有限元与有限差分法基本

x
0
0
y
0 z
0
y
r
10 r 0x
z z0
0
00
u
00rzxyzwuwv
Lu
Lu
21/162
线弹性问题几何方程—一维问题
一
维 问 题
ε
ε xyxyxx
xy
u
uxvxyuxvy0xyx
0
uy uvLu
x
Lu
2020/8/8
22/162
u(x)
x2
l
x
u1
x
l
x1
u2
2020/8/8
x2
l
x
x
l
x1
uu12
N1
N2 48uu/11262
单元模型构造方法
关键
如何构造插值多项式 u ?
二维问题三维问题，如何构造插值多项式?
2020/8/8
49/162
插值多项式收敛性条件
收敛收性敛条：件当单元逐渐缩小时，如果插值多项 ① 在式单满元足内收，敛场性函条数件必，须则是数连值续解的将；收敛于精
2020/8/8
u
ε Lu ε
xx yy zz xy yz zx
x v
y w
z u v y x vw z y wu x z
x
0
0
y
0
z
0
y
0
x z
0
0
0
u
z
0
wv
Lu
y
x
19/162
线弹性问题几何方程—二维问题
0
zr
rr
zz
zr
rr
rzz
z
zr
rr
zz
zr
29/162
线弹性问题本构方程—轴对称
轴对称状态
xrrx
xrrx
rr zz zr
D
e (1 (1
)E(1)E(2100rxyyz)zzyyz21)01D0e1000rxyyz1zzyy
1 1 0 0
2020/8/8 45/162
单元模型构造方法
整体坐标系法 局部坐标系法
Lagrange插值方法 Hermite插值方法
2020/8/8
46/162
单元模型构造方法
2节点线单元
1. 假设插值多项式
u(x) a0 a1x
u1 u
u2
1
2
x1 x
x2
ox
2. 利用节点值求 a0 和 a1
部随体坐标系。适合于薄壳单元和中厚壳单
202元0/8/8
42/162
常用单元模型
准三维空间单元
② 壳理论单元 由空间壳理论严格构造的壳单元。适合 于薄壳单元和中厚壳单元
③ 退化单元
由三维实体单元退化成的壳单元。只适
合于中厚壳单元
2020/8/8
43/162
单元模型构造
有限元法的基本思想
通过单元分片近似，在每个单元内假设 近似函数来分片表示系统的场函数
zz 0 xz 0 yz 0
xz 0
xx
yy
zz xy
yz
2020zx/8/8
xx
y
y
0
xy
0 0
xx yy
x
y
xx
yy
zz xy
y
z
zx
yz 0
xx
yy
zz
xy
24/162
线弹性问题本构方程—平面应力
平面应力状态
确解 ② 完备性：插值多项式的阶次必须由低到高
依次增加，不能出现跳跃现象；
③ 协调性：各单元边界必须连续，单元边界 不能出现开裂现象。
2020/8/8
50/162
插值多项式收敛性条件
协调单元 满足插值多项式收敛性条件①和③的单元
完备单元 满足插值多项式收敛性条件②的单元
cr 阶连续性
插值多项式的第r阶导数是连续的
离散化过程
P
εTσdv
v
uT Pda
a
uTGdv 0
v
(ue )T BT De Buedv (ue )T N T Pda (ue )T N TGdv 0
v
a
v
BT De Buedv N T Pda N TGdv 0
v
a
v
kue f 单元平衡方程或单元刚度方程
板料无论产生多大的塑性变形，单元与单 元之间依然不会产生裂缝、交叉和重叠， 关联单元的节点也不能脱开
2020/8/8
8/162
有限元法的基本思想
不合格单元
2020/8/8 单元裂缝
单元重叠
9/162
有限元法的基本思想
变形前后单元之间都是连续的
变形前的网格
2020/8/8
变形后的网格
10/162
4
4节点四边形
双线性单元
2020/8/8
1
3 2 35/162
常用单元模型
二维单元 8节点四边 形二次单元
12节点四边 形三次单元
2020/8/8
4 73
8
6
1
2
5
4 10 9 3
11
8
12
7
1
2
56
36/162
常用单元模型
三维单元 4节点四面体 线性单元
4
1
3
2020/8/8
2
10节点四面 体二次单元
2020/8/8
40/162
常用单元模型
准三维空间单元 板单元
中厚板单元 弯曲和横向剪切2种变形模式抵抗板的变形
薄板单元
如果板很薄，忽略横向剪切抗力，认为抵抗
2020载/8/8荷的主要因素是弯矩
41/162
常用单元模型
准三维空间单元 壳单元 从几何上分为薄壳单元和中厚壳单元
① 组合单元
抵抗拉压变形的二维单元+板单元+单元局
单元几何关系 ε Lu
L为单元几何微分算子
单元本构关系 σ De ε
D e为单元弹性矩阵
v
(2u02e0)/T8P/8BvBT TDDveBeεBuTeudσvedv
a
(uNe )uTTPTNdPTadPadaN TG(uudTev)GTNd0vTGd0v
aa
v vv
0
16/162
B 称为应变矩阵 B LN
k 称为单元刚度矩阵 k BT De Bdv v
2020f/8/称8 为单元载荷向量
f
N T Pda
a
N
v
TG1d7/v162
离散化过程
单元刚度矩阵的特性
对称性 奇异性 主元恒正且对角占优
2020/8/8
18/162
线弹性问题几何方程—三维问题
三 维 问 题
xx
y
y
zz xy
0 0
xx
y
y
zz
xy
xx
yy
zz xy
Hale Waihona Puke Baidu
y
z
zx
xx
y
y
zz
xy
28/162
线弹性问题本构方程—轴对称
二维问题
轴对称状态
r 0 z 0
r 0 z 0
rr
zz r
z
2020zr/8/8
rr
0zz
20W20e/8为/8 A弹u性T P体dA所受Vu的TG外dV力功
14/162
离散化过程
为弹性体的应变 为弹性体的应力
u为弹性体的可容位移
弹性体处于平衡状态时，其势能应为最小
P
0 V
ε T σ dV
uT PdA
A
uTGdV 0
V
2020/8/8
15/162
离散化过程
单元插值关系 u Nue N为单元形函数矩阵 ue 单元节点自由度向量
2020/8/8
uu21
a0 a0
a1x1 a1x2
2020/8/8
a0
u1x2 x2
u2 x1 x1
a1
u2 x2
u1 x1
47/162
单元模型构造方法
3. 代入a0 和 a1，得插值多项式 u(x)
u(x) u1x2 u2 x1 u2 u1 x x2 x1 x2 x1
4. 按u1 和 u2合并同类项，设 l = x2- x1
2020/8/8
12/162
有限元法的基本思想
位移法基本过程
1）离散化过程
2）单元平衡方程组装过程 3）约束处理过程
4）方程组求解过程
5）应变、应力回代过程
2020/8/8
13/162
离散化过程
P
最小势能原理
弹性体的势能 p
A V
G
p Wi We
弹性体
W
i
为1弹性εT体σ d变V形后所具有的内能 2V
0
0
0
1
0
21
2
00022rzzrrz
2020/8/8
zxr
zxr
30/162
线弹性问题本构方程—一维问题
一维问题
xx E xx
De E
2020/8/8
31/162
常用单元模型
单元模型
一一对应
插值关系
单元类型
一维单元、二维单元、三维单元 等参单元、超参单元、次参单元
2020/8/8
为什么要建立单元局部随体坐标系 ？
1. 简化分析问题的复杂程度。
2. 在局部坐标系中，空间桁架的每根杆每变
成了一维2节点线单元
2020/8/8
39/162
常用单元模型
准三维空间单元
框架单元
三维梁单元+一维2节点线单元+单元局部随体坐标系
框架单元的特点 两端都是刚性联结 可以要承受拉压、弯曲、扭转3种变形模式
线弹性问题本构方程—三维问题
三维问题
1
0
1
0
σ D ε
De
E
0
(1 )(1 2 )
0
1e
0
0
1 2
2
0 0 0
0
0
0
0
0
E20为20/8弹/8 性模量；为泊松比
0 0 0 0
1 2
2 0
0
0
0
0
0
1 2
2
23/162
线弹性问题本构方程—平面应力
二维问题
平面应力状态
有限元法的基本思想
基本思想
通过在单元内假设不同的插值函数，建立不同 的单元模型，适应各种各样的变形模式和受力 模式
F
F
2020/8/8
X
X
11/162
有限元法的基本思想
有限元法分类
1）位移法：基于最小势能原理或虚功原理 2）力法： 基于最小余能原理 3）杂交法：基于修正余能原理 4）混合法：基于Reissner变分原理
32/162
常用单元模型
一维单元
2节点线单元
1
3节点线单元
1
梁单元
1
2020/8/8
2
3 2
2
33/162
常用单元模型
二维单元
3节点三角形
线性单元
1
3 2
6节点三角形 二次单元
2020/8/8
3
6
5
1
2
4
34/162
常用单元模型
二维单元
10节点三角 形三次单元
8 9
1 4
3
7 10 6
2 5
(1
yy
)E(1 xzzy2)
0y
z
D1e000xyyzzyyz10
2020/8/8
0zx
0zx
0 0
xx yy
1
2
2
x
y
27/162
线弹性问题本构方程—轴对称
二维问题
轴对称状态
xz 0 yz 0
xz 0 yz 0
xx
yy
zz xy
yz
2020zx/8/8
有限元法基础及有限差分法基础
有限元法 有限差分法
2020/8/8 1/23
有限元法基础
有限元发展过程
有限元应用
有限元发展方向
2020/8/8
2/162
有限元法的基本思想
基本思想
1）将连续的求解系统离散为一组由 节点相互联在一起的单元组合体
2）在每个单元内假设近似函数来分 片表示系统的求解场函数
4
8
10
1 79 3
5
6
2
37/162
常用单元模型
三维单元
8节点六面 体线性单元
8
5 6
7
1
4
2020/8/8
3
2
20节点六面 体二次单元
5 17
1
16 8 13 20
15
12
6 14 18 4 11
7 19
9 2 10 338/162
常用单元模型
准三维空间单元
桁架单元 一维2节点线单元+单元局部随体坐标系
选择近似函数
简单、实用的原则
在有限元法中，近似函数称为插值函数
2020/8/8
44/162
单元模型构造
插值函数
一般都采用多项式函数，主要原因是:
采用多项式插值函数比较容易推导单元平衡 方程，特别是易于进行微分和积分运算。
随着多项式函数阶次的增加，可以提高有限 元法的计算精度。从理论上说，无限提高多 项式的阶数，可以求得系统的精确解。
二 维 问 题
2020/8/8
ε
ε
平 面xxyzyzxzyxyzxxy应yxy力和wvuzxyux平wuvxzyuvxy面wuyvxzvy应变000xzy状0xy态000xzy
0
0
0y0zuvwuv
Lu
Lu
xy
x
20/162
线弹性问题几何方程—二维问题
二
维
问
ε
ε
题
2020/8/8
轴 对xxyzyzrrxzzyxyzzrz称状态wvuzxyuzwuvxzyurwuwrzuyvxzwr
xx
yy
zz xy
yz
2020zx/8/8
xx
y
y
zz xy
0 0
xx
y
y
zz
xy
xx
yy
zz xy
y
z
zx
yz 0
xx yy
xy
26/162
线弹性问题本构方程—平面应变
平面应变状态
xx
xx
xyDxy e
xy
2020/8/8
3/162
有限元法的基本思想
2020/8/8
4/162
有限元法的基本思想
2020/8/8
5/162
有限元法的基本思想
2020/8/8
6/162
有限元法的基本思想
2020/8/8
7/162
有限元法的基本思想
离散为单元网格的冲压件仍然要保证是一 个连续体，单元与单元之间没有裂缝、不 能重叠，所有单元通过单元节点相互关联 着
xx
xx
Dxyexy xy
yy
11E0Exz2zy
0yz
21010D10e100x1yyzzyyz1002002
xx yy xy
2020/8/8
0zx
0zx
25/162
线弹性问题本构方程—平面应变
二维问题
平面应变状态
zz 0 xz 0 yz 0 xz 0