2+(y+1)2=5的内部或在圆上，设直线l交圆于点A，B，则点M在线段AB上运动．联立直线l与圆的方程，得{x−2y−4=0,(x−2)2+(y+1)2=5,解得A(4,0)，B(0,−2)．因为x02+y02=|OM|2，x02+y02表示的几何意义为线段上的点到原点的距离的平方，所以原点到直线的距离的平方为最小，所以x02+y02的最小值为(()22=165，当M与A重合时，x02+y02取得最大值，且最大值为42+02=16，即x02+y02的最大值为16，所以x02+y02的取值范围是[165,16]．13.已知直线l：恒过定点A，点B，C为圆O：上的两动点，满足，则弦BC长度的最大值为______．【答案】4√5【解析】解：直线l：，即为，可得时，，即直线l恒过定点，取BC的中点M，连接AM，OM，OB，圆O：的半径，设，则，由，可得， 由，可得，设，则，再由cosα⩽1，即，，解得5⩽a 2⩽20，即√5⩽a ⩽2√5，可得a 的最大值为2√5，此时A ，M ，O 三点共线， 则弦长BC 的最大值为4√5， 故答案为：4√5．三、解答题14. 已知椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)． (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y =kx +t(t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1.求证：直线l 经过定点． 【答案】(1)解：设椭圆的焦距为2c ， 则{c =11b 2=1a 2=b 2+c 2，解得{a =√2b =1c =1,∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．(2)证明：设P(x 1,y 1)，Q(x 1,x 2)， 由{x 22+y 2=1y =kx +t, 消去y 得：(2k 2+1)x 2+4ktx +2t 2−2=0，由韦达定理得： x 1+x 2=−4kt2k 2+1，x 1x 2=2t 2−22k 2+1，……① ∵A(0,1)，P(x 1,y 1)， ∴直线AP 的方程为：y =y 1−1x 1x +1，∴M(−x 1y 1−1,0)，同理：N(−x 2y 2−1,0)，∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1， ∴x 1x 2y 1−1y 2−1=1，化简得x 1x 2−y 1y 2+(y 1+y 2)−1=0，∴(1−k 2)x 1x 2+(k −kt )(x 1+x 2)−t 2+2t −1=0， 将①代入并化简有：t 2+2t −3=0， ∴t =−3或t =1(舍)，∴直线l 的方程为：y =kx −3，经过定点(0,−3)．15. 在平面直角坐标系中，A(−1,0)，B(1,0)，设△ABC 的内切圆分别与边AC ，BC ，AB 相切于点P ，Q ，R ，已知|CP|=1，记动点C 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)过G(2,0)的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点H ，HA ⊥x 轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M 、N 两点，若S △SMG =6S △SHN ，求直线MN 的方程． 【答案】解：(1)由题意可知，|CA |+|CB |=|CP |+|CQ |+|AP |+|BQ |=2|CP |+|AB |=4>|AB |， ∴曲线E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x 轴的交点)， 设曲线E 方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0,y ≠0)，则c =1，2a =4， ∴a =2，b 2=a 2−c 2=3， 即曲线E 的方程为：x 24+y 23=1(y ≠0)；(2)∵HA ⊥x 轴，∴H (−1,32)，设S(0,y 0)，则−y 0−2=−323，∴y 0=1，即S(0,1)． ∵a =2c ，∴|SG |=2|SH |，∴S △SMGS △SHN=12|SM ||SG |sin∠MSG 12|SN ||SH |sin∠NSH =2|SM ||SN |=6，∴|SM ||SN |=3，即SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3SN⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−1)，SN⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2−1)，∴x1=−3x2．①当直线MN的斜率不存在时，MN的方程为x=0，此时|SM||SN|=√3+1√3−1=2+√3，不符合条件；②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+1．联立{y=kx+1x24+y23=1，整理得：(3+4k2)x2+8kx−8=0，∴{x1+x2=−8k3+4k2x1x2=−83+4k2，将x1=−3x2代入得：{−2x2=−8k3+4k2−3x22=−83+4k2,∴3(4k3+4k2)2=83+4k2，解得：k=±√62，故直线MN的方程为y=√62x+1或y=−√62x+1．16.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−1,0)，B(1,2)，直线l与AB平行．(1)求直线l的斜率；(2)已知圆C：x2+y2−4x=0与直线l相交于M，N两点，且MN=AB，求直线l的方程；(3)在(2)的圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．【答案】解：(1)∵点A(−1,0)，B(1,2)，直线l与AB平行，∴直线l的斜率k=k AB=2−01−(−1)=1．(2)∵圆C：x2+y2−4x=0，∴圆C的标准方程为：(x−2)2+y2=4，圆心C(2,0)，半径为2，由(1)知直线l的斜率k=1，设直线l的方程为x−y−m=0，则圆心C到直线l的距离d=√2=√2，∵MN=AB=√22+22=2√2，而CM2=d2+(MN2)2，∴4=(2+m)22+2，解得m=0或m=−4，故直线l的方程为x−y=0或x−y+4=0．(3)假设圆C上存在点P，设P(x,y)，则(x−2)2+y2=4，PA2+PB2=(x+1)2+(y−0)2+(x−1)2+(y−2)2=12，整理，得x2+y2−2y−3=0，即x2+(y−1)2=4，∵|2−2| <√(2−0)2+(0−1)2<2+2，∴圆(x −2)2+y 2=4与圆x 2+(y −1)2=4相交，∴点P 的个数为2．17. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点P(2,4)，圆O ：x 2+y 2=4与x 轴的正半轴的交点是Q ，过点P 的直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ．(1)若直线l 与y 轴交于D ，且DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16，求直线l 的方程； (2)设直线QA ，QB 的斜率分别是k 1，k 2，求k 1+k 2的值；(3)设AB 的中点为M ，点N(43,0)，若MN =√133OM ，求△QAB 的面积． 【答案】解：(1)若直线l 垂直于x 轴，则其方程为x =2，与圆只有一个交点，不合题意． 故l 存在斜率，设直线l 的方程为：y −4=k(x −2)，即：kx −y −2k +4=0， 则圆心到直线l 的距离：d =√k 2+1，因为直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，所以d =√k 2+1<2，解得k >34． 又D(0,−2k +4)，Q(2,0)，所以DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2k −4)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2k)， 所以DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4+2k(2k −4)=16， 解得k =3或k =−1(舍去)，所以直线l 的方程为：y =3x −2；(2)由题意可知，联立{y −4=k(x −2),x 2+y 2=4,, 得(1+k 2)x 2−4k(k −2)x +(2k −4)2−4=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=4k(k−2)1+k 2,x 1·x 2=(2k−4)2−41+k 2,,所以k 1+k 2=y 1x 1−2+y2x 2−2 =k(x 1−2)+4x 1−2+k(x 2−2)+4x 2−2=2k +4x 1−2+4x 2−2 =2k +4(x 1+x 2−4)x 1x 2−2×(x 1+x 2)+4=2k +4×[4k(k −2)1+k 2−4](2k −4)2−41+k 2−2×4k(k −2)1+k 2+4 =2k −4×(8k +4)16 =2k −2k −1=−1．即k 1+k 2的值是−1；(3)设中点M(x 0,y 0)，则由(2)知{x 0=x 1+x 22=2k(k−2)1+k 2,y 0=k(x 0−2)+4=−2(k−2)1+k 2,(∗) 又由MN =√133OM ，得(x 0−43)2+y 02=139(x 02+y 02)， 化简得：x 02+y 02+6x 0−4=0， 将(∗)代入上式并解得：k =3． 因为圆心到直线l 的距离：d =√k 2+1=10， 所以AB =2√4−d 2=65√10，Q 到直线l 的距离：ℎ=25√10， 所以S △ABQ =12AB ·ℎ=125，即△QAB 的面积为125．。
2021年高考数学高考数学压轴题 立体几何多选题分类精编附答案
2021年高考数学高考数学压轴题 立体几何多选题分类精编附答案一、立体几何多选题1．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A 内，若||5AE =，AC DF ⊥，则（ ）A ．点E 的轨迹是一个圆B ．点F 的轨迹是一个圆C ．EF 21-D ．AE 与平面1A BD 所成角的正弦值的最大值为153015【答案】ACD 【分析】对于A 、B 、C 、D 四个选项，需要对各个选项一一验证. 选项A ：由2211||5AE AA A E =+=1||1A E =，分析得E 的轨迹为圆；选项B ：由AC DBF ⊥，而点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，； 选项C ：由E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段11B D ，可分析得min ||EF d r =-； 选项D ：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】 对于A:2211||5AE AA A E =+=221|25A E +=1||1A E =，即点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上；故A 正确；对于B: 正方体1111ABCD A B C D -中，AC ⊥BD ，又AC DF ⊥，且BD ∩DF=D ，所以AC DBF ⊥，所以点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，故B 错误；对于C:在平面1111D C B A 内，1A 到直线11B D 的距离为2,d=当点E ，F 落在11A C 上时，min ||21EF =-；故C 正确； 对于D:建立如图示的坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D因为点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上，可设()cos ,sin ,2E θθ 所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=-设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =，则有1·220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩不妨令x =1，则()1,1,1n =， 设AE 与平面1A BD 所成角为α，则：22|||sin |cos ,|||||5315n AE n AE n AE πθα⎛⎫++ ⎪⎝⎭====⨯⨯当且仅当4πθ=时，sin α2215301515=， 故D 正确故选：CD 【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．2．如图，直三棱柱11,ABC A B C -，ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，且12AC AA ==，E ，F 分别是AC ，11A C 的中点，D ，M 分别是1AA ，1BB 上的两个动点，则（ ）A ．FM 与BD 一定是异面直线B ．三棱锥D MEF -的体积为定值14C ．直线11B C 与BD 所成角为2π D ．若D 为1AA 中点，则四棱锥1D BB FE -55【答案】CD 【分析】A 当特殊情况M 与B 重合有FM 与BD 相交且共面；B 根据线面垂直、面面垂直判定可证面1BEFB ⊥面11ACC A ，可知EMFS、D 到面1BEFB 的距离，可求D EMF V -；C 根据线面垂直的判定及性质即可确定11B C 与BD 所成角；D 由面面垂直、勾股、矩形性质等确定外接球半径，进而求体积，即可判断各项的正误. 【详解】A ：当M 与B 重合时，FM 与BD 相交且共面，错误； B ：由题意知：BE AC ⊥，AC EF ⊥且BEEF E =，则AC ⊥面1BEFB ，又AC ⊂面11ACC A ，面1BEFB ⋂面11ACC A EF =，所以面1BEFB ⊥面11ACC A ，又1121122EMFSEF BE =⋅⋅=⨯⨯=，D 到面1BEFB 的距离为1h =，所以1133D EMF EMFV h S-=⋅⋅=，错误； C ：由AB BC ⊥，1BC B B ⊥，1B BAB B =，所以BC ⊥面11ABB A ，又11//BC B C ，即11B C ⊥面11ABB A ，而BD ⊂面11ABB A ，则11BD B C ⊥，正确；D ：由B 中，面1BEFB ⊥面11ACC A ，即面DEF ⊥面1BEFB ，则D 到面1BEFB 的距离为1h =，又D 为1AA 中点，若1,BF EB 交点为O ，G 为EF 中点，连接,,OG GD OD ，则OG GD ⊥，故225OD OG GD =+=，由矩形的性质知：152OB OE OF OB ====，令四棱锥1D BB FE -的外接球半径为R ，则5R =，所以四棱锥1D BB FE -的外接球体积为354356V R π==，正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：利用线面、面面关系确定几何体的高，结合棱锥体积公式求体积，根据线面垂直、勾股定理及矩形性质确定外接球半径，结合球体体积公式求体积.3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为11A D 的中点，若以O 6为半径的球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ，则下列结论正确的是（ ）A ．11//A D 平面EFGHB ．1AC ⊥平面EFGHC ．11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°D ．平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7 【答案】ACD 【分析】如图，计算可得,,,E F G H 分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A 、B 的正确与否，计算出直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒后可得C 正确，而几何体BHE CGF -为三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断D 正确与否.【详解】如图，连接OA ，则2115OA AA =+=，故棱1111,,,A A A D D D AD 与球面没有交点.同理，棱111111,,A B B C C D 与球面没有交点. 因为棱11A D 与棱BC 之间的距离为26>BC 与球面没有交点.因为正方体的棱长为2，而26<球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ， 所以棱11,,,AB CD C C B B 与球面各有一个交点， 如图各记为,,,E F G H .因为OAE △为直角三角形，故22651AE OE OA -=-=，故E 为棱AB 的中点. 同理,,F G H 分别为棱11,,CD C C B B 的中点.由正方形ABCD 、,E F 为所在棱的中点可得//EF BC ， 同理//GH BC ，故//EF GH ，故,,,E F G H 共面. 由正方体1111ABCD A B C D -可得11//A D BC ，故11//A D EF因为11A D ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，故11//A D 平面EFGH ，故A 正确. 因为在直角三角1BA C 中，122A B =2BC = ，190A BC ∠=︒， 1A C 与BC 不垂直，故1A C 与GH 不垂直，故1A C ⊥平面EFGH 不成立，故B 错误.由正方体1111ABCD A B C D -可得BC ⊥平面11AA B B ，而1A B ⊂平面11AA B B ， 所以1BC A B ⊥，所以1EF A B ⊥在正方形11AA B B 中，因为,E H 分别为1,AB BB 的中点，故1EH A B ⊥， 因为EFEH E =，故1A B ⊥平面EFGH ，所以BEH ∠为直线AB 与平面EFGH 所成的角，而45BEH ∠=︒， 故直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒，因为11//AB A B ，故11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°.故C 正确. 因为,,,E F G H 分别为所在棱的中点，故几何体BHE CGF -为三棱柱，其体积为111212⨯⨯⨯=，而正方体的体积为8， 故平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本题属于中档题.4．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =12AD AA ==，,,P Q R 分别是11,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是（ ） A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥ B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥ C ．当1AR A C ⊥时，1AR D R ⊥D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABD 【分析】如图所示建立空间直角坐标系，计算142D P CQ b ⋅=-，()12222D R CQ b λλ⋅=--，134AR D R ⋅=-，10D R n ⋅=，得到答案.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设()2,,0P a ，a ⎡∈⎣，()Q b ，[]0,2b ∈，设11A R AC λ=，得到()22,22R λλ--，[]0,1λ∈. ()12,,2P a D -=，()2,0,CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确；()122,2D R λλ=--，()12222D R CQ b λλ⋅=--，取22bλ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确； 1AR A C ⊥，则()()12,222212440AR AC λλλλλ⋅=--⋅--=-+-+=，14λ=，此时113313022224AR D R ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误；113AC A R =，则4234,,33R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，14232,,33D R ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则10n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()3,1,3n =-，故10D R n ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确. 故选：ABD .【点睛】本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.5．在边长为2的等边三角形ABC 中，点,D E 分别是边,AC AB 上的点，满足//DE BC 且AD ACλ=，（()01λ∈，），将ADE 沿直线DE 折到A DE '△的位置.在翻折过程中，下列结论不成立的是（ ）A ．在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD 'B ．存在102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDEC ．若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，||10A B '= D ．在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ23【答案】ABC 【分析】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，即可判断出结论.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，即可判断出结论. 对于C ，12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，可得AM ⊥平面BCDE .可得22A B AM BM '=+，结合余弦定理即可得出.对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-，()01λ∈，，利用导数研究函数的单调性即可得出.【详解】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，如图所示，则可得FN 平行且等于BG ，即四边形BGNF 为平行四边形， ∴//NG BE ，而GN 始终与平面ACD 相交，因此在边A E '上不存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '，A 不正确.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，因此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此B 不正确. 对于C.12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示：可得AM ⊥平面BCDE ，则A B '===≠，因此C 不正确；对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()313BCDE f S λλλ=⋅=-，()01λ∈，，()213f λλ'=-，可得3λ=时，函数()f λ取得最大值()113f λ⎫=-=⎪⎝⎭，因此D 正确. 综上所述，不成立的为ABC. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.6．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（ ）．A ．棱的高与底边长的比为2B ．侧棱与底面所成的角为4πC D ．侧棱与底面所成的角为3π 【答案】AB 【分析】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a ，由21183V a h ==得254h a=，然后可得侧a =时侧面积取得最小值，此时3h =，然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案. 【详解】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a 可得21183V a h ==，即254h a= 所以其侧面积为2222244215410842244a a a h a a a⋅⋅+=+=+令()242108f a a a =+，则()23321084f a a a⨯'=- 令()233210840f a a a⨯'=-=得32a = 当(0,32a ∈时()0f a '<，()f a 单调递减当()32,a ∈+∞时()0f a '>，()f a 单调递增所以当32a =时()f a 取得最小值，即四棱锥的侧面积最小 此时3h =所以棱锥的高与底面边长的比为22，故A 正确，C 错误 侧棱与底面所成的角为SAO ∠，由3h =，32a =可得3AO = 所以4SAO π∠=，故B 正确，D 错误故选：AB 【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题.7．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（ ）A ．直线BD 1⊥平面A 1C 1DB ．三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C ．异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°，90°]D ．直线C 1P 与平面A 1C 1D 6 【答案】ABD【分析】在A 中，推导出A 1C 1⊥BD 1，DC 1⊥BD 1，从而直线BD 1⊥平面A 1C 1D ；在B 中，由B 1C ∥平面 A 1C 1D ，得到P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，再由△A 1C 1D 的面积是定值，从而三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C 1P 与平面A 1C 1D 6． 【详解】解：在A 中，∵A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1⊥BB 1，B 1D 1∩BB 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1，∴A 1C 1⊥BD 1，同理，DC 1⊥BD 1，∵A 1C 1∩DC 1＝C 1，∴直线BD 1⊥平面A 1C 1D ，故A 正确；在B 中，∵A 1D ∥B 1C ，A 1D ⊂平面A 1C 1D ，B 1C ⊄平面A 1C 1D ，∴B 1C ∥平面 A 1C 1D ，∵点P 在线段B 1C 上运动，∴P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，又△A 1C 1D 的面积是定值，∴三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值，故B 正确；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]，故C 错误；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，P （a ，1，a ），则D （0，0，0），A 1（1，0，1），C 1（0，1，1），1DA ＝（1，0，1），1DC ＝（0，1，1），1C P ＝（a ，0，a ﹣1），设平面A 1C 1D 的法向量(),,n x y z =，则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x ＝1，得1,1,1n ，∴直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为： 11||||||C P n C P n ⋅⋅＝22(1)3a a +-⋅＝21132()22a ⋅-+， ∴当a ＝12时，直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为63，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解；（2）、用空间向量坐标公式求解.8．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB '，DD '交于点M ，N ，以下四个命题中正确的是（ ）A ．0MN EF ⋅=B ．ME NE =C ．四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:3D ．四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3【答案】ABD【分析】证明EF ⊥平面BDD B ''，进而得EF MN ⊥，即可得A 选项正确；证明四边形MENF 为菱形即可得B 选项正确；由菱形性质得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅，再分别讨论MN 的最大值与最小值即可；根据割补法求解体积即可.【详解】对于A 选项，如图，连接BD ，B D ''，MN ．由题易得EF BD ⊥，EF BB '⊥，BD BB B '⋂=，所以EF ⊥平面BDD B ''，又MN ⊂平面BDD B ''，所以EF MN ⊥，因此0MN EF ⋅=，故A 正确．对于B 选项，由正方体性质得：平面''//BCC B 平面''ADD A ，平面''BCC B 平面EMFN MF =，平面''ADD A 平面EMFN EN =， 所以//MF EN ，同理得//ME NF ，又EF MN ⊥，所以四边形MENF 为菱形， 因此ME NE =，故B 正确．对于C 选项，由B 易得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅， 所以当点M ，N 分别为BB '，DD '的中点时，四边形MENF 的面积S 最小，此时MN EF ==，即面积S 的最小值为1； 当点M ，N 分别与点B （或点B '），D （或D ）重合时，四边形MENF 的面积S 最大，此时MN =，即面积S 的最大值为2所以四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2C 不正确．对于D 选项，四棱锥A MENF -的体积11113346M AEF N AEF AEF V V V DB S --=+=⋅==△； 因为E ，F 分别是AA '，CC '的中点，所以BM D N '=，DN B M '=，于是被截面MENF 平分的两个多面体是完全相同的，则它们的体积也是相同的，因此多面体ABCD EMFN -的体积21122ABCD A B C D V V ''''-==正方体， 所以四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明四边形MENF 为菱形，利用割补法将四棱锥A MENF -的体积转化为三棱锥M AEF - 和N AEF -的体积之和，将多面体ABCD EMFN -的体积转化为正方体的体积的一半求解.9．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，得四边形1BFD E ，在以下结论中，正确的是（ ）A ．四边形1BFD E 有可能是梯形B ．四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形C ．四边形1BFDE 有可能垂直于平面11BB D DD ．四边形1BFDE 面积的最小值为62【答案】BCD【分析】四边形1BFD E 有两组对边分别平行知是一个平行四边形四边形；1BFD E 在底面ABCD 内的投影是四边形ABCD ；当与两条棱上的交点是中点时，四边形1BFD E 垂直于面11BB D D ；当E ，F 分别是两条棱的中点时，四边形1BFD E 的面积最小为62. 【详解】过1BD 作平面与正方体1111ABCD A B C D -的截面为四边形1BFD E ， 如图所示，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，且平面1BFD E平面11ABB A BE =. 平面1BFD E 平面1111,//DCC D D F BE D F =，因此，同理1//D E BF ，故四边形1BFD E 为平行四边形，因此A 错误；对于选项B ，四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，因此B 正确； 对于选项C ，当点E F 、分别为11,AA CC 的中点时，EF ⊥平面11BB D D ，又EF ⊂平面1BFD E ，则平面1BFD E ⊥平面11BB D D ，因此C 正确；对于选项D ，当F 点到线段1BD 的距离最小时，此时平行四边形1BFD E 的面积最小，此时点E F 、分别为11,AA CC 的中点，此时最小值为16232⨯⨯=，因此D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点睛：解题的关键是理解想象出要画的平面是怎么样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面即可正确解题.10．半正多面体（semiregularsolid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为2 ）A ．BF ⊥平面EABB ．该二十四等边体的体积为203C ．该二十四等边体外接球的表面积为8πD ．PN 与平面EBFN 2 【答案】BCD【分析】 A 用反证法判断；B 先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C 先找到球心与半径，再计算表面积判断；D 先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．【详解】解：对于A ，假设A 对，即BF ⊥平面EAB ，于是BF AB ⊥，90ABF ∠=︒，但六边形ABFPQH 为正六边形，120ABF ∠=︒，矛盾，所以A 错；对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体， 则该二十四等边体的体积为3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=， 所以B 对；对于C ，取正方形ACPM 对角线交点O ，即为该二十四等边体外接球的球心， 其半径为2R =248R ππ=，所以C 对；对于D ，因为PN 在平面EBFN 内射影为NS ，所以PN 与平面EBFN 所成角即为PNS ∠， 其正弦值为22PS PN =，所以D 对． 故选：BCD ．【点睛】本题考查了正方体的性质，考查了直线与平面所成角问题，考查了球的体积与表面积计算问题．。
2021年高考数学压轴题100题精选含答案
A． HF //BE B．三棱锥的体积VB1BMN 4
C．直线 MN 与平面 A1B1BA 所成的角为 45 D． D1G : GC1 1: 3
【答案】ABD 【分析】
面面平行性质定理可得出 A 正确；等体积法求得 B 正确；直线 MN 与平面 A1B1BA 所成的角为
B1MN ，求其正切值不等于 1 即可得出 C 错误；利用面面平行性质定理和中位线求出 D1G, GC1 长
内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径 r，进而求内切球表面积，判断 C 的正误. 【详解】 A：构建如下图所示的空间直角坐标系：
则有： A(0,0, 2), M (1, 2, 2), B(0, 2,0), D(2,0,0) ， ∴ AM (1, 2, 0), DB (2, 2, 0) ， cos AM , DB AM DB 2 10
B1N B1M
4 3
1
，故错误；
对于 D.同 A 选项证明方法一样可证的 GC1 //B1M ，
因为
E
为棱 CC1 上的中点， C1 为棱 B1N
GC1 =
上的中点，所以
1 2
B1M
3 2
所以
D1G=
1 2
，所以
D1G
:
GC1
1:
3
，故正确.
故选：ABD 【点睛】 求体积的常用方法： （1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算； （2）等体积法：选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一 个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换； （3）割补法：首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的 几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算.
高考数学压轴题系列训(共六套)(含答案及解析详解)
高考数学压轴题系列训练一（含答案及解析详解）1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，1222a MF MF =++(222222211321a ab ac ∴=∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴=-'∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分）()1112312322DC AP x CH a x a ∴==+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为： …………（12分）2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点(n n A a 在抛物线21y x =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若()()()n n a f n b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k 值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数n ，不等式1120111111n n n ab b b +≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，求正数a 的取值范围.解：（Ⅰ）将点(n n A a 代入21y x =+中得()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）（Ⅱ）()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴==当为偶数时，为奇数， 当为奇数时，为偶数， 舍去综上，存在唯一的符合条件。
2021届高三高考数学复习压轴题专练32—椭圆(4)【含答案】
2021届高三高考数学复习压轴题专练32—椭圆（4）【含答案】1．直线10x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点F ，交椭圆于A ，B 两点，交y轴于C 点，若2FC AC =，则该椭圆的离心率是( ) A ．1022- B ．312- C ．222- D ．21-解：如图所示：对直线10x y -+=，令0x =，解得1y =，令0y =，解得1x =-， 故(1,0)F -，(0,1)C ，则(1,1)FC =， 设0(A x ，0)y ，则00(,1)AC x y =--， 而2FC AC =，则00212(1)1x y -=⎧⎨-=⎩，解得001212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，点A 又在椭圆上，所以222211()()221a b-+=，222(1,)c a b c ==+， 整理得4224421a a a -=-， 所以235a +=所以241245(102)102354435c e a ---=-+．故选：A ．2．已知椭圆2214x y +=的上顶点为A ，B 、C 为椭圆上异于A 的两点，且AB AC ⊥，则直线BC 过定点( ) A ．(1,0)B ．(3，0)C ．1(0,)2D ．3(0,)5-解：因为AB AC ⊥，所以10AB AC k k =-<，所以直线BC 斜率存在，设直线:(1)BC l y kx m m =+≠，1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，联立方程2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩， 消y 得222(41)8440k x kmx m +++-=，122814kmx x k -+=+，21224414m x x k -=+，(*) 又1212111AB AC y y k k x x --=⋅=-， 整理得1212(1)(1)0y y x x --+=， 即1212(1)(1)0kx m kx m x x +-+-+=，所以221212(1)(1)()(1)0(*)k x x k m x x m ++-++-=，代入得：2222224(1)(1)8(1)(1)01414k m k m m m k k+---+-=++， 整理得530m +=得35m =-，所以直线BC 过定点3(0,)5-．故选：D ．3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若OAB ∠，OAF ∠的平分线分别交x 轴于点D ，E ，且222||||||2||||AD AE DE AD AE +-=⋅，则椭圆C 的离心率为( ) A ．22B ．312- C ．512- D ．32解：如下图所示： 因为222||||||2|||AD AE DE AD AE +-⋅，所以由余弦定理得222||||||2||||22||||AD AE DE AD AE AD AE +-⋅=⋅，又(0,)2DAE π∠∈，所以45DAE ∠=︒．因为AD ，AE 分别为OAB ∠，OAF ∠的平分线，所以290BAF DAE ∠=∠=︒， 所以AB AF ⊥．由题意可知，点(,0)F c -，(0,)A b ，(,0)B a ，则(,),(,)AF c b AB a b =--=-． 由20AF AB ac b ⋅=-+=，可得220a c ac --=，即220c ac a +-=， 在等式220c ac a +-=的两边同时除以2a ，可得210e e +-=， 因为01e <<，解得512e -=． 故选：C ．4．如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，A ，B 分别为椭圆的上、下顶点，P 是椭圆上一点，//AP BF ，||||AF PB =，记椭圆的离心率为e ，则2(e = )A ．22B ．1718- C ．12D ．1518- 解：(0,)B b -，(,0)F c ，则BFb kc =，∴直线:bAP y x b c=+， 与椭圆方程联立，可得2222()20a c x a cx ++=，可得P 点的横坐标为2222a c x a c =-+，则322b y a c =-+，即2222(a c P a c -+，322)b a c -+，由||||AF PB =，得22||PB a =，即2322222222()()a c b b a a c a c+-+=++， 整理为：6244264320c a c a c a --+=，则64243210e e e --+=，即242(1)(41)0e e e -+-=， 210e -≠，42410e e ∴+-=，解得2171e -=或2171e --=． 故选：B ．5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 和B ，P 是椭圆上不同于A ，B的一点．设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当239(3)(||||)32a ln m ln nb mn mn -+++取最小值时，椭圆C 的离心率为( ) A ．223B ．45C ．32 D ．15解：(,0)A a -，(,0)B a ，设0(P x ，0)y ，则2222002()b y a x a=-，则00y n x a =-，200y m x a =+，2202220y b mn x a a∴==--，则222222239239(3)(||||)(3)3232a a a a b ln m ln n ln b mn mn b b b a -+++=+-+ 322()3()393a a a a ln b b b b=-+-． 令322()3393f t t t t lnt =-+-，(1)t >，322292639(3)(23)()263t t t t t f t t t t t t-+--+'=-+-==， 故3t =时，()f t 取最小值， 椭圆C 22221b a -故选：A ．6．卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C 两焦点间的距离为2，且C 上的点到两焦点的距离之积为1，则C 上的点到其对称中心距离的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．2解：设左、右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 的中点为坐标原点， 1F ，2F 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则1(1,0)F -，2(1,0)F ．设曲线上任意一点(,)P x y ，则2222(1)(1)1x y x y ++⋅-+=， 化简得该卡西尼卵形线的方程为22222()2()x y x y +=-，显然其对称中心为(0,0)．由22222()2()x y x y +=-得222222()2()40x y x y y +-+=-， 所以22222()2()x y x y ++， 所以2202x y +，所以222x y +．当且仅当0,2y x ==±时等号成立，所以该卡西尼卵形线上的点到其对称中心距离的最大值为2． 故选：B ．7．已知椭圆22143x y +=上有三个点A 、B 、C ，AB ，BC ，AC 的中点分别为D 、E 、F ，AB ，BC ，AC 的斜率都存在且不为0，若3(4OD OE OF k k k O ++=-为坐标原点），则111(AB BC ACk k k ++= ) A ．1 B ．1-C ．34-D ．34解：如图，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，则 2211143x y +=，2222143x y +=， 两式作差得，12121212()()()()43x x x x y y y y -+-+=-，∴121212124()3()x x y y y y x x -+=--+，即143OD AB k k =-． 同理可得，143OE BC k k =-，143OF AC k k =-， ∴111443()()1334OD OE OF AB BC AC k k k k k k ++=-++=-⨯-=， 故选：A ．8．已知点A 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点，(,0)F c 为椭圆的右焦点，B 、E 在椭圆上，四边形OABE 为平行四边形(O 为坐标原点），过直线AE 上一点P 作圆222()4b x c y -+=的切线PQ ，Q 为切点，若PQF ∆面积的最小值大于28b ，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．102(0,)3- B ．102(,1)3- C ．51(0,)3- D ．51(,1)3- 解：因为四边形OABE 为平行四边形， 所以//BE AO ，||||BE AO a ==，设E 点纵坐标为m ，代入椭圆的方程得22221x m a b+=，解得22a x b m b=-2222()a a b m b m a b b--=，解得3m =， 当3m =，可得223()22a ax b b b -=， (2aE 3)，(,0)A a -， 所以直线AE 的方程为332())32b y x a x a a =+=+，3330bx ay ab -=，所以||min PF 即为点F 到直线AE 的距离223()39b a c d b a+=+，所以22221||4PQ d R d b =-=-，所以222111()||22248PFQ minb b S PQ R d b ∆=⋅=⋅⋅->， 整理得2212d b >，故22222222222223()3()(1)1393()942b a c a c b e b b b a a c a e +++==>+-+-， 所以221(1)(4)2e e +>-，所以23420e e +->， 所以210(3e s --<舍去）或1023e ->，所以e 的取值范围为102(3-，1)． 故选：B ． 二、多选题9．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F 为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在P 点处变轨进入以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在Q 点处变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R ，圆形轨道Ⅲ的半径为r ，则( )A ．椭圆轨道Ⅱ上任意两点距离最大为2RB ．椭圆轨道Ⅱ的焦距为R r -C ．若r 不变，则R 越大，椭圆轨道Ⅱ的短轴越短D ．若R 不变，则r 越小椭圆轨道Ⅱ的离心率越大 解：由题可知椭圆轨道Ⅰ的半径为R ，Ⅱ为椭圆，设为22221x y a b+=，所以a c R +=①，Ⅲ为圆形轨道，半径为r ，所以a c r -=②，对于A ：由题可知椭圆Ⅱ上任意两点最大距离为22a R r R =+≠，故A 不正确； 对于B ：椭圆Ⅱ的焦距为2c ， ①-②得，2c R r =-，故B 正确； 对于C ：由①②得2R ra +=，2R r c -=，所以2222()()222244R r R r b a c Rr +-=-=-=， 若r 不变，R 越大，2b 越大，故C 不正确；对于222:1112R rc R r r D e R r R a R r R r r--====-=-++++， R 不变，r 越小，Rr 越大，21R r+越小，则e 越大，故D 正确．故选：BD ．10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆22:(3)(4)4E x y ++-=上，且圆E 上的所有点均在椭圆C 外，若||||PQ PF -的最小值为256-，且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则下列说法正确的是( )A ．椭圆C 的焦距为2B ．椭圆C 的短轴长为3C ．||||PQ PF +的最小值为23D ．过点F 的圆E 的切线斜率为473-± 解：对于A ：因为椭圆C 的长轴长与圆E 的直径长相等， 所以24a =，即2a =， 设椭圆的左焦点(,0)F c '-，由椭圆的定义可知||||24PF PF a '+==，所以||||||(4||)||||4||4||24256PQ PF PQ PF PQ PF QF EF -=--'=+'-'-'--=， 所以22||25(3)(40)EF c '=-++-1c =或5， 因为2c a <=，所以1c =，即椭圆的焦距为22c =，故A 正确， 对于B ：由2222213b a c =-=-=， 所以椭圆的短轴长为23，故B 错误， 对于22:||||||||||(13)(04)422C PQ PF QF EF EQ +-=++-=-，故C 错误，对于D ：设过点F 的切线方程为(1)y k x =-， 则2|(31)4|21k k ---=+，解得473k -±=，故D 正确， 故选：AD ．11．如图，已知椭圆221:14x C y +=，过抛物线22:4C x y =焦点F 的直线交抛物线于M ，N两点，连接NO ，MO 并延长分别交1C 于A ，B 两点，连接AB ，OMN ∆与OAB ∆的面积分别记为OMN S ∆，.OAB S ∆则下列命题：A ．若记直线NO ，MO 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 的大小是定值14-B ．OAB ∆的面积OAB S ∆是定值1C ．线段OA ，OB 长度的平方和22||||OA OB +是定值5D ．设OMNOABS S λ∆∆=，则5λ其中正确的命题有( )A ．AB ．BC ．CD ．D解：(0,1)F ，设直线MN 方程为1y k =+，代入抛物线方程得：2440x kx --=， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则124x x k +=，124x x =-，1212121211164y y k k x x x x ===-，A 正确． 设直线OA 的方程为：1y k x =，由对称性令10k >， 代入椭圆的方程得：12211(1414A k k++，同理可得，22222(1414B kk++，212121||14k OA k+=+点B 到直线OA 的距离122221141d kk++，22121222221111214()4()1||12(14)(14)4(2)OABk k k k S OA d k k k k k k ∆--==++-+，B 正确． 22221222124444||||1414k k OA OB k k +++=+++ 222212212212(1)(14)(1)(14)4(14)(14)k k k k k k +++++=⨯++ 22122212555245244k k k k ++=⨯=++，C 正确． 221212||||||(14)(14)||||||A B x x OM ON k k OA OB x x λ⋅===++⋅2222121224()2422k k k k =+++⨯⋅=，当且仅当12k k =-时等号成立．D 不正确． 故选：ABC ．12．已知椭圆22:14x C y +=的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，直线(0)y kx k =≠与C 交于A 、B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A ．若1260F PF ∠=︒，则△12F PF 的面积为36B ．四边形12AF BF ，可能为矩形C ．直线BE 的斜率为12kD ．若P 与A 、B 两点不重合，则直线PA 和PB 斜率之积为4-解：由椭圆22:14x C y +=，得2a =，1b =，3c =在△12PF F 中，由余弦定理可得，222121212||||||2||||cos60F F PF PF PF PF =+-︒， 即2212443||||c a PF PF =-，解得124||||3PF PF =， ∴12143323F PF S=⨯=，故A 错误； 若四边形12AF BF 为矩形，则11AF BF ⊥，即110F A F B ⋅=， 即()()0A B A B x c x c y y +++=， 联立2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(41)4k x +=， 得0A B x x +=，2441A B x x k =-+，22441A B k y y k =-+，即22244304141k k k -+-=++，得2810k -=，该方程有实根，故B 正确；由22(41)4k x +=，得2141x k =±+0k >，得21(241A k +241k +，21(41B k -+241k +，则21(241E k +0)，则22414241BE kk k k +==-+，故C 正确；A PB P B PPA A P B P B Py y y y y y k x x x x x x ---+===---+，BE 所在直线方程为22()241k y x k =-+，与椭圆2214x y +=联立， 可得22222()4041x k x k +--=+，即22222244(1)404141k k k x x k k +-+-=++． 得22214141B P k x x k k +=⋅++， 2222221442()214141(1)41B P k k ky y k k k k k -+=⋅-=+++++，故12PA k k =-，则11224PA PB k k k k ⋅=-⋅=-，故D 错误． 故选：BC ．三、填空题13．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且123F PF π∠=，若△12F PF 的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当4R r =时，椭圆的离心率为 ．解：△12F PF 的外接圆的半径R ，由正弦定理1212||22sin sin 3F F cR F PF π==∠，所以23R =， 又由于4R r =，所以3r =， 在△12F PF 中，由余弦定理可得22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，而123F PF π∠=，所以2212443||||c a PF PF =-，所以可得：22124||||()3PF PF a c =-，由三角形的面积相等可得：1212121211(||||||)||||sin 22PF PF F F r PF PF F PF ++⋅=∠，所以2243(22)()3a c r a c +=-所以223432(()3a c a c +=-， 整理可得：2320e e --=，解得23e =或1e =-， 故答案为：23． 14．已知(1,0)F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点，过E 的下顶点B 和F 的直线与E的另一交点为A ，若45BF FA =，则a = ．解：法（1）由椭圆的方程可得(0,)B b -，(1,0)F ，所以0()10BF b k b --==-， 所以直线:(1)BF y b x =-，联立2222(1)1y b x x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得222(1)20a x a x +-=，可得0x =或2221a x a =+， 所以2221A a x a=+，所以22(1)1A b a y a -=+， 因为45BF FA =，则4(1，222)5(11a b a =-+，22(1))1b a a -+，所以22(1)451b a b a-=⋅+，解得29a =，即3a =， 法（2）作AH 垂直于x 轴于H ，易知Rt AHF Rt BOF ∆∆∽， 因为45BF FA =，所以||4||||||||5||||AF AH AH FH BF BO b OF ====， 所以A 的纵坐标为45b ，A 的横坐标为491155+⋅=，所以A 的坐标为：9(5，4)5b ，将A 点的坐标代入椭圆的方程：222294()()551b a b+=，解得29a =，即3a =，故答案为：3．15．曲面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，则椭圆上的点到原点距离的取值范围是 ．解：设椭圆上的点(x ，y ，)z ，则椭圆上的点到原点的距离2222d x y z =++， x ，y ，z 满足的条件为：22z x y =+，1x y z ++=，作拉格朗日函数22222()(1)L x y z z x y x y z λμ=+++--+++-， 22022020x y zL x x L y y L z λμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎨⎪=++=⎩，可得(1)()0x y λ--=， 所以有1λ=或x y =，有10λμ=⇒=，12z =-，不符合题意，所以舍弃，将x y =代入22z x y =+和1x y z ++=可得：22z x =，2212210x z x x +=⇒+-=， 解得：13x y -±==，3z =+ 113(M -+13-+23)-，213(M --13--23)， 由题意可知这种距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值和最小值分别在这两点处取到处取得，而22132()3)95-±++=+3 所以最大值和最小值分别为：1953max M d d =+，2953min M d d ==-故答案为：[953-953]+．16．已知A 、B 为椭圆22:143x y C +=上两点，线段AB 的中点在圆221x y +=上，则直线AB 在y 轴上截距的取值范围为 ．解：设点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，线段AB 的中点为(,)m n ，则221m n +=， ∴22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减整理得，121212123()4()y y x x x x y y -+=--+ ①当0n ≠，即10n -<或01n <时，121234y y mx x n-=--，此时直线AB 的方程为3()4my n x m n-=--， 令0x =，则222343(1)313()44444m n n n y n n n n n n +-=+==+=+，若10n -<，则13()4y n n=+在[1-，0)上单调递减，1y ∴-；若01n <，则13()4y n n =+在(0，1]上单调递减，1y ∴，(y ∴∈-∞，1][1-，)+∞；②当0n =时，直线AB 过点(1,0)或(1,0)-，且垂直于x 轴，在y 轴上无截距． 综上所述，直线AB 在y 轴上截距的取值范围为(-∞，1][1-，)+∞． 故答案为：(-∞，1][1-，)+∞．。
2021高考数学压轴题（2）(1)
2021数学 压轴题（2）1.已知函数84)(2--=kx x x f 在区间)20,5(上既没有最大值也没有最小值，那么实数k 的取值范围是 . 12.已知24()2(0)f x x x x x =++>，那么()f x 的最小值是 . 13.已知1()426+=-+x x f x ，那么()f x 的最小值是 ..14以下说法中：①假设函数2()(2)2([21,4])=+++∈-+f x ax a b x x a a 是偶函数，那么实数2=b ；②()f x 表示 22x -+与2242x x -++中的较小者，那么函数()f x 的最大值为1；③已知函数()f x 是概念在R 上的不恒为零的函数，且对任意的,x y R ∈都知足()()()f xy xf y yf x =+，那么()f x 是奇函数；④设lg 2,lg3a b ==那么能够取得5log 6;1a b a+=- ⑤函数22()log (3+2)f x x x =-的值域是().2,0其中正确．．说法的序号是__________(注：把你以为是正确的序号都填上). .15概念运算“*”如下：2,*,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩那么函数()(1*)(2*)(f x x x x x =⋅-∈[2,2])-的最大值等于________16. 给出以下四个命题：①函数||x y =与函数2)(x y =表示同一个函数；②奇函数的图像必然通过直角坐标系的原点；③函数2)1(3-=x y 的图像可由23x y =的图像向右平移1个单位取得；④假设函数)(x f 的概念域为]2,0[，那么函数)2(x f 的概念域为]4,0[；⑤设函数()x f 是在区间[]b a ,上图像持续的函数，且()()0<⋅b f a f ，那么方程()0=x f 在区间[]b a ,上至少有一实根．其中正确命题的序号是 ．（填上所有正确命题的序号）17.概念两种运算a b ⊕=a b ⊗=，那么函数2()(2)2x f x x ⊕=⊗-为 .A 奇函数 .B 偶函数 .C 奇函数且为偶函数 .D 非奇函数且非偶函数18.已知)(x f 在R 上是奇函数，且知足)()4(x f x f =+，当()2,0∈x 时，22)(x x f =，那么=)7(f19.设奇函数)(x f 在()+∞,0上为增函数，且0)1(=f ，那么不等式0)()( xx f x f --的解集为 20.已知函数 |lg | (010)()1 6 ( 10)2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，假设,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是。
高考数学压轴题100题汇总(含答案)
高考数学压轴题100题汇总(含答案)1. 设函数f(x) = x^3 3x + 1，求f(x)的极值点和极值。
答案：f(x)的极值点为x = 1和x = 1，极值分别为f(1) = 1和f(1) = 3。
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = n^2 + n，求该数列的通项公式。
答案：an = 2n + 1。
3. 已知三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 8，求三角形ABC的面积。
答案：三角形ABC的面积为12。
4. 设直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，求k和b的值。
答案：k = ±√3/3，b = ±√6/3。
5. 已知函数f(x) = log2(x^2 + 1)，求f(x)的导数。
答案：f'(x) = 2x/(x^2 + 1)ln2。
6. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, 4)，求向量a和向量b的夹角。
答案：向量a和向量b的夹角为arccos(1/√5)。
7. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求矩阵A的逆矩阵。
答案：矩阵A的逆矩阵为[4 2; 3 1]。
8. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的零点。
答案：f(x)的零点为x = 1和x = 3。
9. 已知函数f(x) = sin(x) cos(x)，求f(x)在区间[0, π/2]上的最大值。
答案：f(x)在区间[0, π/2]上的最大值为√2。
10. 已知函数f(x) = x^2 + 4x + 4，求f(x)的顶点坐标。
答案：f(x)的顶点坐标为(2, 0)。
高考数学压轴题100题汇总(含答案)11. 已知函数f(x) = e^x 2x，求f(x)的导数。
答案：f'(x) = e^x 2。
12. 已知函数f(x) = x^2 4x + 4，求f(x)的极值点和极值。
答案：f(x)的极值点为x = 2，极值为f(2) = 0。
高考数学压轴题大全
高考数学压轴题大全高考数学压轴题大全1.(本小题满分14分)如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C 的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.(1)求△APB的重心G的轨迹方程.(2)证明PFA=PFB.解：(1)设切点A、B坐标分别为，切线AP的方程为：切线BP的方程为：解得P点的坐标为：因此△APB的重心G的坐标为，因此，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：(2)方法1：因为由于P点在抛物线外，则同理有AFP=PFB.方法2：①当因此P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：即因此P点到直线BF的距离为：因此d1=d2，即得AFP=PFB.②当时，直线AF的方程：直线BF的方程：因此P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到AFP=PF B.2.(本小题满分12分)设A、B是椭圆上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.(Ⅰ)确定的取值范畴，并求直线AB的方程;(Ⅱ)试判定是否存在如此的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由.(此题不要求在答题卡上画图)本小题要紧考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.(Ⅰ)解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得①设是方程①的两个不同的根，且由N(1，3)是线段AB的中点，得解得k=-1，代入②得，的取值范畴是(12，+).因此，直线AB的方程为解法2：设则有依题意，∵N(1，3)是AB的中点，又由N(1，3)在椭圆内，的取值范畴是(12，+).直线AB的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0.(Ⅱ)解法1：∵CD垂直平分AB，直线CD的方程为y-3=x-1，即x-y+ 2=0，代入椭圆方程，整理得又设CD的中点为是方程③的两根，因此由弦长公式可得④将直线AB的方程x+y-4=0，代入椭圆方程得⑤同理可得⑥∵当时，假设存在12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为⑦因此，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得故当12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上.(注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：)A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角|AN|2=|CN||DN|，即⑧由⑥式知，⑧式左边由④和⑦知，⑧式右边⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆.解法2：由(Ⅱ)解法1及12,∵CD垂直平分AB，直线CD方程为，代入椭圆方程，整理得将直线AB的方程x+y-4=0，代入椭圆方程，整理得解③和⑤式可得不妨设运算可得，A在以CD为直径的圆上.又B为A关于CD的对称点，A、B、C、D四点共圆.(注：也可用勾股定理证明ACAD)3.(本小题满分14分)已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足(Ⅰ)证明(Ⅱ)推测数列是否有极限?假如有，写出极限的值(不必证明);(Ⅲ)试确定一个正整数N，使得当时，对任意b0，都有本小题要紧考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.(Ⅰ)证法1：∵当即因此有所有不等式两边相加可得由已知不等式知，当n3时有，证法2：设，第一利用数学归纳法证不等式(i)当n=3时，由知不等式成立.(ii)假设当n=k(k3)时，不等式成立，即则即当n=k+1时，不等式也成立.由(i)、(ii)知，又由已知不等式得(Ⅱ)有极限，且则有故取N=1024，可使当nN时，都有4.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A 1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|=2∶1.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若点P为l上的动点，求F1PF2最大值.本题要紧考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的差不多思想方法和综合解题能力.满分14分.解：(Ⅰ)设椭圆方程为，半焦距为，则5.已知函数和的图象关于原点对称，且.(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)解不等式;(Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范畴.本题要紧考查函数图象的对称、二次函数的差不多性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.满分14分.解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则∵点在函数的图象上(Ⅱ)由当时，，现在不等式无解.当时，，解得.因此，原不等式的解集为.6.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x) 、y=g(x),f(x)g(x) 当xDf且xDg规定: 函数h(x)= f(x) 当xDf且xDgg(x) 当xDf且xDg若函数f(x)=,g(x)=x2,xR,写出函数h(x)的解析式;求问题(1)中函数h(x)的值域;(3)若g(x)=f(x+), 其中是常数,且[0,],请设计一个定义域为R的函数y=f (x),及一个的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.[解] (1)h(x)= x(-,1)(1,+)1 x=1(2) 当x1时, h(x)= =x-1++2,若x1时, 则h(x)4,其中等号当x=2时成立若x1时, 则h(x) 0,其中等号当x=0时成立函数h(x)的值域是(-,0] {1}[4,+)(3)令f(x)=sin2x+cos2x,=则g(x)=f(x+)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,因此h(x)= f(x)f(x+)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.另解令f(x)=1+sin2x, =,g(x)=f(x+)= 1+sin2(x+)=1-sin2x,因此h(x)= f(x)f(x+)= (1+sin2x)( 1-sin2x)=cos4x..(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6分.在直角坐标平面中,已知点P1(1,2),P2(2,22),,Pn(n,2n),其中n是正整数.对平面上任一点A0,记A1为A0关于点P1的对称点, A2为A1关于点P2的对称点, , AN为AN-1关于点PN的对称点.(1)求向量的坐标;(2)当点A0在曲线C上移动时, 点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期的周期函数,且当x(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4]上的解析式;(3)对任意偶数n,用n表示向量的坐标.[解](1)设点A0(x,y), A0为P1关于点的对称点A0的坐标为(2-x,4-y), A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y),={2,4}.(2) ∵={2,4},f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.因此, 曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.因此,当x(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.另解设点A0(x,y), A2(x2,y2),因此x2-x=2,y2-y=4,若36,则0 x2-33,因此f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3).当14时, 则36,y+4=lg(x-1).当x(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.(3) =,由于,得13分)如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C 的右焦点，O为坐标原点.(I)求证：;(II)若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程;(III)在(II)的条件下，直线过点A(0，1)与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判定的范畴，并用代数方法给出证明.解：(I)右准线，渐近线3分(II)双曲线C的方程为：7分(III)由题意可得8分证明：设，点由得与双曲线C右支交于不同的两点P、Q11分，得的取值范畴是(0，1)13分2.(本小题满分13分)已知函数，数列满足(I)求数列的通项公式;(II)设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求;(III)在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立?若存在，则如此的正整数N共有多少个?并求出满足条件的最小的正整数N;若不存在，请说明理由.(IV)请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出那个极限值.解：(I)1分将这n个式子相加，得3分(II)为一直角梯形(时为直角三角形)的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为16分(III)设满足条件的正整数N存在，则又均满足条件它们构成首项为2021，公差为2的等差数列.设共有m个满足条件的正整数N，则，解得中满足条件的正整数N存在，共有495个，9分(IV)设，即则明显，其极限存在，同时10分注：(c为非零常数)，等都能使存在.19. (本小题满分14分)设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2.(I)求此双曲线的渐近线的方程;(II)若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线;(III)过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且.若存在，求出直线的方程;若不存在，说明理由.解：(I)，渐近线方程为4分(II)设，AB的中点则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.(9分)(III)假设存在满足条件的直线设由(i)(ii)得k不存在，即不存在满足条件的直线.14分3. (本小题满分13分)已知数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且.(I)求证数列是等比数列;(II)设数列的公比，数列满足：，试问当m为何值时，成立?解：(I)由已知(2)由得：，即对任意都成立事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。