第五章 定积分的换元法
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定积分换元法
sqrt{x}$。
练习二：求解微分方程
总结词
将微分方程转化为可积分的定积分形式
详细描述
通过求解微分方程的练习，学生可以学会将微分方 程转化为可积分的定积分形式，进一步利用定积分 换元法求解。
练习题目示例
求解微分方程 $y' = frac{1}{x}$，其中 $y(1) = 2$。
练习三：求解物理问题中的定积分
定积分换元法的应用场景
几何意义
定积分换元法在几何上可用于计算曲线下面积、旋转体体积等问题。通过换元，可以将不规则图形转化为规则图形， 便于计算。
物理应用
在物理问题中，定积分换元法常用于解决与速度、加速度等物理量相关的积分问题，如物体运动轨迹、力做功等问题 。通过换元，可以将物理量之间的关系转化为更易于理解的形式。
根式换元法
总结词
根式换元法是通过引入根式来简化定积分计算的一种方法。
详细描述
根式换元法通常用于处理形如$int frac{1}{sqrt{x}} dx$的积分。通过令$x = t^2$，可以将积分转化为 $int frac{1}{t} dt$，进一步简化计算。
倒代换法
总结词
倒代换法是通过引入倒数变量来简化定积分计算的一种方法。
总结词
运用定积分换元法解决物理问题
详细描述
通过求解物理问题中的定积分的练习，学生可以学会运用定积分换 元法解决实际问题，加深对物理概念和公式的理解。
练习题目示例
求地球同步卫星的高度（已知地球半径和重力加速度）。
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定积分换元法
• 引言 • 定积分换元法的基本原理 • 定积分换元法的实例 • 定积分换元法的注意事项 • 定积分换元法的应用练习
高数《定积分》章节重点--期末重点
1exdx 1ex2dx
0
0
高 3. 积分的导数
变限积分求导公式：
d ( (x) f (t)dt) f ( (x)) (x) f ((x))(x)
dx ( x)
帮
常见题型 1．计算下列各导数:
(1) d x2 1 t3 dt ;
dx 0
解： d x2 1 t3 dt 1 (x2 )3 d (x 2 ) 2x 1 x6 .
帮 （换元法）
解 令 1 e2x =u ，则 u2 1 e2x e2x 1 u2来自 x= 1 ln 1 u2 . 2
数 数 原式
3 2
ud
(
1
ln(1
u
2
))
0
2
0
3 2
u(
1 2
)
2 u 1 u2
du
3 2 0
1
u
2
u
2du
3 2 0
u
2
1
1 u2
1du
.
3
高 高
3 2
x
dx.
（凑微分）
解
原式
0
1
1 cos2
x
d
cos
x
arctan(cos
x)
0
arctan(cos ) arctan(cos 0) ( ) . 4 42
常考题型 3 1 xe2xdx. 0
（分部积分）
帮
数 解
原式 1 2
1 xde2x
0
1 2
xe2 x
1 0
1
帮
lim
x0
x sin t 2dt
0
x3
lim x0
定积分的换元法和分部积分法课件
常数倍性质
定积分具有常数倍性质，即对于任 意非零常数c，有c乘以被积函数的 定积分等于该常数乘以被积函数在 积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适 用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积 分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部 积分，将一个复杂函数的积分转 化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分 ，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧 ，通过将一个不定积分转化为两个函 数的乘积的导数，从而简化计算过程 。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复 杂函数的不定积分转化为简单函数的 定积分，实现积分的求解。
定积分具有常数倍性质，即对于任 意非零常数c，有c乘以被积函数的 定积分等于该常数乘以被积函数在 积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适 用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积 分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部 积分，将一个复杂函数的积分转 化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分 ，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧 ，通过将一个不定积分转化为两个函 数的乘积的导数，从而简化计算过程 。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复 杂函数的不定积分转化为简单函数的 定积分，实现积分的求解。
5.3 定积分的换元法和分部积分法
( 2 ) න (sin )d
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0
+ න () d
0
= න [(−) + ()] d
0
2 න () d , (−) = (),
=
0
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .
= − න (π − )(sin(π − ))d
则 d = −d
0
0
π
= න (π − )(sin )d
0
π
π
= π න (sin )d − න (sin )d
0
π
0
π
= π න (sin )d − න (sin )d ,
0
+ න () d
0
= න [(−) + ()] d
0
2 න () d , (−) = (),
=
0
0,
− = − .
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零
第三节 定积分的换元法和分部积分法
定积分
第五章
1
2 2 + cos
例6 计算 න
0
解
1
d.
( > 0)
π
令 = sin , d = cos d, = ⇒ = , = 0 ⇒ = 0.
2
π
2
cos
d
原式 = න
2
2
0 sin + (1 − sin )
=න
π
2
0
cos
1
d = න
sin + cos
1
=
6
6
1
อ
第三节 定积分的换元法和分部积分法
0
cos 5 sin d
= − න cos 5 d(cos )
= 0 ⇒ = 1.
原式 = − න
π
2
1
= .
定积分换元法
t x x
x
x
t
x
f (t )( x − t )dt.
t
证明 :
∫0 [∫0 f (u)du]dt = t ⋅ ∫0 f (u)du 0 − ∫0 t ⋅d[∫0 f (u)du]
=x
x
t
∫0 f (u )du − ∫0 tf (t )dt x x = x ∫ f (t )dt − ∫ tf (t )dt 0 0
7 5 3 1 π 35 = 4⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = π. 8 6 4 2 2 64
例 周期函数的积分性质 6．求下列定积分： 若 30 π f ( x )是以 T为周期的周期函数 , 则
f( （2） 10(1) sin nx dx x ) dx = π
n
∫
n
∫a ∫
a +T
∫0 f ( x)dx;
1
∫
1
∫
1 3 − x4 1 1 2 1 1 − x4 =− x f ′( x)dx = − x e dx = e d (− x 4 ) 0 2 0 4 0
∫
∫
∫
1 − x 4 1 1 −1 = e = (e − 1). 0 4 4
例 14.设f ( x)连续, 证明 :
∫0 [∫0 f (u )du ]dt = ∫0
f ( − x ) g ( x) dx
a
∴∫
=
a −a
f ( x) g ( x)dx = ∫ f (− x) g ( x)dx + ∫ f ( x) g ( x)dx
0 0
a
∫ 0 [ f ( x) + f (− x)]g ( x)dx =∫ 0 Ag ( x)dx =A∫ 0 g ( x)dx.
x
x
t
x
f (t )( x − t )dt.
t
证明 :
∫0 [∫0 f (u)du]dt = t ⋅ ∫0 f (u)du 0 − ∫0 t ⋅d[∫0 f (u)du]
=x
x
t
∫0 f (u )du − ∫0 tf (t )dt x x = x ∫ f (t )dt − ∫ tf (t )dt 0 0
7 5 3 1 π 35 = 4⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = π. 8 6 4 2 2 64
例 周期函数的积分性质 6．求下列定积分： 若 30 π f ( x )是以 T为周期的周期函数 , 则
f( （2） 10(1) sin nx dx x ) dx = π
n
∫
n
∫a ∫
a +T
∫0 f ( x)dx;
1
∫
1
∫
1 3 − x4 1 1 2 1 1 − x4 =− x f ′( x)dx = − x e dx = e d (− x 4 ) 0 2 0 4 0
∫
∫
∫
1 − x 4 1 1 −1 = e = (e − 1). 0 4 4
例 14.设f ( x)连续, 证明 :
∫0 [∫0 f (u )du ]dt = ∫0
f ( − x ) g ( x) dx
a
∴∫
=
a −a
f ( x) g ( x)dx = ∫ f (− x) g ( x)dx + ∫ f ( x) g ( x)dx
0 0
a
∫ 0 [ f ( x) + f (− x)]g ( x)dx =∫ 0 Ag ( x)dx =A∫ 0 g ( x)dx.
定积分的换元法和分部积分法教学课件ppt
定积分的换元法和分部积 分法教学课件ppt
xx年xx月xx日
目录
• 定积分的换元法 • 定积分的分部积分法 • 定积分的几何意义 • 定积分的物理应用 • 定积分的经济应用 • 定积分的优化方法
01
定积分的换元法
换元法的定义与性质
换元法的定义
将一个定积分中的被积函数或积分区间变换 成另一个函数或区间，以求得定积分的值。
THANKS
谢谢您的观看
总结词
功率的概念、能量转换的效率、机械能与热能的转换
详细描述
首先介绍功率的概念，然后通过分析能量转换的效率 和机械能与热能的转换关系，说明功率在不同能量转 换中的重要作用。同时，还介绍如何利用功率公式求 解机械能与热能转换等问题。
05
定积分的经济应用
需求价格弹性
需求价格弹性定义
需求价格弹性是衡量商品需求量 对价格变动敏感程度的指标，用 需求量变动百分比与价格变动百 分比的比值来表示。
成本函数表示企业在一定时期内生产一定数量产品所需投入的成本的函数关系。
收益函数与成本函数的关系
收益函数和成本函数之间存在一定的关系，当销售量增加时，收益增加，但成本也会增加，因此需要找到一个最优的生产 量和销售量组合，使得企业获得最大利润。
利润函数与最优生产量
利润函数定义
利润函数表示企业在一定时期内销售产品 所获得的收益减去生产成本的函数关系。
换元法应用
将复杂的积分区间变换成简单的积分 区间，简化计算。
将非标准形式的积分转换成标准形式的积 分，以便使用积分的性质和公式进行计算 。
将难以求导的被积函数变换成容易 求导的函数，以便使用微积分基本 定理进行计算。
02
定积分的分部积分法
xx年xx月xx日
目录
• 定积分的换元法 • 定积分的分部积分法 • 定积分的几何意义 • 定积分的物理应用 • 定积分的经济应用 • 定积分的优化方法
01
定积分的换元法
换元法的定义与性质
换元法的定义
将一个定积分中的被积函数或积分区间变换 成另一个函数或区间，以求得定积分的值。
THANKS
谢谢您的观看
总结词
功率的概念、能量转换的效率、机械能与热能的转换
详细描述
首先介绍功率的概念，然后通过分析能量转换的效率 和机械能与热能的转换关系，说明功率在不同能量转 换中的重要作用。同时，还介绍如何利用功率公式求 解机械能与热能转换等问题。
05
定积分的经济应用
需求价格弹性
需求价格弹性定义
需求价格弹性是衡量商品需求量 对价格变动敏感程度的指标，用 需求量变动百分比与价格变动百 分比的比值来表示。
成本函数表示企业在一定时期内生产一定数量产品所需投入的成本的函数关系。
收益函数与成本函数的关系
收益函数和成本函数之间存在一定的关系，当销售量增加时，收益增加，但成本也会增加，因此需要找到一个最优的生产 量和销售量组合，使得企业获得最大利润。
利润函数与最优生产量
利润函数定义
利润函数表示企业在一定时期内销售产品 所获得的收益减去生产成本的函数关系。
换元法应用
将复杂的积分区间变换成简单的积分 区间，简化计算。
将非标准形式的积分转换成标准形式的积 分，以便使用积分的性质和公式进行计算 。
将难以求导的被积函数变换成容易 求导的函数，以便使用微积分基本 定理进行计算。
02
定积分的分部积分法
第五章 第4节定积分的换元法和分部积分法
sin
3
x sin
5
5
x cos x sin x 2
3
0
sin
3
x sin
3
x dx
0
cos x sin x 2 dx
3
3
0
2
cos x sin x 2 dx
3
cos x sin x 2 dx
2 3
0 sin x 2 d sin
3
( t 3) d t
2
1
3 1 1 3 22 ( t 3t ) 2 3 3 1
6
例３
计算 0
x 2
cos
0
5
2
cos
5
x sin xdx .
解
令 t cos x ,
2
dt sin xdx ,
t 0,
x sin xdx
5
x 0 t 1,
a
a x d x (a 0).
2 2
0
解: 令 x a sin t , 则 d x a cos t d t , 且当 x 0 时 t 0 , x a 时 t
2
∴ 原式 = a
2
2
2
cos t d t
(1 cos 2 t ) d t 1 2
2
0
2
a
2 a
则 有 f ( x )dx
a
b
f [ ( t )] ( t )dt .
2
证
定积分的换元法
2
；
2
1
1+ x
∫
∫
5. 7. 8. 9.
∫
π
1
0
1 + cos 2 x dx ；
6.
π 2 π − 2 π 2 π − 2
cos x − cos 3 x dx ；
4cos 4 θ dθ
；
∫ ∫ ∫
−1 2
( x 2 1 − x 2 + x 3 1 + x 2 )dx ；
0 2 0
max{ x , x 3 }dx ； x x − λ dx
1 sec t ⋅ tan tdt sec t ⋅ tan t
= − ∫2 π
π dt = − . 12
练习题
一、 填空题： 填空题：
π 1. ∫ π sin( x + )dx = ___________________； ___________________； 3 3
π
2. 3. 4.
∫ ∫
π
0
t 1 = − ∫ t dt = = . 1 60 6
5
6 1
应用换元公式时应注意（ 应用换元公式时应注意（一）:
（1）用 x = ϕ ( t ) 把变量 x 换成新变量 换成新变量 t 时，积分限 积分限也
相应的改变 相应的改变. 改变.
求出 f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )的一个原函数 Φ( t ) 后，不必 （2 ） 象计算不定积分那样再要把 Φ( t ) 回代成原变量 x 的函数， 的函数，而只要把新变量 t 的上、 的上、下限分别代 入 Φ( t ) 然后相减就行了. 然后相减就行了.
（ λ 为参数 ）.
1 , 当x ≥ 0时， 1 + x 三、 设 f ( x ) = 求 1 , 当x < 0时， 1 + e x
；
2
1
1+ x
∫
∫
5. 7. 8. 9.
∫
π
1
0
1 + cos 2 x dx ；
6.
π 2 π − 2 π 2 π − 2
cos x − cos 3 x dx ；
4cos 4 θ dθ
；
∫ ∫ ∫
−1 2
( x 2 1 − x 2 + x 3 1 + x 2 )dx ；
0 2 0
max{ x , x 3 }dx ； x x − λ dx
1 sec t ⋅ tan tdt sec t ⋅ tan t
= − ∫2 π
π dt = − . 12
练习题
一、 填空题： 填空题：
π 1. ∫ π sin( x + )dx = ___________________； ___________________； 3 3
π
2. 3. 4.
∫ ∫
π
0
t 1 = − ∫ t dt = = . 1 60 6
5
6 1
应用换元公式时应注意（ 应用换元公式时应注意（一）:
（1）用 x = ϕ ( t ) 把变量 x 换成新变量 换成新变量 t 时，积分限 积分限也
相应的改变 相应的改变. 改变.
求出 f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )的一个原函数 Φ( t ) 后，不必 （2 ） 象计算不定积分那样再要把 Φ( t ) 回代成原变量 x 的函数， 的函数，而只要把新变量 t 的上、 的上、下限分别代 入 Φ( t ) 然后相减就行了. 然后相减就行了.
（ λ 为参数 ）.
1 , 当x ≥ 0时， 1 + x 三、 设 f ( x ) = 求 1 , 当x < 0时， 1 + e x
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f[ (t) ](t)d t( ) ( ),
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() a 、 () b ,
() () F [() ]F [( )] F (b)F (a),
b
af(x)d xF(b)F(a) () ()f[(t)](t)d.t
注 意 当 时 ， 换 元 公 式 仍 成 立 .
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应用换元公式时应注意:
① f(x )为 偶 函 数 ， 则 f(t)f(t),
a af(x )d x 0 af(x )d x 0 af(x )dx 20a f(t)d;t
② f(x )为 奇 函 数 ， 则 f( t)f(t),
a af(x )d x 0 af(x )d x 0 af(x )dx 0.
即： 奇函数在对称区间上的积分等于0 偶函数在对称区间上的积分等于对称的 部分区间上积分的两倍
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
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一、换元公式
假 设
（ 1） f(x)在 [a,b]上 连 续 ；
（ 2） 函 数 x(t)在 [,]上 是 单 值 的 且 有 连 续
导 数 ；
（ 3） 当 t在 区 间 [,]上 变 化 时 ，x(t)的 值 在 [a,b]上 变 化 ， 且 ()a、 ()b，
0
0
a2
2
(1cos2t)dt
a2
20
4
解4 令 xaco t s
仍可得到上述结果
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例3 计算
2 co5sxsinxd.x 0
解 令 tcox,sd tsix nd, x
x t0, x0 t1,
2
2 co5sxsinxdx 0
0t5dt t 6 1
1
6
1. 6
0
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注
定积分的换元积分公式也可以反过来使用
（1） 用 x ( t) 把 变 量 x 换 成 新 变 量 t时 ， 积 分 限 也
相 应 的 改 变 .
（2） 求出f[(t)](t)的一个原函数 (t)后，不
必象计算不定积分那样再要把 (t)变换成原 变量x的函数，而只要把新变量 t的上、下限 分别代入(t)然后相减就行了.
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a
例2 计算 a2 x2dx
x0
t
2, 2
x 2
t0,
2 0
0
f(sinx)dx 2
fsin2tdt
2 f(cots)dt 2 f(coxs)dx;
0
0
（2）设 x t d xd,t
x0 t, xt0,
0
0 xf(sinx)dx(t)f[s i nt)(d] t
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0(t)f(sti)n d,t
定积分的换元法
上一节我们建立了积分学两类基本 问题之间的联系——微积分基本公式，利 用这个公式计算定积分的关键是求出不定 积分，而换元法和分部积分法是求不定积 分的两种基本方法，如果能把这两种方法 直接应用到定积分的计算，相信定能使得 定积分的计算简化，下面我们就来建立定 积分的换元积分公式和分部积分公式。
0 xf(sinx)dx0 f(sitn)dt 0 tf(sint)dt
0 f(sixn)dx0 xf(sixn)dx,
x(fsx)idn x f(sx)idn .x
0
20
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另证
将上式改写为 (x)f(sixn)dx0
令t x
0
2
2
则 (x)f(sixn)dx
2
tf(cot)sdt
0
例5
计算
e4
dx
e
x
. lnx(1lnx)
3
解 原式
e4
e
d(lnx) lnx(1lnx)
3 e4
e
d(lnx)
3
e4
lnx (1lnx) 2 e
d lnx 1( lnx)2
3
2arcslin n x)(e4 e
. 6
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例6 计算 a
1 d.x(a0)
0 xa2x2
解一 令 xasitn , d xaco tds , t
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二 、计 算下列定 积分：
1 、 2 sin cos 3 d ； 2 、 3 dx ；
0
1 x2 1 x2
3 、
1 3
4
dx ； 1 x 1
4 、
2
cos x cos 3 x dx ；
2
5、 1 cos 2 x dx ； 0
6、
2
4
cos
4
dx
；
2
7 、 1 ( x 2 1 x 2 x 3 1 x 2 )dx ； 1
为方便计 将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t ， t 换成 x
b
f(x)(x)dx f (t )dt
这说明可用
t(x)
a
引入新变量
但须注意如明确引入新变量，则必须换限
如没有明确引入新变量，而只是把 t(x)
整体视为新变量，则不必换限
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例4 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
思考题
指 出 求 2 dx的 解 法 中 的 错 误 ， 并 写 出 正 确
2 xx21
的 解 法 .
解 令 xset,ct:23, d xtatsn e td ,ct
34
2
dx
3
4
1 setctatn dt
2 x x2 1 23setctatn
3
4 dt
.
2 3
12
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思考题 解答计算中第二步是错误的.
t
2
令 I
cost
dt
0
sint
cost
2
J
cost
dt
0 sint cost
则 I J 2 dt
IJ0 20scio ttn 2sc siottn ds tln(tsc in ot)s0 20
IJ
4
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例7 当f (x)在[a, a]上连续，则有
a
a
f (x)dx f (x) f (x)dx 且有
2、 (1 sin3 )d ________________； 0
3、 2 2 x 2 dx _____________； 0
4、
1 2
(arcsin x)2
1 2
1 x2
dx
___________；
5、5 x 3 sin2 x
x 2 x 1 dx 5 4
2
________________________ ..
8 、
2
max{
x , x 3 }dx ；
0
2
9、
x
0
x
dx
（ 为参数 ） .
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三 、 设
f
(x)
1 1
1 , 当 x 0时，
x
求
1 , 当 x 0时， ex
2 f ( x 1 )dx .
0
四 、 设 f ( x )在 a , b 上 连 续 ，
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四分之一单位圆的面积
例 9 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
（1） 2 f (sinx)dx 2 f (cosx)dx;
0
0
（2）
xf (sinx)dx
f (sinx)dx.
0
20
由此计算
0
1
x
sin x cos2
x
dx.
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证 （1）设 x t d xd,t
(0)0
x0时
(x) 1f(x)tdt令xtu 0 精品文档
1 x f (u)du x0
(0)lx i0m (xx) 0(0)
lim lim x0
x 0
f
(u)du
0 型L法 则 0
x2
x
f(x) A x0 2x 2
xf(x) f(u)du
x0时 (x)
0
x2
x
lx i0 m (x)lx i0m x(fx)x 02f(u)du
由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的
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例8 计算 1 2x2xcoxsdx.
1 1 1x2
解
原式
1 1
2x2 1 1x2
dx
1 1
xcoxs dx
1 1x2
偶函数
401
1
x2
dx
1x2
401 x21(1(11x2x)2)dx
奇函数
401(11x2)dx4401 1x2dx
4.
a
a
0
L
aL
a
f(x)d(x 令 xtL)f(tL)dt
L
a
a
0
f (t )dt f ( x)dx
aL 0
a0
f(x)dxf(x)dx 与 a 的值无关
a
0 精品文档
例11 设 f(x) 连续，常数 a > 0 证明
a1f(x2ax22)dxxa1f(xax2)dxx
证明 比较等式两边的被积函数知，令ux2
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先来看一个例子
例1 4 x 2 dx 0 2x 1
换元求不定积分
令 t 2x1则
x1(t2 1)
2
x2 dx
2x1
12t2t12t2dt16t3
3t 2
C
1(2x1)323(2x1)12C
6
2
故
4 x2 dx22
0 2x1
3
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尝试一下直接换元求定积分 为去掉根号 令 t 2x1则 x t2 1
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() a 、 () b ,
() () F [() ]F [( )] F (b)F (a),
b
af(x)d xF(b)F(a) () ()f[(t)](t)d.t
注 意 当 时 ， 换 元 公 式 仍 成 立 .
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应用换元公式时应注意:
① f(x )为 偶 函 数 ， 则 f(t)f(t),
a af(x )d x 0 af(x )d x 0 af(x )dx 20a f(t)d;t
② f(x )为 奇 函 数 ， 则 f( t)f(t),
a af(x )d x 0 af(x )d x 0 af(x )dx 0.
即： 奇函数在对称区间上的积分等于0 偶函数在对称区间上的积分等于对称的 部分区间上积分的两倍
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
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一、换元公式
假 设
（ 1） f(x)在 [a,b]上 连 续 ；
（ 2） 函 数 x(t)在 [,]上 是 单 值 的 且 有 连 续
导 数 ；
（ 3） 当 t在 区 间 [,]上 变 化 时 ，x(t)的 值 在 [a,b]上 变 化 ， 且 ()a、 ()b，
0
0
a2
2
(1cos2t)dt
a2
20
4
解4 令 xaco t s
仍可得到上述结果
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例3 计算
2 co5sxsinxd.x 0
解 令 tcox,sd tsix nd, x
x t0, x0 t1,
2
2 co5sxsinxdx 0
0t5dt t 6 1
1
6
1. 6
0
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注
定积分的换元积分公式也可以反过来使用
（1） 用 x ( t) 把 变 量 x 换 成 新 变 量 t时 ， 积 分 限 也
相 应 的 改 变 .
（2） 求出f[(t)](t)的一个原函数 (t)后，不
必象计算不定积分那样再要把 (t)变换成原 变量x的函数，而只要把新变量 t的上、下限 分别代入(t)然后相减就行了.
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a
例2 计算 a2 x2dx
x0
t
2, 2
x 2
t0,
2 0
0
f(sinx)dx 2
fsin2tdt
2 f(cots)dt 2 f(coxs)dx;
0
0
（2）设 x t d xd,t
x0 t, xt0,
0
0 xf(sinx)dx(t)f[s i nt)(d] t
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0(t)f(sti)n d,t
定积分的换元法
上一节我们建立了积分学两类基本 问题之间的联系——微积分基本公式，利 用这个公式计算定积分的关键是求出不定 积分，而换元法和分部积分法是求不定积 分的两种基本方法，如果能把这两种方法 直接应用到定积分的计算，相信定能使得 定积分的计算简化，下面我们就来建立定 积分的换元积分公式和分部积分公式。
0 xf(sinx)dx0 f(sitn)dt 0 tf(sint)dt
0 f(sixn)dx0 xf(sixn)dx,
x(fsx)idn x f(sx)idn .x
0
20
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另证
将上式改写为 (x)f(sixn)dx0
令t x
0
2
2
则 (x)f(sixn)dx
2
tf(cot)sdt
0
例5
计算
e4
dx
e
x
. lnx(1lnx)
3
解 原式
e4
e
d(lnx) lnx(1lnx)
3 e4
e
d(lnx)
3
e4
lnx (1lnx) 2 e
d lnx 1( lnx)2
3
2arcslin n x)(e4 e
. 6
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例6 计算 a
1 d.x(a0)
0 xa2x2
解一 令 xasitn , d xaco tds , t
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二 、计 算下列定 积分：
1 、 2 sin cos 3 d ； 2 、 3 dx ；
0
1 x2 1 x2
3 、
1 3
4
dx ； 1 x 1
4 、
2
cos x cos 3 x dx ；
2
5、 1 cos 2 x dx ； 0
6、
2
4
cos
4
dx
；
2
7 、 1 ( x 2 1 x 2 x 3 1 x 2 )dx ； 1
为方便计 将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t ， t 换成 x
b
f(x)(x)dx f (t )dt
这说明可用
t(x)
a
引入新变量
但须注意如明确引入新变量，则必须换限
如没有明确引入新变量，而只是把 t(x)
整体视为新变量，则不必换限
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例4 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
思考题
指 出 求 2 dx的 解 法 中 的 错 误 ， 并 写 出 正 确
2 xx21
的 解 法 .
解 令 xset,ct:23, d xtatsn e td ,ct
34
2
dx
3
4
1 setctatn dt
2 x x2 1 23setctatn
3
4 dt
.
2 3
12
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思考题 解答计算中第二步是错误的.
t
2
令 I
cost
dt
0
sint
cost
2
J
cost
dt
0 sint cost
则 I J 2 dt
IJ0 20scio ttn 2sc siottn ds tln(tsc in ot)s0 20
IJ
4
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例7 当f (x)在[a, a]上连续，则有
a
a
f (x)dx f (x) f (x)dx 且有
2、 (1 sin3 )d ________________； 0
3、 2 2 x 2 dx _____________； 0
4、
1 2
(arcsin x)2
1 2
1 x2
dx
___________；
5、5 x 3 sin2 x
x 2 x 1 dx 5 4
2
________________________ ..
8 、
2
max{
x , x 3 }dx ；
0
2
9、
x
0
x
dx
（ 为参数 ） .
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三 、 设
f
(x)
1 1
1 , 当 x 0时，
x
求
1 , 当 x 0时， ex
2 f ( x 1 )dx .
0
四 、 设 f ( x )在 a , b 上 连 续 ，
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四分之一单位圆的面积
例 9 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
（1） 2 f (sinx)dx 2 f (cosx)dx;
0
0
（2）
xf (sinx)dx
f (sinx)dx.
0
20
由此计算
0
1
x
sin x cos2
x
dx.
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证 （1）设 x t d xd,t
(0)0
x0时
(x) 1f(x)tdt令xtu 0 精品文档
1 x f (u)du x0
(0)lx i0m (xx) 0(0)
lim lim x0
x 0
f
(u)du
0 型L法 则 0
x2
x
f(x) A x0 2x 2
xf(x) f(u)du
x0时 (x)
0
x2
x
lx i0 m (x)lx i0m x(fx)x 02f(u)du
由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的
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例8 计算 1 2x2xcoxsdx.
1 1 1x2
解
原式
1 1
2x2 1 1x2
dx
1 1
xcoxs dx
1 1x2
偶函数
401
1
x2
dx
1x2
401 x21(1(11x2x)2)dx
奇函数
401(11x2)dx4401 1x2dx
4.
a
a
0
L
aL
a
f(x)d(x 令 xtL)f(tL)dt
L
a
a
0
f (t )dt f ( x)dx
aL 0
a0
f(x)dxf(x)dx 与 a 的值无关
a
0 精品文档
例11 设 f(x) 连续，常数 a > 0 证明
a1f(x2ax22)dxxa1f(xax2)dxx
证明 比较等式两边的被积函数知，令ux2
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先来看一个例子
例1 4 x 2 dx 0 2x 1
换元求不定积分
令 t 2x1则
x1(t2 1)
2
x2 dx
2x1
12t2t12t2dt16t3
3t 2
C
1(2x1)323(2x1)12C
6
2
故
4 x2 dx22
0 2x1
3
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尝试一下直接换元求定积分 为去掉根号 令 t 2x1则 x t2 1