第二章例题

而向量序列 x
k → +∞
U使得 U H AU = diag(λ1, λ2 ,L, λn ) (λi > 0，i = 1,2,L, n) 于是 A = U diag(λ1, λ2 ,L, λn )U H = U diag( λ1 , λ2 ,L, λn ) ⋅ diag( λ1 , λ2 ,L, λn )U H = PHP
1
1
x + y 1 = ∑ xi + yi ≤ ∑ ( xi + yi )
n
n
+ (∑ yi ) (∑ xi + yi
i =1
i =1 n
( p −1) q
1
= ∑ xi + ∑ yi = x 1 + y 1
i =1 i =1
i =1 n
n
i =1
=( x
=( x
+ y p )(∑ xi + yi ) q p
例6 设A是n阶Hermite正定矩阵，规定
x
A
=
x H Ax
(∀x ∈ Cn )
称之为椭球范数。 则 x A 是 Cn上的向量范数， 所以存在酉矩阵 证 由于A是Hermite正定矩阵，
1 1 例 向量序列 x ( k ) = ( −2 + , (1 + ) k , 2)T， k k T 当 k → +∞ 时， 收敛于向量 x = (−2, e, 2) ；
则当 p > 1 时，
例2 对 x = ( x1, x2 ,L, xn )T ∈ Cn，规定
x 1 = ∑ xi
i =1 n
x+ y
p p
= ∑ xi + yi = ∑ xi + yi xi + yi
p
n
n
p −1
则它是一种向量范数，称为向量1-范数。 证 (1) 0 1 = 0；当 x ≠ 0 时， x 1 > 0； (2) (3)
i =1 i =1 n n
所以向量的1-范数与2-范数等价；又有
x ∞ = max xi ≤
i
∑ xi
i =1
n
2
= x 2 ≤ n max xi = n x ∞
i
= x1 + 2 x2 + L + n xn
这是一种新的向量范数。
于是向量的2-范数与∞-范数等价。 结合诸不等式得 x1 ≤n x ∞≤ n x 2 ≤n n x ≤n n x ∞ 1 1 x1≤ x 2 ≤ n x1 即有 n 于是向量的2-范数与1-范数等价。
∞
故矩阵1-范数与向量的∞-范数不相容。
例 求与矩阵 m∞ -范数相容的向量范数。 1 1 1 T 对于任意 解 取 a = ( , , L, ) ， n n n x = ( x1, x2 ,L, xn )T ∈ Cn 有
x1 L n x v = xa T = M m∞ xn L n = max xi = x ∞
kx 1 = ∑ kxi = k ∑ xi = k x 1；
i =1 n n i =1
≤ ∑ xi xi + yi
i =1 n p
1
i =1 n
i =1
p −1 n
+ ∑ yi xi + yi
i =1 ( p −1) q
n
p −1
≤ (∑ xi ) p (∑ xi + yi
i =1 n p
1 p
)q )q
例 证明向量的1-、2-、∞-范数等价。 证 因为 n x ∞ = max xi ≤ ∑ xi = x 1 ≤ n max xi = n x ∞
i i =1
i
又取n阶可逆 例如，取 • a为 Cn上的向量1-范数， 则 矩阵 A = diag(1, 2, L, n)，
x b = Ax 1 = ∑ ixi = ∑ i xi
n
Ax 2 =
2
∑ ∑ aik xk
i =1 k =1
n n i =1 k =1 n n i =1 k =1
n
n
2
≤
n
∑ (∑ aik xk )2
i =1 k =1
n
n
∑ ∑[(∑ aik )(∑ bkj
k =1
n
)]
≤ =
∑[(∑ aik 2 )(∑ xk 2 )] ∑∑ aik 2 ∑ xk 2
证
AB F =
≤ ≤ =
∑ ∑ ∑ aik bkj
i =1
n
n
n
n
2
j =1 k =1
n
例 矩阵F-范数与向量2-范数相容。 T 证 设 A = (aij )n×n，x = ( x1, x2 ,L, xn ) ， 则
2
∑ ∑ (∑ aik bkj )
i =1 n j =1 k =1 n n 2 i =1 n j =1 k =1 2
n
≤ n ⋅ max aik ⋅ n ⋅ max bkj
i ,k
∞
k, j
= Am Bm
∞
AB m = ∑
1
n
≤∑
i =1 n
∑ ∑ aik bkj ≤ ∑ ∑ (∑ aik bkj )
n
n
n
n
n
= (∑∑ aik )(∑∑ b jk ) = A m B m
i =1 k =1
( aik bkj k =1 i =1 j =1 k =1 n n n n
p i =1
i =1 n
+ y p) x + y p
p q
p
整理得 即
x+ y
p− p
p q
≤ x
p
p
+ y
p
p
x+ y
p
≤ x
+ y
其中 P = diag( λ1 , λ2 ,L, λn )U H 是可逆矩阵。 从而
x
A
例5 设A是n阶可逆矩阵， • a是 Cn上的向量范数 (不一定是 p-范数)。 规定 x b = Ax a ∀x ∈ Cn 证明 • b是 Cn上的向量范数。 证 (1) 若 x = 0， 则 0 b = A0 a = 0 a = 0； 若 x ≠ 0， 若 Ax = 0， 则 Ax ≠ 0 (否则， 两边左乘A-1得 −1 −1 即 x = 0， 矛盾) 于是 A Ax = A 0， x b = Ax a > 0
第二章
范数理论
§1 向量的范数
T n 例1 对 x = ( x1, x2 ,L, xn ) ∈ C ，规定
例3 对 x = ( x1, x2 ,L, xn )T ∈ Cn，规定 x ∞ = max xi 则它是一种向量范数，称为向量∞-范数。 证 (1) 0 ∞ = 0； 当 x ≠ 0 时， 必有分量不为0， 于是 x ∞ > 0； (2) (3)
= 24 + 2 A F = 1 + 4 + 2 + 9 + 25 + 1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 16 = 70 A m = 4 × 5 = 20， A 1 = max{6, 8, 5, 5 + 2} = 8 ，
1
−1 3 A= 1 −i
0 2 1+ i 5 −1 0 2 0 −1 1 2 −4
i =1 k =1 i ,k n n n n i =1 k =1
例 已知矩阵
≤ max aik ⋅ ∑∑ xk = n ⋅ max aik ⋅ ∑ xk
i =1 k =1
i ,k k =1
n
n
n
求 m1 −， F-，m∞ −， 1-， ∞-范数。 解 A m = 1+ 2 + 2 + 3 + 5 +1+1+ 2 +1+1+1+ 2 + 4
=
x H Ax =
x H P H Px = ( Px ) H ( Px ) = Px 2
由例5知， x A 是 Cn上的向量范数。
(2) (3)
kx b = A( kx ) a = k Ax a = k x b；
x + y b = A( x + y ) a ≤ Ax a + Ay a = x b + y b。
i i
2 (∑ xi yi ) 2 ≤ ∑ xi ⋅∑ yi = x 2 y2 2
2 2
n
n
n
T n 例4 对 x = ( x1, x2 ,L, xn ) ∈ C ，规定
或 则有
∑ xi yi ≤ ∑ xi ⋅∑ yi
2 i =1 i =1 i =1
i =1 n
i =1 n
i =1 n
x
p
= (∑ xi ) p
p i =1
n
1
(1 ≤ p < +∞)
2
= x2 y2
则它是一种向量范数，称为向量 p-范数。 注 证明第三条公理时要用到Hölder不等式
1 1
x + y = ∑ xi + yi
2 2 i =1 n 2
n
2
≤ ∑ ( xi + yi )
i =1 n n
n
2
= ∑ xi + 2∑ xi yi + ∑ yi
kx ∞ = max kxi = k max xi = k x ∞
x + y ∞ = max xi + yi ≤ max ( xi + yi )