有限差分法的基本知识(1)
有限差分法
有限差分法finite difference method用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。
是一种微分方程和积分微分方程数值解的方法。
把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。
此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。
对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。
另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。
此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。
因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。
前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。
只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。
最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。
另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。
此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。
龙格库塔龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。
有限差分法
班级：通信13-4 姓名：学号：指导教师：**成绩：电子与信息工程学院信息与通信工程系求解金属槽的电位分布1.实验原理利用有限差分法和matlab软件解决电位在金属槽中的分布。
有限差分法基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替,这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似,积分用积分和来近似,于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组,即有限差分方程组,解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解.然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解.在采用数值计算方法求解偏微分方程时,若将每一处导数由有限差分近似公式替代,从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题。
2.有限差分法方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。
在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。
如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。
不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。
与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。
同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。
定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。
所以要采用可行的数值解法。
有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。
此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解（即收敛性），等等。
有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。
2.1有限差分法原理图1-1 有限差分法的网格划分导体槽中静电场的边值问题的拉普拉斯方程为：22220x y ϕϕ∂∂+=∂∂ (1-1) 为简单起见，将场域分成足够小的正方形网格，网格线之间的距离为h ，0h →。
第五章 有限差分法 知识讲解课件
的 m=4，即此表对应差商的精度是四阶的。从这些表可以看出，一般地说，随着
差分阶数的增大和对应差商精度的提高，差分表达式所包含的项数将增多。
表 5-1
j
n0 1 2 34
1 -1
aj 1
2 1 -2 1
3 -1 3 -3 1
4 1 -4 6 -4 1
表 5-3 j
n0 1 2345 aj
1 -3 4 -1 2 2 -5 4 -1 3 -5 18 -24 14 -3 4 3 -14 26 -24 11 -2
依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。例如 n 阶前差
分为
∆n y = ∆(∆n−1 y) = ∆[∆(∆n−2 y)]
⋯⋯ = ∆{∆⋯[∆(∆y)]} = ∆{∆⋯[∆( f (x + ∆x) − f (x)]}
n 阶的向后差分、中心差分的型式类似。
（5-6）
函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。如一阶向前差
二阶差商多取中心式，即
∆2 y ∆x 2
=
f (x + ∆x) − 2 f (x) + (∆x) 2
f (x − ∆x) 。
（5-9） （5-10） （后的二阶差商。 以上是一元函数的差分与差商。多元函数 f(x,y,…)的差分与差商也可以类推。
如一阶向前差商为
应地，上式中的 ∆y 、 ∆x 分别称为函数及自变量的差分， dy //#######为函数对 dx
自变量的差商。 在导数的定义中 ∆x 是以任意方式趋近于零的，因而 ∆x 是可正可负的。在差
分方法中， ∆x 总是取某一小的正数。这样一来，与微分对应的差分可以有 3 种
形式： 向前差分 向后差分 中心差分
偏微分方程数值解 有限差分法的基本知识2
u( x j
,
tn
)
o(
),(向前差商）(1.2)
u( x j1 ,
tn) h
u( x j
,
tn )
x
u( x j
,
tn
)
o(h),(向前差商）(1.3)
u( x j
,
tn
)
u(xj1, h
tn
)
x
u(
xj
,
tn
)
o(h),(向后差商）(1.4)
u( x j1 ,
tn) u(xj1, 2h
(1.1)在D上积分，得 D（ 到 ut cux）dxdt 0
t
H
L3
G
L4
L2
E
L1
F
o
x
利用 Gree公 n 式，得
（ucu）dxdt
D t x
（ L unt cunx)ds0
(1.14)
其中 nx与nt分别L是 的外法向单位 n沿向 x方量 向
与沿 t方向的两个分量。
把(1.14)左端分成在L1，L2，L3，L4，上的四个积分，
得近似方程
~ u1h
cu2~
~ u3h
cu4~
0
既
u3
u1
c~
h~
(u2
u4 )
(1.15)
这里h~是L1与L3的长度，~是L2与L4的长度，
ui是可按不同方式确定u的在Li上的近似函数值。
在 网 格E中 ,F,G， ,H依 点次 (n为 1,j1), 22
(n1,j1)(,n1,j1)(,n1,j1), 22 22 22
写作风格过于简洁导致许多工作未获更高声誉。
有限差分法的基本知识
S n
T(x,y,z,t1) T(x,y,z,t2) 温度发生变化需要的热量为：
Q 2 cT ( x ,y ,z ,t2 ) T ( x ,y ,z ,t1 ) d V
M V
S
热场
V
c
t2 TdtdV
t2
cTdVdt
V
t1 t
t1 V
在 dt 时段内通过微元的两端流入的热量
d Q 1 ( Q x 1 Q x 2 ) d t k ( T ( x x 2 , t ) T ( x x 1 , t ) ) d t
x2 2T(x,t)
k
dxdt
x1 x2
在任意时段 [t1, t2 ] 内，流入微元的热量
x x
t u x， u t 1 p x
p 1p
t
pt
a2
t
代入 u 得
t
x
u
x
a12
p t
对t求导，得
2u 1 2p
xt a2 t2
利用
u 1 p
t x
根据Newton第二定律，就得到：
P (x d x,t) P (x,t)SS d x 2 tu 2
根据胡克定律 P E u
x
2u E 2u 0
t2 x2
2tu2 a2
2u x2
0
令：a
E
2u t 2
P x
☆ 静止空气中一维微小压力波的传播
得
2 p t2
a2
2 p x2
一维声波方程。
☆ 静止空气中三维声波方程
双曲型 2 t2 pa2 2 xp 2 2 yp 2 2 zp 2
有限差分公式
有限差分公式
有限差分是微分方程解的近似值的一种表示方法，通常用数学表达式
f(x+b)-f(x+a)来表示。
如果将有限差分除以b-a，则可以得到差商。
在微分方程数值解的有限差分方法中，特别是处理边界值问题时，有限差分导数的逼近起着关键的作用。
有限差分通常考虑三种形式：正向差分、反向差分和中心差分。
正向差分是f(x+h)-f(x)，反向差分是f(x)-f(x-h)，中心差分是f(x+h)-f(x-h)。
当h取为1时，正向差分除以h近似于导数。
在数值方法中，有限差分法是一种常用的数值解法，它用差商代替微分方程中的偏导数，从而得到相应的差分方程。
通过解这个差分方程，可以得到微分方程解的近似值。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅数学类书籍或咨询数学专业人士。
有限差分法
u xxx
xr
+
（1.5a） （1.5b）
进而，在点 xr 处的一阶导数的两个近似公式可由（1.5）给出
ux
xr
= (ux )r
≈
u ( xr
+ h) − u(xr ) h
=
ur+1 − ur h
ux
xr
= (ux )r
≈
u(xr ) − u(xr h
− h)
=
ur
− ur−1 h
（1.6a） （1.6b）
有限差分法的基本思想是用离散的、只含有限个未知数的差分方程去代替连续变量的微 分方程和定解条件。对于求解的偏微分方程定解问题，有限差分方法的主要步骤如下：利用 网格线将定解区域化为离散点集；在此基础上，通过适当的途径将微分方程离散化为差分方 程，并将定解条件离散化，这一过程叫做构造差分格式，不同的离散化途径一般会得到不同 的差分格式；建立差分格式后，就把原来的偏微分方程定解问题化为代数方程组，通过解代 数方程组，得到出定解问题的解在离散点上的近似值组成的离散解，应用插值方法可从离散 解得到定解问题在整个定解区域上的近似解。由此可见，有限差分方法有大体固定的模式， 它有较强的通用性。但是，不能误认为不去了解这种逼近方法的基本知识，只是单纯模仿， 便能轻易获得满意的结果。因为在应用这种逼近方法时会发生许多重要的但有时还是相当困 难的数学问题，包括精度、稳定性与收敛性等。
− hD exp( 2 )ur
由（*1）式与（*2）相减得到
ur+1/ 2
− ur−1/ 2
=
exp(
hD 2
)ur
−
exp(
−
hD 2
)ur
= δur
有限差分法、变分法、离散元法、边界元法及有限元法
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