八年级下册数学第一章证明二章节复习

八年级下册数学第一章《证明二》章节复习
专题一、全等三角形 知识整理
1、 全等三角形的判定
公理①：三边 的两个三角形全等；公理②：两边及其夹角 的两个三角形全等；公理③： 的两个三角形全等；推论： 的两个三角形全等。

2、全等三角形的性质公理：全等三角形的对应边 、对应角 。

典例分析 例1、（2010年吉林）如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=ＢＣ，CE ⊥BE ，CE 与AB 相交于点F ，AD ⊥CF ，垂足为D ，且AD 平分∠FAC ，请写出图中的两对全等三角形，并选择其中一对加以证明。

例2、已知：如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE ， 求证：∠BAE=∠CAE.(两种方法)
专题二、等腰三角形 知识整理
1、等腰三角形的性质：（1）定理：等腰三角形的两个底角 ，简称“ ”； （2）推论：等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合，简称“ ”；
2、等腰三角形的判定： 的三角形是等腰三角形，简称“ ”；
3、等边三角形的性质：等边三角形的三个内角 ，且每个内角都等于 。

4、等边三角形的判定：（1）有一个角为60°的 是等边三角形； （2）三个角都 的三角形是等边三角形。

典例分析
例1、已知：如图，AB=AC,D 是AB 上一点，DE ⊥BC 于点E ，ED 的延长线交CA 的延长线于点F.求证：△ADF △错误！未找到引用源。

是等腰三角形．
例2、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC
于
E
，AD 与BE 相交于F ，若BF=AC ，求∠ABC 的度数
图2　图1
B
C
D
O O D
C
B
例3、 如下图，在△ABC 中，∠B =90°，M 是AC 上任意一点（M 与A 不重合）MD ⊥BC ，交∠BAC 的平分线于点D ，求证：MD =MA .
例4、如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连接BE 、EC ．试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．
例5、如右图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：AE =CD .
例6、如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边作等边△ABD ，连接DC ，以DC 为边作等边△DCE ，B 、E 在C 、D 的同侧，若AB=2，求BE 的长.
例7、如图1、图2，△AOB ，△COD 均是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90º，
（1）在图1中，AC 与BD 相等吗？请说明理由（4分）
（2）若△COD 绕点O 顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC 与BD 还相等吗？为什么？（8分）
例8、如图，在△ABC 中，AB=AC 、D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，且CE=BD ，连结DE 交BC 于F 。

（1）猜想DF 与EF 的大小关系；（2）请证明你的猜想。

例9、已知：如图，在等边三角形ABC 的AC 边上取中点D ，BC 的延长线上取一点E ，使 CE ＝ CD ．求证：BD ＝ DE ．
例10、（2010年宁波）如图2，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD ，CE 分别是△ABC ，△BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
图 2
C
图 3
例11、如图3所示，已知△ABC 和△DCE 均是等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上，AE 与BD 交于点O,AE 与BD 交于点F ，连接OC ，FG ，则下列结论：①AE=BF;②AG=BF ；③FG ∥BE ，④∠BOC=∠EOC 其中正确结论的个数为（ ）
A 、0个；
B 、1个；
C 、2个；
D 、3个 例12、等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是（ ） A 、4 B 、10 C 、4或10 D 、以上答案都不对 专题三、线段的垂直平分线和角平分线 知识整理
1、线段垂直平分线定理及其逆定理：线段垂直平分线上的点到 的距
离相等；到 的点在这条线段的垂直平分线上。

2、角平分线的性质定理及其逆定理：角平分线上的点到 距离相等；在
角的内部，到 距离相等的点在这个角的平分线上。

3、三角形的三边垂直平分线、角平分线的性质定理：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，并且这点到三角形的 的距离相等；三角形的三个角的平分线相交于一点，这点到三角形的 的距离相等； 典例分析：
例1：在△ABC 中，AB 的中垂线DE 交AC 于F ，垂足为D ，若AC=6，BC=4，求△BCF 的周长。

例2：如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200
，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，
DE AB FG AC ⊥⊥，，E 、G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长度。

A
例3:：如图所示，Rt △ABC 中，，D 是AB 上一点，BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F 。

求证：BE 垂直平分CD 。

C
E
A D
B
F
例4、如图3所示，在△ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线， 求BD 的长。

图 3
例5、如图19，在∆ABC 中，0
90C ∠=，AC=BC ，AD 平分CAB ∠交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，若AB=6cm. 你能否求出BDE ∆的周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.
例6、（8分）如图21，在ABC ∆中，0
90A ∠=，AB=AC ，ABC ∠的平分线BD 交AC 于D ，CE ⊥BD 的延长线于点 E.求证：1
2
CE BD =.
例7、（8分）如图23，0
90AOB ∠=，OM 平分AOB ∠，将直角三角板的顶点P 在射线OM 上移动，两直角边分别与OA 、OB 相交于点C 、D ，问PC 与PD 相等吗？试说明理由.
图
图23
例8、如图所示，AB>AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，作DE AB ⊥于E ，
DF AC F ⊥于，求证：BE=CF 。

A
E
B M
C F
例
9、如图，△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，AD 线EF 交BC 的延长线于点F ，连接AF 。

求证：∠B=∠CAF
专题四、直角三角形 知识整理
1、 直角三角形的性质和判定 直角三角形的性质：
（1）勾股定理： ；即： ； （2）直角三角形中，30°角所对的直角边等于 。

（3）直角三角形斜边上的中线等于 。

直角三角形的判定定理：
（1）逆定理：若一个三角形中， ，则这个三角形是直角三角形。

（2）如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 。

2、直角三角形的全等： 和 对应相等的两个直角三角形全等，简称“HL ”定理。

典例分析： 例1、（2010年菏泽市）如图1所示，在Rr △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线，CD=5cm ，求AB 的长。

图 1
例2 ：如图2-5所示．在等边三角形ABC 中，AE=CD ，AD ，BE 交于P 点，BQ ⊥AD 于Q ．求证：BP=2PQ ．
例3、已知：如上图，在等边三角形ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 上的点，且AE ＝CD ，连结AD 、BE 交于点P ，作BQ ⊥AD ，垂足为Q ．求证：BP ＝2PQ .
例4：如图，ABC ∆中，35
90,12,,22
C C
D BD ∠=︒∠=∠=
=，求AC 的长。

例5 ：如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。

例6：如图，一架2.5米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
例7、（13分）如图12，ABCD 是一张长方形的纸片，折叠它的一边AD ，使点D 落在BC
边上的F 点处，已知
AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，那么EC 等于多少？你能证明你的结论吗？
例8、（2010年三明市）如图△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D 为AB 边上一点。

（1）求证：△ACE ≌△BCD ；（2）若AD=5，BD=12,求DE 的长。

图 2
E
B
例9、（2010年绥化市）在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC 为一边，在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为 ，（提示：分三种情况）。