第2章 典型例题与综合练习

经济数学基础 第2章 导数与微分 ——74—— 第一章 典型例题与综合练习 第一节 典型例题 一、极限计算

例1求极限limnnnnn221254

解：原式limnnnnn221254limnnnnn1112542212 例2求极限limxxxx122132 解：limx1xxxxxxxxxxx221113211121211122lim()()()()lim 例3求极限 limsinxxx0112 解：limx0112xxsin=)11(2sin)11)(11(lim0xxxxx =limx0xxsin2×limx0111x=)21(21=41 例4求极限lim()xxx1121 解：lim()xxx1121lim()xxx112lim()xx112lim()()xxx112212lim()xx112 经济数学基础 第2章 导数与微分 ——75—— lim()xxx1122

1

2lim()xx11

21e21

e

1

二、函数的连续性

例1讨论函数02100e)(xxxaxxfx在x=0处的连续性，并求函数的连续区间. 解：因为afxxxx)0(,1)21(lim,1elim00，所以1)(lim0xfx 当1a时，)(lim)0(0xffx，即极限值不等于函数值，所以x=0是函数的一个间断点，且当1a时，函数的连续区间是),0()0,(.

当1a时，)(lim)0(0xffx，即极限值等于函数值，所以x=0是函数的一个连续点，且当1a时，函数的连续区间是),(. 三、函数的可导性

例1设函数fxaxbxxx()002 若函数fx()在点x0处连续且可导，应如何选取系数ab,?

解：因为0)0(,)(lim,0lim020fbbaxxxx 所以当b0时函数fx()在点x0处连续.

又因为0)(lim)0()0(limlim)0(2000xxxfxfxyfxxx fyxaxxaxx()limlim000





所以当a0，b0时函数fx()在点x0处可导. 经济数学基础 第2章 导数与微分 ——76—— 例2求曲线1exy在x0处的切线方程． 解：xye，1e)e(000xxxxxy，且当x0时，1e)0(0y，即切点为（1，1）．所求切线方程为：yx110()或yx1 四、导数（微分）的计算 例1求下列函数的导数或微分

(1)设yxxxx2425532,求y；(2) 设21exyx,求yd. 解(1)先用加法法则，再用基本公式

y()2425532xxxx()()()()()2425532xxxx

2541130554223xxxx()ln10413554223xxxxln (2)因为

22222)1()1(e)1()e()1e(xxxxyxxx222)1(e2)1(exxxxx222)1(e)1(xxx



所以，xxxyxd)1(e)1(d222 例2求下列函数的导数或微分：(1)设yx123ln,求y； (2)设xy1sine,求y；(3)xxyxy)1ln(e,求yd. 解(1)设xvvuuyln,1,231，由复合函数求导法则求导数， yxx131121312(ln)(ln)13112232(ln)[(ln)]xx 经济数学基础 第2章 导数与微分 ——77—— 13102223(ln)[ln(ln)]xxx13121223(ln)lnxxx231223xxxln(ln)

(2)设xvvuyu1,sin,e，由复合函数求导法则求导数 )1(1cose)1(sine1sin1sinxxxyxx)1(1cose21sinxxxxxx1sin2e1cos1 (3)方法一：由导数求得微分：)(])1ln([)e(xxyxy即：11)1ln()(exyxyyxyxy

移项得：xyyyxxxyxy1e1)]1ln(e[ 解出y：)1ln()1(e)1(e)1(1xxxxyxyxyxyxy 于是yd=)1ln()1(e)1(e)1(1xxxxyxyxxyxyxd 方法二：方程两边对变量求微分，这时变量y和x的地位都是相同的.

xxyxyd)]1ln([d)e(d；

xxxyyxyxxyxyd1dd)1ln()dd(e

xxyyyxxyxyd)1e1(d)]1ln(e[；于是yd=)1ln()1(e)1(e)1(1xxxxyxyxxyxyxd

五、高阶导数

例1求函数yxln()12的二阶导数.

解：因为yxx212()所以，y()()()()21214122122222222xxxxxxx 经济数学基础 第2章 导数与微分 ——78—— 第二节 典型例题 一、填空题

1.limsinxxxx . 2.设fxxxkx()2100，在x0处连续，则k . 3.函数fxxxx()64122的连续区间为 ，间断点是 .

4.若lim()()xxfxxfx0002，则fx()0 . 5.曲线yx在（1，1）处的切线方程是 . 6.已知fx()是可导函数，则)]e([dxf= . 7.设fxx()3，则fx()在xx0处的弹性为 .

8.设yxxsin，则y()2= . 1．1；2．1；3．(,)(,)(,),22662x和x6；4．12； 5．yx1212； 6．xfxxd)e(e；7．3；8．2 二、单选题 经济数学基础 第2章 导数与微分

——79—— 1.函数yxxx122的连续区间是（ ） (A)(,)(,)11；(B)(,)(,)22 (C)(,)(,)(,)2211；(D)(,)(,)11或(,)(,)22 2.下列极限计算正确的是( )

(A)limxxx01；(B)limxxx01；(C) 120e)211(limxxx；(D)e)211(lim2xxx 3.当x0时，fxxx()112，又fx()在x0处连续，则f()0( ) (A)－1；(B)2；(C)1；(D)－2.

4.设fxx()2，则lim()()xfxfx222( ) (A)2x；(B)2；(C)1；(D)4

5.若fxx()1，则fx()（ ）. (A)12x；(B)－12x；(C)1x；(D)－1x 1.C；2．B；3．A；4．D；5．B 三、多选题 1.当x时，下列变量中（ ）为无穷小量.

(A)ln()1x；(B)sinxx；(C) xx21 2. 下列极限值正确的是（ ）. 经济数学基础 第2章 导数与微分 ——80—— (A)limsinxxx1；(B)limsinxxx01；(C)limsinxxx10；(D) limsinxxx010 3.函数fx()在xx0处可导，则（ ）. (A)函数fx()在x0处有定义；(B)lim(),()xxfxAAfx00但 (C)函数fx()在x0处连续；(D)函数fx()在x0处可微 4.下列导数计算正确的是（ ）.

(A)(ln)lnxxxxx22；(B)(ex)xx2 e (C)()ln212212xxxx；(D)(cos)sin1142122xx 5.下列函数在x0处不连续的是（ ）．

(A)0001cos)(xxxxxf；(B)fxxxxx()00 (C)fxxxxx()21020；(D)0001e)(xxxfx 1.BD ； 2．BD ； 3．ACD ； 4．ACD ； 5．BC 四、配伍题 1.下列数列收敛于

(A)1，0，12，0，13，0，14，；①1；(B)1，23，34，45，56，；②0 (C)0，41，31，83，52，…，nn21；③12