2018年广西南宁二中高二上学期数学期中试卷和解析(理科)
广西南宁市2017-2018学年高二数学上学期期中试题
广西南宁市2017-2018学年高二数学上学期期中试题一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的．1．不等式()()120x x +-<的解集是（ ）A ．{}1x x >- B ．{}1x x <C ．{}12x x -<<D ．{}12x x x <->或2．“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题00:,sin p x x ∃∈=R 2:,10q x x x ∀∈-+>R ，则下列结论正确的是（ ） A ．命题p q ∨是假命题 B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()()p q ⌝∨⌝是真命题D ．命题()()p q ⌝∧⌝是真命题4．在ABC ∆中，内角A ,B ,C 所对的边分别是a,b,c ，若32a b =，则2222sin ()sin sin A C AA+-的值为（ ） A ．19-B ．13C ．1D ．725．ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a,b,c ．若a,b,c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（ ）A B ．14C ．34D 6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知263,11a a ==，则7S 等于（ ）A ．13B ．35C ．49D ．637．在由正数组成的等比数列{}n a 中，若4563a a a =, 则1289a a a a 的值为（ ）A ．3B ．9C ．27D ．818．下列不等式正确的是（ ）A ．12x x+≥ B ．12x x+≥C ．21(0)4x x x +>> D ．1sin 2sin x x+≥ 9．已知两圆222212:(4)169,:(4)9C x y C x y -+=++=，动圆在圆1C 内部且和圆1C 相内切，和圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ）A ．2216448x y -= B ．2214864x y += C ．2216448x y += D ．2214864x y -= 10．已知数列{}n a 满足111,32(2)n n a a a n n -==+-≥，则{}n a 的通项公式为（ ）A ．23n a n =B ．23n a n n =+C ．232n n na -=D ．232n n na +=11．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形12．若关于x 的不等式23x a x -->至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1334a -<<B ．1334a -<< C ．33a -<< D ．131344a -<< 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．若,x y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则235z x y =+-的最小值为_____________．14．已知函数2()1f x x ax =+-，若对任意的[],1x a a ∈+都有()0f x <，则实数a 的取值范围是 ．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos a B b A =，c o s B C -的最大值是__________．16．已知M 是ABC ∆内的一点，且23,30AB AC BAC ⋅=∠=，若,MB C M C A ∆∆和MAB∆的面积分别为1,,2x y ，则14x y +的最小值是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知命题p ：对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；命题q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根，如果命题p 与命题q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．18．（12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且满足222b c bc a +-=． （1）求角A 的大小；（2）若3,sin 2sin a C B ==，求ABC ∆的面积．19．（12分）某中学初一年级500名学生参加某次数学测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．20．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令*21()1n n b n N a =∈-，求数列{}n a 的前n 项和n T ．21．（12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，ABC ∠= 120,,,DBC E F G ∠=分别为AC 、DC 、AD 的中点 （1）求证：EF ⊥平面BCG ； （2）求三棱锥D-BCG 的体积．22．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且252,15a S ==，数列{}n b 满足11,2b =1n b +=12n n b n+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）记n T 为数列{}n b 的前n 项和，2(2)()2n n S T f n n -=+，试问()f n 是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．高二段考数学试题参考答案1．D2．A 【解析】 当a ＝3时，直线ax ＋2y ＋2a ＝0即3x ＋2y ＋6＝0，直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0即3x ＋2y ＋4＝0，可知两直线的斜率相等，且在y 轴上的截距不等，此时，两直线平行；反过来，当直线ax ＋2y ＋2a ＝0与直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行时，能得出a ＝3或a ＝－2．综上所述，选A ．3．C 【解析】 命题p 中，sin y x =的最大值为1，所以为假命题；命题q 中，判别式小于0，所以为真命题，所以命题p q ∨是真命题，命题p q ∧是假命题，命题()()p q ⌝∨⌝是真命题，命题()()p q ⌝∧⌝是假命题．4．D 【解析】由三角形的性质及正弦定理知，2222222sin ()sin 2sin sin =sin sin A C A B AA A +--22222221b a b a a -==-，又∵32a b =，∴22271=2b a-，故选D. 5. C 【解析】因为,,a b c 成等比数列，所以有2b ac =，且2c a =，由余弦定理推论得2223cos =24a cb B ac +-=，故正确答案是C.6．C 【解析】172677()7()4922a a a a S ++=== 7．C 【解析】根据等比数列的性质可得，91289333353455()()3...a a a a a a a a a ====，故选C. 8．B 【解析】当x ＞0时，12x x +≥，当x ＜0时，12x x +≤-，所以1||2x x+≥，故A 不正确，B 正确；由于x ＞0，所以214x x +≥，当且仅当214x =，即12x =时取等号，故C 不正确；当sin (0,1]x ∈时，1sin 2sin x x +≥，sin [1,0)x ∈-时，1sin 2sin x x+≤-，故D 不正确.9．C 【解析】设圆M 的半径为r ，则1212||||13316||8MC MC r r C C +=-++=>=， ∴M 的轨迹是以12,C C 为焦点的椭圆，且216a =，28c =，故所求的轨迹方程为2216448x y +=. 10．C 【解析】由132n n a a n -=+-得132n n a a n --=-，∴147...32n a a n -=+++-2(1)(432)3222n n n n -+---==，∴232n n n a -=，当1n =时也符合，∴数列的通项公式为232n n na -=.11．A 【解析】∵lgsin lgcos lgsin lg 2A B C --=，∴lgsin =lg(2cos sin )A B C ，即sin =2cos sin A B C ，∵sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，∴sin cos cos sin =2cos sin B C B C B C +，∴sin cos cos sin =0B C B C -∴sin()=0B C -， ∵,B C 为三角形内角，所以B=C ，即三角形ABC 为等腰三角形．12．B 【解析】 23x a x -->，即23x a x -<-，且230x ->，在同一坐标系中，画出23y x =-和y x a =-的图象， 当函数y x a =-的图象的左支经过点()0,3时， 求得3a =，当函数y x a =-的图象的右支和23y x =-的图象相切时，方程组2,3y x a y x=-⎧⎨=-⎩有唯一的解，即230x x a +--=有唯一的解，故14(3)0a ∆=---=，解得134a =-，所以实数a 的取值范围是1334a -<<，故选B ．13．10-【解析】如图所示，当目标函数235z x y =+-经过点(11)，A --时取得最小值，即min 2(1)3(1)510z =⨯-+⨯--=-. 14．(2-【解析】根据题意得()0(1)0f a f a <⎧⎨+<⎩， 即22210(1)(1)10a a a a a ⎧+-<⎪⎨+++-<⎪⎩，解得02x -<<.15．1 【解析】由sin cos a B b A =，得sin sin sin cos ,tan 1,A B B A A ==因为在三角形中，所以4A π=cosC -3cos sin 4C C C π⎛⎫--=⎪⎝⎭， 30,4C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin C 的最大值为1.16．18【解析】||||cos30AB AC AB AC ︒⋅=⋅||||=4AB AC ⋅， ∴1S ||||sin30=12ABC AB AC ︒∆=⋅，即1+12x y +=，∴12x y +=，∴14142()()x y x y x y+=++ ∴42(5)18y x x y =++≥，当且仅当4=y x x y 即11,63x y ==时取等号. 17．【解析】对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立=0a ⇔或0040a a ∆>⎧⇔≤<⎨<⎩；关于x 的方程2=0x x a -+有实数根11404a a ⇔-≥⇔≤； 若p 真，且q 假，有04a ≤<，且14a >，∴144a <<； 若q 真，且p 假，有0a <或4a ≥，且14a ≤，∴0a <． 所以实数a 的取值范围为1(,0)(,4)4-∞． 18．【解析】（1）由余弦定理得：2221cos =22b c a A bc +-=，∵0A π<<∴3A π=. （2）由s i n 2s i C B =，得2c b =，∵3,3a A π==，由余弦定理得22222cos 3a b c bc A b =+-=解得b c ==1sin 22ABC S bc A ∆==. 19．0.432【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.020.04)100.6+⨯=， 所以样本中分数小于70的频率为10.60.4-=.所以从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4； （2）样本中分数 不小于70的学生人数为(0.020.04)1010060+⨯⨯=； ∴样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯=，∴样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=，男生和女生人数的比例为60:403:2=； ∴根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2. 20．【解析】（1）当1n =时，11==3a S ；当2n ≥时，221=2(1)2(1)21n n n a S S n n n n n --=+----=+，1=3a 也符合，∴数列{}n a 的通项公式为=21n a n +. （2）221=11111()4441n n n a n b n n =-++=-， ∴11111111[(1)()...()](1)42231414(1)n n T n n n n =-+-++-=-=+++ 21．【解析】（1）由已知得，EF 是ADC ∆的中位线，故//EF AD ，则可转化为证明AD ⊥平面BCG ．易证ABC DBC ∆≅∆，则有AC DC =，则在等腰三角形ADC 和等腰三角形ABD 中，G 是AD 中点， 故CG AD ⊥，BG AD ⊥．从而AD ⊥平面BCG ，进而EF ⊥平面BCG ；（2）在平面ABC 内，作AO BC ⊥，交CB 的延长线于O ，由平面ABC ⊥平面BCD ， 知AO ⊥平面BCD .又∵ G 为AD 的中点，因此G 到平面BCD 的距离h 是AO 长度的一半；在AOB ∆中，sin 60AO AB ︒==∴01111sin1203322D BCG G BCD BCD V V S h BD BC --∆===⋅⋅= 22．【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则11121,.510151n a d a a n a d d +==⎧⎧⇒∴=⎨⎨+==⎩⎩由题意得1111122，b n n b b n n +=⋅=+，∴数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，且首项和公比都是12，2n n n b ∴=. （2）由（1）得231232222n n n T =+++⋅⋅⋅+，2341112322222n n nT +=+++⋅⋅⋅+， 两式相减得： 23111111=222222n n n n T ++++⋅⋅⋅+-，222n n n T +∴=-；22(2)(1)()222n n n nS T n n n n S f n n -++=∴==+；2211(1)1(1)(2)(1)()222n n n n n n n n n f n f n +++++++-∴+-=-= 当3n ≥时，(1)()0f n f n +-<；当3n <时，(1)()0f n f n +-≥；33(1)1,(2)(3)22,f f f === ∴()f n 存在最大值为32.。
2017-2018年广西南宁二中高二（上）期中数学试卷和参考答案（理科）
2017-2018年广西南宁二中高二（上）期中数学试卷和参考答案（理科）2017-2018学年广西南宁二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1 D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1 2．（5分）c≠0是方程ax2+y2=c表示椭圆或双曲线的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件3．（5分）若椭圆的两焦点为（﹣2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（）A．B．C．D．4．（5分）一袋中装有a只黑球和b只白球（a、b∈N*），它们的大小相同，编号不同，现在把球随机地一只一只摸出来，若第k 次和第k+1次（1≤k+1≤a+b）摸出的球是黑球的概率分别是p k和p k，则（）+1A．p k＞p k+1B．p k=p k+1C．p k＜p k+1D．p k和p k+1的大小与球数有关5．（5分）已知实数x，y满足条件，则点P（x，y）的运动轨迹是（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆6．（5分）命题“?x0∈?R Q，x03∈Q”的否定是（）A．?x0??R Q，x03∈Q B．?x0∈?R Q，x03∈QC．?x??R Q，x3∈Q D．?x∈?R Q，x3?Q7．（5分）阅读如图所示的程序框图，则该算法最后输出的结果为（）A．15 B．31 C．63 D．1278．（5分）焦点为（0，6），且与双曲线=1有相同的渐近线的双曲线方程是（）A．B．C．D．9．（5分）如图是NBA篮球联赛中，杜兰特和詹姆斯两名球员连续9个场次得分的茎叶图，其中甲是杜兰特，乙是詹姆斯，设甲、乙两人得分平均数分别为，中位数分别为m甲，m乙，则下列哪个正确（）A．甲乙，m甲＜m乙B．甲＜乙，m甲＞m乙C．甲＞乙，m甲＞m乙D．甲＞乙，m甲＜m乙10．（5分）若点A的坐标为（3，2），F为抛物线y2=2x的焦点，点P是抛物线。
广西南宁市第二中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题(精编含解析)
南宁二中2018-2019学年高二下段考试题理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.复数 (i 为虚数单位)的共轭复数是21i -A. 1+i B. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B 【解析】分析：化简已知复数z ，由共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=21i -()()()21+=111i ii i =+-+∴z 的共轭复数为1﹣i.故选：B ．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．2.曲线在处的切线方程为( )32y x x =-(1,1)-A. B. C. D. 20x y --=20x y -+=20x y +-=20x y ++=【答案】A 【解析】试题分析：由已知，点在曲线上，所以切线的斜率为，(1,1)-32y x x =-211'|(32)|1x x y x ===-=由直线方程的点斜式得，故选.20x y --=A 考点：导数的几何意义，直线方程.3.函数的单调递减区间为（ ）()ln f x x x =-A. B. C. D. (,0)(1,)-∞+∞ (0,)+∞(1,)+∞(0,1)【答案】D【解析】【分析】首先确定函数的定义域，然后求解函数的导函数，结合导函数的解析式即可确定函数的单调递减区间.【详解】由函数的解析式可知函数的定义域为，且，()0,∞+()1'1f x x =-求解不等式可得：，()1'10f x x =-<01x <<故函数的单调递减区间为，即.01x <<(0,1)故选：D .【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数的计算与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（ ）,a b b a <A.B. C. D. b aa b <2211aba b <22ba <22ab a b<【答案】B 【解析】A. ，不能判断正负；B. ，所以正确；C,D 做差后也不能判断正负，22b a b a a b ab --=2222110a b ab a b a b --=<故选B.5.（ ）22(cos )x x dx ππ-+=⎰A. B. C. 2D. 4π-π【答案】C 【解析】【分析】由题意结合微积分基本定理求解定积分的值即可.【详解】由题意可得：.22(cos )x x dx ππ-+=⎰22221sin 2x x ππ-⎛⎫+= ⎪⎝⎭2211288ππ⎛⎫⎛⎫=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C .【点睛】本题主要考查微积分基本定理及其应用，属于基础题.6.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为3，)0(2>=m mx y ,P Q PQ ，则=（ ）mPQ 45=m A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C 【解析】【分析】：先设的坐标，表示出线段中点的横坐标为3的表达式，因为过焦点，由过焦点的弦长公式PQ PQ PQ ，解出。
2017-2018年广西南宁二中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2017-2018学年广西南宁二中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝m，k＝1，2，3，则m 的值是（）A．B．C．D．2．（5分）已知变量x，y有如表中的观察数据，得到y对x的回归方程是，则其中a的值是（）A．2.64B．2.84C．3.95D．4.353．（5分）若ξ～B（10，），则p（ξ≥2）等于（）A．B．C．D．4．（5分）在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第6项是（）A．B．C．D．5．（5分）一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，记事件A“取出的两个球颜色不同”，事件B“取出一个黄球，一个蓝球”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．6．（5分）袋子中装有大小相同的八个小球，其中白球五个，分别编号1、2、3、4、5；红球三个，分别编号1、2、3，现从袋子中任取三个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P（X＝3）等于（）A．B．C．D．7．（5分）现有6个人分乘两辆不同的出租车，已知每辆车最多能乘坐4个人，则不同的乘车方案种数为（）A．30B．50C．60D．708．（5分）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（）A．60B．480C．420D．709．（5分）有9名翻译人员，其中6人只能翻译英语，2人只能翻译韩语，另外1人既可翻译英语也可翻译韩语．从中选出5人分别接待5个外国旅游团，其中两个旅游团需要韩语翻译，另外三个需要英语翻译，则不同的选派方法数为（）A．900B．800C．600D．50010．（5分）若，则a3等于（）A．B．C．D．11．（5分）设编号为1，2，3，4，5，6的六个茶杯与编号为1，2，3，4，5，6的六个茶杯盖，将这六个杯盖盖在茶杯上，恰好有2个杯盖与茶杯编号相同的盖法有（）A．24种B．135种C．9种D．360种12．（5分）现安排甲乙丙丁戊5名学生分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，要求甲不当语文课代表，乙不当数学课代表，若丙当物理课代表则丁必须当化学课代表，则不同的选法共有多少种（）A．53B．67C．85D．91二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）＝．14．（5分）排球比赛的规则是5局3胜制，A、B两队每局比赛获胜的概率分别为和．前2局中B队以2：0领先，则最后B队获胜的概率为．15．（5分）若（1﹣2x）2011＝a0+a1x+a2x2+…+a2010x2010+a2011x2011（x∈R），则（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2010）+（a0+a2011）＝．（用数字作答）16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（t为参数）的焦点为F，动点P在抛物线上，动点Q在圆（α为参数）上，则|PF|+|PQ|的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4＝0．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点A（0，），直线l与曲线C相交于点M、N，求+的值．18．（12分）北方某市一次全市高中女生身高统计调查数据显示：全市200000名高中女生的身高（单位：cm）服从正态分布N（168，42）．现从某高中女生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部在160cm和184cm 之间，现将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164），第2组[164，168），…，第6组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）求这50名女生身高不低于172cm的人数；（2）在这50名女生身高不低于172cm的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名（从高到低）在全市前260名的人数记为X，求X的数学期望．参考数据：X～N（μ，σ2），P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．19．（12分）在直角坐标系中，曲线C1的普通方程为，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣1＝0．（Ⅰ）求曲线C1、C2的参数方程；（Ⅱ）若点M、N分别在曲线C1、C2上，求|MN|的最小值．20．（12分）如图，在多面体EF﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AD ＝DC＝CB＝2，∠ABC＝60°°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是菱形，∠CAF＝60°．（Ⅰ）求证：BF⊥AE；（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的平面角的正切值．21．（12分）为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h 的有10人．在20名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有5人，不超过100km/h的有15人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关；（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100km /h 的车辆数为ζ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ζ的分布列和数学期望．参考公式：，其中n ＝a +b +c +d ．参考数据：22．（12分）已知函数f （x ）＝e x sin x ﹣ax ．（1）若a ＝1，求曲线y ＝f （x ）在（0，f （0））处的切线方程；（2）若f （x ）在上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）当a ≤1时，求证：对于任意的x ∈，均有f （x ）≥0．2017-2018学年广西南宁二中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝m，k＝1，2，3，则m 的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵随机变量ξ的分布列为，k＝1，2，3∴，，，∵++＝1，∴m＝，故选：B．2．（5分）已知变量x，y有如表中的观察数据，得到y对x的回归方程是，则其中a的值是（）A．2.64B．2.84C．3.95D．4.35【解答】解：由已知中的数据可得：＝×（0+1+3+4）＝2，＝×（2.4+4.5+4.6+6.5）＝4.5；且数据中心点（2，4.5）在回归直线上，∴4.5＝0.83×2+a，解得a＝2.84．故选：B．3．（5分）若ξ～B（10，），则p（ξ≥2）等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵变量ξ～B（10，），∴P（ξ≥2）＝1﹣P（ξ＜2）＝1﹣C100•（）0•（）10﹣C101•（）1•（）9＝，故选：A．4．（5分）在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第6项是（）A．B．C．D．【解答】解：因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以+1＝5，解得n＝8，则展开式中的第6项T5+1＝＝﹣，故选：C．5．（5分）一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，记事件A“取出的两个球颜色不同”，事件B“取出一个黄球，一个蓝球”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．【解答】解：因为P（B|A）＝＝，故选：C．6．（5分）袋子中装有大小相同的八个小球，其中白球五个，分别编号1、2、3、4、5；红球三个，分别编号1、2、3，现从袋子中任取三个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P（X＝3）等于（）A．B．C．D．【解答】解：袋子中装有大小相同的八个小球，其中白球五个，分别编号1、2、3、4、5；红球三个，分别编号1、2、3，现从袋子中任取三个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P（X＝3）＝＝．故选：D．7．（5分）现有6个人分乘两辆不同的出租车，已知每辆车最多能乘坐4个人，则不同的乘车方案种数为（）A．30B．50C．60D．70【解答】解：根据题意，由于6个人分乘两辆不同的出租车，已知每辆车最多能乘坐4个人，则分2种情况讨论：1、每辆乘坐3人，先将6人平均分成2组，有C63＝10种分组方法，再将这2组对应2辆出租车，有A22＝2种情况，则此时的乘车方法种数为10×2＝20种，2、一辆车4人，一辆车2人，先将6人分成2组，一组4人，另一组2人，有C62C44＝15种分组方法，再将这2组对应2辆出租车，有A22＝2种情况，则此时的乘车方法种数为15×2＝30种，共有20+30＝50种故选：B．8．（5分）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（）A．60B．480C．420D．70【解答】解：分两步，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用乘法原理可求解．由题设，四棱锥S﹣ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法．当S，A，B染好时，不妨设所染颜色依次为1，2，3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法，即当S，A，B染好时，C，D还有7种染法．故不同的染色方法有60×7＝420种．故选：C．9．（5分）有9名翻译人员，其中6人只能翻译英语，2人只能翻译韩语，另外1人既可翻译英语也可翻译韩语．从中选出5人分别接待5个外国旅游团，其中两个旅游团需要韩语翻译，另外三个需要英语翻译，则不同的选派方法数为（）A．900B．800C．600D．500【解答】解：分三类：①不要那个全能的人，有种不同的选派方法；②全能的人去做韩语翻译，有种不同的选派方法；③全能的人做英语翻译，有种不同的选派方法．由分类计数原理知，不同的选派方法数为++＝900种．故选：A．10．（5分）若，则a3等于（）A．B．C．D．【解答】解：由已知条件知a3为展开式中x3的系数，∴＝＝＝＝…＝，故选：C．11．（5分）设编号为1，2，3，4，5，6的六个茶杯与编号为1，2，3，4，5，6的六个茶杯盖，将这六个杯盖盖在茶杯上，恰好有2个杯盖与茶杯编号相同的盖法有（）A．24种B．135种C．9种D．360种【解答】解：根据题意，分2步分析：首先从6个号中选两个放到同号的盒子里，共有C62种结果，对于剩下的四个小球和四个盒子，要求球的号码与盒子的号码不同，首先第一个球有3种结果，与被放上球的盒子同号的球有三种方法，余下的只有一种方法共有3×3＝9种结果，则一共有15×9＝135种结果；故选：B．12．（5分）现安排甲乙丙丁戊5名学生分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，要求甲不当语文课代表，乙不当数学课代表，若丙当物理课代表则丁必须当化学课代表，则不同的选法共有多少种（）A．53B．67C．85D．91【解答】解：丙当物理课代表则丁必须当化学课代表，以丙进行分类第一类，当丙当物理课代表时，丁必须当化学课代表，再根据甲当数学课代表，乙戊可以当英语和语文中的任一课，有＝2种，当甲不当数学课代表，甲只能当英语课代表，乙只能当语文课代表，戊当数学课代表，有1种，共计2+1＝3种．第二类，当丙不当物理课代表时，分四类①丙为语文课代表时，乙只能从英语、物理和化学中选择一课，剩下的甲丁戊任意排给剩下的三课，有＝18种，②丙为数学课代表时，甲只能从英语、物理和化学中选择一课，剩下的乙丁戊任意排给剩下的三课，有＝18种，③丙为英语课代表时，继续分类，甲当数学课代表时，其他三位同学任意当有＝6种，当甲不当数学课代表，甲只能从物理和化学课中选一课，乙只能从语文和甲选完后的剩下的一课中选一课，丁和戊做剩下的两课，有＝8种，共计6+8＝14种④丙为化学课代表时，同③的选法一样有14种，根据分类计数原理得，不同的选法共有3+18++18+14+14＝67种．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）＝0.3．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），μ＝2，得对称轴是x＝2．P（ξ＜4）＝0.8∴P（ξ≥4）＝P（ξ≤0）＝0.2，∴P（0＜ξ＜4）＝0.6∴P（0＜ξ＜2）＝0.3．故答案为：0.3．14．（5分）排球比赛的规则是5局3胜制，A、B两队每局比赛获胜的概率分别为和．前2局中B队以2：0领先，则最后B队获胜的概率为．【解答】解：只要B获胜一局即可，第三局胜的概率为，第三局输第四局胜的概率为＝，第三四局输第五局胜的概率为＝故B获胜的概率是++＝．故答案为：．15．（5分）若（1﹣2x）2011＝a0+a1x+a2x2+…+a2010x2010+a2011x2011（x∈R），则（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2010）+（a0+a2011）＝2009．（用数字作答）【解答】解：令x＝0，则a0＝1．令x＝1，则a0+a1+a2+…+a2010+a2011＝（1﹣2）2011＝﹣1．∴（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2010）+（a0+a2011）＝2010a0+（a0+a1+a2+a3+…+a2011）＝2010﹣1＝2009．故答案为：2009．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（t为参数）的焦点为F，动点P在抛物线上，动点Q在圆（α为参数）上，则|PF|+|PQ|的最小值为3．【解答】解：根据题意，抛物线参数方程为，其普通方程为y2＝4x，其焦点坐标为（1，0），准线方程为x＝﹣1，动点P在抛物线上，设P到准线的距离为d，则d＝|PF|，圆的参数方程为（α为参数），其普通方程为（x﹣3）2+y2＝1，动点Q在圆上，则|PF|+|PQ|＝d+|PQ|，分析可得：当P为抛物线的顶点时，|PF|+|PQ|取得最小值，且其最小值为3，故答案为：3．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4＝0．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点A（0，），直线l与曲线C相交于点M、N，求+的值．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ2cos2θ+4＝0．∴ρ2cos2θ﹣ρ2sin2θ+4＝0，∴x2﹣y2+4＝0，∴y2﹣x2＝4；（Ⅱ）将直线l的参数方程化为标准形式为：（t为参数），代入曲线C的方程得，∴t1+t2＝﹣，t1•t2＝，则．18．（12分）北方某市一次全市高中女生身高统计调查数据显示：全市200000名高中女生的身高（单位：cm）服从正态分布N（168，42）．现从某高中女生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部在160cm和184cm 之间，现将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164），第2组[164，168），…，第6组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）求这50名女生身高不低于172cm的人数；（2）在这50名女生身高不低于172cm的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名（从高到低）在全市前260名的人数记为X，求X的数学期望．参考数据：X～N（μ，σ2），P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．【解答】解：（1）由直方图知，后3组频率为（0.02+0.02+0.01）×4＝0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名女生身高不低于172cm的人数为10人；（2）∵P（168﹣3×4＜X≤168+3×4）＝0.9974，∴．∴.0.0013×200000＝260，则全市高中女生的身高在180cm以上的有260人，这50人中180cm以上的有2人．随机变量X可取0，1，2，于是，，．列出频率分布表：∴．19．（12分）在直角坐标系中，曲线C1的普通方程为，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣1＝0．（Ⅰ）求曲线C1、C2的参数方程；（Ⅱ）若点M、N分别在曲线C1、C2上，求|MN|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，曲线C1的参数方程为（α是参数），因为曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣1＝0，化简可得直角坐标方程：x2+y2+2x﹣1＝0，即（x+1）2+y2＝2，所以曲线C2的参数方程为（θ是参数）（Ⅱ）设点，易知C2（﹣1，0），∴|MC2|＝＝＝，∴cosα＝0时，，∴．∴|MN|的最小值．20．（12分）如图，在多面体EF﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AD ＝DC＝CB＝2，∠ABC＝60°°，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是菱形，∠CAF＝60°．（Ⅰ）求证：BF⊥AE；（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的平面角的正切值．【解答】（Ⅰ）证明：在等腰梯形ABCD中，由DC＝AD＝BC＝2，可得AB＝4，则AC2＝22+42﹣2×2×4×cos60°＝12，∴AC2+BC2＝AB2，即BC⊥AC，∵平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BC⊥平面ACEF，而AE⊂平面ACEF，∴AE⊥BC，连接CF，∵四边形ACEF是菱形，∴AE⊥FC，则AE⊥面BFC，∵BF⊂面BCF，∴BF⊥AE；（Ⅱ）解：取EF的中点M，连接MC，∵四边形ACEF是菱形，且∠CAF＝60°．∴MC⊥AC，∵平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴MC⊥平面ABCD．故可以CA、CB、CM分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，2，0），D（，﹣1，0），E（，0，3），F（，0，3）．设平面BEF和平面DEF的法向量分别为＝（x1，y1，z1），＝（x2，y2，z2），∵，，，由，取z1＝2，得；由，取z2＝﹣1，可得＝（0，3，﹣1），∴cos＜＞＝．∵二面角B﹣EF﹣D的平面角为锐角，故二面角B﹣EF﹣D 的平面角的正切值为．21．（12分）为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h 的有10人．在20名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有5人，不超过100km/h的有15人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关；（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100km/h的车辆数为ζ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ζ的分布列和数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：【解答】解：（Ⅰ）根据题意，填写列联表如下；计算K 2＝＝≈8.333＞7.879，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km /h 与性别有关；（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过100km /h 的车辆的概率为，所以ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B （3，），∴P （ξ＝0）＝••＝，P（ξ＝1）＝••＝， P （ξ＝2）＝••＝，P （ξ＝3）＝••＝； ξ的分布列为：数学期望为；或． 22．（12分）已知函数f （x ）＝e x sin x ﹣ax ．（1）若a ＝1，求曲线y ＝f （x ）在（0，f （0））处的切线方程；（2）若f（x）在上单调递增，求实数a的取值范围；（3）当a≤1时，求证：对于任意的x∈，均有f（x）≥0．【解答】解：（1）因为函数f（x）＝e x sin x﹣x，则f'（x）＝e x sin x+e x cos x﹣1，又因为f（0）＝0，f'（0）＝0，所以曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y＝0；（2）因为f（x）＝e x sin x﹣ax，所以（）﹣a，函数f（x）在[]上单调递增⇔f'（x）在[]上恒有f'（x）≥0．即（）≥a恒成立．令（），则g（x）min≥a．又因为g（x）在[]上单调递增，所以g（x）min＝g（0）＝1，所以a≤1；（3）证明：因为f（x）＝e x sin x﹣ax，所以（）﹣a．令（），则g'（x）＝2e x sin（x+）＝2e x cos x．①当x∈[]时，g'（x）≥0，g（x）递增，有g（x）≥g（x）min＝g（0）＝1，因为a≤1，此时，f'（x）＝g（x）﹣a≥0，f（x）递增，有f（x）≥f（x）min＝f（0）＝0成立．②当x∈（]时，g'（x）≤0，g（x）递减，有，若a≤0，此时f'（x）＝g（x）﹣a≥0，f（x）递增，f（x）≥0显然成立．若a∈（0，1]，此时记f'（x0）＝0，则f（x）在（]上递增，在（]上递减．此时有，，构造，则，令t'（x）＝0，求得．故t（x）在（]上递减，在（）上递增，所以，所以，此时满足f（x）≥0，综上所述，当a≤1时，对于任意的x∈[]，均有f（x）≥0．。
南宁市数学高二上学期理数期中考试试卷(II)卷
20. （2分） (2018·吉林模拟) 如图， 为圆 的直径，点 ， 在圆 上， ，矩形 和圆 所在的平面互相垂直，已知 ， ．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）当AD＝2时，求多面体FABCD体积．
A . 相交
B . 相切
C . 相离
D . 以上三种均有可能
11. （1分） (2016高二上·右玉期中) 平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
A . α内有无数条直线都与β平行
B . 直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α
C . α内的任何直线都与β平行
D . 直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内
12. （1分） (2018高一下·淮南期末) 设 ， ， ， 是同一个半径为4的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为（ ）
A .
B .
C .
D .
二、 填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2018高一下·黑龙江期末) 在平面直角坐标系 中， ， ，若直线 与线段 有公共点，则实数 的取值范围是________．
D . ﹣ 或﹣
7. （1分） (2019高二上·四川期中) 若圆 ： 与圆 ： 外切，则正数 的值是（ ）
A . 2
B . 3
C . 4
D . 6
8. （1分） (2017高二下·晋中期末) 已知α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下面的命题中不正确的是（ ）
A . 若a∥b，a⊥α，则b⊥α
14. （1分） (2018高一上·广东期末) 如下图所示的正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为8，高为 ，则它的侧棱长为________．
广西南宁市第二中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题
高二理科数学参照答案答案123456789101112题号B C C D B C A C B A D A 二、填空题（每题各 5 分）13：或;14：; 15:; 16: 5 2,1三、解答题（第17 题 10 分，其他各题12 分）17．（ 1）；（2）或.【详解】解：（ 1）由已知得，∴，，∵，..............................1分∴， ..................2分∴，又，.........................3分故.................................................4分（2）由已知得，....................6分∴，∴， ..........................................8分解得或........................................10分18．解：（ 1）等差数列的公差．由意可知，...................................1分∴，解得或， .........................................3分∵数列增，∴， ...................................................4分∴................................5分（2）由（ 1）可得．....................6分∴，①∴，②...........8分① ②得......................................10 分，∴19．解：(1) 分数在 (12)[70,80)内的率：分1－ (0.010＋ 0.015＋0.015＋0.025＋ 0.005)× 10＝ 1－ 0.7 ＝ 0.3⋯⋯⋯3分(2) 中位数73 173.3 ⋯⋯⋯⋯ 6 分3(3) 由意，[60,70)分数段的人数：0.15 × 60＝ 9( 人 ) ； [70,80)分数段的人数：0.3 ×60＝ 18( 人 ) ．∴需在[60,70)分数段内抽取 2 人，分a， b；在[70,80)分数段内抽取 4 人，分c， d，e， f.“从本中任取 2 人，恰有 1 人在分数段[70,80)内” 事件A，全部基本领件有( a，b) ，( a，c) ，( a，d) ，( a，e) ，( a，f ) ， ( b，c) ， ( b，d) ，( b，e) ， ( b，f ) ， ( c，d) ， ( c，e) ，( c，f ) ， ( d，e) ， ( d，f ) ， ( e，f ) ，共 15 个⋯⋯⋯⋯ 8 分此中事件 A包括( a，c)，( a，d)，( a，e)，( a，f )，( b，c)，( b， d)，( b， e)，( b，f )，共8 个．⋯⋯ 10 分8∴P( A)＝15⋯⋯⋯12分（用摆列合也分）20.答案分析： (1) 明：接OE，如所示．∵O、 E 分 AC、 PC的中点，∴OE∥ PA.∵OE?平面 BDE， PA?平面 BDE，∴ PA∥平面 BDE........................2分∵PO⊥平面 ABCD，∴ PO⊥ BD.在正方形ABCD中， BD⊥ AC，又∵ PO∩ AC＝ O，∴ BD⊥平面 PAC.又∵? 平面，∴平面⊥平面BDE........................5分BD BDE PAC(2)取 OC中点 F，接 EF.∵ E PC中点，∴ EF△ POC的中位，∴ EF∥PO.................................6分又∵ PO⊥平面 ABCD，∴EF⊥平面 ABCD.∵OF⊥ BD，∴ OE⊥ BD.∴∠ EOF二面角 E- BD- C的平面角，..............................7分∴∠ EOF＝30°.在 Rt △OEF中，112OF＝2OC＝4AC＝4 a，............................................8分∴ EF＝ OF·tan 30°＝66 ......................10分a，∴ OP＝2EF＝a126∴V-＝××6 a＝18 a ......................................12分P ABCD126 6 321. （1）；（2）.（1）由于＝＝＝，则 32＝ 4， ..........................2分2e a b将（ 1，）代入椭圆方程：+＝1，解得：a＝2，b＝，........3分因此椭圆方程为+＝1；..........................................4分（2）设P（x P，y P），Q（x Q，y Q），∵线段 PQ的中点恰为点 N，∴x P+x Q＝2， y P+y Q＝2，.................................................5分∵+＝1，+＝1，........................................7分两式相减可得（x P+x Q）（ x P﹣ x Q）+（y P+y Q）（y P﹣y Q）＝0，................8分∴＝﹣，.................................................10分即直线 PQ的斜率为﹣，∴直线 PQ的方程为 y﹣1＝﹣（ x﹣1），即3x+4y﹣7＝0...................12分22．详解：（ 1）依据已知条件得，∴焦点坐标为，∵轴，∴...........................1分在直角三角形中，，解得， .....2 分于是所求双曲线方程为..............................3分（2）依据（ 1）易得两条双曲线渐近线方程分別为，，..4分设点，则，.......... 。
南宁市高二上学期期中数学试卷(理科)D卷
南宁市高二上学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2015高二下·赣州期中) 四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的三视图如图所示，则异面直线D1C与AC1所成的角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°2. （2分）已知点M（a，b，c）是空间直角坐标系O﹣xyz中的一点，则与点M关于z轴对称的点的坐标是（）A . （a，﹣b，﹣c）B . （﹣a，b，﹣c）C . （﹣a，﹣b，c）D . （﹣a，﹣b，﹣c）3. （2分） (2018高二下·孝感期中) 如图，在空间四边形中，点为中点，点在上，且 ,则等于（）A .B .C .D .4. （2分）如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（）A . 24 cmB . 21 cmC . （24+4 ）cm2D . （20+4 ）cm25. （2分）已知m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，下列命题中正确的是（）A . 若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nB . 若m∥n，nÌα，m(/α，则m∥αC . 若α⊥β，m⊥α，则m∥βD . 若m⊥α，nÌβ，m⊥n，则α⊥β6. （2分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为（）A . 8B .C .D . 47. （2分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠CAB=90°，AC=AB=AA1 ，则异面直线AC1 ， A1B所成角的余弦值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·湖北期中) 已知某空间几何体的三视图如图所示，则（）A . 该几何体的表面积为4+2πB . 该几何体的体积为πC . 该几何体的表面积为4+4πD . 该几何体的体积为π9. （2分）四棱锥P-ABCD的三视图如右图所示,其中a=2，四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，则该球表面积为（）A .B .C .10. （2分） (2016高二上·射洪期中) 二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（）A . 1B .C . 2D .11. （2分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A . 4B .C .D . 812. （2分）正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为（）A .B .C .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）(2018·虹口模拟) 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为，，，则 ________．14. （1分）(2017·辽宁模拟) 平面上，点A、C为射线PM上的两点，点B、D为射线PN上的两点，则有（其中S△PAB、S△PCD分别为△PAB、△PCD的面积）；空间中，点A、C为射线PM上的两点，点B、D为射线PN上的两点，点E、F为射线PL上的两点，则有 =________（其中VP﹣ABE、VP﹣CDF分别为四面体P﹣ABE、P﹣CDF的体积）．15. （1分） E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA的中点，若对角线BD=2，AC=4，则EG2+HF2的值为________．16. （1分） (2016高二上·合川期中) 如图，将菱形ABCD沿对角线BD折起，使得C点至C′，E点在线段AC′上，若二面角A﹣BD﹣E与二面角E﹣BD﹣C′的大小分别为15°和30°，则 =________三、解答题： (共6题；共70分)17. （15分） (2019高三上·上海月考) 如图，在所有棱长都等于2的正三棱柱中，点是的中点，求：（1）直线与平面所成角的大小.（2）异面直线与所成角的大小；（3）直线与平面所成角的大小.18. （10分） (2017高一下·河北期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD，平面PAD平面ABCD，CD⊥AD，△APD为等腰直角三角形，．（1）证明：平面PAB⊥平面PCD；（2）若三棱锥B﹣PAD的体积为，求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值．19. （15分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是正方形AA1D1D和A1B1C1D1的中心．（1）证明：PQ∥平面DD1C1C；（2）求线段PQ的长；（3）求PQ与平面AA1D1D所成的角．20. （10分）如图1，矩形APCD中，AD=2AP，B为PC的中点，将△APB折沿AB折起，使得PD=PC，如图2．（1）若E为PD中点，证明：CE∥平面APB；（2）证明：平面APB⊥平面ABCD．21. （10分） (2016高二上·临川期中) 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．22. （10分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．（1）证明：在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（2）求三棱柱ABC﹣A1B1C的侧面积．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、答案：略2-1、3-1、4-1、答案：略5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、答案：略11-1、答案：略12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、答案：略三、解答题： (共6题；共70分) 17-1、17-2、17-3、18-1、答案：略18-2、答案：略19-1、答案：略19-2、答案：略19-3、答案：略20-1、答案：略20-2、答案：略21-1、答案：略21-2、答案：略22-1、答案：略22-2、答案：略。
【精品】2018学年广西柳州二中高二上学期期中数学试卷和解析(理科)
2018学年广西柳州二中高二（上）期中数学试卷（理科）一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x∈Z|（2x+3）（x﹣4）＜0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{0，e}C．（0，e]D．（1，2）2．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：据上表得回归直线方程=x+，其中=0.76，=﹣，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A．11.4万元B．11.8万元C ．12.0万元D．12.2万元3．（5分）已知向量与的夹角为120°，||=3，|+|=，则||=（）A．1 B．3 C．4 D．54．（5分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+3）与圆x2+y2=1相交的概率为（）A．B．C．D ．5．（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记x m y n 项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（）A．45 B．60 C．120 D．2106．（5分）同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x=对称；③在上是增函数；④一个对称中心为”的一个函数是（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图的程序框图（N∈N*），那么输出的p是（）A．B．C．D．8．（5分）过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．9．（5分）数列{a n}的通项公式为a n=cos，n∈N*，其前n项和为S n，则S2017=（）A．1008 B．﹣1008 C．﹣1 D．010．（5分）已知0＜a＜b＜1，给出以下结论：①；④log a＞log b．则其中正确的结论个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．（5分）从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n构成n个数对（x1，y1），（x2，y2）…（x n，y n），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知向量与的夹角为60°，且||=2，||=4，若=，且，则实数λ的值为（）A．B．C．0 D．。
广西南宁二中2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试卷
南宁二中期中考试数学试题（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共
12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．1．设随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝23
k m ,k ＝1,2,3，则m 的值为() A. 17
18 B. 27
38 C. 17
19 D. 27
19
2．已知变量x ，y 有如下观察数据
x 0
134y 2.4 4.5 4.6 6.5
若y 对
x 的回归方程是0.83?y x a ，则其中a 的值为（）A. 2.64 B. 2.84 C. 3.95 D. 4.35
3．若~ 1
10,2B ,则2P 等于（
）A. 1013
1024 B.
111024 C. 501
512 D. 507512. 4．在二项式n x x
)21(32
的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第6项是（）
61635
.x A 616
35.x B 747.x C 747.x D 5.一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，
绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，
记事件A “取出的两个球颜色不同”，事件B “取出一个黄球，一个蓝球”，则
P B A （）A. 12
47 B. 15
47 C. 20
47 D. 2
11
6．袋子中装有大小相同的八个小球，其中白球五个，分别编号
1、2、3、4、5；红球三个，分别编号1、2、3，现从袋子中任取三个小球，它们的最大编号为随机变量X ，则P(X=3)等于 ( )。
2018-2019学年人教A版广西南宁二中高二(下)期中(理)数学试卷 含解析
2018-2019学年高二第二学期期中数学试卷（理科）一、选择题1．复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．曲线y＝x3﹣2x在（﹣1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2＝0 B．x﹣y+2＝0 C．x+y﹣2＝0 D．x+y+2＝03．函数f（x）＝x﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（0，+∞）4．设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．＜B．＜C．a2＜b2D．ab2＜a2b5．＝（）A．πB．2 C．﹣πD．46．过抛物线y2＝mx（m＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，，则m＝（）A．6 B．4 C．10 D．87．用数学归纳法证明“1++++＜n（n≥2）”时，由n＝k的假设证明n＝k+1时，不等式左边需增加的项数为（）A．2k﹣1B．2k﹣1 C．2k D．2k+18．设函数f（x）＝x﹣lnx（x＞0），则y＝f（x）（）A．在区间（，1），（1，e）内均有零点B．在区间（，1），（1，e）内均无零点C．在区间（，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点D．在区间（，1），内无零点，在区间（1，e）内有零点9．若点O和F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为（）A．4﹣2B．0 C．1 D．4+210．已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x 轴的直线与双曲线交于G、H两点，若△GHE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，2）C．（2，1+）D．（1，1+）11．已知函数f（x）＝x3+ax2+2bx（a，b∈R）的两个极值点分别在（﹣2，0）和（0，1）内，则2a+b的取值范围是（）A．（﹣4，1）B．（﹣4，3）C．（﹣3，0）D．（﹣3，6）12．已知函数f（x+2）是偶函数，且当x＞2时满足xf′（x）＞2f′（x）+f（x），则（）A．2f（1）＜f（4）B．2f（）＜f（4）C．f（0）＜4f（）D．f（1）＜f（3）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．由y＝2x与曲线y＝3﹣x2所围成的图形的面积为．14．已知椭圆的左、右焦点为F1、F2，点F1关于直线y＝﹣x的对称点P仍在椭圆上，则△PF1F2的周长为．15．已知向量＝（e x+，﹣x），＝（1，t），若函数f（x）＝在区间（﹣1，1）上存在增区间，则t的取值范围为．16．已知函数f（x）＝，则函数g（x）＝3[f（x）]2﹣2f（x）﹣m 有5个零点时m的范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且＝．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c＝5，且△ABC的面积为，求a的值．18．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求S n；（2）设，数列的前n项和T n，证明T n＜1．19．某品牌新款夏装即将上市，为了对夏装进行合理定价，在该地区的三家连锁店各进行了两天试销售，得到如下数据：连锁店A店B店C店售价x（元）80 86 82 88 84 90 销售量y（件）88 78 85 75 82 66 （1）以三家连锁店分别的平均售价和平均销量为散点，求出售价与销量的回归直线方程；（2）在大量投入市场后，销售量与单价仍然服从（1）中的关系，且该夏装成本价为40元/件，为使该款夏装在销售上获得最大利润，该款夏装的单价应定为多少元（保留整数）？．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB ＝2AD＝2CD＝2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．21．已知椭圆的焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|＝3．（1）求椭圆的方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．22．已知函数．（1）若f（x）有两个极值点，求实数m的取值范围：（2）若函数g（x）＝xlnx﹣mx2﹣elnx+emx有且只有三个不同的零点，分别记为x1，x2，x3，设x1＜x2＜x3，且的最大值是e2，求x1x3的最大值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 解：化简可得z＝＝＝1+i，∴z的共轭复数＝1﹣i故选：B．2．曲线y＝x3﹣2x在（﹣1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2＝0 B．x﹣y+2＝0 C．x+y﹣2＝0 D．x+y+2＝0 解：根据题意，曲线的方程为y＝x3﹣2x，则其导数y′＝3x2﹣2，则切线的斜率k＝y′|x＝﹣1＝3﹣2＝1，则切线的方程为y﹣1＝（x+1），变形可得x﹣y+2＝0；故选：B．3．函数f（x）＝x﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（0，+∞）解：∵f′（x）＝1﹣＝，（x＞0），令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，故选：C．4．设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．＜B．＜C．a2＜b2D．ab2＜a2b解：a＝﹣1，b＝1，则A，C不成立；a＝﹣2，b＝1，则D不成立，对于B，左﹣右＝＜0，成立．故选：B．5．＝（）A．πB．2 C．﹣πD．4解：∵（x2++sin x）′＝x+cos x，∴（x+cos x）dx＝（x2+sin x）＝2．故选：B．6．过抛物线y2＝mx（m＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，，则m＝（）A．6 B．4 C．10 D．8解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵过抛物线y2＝mx（m＞0）的焦点F（，0），设直线方程为x＝ky+，代入抛物线方程可得y2﹣mky﹣＝0，∴y1+y2＝mk，y1y2＝﹣，∴|PQ|2＝（1+k2）[（y1+y2）2﹣4y1y2]＝（1+k2）（m2k2+m2）＝m2，∴（k2+1）2＝，∴k2+1＝，∴k2＝∴x1+x2＝k（y1+y2）+＝mk2+＝m+＝m＝2×3，解得m＝8，故选：D．7．用数学归纳法证明“1++++＜n（n≥2）”时，由n＝k的假设证明n＝k+1时，不等式左边需增加的项数为（）A．2k﹣1B．2k﹣1 C．2k D．2k+1解：n＝k时，左边＝1++++，当n＝k+1时，左边＝1++++++++．∴左边增加的项数为2k+1﹣1﹣（2k﹣1）＝2k+1﹣2k＝2k．故选：C．8．设函数f（x）＝x﹣lnx（x＞0），则y＝f（x）（）A．在区间（，1），（1，e）内均有零点B．在区间（，1），（1，e）内均无零点C．在区间（，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点D．在区间（，1），内无零点，在区间（1，e）内有零点解：由题得f′（x）＝，令f′（x）＞0得x＞3；令f′（x）＜0得0＜x＜3；f′（x）＝0得x＝3，故知函数f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+∞）为增函数，在点x＝3处有极小值1﹣ln3＜0；又f（1）＝＞0，f（e）＝﹣1＜0，f（）＝+1＞0，故选：D．9．若点O和F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为（）A．4﹣2B．0 C．1 D．4+2解：由题意，F（﹣，0），设点P（x0，y0），则有+＝1，解得＝1﹣，∵＝（x0+，y0），＝（x0，y0），∴＝（x0+）x0+＝（x0+）x0+（1﹣）＝+x0+1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x＝﹣，∵﹣2≤x0≤2，∴当x0＝﹣时，则的最小值为0．故选：B．10．已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x 轴的直线与双曲线交于G、H两点，若△GHE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，2）C．（2，1+）D．（1，1+）解：根据双曲线的对称性，得△ABE中，|AE|＝|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|∵|AF|＝＝，|EF|＝a+c∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2∵双曲线的离心率e＞1∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）故选：B．11．已知函数f（x）＝x3+ax2+2bx（a，b∈R）的两个极值点分别在（﹣2，0）和（0，1）内，则2a+b的取值范围是（）A．（﹣4，1）B．（﹣4，3）C．（﹣3，0）D．（﹣3，6）解：f′（x）＝3x2+2ax+2b，∵函数f（x）＝x3+ax2+2bx（a，b∈R）的两个极值点分别在（﹣2，0）和（0，1）内，∴，即，画出可行域：令t＝2a+b，可得b＝﹣2a+t．此直线经过（﹣，0）时，t＝﹣3；此直线经过（3，0）时，t＝6．∴﹣3＜t＜6．∴2a+b的取值范围是（﹣3，6）．故选：D．12．已知函数f（x+2）是偶函数，且当x＞2时满足xf′（x）＞2f′（x）+f（x），则（）A．2f（1）＜f（4）B．2f（）＜f（4）C．f（0）＜4f（）D．f（1）＜f（3）解：由xf′（x）＞2f′（x）+f（x），得（x﹣2）f′（x）﹣f（x）＞0，设h（x）＝，则h′（x）＝，∵（x﹣2）f′（x）﹣f（x）＞0，∴当x＞2时，h′（x）＞0，此时函数单调递增．∵f（x+2）是偶函数，∴f（x+2）关于x＝0对称，即f（x）关于x＝2对称，即f（1）＝f（3），故D错误，f（）＝f（），f（0）＝f（4），则h（）＜h（4），即＜，即4f（）＜f（4），即4f（）＜f（0），即故C错误，同时4f（）＝4f（）＜f（4），由h（3）＜h（4），得＜，即2f（3）＜f（4），∴2f（1）＝2f（3）＜f（4），即2f（1）＜f（4），故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．由y＝2x与曲线y＝3﹣x2所围成的图形的面积为．解：解方程组，解得：，，∴A（﹣3，﹣6），B（1，2），∴y＝2x与曲线y＝3﹣x2所围成的图形的面积S＝（3﹣x2﹣2x）＝（3x﹣x3﹣x2）＝（3﹣﹣1）﹣[3×（﹣3）﹣×（﹣3）3﹣（﹣3）2]＝，故答案为：．14．已知椭圆的左、右焦点为F1、F2，点F1关于直线y＝﹣x的对称点P仍在椭圆上，则△PF1F2的周长为2+2 ．解：设椭圆的左焦点为（﹣c，0），点F1关于直线y＝﹣x的对称点P（m，n），由＝1，＝﹣，解得m＝0，n＝c，即P（0，c），由题意方程可得b＝c＝1，a＝＝，由题意的定义可得△PF1F2的周长为2a+2c＝2+2．故答案为：2+2．15．已知向量＝（e x+，﹣x），＝（1，t），若函数f（x）＝在区间（﹣1，1）上存在增区间，则t的取值范围为（﹣∞，e+1）．解：由题意可得，f（x）＝＝对函数求导可得，f，（x）＝e x+x﹣t∵函数f（x）在（﹣1，1）上存在增区间∴函数f（x）在（x1，x2）⊆（﹣1，1）上单调递增，故e x+x＞t在x∈（x1，x2）时时恒成立，故t＜e+1故答案为：（﹣∞，e+1）16．已知函数f（x）＝，则函数g（x）＝3[f（x）]2﹣2f（x）﹣m 有5个零点时m的范围0≤m＜1 ．解：设t＝f（x），当x≥0时，f（x）＝4x3﹣6x2+1，则f′（x）＝12x2﹣12x＝12x（x﹣1），由f′（x）＞0得x＞1，由f′（x）＜0得0＜x＜1，即当x＝1时，函数f（x）取得极小值f（1）＝﹣1，作出函数f（x）的图象如图：则当t≥1或﹣1＜t≤0时，方程t＝f（x）有2个不同的根，当0＜t＜1时，方程t＝f（x）有3个不同的根，当t＝0时，方程t＝f（x）有1个不同的根，当t＜0时，方程t＝f（x）有0个不同的根，要使g（x）＝3[f（x）]2﹣2f（x）﹣m有5个零点，则等价为h（t）＝3t2﹣2t﹣m有两个不同的零点，t1，t2，满足0＜t1＜1，t2≥1或者0＜t1＜1，﹣1＜t2≤0，若①0＜t1＜1，t2≥1，则满足（红色曲线）得，此时无解，若②0＜t1＜1，﹣1＜t2≤0，则满足，得，得0≤m＜1，综上实数m的取值范围是[0，1），故答案为：[0，1）三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且＝．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c＝5，且△ABC的面积为，求a的值．【解答】（本题满分为10分）解：（Ⅰ）∵＝，∴由正弦定理得，，∵sin C≠0，∴sin A﹣cos A＝2，即sin（A﹣）＝1．∵0＜A＜π，∴﹣＜A﹣＜，∴A﹣＝，∴A＝．（Ⅱ）由：S△ABC＝＝bc sin A＝bc，∴bc＝4，∵b+c＝5，∴由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣bc＝21，∴a＝．18．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求S n；（2）设，数列的前n项和T n，证明T n＜1．解：（1）由．可得a n+12+2a n+1＝4S n+1，两式作差得a n+12﹣a n2＝2a n+1+2a n，即（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）＝0，又数列{a n}各项均为正数，∴a n+1﹣a n﹣2＝0，即a n+1﹣a n＝2，当n＝1时，有，得a1（a1﹣2）＝0，则a1＝2，故数列{a n}为首项为2，公差为2的等差数列，∴；（2）证明：＝（+），，∴＜1．19．某品牌新款夏装即将上市，为了对夏装进行合理定价，在该地区的三家连锁店各进行了两天试销售，得到如下数据：连锁店A店B店C店售价x（元）80 86 82 88 84 90 销售量y（件）88 78 85 75 82 66 （1）以三家连锁店分别的平均售价和平均销量为散点，求出售价与销量的回归直线方程；（2）在大量投入市场后，销售量与单价仍然服从（1）中的关系，且该夏装成本价为40元/件，为使该款夏装在销售上获得最大利润，该款夏装的单价应定为多少元（保留整数）？．解：（1）三家连锁店的平均售价和销售量分别为A（83，83），B（85，80），C（87，74）．∴＝＝85，＝＝79．∴＝＝﹣2.25，＝79﹣（﹣2.25）×85＝270.25．∴售价与销量的回归直线方程为＝﹣2.25x+270.25．（2）设定价为x元，则利润为f（x）＝（x﹣40）（﹣2.25x+270.25）＝﹣2.25x2+360.25x ﹣10810．∴当x＝≈80时，f（x）取得最大值，即利润最大．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB ＝2AD＝2CD＝2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝，∴AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），＝（1，1，0），＝（0，0，a），＝（，﹣，），取＝（1，﹣1，0），则•＝•＝0，为面PAC的法向量．设＝（x，y，z）为面EAC的法向量，则•＝•＝0，即取x＝a，y＝﹣a，z＝﹣2，则＝（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|＝＝＝，则a＝2．于是＝（2，﹣2，﹣2），＝（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．21．已知椭圆的焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|＝3．（1）求椭圆的方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．解：（1）设椭圆方程为＝1（a＞b＞0），由焦点坐标可得c＝1由|PQ|＝3，可得＝3，又a2﹣b2＝1，解得a＝2，b＝，故椭圆方程为＝1（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆的径R，则△F1MN的周长＝4a＝8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R＝4R因此最大，R就最大，由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my+1，由得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，得，，则＝，令t＝，则t≥1，则，令f（t）＝3t+，则f′（t）＝3﹣，当t≥1时，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）＝4，S△≤3，F1MN即当t＝1，m＝0时，S△F1MN≤3，S△F1MN＝4R，∴R max＝，这时所求内切圆面积的最大值为π．故直线l：x＝1，△F1MN内切圆面积的最大值为π22．已知函数．（1）若f（x）有两个极值点，求实数m的取值范围：（2）若函数g（x）＝xlnx﹣mx2﹣elnx+emx有且只有三个不同的零点，分别记为x1，x2，x3，设x1＜x2＜x3，且的最大值是e2，求x1x3的最大值．解：（1）由题意得f′（x）＝lnx﹣mx，x＞0．由题知f′（x）＝0有两个不等的实数根，即m＝有两个不等的实数根．令h（x）＝，则h′（x）＝，由h′（x）＞0，解得：0＜x＜e，故h（x）在（0，e）上单调递增；由h′（x）＜0，解得x＞e，故h（x）在（e，+∞）上单调递减；故h（x）在x＝e处取得极大值，且h（e）＞0，故0＜m＜．∴当函数f（x）有两个极值点时，实数m的取值范围是（0，）．（2）因为g（x）＝xlnx﹣mx2﹣elnx+mex＝（x﹣e）（lnx﹣mx），显然x＝e是其零点．由（1）知lnx﹣mx＝0的两个根分别在（0，e），（e，+∞）上，∴g（x）的三个不同的零点分别是x1，e，x3，且0＜x1＜e，x3＞e．令t＝，则t∈（1，e2]，则由，解得，故ln（x1x3）＝lnx1+lnx3＝，t∈（1，e2]．令φ（t）＝，则φ′（t）＝，令m（t）＝t﹣2lnt﹣，则m′（t）＝＞0，所以m（t）在区间（1，e2]上单调递增，即m（t）＞m（1）＝0．所以φ′（t）＞0，即φ（t）在区间（1，e2]上单调递增，即φ（t）≤φ（e2）＝，所以ln（x1x2）≤，即x1x3≤，所以x1x3的最大值为≤．。
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2017-2018学年广西南宁二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1 D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥12．（5分）c≠0是方程ax2+y2=c表示椭圆或双曲线的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件3．（5分）若椭圆的两焦点为（﹣2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（）A．B．C．D．4．（5分）一袋中装有a只黑球和b只白球（a、b∈N*），它们的大小相同，编号不同，现在把球随机地一只一只摸出来，若第k次和第k+1次（1≤k+1≤a+b），则（）摸出的球是黑球的概率分别是p k和p k+1A．p k＞p k+1B．p k=p k+1C．p k＜p k+1D．p k和p k+1的大小与球数有关5．（5分）已知实数x，y满足条件，则点P（x，y）的运动轨迹是（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆6．（5分）命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是（）A．∃x0∉∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∈QC．∀x∉∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁R Q，x3∉Q7．（5分）阅读如图所示的程序框图，则该算法最后输出的结果为（）A．15 B．31 C．63 D．1278．（5分）焦点为（0，6），且与双曲线=1有相同的渐近线的双曲线方程是（）A．B．C．D．9．（5分）如图是NBA篮球联赛中，杜兰特和詹姆斯两名球员连续9个场次得分的茎叶图，其中甲是杜兰特，乙是詹姆斯，设甲、乙两人得分平均数分别为，中位数分别为m甲，m乙，则下列哪个正确（）A．甲乙，m甲＜m乙B．甲＜乙，m甲＞m乙C．甲＞乙，m甲＞m乙D．甲＞乙，m甲＜m乙10．（5分）若点A的坐标为（3，2），F为抛物线y2=2x的焦点，点P是抛物线上的一动点，则|PA|+|PF|取得最小值时点P的坐标是（）A．（0，0） B．（1，1） C．（2，2） D．11．（5分）已知点A在坐标原点，点B在直线y=1上，点C（3，4），若，则△ABC的面积大于5的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，2） C．[2，+∞）D．（2，+∞）二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n=．14．（3分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为．15．（3分）过抛物线y2=4x的焦点作直线与此抛物线交于P，Q两点，那么线段PQ中点的轨迹方程是．16．（3分）设命题P：函数y=ax2﹣2x+1在[1，+∞）内单调递减，命题Q：曲线y=x2﹣2ax+4a+5与x轴没有交点．如果命题P与命题Q有且只有一个正确，求a 的取值范围．三、解答题（共6小题，满分0分）17．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点在底面上的投影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD=1，（1）证明：BD⊥面SAC（2）求直线BC与平面PAC的夹角的大小．18．某高中社团进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如图1所示统计表和如图2所示各年龄段人数频率分布直方图：请完成以下问题：（1）补全频率直方图，并求n，a，p的值（2）从[40，45）岁和[45，50）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取6人参加网络时尚达人大赛，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中年龄在[40，45）岁的概率．19．如图，F1、F2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）已知△AF 1B 的面积为40，求a ，b 的值．20．某地区2010年至2016年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如表：（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．21．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C ． （Ⅰ）证明：AC=AB 1；（Ⅱ）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60°，AB=BC ，求二面角A ﹣A 1B 1﹣C 1的余弦值．22．已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点K （﹣1，0）的直线l 与C 相交于A 、B两点，点A关于x轴的对称点为D．（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设，求△BDK的内切圆M的方程．2017-2018学年广西南宁二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1 D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1【解答】解：原命题的条件是““若x2＜1”，结论为“﹣1＜x＜1”，则其逆否命题是：若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1．故选：D．2．（5分）c≠0是方程ax2+y2=c表示椭圆或双曲线的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件【解答】解：方程ax2+y2=c表示双曲线，则c≠0，反之若a=1，c=1，则不能表示椭圆或双曲线．故c≠0是方程ax2+y2=c表示椭圆或双曲线的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）若椭圆的两焦点为（﹣2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，c=2，焦点在x 轴上，∴a2=b2+4，故可设椭圆的方程为+=1，把点代入椭圆的方程可求得b2=6，故椭圆的方程为+=1，故选：D．4．（5分）一袋中装有a只黑球和b只白球（a、b∈N*），它们的大小相同，编号不同，现在把球随机地一只一只摸出来，若第k次和第k+1次（1≤k+1≤a+b），则（）摸出的球是黑球的概率分别是p k和p k+1A．p k＞p k+1B．p k=p k+1C．p k＜p k+1D．p k和p k+1的大小与球数有关【解答】解：一袋中装有a只黑球和b只白球（a、b∈N*），它们的大小相同，编号不同，现在把球随机地一只一只摸出来，，若第k次和第k+1次（1≤k+1≤a+b）摸出的球是黑球的概率分别是p k和p k+1则p k=p k+1=，故选：B．5．（5分）已知实数x，y满足条件，则点P（x，y）的运动轨迹是（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆【解答】解：实数x，y满足条件，表达式的含义是点P（x，y）到定点（1，3）与到直线x+y+1=0的距离相等的点的轨迹，由于（1，3）不在直线x+y+1=0上，所以P满足抛物线的定义，轨迹是抛物线．故选：A．6．（5分）命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是（）A．∃x0∉∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∈QC．∀x∉∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁R Q，x3∉Q【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是：∀x∈∁R Q，x3∉Q．故选：D．7．（5分）阅读如图所示的程序框图，则该算法最后输出的结果为（）A．15 B．31 C．63 D．127【解答】解：模拟执行程序框图，可得A=0，i=1A=1，i=2不满足条件i＞6，A=3，i=3不满足条件i＞6，A=7，i=4不满足条件i＞6，A=15，i=5不满足条件i＞6，A=31，i=6不满足条件i＞6，A=63，i=7满足条件i＞6，退出循环，输出A的值为63．故选：C．8．（5分）焦点为（0，6），且与双曲线=1有相同的渐近线的双曲线方程是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，可设所求的双曲线方程是，∵焦点（0，6）在y 轴上，∴k＜0，所求的双曲线方程是，由﹣k+（﹣2k）=c2=36，∴k=﹣12，故所求的双曲线方程是，故选：B．9．（5分）如图是NBA篮球联赛中，杜兰特和詹姆斯两名球员连续9个场次得分的茎叶图，其中甲是杜兰特，乙是詹姆斯，设甲、乙两人得分平均数分别为，中位数分别为m甲，m乙，则下列哪个正确（）A．甲乙，m甲＜m乙B．甲＜乙，m甲＞m乙C．甲＞乙，m甲＞m乙D．甲＞乙，m甲＜m乙【解答】解：由茎叶图中的数据知，=×（13+15+28+26+23+39+37+34+41）=，=×（24+25+32+36+33+37+38+45+47）=；所以＜，m甲=28，m乙=36；所以m甲＜m乙．故选：A．10．（5分）若点A的坐标为（3，2），F为抛物线y2=2x的焦点，点P是抛物线上的一动点，则|PA|+|PF|取得最小值时点P的坐标是（）A．（0，0） B．（1，1） C．（2，2） D．【解答】解：根据题意，作图如下，设点P在其准线x=﹣上的射影为M，有抛物线的定义得：|PF|=|PM|，∴欲使|PA|+|PF|取得最小值，就是使|PA|+|PM|最小，∵|PA|+|PM|≥|AM|（当且仅当M，P，A三点共线时取“=”），∴|PA|+|PF|取得最小值时（M，P，A三点共线时）点P的纵坐标y0=2，设其横坐标为x0，∵P（x0，2）为抛物线y2=2x上的点，∴x0=2，∴点P的坐标为P（2，2）．故选：C．11．（5分）已知点A在坐标原点，点B在直线y=1上，点C（3，4），若，则△ABC的面积大于5的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，设B（x，1），∵，∴，化为x2≤9，解得﹣3≤x≤3．=，∴h＞2．设点B到直线AC的距离为h，∵|AC|=5，S△ABC又直线AC的方程为，即4x﹣3y=0，∴．解，﹣3≤x≤3得，其长度=．∴△ABC的面积大于5的概率P==．故选：C．12．（5分）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，2） C．[2，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴≥，离心率e2=，∴e≥2，故选C二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n=192．【解答】解：∵某校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．∴学校共有200+1200+1000人由题意知=，∴n=192．故答案为：19214．（3分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为．【解答】解：从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，基本事件总数n==10，这2个点的距离不小于该正方形边长包含的基本事件个数m==6，∴这2个点的距离不小于该正方形边长的概率p=．故答案为：．15．（3分）过抛物线y2=4x的焦点作直线与此抛物线交于P，Q两点，那么线段PQ中点的轨迹方程是y2=2x﹣2．【解答】解：由抛物线y2=4x的p=2得抛物线焦点为（1，0）当k存在时，设PQ的方程为y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，由韦达定理：x1+x2=∴中点横坐标：x==中点纵坐标：y=k（x﹣1）=．即中点为（，）消参数k，得：y2=2x﹣2，当k不存在是，中点坐标为（1，0）也在曲线上，故答案为：y2=2x﹣2．16．（3分）设命题P：函数y=ax2﹣2x+1在[1，+∞）内单调递减，命题Q：曲线y=x2﹣2ax+4a+5与x轴没有交点．如果命题P与命题Q有且只有一个正确，求a 的取值范围a≤﹣1或0＜a＜5．【解答】解：∵函数y=ax2﹣2x+1在[1，+∞）内单调递减，a=0时，命题成立，a≠0时，满足：，解得a＜0，∴命题P为真时，a≤0；命题Q：曲线y=x2﹣2ax+4a+5与x轴没有交点．得△=（﹣2a）2﹣4（4a+5）＜0⇒﹣1＜a＜5；当P真Q假时：⇒a≤﹣1；当P假Q真时：⇒0＜a＜5，故命题P，Q有且只有一个正确，a的取值范围是：a≤﹣1或0＜a＜5．故答案为：a≤﹣1或0＜a＜5．三、解答题（共6小题，满分0分）17．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点在底面上的投影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD=1，（1）证明：BD⊥面SAC（2）求直线BC与平面PAC的夹角的大小．【解答】证明：（1）∵在正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点在底面上的投影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD=1，∴BD⊥AC，BD⊥SO，∵AC∩SO=O，∴BD⊥面SAC．解：（2）如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．设OD=SO=OA=OB=OC=1，则A（1，0，0），B（0，1，0），C（﹣1，0，0），则=（2，0，0），=，=（1，1，0）．设平面PAC的法向量为n，可求得n=（0，1，1），则cos＜，n＞==．∴＜，n＞=60°，∴直线BC与平面PAC的夹角为90°﹣60°=30°．18．某高中社团进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如图1所示统计表和如图2所示各年龄段人数频率分布直方图：请完成以下问题：（1）补全频率直方图，并求n，a，p的值（2）从[40，45）岁和[45，50）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取6人参加网络时尚达人大赛，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中年龄在[40，45）岁的概率．【解答】解（1）第二组的频率为1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以高为=0.06．频率直方图如下：第一组的人数为=200，频率为0.04×5=0.2，所以n==1000，所以第二组的人数为1000×0.3=300，p==0.65，四组的频率为0.03×5=0.15，第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．（2）因为[40，45）岁与[45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40，45）岁中有4人，[45，50）岁中有2人．设a1、a2、a3、a4为[40，45）岁中抽得的4人，b1、b2为[45，50）岁中抽得的2人，全部可能的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2），共15个，所以所求概率为=．19．如图，F1、F2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF 2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）已知△AF1B的面积为40，求a，b 的值．【解答】解：（Ⅰ）∠F1AF2=60°⇔a=2c⇔e==．（Ⅱ）设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m，在三角形BF1F2中，|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2﹣2|BF2||F1F2|cos120°⇔（2a﹣m）2=m2+a2+am．⇔m=．△AF1B面积S=|BA||F1A|sin60°⇔=40⇔a=10，∴c=5，b=5．20．某地区2010年至2016年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如表：（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【解答】解：样本平均数=4，=4.3， ∴（t i ﹣）（y i ﹣）=14，（t i ﹣）2=28， ∴==0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3；∴y 关于t 的线性回归方程为y=0.5t +2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2018年的年份代号t=9代入y=0.5t+2.3，得：y=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2018年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．21．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB 1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为22．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设，求△BDK的内切圆M的方程．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：y2=4x①的焦点为F（1，0），设过点K（﹣1，0）的直线L：x=my﹣1，代入①，整理得y2﹣4my+4=0，设L与C 的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=4，点A关于X轴的对称点D为（x1，﹣y1）．BD的斜率k1===，BF的斜率k2=．要使点F在直线BD上需k1=k2需4（x2﹣1）=y2（y2﹣y1），需4x2=y22，上式成立，∴k1=k2，∴点F在直线BD上．（Ⅱ）=（x1﹣1，y1）（x2﹣1，y2）=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（my1﹣2）（my2﹣2）+y1y2=4（m2+1）﹣8m2+4=8﹣4m2=，∴m2=，m=±．y2﹣y1==4=，∴k1=，BD：y=（x﹣1）．易知圆心M在x轴上，设为（a，0），M到x=y﹣1和到BD的距离相等，即|a+1|×=|（（a﹣1）|×，∴4|a+1|=5|a﹣1|，﹣1＜a＜1，解得a=．∴半径r=，∴△BDK的内切圆M的方程为（x﹣）2+y2=．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。