江苏省苏州市高一下学期数学期末试卷含答案

学年第二学期苏州市高一期末调研测试数学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 6．样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知全集{0}U x x =>，{3}A x x =≥，则UA = ．2．若数据128,,,x x x ⋅⋅⋅的方差为3，则数据1282,2,,2x x x ⋅⋅⋅的方差为．3．某高级中学共有1200名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为60的样本，其中高一年级抽30人，高三年级抽15人. 则该校高二年级学生人数为． 4．集合{1,2,3,4}A =，{1,2,3}B =，点P 的坐标为(),m n ，m A ∈，n B ∈，则点P 在直线5x y +=上的概率为．5．已知3cos 5θ=-，,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ，则cos 3θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π ．6．算法流程图如右图所示，则输出的结果是． 7．已知{}n a 为等差数列，1233a a a ++=-，4566a a a ++=，则8S = ．8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()f x x x =-，则不等式()f x x >的解(第6题图)(第9题图)集用区间表示为．9．如图，为了探求曲线2y x =，2x =与x 轴围成的曲边三角形OAP 的面积，用随机模拟的方法向矩形OAPB 内随机投点1080次，现统计落在曲边三角形OAP 的次数360次，则可估算曲边三角形OAP 面积为．10．ABC ∆中，3,4AB AC ==,若ABC ∆的面积为BC 的长是．11．若点(),x y 位于曲线y x =与1y =所围成的封闭区域内（含边界），则2x y -的最小值为．12．已知,x y 是正实数，则223y x x yx y--+的最小值为． 13. 如图，等腰梯形AMNB 内接于半圆O ，直径4AB =，2MN =，MN 的中点为C ，则AM BC ⋅的值为．14．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足117a b +=， 224a b +=，335a b +=，442a b +=，则n n a b += ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数2x y =(03x <<)的值域为A ，函数[]lg ()(2)y x a x a =-+-- (其中0a >)的定义域为B ．（1）当4a =时，求A B ；（2）若A B ⊆，求正实数a 的取值范围．16．（本小题满分14分）已知向量a ()2cos x x =，b ()3cos ,2cos x x =-，设函数()f x =a ⋅b ．（1）求()f x 的最小正周期；(第13题图)（2）若0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π，求()f x 的值域．17．（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，()2,4A ，()1,2B -，,C D 为动点．（1）若()3,1C ，求平行四边形ABCD 的两条对角线的长度；（2）若(,)C a b ，且()3,1CD =，求AC BD ⋅取得最小值时,a b 的值．18．（本小题满分16分）某生态公园的平面图呈长方形(如图)，已知生态公园的长AB =8(km)，宽AD =4(km)，M ，N 分别为长方形ABCD 边AD ，DC 的中点，P ，Q 为长方形ABCD 边AB ，BC (不含端点)上的一点．现公园管理处拟修建观光车道P -Q -N -M -P ，要求观光车道围成四边形(如图阴影部分)的面积为15(km 2)，设BP =x (km)，BQ =y (km)，（1）试写出y 关于x 的函数关系式，并求出x 的取值范围；（2）若B 为公园入口，P ，Q 为观光车站，观光车站P 位于线段AB 靠近入口B 的一侧．经测算，每天由B 入口至观光车站P ，Q 乘坐观光车的游客数量相等，均为1万人，问如何确定观光车站P ，Q 的位置，使所有游客步行距离之和最大，并求出最大值．19．（本小题满分16分）已知正项数列{}n a 满足11a =，()221110n n n n n a a a na ++++-=，数列{}n b 的前n 项和为n S 且1n n S b =-.PQCNMBD A(第18题图)（1）求{}n a 和{}n b 的通项；（2）令nn nb c a =， ①求{}n c 的前n 项和n T ；②是否存在正整数m 满足3m >，23,,m c c c 成等差数列？若存在，请求出m ；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分16分）已知函数()()2f x x x a x a =-+∈R （1）当4a =时，解不等式()8f x ≥；（2）当[]0,4a ∈时，求()f x 在区间[]3,4上的最小值；（3）若存在[]0,4a ∈，使得关于x 的方程()()f x tf a =有3个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．学年苏州市高一期末调研测试数学参考答案一、填空题：1．()0,3 2．12 3．300 4．14 5．3106．5 7．12 8．()2,0(2,)-+∞9．8310 11 3- 12．4313．1 14．()171n n --+- 二、解答题： 15．（本小题满分14分）解：（1）{}|18A x x =<<， ……3分当4a =时，{}{}2|224046B x x x x x =--<=-<<， ……5分{}|16A B x x ∴=<<． ……8分（2）0a >,{}{}()(2)02B x x a x a x a x a ∴=+--<=-<<+， ……10分1,28a A B a -⎧⊆∴⎨+⎩≥，解得6;a ≥ ……13分当A B ⊆，实数a 的取值范围是[6,)+∞． ……14分16．（本小题满分14分）（1）2()6cos cos f x x b x a x ⋅==- ……2分1+cos2622xx =⨯……4分=3cos223x x +=)36++． ……6分∴()f x 的最小正周期为22T ==ππ， ……8分（2）0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π，∴72666x +πππ， ……10分 ∴1-3cos(2)62x +π ……12分∴()f x 值域为[3- ……14分17．（本小题满分14分）（1）()2,4A ，()3,1C ，∴()1,3AC =-，10AC =……2分又ABCD 是平行四边形∴AB CD =，()3,2AB =--，设(),D x y ，又()3,1DC x y =--，所以63x y =⎧⎨=⎩即()6,3D =， ……5分 ()7,1BD =，故52BD =． ……7分（2）(),C a b ，则()3,1D a b ++，∴()2,4AC a b =--，()4,1BD a b =+-，……9分()2222545452541244AC BD a a b b a b ⎛⎫⋅=++--=++--≥- ⎪⎝⎭， ……12分当且仅当51,2a b =-=时AC BD ⋅的最小值为454-． ……14分18．（本小题满分16分）解：（1）长方形ABCD 中，AB =8，AD =4，M 、N 分别为AD 、DC 的中点，且BP =x ，BQ =y ．∴AP =8-x ，CQ =4-y ． ……1分则4CMN S ∆= ，2(4)CNQ S y ∆=- ，8AMP S x ∆=- ，12BPQ S xy ∆=． ∴PQMN ABCD =()CMN CNQ AMP BPQ S S S S S S ∆∆∆∆-+++四边形长方形． =1122152x y xy ++-=． ……4分 ∴2(3)4x y x -=-． ……5分又0804x y <<⎧⎨<<⎩，解得：03x <<或58x <<． …… 8分（2）设游客步行距离之和为l （万千米）．则l x y =+=2(3)4x x x -+-=26[(4)]4x x--+-． ……11分观光车站P 位于线段AB 靠近入口B 的一侧，∴03x <<，即144x <-<．由基本不等式：2(4)4x x-+-≥4x =． ……13分∴当4x =-2y =max 6l =- ……15分答：应选定P 离入口B 为4km )处，选定Q 离入口B 为2(km )处可使游客步行距离之和最大，最大值为6- ……16分 19．（本小题满分16分）解析：（1）由()221110n n n n n a a a na ++++-=可以得到()()1110n n n n n a na a a +++-+=⎡⎤⎣⎦，10n n a a ++>，∴()110n n n a na ++-=，∴()11n n n a na ++=， ……2分即()1111n n n a na a ++====，∴{}n a 的通项为1n a n=. ……4分由1n n S a =-可以得到111b b =-也就是112b =且111n n S b ++=-，因此11n n n b b b ++=-，即为112n n b b +=，{}n b 为等比数列，12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ……6分（2）①12n n n n b c n a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，211112222nn T n ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……8分()211111112222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭211111122222nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以111222n nn T n -⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ……11分②由题设有313322284m c c =+=⨯=，所以14m c =， ……12分当3k ≥时，()1111122kk k k c c k k --⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111122k k k k -⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()122kk ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10k k c c --<，所以当3k ≥时，{}k c 为减数列， ……15分又414c =，所以4m =．所以存在正整数4m =此时234,,c c c 成等差数列 ……16分20．（本小题满分16分）（1）当4a =时，不等式可化为428x x x -+≥．若4x ≥，则2280x x --≥，∴4x ≥； ……2分若4x <，则2680x x -+，∴24x <． ……4分综上，不等式解集为[)2,+∞． ……5分（2）2222222222(2)()(2)2222a a x x ax a xx a f x x a xx a a a x x a⎧--⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪⎧--⎪⎝⎭⎝⎭==⎨⎨-++<++⎩⎛⎫⎛⎫⎪--+< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩≥≥ ……7分下面比较22,,22a a a -+的大小： ∵[]0,4a ∈， ∴当[]0,2a ∈时，22022a a a ----=<，22022a aa +--=≥∴()f x 在∴()f x ……9分当(2,4a ∈=3． ∴f 为减函数， 153a -；若34a <，则()f x 在区间[]3,4上的最小值为()2f a a =． ……12分（3）由（2）知当[]0,2a ∈时，如图1，关于x 的方程()()f x tf a =不可能有3个不相等的实数根． ……13分当(]2,4a ∈时，要存在a ，使得关于x 的方程()()f x tf a =有3个不相等的实数根，则2()()2a f a tf a f +⎛⎫<< ⎪⎝⎭有解，∴()max2()2124()a f t a f a +⎛⎫⎪<<< ⎪ ⎪⎝⎭ ……14分x2()142(4)()8a f a f a a+=++，且函数4y a a =+在区间(]2,4上为增函数（不证明单调性扣1分）∴max2()92()8a f f a +⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，∴918t <<． ……16分。

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苏州市高一下学期期末考试数学试卷含答案

（1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
（2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求n的值．
19.为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示．
A.12B.13C.14D.15
6.端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来苏州旅游的概率分别是，，，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来苏州旅游的概率为（）
A. B. C. D.
7.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（）
A．50B．40C．30D．20
3.已知平面向量满足，则向量的夹角为（）
A. B. C. D.
4.已知m，n是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（）
A.若，则 B. ，则
C.若，则 D. ，则
5.若经研究得出某地10名新冠肺炎病患者的潜伏期（单位：天）分别为，则这10个数据的第80百分位数是（）
中年教师所占的人数比例为．
若抽出80人进行问卷调查，则中年教师应抽取（人．
A．海里B．海里C．海里D．40海里
8.在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（）
A. B. C. D.
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

江苏省苏州中学园区校2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

江苏省苏州中学园区校2024届高一数学第二学期期末学业水平测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某船从A 处向东偏北30方向航行B 处，然后朝西偏南60的方向航行6千米到达C 处，则A 处与C 处之间的距离为（）AB ．C ．3千米D ．6千米2．定义运算,:,a a ba b b a b≤⎧⊗⊗=⎨>⎩，设()()()F x f x g x =⊗，若()sin f x x =，()cos g x x =，R x ∈，则()F x 的值域为（）A ．[]1,1-B ．2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,2⎡-⎢⎣⎦D ．1,2⎡--⎢⎣⎦3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是（） A ．2张恰有一张是移动卡 B ．2张至多有一张是移动卡 C ．2张都不是移动卡D ．2张至少有一张是移动卡4．从A ，B ，C 三个同学中选2名代表，则A 被选中的概率为（） A ．13B ．14C ．12D ．235．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若323n n S a n =-，则2019a =（） A ．201921-- B ．201936--C ．20191728⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．201911033⎛⎫--⎪⎝⎭6．函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图，则（OA OB +）AB ⋅=（）A ．0B ．33C ．3D ．67．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为1．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755 的人数为（） A ．10B ．11C ．12D ．138．已知角A 、B 是ABC 的内角，则“A B <”是“sin sin A B <”的（） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．如图，AB 是圆O 的直径，点C D 、是半圆弧的两个三等分点，AC a =，AD b =，则AO =（）A ．b a -B ．12a b - C ．12a b -D ．22b a -10．下列表达式正确的是（）①min 2(sin )22sin x x+=(0,)x π∈ ②若0a b ->，则220a b -> ③若22ac bc >，则a b > ④若0a b >>，则ln 0ba<A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学含答案

苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学（答案在最后）2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，已知复数11i z =+，则||z =（）A.12B.2C.D.22.sin164sin 44cos16sin 46-= （）A.12-B.2C.12D.23.某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.4.某科研单位对ChatGPT 的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为（）A.78.5B.82.5C.85D.87.55.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若6b =，2c =，60B =︒，则A =（）A.45︒B.60︒C.75︒D.105︒6.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥7.在ABC 中，已知2cos 2cos 22cos A B C +=，则ABC 的形状一定为（）A .等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形8.长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M ，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N ，则下列说法正确的是（）A.M 与N 互斥B.()()P M P MN = C.M 与N 相互独立D.()()1P M P N +<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数2()sin 2233f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2π B.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x=对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增10.已知复数1z ，2z ，3z ，则下列说法正确的有（）A.1212||||||z z z z = B.若120z z ->，则12z z >C.若120z z =，则1212||||z z z z -=+ D.若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，1CC ，11A D ，1DD 的中点，则（）A.1B D ⊥平面EFGB.//AH 平面EFGC.点1B ，D 到平面EFG 的距离相等D.平面EFG 截该正方体所得截面的面积为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，若m p ⊥ ，则实数λ的值为___________.13.在直角三角形ABC 中，已知CH 为斜边AB 上的高，AC =2BC =，现将BCH V 沿着CH 折起，使得点B 到达点B '，且平面B CH '⊥平面ACH ，则三棱锥B ACH '-的外接球的表面积为___________.14.在ABC 中，已知cos 21sin 2cos 212C C C =++，则3sin 2sin A B +的最大值为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E ，F ，G 分别为线段AD ，BC ，PB 的中点.（1）求证：AG ⊥平面PBC ；（2）求证：//PE 平面AFG .16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A =“第一次摸到红球”，B =“第二次摸到黑球”，C =“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.（1）用数组()12,x x 表示可能的结果，1x 是第一次摸到的球的标号，2x 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间Ω；（2）分别求事件A ，B ，C 发生的概率；（3）求事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率.17.如图，在平面四边形ABCD 中，已知AC 与BD 交于点E ，且E 是线段BD 的中点，BCE 是边长为1的等边三角形.（1）若sin 14ABD ∠=，求线段AE 的长；（2）若:AB AD =AE BD <，求sin ADC ∠.18.如图，在平行四边形ABCD 中，已知3A π=，2AB =，1AD =，E 为线段AB 的中点，F 为线段BC 上的动点（不含端点）.记BF mBC =.（1）若12m =，求线段EF 的长；（2）若14m =，设AB xCE yDF =+ ，求实数x 和y 的值；（3）若CE 与DF 交于点G ，AG EF ∥，求向量GE 与GF的夹角的余弦值.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB = .（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为33，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，已知复数11i z =+，则||z =（）A.12B.2C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用复数的商的运算法则求得z ，进而可求||z .【详解】11i 1i 1i 1i (1i)(21i)z --====-++-，则2||2z ==.故选：B .2.sin164sin 44cos16sin 46-= （）A.12-B. C.12D.32【解析】【分析】利用诱导公式与两角差的正弦公式化简求值.【详解】()()sin164sin 44cos16sin 46sin 18016sin 9046cos16sin 46-=---()1sin16cos 46cos16sin 46sin 1646sin 302=-=-=-=-.故选：A.3.某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.【答案】D 【解析】【分析】利用极差、中位数、平均数、标准差的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】某射击运动员射击6次，命中的环数从小到大排列如下：6，7，7，9，9，10，对A ，极差为1064-=，故A 错误；对B ，中位数为7982+=，故B 错误；对C ，平均数为677991086+++++=，故C 错误；对D ，标准差为=，故D 正确.故选：D4.某科研单位对ChatGPT 的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为（）A.78.5B.82.5C.85D.87.5【答案】B【分析】根据百分位数计算规则计算可得.【详解】因为()0.010.0250.035100.70.75++⨯=<，()0.010.0250.0350.02100.90.75+++⨯=>，所以第75百分位数位于[)80,90，设为x ，则()()0.010.0250.035100.02800.75x ++⨯+-=，解得82.5x =.故选：B5.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若b =，2c =，60B =︒，则A =（）A.45︒B.60︒C.75︒D.105︒【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理求出C ，即可求出A .【详解】由正弦定理sin sin c b C B=，则32sin 22sin 2c B C b ⨯===，又c b <，所以60C B <=︒，所以45C =︒，所以180604575A =︒-︒-︒=︒.故选：C6.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】对于A ：若//l m ，//l α，则//m α或m α⊂，又//m β，则//αβ或α与β相交，故A 错误；对于B ：若l m ⊥，l α⊥，则//m α或m α⊂，又//m β，则//αβ或α与β相交，故B 错误；对于C ：若//αβ，l ⊂α，则//l β，又m β⊂，则l 与m 平行或异面，故C 错误；对于D ：若l m ⊥，l α⊥，则//m α或m α⊂，若//m α，则在平面α内存在直线c ，使得//m c ，又m β⊥，则c β⊥，又c α⊂，所以αβ⊥；若m α⊂，又m β⊥，所以αβ⊥；综上可得，由l m ⊥，l α⊥，m β⊥，可得αβ⊥，故D 正确.故选：D7.在ABC 中，已知2cos 2cos 22cos A B C +=，则ABC 的形状一定为（）A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角公式及正弦定理将角化边，即可判断.【详解】因为2cos 2cos 22cos A B C +=，所以22212sin 12sin 22sin A B C -+-=-，所以222sin sin sin A B C +=，由正弦定理可得222+=a b c ，所以ABC 为直角三角形.故选：C8.长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M ，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N ，则下列说法正确的是（）A.M 与N 互斥B.()()P M P MN = C.M 与N 相互独立D.()()1P M P N +<【答案】B 【解析】【分析】计算事件M 和事件N 的概率，由互斥事件的性质和相互独立事件的定义，对选项进行判断即可.【详解】三个人随机选三篇文章研究，样本空间共33327⨯⨯=种，事件M ：“三人都没选择《子归》篇”共有：2228⨯⨯=，所以()827P M =，事件N ：“至少有两人选择的篇目一样”共有27621-=种，所以()1272P N =，()()1P M P N +>，所以M 与N 不互斥，A 错误，D 错误；事件MN 共有2338++=种，所以()782P MN =，B 正确；因为()()()P MN P M P N ≠，所以C 错误.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数2()sin 2f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2π B.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x =对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增【答案】BD 【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，在根据正弦函数的性质计算可得.【详解】因为2()sin 2sin 22f x x x x x=+=+132sin 2cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 错误；因为π1sin 213⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x ，所以()2f x ≥-，故B 正确；因为πππ2sin 2663f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π6x =对称，故C 错误；当π,04x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则,ππ233π6x ⎛⎫-∈ ⎝+⎪⎭，又sin y x =在ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在区间π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确.故选：BD10.已知复数1z ，2z ，3z ，则下列说法正确的有（）A .1212||||||z z z z = B.若120z z ->，则12z z >C.若120z z =，则1212||||z z z z -=+ D.若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =【答案】ACD 【解析】【分析】A 项，表达出12||z z 和12||||z z ，即可得出相等；B 项，作出示意图即可得出结论；C 项，写出12||z z -和12||z z +的表达式，利用120z z =得出两复数的实部和虚部的关系，即可得出结论；D 项，对1213z z z z =进行化简即可得出结论.【详解】由题意，设12i,i,,,,Rz a b z c d a b c d =+=+∈A 项，()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++=12z z ==∴1212||||||z z z z =,A 正确；B 项，当120z z ->时，若两复数是虚数1z ，2z 不能比较大小，B 错误；C 项，()()1212i,i z z a c b d z z a c b d -=-+-+=+++，12z z -==12z z +==，当120z z =时，12120z z z z ==0=，∴0,0a b ==，,c d 任取，或0,0c d ==，,a b 任取，即12,z z 至少有一个为0∴1212z z z z -=+=（其中至少有两项为0），C 正确；D 项，∵1213z z z z =，∴()1230z z z -=，∵10z ≠，∴230z z -=，即23z z =，D 正确；故选：ACD.11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，1CC ，11A D ，1DD 的中点，则（）A.1B D ⊥平面EFGB.//AH 平面EFGC.点1B ，D 到平面EFG 的距离相等D.平面EFG 截该正方体所得截面的面积为【答案】ACD 【解析】【分析】取BC 的中点L ，11C D 的中点K ，1AA 的中点M ，即可得到正六边形LEMGKF 为平面EFG 截该正方体所得截面，求出截面面积，即可判断D ；根据线面垂直的判定定理说明A ，证明1//AD 平面EFG ，即可说明B ，根据正方体的性质判断D.【详解】如图，取BC 的中点L ，11C D 的中点K ，1AA 的中点M ，连接GK 、KF 、FL 、LE 、EM 、MG 、11A C 、MF 、AC 、1AD ，则11//GK A C ，//EL AC ，11////A C AC MF ，所以//GK MF ，所以G 、K 、F 、M 四点共面，又//EL MF ，所以L 、E 、F 、M 四点共面，同理可证//KF ME ，所以K 、E 、F 、M 四点共面，正六边形LEMGKF 为平面EFG 截该正方体所得截面，又12EL AC ===，所以216sin 602LEMGKF S =⨯⨯⨯︒=D 正确；因为AC ⊥平面11DBB D ，1DB ⊂平面11DBB D ，所以1AC DB ⊥，则1EL DB ⊥同理可证1FL DB ⊥，又EL FL L = ，,EL FL ⊂平面LEMGKF ，所以1DB ⊥平面LEMGKF ，即1B D ⊥平面EFG ，故A 正确；因为1//GM AD ，GM ⊂平面LEMGKF ，1AD ⊄平面LEMGKF ，所以1//AD 平面LEMGKF ，即1//AD 平面EFG ，又1AH AD A = ，1,AH AD ⊂平面11AD A A ，平面EFG ⋂平面11AD A A GM =，所以AH 不平行平面EFG ，故B 错误；设O 为正方体的中心，即O 为1DB 的中点，根据正方体的性质可知1EF DB O = ，即1DB 交平面LEMGKF 于点O ，所以点1B ，D 到平面LEMGKF 的距离相等，即点1B ，D 到平面EFG 的距离相等，故D 正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，若m p ⊥ ，则实数λ的值为___________.【答案】15##0.2【解析】【分析】求出p，利用m p ⊥ ，即可求出实数λ的值.【详解】由题意，(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，∴()4,32p λλ=+-∵m p ⊥ ，∴()()143320λλ⨯++-=，解得：15λ=，故答案为：15.13.在直角三角形ABC 中，已知CH 为斜边AB 上的高，AC =2BC =，现将BCH V 沿着CH 折起，使得点B 到达点B '，且平面B CH '⊥平面ACH ，则三棱锥B ACH '-的外接球的表面积为___________.【答案】13π【解析】【分析】证明,,HA HB HC '两两垂直，由,,HA HB HC '的边长，求出外接球半径，求表面积即可.【详解】直角三角形ABC 中，AC =2BC =，则斜边4AB =，30A = ，CH 为斜边AB 上的高，则CH =3AH =，1HB =，平面B CH '⊥平面ACH ，平面B CH ' 平面ACH CH =，B H CH '⊥，B H '⊂平面B CH '，则B H '⊥平面ACH ，又AH CH ⊥，所以,,HA HB HC '两两垂直，HC =3HA =，1HB '=，则三棱锥B ACH '-的外接球半径1322R ==，所以三棱锥B ACH '-的外接球表面积为24π13πS R ==.故答案为：13π.14.在ABC 中，已知cos 21sin 2cos 212C C C =++，则3sin 2sin A B +的最大值为___________.【解析】【分析】利用二倍角公式化简，即可求出C ，从而得到π3A B +=，从而将3sin 2sin A B +转化为A 的三角函数，再利用辅助角公式计算可得.【详解】因为cos 21sin 2cos 212C C C +=++，所以222cos sin 12sin cos 2cos 112C C C C C -+=+-+，即()()()cos sin cos sin 132cos cos sin 2C C C C C C C -+=+，所以cos sin 1113tan 2cos 222C C C C -=-=，所以tan C =，又()0,πC ∈，所以2π3C =，则π3A B +=，所以π3sin 2sin 3sin 2sin 3A B A A ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭()ππ3sin 2sin cos 2cos sin 2sin33A A A A A A ϕ=+-==+，取ϕ为锐角，其中sinϕ=，cos ϕ=1sin 2ϕ=>，所以π6ϕ>，所以当π2A ϕ+=时3sin 2sin AB +.【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出C 的值，从而将3sin 2sin A B +转化为A 的三角函数，结合辅助角公式求出最大值.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E ，F ，G 分别为线段AD ，BC ，PB 的中点.（1）求证：AG ⊥平面PBC ；（2）求证：//PE 平面AFG .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先证BC ⊥平面PAB ，有BC AG ⊥，再由AG PB ⊥，可证AG ⊥平面PBC ；（2）连接BE 交AF于点H ，由AHE FHB ≅ ，得H 为BE 中点，可得//GH PE ，线面平行的判定定理得//PE 平面AFG .【小问1详解】底面ABCD 为矩形，所以BC AB ⊥，PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，则PA BC ⊥，AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，则BC ⊥平面PAB ，AG ⊂平面PAB ，所以BC AG ⊥，又PA AB =，G 为PB 中点，则AG PB ⊥，,BC PB ⊂平面PBC ，BC PB B = ，所以AG ⊥平面PBC .【小问2详解】连接BE 交AF 于点H ，连接GH ，由四边形ABCD 为矩形，,E F 分别为,AD BC 中点，所以AHE FHB ≅ ，则BH HE =，即H 为BE 中点，又因为G 为BP 中点，有//GH PE ，GH Ì平面AFG ，PE ⊄平面AFG ，所以//PE 平面AFG .16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A =“第一次摸到红球”，B =“第二次摸到黑球”，C =“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.（1）用数组()12,x x 表示可能的结果，1x 是第一次摸到的球的标号，2x 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间Ω；（2）分别求事件A ，B ，C 发生的概率；（3）求事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率.【答案】（1）()()()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3=（2）()12P A =，()14P B =，()13P C =（3）()34P A B C ⋃⋃=【解析】【分析】（1）根据事件的定义列出样本空间即可；（2）根据古典概型概率计算公式计算即可；（3）根据古典概型概率计算公式计算即可.【小问1详解】样本空间()()()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3=，Ω共有12个基本事件；【小问2详解】事件A 的基本事件为：()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4共6个基本事件，所以()12P A =，事件B 的基本事件为：()()(){}1,3,2,3,4,3共3个基本事件，所以()14P B =，事件C 的基本事件为：()()()(){}1,42,4,4,1,4,2共4个基本事件，所以()13P C =，【小问3详解】事件A ，B ，C 中至少有一个发生的基本事件为：()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,44,1,4,2,4,3共9个基本事件，所以()34P A B C ⋃⋃=.17.如图，在平面四边形ABCD 中，已知AC 与BD 交于点E ，且E 是线段BD 的中点，BCE 是边长为1的等边三角形.（1）若sin 14ABD ∠=，求线段AE 的长；（2）若:AB AD =AE BD <，求sin ADC ∠.【答案】（1）12（2）7【解析】【分析】（1）由sin 14ABD ∠=，有cos 14ABD ∠=，又120AEB ∠= ，AEB △中，()sin sin BAE AEB ABD ∠=∠+∠，求值后由正弦定理求线段AE 的长；（2）在AED △和AEB △中，余弦定理得22222AB AD AE +=+，又:AB AD =解得13AE =，在ACD 中，由余弦定理求cos ADC ∠，再得sin ADC ∠.【小问1详解】因为BCE 为等边三角形，所以120AEB ∠= ，又sin 14ABD ∠=，所以cos 14ABD ∠=，在AEB △中，()()sin sin 180sin BAE AEB ABD AEB ABD ⎡⎤∠=-∠+∠=∠+∠⎣⎦，所以21sin sin cos cos sin 7BAE AEB ABD AEB ABD ∠=∠∠+∠∠=，由正弦定理得sin sin AE BEABD BAE =∠∠，21sin 114sin 2217BE ABD AE BAE ⋅∠===∠.【小问2详解】()cos cos 180cos AED AEB AEB ∠=-∠=-∠ ，1DE BE ==，在AED △中，由余弦定理，2222cos AD AE DE AE DE AED =+-⋅⋅∠，在AEB △中，由余弦定理，2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅⋅∠两式相加得222222222AB AD AE DE BE AE +=++=+，因为:AB AD =，所以设AB =，AD =，则AE =，在AEB △中，120AEB ∠= ，由余弦定理得，2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅⋅∠，得2211310112m m ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，化简得23m =由0m >，解得1m =或13m =，当1m =时，3AE BD =>，不合题意，舍去；当13m =时，13AE BD =<，符合题意，所以13AE =，43AC AE EC =+=，73AD ==，在DCE △中，1CE DE ==，120DEC ︒=∠，可得CD =，在ACD中，由余弦定理，222cos 2AD CD AC ADC AD CD+-∠==⋅，所以sin 7ADC ∠=.18.如图，在平行四边形ABCD 中，已知3A π=，2AB =，1AD =，E 为线段AB 的中点，F 为线段BC 上的动点（不含端点）.记BF mBC =.（1）若12m =，求线段EF 的长；（2）若14m =，设AB xCE yDF =+ ，求实数x 和y 的值；（3）若CE 与DF 交于点G ，AG EF ∥，求向量GE 与GF的夹角的余弦值.【答案】（1）2（2）68,1111x y =-=（3）7-【解析】【分析】（1）由向量的线性运算可得1122EF AD AB =+，两边平方可求解；（2）由已知可得34DF DC CF AB AD =+=- ，12CE CB BE AD AB =+=--，可得结论；（3）利用向量的线性关系可得1255GE AB AD =-- ，933510GF AD AB =-+，计算可得结论.【小问1详解】若12m =，则1122BF BC AD == ，12BE AB =-，所以1122EF BF BE AD AB =-=+ ，两边平方可得22222211117()(2)(12122)44424EF AD AB AD AD AB AB =+=++=+⨯⨯⨯+= ，所以2EF =；【小问2详解】若14m =，则1144BF BC AD == ，所以34CF AD =-，34DF DC CF AB AD =+=- ①，12CE CB BE AD AB =+=-- ②，由①②可得681111AB CE DF =-+；【小问3详解】1122EF EB BF AB mBC AB mAD =+=+=+，1122EC EB BC AB BC AB AD =+=+=+ ，设2EG EC AB AD λλλ==+ ，又122AG AE EG AE AB AD AB AD λλλλ+=+=++=+，又AG EF ∥，所以1212m λλ=+①，由EG EC λ= ，可得GE CE λ= ，所以CE CG CE λ-=，所以(1)CG CE λ=- ，所以11(1)(1)()(1)22CG CE AB BC CB CD λλλλ-=-=---=-+ ，由BF mBC = ，可得(1)CF m CB =- ，11CB CF m=-所以11(1)12CG CE CF CD m λλλ--=-=+-，又,,D F G 三点共线，所以11112m λλ--+=-②，联立①②解11,23m λ==，所以1142EG AB AD =+ ，所以1142GE AB AD =--，111111242424CG CB CD BC DC AD AB =+=--=-- ，21111(32464GF CF CG AD AD AB AD AB =-=----=-+ ），所以2211111111····64422412168GE GF AD AB AB AD AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫=-+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111112412484=+--=-，又2222111111113()4216444444GE AB AD AB AB AD AD =--=++=++=，所以||2GE =，同理可得||6GF = ，所以1214cos ,726GE GF -==-.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是用基底表示向量后，求向量模或者夹角就可以利用公式直接计算.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB =.（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为3，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）19或7.【解析】【分析】（1）由已知可得//EF 平面1A BC ，//DF 平面1A BC ，从而可证结论；（2）由余弦定理可得23DC =，从而可证AD CD ⊥，进而结合已知可证CD ⊥平面11ADD A ，可证结论；（3）延长,AD BC 交于N ，过1A 作1A M AD ⊥于M ，过M 作MH BN ⊥于H ，连接1A H ，可得1A HM ∠为平面1A BC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，求解即可.【小问1详解】因为12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB = ，所以1EF A B ∥，又1A B ⊂平面1A BC ，EF ⊄平面1A BC ，所以//EF 平面1A BC ，2AF FB = ，3AB =，可得2AF =，又2AD =，60BAD ∠=︒，所以ADF △是等边三角形，所以2DF =，60AFD ∠=︒，又60ABC ∠=︒，所以DF BC ∥，又BC ⊂平面1A BC ，DF ⊄平面1A BC ，//DF 平面1A BC ，又DF EF F = ，又,DF EF ⊂平面DEF ，所以平面DEF 平面1A BC ；【小问2详解】由侧面11CDD C 为矩形，可得1CD DD ⊥，连接CF ，可得BCF △是等边三角形，所以60BFC ∠=︒，所以60DFC ∠=︒，又2DF =，1CF =，由余弦定理可得22211221232DC =+-⨯⨯⨯=，所以222DC CF DF +=，所以90FCD ∠=︒，所以30FDC ∠=︒，所以90ADC ∠=︒，所以AD CD ⊥，又1AD DD D = ，1,AD DD ⊂平面11ADD A ，所以CD ⊥平面11ADD A ，又CD ⊂平面ABCD ，所以平面11ADD A ⊥平面ABCD ；【小问3详解】延长,AD BC 交于N ，可得ABN 是等边三角形，过1A 作1A M AD ⊥于M ，由（1）可知//EF 平面1A BC ，所以三棱锥1E A BC -的体积即为三棱锥1F A BC -的体积，又三棱锥1F A BC -的体积等于三棱锥1A BCF -的体积，由（2）可知平面11ADD A ⊥平面ABCD ，且两平面的交线为AD ，所以AM ⊥平面ABCD ，所以111111331133223B F BCF A C V S A M A M -==⨯⨯⨯⨯= ，解得14A M =，过M 作MH BN ⊥于H ，连接1A H ，AM ⊥平面ABCD ，BN ⊂平面ABCD ，所以AM BN ⊥，又1HM A M M ⋂=，1,HM A M ⊂平面1A MH ，所以BN ⊥平面1A MH ，又1A H ⊂平面1A MH ，1BN A H ⊥，所以1A HM ∠为平面1A BC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，若12A AD π∠<，则点M 在线段AD 上，且为AD 中点，又117AA =，由勾股定理可得1AM =，所以2MN =，所以3MH =131619A H =+=，所以1357cos 1919A HM ∠==，所以平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值为5719；若12A AD π∠>，则点M 在线段DA 延长线上，此时13,7MH A H ==，11321cos 727MH A HM A H ∠===.。

江苏省苏州市2019-2020学年高一下期末联考数学试题含解析

江苏省苏州市2019-2020学年高一下期末联考数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()f x 是定义在上的奇函数，且当时，2cos ,08,(){6log ,8,xx f x x x π<≤=>，那么（）A ．12-B ．32-C ．12D ．32【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，，故，故选C ．考点：分段函数的应用.2．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（） A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】C 【解析】，故选C.3．．若0ac >且0bc <，直线0ax by c 不通过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限，【答案】D 【解析】【分析】【详解】因为0ac >且0bc <，所以0c b ->，0ab->，又直线0ax by c 可化为a cy x b b=--，斜率为0a b ->，在y 轴截距为0cb->，因此直线过一二三象限，不过第四象限. 故选：D.4．下列结论正确的是（） A ．ac bc a b <⇒<B ．若0a b <<，则b aa b>C ．当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x+≥ D a b <⇒<【答案】D 【解析】【分析】利用不等式的性质进行分析，对错误的命题可以举反例说明．【详解】当0c <时，A 不正确；0a b <<，则1a bb a>>，B 错误；当01x <<时，lg 0x <，1lg 0lg x x +<，Ca b <⇒<正确．故选：D. 【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式性质是解题关键．可通过反例说明命题错误．5．某市新上了一批便民公共自行车，有绿色和橙黄色两种颜色，且绿色公共自行车和橙黄色公共自行车的数量比为2∶1，现在按照分层抽样的方法抽取36辆这样的公共自行车放在某校门口，则其中绿色公共自行车的辆数是( ) A ．8 B ．12C ．16D ．24【答案】D 【解析】设放在该校门口的绿色公共自行车的辆数是x ，则23612x =+ ，解得x ＝1．故选D6．设0,0x y >>且1x y += ，41x y+的最小值为( ) A ．10 B ．9C ．8D ．272【答案】B 【解析】【分析】由()4141x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式即可求得结果. 【详解】()41414559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当4y x x y =，即2x y =时取等号）41x y∴+的最小值为9 故选：B 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活利用“1”，配凑出符合基本不等式的形式.7．若直线()y c c R =∈与函数tan (0)y x ωω=≠的图象相邻的两个交点之间的距离为1,则函数tan y x ω=图象的对称中心为（）A ．,0,2k k Z ⎛⎫∈⎪⎝⎭B ．(,0),k k Z ∈C ．,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭D ．(,0),k k Z π∈ 【答案】A 【解析】【分析】先计算周期得到1T ωπ=⇒=，得到函数表达式，再根据中心对称公式得到答案. 【详解】直线()y c c R =∈与函数tan (0)y x ωω=≠的图象相邻的两个交点之间的距离为1 则t n 1a y T x ωππ=⇒=⇒=tan y x π=的对称中心横坐标为：()22k kx x k Z ππ=⇒=∈ 对称中心为,0,2k k Z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案选A 【点睛】本题考查了函数的周期，对称中心，意在考查学生综合应用能力.8．已知4log 5a =，2log 3b =，sin2c =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c << B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数的单调性可知,a b 都大于1，把4log 5化成2log ,a b 的大小，从而可得,,a b c 的大小关系. 【详解】因为4log y x =及2log y x =都是()0,∞+上的增函数，故44log 5log 41sin 2>=>，22log 3log 21sin 2>=>，又42221log 5log 5log 5log 32==<，故c a b <<，选B. 【点睛】对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递. 9．已知函数41()x f x e -=，1()ln(2)2g x x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（） A ．1ln 24- B ．1ln 24+ C ．2ln 213- D ．12ln 23+【答案】B 【解析】()411ln 22m en t -=+=，则()1211ln 1,42t m t n e -=+=，所以()12111ln 244t n m e t h t --=--=，则()1211'24t h t e t-=-，易知，1'02h ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()h t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以()min 11ln 224h x h +⎛⎫==⎪⎝⎭，故选B 。

江苏省苏州市高一下学期数学期末试卷含答案

2021-2022学年江苏省苏州市高一下学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年江苏省苏州市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数z 满足，则z 的虚部是（）3i2i z -=+A ．－i B ．iC ．－1D ．1C【分析】由已知，根据题意给出的复数z 利用复数的运算进行化简，即可直接求解出虚部.【详解】由已知得，，3i (3i)(2i)55i1i 2i (2i)(2i)5z ----====-++-所以z 的虚部为－1.故选：C.2．某校有50岁以上的老教师40人，的中年教师200人，35岁以下的青年教35~50师80人，为了调查教师对教代会制定的一项规章制度的满意度，准备抽出80人进行问卷调查，则中年教师应抽取的人数为（）A ．50B ．40C ．30D ．20A【分析】由题意求出教师总人数，求出中年教师岁占比例，乘以样本容量即可得到答案.【详解】解：由题意可知，该校老师总人数为（人．4020080320++=)中年教师所占的人数比例为．20053208=若抽出80人进行问卷调查，则中年教师应抽取（人．580508⨯=)故选：．A 3．已知平面向量满足，则向量的夹角为（）,a b|||1,(2)a b a a b ==⊥+ ,a bA ．B ．C ．D ．3π4π23π34πD利用求出，再求出夹角的余弦，再得到夹角即可.(2)0a a b ⋅+= a b ⋅ 【详解】，即，(2),(2)0a a b a a b ⊥+∴⋅+=220,1a a b a b +⋅=∴⋅=-．．cos ,||||a b a b a b ⋅∴〈〉==3,[0,],,4a b a b ππ〈〉∈∴〈〉=故选：D ．4．已知m ，n 是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是,,αβγ（）A ．若，则B ．，则,αγβγ⊥⊥αβ∥,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥αβ∥C ．若，则D ．，则,m αββ⊥⊥//m α,,⊂= ∥m m n αβαβm n∥D【分析】A 选项可以举反例，B 选项考查面面平行判定定理，C 选项漏了条件，D 选项即为线面平行性质定理.【详解】对于选项A ，垂直于同一平面的两个平面可能平行，也可能相交；对于选项B ，根据面面平行判定定理，直线m ，n 应为相交直线；对于选项C ，直线m 可能在平面内；α对于选项D ，恰好为线面平行的性质定理.故选：D.5．若经研究得出某地10名新冠肺炎病患者的潜伏期（单位：天）分别为，则这10个数据的第80百分位数是（）8,12,10,7,8,7,12,13,15,16A ．12B ．13C ．14D ．15C【分析】根据百分位数的计算公式求解即可【详解】由题意，，故第80百分位数是0010808⨯=1315142+=故选：C6．端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是，，1325，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概14率为（）A ．B ．C ．D ．7202523710D【分析】利用相互独立事件的概率公式求出没有人来徐州旅游的概率，再利用对立事件的概率公式求解即可.【详解】由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率为，121233311135435410⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-=⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为.3711010-=故选：D.7．如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为（）A ．B ．C ．海里D ．40海里20(1A【分析】分别在和中利用正弦定理计算，再在中利用余ACD △BCD △,AD BD ABD △弦定理计算即可AB 【详解】由题意可知，40,105,45,90,30CD ADC BDC BCD ACD =∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒所以，45,60CAD ADB ∠=︒∠=︒在中，由正弦定理得，得ACD △40sin 30sin 45AD =︒︒AD =在中，因为，Rt BCD 45,90BDC BCD ∠=︒∠=︒所以，BD ==在中，由余弦定理得ABD △AB ====故选：A8．在三棱锥中，平面，且，若S ABC -SA ⊥,90ABC ABC ∠=3,4,5SA AB AC ===球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），O S ABC -O S ABC -则球的表面积为（）O A ．B ．C ．D ．169π49π3227π1681πA【分析】设球的半径为r ，由等积法得，由此O ()1+++3S ABC SAB CAB SAC SBC V S S S S r -=⋅ 可求得设球的半径为r ，再根据球的表面积公式可求得答案.O 【详解】解：因为平面，平面，平面，SA ⊥,90ABC ABC ∠=AB ÌABC AC ⊂ABC 平面，BC ⊂ABC 所以，，，SA AB ⊥SA AC ⊥SA BC ⊥又，,BC AB SA AB A ⊥= 所以平面，所以，BC ⊥SAB BC SB ⊥所以均为直角三角形，,,SAB ABC SAC SBC ，设球的半径为r ，则，O ()1+++3S ABC SAB CAB SAC SBC V S S S S r -=⋅ 而，，11334632S ABC V -=⨯⨯⨯⨯=11156,35222SAB CAB SAC SBC S S SA AB S S ==⋅===⨯⨯=所以，解得，115156+6++6322r ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭23r =所以球的表面积为，O 221644239r S πππ⎛==⨯=⎫ ⎪⎝⎭故选：A.二、多选题9．某校高一年级开设了甲､乙两个课外兴趣班，供学生们选择，记事件“只选择甲1Ω=兴趣班"，=“至少选择一个兴趣班”，=“至多选择一个兴趣班”，“一个兴趣班2Ω3Ω4Ω=都不选”，则（）A ．与是互斥事件1Ω3ΩB ．与既是互斥事件也是对立事件2Ω4ΩC ．与不是互斥事件2Ω3ΩD ．与是互斥事件3Ω4ΩBC【分析】根据互斥事件，对立事件的概念判断即得.【详解】事件“只选择甲兴趣班"；=“至少选择一个兴趣班”，包含选择甲兴趣1Ω=2Ω班，选择乙兴趣班，选择甲乙两种兴趣班；=“至多选择一个兴趣班”，包含选择甲3Ω兴趣班，选择乙兴趣班，两种兴趣班都不选择；“一个兴趣班都不选”；4Ω=所以，与不是互斥事件，故A 错误；1Ω3Ω与既是互斥事件也是对立事件，故B 正确；2Ω4Ω与不是互斥事件，故C 正确；2Ω3Ω与不是互斥事件，故D 错误.3Ω4Ω故选：BC.10．如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为ABCD //AB CD 2AB CD =M N 的中点，则结论正确的是（）AB CD ，A ．B ．12AC AD AB=+ 1122CM CA CB=+C ．D ．14MN AD AB=+ 12BC AD AB=+ AB【分析】根据给定条件，可得四边形为平行四边形，再结合向量线性运算逐项AMCD 分析计算作答.【详解】对于A ，四边形为梯形，，，为中点，即ABCD //AB CD 2AB CD =M AB 有，AM CD =则四边形为平行四边形，，A 正确；AMCD 12AC AD AM AD AB=+=+对于B ，为中点，，B 正确；M AB 1122CM CA CB=+ 对于C ，为的中点，，CN CD 111224MN MA AD DN AB AD DC AD AB=++=-++=-不正确；对于D ，由选项A 知，，，D 不正确.MC AD = 12BC MC MB AD AB=-=-故选：AB11．在中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的是（）ABC A ．若，则一定是等腰三角形cos cos a A b B =ABCB ．若，，则满足条件的三角形有且只有一个AB =45B ∠=︒3AC =C ．若不是直角三角形，则ABC tan tan tan tan tan tan A B C A B C++=D ．若，则为钝角三角形0AB BC ⋅<ABC BC【分析】A 利用正弦边角关系及三角形内角性质可得或判断；B 应用A B =2A B π+=余弦定理求即可判断；C 由三角形内角性质及和角正切公式判断；D 由向量数量积BC 定义判断.【详解】A ：由正弦边角关系有，则，则中sin cos sin cos A A B B =sin 2sin 2A B =ABC 或，错误；A B =2A B π+=B ：由，可得222cos 2AB BC AC B AB BC +-===⋅2410BC BC --=2BC =±2BC =C ：由不是直角三角形且，则ABC ()A B C π=-+ ，所以，正tan tan tan tan()1tan tan B CA B C B C +=-+=--tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=确；D ：，即，故||||cos()||||cos 0BC BC B AB AB B A C B B π⋅=-=-< ||||cos 0B B C AB > 不一定为钝角三角形，错误；ABC 故选：BC 12．已知正三棱柱的棱长均为2，点D 是棱上（不含端点）的一个动111ABC A B C -1BB 点．则下列结论正确的是（）A ．棱上总存在点E ，使得直线平面11A C 1//B E 1ADC B ．的周长有最小值，但无最大值1ADC △C ．三棱锥外接球的表面积的取值范围是1-A DC C 2528,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ππD ．当点D 是棱的中点时，二面角1BB 1A DC C --ABC【分析】对A ，在上取一点使得，从而可得判断即可；对1AC F 1∥EF AA 1EB DF ∥B ，展开侧面，根据两点之间线段最短可得的周长有最小值，结合D1ABCC D 1ADC △是棱上（不含端点）的一个动点判断最大值即可；对C ，取中点,中点1BB 11A C N AC ，连接并延长，交正方形的外接圆于，分析可得外接球直径即为M MN 11A C CA PQ 的外接圆直径.再分析最值求解即可；对D ，分别求得到平面的距离，DPQ A 1DCC h 到线段的距离，再求二面角的正切值即可A 1DC d 【详解】对A ，在上取一点使得，则，当时，1AC F 1∥EF AA 1EF BB 1EF B D =则有平行四边形，故，则直线平面，故A 正确；1EFDB 1EB DF ∥1//B E 1ADC对B ，如图展开侧面，易得当在与的交点时取得最小值，1ABCC D D 1AC 1BB 1AD DC +因为D 是棱上（不含端点）的一个动点，故无最大值，1BB 1AD DC +故的周长有最小值，但无最大值，故B 正确；1ADC △对C ，由题意，三棱锥外接球即四棱锥的外接球，1-A DC C 11D A C CA -取中点,中点，连接并延长，交正方形的外接圆于，11A C N AC M MN 11A C CA PQ 则易得平面平面.1PQ A C ==DPQ ⊥11A C CA 根据外接球的性质有外接球的球心在平面中，且为的外接圆圆心.由对称DPQ DPQ 性，可得当在中点时，最大，此时外接球直径最小.D 1BB PDQ ∠此时sinDQP ∠=2sin DPR DQP===∠，此时外接球表面积.当在或者点时，()2225423S R R πππ===D B 1B 三棱锥外接球即正三棱柱的外接球，1-A DC C 111ABC A B C -此时外接球的一条直径与和的外接圆直径构成直角三角形，1AA ABC 此时外接球直径，此时外接球表面积()22212823sin 3AB R AA π⎛⎫ ⎪=+=⎪ ⎪⎝⎭.因为点D 是棱上（不含端点）的一个动点，()2228423S RR πππ===1BB 故三棱锥外接球的表面积的取值范围是，故C 正确；1-A DCC 2528,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ππ对D ，设到平面的距离为，则由，A 1DCC h 11133DCC ACC S h S =即设到线段的距离，11222222h ⨯⨯⨯=⨯⨯h =A 1DC d 则，11122d DC AC ⋅=解得的正切值为，故D错d =1A DC C --==误；故选：ABC 三、填空题13．五个数的平均数是，这五个数的方差是___________.2,2,3,3,a 3651.2【分析】首先根据平均数求出，再根据方差公式计算可得；a 【详解】解：依题意，解得，223335a++++=5a =所以方差为；()()()()()2222216232333335355⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦故6514．若，则_______________.51sin 123⎛⎫+=⎪⎝⎭παcos 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭79-【分析】设，再表达出，从而根据诱导公式与二倍角公式求512πθα=+226παθπ-=-解即可.【详解】设，则，512πθα=+512παθ=-故，且.5266262παθππθπ-=---=1sin 3θ=则.()27cos 2cos cos 22sin 6219θππαθθ⎛⎫-==-=-=-⎪⎝⎭-故79-15．在中，，过点O 的直线分别交直线于两个不同的ABC 2BO OC =,AB AC ,M N 点，若，其中为实数，则的最小值为_________,AB mAM AC nAN ==,m n 224+m n 4.592【分析】利用表示出，再利用三点共线得到，再把,AM AN AO ,,M O N 32m n =-转化为关于的函数，即可求出最小值.224+m n n 【详解】，故， 2BO OC = 22BA AO OA AC +=+1223333m n AO AB AC AM AN∴=+=+三点共线，即，,,M O N 2133m n∴+=32m n =-()2222223932481298424n n n n n n m ⎛⎫=-+=-+=-+⎪⎝⎭∴+故的最小值为.224+m n 92故92四、双空题16．四面体的四个顶点都在球的球面上，和是边长为2的等边ABCD O ABC ADC三角形，，则球的体积为___________；若，分别为线段，的BD =O P Q AO BC 中点，则___________.PQ =【分析】由条件确定球心的位置及球的半径，由此求出球的体积，再证明O O ，由此可求.OA OQ ⊥PQ 【详解】因为和是边长为2的等边三角形，ABC ADC 所以，，2CD CB ==2AD AB ==又BD =所以，，222BD CB CD =+222BD AB AD =+所以，为以为斜边的直角三角形，DCB DAB DB设的中点为，则，DB O '12O A O B O C O D DB ''''====故四面体的外接球的球心为，ABCD O '又为四面体的外接球的球心，O ABCD所以为的中点，且球O BD O所以球的体积O 343V π=⨯=因为，OA OB ==2AB =所以，222OA OB AB +=所以，同理，OA OB ⊥OA OC ⊥又，平面，OC OB O = ,OC OB ⊂COB 所以平面，又平面，OA ⊥COB OQ ⊂COB 所以，OA OQ ⊥所以，PQ =因为，所以为直角三角形，OC OB ==2BC =COB 又为线段的中点，所以，Q BC 1OQ =又12OP OA ==所以，PQ =五、解答题17．已知复数，.112i z =+234i z =-(1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；12+z z λλ(2)若复数为纯虚数，求的虚部.()12()=⋅+∈z z z μμR z (1)13λ<-(2)20-【分析】(1)根据复数的运算公式和复数的几何意义确定数在复平面内对应的点12+z z λ的坐标，由条件列不等式求的取值范围；(2)根据纯虚数的定义列方程求，由此可λμ求的虚部.z 【详解】(1)，1212i (34i)(13)(24)i +=++-=++-z z λλλλ在复平面内对应的点在第二象限，则12+z z λ.113013240132λλλλλ⎧<-⎪+<⎧⎪⇒⇒<-⎨⎨->⎩⎪<⎪⎩所以实数的取值范围为；λ1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(2).()12(12i)(34i)38[2(3)4]i =⋅+=+⨯+-=++++-z z z μμμμ为纯虚数，则且，z 380μ++=220μ+≠所以，11μ=-此时，所以的虚部为.20i =-z z 20-18．猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了道.假设每道灯谜被猜对的可能性都相等.n (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；(2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值.2225n (1)；1325(2).10n =【分析】（1）由题设求出甲、乙、丙猜对或错的概率值，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；（2）利用对立事件的概率求法及独立事件乘法公式列方程求.n【详解】(1)设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一A =B =C =道灯谜丙猜对”.则，，，故，，123()205P A ==82()205P B ==()20=n P C 2()5P A =3()5P B =.()120=-n P C “甲，乙两位同学恰有一个人猜对”，且与互斥.AB AB =⋃AB AB 每位同学独立竞猜，故，互相独立，则与，与，与均相互独立.A B A B A B A B 所以.332213()(()()()()()555525=+=+=⨯+⨯= P AB AB P AB P AB P A P B P A P B 答：任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为.1325(2)设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则.D =D ABC =所以.2322()1()1(1((()11552025⎛⎫=-=-=-=-⨯⨯-= ⎪⎝⎭n P D P D P ABC P A P B P C 解得.10n =19．为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，[)40,50[)50,60[)60,70，，分成6组，其频率分布直方图如图所示．[)70,80[)80,90[]90,100(1)求图中a 的值；(2)试估计本次物理测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(3)该校准备对本次物理测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前13%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？(1)；0.025(2)；71(3).88【分析】（1）由直方图区间频率和为1求参数a ；（2）根据直方图求物理测试成绩的平均分即可；（3）根据直方图求出成绩从高到低排列且频率为对应分数即可.0.13【详解】(1)由，解得；(0.0050.0100.01520.030)101a ++⨯++⨯=0.025a =(2)，450.05550.15650.3750.25850.15950.171⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故本次防疫知识测试成绩的平均分为；71(3)设受嘉奖的学生分数不低于分，x 因为，对应的频率分别为0.15，0.1，[80,90)[90,100]所以，解得，(90)0.015+0.10.13x -⨯=88x =故受嘉奖的学生分数不低于分．8820．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是等腰三角形且P ABCD -ABCD PAD 为的中点，在上且底面.,AP AD M =PD O AD PO ⊥ABCD(1)求证：侧面；AM ⊥PCD (2)当底面为正方形且侧面为等边三角形时，求二面角的平面角ABCD PAD P BD A --的正切值.θ(1)证明见解析；【分析】（1）先证，由侧面底面证得侧面，进而AM PD ⊥PAD ⊥ABCD DC ⊥PAD 证得，即可证得侧面；DC AM ⊥AM ⊥PCD （2）连接AC ，过O 作，先证得，，则，再ON AC ∥ON BD ⊥BD PN ⊥PNO θ∠=求出，即可求解.,PO ON 【详解】(1)因为是等腰三角形且，M 为PD 的中点，所以，PAD △AP AD =AM PD ⊥因为侧面，且底面，PO ⊂PAD PO ⊥ABCD 所以侧面底面，因为，所以侧面，因为侧面PAD ⊥ABCD DC AD ⊥DC ⊥PAD AM ⊂，所以，PAD DC AM ⊥因为DC ，侧面，且，所以侧面.PD ⊂PCD DC PD D ⋂＝AM ⊥PCD(2)连接AC ，过O 作，交于点N ，因为是正方形，所以，所ON AC ∥BD ABCD AC BD ⊥以，ON BD ⊥又因为底面，底面，所以，又PO ⊥ABCD ,BD ON ⊂ABCD ,PO BD PO ON ⊥⊥平面，，,PO ON ⊂PON PO ON O ⋂=所以平面，又平面，所以，所以，不妨设BD ⊥PON PN ⊂PON BD PN ⊥PNO θ∠=等边三角形的边长为2，PAD则，中，.PO =14ON AC =PON tan PO ON θ==21．如图，在多面体中，，，SABCD 24,BC CD AB BD AD =====3SA =平面平面是棱上一点.SBD ⊥,ABCD P SA(1)求证：；//AB CD (2)若，求证：平面；:1:2AP PS =//SC PBD (3)若平面，求直线与平面所成的角的正弦值.SA ⊥PBD BC PBD (1)证明见解析；(2)证明见解析；【分析】（1）由余弦定理求得，又是等腰直角三角形，则，45ABD ∠=BCD △AB BC ⊥即可证得；//AB CD （2）由与相似得，即可证得平面；ABO CDO OP SC ∥//SC PBD （3）取CD 中点M ，连接AM 交BD 于点N ，由得即为直线与平BC AM ∥ANP ∠BC面所成的角，解三角形求得即可求解.PBD ,PA AN【详解】(1)连接AC ，交BD 于点O ，连接OP ，在中，ABD △，222cos 2AB BD AD ABD BD AB +-==⋅∠45ABD ∠= 又，可知是等腰直角三角形，且，所以222,BC CD BC CD BD =+=BCD △45DBC ∠= ，90ABC ∠= 即，又，所以；AB BC ⊥CD BC ⊥AB CD ∥(2)由（1）显然知与相似，所以，又，ABO CDO 12AO OC AB CD ==::::1:2AP PS =所以，又因为平面PBD ，平面PBD ，所以平面PBD ；OP SC ∥SC ⊄OP ⊂SC ∥(3)取CD 中点M ，连接AM 交BD 于点N ，连接PN ，则，且，所以AB CM ∥AB CM =四边形是平行四边形，ABCM则，N 为BD 中点，因为SA ⊥平面PBD ，所以直线PN 是BC AM ∥12AN BC ==直线AM 在平面PBD 内的射影，所以是直线与平面所成的角，即为直线BC 与平面PBD 所成角的平面ANP ∠AM PBD 角.过点A 作，垂足为E ，连接SE ，PE ，在等腰直角中，，所以AE BD ⊥AEB △AB =，1AE =因为平面平面ABCD ，交线为BD ，平面，所以平面SBD ，又SBD ⊥AE ⊂ABCD AE ⊥平面，SE ⊂SBD 所以，所以，在直角中，由平面，AE SE⊥SE ==SEA △SA ⊥PBD 平面，PE ⊂PBD 则，，可求得，所以所以直线BC 与PE SA ⊥AE AP SA AE =13PA=sin ANP PA AN ==∠平面PBD .22．如图，设中的角A ，B ，C 所对的边是a ，b ，c ，为的角平分线，ABC AD BAC ∠已知，，，点E ，F 分别为边，上的1AB =3144AD AB AC =+ 12||||AB AC AB AC ⋅= AB AC 动点，线段交于点G ，且的面积是面积的一半．EF AD AEFABC (1)求边的长度；BC(2)当时，求的面积．4528AG EF ⋅= AGF 【分析】（1）根据，可求得，再根据为的角平分线，结合12||||AB AC AB AC ⋅=A AD BAC ∠平面向量基本定理可求得，再根据余弦定理即可得出答案；b （2）设，，（，，），根据的面AE AB λ= AF AC μ= AG k AD = 0λ≤μ1k ≤AEF 积是面积的一半，可得，再根据，结合E ，F ，G 三点ABC 12λμ=3144AD AB AC =+ 共线，求得，再根据可求得，从而可求得，即可求得，再k 4528AG EF ⋅= ,λμAD AG 根据三角形的面积公式即可得解.【详解】(1)解：由，得，12||||AB AC AB AC ⋅= 1cos 2A =因为，所以；(0,)A π∈3A π=因为为的角平分线，所以，AD BAC ∠1BD AB DC AC b ==所以，11BD BC b =+ ，111()1111b AD AB BD AB BC AB AC AB AB ACb b b b =+=+=+-=+++++ 又，所以，得，3144AD AB AC =+314bb =+3b =因为，2222cos a b c bc A =+-所以；BC a ==(2)解：设，，（，，），AE AB λ= AF AC μ= AG k AD = 0λ≤μ1k ≤因为的面积是面积的一半，AEF ABC 所以，111||||sin ||||sin 222AE AF A AB AC A ⋅=⨯⋅所以，①12λμ=，313cos 32AB AC π⋅=⨯⨯= 由，得，3144AD AB AC =+ 13144AG AE AF k λμ=+因为E ，F ，G 三点共线，所以，即，13144k λμ=+23k μλ=+所以，3144AG k AD k AB kAC ==+又，EF AF AE AC AB μλ=-=- 所以31()44AG EF k AB kAC AC AB μλ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭2233114444k AB AC k AB k AC k AB AC μλμλ=⋅-+-⋅，279124μλμλ-=+因为，所以，②4528AG EF ⋅=4528AG EF ⋅= 279124μλμλ-=+由①②解得，，12λ=1μ=所以，此时点F 与点C 重合；47k =因为，3144AD AB AC =+ 所以22223191327441616816AD AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=++⋅= ⎪⎝⎭ 所以AD =由得，47AG AD =AG 所以111sin 303222AGF AGC S S AG AC ==⨯⨯⨯︒=⨯=△△。

江苏省苏州市2019-2020学年高一下学期期末数学试卷 (含解析)

江苏省苏州市2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（）A．16πB．20πC．36πD．40π2．苏州市6月1日起正式实施的《生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”和“其他垃圾”四大类．某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人，若在老年人中的抽样人数是35，则在青年人中的抽样人数是（）A．20 B．40 C．60 D．803．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，则这两个数之和等于5的概率为（）A．B．C．D．4．在同一平面直角坐标系中，两直线﹣＝1与﹣＝1的图象可能是（）A．B．C．D．5．围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（）A．B．C．D．6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BB1上靠近B的三等分点，点F是棱CC1的中点，且三棱锥A1﹣AEF的体积为2，则平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．207．已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝60°，且△ABC的面积为，则b的取值范围是（）A．[2，）B．[，）C．[2，6）D．[4，6）8．在平面直角坐标系xOy中，两圆O1，O2均过点（3，0），它们的圆心分别为（x1，0），（x2，0），满足+＝，若两圆与y轴正半轴分别交于（0，y1），（0，y2），则y1y2的值为（）A．2 B．6C．9 D．与x1，x2的取值有关二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．某地区农村经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入增加了一倍．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区实施乡村振兴建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图饼图：则下面结论中正确的有（）A．乡村振兴建设后，种植收入减少B．乡村振兴建设后，其他收入增加了一倍以上C．乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍D．乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半10．已知函数f（x）＝sin（2x+）在区间[﹣a，0]上单调递增，则实数a的可能值为（）A．B．C．D．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＝2，∠B＝，若添加下列条件来解三角形，则其中三角形只有一解的是（）A．c＝3 B．c＝C．c＝4 D．c＝12．如图，点E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的是（）A．直线AD与直线C1M始终是异面直线B．存在点M，使得B1M⊥AEC．四面体EMAC的体积为定值D．当D1M＝2MB时，平面EAC⊥平面MAC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数为．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为．15．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x﹣y＝0和x+ay＝5上，且线段AB的中点为P（0，5），则|AB|＝．16．已知在球O的内接长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝3，则球O的表面积为，若P为线段AD的中点，则过点P的平面截球O所得截面面积的最小值为．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，M，N分别为BC，AC的中点，侧面A1ACC1是菱形，∠A1AC＝60°．（1）求证：AB∥平面A1MN；（2）求证：平面A1ACC1⊥平面A1MN．18．已知圆C经过两点P（1，﹣1），Q（﹣1，1），且圆心C在直线x+y﹣2＝0上．（1）求圆C的方程；（2）过点M（0，3）的直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．19．随着我国中医学的发展，药用昆虫的需求愈来愈多，每年春暖花开后，昆虫大量繁殖．研究发现某类药用昆虫的个体产卵数y（单位：个）与温度x（单位：℃）有关，科研人员随机挑选了3月份中的5天进行研究，收集了5组观测数据如表：温度x/℃9 11 13 12 8产卵数y/个23 25 30 26 20科研人员确定的研究方案是：先用前三组数据建立y关于x的线性回归方程，再用后两组数据进行检验．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到后两组的估计数据与实际观测数据的误差均不超过2个，则认为线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（附：回归直线的斜率和截距的公式分别为＝，＝﹣．）20．在①b cos A﹣c＝0，②a cos B＝b cos A，③a cos C+b＝0这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，满足____．（1）请写出你的选择，并求出角A的值；（2）在（1）的结论下，已知点D在线段BC上，且∠ADB＝，求CD长．21．如图所示，等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，满足AD ＝1，DE⊥AB．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B为直二面角，连接A1B，A1C．（1）求二面角C﹣A1B﹣D的余弦值；（2）线段A1E上是否存在点P，使得直线CP与平面A1BC所成的角为60°？若存在，求出A1P的长；若不存在，请说明理由．22．如图，点P（x0，y0）是圆O：x2+y2＝9上一动点，过点P作圆O的切线l与圆O1：（x ﹣a）2+（y﹣4）2＝100（a＞0）交于A，B两点，已知当直线l过圆心O1时，|O1P|＝4．（1）求a的值；（2）当线段AB最短时，求直线l的方程；（3）问：满足条件＝的点P有几个？请说明理由．江苏省苏州市2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试卷参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（）A．16πB．20πC．36πD．40π【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．解：由圆锥的底面半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积为S侧＝π×4×5＝20π．故选：B．2．苏州市6月1日起正式实施的《生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”和“其他垃圾”四大类．某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人，若在老年人中的抽样人数是35，则在青年人中的抽样人数是（）A．20 B．40 C．60 D．80【分析】根据老年人抽取的人数计算抽取比例，再根据这个比例求青年人中需抽取的人数．解：由题可知抽取的比例为k＝＝，故青年人应该抽取人数为N＝800×＝40．故选：B．3．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，则这两个数之和等于5的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝＝10．利用列举法求出这两个数之和等于5包含的基本事件有2个，由此能求出这两个数之和等于5的概率．解：从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，基本事件总数n＝＝10．这两个数之和等于5包含的基本事件有：（1，4），（2，3），共2个，则这两个数之和等于5的概率为p＝．故选：C．4．在同一平面直角坐标系中，两直线﹣＝1与﹣＝1的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据直线方程的截距式可知，直线﹣＝1在两坐标轴上的截距分别为m，﹣n；直线﹣＝1在两坐标轴上的截距分别为n，﹣m，然后结合选项，对m和n的正负性进行分析即可作出判断．解：直线﹣＝1在两坐标轴上的截距分别为m，﹣n；直线﹣＝1在两坐标轴上的截距分别为n，﹣m．对于A，一条直线的两截距均为正（不妨取m＞0，﹣n＞0，则n＜0），而另一条直线的两截距一正一负（即n＞0，﹣m＜0，则m＞0），在n的取值上互相矛盾；对于B，一条直线的两截距均为负（不妨取m＜0，﹣n＜0，则n＞0），而另一条直线的两截距一正一负（即n＞0，﹣m＜0，则m＞0），在m的取值上互相矛盾；对于C，一条直线的两截距均为负（不妨取m＜0，﹣n＜0，则n＞0），而另一条直线的两截距一负一正（即n＜0，﹣m＞0，则m＜0），在n的取值上互相矛盾；对于D，一条直线的两截距均为正（不妨取m＞0，﹣n＞0，则n＜0），而另一条直线的两截距均为负（即n＜0，﹣m＜0，则m＞0），符合．故选：D．5．围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出从中取出的2粒是同一种颜色的概率，由此能求出取出的2粒颜色不同的概率．解：这个问题，取出同是黑子的概率是，同是白子的概率是，∴从中取出的2粒是同一种颜色的概率是P1＝＝，∴取出的2粒颜色不同的概率P＝1﹣＝．故选：D．6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BB1上靠近B的三等分点，点F是棱CC1的中点，且三棱锥A1﹣AEF的体积为2，则平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．20【分析】设四边形ABB1A1的面积为S，平面ABB1A1与平面DCC1D1的距离为d，由已知三棱锥A1﹣AEF的体积为2可得Sd的值，即平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积．解：设平行四边形ABB1A1的面积为S，平面ABB1A1与平面DCC1D1的距离为d，则△AA1E的面积为S，∵＝×S×d＝2，∴Sd＝12，则．故选：B．7．已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝60°，且△ABC的面积为，则b的取值范围是（）A．[2，）B．[，）C．[2，6）D．[4，6）【分析】由已知利用三角形的面积公式可求ac＝4，再由正弦定理可得b＝＝，可得b2＝，对于sin A sin（120°﹣A）化简整理可得sin （2A﹣30°）+，再根据三角函数的性质即可求出．解：∵B＝60°，△ABC的面积等于＝ac sin B＝ac，解得：ac＝4，∴A+C＝120°，∵△ABC为锐角三角形，∴30°＜A＜90°，由正弦定理可得＝＝，∴b＝＝，∴b2＝＝，由sin A sin（120°﹣A）＝sin A（cos A+sin A）＝sin A cos A+sin2A＝sin2A+＝（sin2A﹣cos2A）+＝sin（2A﹣30°）+，∵30°＜A＜90°，∴30°＜2A﹣30°＜150°，∴＜sin（2A﹣30°）≤1，∴＜sin（2A﹣30°）+≤∴4≤＜6，∴4≤b2＜6，∴2≤b＜故选：A．8．在平面直角坐标系xOy中，两圆O1，O2均过点（3，0），它们的圆心分别为（x1，0），（x2，0），满足+＝，若两圆与y轴正半轴分别交于（0，y1），（0，y2），则y1y2的值为（）A．2 B．6C．9 D．与x1，x2的取值有关【分析】根据圆上两点列方程，用x1，x2表示出y1，y2，再根据x1，x2的关系计算（y1y2）2即可得出答案．解：因为（3，0）和（0，y1）在圆O1上，O1（x1，0），∴|3﹣x1|＝，化简可得：y12＝9﹣6x1，同理可得：y22＝9﹣6x2，∴（y1y2）2＝（9﹣6x1）（9﹣6x2）＝81﹣54（x1+x2）+36x1x2，∵+＝＝，∴x1+x2＝x1x2，∴81﹣54（x1+x2）+36x1x2＝81，又y1＞0，y2＞0，∴y1y2＝9．故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．某地区农村经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入增加了一倍．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区实施乡村振兴建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图饼图：则下面结论中正确的有（）A．乡村振兴建设后，种植收入减少B．乡村振兴建设后，其他收入增加了一倍以上C．乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍D．乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【分析】根据某地区农村经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入增加了一倍，利用饼图的性质直接求解．解：对于A，设乡村振兴经济计划前农村经济收入为a，则经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入为2a，∴乡村振兴经济计划前种植收入为a×60%＝0.6a，经过三年的乡村振兴建设种植收入为2a×37%＝0.74a，∴乡村振兴建设后，种植收入增加，故A错误；对于B，乡村振兴经济计划前其它收入为a×4%＝0.04a，经过三年的乡村振兴建设其它收入为2a×5%＝0.1a，∴乡村振兴建设后，其他收入增加了一倍以上，故B正确；对于C，乡村振兴经济计划前养殖收入为a×30%＝0.3a，经过三年的乡村振兴建设养殖收入为2a×30%＝0.6a，∴乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍，故C正确；对于D，乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为：30%+28%＝58%，超过了经济收入的一半，故D正确．故选：BCD．10．已知函数f（x）＝sin（2x+）在区间[﹣a，0]上单调递增，则实数a的可能值为（）A．B．C．D．【分析】求出复合函数的单调增区间，取k＝0，可得f（x）在[﹣，]上单调递增，再由函数f（x）＝sin（2x+）在区间[﹣a，0]上单调递增求得a的范围得答案．解：由，k∈Z，得，k∈Z．取k＝0，可得f（x）在[﹣，]上单调递增，又函数f（x）＝sin（2x+）在区间[﹣a，0]上单调递增，∴，即0＜a≤．∴实数a的可能值为，．故选：AB．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＝2，∠B＝，若添加下列条件来解三角形，则其中三角形只有一解的是（）A．c＝3 B．c＝C．c＝4 D．c＝【分析】由B的度数求出sin B的值，再由b的值，利用正弦定理得出c与sin C的关系式，同时由B的度数求出A+C的度数，再根据三角形只有一解，可得C只有一个值，根据正弦函数的图象与性质得到C的范围，且当C为直角时，也满足题意，进而由C的范围，求出正弦函数的值域，根据c与sin C的关系式，由正弦函数的值域即可可得出c的范围解：∵B＝，b＝2，根据正弦定理得：＝＝＝4，∴c＝4sin C，又A+C＝π﹣＝，且三角形只一解，可得C有一个值，∴0＜C≤，又C＝90°时，三角形也只有一解，∴0＜sin C≤，或sin C＝1，又c＝4sin C，∴c的取值范围为（0，2]∪{4}故选：AC．12．如图，点E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的是（）A．直线AD与直线C1M始终是异面直线B．存在点M，使得B1M⊥AEC．四面体EMAC的体积为定值D．当D1M＝2MB时，平面EAC⊥平面MAC【分析】当M为BD1的中点时可知A错误，证明BD1∥平面EAC可知C正确；建立空间坐标系，利用向量判断BD即可．解：（1）当M为BD1的中点时，直线AD与直线C1M是相交直线，交点为A，故A错误；（2）以D为原点，以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间坐标系D﹣xyz，设正方体棱长为1，则A（1，0，0），E（0，0，），B（1，1，0），D1（0，0，1），B1（1，1，1），∴＝（﹣1，0，），＝（0，0，﹣1），＝（﹣1，﹣1，1）．＝λ（0≤λ≤1），则＝+＝（﹣λ，﹣λ，λ﹣1），若B1M⊥AE，则•＝0，即λ+（λ﹣1）＝0，解得λ＝，∴当M为线段BD1的靠近B的三等分点时，B1M⊥AE，故B正确；（3）连接BD，取BD的中点O，连接EO，则O也是AC的中点，由中位线定理可知BD1∥EO，∴BD1∥平面ACE，故V E﹣MAC＝V M﹣ACE＝V B﹣ACE，故C正确；（4）∵AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1，∴AC⊥OE，AC⊥OM，故∠EOM为二面角E﹣AC﹣M的平面角，当D1M＝2BM时，M（，，），又O（，，0），∴＝（，，），＝（﹣，﹣，），∴＝﹣﹣+＝0，∴OE⊥MO，故平面EAC⊥平面MAC，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数为40．【分析】由频率分布直方图先求出该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的频率，由此能求出该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数．解：由频率分布直方图得：该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的频率为：1﹣（0.005+0.020+0.035）×10＝0.4，则该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数为：100×0.4＝40．故答案为：40．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为2．【分析】根据三角形内角的范围，利用同角三角函数的关系算出sin C的值，再由三角形的面积公式加以计算，可得△ABC的面积．解：∵cos C＝，∴C∈（0，π），可得sin C＝＝，∴S△ABC＝ab sin C＝×3×2×＝2，故答案为：2．15．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x﹣y＝0和x+ay＝5上，且线段AB的中点为P（0，5），则|AB|＝2．【分析】由两直线互相垂直可得a＝2，AB为直角三角形AOB的斜边，直角三角形斜边的中线PO的长为斜边AB的一半，且|PO|＝5，由此能求出|AB|．解：由已知两直线互相垂直可得：2×1+（﹣1）×a＝0，解得a＝2，∵线段AB中点为P（0，5），且AB为直角三角形AOB的斜边，联立，得O（1，2），∴|OP|＝＝，直角三角形斜边的中线PO的长为斜边AB的一半，且|PO|＝，∴|AB|＝2|PO|＝2，故答案为：2．16．已知在球O的内接长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝3，则球O的表面积为17π，若P为线段AD的中点，则过点P的平面截球O所得截面面积的最小值为．【分析】设球O半径为R，然后求出R，再求出球O的表面积；先求出OP＝，根据条件可知，当过点P的平面截球O所得截面面积最小时，截面圆半径r＝，然后求出最小值．解：在球O的内接长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝3，设球O半径为R，则R＝＝，∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×（）2＝17π．∵P为线段AD的中点，∴OP＝＝，当过点P的平面截球O所得截面面积最小时，截面圆半径r＝＝＝，∴过点P的平面截球O所得截面面积的最小值为：S截面min＝＝．故答案为：17π；．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，M，N分别为BC，AC的中点，侧面A1ACC1是菱形，∠A1AC＝60°．（1）求证：AB∥平面A1MN；（2）求证：平面A1ACC1⊥平面A1MN．【分析】（1）由已知结合三角形中位线定理可得MN∥AB，再由直线与平面平行的判定得AB∥平面A1MN；（2）由已知证明A1N⊥AC，再由AB⊥AC，MN∥AB，可得MN⊥AC，利用直线与平面垂直的判定可得AC⊥平面A1NM，从而得到平面A1ACC1⊥平面A1MN．【解答】证明：（1）∵M，N分别为BC，AC的中点，∴MN是三角形ABC的中位线，可得MN∥AB，∵MN⊂平面A1MN，AB⊄平面A1MN，∴AB∥平面A1MN；（2）连接A1C，∵A1ACC1是菱形，∠A1AC＝60°，∴△A1AC是等边三角形，又N是AC的中点，∴A1N⊥AC，∵AB⊥AC，又由（1）知MN∥AB，∴MN⊥AC，而MN∩A1N＝N，∴AC⊥平面A1NM，而AC⊂平面A1ACC1，∴平面A1ACC1⊥平面A1MN．18．已知圆C经过两点P（1，﹣1），Q（﹣1，1），且圆心C在直线x+y﹣2＝0上．（1）求圆C的方程；（2）过点M（0，3）的直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．【分析】（1）由题意设圆心C的坐标，再由圆C经过两点P，Q可得|PC|＝|QC|，可得圆心及半径的值，进而求出圆的方程；（2）分直线AB的斜率存在和不存在两种情况设直线AB的方程，求出圆心到直线AB 的距离d，由d2＝r2﹣（）2，可得直线AB的方程．解：（1）因为圆心C在直线x+y﹣2＝0上所以设圆心C的坐标（a，2﹣a），半径r＝，因为圆C经过两点P（1，﹣1），Q（﹣1，1），所以|PC|＝|QC|，即（a﹣1）2+（3﹣a）2＝（a+1）2+（1﹣a）2，解得a＝1，所以圆心C（1，1），r＝2，所以圆C的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4；（2）由（1）可得圆心C（1，1），r＝2，①当直线AB的斜率不存在时，及直线AB的方程为：x＝0，可得圆心C到直线AB的距离为d＝1，弦长|AB|＝2＝2＝2符合条件；②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+3，即kx﹣y+3＝0，可得圆心C到直线AB的距离为d＝，因为|AB|＝2，而d2＝r2﹣（）2，即（）2＝4﹣3＝1，解得：k＝﹣，综上所述：直线AB的方程为：x＝0或y＝﹣x+3．19．随着我国中医学的发展，药用昆虫的需求愈来愈多，每年春暖花开后，昆虫大量繁殖．研究发现某类药用昆虫的个体产卵数y（单位：个）与温度x（单位：℃）有关，科研人员随机挑选了3月份中的5天进行研究，收集了5组观测数据如表：温度x/℃9 11 13 12 8产卵数y/个23 25 30 26 20科研人员确定的研究方案是：先用前三组数据建立y关于x的线性回归方程，再用后两组数据进行检验．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到后两组的估计数据与实际观测数据的误差均不超过2个，则认为线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（附：回归直线的斜率和截距的公式分别为＝，＝﹣．）【分析】（1）由已知数据求出与的值，可得y关于x的线性回归方程；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，分别取x＝12与8，求得y值，再与实际观测数据作差取绝对值，与2比较大小得结论．解：（1），，＝＝，＝﹣＝26﹣1.75×11＝6.75．∴y关于x的线性回归方程为；（2）当x＝12时，＝27.75，|27.75﹣26|＝1.75＜2．当x＝8时，，|20.75﹣20|＝0.75＜2．∴（1）中所得的线性回归方程是可靠的．20．在①b cos A﹣c＝0，②a cos B＝b cos A，③a cos C+b＝0这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，满足____．（1）请写出你的选择，并求出角A的值；（2）在（1）的结论下，已知点D在线段BC上，且∠ADB＝，求CD长．【分析】（1）依次代入条件①②③，可得①②不成立，故只能选③；（2）由（1）结论再结合余弦定理可得cos C，进而得到sin C，结合两角和差公式得到sin ∠CAD，利用正弦定理得到CD．解：（1）若选条件①，则有cos A＝＝＝2＞1，不合题意；若选条件②，由余弦定理可得a•＝b•，整理得a＝b，又因为此时a+b＝2＜4，不符合题意；若选条件③，由余弦定理可得a•+b＝0，即a2+3b2﹣c2＝0，所以a2＝c2﹣3b2＝16﹣6＝10，则cos A＝＝＝，因为A∈（0，π），所以A＝；故（1）答案选：③；（2）由（1）的cos C＝＝＝﹣，因为c∈（0，π），则sin C＝＝，sin∠CAD＝sin（﹣C）＝sin cos C﹣cos sin C＝，在△ACD中，因为＝，则CD＝＝＝．21．如图所示，等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，满足AD ＝1，DE⊥AB．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B为直二面角，连接A1B，A1C．（1）求二面角C﹣A1B﹣D的余弦值；（2）线段A1E上是否存在点P，使得直线CP与平面A1BC所成的角为60°？若存在，求出A1P的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题易知，∠A1DB为二面角A1﹣DE﹣B的平面角，即∠A1DB＝90°，以D为原点，DB、DE和DA1分别为x、y和z轴建立空间直角坐标系，根据法向量的性质求出平面A1BC的法向量，由线面垂直的判定定理易证得DE⊥面A1BD，推出平面A1BD 的法向量为＝（0，1，0），然后根据空间向量数量积的坐标运算求出cos＜＞即可得解；（2）设线段A1E上存在点P（x，y，z）满足题意，且（λ∈[0，1]），根据空间向量的线性坐标运算可求得点P（0，λ，1﹣λ），从而得，由sin60°＝|cos ＜，＞|＝建立关于λ的方程，解之，若λ∈[0，1]，则存在点P符合，否则，不存在．解：（1）由题可知，BD⊥DE，A1D⊥DE，∵二面角A1﹣DE﹣B为直二面角，∴∠A1DB＝90°，即A1D⊥BD，以D为原点，DB、DE和DA1分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，0，0），C（，，0），A1（0，0，1），E（0，，0），∴＝（2，0，﹣1），＝（，，﹣1），设平面A1BC的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1，则y＝，z＝2，∴＝（1，，2），∵BD⊥DE，A1D⊥DE，且A1D、BD⊂面A1BD，A1D∩BD＝D，∴DE⊥面A1BD，∴平面A1BD的法向量为＝（0，1，0），∴cos＜＞＝＝，∵二面角C﹣A1B﹣D为锐二面角，故二面角C﹣A1B﹣D的余弦值为．（2）设线段A1E上存在点P（x，y，z）满足题意，且（λ∈[0，1]），则（x，y，z﹣1）＝λ（0，，﹣1），∴x＝0，y＝λ，z＝1﹣λ，即点P（0，λ，1﹣λ），∴＝（，，1﹣λ），由（1）知，平面A1BC的法向量为＝（1，，2），而CP与平面A1BC所成的角为60°∴sin60°＝|cos＜，＞|＝＝＝，解得λ＝或∉[0，1]，故不存在点P满足题意．22．如图，点P（x0，y0）是圆O：x2+y2＝9上一动点，过点P作圆O的切线l与圆O1：（x ﹣a）2+（y﹣4）2＝100（a＞0）交于A，B两点，已知当直线l过圆心O1时，|O1P|＝4．（1）求a的值；（2）当线段AB最短时，求直线l的方程；（3）问：满足条件＝的点P有几个？请说明理由．【分析】（1）依题意计算，可得结果；（2）解法1（代数法）：当圆心O1到直线l的距离d最大时，线段AB最短，再求出d 的最大值即可得结果；解法2（几何法）：当圆心O1到直线l的距离d最大时，线段AB最短，当且仅当O1，O，P三点共线时，d取得最大值，从而得解；（3）采用分类讨论，O1，O在直线AB同侧或异侧，假设|AP|＝t，可得d2+（2t）2＝100，并得t2＝|MP|2＝25﹣（d﹣3）2或t2＝|MP|2＝25﹣（d+3）2计算即可判断．解：（1）当直线l过圆心点O1时，，解得a＝3（负值舍去）．（2）解法1（代数法）：因为OP与圆O相切，所以直线l的方程为x0x+y0y＝9，且，所以圆心O1到直线l的距离，记z＝3x0+4y0，则直线3x0+4y0﹣z＝0 与圆有公共点，所以圆心（0，0）到直线3x+4y﹣z＝0 的距离，所以﹣15⩽z⩽15，所以当z＝﹣15 时，d max＝8，此时弦长|最短，由，解得，所以直线l的方程为3x+4y+15＝0．解法2（几何法）：如图，过O1作O1M⊥AB，则M为弦AB的中点，设d＝|O1M|，当|O1M|最长时，弦长|AB|最短，因为d⩽|O1P|⩽|OO1|+|OP|＝8，当且仅当O1，O，P三点共线时，取得最大值，此时OO1⊥AB，因为，所以直线OO1的方程为，由，解得（P点在第 3 象限）所以直线l的方程为3 x+4y+15＝0．（3）因为，所以设|AP|＝t，则|BP|＝3t（t＞0），所以|AB|＝4t，所以d2+（2t）2＝100 ①，（i）如图，当O1，O在直线AB同侧时，t2＝|MP|2＝25﹣（d﹣3）2②，由①②得d＝6 或d＝2，当d＝6 时，直线AB可看作是圆x2+y2＝9 与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝36 的公切线，此时两圆相交，公切线有两条，所以满足条件的点P有2个，d＝2 时，直线AB可看作是圆x2+y2＝9 与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4 的公切线，此时两圆相外切，外公切线有两条，所以满足条件的点P有2个，（ii）如图，当O1，O在直线AB异侧时，t2＝|MP|2＝25﹣（d+3）2，③由①③可得d＝﹣6 或d＝﹣2（舍），满足条件的P点不存在，综上，满足条件的点P共有4个．附：当d＝6 时，即|3x0+4y0﹣9|＝18，由，解得P（﹣3，0）或，当d＝2 时，即|3x0+4y0﹣9|＝6，由，解得或或舍去）．。

2022-2023学年江苏省苏州市八校高一(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年江苏省苏州市八校高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |﹣1≤x ≤1}，B ＝{x |3x ＜1}，则A ∪B ＝（） A ．[﹣1，0）B ．（﹣∞，0）C ．[﹣1，1]D ．（﹣∞，1]2．国家统计局公报显示绘制出的2017﹣2021年每年本专科、中等职业教育及普通高中的招生人数（单位：万）统计图如图所示，则下列关于2017﹣2021年说法正确的是（）A ．每年本专科、中等职业教育和普通高中的招生人数都在增长B ．中等职业教育和普通高中的招生人数差距最大的年份是2019年C ．本专科每年的招生人数增幅最大的年份是2018年D ．本专科的招生人数所占比例最高的年份是2021年3．已知向量a →=(1，2)，b →=(k ，3)，且a →⊥(a →+b →)，则实数k 的值为（） A ．﹣10B ．﹣11C ．﹣18D ．﹣214．已知函数f(x)={12x +k −23，2k ≤x ＜2k +43，2x −2k −83，2k +43≤x ＜2k +2，(k ∈Z)，则下列说法错误的是（） A ．f （x ）是单调递增函数 B ．f （f （x +2））＝x C ．f （x ）≤x ﹣1D ．f （x ）+f （x +1）≤2x5．昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t 秒后，在距释放处x 米的地方测得的信息素浓度y 满足lny =−12lnt −kt x 2+a ，其中k ，a 为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m ；若释放信息素4秒后，距释放处b 米的位置，信息素浓度为m2，则b ＝（） A ．3B ．4C ．5D ．66．“cos θ＝0”是“函数f （x ）＝sin （x +θ）+cos x 为偶函数”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．在△ABC 中，AB →⋅AC →=9，sin B ＝cos A sin C ，S △ABC ＝6，P 为线段AB 上的动点，且CP →=x ⋅CA →|CA →|+y ⋅CB→|CB →|，则2x+1y的最小值为（）A ．116+√63B ．116C ．1112+√63D ．11128．已知等腰直角△ABC 的斜边AB =√2，M ，N 分别为AC ，AB 上的动点，将△AMN 沿MN 折起，使点A 到达点A '的位置，且平面A 'MN ⊥平面BCMN ．若点A '，B ，C ，M ，N 均在球O 的球面上，则球O 表面积的最小值为（） A ．8π3B ．3π2C ．√6π3D ．4π3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知z(1+i)=2−i ，则在复平面内复数z 对应的点不位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，AD →=23AC →，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP →=xBA →+yBC →，则（）A ．BD →=13BA →+23BC →B ．BD →⋅BO →=132C ．BP →⋅BC →存在最小值D ．x +y 的最大值为1+√7711．已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)+1(ω＞0，|φ|＜π2)，满足f(x)+f(−π3−x)=2，且对任意x ∈R ，都有f(x)≥f(−5π12)，当ω取最小值时，则下列错误的是（） A ．f （x ）图像的对称轴方程为x =π12+kπ3，k ∈Z B ．f （x ）在[−π12，π6]上的值域为[√3，2] C ．将函数y =2sin(2x −π6)+1的图象向左平移π6个单位长度得到函数f （x ）的图象 D ．f （x ）在[π6，π3]上单调递减12．已知四棱锥P ﹣ABCD ，底面ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝2，点M 在平面ABCD 上，且AM ＝λAD （0＜λ＜1），则（） A ．存在λ，使得直线PB 与AM 所成角为π6B ．不存在λ，使得平面P AB ⊥平面PBMC ．当λ一定时，点P 与点M 轨迹上所有的点连线和平面ABCD 围成的几何体的外接球的表面积为4（λ2+1）2πD ．若λ=√22，以P 为球心，PM 为半径的球面与四棱琟P ﹣ABCD 各面的交线长为√2+√62π 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿对角线AC 把矩形折成二面角D ﹣AC ﹣B 的平面角为60°时，则|BD |＝．14．如图，在半径为1的圆O 中，点A 、B 为圆O 上的定点，且∠AOB ＝60°，点C 为圆上的一个动点，若OC →=xOA →+yOB →，则2x +(√3+1)y 的取值范围是．15．已知函数f （x ）={e x ，x ≤0lnx ，x ＞0，则f （f （1））＝；设g （x ）＝f （x ）+x +a ，若函数g （x ）存在2个零点，则实数a 的取值范围是．16．已知a →，b →为平面上的单位向量，|c →|=√26，且a →⋅c →=1，则|a →⋅b →|+|b →⋅c →|的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成60°角的两条数轴，e 1→，e 2→分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →=xe 1→+ye 2→（x ，y ∈R ），则把有序数对（x ，y ）叫做向量OP →在坐标系xOy中的坐标．（Ⅰ）设M （0，2），N （3，0），求OM →⋅ON →的值；（Ⅱ）若OP →=2e 1→+3e 2→，计算|OP →|的大小．18．（12分）已知复数z ＝m 2（1+i ）+（3i ﹣4）m +2i ﹣5（m ∈R ）．（1）若z 为纯虚数，求m 的值；（2）若复数zi 的实部与虚部之和为14，求m 的值．19．（12分）某校为加强党史教育，进行了一次党史知识竞赛，随机抽取的100名学生的笔试成绩均在75分以上（满分100分），分成[75，80），[80，85）[85，90），[90，95），[95，100]共五组后，得到的频率分布表如下所示：（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）；（2）为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率．20．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，acosB +√32b =c ．（1）求A 的大小；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件选择一个作为已知，使得△ABC 存在且唯一确定，求BC 边上高线的长．条件①：cosB =3√2114，b ＝1；条件②：a ＝2，c =2√3；条件③：b ＝3，c =√3． 21．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，梯形ABCD 满足AB ∥CD ，∠BCD ＝90°，且PD ＝AD ＝DC ＝2，AB ＝3，E 为PC 中点，PF →=13PB →，PG →=2GA →．（1）求证：D ，E ，F ，G 四点共面；（2）求二面角F ﹣DE ﹣P 的正弦值．22．（12分）已知函数f （x ）＝xe x ﹣1，g （x ）＝a （x +lnx ）且f （x ）﹣g （x ）≥0恒成立．（提示：e x ≥x +1，当且仅当x ＝0时等号成立）（1）求a 的值；（2）证明：x 3e x ＞（x 2+3）lnx +2sin x ．（注：其中e ＝2.71828⋯为自然对数的底数）2022-2023学年江苏省苏州市八校高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|3x＜1}，则A∪B＝（）A．[﹣1，0）B．（﹣∞，0）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，1]解：∵集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}＝（﹣∞，0），∴A∪B＝（﹣∞，1]．故选：D．2．国家统计局公报显示绘制出的2017﹣2021年每年本专科、中等职业教育及普通高中的招生人数（单位：万）统计图如图所示，则下列关于2017﹣2021年说法正确的是（）A．每年本专科、中等职业教育和普通高中的招生人数都在增长B．中等职业教育和普通高中的招生人数差距最大的年份是2019年C．本专科每年的招生人数增幅最大的年份是2018年D．本专科的招生人数所占比例最高的年份是2021年解：对于选项A：中等职业教育2017年招生人数为582万人，2018年招生人数为557万人，所以2017﹣2018年中等职业教育招生人数出现减少，故选项A错误；对于选项B：2017﹣2021年中等职业教育和普通高中的招生人数差为：218万人，236万人，239万人，231万人，249万人，所以中等职业教育和普通高中的招生人数差距最大的是2021年，故选项B错误；对于选项C：2018﹣2021年本专科每年的招生人数增幅为：3.9%，15.7%，5.7%，3.5%，所以本专科每年的招生人数增幅最大的年份是2019年，故选项C错误；对于选项D：2017﹣2021年本专科的招生人数所占比例为：35.5%，36.9%，38.9%，38.9%，39.1%，所以本专科的招生人数所占比例最高的年份是2021年，故选项D正确，故选：D ．3．已知向量a →=(1，2)，b →=(k ，3)，且a →⊥(a →+b →)，则实数k 的值为（） A ．﹣10B ．﹣11C ．﹣18D ．﹣21解：由向量a →=(1，2)，b →=(k ，3)，可得a →2=|a →|2=5，a →⋅b →=k +6，又由a →⊥(a →+b →)，可得a →⋅(a →+b →)=a →2+a →⋅b →=5+k +6=0，解得k ＝﹣11．故选：B ．4．已知函数f(x)={12x +k −23，2k ≤x ＜2k +43，2x −2k −83，2k +43≤x ＜2k +2，(k ∈Z)，则下列说法错误的是（）A ．f （x ）是单调递增函数B ．f （f （x +2））＝xC ．f （x ）≤x ﹣1D ．f （x ）+f （x +1）≤2x解：对于A ：∵函数f(x)={12x +k −23，2k ≤x ＜2k +43，2x −2k −83，2k +43≤x ＜2k +2，(k ∈Z)， ∴当2k ≤x ＜2k +43时，f （x ）=12x +k −23单调递增，当2k +43≤x ＜2k +2时，f （x ）＝2x ﹣2k −83单调递增，又f （x ）为连续函数，故A 正确；对于B ：f （x +2）={12x +k +43，2k ≤x ＜2k +432x −2k −23，2k +43≤x ＜2k +2（k ∈Z ）， ∴f （f （x +2））={2(12x +k +43)−2k −83，2k ≤x ＜2k +4312(2x −2k −23)+k +1−23，2k +43≤x ＜2k +43=x （k ∈Z ），故B 正确；对于C ：f （0）=−23＞0﹣1＝﹣1，故C 错误；对于D ：f （x ）﹣x ={−12x +k −23，2k ≤x ＜2k +43x −2k −83，2k +43≤x ＜2k +2≤{−12×2k +k −23，2k ≤x ＜2k +432k +2−2k −83，2k +43≤x ＜2k +2=−23，∴f （x ）+f （x +1）≤x −23+x +13≤2x ，故D 正确．故选：C ．5．昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t 秒后，在距释放处x 米的地方测得的信息素浓度y 满足lny =−12lnt −kt x 2+a ，其中k ，a 为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m ；若释放信息素4秒后，距释放处b 米的位置，信息素浓度为m2，则b ＝（） A ．3B ．4C ．5D ．6解：由题意lnm ＝﹣4k +a ，ln m 2=−12ln4−k4b 2+a ，所以lnm −lnm 2=−4k +a −(−12ln4−k4b 2+a)），即−4k +k4b 2=0．又k ≠0，所以b 2＝16．因为b ＞0，所以b ＝4．故选：B ．6．“cos θ＝0”是“函数f （x ）＝sin （x +θ）+cos x 为偶函数”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：根据题意，若cos θ＝0，则θ＝k π+π2，k ∈Z ，故f （x ）＝sin （x +k π+π2）+cos x ，当k 为偶数时，f （x ）＝2cos x ，是偶函数，当k 为奇数时，f （x ）＝0，也是偶函数，故f （x ）一定是偶函数，反之，若f （x ）＝sin （x +θ）+cos x 为偶函数，则f （﹣x ）＝f （x ），即sin （x +θ）+cos x ＝sin （﹣x +θ）+cos （﹣x ），变形可得：sin x cos θ+cos x sin θ+cos x ＝﹣sin x cos θ+cos x sin θ+cos x ，必有cos θ＝0；故“cos θ＝0”是“函数f （x ）＝sin （x +θ）+cos x 为偶函数”的充分必要条件．故选：C ．7．在△ABC 中，AB →⋅AC →=9，sin B ＝cos A sin C ，S △ABC ＝6，P 为线段AB 上的动点，且CP →=x ⋅CA →|CA →|+y ⋅CB→|CB →|，则2x+1y 的最小值为（）A ．116+√63B ．116C ．1112+√63D ．1112解：设|AB →|=c ，|AC →|=b ，根据题意得{bccosA =9b =ccosA 12bcsinA =6，解得b ＝3，c ＝5，sinA =45，cosA =35，∴|CB →|=4，∴CP →=x ⋅CA →|CA →|+y ⋅CB →|CB →|=x 3CA →+y 4CB →，又∵A 、P 、B 三点共线，∴x 3+y 4=1，且x ＞0，y ＞0，∴2x+1y=(x3+y 4)(2x+1y)=1112+x 3y+y 2x≥1112+2√x3y ⋅y2x=1112+√63，当且仅当{x 3+y 4=1x 3y =y 2x ，即{x =6(4−√6)5y =4(2√6−3)5时，等号成立， ∴2x+1y的最小值为1112+√63．故选：C ．8．已知等腰直角△ABC 的斜边AB =√2，M ，N 分别为AC ，AB 上的动点，将△AMN 沿MN 折起，使点A 到达点A '的位置，且平面A 'MN ⊥平面BCMN ．若点A '，B ，C ，M ，N 均在球O 的球面上，则球O 表面积的最小值为（） A ．8π3B ．3π2C ．√6π3D ．4π3解：由点A ′，B ，C ，M ，N 均在球O 的球面上，且B ．C ，M ，N 共圆（M 不与A 重合），所以∠NMC +∠B ＝∠C +∠MNB ＝π（M 不与C 重合），又△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，即有MN ⊥AB ，如上图，△ANM 、△BNM 、△BCM 都为直角三角形，且∠ANM ＝∠MNB ＝∠C =π2，由平面图到立体图知：MN ⊥A ′N ，MN ⊥BN ，又面A ′MN ⊥面BCMN ，面A ′MN ∩面BCMN ＝MN ，A ′N ⊂面A ′MN ，所以A ′N ⊥面BCMN ，同理可得BN ⊥面A ′MN ，将△AMN 翻折后，A ′M ，BM 的中点D ，E 分别为△A ′MN ，四边形BCMN 外接圆圆心，过D 作DO ⊥面A ′MN ，过E 作EO ⊥面BCMN ，它们交于O ，即为A ′﹣BNMC 外接球球心，如下图示，再过D 作DF ⊥面BCMN ，交NM 于F ，连接EF ，则EFDO 为矩形，综上，DF ∥A ′N ，DO ∥BN ，则F 为MN 中点，所以，DO ＝EF =12BN ，而A ′C ＝BC ＝1，AB =√2，令A ′N ＝x 且0＜x ≤1，则BN =√2−x ，故DO =√2−x2，A ′M =√2x ，所以球O 半径，r =√DO 2+(12A′M)2=√3x 2−2√2x+24=√3(x−√23)2+434，当x =√23时，r min =1√3，故球O 表面积的最小值为4πr 2=4π3．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知z(1+i)=2−i ，则在复平面内复数z 对应的点不位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：z(1+i)=2−i ，则z =2−i 1+i =(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=12−32i ，故z =12+32i ，故在复平面内复数z 对应的点（12，32）位于第一象限．故选：BCD ．10．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，AD →=23AC →，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP →=xBA →+yBC →，则（）A ．BD →=13BA →+23BC →B ．BD →⋅BO →=132C ．BP →⋅BC →存在最小值D ．x +y 的最大值为1+√77解：对于A ，因为AD →=23AC →，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以OA =OD =DC =13AC =1，则BD →=BC →+CD →=13BA →+23BC →，故A 正确；对于B ，BO →=BC →+CO →=BC →+23CA →=23BA →+13BC →，则BD →⋅BO →=(13BA →+23BC →)(23BA →+13BC →)=29BA →2+29BC →2+59BA →⋅BC →=132，故B 正确；对于C ，如图，以点O 为原点建立平面直角坐标系，则A(−1，0)，B(12，3√32)，C(2，0)，因为点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝1，且在x 轴的下半部分，设P （cos α，sin α），α∈[π，2π]，则BP →=(cosα−12，sinα−3√32)，BC →=(32，−3√32)，BA →=(−32，−3√32)，所以BP →⋅BC →=32cosα−34−3√32sinα+274=3cos(α+π3)+6，因为α∈[π，2π]，所以α+π3∈[4π3，7π3]，所以当α+π3=4π3时，BP →⋅BC →取得最小值92，故C 正确；对于D ，因为BP →=xBA →+yBC →，所以(cosα−12，sinα−3√32)=x(−32，−√32)+y(32，−3√32)，即(cosα−12，sinα−3√32)=(32(x −y)，−3√32(x +y))，所以sinα−3√32=−3√32(x +y)，所以x +y =−2√39sinα+1，因为α∈[π，2π]，所以当α=3π2时，x +y 取得最大值2√39+1，故D 错误．故选：ABC ．11．已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)+1(ω＞0，|φ|＜π2)，满足f(x)+f(−π3−x)=2，且对任意x ∈R ，都有f(x)≥f(−5π12)，当ω取最小值时，则下列错误的是（） A ．f （x ）图像的对称轴方程为x =π12+kπ3，k ∈Z B ．f （x ）在[−π12，π6]上的值域为[√3，2]C ．将函数y =2sin(2x −π6)+1的图象向左平移π6个单位长度得到函数f （x ）的图象D ．f （x ）在[π6，π3]上单调递减解：因为f(x)+f(−π3−x)=2，所以f （x ）的图象关于点(−π6，1)对称，又对任意x ∈R ，都有f(x)≥f(−5π12)，所以当x =−5π12时，f （x ）取得最小值，当ω取最小值时，即周期T 最大，可得T4=−π6−(−5π12)．得T ＝π，所以ω=2πT =2，函数f （x ）在x =−5π12时取得最小值，所以2sin(−5π6+φ)+1=−1．因为|φ|＜π2，所以φ=π3．即f(x)=2sin(2x +π3)+1．令2x +π3=π2+kπ，k ∈Z ，得x =π12+kπ2，ℎ∈Z ．故A 错误；当x ∈[−π12，π6]时，2x +π3∈[π6，2π3]．此时f （x ）的值域为[2，3]，故B 错误；将y =2sin(2x −π6)+1的图象向左平移π6个单位长度得到函数y =2sin(2x +π6)+1的图象，故C 错误；当x ∈[π6，π3]时，2x +π3∈[2π3，π]，f （x ）单调递减，故D 正确．故选：ABC ．12．已知四棱锥P ﹣ABCD ，底面ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝2，点M 在平面ABCD 上，且AM ＝λAD （0＜λ＜1），则（）A ．存在λ，使得直线PB 与AM 所成角为π6B ．不存在λ，使得平面P AB ⊥平面PBMC ．当λ一定时，点P 与点M 轨迹上所有的点连线和平面ABCD 围成的几何体的外接球的表面积为4（λ2+1）2πD ．若λ=√22，以P 为球心，PM 为半径的球面与四棱琟P ﹣ABCD 各面的交线长为√2+√62π 解：对A ，如图，由题意∠PBA =π4为直线与平面ABCD 所成的角，所以PB 与AM 所成的角不小于π4，π4＞π6，故A 错误；对B ，P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD 平面，∴BC ⊥P A ，又BC ⊥AB ，P A ∩AB ＝A ，AB ，P A ⊂平面P AB ，∴BC ⊥面P AB ，∴点M 要在直线BC 上，因AM ＝λAD （0＜λ＜1），所以不存在，故B 正确．对C ，由题意知，几何体为圆锥，作圆锥及外接球的轴截面图，如图，所以外接球的半径R 满足R 2＝（2﹣R ）2+（2λ）2，解得R ＝λ2+1，所以外接球的表面积为S ＝4（λ2+1）2π，故C 正确；对D ，将侧面展开，知球与侧面的交线为以点P 为圆心，√6为半径的圆与侧面展开图的交线，即图中EMF̂，因为tan ∠APF =√22=tan ∠BPC =222=√22，所以∠APF ＝∠BPC ，又∠APF +∠FPB =π4，所以∠FPC ＝∠BPC +∠FPB =π4，由对称性知∠FPC ＝∠CPE ，所以∠FPE =π2，故EMF̂的长为π2×√6，又球与底面交线为以点A 为圆心，√2为半径的圆与底面ABCD 的交线，故长度为π2×√2，所以球面与四棱琟P ﹣ABCD 各面的交线长为√2+√62π，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿对角线AC 把矩形折成二面角D ﹣AC ﹣B 的平面角为60°时，则|BD |＝√1935．解：【向量法】矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，如图所示，则|DE →|＝|BF →|=3×45=125，|EF →|＝5﹣2×95=75；沿对角线AC 把矩形折成二面角D ﹣AC ﹣B 的平面角为60°时，则BD →=BF →+FE →+ED →，BD →2=BF →2+FE →2+ED →2+2BF →•FE →+2FE →•ED →+2BF →•ED →=(125)2×2+(75)2+0+0+2×125×125×cos （180°﹣60°） =19325， ∴|BD |=√1935．【公式法】由DE ＝BF =125，EF =75；异面直线DE 与BF 所成的角为60°，则BD =√BF 2+DE 2+EF 2−2BF ⋅DE ⋅cos60°=√1935．故答案为：√1935．14．如图，在半径为1的圆O 中，点A 、B 为圆O 上的定点，且∠AOB ＝60°，点C 为圆上的一个动点，若OC →=xOA →+yOB →，则2x +(√3+1)y 的取值范围是 [−2√2，2√2] ．解：如图所示，以O 为原点，以OA 为x 轴建立平面直角坐标系，因为圆的半径为1，且∠AOB ＝60°，可得A(1，0)，B(12，√32)，设点C （cos θ，sin θ），其中θ∈[0，2π]，因为OC →=xOA →+yOB →，可得(cosθ，sinθ)=x ⋅(1，0)+y ⋅(12，√32)，所以{cosθ=x +12y sinθ=√32y，可得2x +(√3+1)y =2cosθ+2sinθ=2√2sin(θ+π4)，因为−1≤sin(θ+π4)≤1，可得−2√2≤sin(θ+π4)≤2√2，即2x +(√3+1)y 的的取值范围是[−2√2，2√2]，故答案为：[−2√2，2√2]．15．已知函数f （x ）={e x ，x ≤0lnx ，x ＞0，则f （f （1））＝ 1 ；设g （x ）＝f （x ）+x +a ，若函数g （x ）存在2个零点，则实数a 的取值范围是 [﹣1，+∞）．解：因为函数f （x ）={e x ，x ≤0lnx ，x ＞0，所以f （1）＝ln 1＝0，f （f （1））＝f （0）＝e 0＝1；令g （x ）＝f （x ）+x +a ＝0，得f （x ）＝﹣x ﹣a ，若函数g （x ）存在2个零点，则函数f （x ）与y ＝﹣x ﹣a 有两个交点，由指数函数的图象可得：y ＝e x 恒过点（0，1），且函数y ＝﹣x ﹣a 恒过点（0，﹣a ），画出函数的图像，如图所示：由图像知，﹣a ≤1，解得a ≥﹣1，所以实数a 的取值范围是[﹣1，+∞）．故答案为：1；[﹣1，+∞）．16．已知a →，b →为平面上的单位向量，|c →|=√26，且a →⋅c →=1，则|a →⋅b →|+|b →⋅c →|的最大值为 √29 ．解：如图，设A ，B 是单位圆O 上的点，OC =√26，OA ⊥AC ，OA →=a ，OB →=b →，OC →=c →．设OC 到OB 的角为θ，则OA 到OB 的角为θ﹣arctan5，进而|a →⋅b →|+|b →⋅c →|=|cos(θ−arctan5)|+√26⋅|cosθ|=|cosθ+5sinθ|+26|cosθ|26≤27|cosθ|+5|sinθ|26≤√272+5226=√29，等号当θ=arctan 527易时取得，因此所求最大值为√29．故答案为：√29．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成60°角的两条数轴，e 1→，e 2→分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →=xe 1→+ye 2→（x ，y ∈R ），则把有序数对（x ，y ）叫做向量OP →在坐标系xOy中的坐标．（Ⅰ）设M （0，2），N （3，0），求OM →⋅ON →的值；（Ⅱ）若OP →=2e 1→+3e 2→，计算|OP →|的大小．解：（Ⅰ）根据题意可得OM →=2e 2→，ON→=3e 1→，∴OM →⋅ON →=6e 1→⋅e 2→=6×1×1×cos60°＝3；（Ⅱ）∵|OP →|=√OP →2=√(2e 1→+3e 2→)2 =√4e 1→2+12e 1→⋅e 2→+9e 2→2=√4+12cos60°+9 =√19，∴|OP →|的大小为√19．18．（12分）已知复数z ＝m 2（1+i ）+（3i ﹣4）m +2i ﹣5（m ∈R ）．（1）若z 为纯虚数，求m 的值；（2）若复数zi 的实部与虚部之和为14，求m 的值．解：（1）由题意得z ＝（m 2﹣4m ﹣5）+（m 2+3m +2）i ．因为z 为纯虚数，所以{m 2−4m −5=0m 2+3m +2≠0，解得m ＝5，故m 的值为5．（2）由题意得zi=(m 2+3m +2)+(−m 2+4m +5)i ，因为复数zi的实部与虚部之和为14，所以m 2+3m +2+（﹣m 2+4m +5）＝14，解㥂m ＝1，故m 的值为1．19．（12分）某校为加强党史教育，进行了一次党史知识竞赛，随机抽取的100名学生的笔试成绩均在75分以上（满分100分），分成[75，80），[80，85）[85，90），[90，95），[95，100]共五组后，得到的频率分布表如下所示：（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）；（2）为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率．解：（1）第2组的频数为100×0.300＝30，所以①处应填的数为100﹣30﹣30﹣20﹣10＝10， ②处应填的数为30÷100＝0.300，频率分布直方图如图所示，（2）因为第3、4、5组共有60名选手，所以利用分层抽样在60名选手中抽取6名选手进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第3组：3060×6=3人，第4组：2060×6=2人，第5组：1060×6=1人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试，设第3组的3位学生为A 1，A 2，A 3，第4组的2位学生为B 1，B 2，第5组的1位学生为C 1，则从这6位学生中抽取2位学生有：（A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，C 1），（A 2，A 3），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，C 1），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（A 3，C 1），（B 1，B 2），（B 1，C 1），（B 2，C 1），共15种情况．抽到的2位学生不同组的有：（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，C 1），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，C 1），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（A 3，C 1），（B 1，C 1），（B 2，C 1），共11种情况．所以抽到的2位学生不同组的概率为1115．20．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，acosB +√32b =c ．（1）求A 的大小；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件选择一个作为已知，使得△ABC 存在且唯一确定，求BC 边上高线的长．条件①：cosB =3√2114，b ＝1；条件②：a ＝2，c =2√3；条件③：b ＝3，c =√3．解：（1）因为acosB +√32b =c ，由正弦定理得，sin A cos B +√32sin B ＝sin C ，又sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +sin B cos A ，所以√32sin B ＝sin B cos A ，由B 为三角形内角得sin B ＞0，所以cos A =√32，由A 为三角形内角可得A =π6；（2）若选①：cosB =3√2114，b ＝1，可得sin B =√1−cos 2B =√714，所sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +sin B cos A =12×3√2114+√32×√714=√217，设BC 边上的高为h ，则h ＝b sin C =√217；若选②：a ＝2，c ＝2√3，由余弦定理得，a 2＝4＝b 2+12﹣2b ×2√3×√32，解得b ＝2或b ＝4，此时三角形解不唯一；若选③：b ＝3，c =√3，由余弦定理得，a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝9+3﹣2×3×√3×√32=3，所以a =√3=c ，故C ＝A =π6，三角形的解唯一，设BC 边上的高为h ，则h ＝b sin C =32．21．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，梯形ABCD 满足AB ∥CD ，∠BCD ＝90°，且PD ＝AD ＝DC ＝2，AB ＝3，E 为PC 中点，PF →=13PB →，PG →=2GA →．（1）求证：D ，E ，F ，G 四点共面；（2）求二面角F ﹣DE ﹣P 的正弦值．（1）证明：以点C 为坐标原点，向量CD →、CB →、DP →方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立坐标系，则D （2，0，0），P （2，0，2），C （0，0，0），B(0，√3，0)，A(3，√3，0)，E （1，0，1），所以PB →=(−2，√3，−2)，因为PF →=13PB →，设F （a ，b ，c ），则PF →=(a −2，b ，c −2)，所以(a −2，b ，c −2)=13(−2，√3，−2)，解得{ a =43b =√33c =43，所以F(43，√33，43)，同理可得G(83，2√33，23)， ∴DE →=(−1，0，1)，DF →=(−23，√33，43)，DG →=(23，2√33，23)，令DF →=xDE →+yDG →∴{ −23=−x +23y √33=2√33y 43=x +23y，∴{x =1y =12，∴DF →=DE →+12DG →，∴D 、E 、F 、G 四点共面．（2）解：由（1）可知D （2，0，0），E （1，0，1），F(43，√33，43)， ∴DE →=(−1，0，1)，DF →=(−23，√33，43)．设平面DEF 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅DE →=−x +z =0n →⋅DF →=−23x +√33y +43z =0，则{x =−√32y z =−√32y，令y ＝2，则n →=(−√3，2，−√3)．取平面PDE 的一个法向量为CB →=(0，√3，0)，则cos〈n →，CB →〉=n →⋅CB→|n →||CB →|=2310×3=√105，所以sin〈n →，CB →〉=√1−cos 2〈n →，CB →〉=√155，∴二面角F ﹣DE ﹣P 的正弦值为√155． 22．（12分）已知函数f （x ）＝xe x ﹣1，g （x ）＝a （x +lnx ）且f （x ）﹣g （x ）≥0恒成立．（提示：e x ≥x +1，当且仅当x ＝0时等号成立）（1）求a 的值；（2）证明：x 3e x ＞（x 2+3）lnx +2sin x ．（注：其中e ＝2.71828⋯为自然对数的底数）解：（1）因为不等式f （x ）≥g （x ）恒成立，所以xe x ﹣a （lnx +x ）≥1，令h （x ）＝xe x ﹣a （lnx +x ），x ＞0，h ′（x ）＝e x +xe x ﹣a （1x +1）＝（x +1）e x ﹣a •x+1x =（x +1）•xe x −ax ，当a ＜0时，h （x ）单调递增，h （x ）的值域为R ，不符合题意，当a ＝0时，则h （12）=√e2＜1，也不符合题意，当a ＞0时，令xe x ﹣a ＝0，得a ＝xe x ，令p （x ）＝xe x ，p ′（x ）＝e x +xe x ＝（x +1）e x ＞0，所以p （x ）在（0，+∞）上单调递增，且p （0）＝0，所以a ＝xe x 有唯一实数根，即h ′（x ）＝0有唯一实数根，设为x 0，即a ＝x 0e x 0，所以h （x ）在（0，x 0）上为减函数，在（x 0，+∞）上为增函数，所以h （x ）min ＝f （x 0）＝x 0e x 0−a （lnx 0+x 0）＝a ﹣alna ，所以只需a ﹣alna ≥1，令t =1a ，上式可转化为lnt ≥t ﹣1，设h （t ）＝lnt ﹣t +1，则h ′（t ）=1−t t ，所以h （t ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以h （x ）max ＝h （1）＝0，所以lnt ≤t ﹣1，所以lnt ＝t ﹣1，解得t ＝1，所以1a=t ＝1，解得a ＝1，所以满足条件的实数为a＝1．（2）证明：由（1）可知当a＝1时，f（x）≥g（x）对任意x＞0恒成立，所以任意x∈（0，+∞），xe x≥x+lnx+1（当且仅当x＝1时等号成立），则x3e x＞（x2+3）lnx+2sin x（x＞0），只需证x3+x2lnx+x2＞（x2+3）lnx+2sin x（x＞0），即证x3+x2＞3lnx+2sin x（x＞0），设G（x）＝lnx﹣x+1，m（x）＝sin x﹣x，则G′（x）=1x−1=1−xx（x＞0），所以G（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以任意x∈（0，+∞），G（x）≤G（1）＝0，即lnx≤x﹣1（x＞0），m′（x）＝cos x﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，所以m（x）在（0，+∞）上单调递减，所以任意x∈（0，+∞），m（x）＜m（0）＝0，即sin x＜x（x＞0），所以要证x3+x2＞3lnx+2sin x（x＞0），只需x3+x2≥3（x﹣1）+2x（x＞0），即x3+x2﹣5x+3≥0（x＞0），令H（x）＝x3+x2﹣5x+3，（x＞0），则H′（x）＝3x2+2x﹣5＝（3x+5）（x﹣1），所以H（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以当x∈（0，+∞）时，H（x）≥H（1）＝0，所以x3+x2﹣5x+3≥0（x＞0）恒成立．。

2022-2023学年江苏省苏州高一(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年江苏省苏州高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos105°cos45°+sin105°sin45°＝（） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√322．已知复数z 是一元二次方程x 2+2x +2＝0的一个根，则|z |＝（） A ．0B ．1C ．√2D ．23．抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，“既有正面向上，也有反面向上”的概率为（） A ．14B ．38C ．12D ．344．已知A （2，3），B （4，﹣3），点P 在线段AB 的延长线上，且|AP →|=2|PB →|，则点P 的坐标为（） A ．（0，9） B ．（6，﹣9） C ．(103，−1) D ．（6，﹣9）或(103，−1) 5．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”的“祖暅原理”，其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．如图，已知正六棱台的上、下底面边长分别为1和2，高为2√3，一个不规则的几何体与此棱台满足“幂势既同”，则该几何体的体积为（）A ．72√33B ．16√3C ．18√3D ．216．已知平面向量a →，b →满足|b →|=1，a →⋅b →=−2，则3a →−b →在b →上的投影向量为（） A ．7b →B ．−7b →C ．5b →D ．−5b →7．已知a =45，b =sin 23，c =cos 13，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a8．用长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（） A ．8√5cm 2B ．6√10cm 2C ．15√2cm 2D ．3√55cm 2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知一组数据4，2，a ，10，7的平均数为5，则此组数据的（） A ．众数为2B ．中位数为4C ．极差为3D ．方差为48510．下列条件中能推导出△ABC 一定是锐角三角形的有（） A ．AB →⋅AC →＞0B ．sin A ：sin B ：sinC ＝4：5：6C ．cos A cos B cos C ＞0D ．tan A •tan B ＝211．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以O 为圆心的两个扇形（如图2），若∠AOB ＝150°，OA ＝2OC ＝2，点F 在AB ̂上，∠BOF ＝120°，点E 在CD ̂上，OE →=xOC →+yOD →（x ，y ∈R ），则（）A ．OE →⋅EF →的取值范围为[﹣2，1] B ．OE →⋅EF →的取值范围为[﹣3，1] C ．当OE →⊥EF →时，x +y =1+√3D ．当OE →⊥EF →时，x +y =2+√312．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段AC 上运动，则下列说法正确的有（） A ．B 1P ⊥BD 1B ．三棱锥C 1﹣A 1DP 的体积为定值C ．若Q 为棱BC 上一动点，则△B 1PQ 的周长的最小值为√3+1D ．过P 作平面α，使得A 1C ⊥α，则α截正方体所得的截面可以是四边形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知事件A 与B 相互独立，P （A ）＝0.6，P （AB ）＝0.42，则P （A +B ）＝．14．已知三条不同的直线a ，b ，c 和两个不同的平面α，β满足以下条件：①a ⊥α，b ⊥β；②α∩β＝m ；③c ⊥a ，c ⊥b ，c ⊄α，c ⊄β，则c 与m 的位置关系是．（填“相交”，“平行”或“异面”） 15．已知棱长为4的正四面体A ﹣BCD 的四个顶点都在同一球面上，过棱AB 的中点M 的一个平面截此球所得截面面积为k π（k ∈N *），请写出一个符合条件的k 的值：． 16．已知α，β为一个斜三角形的两个内角，若cosα−sinαcosα+sinα=cos2β，则tan α+tan β的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知i 为虚数单位，复数z 0＝3+4i ．（1）若复数z 1满足z 1z 0＝3z 1+z 0，求z 1的虚部；（2）设复数z ＝（x 2﹣4x ）+（x +2）i （x ∈R ），若复平面内表示复数z +z 0的点位于第二象限，求x 的取值范围．18．（12分）数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a 的值和第25百分位数；（2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年䯍在[25，35）和[45，55）内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在[25，35）内的概率．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 是菱形，平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，AB ⊥BC ，M 和N 分别是AB 和B 1C 1的中点．（1）求证：MN ∥平面AA 1C 1C ；（2）求证：B 1C ⊥AC 1．20．（12分）已知向量a →=(sinx ，cosx)，b →=(cosx ，√3cosx)，函数f(x)=a →⋅b →−√32．（1）若f(x 02)=−13，且x 0∈(−π2，π2)，求sin x 0的值；（2）已知A （﹣3，2），B （3，10），将f （x ）的图象向左平移π12个单位长度得到函数g （x ）的图象．在g（x）的图象上是否存在一点P，使得AP⊥BP？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形ABC中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．问题：如图2，已知△ABC满足AC=2√2，AB＝2，设∠BAC＝θ（0＜θ＜π），四边形ABGF、四边形ACED、四边形BCQP都是正方形．（1）当θ=π2时，求EQ的长度；（2）求AQ长度的最大值．22．（12分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，DE＝3，AE＝2，BC＝CD＝1，∠BCD=∠CDE=2π3，∠AEB=π2．（1）当AB⊥BC时，求直线AB与平面BCDE所成角的大小；（2）当二面角A﹣BE﹣C为π3时，求平面ABC与平面ADE所成二面角的正弦值．2022-2023学年江苏省苏州高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos105°cos45°+sin105°sin45°＝（） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√32解：cos105°cos45°+sin105°sin45°=cos(105°−45°)=cos60°=12．故选：A ．2．已知复数z 是一元二次方程x 2+2x +2＝0的一个根，则|z |＝（） A ．0B ．1C ．√2D ．2解：设z ＝a +bi ，a ，b ∈R ，（a +bi ）2+2（a +bi ）+2＝0，即a 2﹣b 2+2a +2+（2ab +2b ）i ＝0，故{a 2−b 2+2a +2=02ab +2b =0，解得{a =−1b =1或{a =−1b =−1，故z ＝﹣1±i ，所以|z|=√1+1=√2．故选：C ．3．抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，“既有正面向上，也有反面向上”的概率为（） A ．14B ．38C ．12D ．34解：抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），（反，反，反），共有8种不同的结果，既有正面向上，也有反面向上情况：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），有6种不同的结果，所以，既有正面向上，也有反面向上的概率为68=34．故选：D ．4．已知A （2，3），B （4，﹣3），点P 在线段AB 的延长线上，且|AP →|=2|PB →|，则点P 的坐标为（）A ．（0，9）B ．（6，﹣9）C ．(103，−1) D ．（6，﹣9）或(103，−1) 解：由题意得，点B 为AP 中点，设点P （x ，y ），则{x+22=4y+32=−3，解得{x =6y =−9，所以点P 的坐标为（6，﹣9）．故选：B ．5．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”的“祖暅原理”，其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．如图，已知正六棱台的上、下底面边长分别为1和2，高为2√3，一个不规则的几何体与此棱台满足“幂势既同”，则该几何体的体积为（）A ．72√33B ．16√3C ．18√3D ．21解：因为正六棱台的上下底面为正六边形，所以S 上=6×√34×12=3√32，S 下=6×√34×22=6√3，所以V 六棱台=13(3√32+6√3+√3√32×6√3)×2√3=21，由祖暅原理知该几何体的体积也为21．故选：D ．6．已知平面向量a →，b →满足|b →|=1，a →⋅b →=−2，则3a →−b →在b →上的投影向量为（） A ．7b →B ．−7b →C ．5b →D ．−5b →解：由题意，3a →−b →在b →上的投影向量为(3a →−b →)⋅b→|b →|•b →=3a →⋅b →−b→2|b →|•b →=3×(−2)−11•b →=−7b →．故选：B ．7．已知a =45，b =sin 23，c =cos 13，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解：因为sin 23＜sin π4=√22＜45＜sin π3=√32，c =cos 13＞cosπ6=√32＞45=a ，所以c ＞a ，所以b ＜a ＜c ．故选：C ．8．用长度分别为2，3，4，5，6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（） A ．8√5cm 2B ．6√10cm 2C ．15√2cm 2D ．3√55cm 2解：方法一：因为三角形的周长为20，所以三角形越接近等边三角形，面积越大，所以三边长为6，7，7时面积最大，此时边长为6的边上的高为√72−32=2√10，面积为S =12×6×2√10=6√10，方法二：设三角形的三边分别为a ，b ，c ，令p =a+b+c2，则p ＝10．由海伦公式S =√p(p −a)(p −b)(p −c)，知S =√10(10−a)(10−b)(10−c)≤√10[(10−a)+(10−b)+(10−c)3]3=100√39＜20＜3√55，由于等号成立的条件为10﹣a ＝10﹣b ＝10﹣c ，故“＝”不成立， ∴S ＜20＜3√55．排除CD ；由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a ，b ，c 三边长最接近时面积最大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，此三角形面积最大，解法同一可知面积为6√10cm 2，故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知一组数据4，2，a ，10，7的平均数为5，则此组数据的（） A ．众数为2 B ．中位数为4C ．极差为3D ．方差为485解：由题意可得4+2+a+10+75=5⇒a =2，所以A 正确：2，2，4，7，10的中位数为4，故B 正确；极差为10﹣2＝8，故C 错误；对于D ：S 2=(4−5)2+(2−5)2+(2−5)2+(10−5)2+(7−5)25=485，D 正确．10．下列条件中能推导出△ABC 一定是锐角三角形的有（） A ．AB →⋅AC →＞0B ．sin A ：sin B ：sinC ＝4：5：6C ．cos A cos B cos C ＞0D ．tan A •tan B ＝2解：对于A ，因为AB →⋅AC →=|AB →||AC →|cos〈AB →⋅AC →〉＞0，即cos〈AB →⋅AC →〉＞0，又0＜〈AB →⋅AC →〉＜π，故角A 为锐角，但无法确定另两个角的范围，故△ABC 不一定是锐角三角形，故A 错误；对于B ：因为sin A ：sin B ：sin C ＝4：5：6，由正弦定理得a ：b ：c ＝4：5：6，令a ＝4k ，则b ＝5k ，c ＝6k ，显然最大角为C ，且cosC =a 2+b 2−c 22ab =(4k)2+(5k)2−(6k)22×4k×5k＞0，所以最大角C 为锐角，所以△ABC 一定是锐角三角形，故B 正确；对于C ，因为cos A cos B cos C ＞0，若cos A ＜0，则cos B ＜0，cos C ＞0或cos B ＞0，cos C ＜0，又0＜A ，B ，C ＜π，则除了角A 为钝角外，还有一角为钝角，矛盾；同理cos B ＜0，cos C ＜0都不可能，故cos A ＞0，cos B ＞0，cos C ＞0，即三个角均为锐角，故C 正确；对于D ，因为tan A •tan B ＝2＞0，易知tan A ＞0，tan B ＞0，则A ，B 均为锐角，又tanC =−tan(A +B)=−tanA+tanB1−tanA⋅tanB=tanA +tanB ＞0，则C 也为锐角，所以△ABC 一定为锐角三角形，故D 正确．故选：BCD ．11．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以O 为圆心的两个扇形（如图2），若∠AOB ＝150°，OA ＝2OC ＝2，点F 在AB ̂上，∠BOF ＝120°，点E 在CD ̂上，OE →=xOC →+yOD →（x ，y ∈R ），则（）A ．OE →⋅EF →的取值范围为[﹣2，1]B ．OE →⋅EF →的取值范围为[﹣3，1]C ．当OE →⊥EF →时，x +y =1+√3D ．当OE →⊥EF →时，x +y =2+√3解：对于A ，OE →⋅EF →=OE →⋅(OF →−OE →)=OE →⋅OF →−OE →2=OE →⋅OF →−1=2cos∠EOF −1，因为∠EOF ∈[0，2π3]．所以cos ∠EOF ∈[−12，1]，所以2cos ∠EOF ﹣1∈[﹣2，1]，即OE →⋅EF →∈[−2，1]，A 正确；B 错误；对于C ，如图，当OE →⊥EF →时，可判断E 为BF 中点，OF ＝2OE ＝2，则∠OFE ＝∠AOF ＝30°，OA ∥BF ，作EM ∥OB ，则四边形OBEM 为平行四边形，则OE →=OM →+OB →，OM =BE =EF =√3，所以OM →=√3OC →，OB →=2OD →，所以OE →=OM →+OB →=√3OC →+2OD →．所以x +y =2+√3，C 错误，D 正确．故选：AD ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段AC 上运动，则下列说法正确的有（） A ．B 1P ⊥BD 1B ．三棱锥C 1﹣A 1DP 的体积为定值C ．若Q 为棱BC 上一动点，则△B 1PQ 的周长的最小值为√3+1D ．过P 作平面α，使得A 1C ⊥α，则α截正方体所得的截面可以是四边形解：对于A ，在正方体中，DD 1⊥平面ABCD ，所以DD 1⊥AC ，又因为BD ⊥AC ，BD ∩DD 1＝D 且BD ⊂平面BDD 1，DD 1⊂平面 BDD 1，所以AC ⊥平面BDD 1，所以AC ⊥BD 1，同理可证AB 1⊥BD 1，又因为AC ∩AB 1＝A ，AC ⊂平面AB 1C ，AB 1⊂平面AB 1C ，所以BD 1⊥平面AB 1C ，因为B 1P ⊂平面AB 1C ，所以B 1P ⊥B 1D ，故A 正确；因为在正方体中，AA 1∥CC 1，且AA 1＝CC 1，所以ACC 1A 1是平行四边形，所以AC ∥A 1C 1，又A 1C 1⊂平面A 1DC 1，AC ⊄平面A 1DC 1，所以AC ∥平面A 1DC 1，又P ∈AC ，所以点P 到平面A 1DC 1的距离为定值，而△A 1DC 面积为定值，所以三棱锥C 1﹣A 1DF 的体积为定值，故B 正确；对C，如图，将△AB1C绕AC旋转，△BB1C绕BC旋转，使得△AB1C与和△BB1C与△ABC共面，如图点P在AC上，点Q在BC上，若△B1PQ周长最小，即B1P+PQ+QB1最小，当B1，P，Q，B1四点共线时，B1P+PQ+QB1最小，在△CB1B1中，由余弦定理得B1B12=（√2）2+（√2）2﹣2×√2×√2×cos150°＝4+2√3，所以B1B1=√3+1，故C正确；对于D，如图，在正方体中，与正方体体对角线垂直的截面只有两种图形，三角形与六边形，所以D错误．故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知事件A与B相互独立，P（A）＝0.6，P（AB）＝0.42，则P（A+B）＝0.88．解：因为事件A与B相互独立，所以P（AB）＝P（A）×P（B）＝0.6×P（B）＝0.42⇒P（B）＝0.7，所以P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.6+0.7﹣0.42＝0.88．故答案为：0.88．14．已知三条不同的直线a，b，c和两个不同的平面α，β满足以下条件：①a⊥α，b⊥β；②α∩β＝m；③c⊥a，c⊥b，c⊄α，c⊄β，则c与m的位置关系是平行．（填“相交”，“平行”或“异面”）解：由题意可知，直线a与直线b不平行，过a上一点A作与直线b′∥b，如图所示，则a 与b ′确定一个平面γ，由a ⊥α，a ⊂γ，则γ⊥α，由b ⊥β，b ′∥b ，则b ′⊥β，又b ′⊂γ，则γ⊥β，由α∩β＝m ，得m ⊥γ，由c ⊥b ，得c ⊥b ′，又c ⊥a ，a ∩b ′＝A ，a ，b ′⊂γ，所以c ⊥γ， c ⊄a ，c ⊄β，所以c ∥m ．故答案为：平行．15．已知棱长为4的正四面体A ﹣BCD 的四个顶点都在同一球面上，过棱AB 的中点M 的一个平面截此球所得截面面积为k π（k ∈N *），请写出一个符合条件的k 的值： 4或5或6 ．解：如图，棱长为4的正四面体ABCD ，置入到正方体中，此正方体棱长为2√2，四面体外接球即为此正方体外接球，球心即为正方体中心O ，半径R =12×√(2√2)2+(2√2)2+(2√2)2=√6．则过点M 的最大截面圆即为过球心时，此时截面圆半径即为球半径√6，截面面积为π×(√6)2=6π，当点M 为截面圆圆心时，此时截面圆面积最小，其中OM =√2，最小截面圆半径为r =√R 2−OM 2=√6−2=2，截面圆面积为π×22＝4π，所以过点M 的截面圆面积取值范围为[4π，6π]，所以k ∈{4，5，6}．故答案为：4或5或6．16．已知α，β为一个斜三角形的两个内角，若cosα−sinαcosα+sinα=cos2β，则tan α+tan β的最小值为 −14 ．解：cosα−sinαcosα+sinα=cos2β，等号左边弦化切，右边用二倍角公式可得，1−tanα1+tanα=cos 2β−sin 2βcos 2β+sin 2β，1−tanα1+tanα=1−tan 2β1+tan 2β，tan α＝tan ²β，∴tan α+tan β＝tan ²β+tan β＝（tan β+12）²−14≥−14，取等号条件：tan β=−12时，此时tan α=14，tan （α+β）=−29＜0，0＜α＜π2，π2＜β＜π，π2＜(α+β)＜π，0＜π−(α+β)＜π2，∴满足α、β、π﹣（α+β）为一斜三角形内角．所以tan α+tan β最小值为−14．故答案为：−14．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知i 为虚数单位，复数z 0＝3+4i ．（1）若复数z 1满足z 1z 0＝3z 1+z 0，求z 1的虚部；（2）设复数z ＝（x 2﹣4x ）+（x +2）i （x ∈R ），若复平面内表示复数z +z 0的点位于第二象限，求x 的取值范围．解：（1）设z 1＝a +bi （a ，b ∈R ），则由z 1z 0＝3z 1+z 0可得（a +bi ）（3+4i ）＝3（a +bi ）+3+4i ，整理得﹣4b ﹣3+（4a ﹣4）i ＝0，所以{4a −4=0−4b −3=0，解得a ＝1，b =−34，所以z 1的虚部为−34；（2）z +z 0=(x 2−4x)+(x +2)i +3−4i =(x 2−4x +3)+(x −2)i ，因为复平面内表示复数z +z 0的点位于第二象限，所以{x 2−4x +3＜0x −2＞0⇒⇒{1＜x ＜3x ＞2⇒⇒2＜x ＜3，即x 的取值范围为（2，3）．18．（12分）数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a 的值和第25百分位数；（2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年䯍在[25，35）和[45，55）内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在[25，35）内的概率．解：（1）（a +0.03+0.015+0.01×2）×10＝1⇒a ＝0.035，因为第一组的频率为0.01×10＝0.1，0.1＜0.25，第二组的频率为0.03×10＝0.3，0.1+0.3＞0.25，所以第25百分位数在第二组，设为x ，则0.1+x−2510×0.3=0.25⇒x =30，所以第25百分位数为30．（2）年龄在[25，35）的市民人数为200×0.3＝60，年龄在[45，55）的市民人数为200×0.15＝30，用分层随机抽样的方法抽取年龄在[25，35）的人数为6×6060+30=4人，年龄在[45，55）的人数为6×3060+30=2人，设年龄在[25，35）的4人为A ，B ，C ，D ，年龄在[45，55）的2人为E ，F ，从这6为市民中抽取两名的样本事件为{（AB ），（AC ），（AD ），（AE ），（AF ），（BC ），（BD ），（BE ），（BF ），（CD ），（CE ），（CF ），（DE ），（DF ），（EF ）}，共15种，其中2名年龄都在[25，35）内的样本事件有{（AB ），（AC ），（AD ），（BC ），（BD ），（CD ）}6种，所以两名幸运市民年龄都在[25，35）内的概率为615=25．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 是菱形，平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，AB ⊥BC ，M 和N 分别是AB 和B 1C 1的中点．（1）求证：MN ∥平面AA 1C 1C ；（2）求证：B 1C ⊥AC 1．证明：（1）取AC 中点为Q ，连接MQ ，C 1Q ，∵M ，Q 分别为AB ，AC 中点，∴MQ ∥BC ，MQ =12BC ，∵BC ∥B 1C 1，BC ＝B 1C 1，又N 为B 1C 1中点， ∴NC 1∥BC ，NC 1=12BC ， ∴MQ ∥NC 1，MQ ＝NC 1， ∴四边形MQC 1N 为平行四边形， ∴MN ∥C 1Q ，∵C 1Q ⊂平面AA 1C 1C ，MN ⊄平面AA 1C 1C ， ∴MN ∥平面AA 1C 1C ．（2）连接B 1C ，∵四边形BB 1C 1C 是菱形， ∴B 1C ⊥BC 1，∵平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，平面ABC ∩平面BB 1C 1C ＝BC ，AB ⊂平面ABC ，AB ⊥BC ， ∴AB ⊥平面BB 1C 1C ，又B 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴AB ⊥B 1C ，∵AB ∩BC 1＝B ，AB ，BC 1⊂平面ABC 1， ∴B 1C ⊥平面ABC 1， ∵AC 1⊂平面ABC 1， ∴B 1C ⊥AC 1．20．（12分）已知向量a →=(sinx ，cosx)，b →=(cosx ，√3cosx)，函数f(x)=a →⋅b →−√32．（1）若f(x02)=−13，且x 0∈(−π2，π2)，求sin x 0的值；（2）已知A （﹣3，2），B （3，10），将f （x ）的图象向左平移π12个单位长度得到函数g （x ）的图象．在g （x ）的图象上是否存在一点P ，使得AP ⊥BP ？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）f(x)=a →⋅b →−√32=sinxcosx +√3cos 2x −√32=12sin2x +√32(1+cos2x)−√32=sin(2x +π3)，f(x 02)=sin(x 0+π3)=−13，因为x 0∈(−π2，π2)，所以x 0+π3∈(−π6，5π6)，而sin(x 0+π3)=−13＜0，所以x 0+π3∈(−π6，0)，所以cos(x 0+π3)=√1−sin 2(x 0+π3)=2√23，所以sinx 0=sin[(x 0+π3)−π3]=12sin(x 0+π3)−√32cos(x 0+π3)=−1+2√66；（2）由题意得g(x)=sin(2(x +π12)+π3)=cos2x ，假设g （x ）的图象上存在点P （x 1，cos2x 1）使得AP ⊥BP ，因为AP →=(x 1+3，cos2x 1−2)，BP →=(x 1−3，cos2x 1−10)，因为AP ⊥BP ，所以AP →⋅BP →=(x 1+3)(x 1−3)+(cos2x 1−2)(cos2x 1−10)=x 12+cos 22x 1−12cos2x 1+11=0，令ℎ(x 1)=x 12+cos 22x 1−12cos2x 1+11=x 12+(cos2x 1−6)2−25，因为cos2x 1∈[﹣1，1]，所以ℎ(x 1)=x 12+(cos2x 1−6)2−25≥x 12+(1−6)2−25=x 12≥0，当且仅当{x 1=0cos2x 1=1时取等，所以h （x 1）＝0存唯一解x 1＝0，此时cos2x 1＝1，点P （0，1），综上，符合条件的点P 坐标为（0，1）．21．（12分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形ABC 中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．问题：如图2，已知△ABC 满足AC =2√2，AB ＝2，设∠BAC ＝θ（0＜θ＜π），四边形ABGF 、四边形ACED 、四边形BCQP 都是正方形．（1）当θ=π2时，求EQ的长度；（2）求AQ长度的最大值．解：（1）在△ABC中，AC=2√2，AB＝2，∠BAC=π2，则BC=2√3，cos∠ACB=23，因为∠ACB+∠ECQ＝π，所以cos∠ECQ=cos(π−∠ACB)=−cos∠ACB=√2 3，在△ECQ中，CE=AC=2√2，CQ=BC=2√3，由余弦定理EQ2=CE2+CQ2−2CE×CQ×cos∠ACB=8+12−2×2√2×2√3×√2√3)=36⇒EQ=6，所以EQ的长度为6．（2）在△ABC中，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cosθ，所以BC2=12−8√2cosθ，设∠ACB＝α，在△ACQ中，AQ2=AC2+CQ2−2AC⋅CQ⋅cos(α+π2 )，所以AQ2=8+12−8√2cosθ+4√2⋅CQ⋅sinα①，在△ABC中，由正弦定理得ABsinα=BCsinθ，所以CQ•sinα＝BC•sinα＝AB•sinθ＝2sinθ，代入①可得AQ2=20−8√2cosθ+8√2sinθ=20+16sin(θ−π4 )，因为0＜θ＜π，所以−π4＜θ−π4＜3π4，当θ−π4=π2即θ=3π4时，AQ2的最大值为20+16＝36，所以AQ长度的最大值为6．22．（12分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，DE＝3，AE＝2，BC＝CD＝1，∠BCD=∠CDE=2π3，∠AEB=π2．（1）当AB⊥BC时，求直线AB与平面BCDE所成角的大小；（2）当二面角A﹣BE﹣C为π3时，求平面ABC与平面ADE所成二面角的正弦值．解：（1）如图，延长BC ，ED 交于点F ，连接AF ．∵∠BCD =∠CDE =2π3，∴∠FCD =∠FDC =π3，故△CDF 为等边三角形， ∴CF ＝DF ＝1，∠F =π3．∵DE ＝3，BC ＝1，∴BF ＝2，EF ＝DF +DE ＝4，在△BEF 中，由余弦定理得BE 2＝BF 2+EF 2﹣2BF •EF cos ∠BFE ＝12， ∴BE =2√3，∴BF 2+BE 2＝EF 2，∴BC ⊥BE ．∵AB ⊥BC ，AB ∩BE ＝B ，∴BC ⊥平面ABE ． ∵AE ⊂平面ABE ，∴BC ⊥AE ． ∵AE ⊥BE ，BE ∩BC ＝B ， ∴AE ⊥平面BCDE ，∴∠ABE 即为直线AB 与平面BCDE 的所成角，在Rt △AEB 中，tan ∠ABE =AEBE =√33，故直线AB 与平面BCDE 所成角的大小为π6．（2）过E ，F 分别作BC ，BE 的平行线交于点G ，连接AG ，取EG 的中点H ，连接AH ．则四边形BFGE 为平行四边形，由（1）知，BF ＝2，故EG ＝2，∵BC ⊥BE ，EG ∥BC ，∴EG ⊥BE ．又∵AE ⊥BE ，∴∠AEG 为二面角A ﹣BE ﹣C 的平面角，即∠AEG =π3．在△AEG 中，∵AE ＝EG ＝2，∠AEG =π3，∴△AEG 为等边三角形， ∴AH ⊥EG ，且AH =√3，AG ＝2．由（1）知BC ⊥BE ，∴EG ⊥BE ，∵AE ⊥BE ，AE ∩EG ＝E ，∴BE ⊥平面AEG ． ∵AH ⊂平面AEG ，∴BE ⊥AH ． ∵EG ∩BE ＝E ，∴AH ⊥平面BFGE ， ∵FG ∥BE ，∴FG ⊥平面AEG ， ∵AG ⊂平面AEG ，∴FG ⊥AG ，在△AFG 中，AG ＝2，FG =2√3，∠AGF =π2，∴AF ＝4．在△AEF 中，AE ＝2，EF ＝AF ＝4，∴cos ∠EAF =AE 2+AF 2−EF 22AE⋅AF=4+16−162×2×4=14，故sin ∠EAF =√1−cos 2∠EAF =√154，∴S △AEF =12AE ⋅AFsin∠EAF =√15．易求得S △BEF =2√3．设点B 到平面AEF 和边AF 的距离分别为d 1，d 2， ∵V A ﹣BEF ＝V B ﹣AEF ，∴13S △BEF ⋅AH =13S △AEF ⋅d 1，即2√3×√3=√15×d 1，∴d 1=6√15．在△ABF 中，AB ＝AF ＝4，BF ＝2，故△ABF ≌△FEA ，故S △ABF ＝S △AEF ，∴12×4×d 2=√15，∴d 2=√152．设平面ABC 与平面ADE 所成二面角的大小为θ，则sinθ=d1d 2=6√152√15=45．。

江苏省苏州市高一数学下学期期末试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题

2015-2016学年某某省某某市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数f（x）=ln（x﹣2）的定义域为．2．利用计算机产生0～2之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣2＜0”发生的概率为．3．根据如图算法语句，当输入x=60时，输出y的值为．4．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为．5．已知||=2，•=1，，的夹角θ为60°，则||为．6．从长度为2，3，4，5的四条线段中随机地选取三条线段，则所选取的三条线段恰能构成三角形的概率是．7．设变量x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为．8．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（）的值为．9．已知等差数列{a n}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5的方差为8，则d的值为．10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=2DB，则的值为．11． =．12．已知正实数x，y满足x+2y=1，则+的最小值为．13．已知定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=x2﹣3x．则关于x的方程f（x）=x+3的解集为．14．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=，且对于任意正整数m，n都有a n+m=a n•a m．若S n＜a 对任意n∈N*恒成立，则实数a的最小值是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知集合A={x|y=}，B={x|x2﹣2x+1﹣m2≤0}．（1）若m=3，求A∩B；（2）若m＞0，A⊆B，求m的取值X围．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（1）求B；（2）若b=2，a=c，求△ABC的面积．17．已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．18．如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，已知角A为120°．现在边界AP，AQ处建围墙，PQ处围栅栏．（1）若∠APQ=15°，AP与AQ两处围墙长度和为100（+1）米，求栅栏PQ的长；（2）已知AB，AC的长度均大于200米，若水果园APQ面积为2500平方米，问AP，AQ长各为多少时，可使三角形APQ周长最小？19．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R，g（x）=x2﹣1．（1）当a=1时，解不等式f（x）≥g（x）；（2）记函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为F（a），求F（a）的表达式．20．已知数列{a n}，{b n}，S n为数列{a n}的前n项和，向量=（1，b n），=（a n﹣1，S n），∥．（1）若b n=2，求数列{a n}通项公式；（2）若b n=，a2=0．①证明：数列{a n}为等差数列；②设数列{}满足=，问是否存在正整数l，m（l＜m，且l≠2，m≠2），使得c l、c2、c m 成等比数列，若存在，求出l、m的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年某某省某某市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数f（x）=ln（x﹣2）的定义域为（2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数f（x）的解析式，真数大于0，列出不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函数f（x）=ln（x﹣2），∴x﹣2＞0；解得x＞2，∴该函数的定义域为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．2．利用计算机产生0～2之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣2＜0”发生的概率为．【考点】几何概型．【分析】求满足事件“3a﹣2＜0”发生的a的X围，利用数集的长度比求概率．【解答】解：由3a﹣2＜0得：a＜，数集（0，）的长度为，数集（0，2）的长度为2，∴事件“3a﹣2＜0”发生的概率为；故答案为：；3．根据如图算法语句，当输入x=60时，输出y的值为31 ．【考点】选择结构．【分析】由已知中的算法语句可得：程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值，将x=60代入可得答案．【解答】解：由已知中的算法语句可得：程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值∵x=60＞50∴y=25+0.6（60﹣50）=31故输出结果为31故作案为：314．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为100 ．【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图可知，算出三等品所占的比例乘以样本容量得出三等品的件数．【解答】解：根据频率分布直方图可知，三等品的数量是[（0.0125+0.025+0.0125）×5]×400=100（件）．故答案为：1005．已知||=2，•=1，，的夹角θ为60°，则||为 1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积公式列出方程解出||．【解答】解：∵=||||cos60°=1，即2×||×=1，解得||=1．故答案为：1．6．从长度为2，3，4，5的四条线段中随机地选取三条线段，则所选取的三条线段恰能构成三角形的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】从长度为2，3，4，5的四条线段中随机地选取三条线段，先求出基本事件总数，再求出所选取的三条线段恰能构成三角形包含的基本事件个数，由此能求出所选取的三条线段恰能构成三角形的概率．【解答】解：∵从长度为2，3，4，5的四条线段中随机地选取三条线段，∴基本事件总数n==4，所选取的三条线段恰能构成三角形包含的基本事件有：{2，3，4}，{2，4，5}，{3，4，5}，即m=3，∴所选取的三条线段恰能构成三角形的概率是p==．故答案为：．7．设变量x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为7 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=2x﹣y的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（3，﹣1）将C（3，﹣1）的坐标代入目标函数z=2×3﹣（﹣1）=6+1=7，即z=2x﹣y的最大值为7．故答案为：78．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（）的值为．【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的f（x）的解析式，从而求得f（）的值．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜）的部分图象，可得==+，∴ω=2，再根据图象经过点（，0），可得2sin（2•+φ）=0，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x ﹣），∴f（）=2sin（π﹣）=，故答案为：．9．已知等差数列{a n}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5的方差为8，则d的值为±2．【考点】等差数列的性质．【分析】根据等差数列{a n}的公差为d，知这组数据的平均数是a3，写出这组数据的方差，得到关于数列的公差的代数式，根据方差是8，得到关于d的方程，解方程即可．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差为d，a1，a2，a3，a4，a5的方差为8，∴这组数据的平均数是a3，∴（4d2+d2+0+d2+4d2）=2d2=8∴d2=4，∴d=±2，故答案为：±2．10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=2DB，则的值为24 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示，利用=0，再根据=•（+），运算求得结果．【解答】解：∵由题意可得=+=+=+（）=+，=0，∴=•（+）=+=0+×36=24，故答案为：24．11． = 4 ．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知可得，利用二倍角正弦公式及两角差的正弦公式化简可得结果．【解答】解：=故答案为：412．已知正实数x，y满足x+2y=1，则+的最小值为2+．【考点】基本不等式．【分析】由1=x+2y，可得+=+=2++，运用基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：由正实数x，y满足x+2y=1，则+=+=2++≥2+2=2+，当且仅当y=x=时，取得最小值2+．故答案为：2+．13．已知定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=x2﹣3x．则关于x的方程f（x）=x+3的解集为{2+，﹣1，﹣3} ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质求出当x＜0时的解析式，解方程即可．【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0，∵定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=x2﹣3x．∴当x＜0时，f（﹣x）=x2+3x=﹣f（x）．则当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x．若x≥0，由f（x）=x+3得x2﹣3x=x+3，则x2﹣4x﹣3=0，则x===2±，∵x≥0，∴x=2+，若x＜0，由f（x）=x+3得﹣x2﹣3x=x+3，则x2+4x+3=0，则x=﹣1或x=﹣3，综上方程f（x）=x+3的解集为{2+，﹣1，﹣3}；故答案为：{2+，﹣1，﹣3}14．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=，且对于任意正整数m，n都有a n+m=a n•a m．若S n＜a 对任意n∈N*恒成立，则实数a的最小值是．【考点】数列递推式．【分析】由a m+n=a m•a n，令m等于1化简后，由等比数列的定义确定此数列是等比数列，利用等比数列的前n项和的公式表示出S n，利用极限思想和条件求出满足条件a的X围，再求出a的最小值．【解答】解：由题意得，对任意正整数m，n，都有a m+n=a m•a n，令m=1，得到a n+1=a1•a n，所以=a1=，则数列{a n}是首项、公比都为的等比数列，所以S n==＜，因为S n＜a对任意n∈N*恒成立，所以a≥，则实数a的最小值是，故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知集合A={x|y=}，B={x|x2﹣2x+1﹣m2≤0}．（1）若m=3，求A∩B；（2）若m＞0，A⊆B，求m的取值X围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）化简集合A，B，即可求A∩B；（2）m＞0，B={x|x2﹣2x+1﹣m2≤0}=[1﹣m，1+m]，利用A⊆B，得出不等式组，即可求m的取值X围．【解答】解：（1）由3﹣2x﹣x2≥0，解得﹣3≤x≤1，∴集合A={x|﹣3≤x≤1}；当m=3时，x2﹣2x+1﹣m2≤0可化为x2﹣2x﹣8≤0，即（x﹣4）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤4，∴集合B={x|﹣2≤x≤4}，∴A∩B={x|﹣2≤x≤1}；（2）m＞0，B={x|x2﹣2x+1﹣m2≤0}=[1﹣m，1+m]．∵A⊆B，∴，∴m≥4．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（1）求B；（2）若b=2，a=c，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理及三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinCsinB=cosBsinC，结合sinC≠0，可得sinB=cosB，又B∈（0，π），即可得解B 的值．（2）由余弦定理及已知可求a，c的值，利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本题满分为14分）解：（1）由a=bcosC+csinB及正弦定理，可得：sinA=sinBcosC+sinCsinB，①又sinA=sin（π﹣B﹣C）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，由①②得sinCsinB=cosBsinC，又三角形中，sinC≠0，…所以sinB=cosB，…又B∈（0，π），所以B=．…（2）△ABC的面积为S==．…由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB，得4=a2+c2﹣，得c2=4⇒c=2，，…所以△ABC的面积为．…17．已知{a n}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{b n}满足b1=4，b4=20，且{b n﹣a n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；（2）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由题意得d===3．∴a n=a1+（n﹣1）d=3n（n=1，2，…）．∴数列{a n}的通项公式为：a n=3n；设等比数列{b n﹣a n}的公比为q，由题意得：q3===8，解得q=2．∴b n﹣a n=（b1﹣a1）q n﹣1=2n﹣1．从而b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．∴数列{b n}的通项公式为：b n=3n+2n﹣1；（2）由（1）知b n=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．数列{3n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为=2n﹣1．∴数列{b n}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．18．如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，已知角A 为120°．现在边界AP，AQ处建围墙，PQ处围栅栏．（1）若∠APQ=15°，AP与AQ两处围墙长度和为100（+1）米，求栅栏PQ的长；（2）已知AB，AC的长度均大于200米，若水果园APQ面积为2500平方米，问AP，AQ 长各为多少时，可使三角形APQ周长最小？【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）依题意，∠AQP=45°，由正弦定理：，可得利用特殊角的三角函数值即可计算得解PQ的值．（2）设AP=x米，AQ=y米，利用三角形面积公式可求xy=10000，进而可求，设△ABC的周长为L，则L==，令x+y=t，L=在定义域上单调增，利用二次函数的图象和性质即可得解．【解答】（本题满分为16分）解：（1）∵依题意，∠AQP=45°，由正弦定理：，…∴得，…∵，…∴…（2）设AP=x米，AQ=y米．则⇒xy=10000，…，…设△ABC的周长为L，则L==，…令x+y=t，L=在定义域上单调增，所以，当x=y=100取等号；…答：（1）米；（2）当AP=AQ=100米时，三角形地块APQ的周长最小．…19．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R，g（x）=x2﹣1．（1）当a=1时，解不等式f（x）≥g（x）；（2）记函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为F（a），求F（a）的表达式．【考点】分段函数的应用．【分析】（1）当a=1时，即解不等式x|x﹣1|≥x2﹣1|，分类讨论，分别解关于x的不等式，最后取两部分的并集即可得到原不等式的解集；（2）由题意，分类讨论，确定函数的单调性，可得F（a）的表达式．【解答】解：f（x）≥g（x），a=1时，即解不等式x|x﹣1|≥x2﹣1，…当x≥1时，不等式为x2﹣x≥x2﹣1，解得x≤1，所以x=1；…当x＜1时，不等式为x﹣x2≥x2﹣1，解得，所以；…综上，x∈．…（2）因为x∈[0，2]，当a≤0时，f（x）=x2﹣ax，则f（x）在区间[0，2]上是增函数，所以F（a）=f（2）=4﹣2a；…当0＜a＜2时，，则f（x）在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间[a，2]上是增函数，所以F（a）=max{f（），f（2）}，…而，f（2）=4﹣2a，令即，解得，所以当时，F（a）=4﹣2a；…令即，解得或，所以当时，；…当a≥2时，f（x）=﹣x2+ax，当即2≤a＜4时，f（x）在间上是增函数，在上是减函数，则；…当，即a≥4时，f（x）在间[0，2]上是增函数，则F（a）=f（2）=2a﹣4；…所以，，…20．已知数列{a n}，{b n}，S n为数列{a n}的前n项和，向量=（1，b n），=（a n﹣1，S n），∥．（1）若b n=2，求数列{a n}通项公式；（2）若b n=，a2=0．①证明：数列{a n}为等差数列；②设数列{}满足=，问是否存在正整数l，m（l＜m，且l≠2，m≠2），使得c l、c2、c m 成等比数列，若存在，求出l、m的值；若不存在，请说明理由．【考点】等差关系的确定；数列递推式．【分析】（1）利用两个向量平行的坐标关系得到S n=（a n﹣1）b n，进一步对n取值，得到数列{a n}是等差数列；（2）①由，则2S n=na n﹣n③，又2S n+1=（ n+1）a n+1﹣（n+1）④，两式相减即可得到数列{a n}的递推公式，进一步对n 取值，得到数列{a n}是首项为﹣1，公差为1的等差数列．②由①得到数列{}通项公式，根据m，l的X围讨论可能的取值．【解答】解：（1）因为=（1，b n），=（a n﹣1，S n），∥．得S n=（a n﹣1）b n，当b n=2，则S n=2a n﹣2 ①，当n=1时，S1=2a1﹣2，即a1=2，…又S n+1=2a n+1﹣2 ②，②﹣①得S n+1﹣S n=2a n+1﹣2a n，即a n+1=2a n，又a1=2，所以{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，…所以a n=2n．…（2）①证明：因为，则2S n=na n﹣n③，当n=1时，2S1=a1﹣1，即a1=﹣1，又2S n+1=（ n+1）a n+1﹣（n+1）④，④﹣③得2S n+1﹣2S n=（n+1）a n+1﹣na n﹣1，…即（n﹣1）a n+1﹣na n﹣1=0 ⑤，又na n+2﹣（n+1）a n+1﹣1=0⑥⑥﹣⑤得，na n+2﹣2na n+1+na n=0，即a n+2+a n=2a n+1，所以数列{a n}是等差数列．…②又a1=﹣1，a2=0，所以数列{a n}是首项为﹣1，公差为1的等差数列．a n=﹣1+（n﹣1）×1=n﹣2，所以，…假设存在l＜m（l≠2，m≠2），使得c l、c2、c m成等比数列，即，可得，…整理得5lm﹣4l=4m+4即，由，得1≤m≤8，…一一代入检验或或或或或或或由l＜m，所以存在l=1，m=8符合条件．…。

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