江苏省苏州市高一下学期数学期末试卷含答案

学年第二学期苏州市高一期末调研测试

数 学

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15

题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签

字笔填写在答题卡的指定位置．

3．答题时，必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答

一律无效．

4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．

5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆

珠笔．

6．样本数据12,,,n x x x L 的方差2

2

11()n i i s x x n ==-∑，其中1

1n i i x x n ==∑．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．

． 1． 已知全集{0}U x x =>，{3}A x x =≥，则U A =e ．

2． 若数据128,,,x x x ???的方差为3，则数据1282,2,,2x x x ???的方差为 ．

3．某高级中学共有1200名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为60的样本，其中高一年级抽30人，高三年级抽15人. 则该校高二年级学生人数为 ． 4．集合{1,2,3,4}A =，{1,2,3}B =，点P 的坐标为(),m n ，m A ∈，n B ∈，则点P 在直线

5x y +=上的概率为 ．

5． 已知3cos 5θ=-，,2θ??∈ ???ππ，则cos 3θ??

-= ???

π ．

6． 算法流程图如右图所示，则输出的结果是 ． 7． 已知{}n a 为等差数列，1233a a a ++=-，4566a a a ++=，

则8S = ．

8． 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()f x x x =-，则不等式()f x x >的解

(第6题图)

(第9题图)

集用区间表示为 ．

9．如图，为了探求曲线2y x =，2x =与x 轴围成的曲边三角形OAP 的面积，用随机模拟的方法向矩形OAPB 内随机投点1080次，现统计落在曲边三角形OAP 的次数360次，则可估算曲边三角形OAP 面积为 ．

10．ABC ?中，3,4AB AC ==,若ABC ?

的面积为BC 的长是 ．

11．若点(),x y 位于曲线y x =与1y =所围成的封闭区域内（含边界），则2x y -的最小值为 ．

12．已知,x y 是正实数，则

223y x x y

x y

--+的最小值为 ． 13. 如图，等腰梯形AMNB 内接于半圆O ，直径4AB =， 2MN =，MN 的中点为C ，则AM BC ?uuu r uu u r

的值为 ．

14．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足117a b +=， 224a b +=，335a b +=，

442a b +=，则n n a b += ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

已知函数2x y =(03x <<)的值域为A ，函数[]lg ()(2)y x a x a =-+-- (其中0a >)的定义域为B ．

（1）当4a =时，求A B I ；

（2）若A B ?，求正实数a 的取值范围．

16．（本小题满分14分）

已知向量

a ()

2cos x x =，b ()3cos ,2cos x x =-，设函数()f x =a ?b ． （1）求()f x 的最小正周期；

(第13题图)

（2）若0,2x ??

∈????

π，求()f x 的值域．

17．（本小题满分14分）

平面直角坐标系xOy 中，()2,4A ，()1,2B -，,C D 为动点． （1）若()3,1C ，求平行四边形ABCD 的两条对角线的长度；

（2）若(,)C a b ，且()3,1CD =u u u r

，求AC BD ?uuu r uu u r 取得最小值时,a b 的值．

18．（本小题满分16分）

某生态公园的平面图呈长方形(如图)，已知生态公园的长AB =8(km)，宽AD =4(km)，M ，N 分别为长方形ABCD 边AD ，DC 的中点，P ，Q 为长方形ABCD 边AB ，BC (不含端点)上的一点．现公园管理处拟修建观光车道P -Q -N -M -P ，要求观光车道围成四边形(如图阴影部分)的面积为15(km 2)，设BP =x (km)，BQ =y (km)，

（1）试写出y 关于x 的函数关系式，并求出x 的取值范围；

（2）若B 为公园入口，P ，Q 为观光车站，观光车站P 位于线段AB 靠近入口B 的一侧．经测算，每天由B 入口至观光车站P ，Q 乘坐观光车的游客数量相等，均为1万人，问如何确定观光车站P ，Q 的位置，使所有游客步行距离之和最大，并求出最大值．

19．（本小题满分16分）

已知正项数列{}n a 满足11a =，()221110n n n n n a a a na ++++-=，

数列{}n b 的前n 项和为n S 且1n n S b =-.

P

Q

C

N

M

B

D A

(第18题图)

（1）求{}n a 和{}n b 的通项； （2）令n

n n

b c a =

， ①求{}n c 的前n 项和n T ；

②是否存在正整数m 满足3m >，23,,m c c c 成等差数列？若存在，请求出m ；若不存在，请说明理由.

20．（本小题满分16分）

已知函数()()2f x x x a x a =-+∈R （1）当4a =时，解不等式()8f x ≥；

（2）当[]0,4a ∈时，求()f x 在区间[]3,4上的最小值；

（3）若存在[]0,4a ∈，使得关于x 的方程()()f x tf a =有3个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．

学年苏州市高一期末调研测试

数学参考答案

一、填空题：

1．()0,3 2．12 3．300 4．14 5．

3

10

6．5 7．12 8．()2,0(2,)-+∞U

9．8

3

10 11 3- 12．43

13．1 14．()1

71n n --+- 二、解答题： 15．（本小题满分14分）

解：（1）{}|18A x x =<<， ……3分 当4a =时，{}{}

2|224046B x x x x x =--<=-<<， ……5分

{}|16A B x x ∴=<

（2）0a >Q ,{}{}

()(2)02B x x a x a x a x a ∴=+--<=-<<+， ……10分

1

,28a A B a -??∴?

+?

Q ≥…，解得6;a ≥ ……13分 当A B ?，实数a 的取值范围是[6,)+∞． ……14分

16．（本小题满分14分）

（1）2()6cos cos f x x b x a x ?==-Q ……2分

1+cos2

622

x

x =?

……4分

=3cos223x x +=)36

p

+． ……6分

∴()f x 的最小正周期为22

T =

=π

π， ……8分 （2）0,2x ??

∈????

Q π，∴72666

x +

πππ

剟， ……10分

∴1-…cos(2)6x +π-?

……12分

∴()f x 值域为[3- ……14分

17．（本小题满分14分）

（1）Q ()2,4A ，()3,1C ，∴()1,3AC =-u u u r

，AC =u u u r ……2分 又Q ABCD 是平行四边形∴AB CD =u u u r u u u r ，()3,2AB =--u u u r

，

设(),D x y ，又()3,1DC x y =--u u u r ，所以6

3x y =??=?

即()6,3D =， ……5分

()

7,1BD =u u u r

，故BD =u u u r ． ……7分 （2）Q (),C a b ，则()3,1D a b ++，∴()2,4AC a b =--u u u r ，()4,1BD a b =+-u u u r

，

……9分

()2

222545452541244AC BD a a b b a b ??

?=++--=++--≥- ??

?u u u r u u u r ， ……12分

当且仅当51,2a b =-=时AC BD ?u u u r u u u r 的最小值为45

4

-． ……14分

18．（本小题满分16分） 解：（1）长方形ABCD 中，Q AB =8，AD =4，M 、N 分别为AD 、DC 的中点，

且BP =x ，BQ =y ．∴AP =8-x ，CQ =4-y ． ……1分 则4CMN S ?= ，2(4)CNQ S y ?=- ，8AMP S x ?=- ，1

2

BPQ S xy ?=

． ∴PQMN ABCD =()CMN CNQ AMP BPQ S S S S S S ????-+++四边形长方形． =1

122152

x y xy ++-

=． ……4分 ∴2(3)

4

x y x -=

-． ……5分

又Q 08

04

x y <

<

（2）设游客步行距离之和为l （万千米）． 则l x y =+=2(3)4x x x -+

-=2

6[(4)]4x x

--+

-． ……11分 Q 观光车站P 位于线段AB 靠近入口B 的一侧，∴03x <<，即144x <-<．

由基本不等式：2

(4)4x x

-+

-≥

4x =． ……13分 ∴

当4x =-

2y =

max 6l =- ……15分 答：应选定P 离入口B

为4km )处，选定Q 离入口B

为2(km )处可使游客步

行距离之和最大，最大值为6- ……16分 19．（本小题满分16分）

解析：（1）由()221110n n n n n a a a na ++++-=可以得到()()1110n n n n n a na a a +++-+=????，

Q 10n n a a ++>，∴()110n n n a na ++-=，∴()11n n n a na ++=， ……2分

即()1111n n n a na a ++====L ，∴{}n a 的通项为1

n a n

=

. ……4分 由1n n S a =-可以得到111b b =-也就是11

2

b =

且111n n S b ++=-，因此11n n n b b b ++=-，即为112n n b b +=，{}n b 为等比数列，12n

n b ??

= ???. ……6分

（2）①12n n n n b c n a ??== ???，211112222n

n T n ????

=?+?++ ? ?????

L ……8分

()2

1

1111112222n

n n T n n +??????

=?++-+ ? ? ???????L

2

1

1111122222n

n n T n +??????=+++- ? ? ???????

L

所以1

11222n n

n T n -??

??

=-- ?

???

??

. ……11分

②由题设有313322284m c c =

+=?=， 所以1

4

m c =， ……12分 当3k ≥时，()1

111122k

k k k c c k k --????

-=-- ? ?

????()1

11122k k k k -????

=-- ? ?????

()122k

k ??

=- ???

，10k k c c --<，所以当3k ≥时，{}k c 为减数列， ……15分

又41

4

c =

，所以4m =． 所以存在正整数4m =此时234,,c c c 成等差数列 ……16分

20．（本小题满分16分）

（1）当4a =时，不等式可化为428x x x -+≥．

若4x ≥，则2280x x --≥，∴4x ≥； ……2分 若4x <，则2680x x -+…，∴24x <…． ……4分 综上，不等式解集为[)2,+∞． ……5分

（2）22

22

22

2222(2)()(2)2222a a x x a

x a x

x a f x x a x

x a a a x x a

?--????--? ? ??--?????==??-++<++?????

?--+< ? ?

??

????≥≥ ……7分

下面比较

22

,,22

a a a -+的大小： ∵[]0,4a ∈， ∴当[]0,2a ∈时，

22022a a a ----=<，22022

a a

a +--=≥

∴()f x 在

∴()f x ……9分

当(2,4a ∈=∴f 若34a <…，则()f x 在区间[]3,4上的最小值为()2f a a =． ……12分

（3）由（2）知当[]0,2a ∈时，如图1，关于x 的方程()()f x tf a =不可能有3个不相等的实数根． ……13分

当(]2,4a ∈时，要存在a ，使得关于x 的方程()()f x tf a =有3个不相等的实数根，

则2()()2a f a tf a f +??

<< ???有解，∴()max

2()2124()a f t a f a +??

?<<< ? ?

??… ……14分

x

2

(

)

142(4)()8a f a f a a

+=++，且函数4y a a =+在区间(]2,4上为增函数（不证明单调性

扣1分）

∴max

2()92()8a f f a +??

?= ? ?

??，∴918t <<． ……16分