河南省中原名校联盟2017-2018学年高三上学期第二次联合考试数学(理) Word版含答案

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2017届河南省中原名校高三上学期中考试理科数学试卷及答案

2017学年第一学期期中考试试题高三数学(理科)试卷满分：150分考试时间：120分钟第I 卷 (选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置. 1．在复平面内，复数201523Z i i=+-对应的点位于（）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限2．已知集合1|lg x M x y x -⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，{}2|23N y y x x ==++，则()M N =Rð（）A ．{x|10＜x ＜1}B ．{x|x ＞1}C ．{x|x ≥2}D ．{x|1＜x ＜2} 3．已知sin2α＝－2425，α∈（－4π，0），则sin α＋cos α＝（）A ．－15B ．15C ．－75D ．754．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，f （x ）＝x xe --（e为自然对数的底数），则(ln 6)f 的值为（）A ．ln6＋6B ． ln6－6C ．－ln6＋6D ．－ln6－65．已知向量()82-+=，a b ，()816-=-，a b ，则a 与b 夹角的余弦值为（）A ．6365B ．6365-C ．6365±D．5136．执行右图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是 ( ) A．870B ．30 C．6 D ．3 7．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π 个单位后关于原点对称，则函数f(x)在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上的最小值为（）A ．．12-C ．12D 8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（） A ．2B ．92C ．32D ．3侧视俯视图x9. 已知数列{}na 为等差数列，{}nb 为等比数列，且满足：10031013a a π+=，692bb ⋅=，则1201578tan1a a b b +=+（）A.1B.1-C.D.10．如图，把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，顶点A （0，1），一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记弧AM=x ，直线AM 与x 轴交于点N （t ，0），则函数()t f x =的图像大致为（）11．已知函数()2014sin (01)(),log 1x x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若c b a 、、互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则c b a ++的取值范围是( )A ．（1，2017）B ．（1，2017）C ．（2，2017）D ．[2，2017]12. 已知定义的R 上的函数()f x 满足)1()1(x f x f -=+且在),1[+∞上是增函数，不等式)1()2(-≤+x f ax f 对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.[]3,1--B. []2,0-C. []5,1--D.[]2,1-第II 卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13．已知tan()2θπ-=，则22sin sin cos 2cos 3θθθθ+-+的值为14. 图中阴影部分的面积等于．15．设正实数x 、y 、z 满足22340xxy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为16. 设()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于x ∀∈R 恒有()()11f x f x +=-，已知当[]0,1x ∈时，()112xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭则（1）()f x 的周期是2；（2）()f x 在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；（3）()f x 的最大值是1，最小值是0；（4）当()3,4x ∈时，()312x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭其中正确的ss 的序号是 .三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设函数24()cos(2)2cos .3f x x x π=-+(1)求)(x f 的最大值，并写出使)(x f 取最大值时x 的集合；(2)已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若3(),22f B C b c +=+=，求a 的最小值.18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，n c ＝11n n b b +，记数列{}n c 的前n 项和n T .若对n N *∈，()4n T k n ≤+ 恒成立，求实数k 的取值范围．19．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，O 是AC 的中点，O A 1⊥平面ABC ，︒=∠90BCA ，BC AC AA ==1.（Ⅰ）求证：11AC B A ⊥；（Ⅱ）求二面角C BB A --1的余弦值. 20.（本小题满分12分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A ，上顶点为B.已知|AB|＝32|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；ABCO A1 B1C1(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．21. （本小题满分12分）已知函数)ln ()(2x x a x x f ++=，0>x ，R a ∈是常数．（1）求函数)(x f y =的图象在点()()1 , 1f 处的切线方程；（2）若函数)(x f y =图象上的点都在第一象限，试求常数a 的取值范围；（3）证明：R a ∈∀，存在) , 1(e ∈ξ，使'()(1)()1f e f f e ξ-=-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第22题计分．22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知圆上的AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点．（Ⅰ）求证：∠ACE ＝∠BCD ；（Ⅱ）若BE ＝9，CD ＝1，求BC 的长．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l ：cos sin x t y t αα⎧⎨⎩＝＋m ＝（t为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 5y x（为参数）的右焦点F ．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|FA|·|FB|的最大值与最小值．24. （本小题满分10分）已知函数()|21||23|.f x x x =++- （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式|1|)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围.高三理科数学参考答案 1-12 ACBAB BADDD CB13．195 14 .1 15. 1 16. (1),(2),(4).17.解：（1）)2cos 1()34sin 2sin 34cos 2(cos cos 2)342cos()(2x x x x x x f +++=+-=πππ1)32cos(12sin 232cos 21++=+-=πx x x (3)分)(x f 的最大值为2 (4)分要使)(x f 取最大值，)(232,1)32cos(Z k k x x ∈=+=+πππ故x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ………6分（2）由题意，231]3)(2cos[)(=+++=+πC B C B f ，即.21)322cos(=+-ππA化简得21)32cos(=-πA (8)分()0A π∈Q ，，)35,3(32πππ-∈-∴A ，只有332ππ=-A ，.3π=A ………9分在ABC ∆中，由余弦定理，bcc b bc c b a 3)(3cos22222-+=-+=π (10)分由2=+c b 知1)2(2=+≤c b bc ，即12≥a ， (11)分当1==c b 时，a 取最小值.1…………………………………12分18.解：（1）当1=n 时，21=a ，当2≥n 时，)22(2211---=-=--n n n n n a a S S a 即：21=-n na a ，∴数列{}n a 为以2为公比的等比数列 nn a 2=∴（2）由bn ＝log2an 得bn ＝log22n ＝n ，则cn ＝11n n b b +＝()11n n +＝1n －11n +，Tn ＝1－12＋12－13＋…＋1n －11n +＝1－11n +＝1nn +.∵1n n +≤k(n＋4)，∴k≥21454n n n n n n ＝(＋)(＋)＋＋＝145n n ＋＋.∵n＋4n＋5＝9，当且仅当n ＝4n ，即n ＝2时等号成立，∴145n n ＋＋≤19，因此k≥19，故实数k的取值范围为1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭19.（Ⅰ）因为⊥平面，所以.又，所以平面，所以.因为，所以四边形是菱形，所以.所以平面，所以. ……………………5分（Ⅱ）以为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.，，设是面的一个法向量，则，即，令，取.同理面的一个法向量为. ……………………10分因为.所以二面角的余弦值. …………………………12分20. 解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c ，0)．由|AB|＝32|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2. 又b2＝a2－c2，则c2a2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22. 4分(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2. 故椭圆方程为x22c2＋y2c2＝1.设P(x0，y0)．由F1(－c ，0)，B(0，c)，有F1P →＝(x0＋c ，y0)，F1B→＝(c ，c)．由已知，有F1P →·F1B →＝0，即(x0＋c)c ＋y0c ＝0. 又c≠0，故有x0＋y0＋c ＝0.①又因为点P 在椭圆上，所以x202c2＋y20c2＝1.②由①和②可得3x20＋4cx0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x0＝－43c.代入①得y0＝c 3，即点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝－43c ＋02＝－23c ，y1＝c3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝（x1－0）2＋（y1－c ）2＝53c. 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx.由l 与圆相切，可得|kx1－y1|k2＋1＝r ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2c 3－2c 3k2＋1＝53c ，整理得k2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15，所以直线l 的斜率为4＋15或4－15. 21解：（1）函数的定义域为{}0|>x x ,)11(2)(/x a x x f ++= a f +=1)1(，a f 22)1(/+=函数)(x f y =的图象在点))1( , 1(f 处的切线为)1)(22()1(-+=+-x a a y ，即)12)(1(-+=x a y …………………………4分（2）①0=a 时，2)(x x f =，因为0>x ，所以点) , (2x x 在第一象限，依题意，0)ln ()(2>++=x x a x x f②0>a 时，由对数函数性质知，)1 , 0(∈x 时，)0 , (ln -∞∈x ，)0 , (ln -∞∈x a ，从而“0>∀x ，0)ln ()(2>++=x x a x x f ”不成立③<a 时，由)ln ()(2>++=x x a x x f 得)ln 11(12x xx a +-<，设)ln 11()(2x x x x g +-=，xx x x x g ln 21)(33/+-=1)1()(-=≥g x g ，从而1)ln 11(12-<+-<x x x a ，01<<-a综上所述，常数a的取值范围01≤<-a …………………………8分（3）计算知111)1()(-+++=--e aa e e f e f设函数1)1(21)1()()()(/--++-=---=e ax a e x e f e f x f x g1)1()2(11)1(2----=--+-=e e e a e a a e g ，)1()1(11)(2---=--+-=e e ae e e a e a e e g当2)1(->e e a 或2)1(2--<e e a 时，222)1(])1(][)1()2([)()1(-------=e e e e a e e a e g g 0<，因为)(x g y =的图象是一条连续不断的曲线，所以存在) , 1(e ∈ξ，使0)(=ξg ，即) , 1(e ∈ξ，使1)1()()(/--=e f e f f ξ；当22)1(2)1(-≤≤--e e a e e 时，)1(g 、0)(≥e g ，而且)1(g 、)(e g 之中至少一个为正，由均值不等式知，1122)(2--+-≥e e a a x g ，等号当且仅当) , 1(2e ax ∈=时成立，所以)(x g 有最小值1)1(2)1(2112222----+-=--+-=e e a e a e e a a m ，且1)3)(1()]1(2[1)1(2)1(222<---+---=----+-=e e e e a e e a e a m ，此时存在) , 1(e ∈ξ（)2, 1(a ∈ξ或) , 2(e a∈ξ），使0)(=ξg综上所述，Ra ∈∀，存在), 1(e ∈ξ，使1)1()()(/--=e f e f f ξ (12)分（22）解：（Ⅰ）,AC BD ABC BCD =∴∠=∠ ．………………（2分）又EC 为圆的切线，,ACE ABC ∴∠=∠∴ACE BCD ∠=∠．……………（5分）（Ⅱ）EC 为圆的切线，∴CDB BCE ∠=∠，由（Ⅰ）可得BCD ABC ∠=∠，……………………………………（7分）∴△BEC ∽△CBD ，∴CD BCBC EB =，∴BC =3．……………………（10分）解：（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，得221259x y +=， 5,3,4,a b c ∴===则点F 的坐标为(4,0).直线经过点(,0),4m m ∴=.…………………………………（4分）（Ⅱ）将直线的参数方程代入椭圆C 的普通方程，并整理得：222(9cos 25sin )72cos 810t t ααα++-=.设点,A B 在直线参数方程中对应的参数分别为12,t t ，则12||||||FA FB t t ⋅==2228181.9cos 25sin 916sin ααα=++………………（8分）当sin 0α=时，||||FA FB ⋅取最大值9；当sin 1α=±时，||||FA FB ⋅取最小值81.25………………………（10分）24. （Ⅰ）原不等式等价于313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩----3分解，得3131212222x x x <≤-≤≤-≤<-或或即不等式的解集为}21|{≤≤-x x-------------------------------5分（Ⅱ）4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x------------------8分4|1|>-∴a 5,3>-<∴a a 或------10分。

河南省顶级名校2017-2018学年高三上学期月考数学试卷(理科) Word版含解析

河南省顶级名校2017-2018学年高三上学期月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知集合M={x|x≥x2}，N={y|y=2x，x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1）B．C．2．（5分）已知复数z=，则z的虚部是（）A．B．﹣C．﹣i D．﹣3．（5分）某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（）A．117 B．118 C．118.5 D．119.54．（5分）已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x5．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a m+1•a m﹣1=2a m（m≥2），数列{a n}的前n项积为T n，若T2m﹣1=512，则m的值为（）A．4B．5C．6D．77．（5分）设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为21，则判断框中应填（）A．i＜5 B．i＜6 C．i＜7 D．i＜89．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．54 B．27 C．18 D．910．（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，点A，B在抛物线上，且∠AFB=120°，弦AB中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．32π12．（5分）函数在上的最大值为2，则a的范围是（）A．B．C．（﹣∞，0]D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若点P（x，y）满足线性约束条件，则z=x﹣y的取值范围是．14．（5分）若（x2﹣）n二项展开式中的第5项是常数项，则中间项的系数为．15．（5分）设O是△ABC的三边中垂线的交点，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知b2﹣2b+c2=0，则•的范围是．16．（5分）已知有限集A={a1，a2，a3…，a n}（n≥2）．如果A中元素a i（i=1，2，3，…，n）满足a1a2…a n=a1+a2+…+a n，就称A为“复活集”，给出下列结论：①集合{，}是“复活集”；②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2＞4；③若a1，a2∈N*则{a1，a2}不可能是“复活集”；④若a i∈N*，则“复合集”A有且只有一个，且n=3．其中正确的结论是．（填上你认为所有正确的结论序号）三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，已知a=2．（1）若A=，求b+c的取值范围；（2）若•=1，求△ABC面积的最大值．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，并求出的值．19．（12分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件A 8 12 40 32 8元件B 7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下：（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．20．（12分）椭圆C：+=1过点A（1，），离心率为，左右焦点分别为F1、F2．过点F1的直线l交椭圆于A、B两点．（1）求椭圆C的方程．（2）当△F2AB的面积为时，求l的方程．21．（12分）f（x）=axe kx﹣1，g（x）=lnx+kx．（Ⅰ）当a=1时，若f（x）在（1，+∞）上为减函数，g（x）在（0，1）上是增函数，求k 值；（Ⅱ）对于任意k＞0，x＞0，f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范围．三、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知，在△ABC中，D是AB上一点，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2BE．（Ⅰ）求证：BC=2BD；（Ⅱ）若CD平分∠ACB，且AC=2，EC=1，求BD的长．三、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（﹣2，﹣4）的直线L的参数方程为：，直线L与曲线C分别交于M，N．（Ⅰ）写出曲线C和直线L的普通方程；（Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．三、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2；（Ⅱ）当a＞0时，不等式2a﹣3≥f（ax）﹣af（x）恒成立，求实数a的取值范围．河南省顶级名校2015届高三上学期月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知集合M={x|x≥x2}，N={y|y=2x，x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1）B．C．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中不等式的解集确定出M，求出N中y的范围确定出N，求出两集合的交集即可．解答：解：由M中的不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即M=；由N中的y=2x＞0，得到N=（0，+∞），则M∩N=（0，1]．故选：D．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知复数z=，则z的虚部是（）A．B．﹣C．﹣i D．﹣考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数代数形式的除法运算化简复数z，从而求得复数z的虚部．解答：解：由=，则复数z的虚部是．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数z的虚部的求法，是基础题．3．（5分）某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（）A．117 B．118 C．118.5 D．119.5考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：求出22次考试分数最大为98，最小56，可求极差，从小到大排列，找出中间两数为76，76，可求中位数，从而可求此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和．解答：解：22次考试分数最大为98，最小为56，所以极差为98﹣56=42，从小到大排列，中间两数为76，76，所以中位数为76．所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42+76=118．故选B．点评：本题考查茎叶图，考查学生分析解决问题的能力，确定极差与中位数是关键．4．（5分）已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定椭圆、双曲线的焦点坐标，求出m的值，即可求出双曲线的渐近线方程．解答：解：椭圆+x2=1的焦点坐标为（0，±2）．双曲线my2﹣x2=1（m∈R）的焦点坐标为（0，±），∵双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，∴=2，∴m=，∴双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．5．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选A．点评：本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．6．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a m+1•a m﹣1=2a m（m≥2），数列{a n}的前n 项积为T n，若T2m﹣1=512，则m的值为（）A．4B．5C．6D．7考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推导出a m=2，从而T n=2n，由T2m﹣1=512，得22m﹣1=512=29，由此能求出结果．解答：解：设数列{a n}公比为qa m﹣1=，a m+1=a m•q，∵a m+1•a m﹣1=2a m，∴，∴，解得a m=2，或a m=0（舍），∴T n=2n，∵T2m﹣1=512，∴22m﹣1=512=29，∴2m﹣1=9，解得m=5．故选：B．点评：本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．7．（5分）设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：通过函数的图象，利用KL以及∠KML=90°求出求出A，然后函数的周期，确定ω，利用函数是偶函数求出ϕ，即可求解f（）的值．解答：解：因为f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，所以A=，T=2，因为T=，所以ω=π，函数是偶函数，0＜ϕ＜π，所以ϕ=，∴函数的解析式为：f（x）=sin（πx+），所以f（）=sin（+）=cos=．故选：D．点评：本题考查函数的解析式的求法，函数奇偶性的应用，考查学生识图能力、计算能力．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为21，则判断框中应填（）A．i＜5 B．i＜6 C．i＜7 D．i＜8考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，模拟程序框图的执行过程，计算输出结果即可．解答：解：模拟程序框图执行过程，如下；开始，i=1，s=0，不输出，进入循环，1是奇数？是，s=0﹣12=﹣1，i=1+1=2，不输出，进入循环，2是奇数？否，s=﹣1+22=3，i=2+1=3，不输出，进入循环，3是奇数？是，s=3﹣32=﹣6，i=3+1=4，不输出，进入循环，4是奇数？否s=﹣6+42=10，i=4+1=5，不输出，进入循环，5是奇数？是，s=10﹣52=﹣15，i=5+1=6，不输出，进入循环，6是奇数？否，s=﹣15+62=21，i=6+1=7，退出循环，输出21，∴判断框中的条件是：i＜7？故选C．点评：本题考查了程序框图的执行结果的问题，解题时应模拟程序的执行过程，是基础题．9．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．54 B．27 C．18 D．9考点：由三视图求面积、体积．分析：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，由体积公式可求．解答：解：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，且底面为矩形，长6，宽3；体高为3．则=18．故选：C．点评：做三视图相关的题时，先要形成直观图，后要注意量的关系．属于基础题．10．（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，点A，B在抛物线上，且∠AFB=120°，弦AB中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设AF=a，BF=b，由抛物线定义，2MN=a+b．再由余弦定理可得|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°，进而根据a+b≥2，求得|AB|的范围，进而可得答案．解答：解：设AF=a，BF=b，由抛物线定义，2MN=a+b．而余弦定理，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=（a+b）2﹣ab，再由a+b≥2，得到|AB|≥（a+b）．所以的最大值为．故选：A．点评：本题主要考查抛物线的应用和余弦定理的应用．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．11．（5分）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．32π考点：球的体积和表面积．专题：球．分析：取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．解答：解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，R===2．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π．故选：C．点评：本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键．12．（5分）函数在上的最大值为2，则a的范围是（）A．B．C．（﹣∞，0]D．考点：函数最值的应用．专题：常规题型．分析：先画出分段函数f（x）的图象，如图．当x∈上的最大值为2；欲使得函数在上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，从而解得a的范围．解答：解：先画出分段函数f（x）的图象，如图．当x∈上的最大值为2；欲使得函数在上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，即e2a≤2，解得：a故选D．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数最值的应用的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若点P（x，y）满足线性约束条件，则z=x﹣y的取值范围是作出直线x﹣y=0，对该直线进行平移，可以发现当直线经过点（0，0）时，Z取得最大值0，当直线经过点（﹣2，0）时，Z取得最小值﹣2，所以Z的取值范围为又f（0）=0，f（2）=2．∴．即的取值范围是．故答案为．点评：本题考查了三角形的外接圆的性质、向量的运算法则、数量积运算、二次函数的单调性等基础知识与基本方法，属于难题．16．（5分）已知有限集A={a1，a2，a3…，a n}（n≥2）．如果A中元素a i（i=1，2，3，…，n）满足a1a2…a n=a1+a2+…+a n，就称A为“复活集”，给出下列结论：①集合{，}是“复活集”；②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2＞4；③若a1，a2∈N*则{a1，a2}不可能是“复活集”；④若a i∈N*，则“复合集”A有且只有一个，且n=3．其中正确的结论是①③④．（填上你认为所有正确的结论序号）考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理及反证法，逐一判断四个结论的正误，进而可得答案．解答：解：∵•=+=﹣1，故①是正确的；②不妨设a1+a2=a1a2=t，则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2﹣tx+t=0的两个根，由△＞0，可得t＜0，或t＞4，故②错；③不妨设A中a1＜a2＜a3＜…＜a n，由a1a2…a n=a1+a2+…+a n＜na n，得a1a2…a n﹣1＜n，当n=2时，即有a1＜2，∴a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的“复活集”A，故③正确．当n=3时，a1a2＜3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是“复活集”A只有一个，为{1，2，3}．当n≥4时，由a1a2…a n﹣1≥1×2×3×…×（n﹣1），即有n＞（n﹣1）!，也就是说“复活集”A存在的必要条件是n＞（n﹣1）!，事实上，（n﹣1）!≥（n﹣1）（n﹣2）=n2﹣3n+2=（n﹣2）2﹣2+n＞2，矛盾，∴当n≥4时不存在复活集A，故④正确．故答案为：①③④点评：本题考查的知识点是元素与集合的关系，正确理解已知中的新定义“复活集”的含义是解答的关键，难度较大．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，已知a=2．（1）若A=，求b+c的取值范围；（2）若•=1，求△ABC面积的最大值．考点：余弦定理的应用；平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性即可得出；（2）利用数量积运算、同角三角函数基本关系式、余弦定理、基本不等式、三角形面积计算公式即可得出．解答：解：（1）∵，∴=，∴b+c=======4．∵，∴．∴，∴，∴．∴b+c∈（2，4]，（2）∵•=1，∴bccosA=1．∴，∴=，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴4=b2+c2﹣2，6=b2+c2≥2bc，∴bc≤3，∴b2c2≤9．∴==≤=．当且仅当时，△ABC的面积取到最大值为．点评：本题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性、数量积运算、同角三角函数基本关系式、余弦定理、基本不等式、三角形面积计算公式等可基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，并求出的值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由已知条件推导出PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．（II）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．解答：（I）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，又∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD．以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图．则由题意知：Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣2，，0），设（0＜λ＜1），则，平面CBQ的一个法向量是=（0，0，1），设平面MQB的一个法向量为=（x，y，z），则，取=，（9分）∵二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，∴=，解得，此时．（12分）点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标元件A 8 12 40 32 8元件B 7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件A、元件B为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（Ⅰ）的前提下：（i）求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；（ii）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题设条件能求出元件A为正品的概率和元件B为正品的概率．（Ⅱ）（i）设生产的5件元件中正品件数为x，则有次品5﹣x件，由题意知100x﹣20（5﹣x）≥300，由此能求出生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率．（ii）随机变量X的所有取值为150，90，30，﹣30，分别求出P（X=150），P（X=90），P （X=30），P（X=﹣30），由此能求出X的分布列和EX．解答：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可知元件A为正品的概率为=，元件B为正品的概率为=．…（2分）（Ⅱ）（i）设生产的5件元件中正品件数为x，则有次品5﹣x件，由题意知100x﹣20（5﹣x）≥300，得到x=4，5，设“生产5件元件B所获得的利润不少于300元”为事件C，则P（C）==．…（6分）（ii）随机变量X的所有取值为150，90，30，﹣30，则P（X=150）=，P（X=90）=，P（X=30）==，P（X=﹣30）==，所以X的分布列为：X 150 90 30 ﹣30P…（10分）EX=150×+90×+30×﹣30×=108．…（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型．20．（12分）椭圆C：+=1过点A（1，），离心率为，左右焦点分别为F1、F2．过点F1的直线l交椭圆于A、B两点．（1）求椭圆C的方程．（2）当△F2AB的面积为时，求l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知条件推导出，，由此能求出椭圆C的方程．（2）由（1）知F1（﹣1，0），直线l方程为y=k（x+1），由，得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由此利用韦达定理能求出直线l的方程．解答：解：（1）∵椭圆过点，∴…（1分）∵离心率为，∴，…（2分）又∵a2=b2+c2…（3分）解①②③得a2=4，b2=3…（4分）∴椭圆…（6分）（2）由（1）得F1（﹣1，0）①当l的倾斜角是时，l的方程为x=﹣1，焦点此时，不合题意．…（7分）②当l的倾斜角不是时，设l的斜率为k，则其直线方程为y=k（x+1）由，消去y得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则…（9分）∴===…（10分）又已知，∴，∴（k2﹣1）（17k2+18）=0，∴k2﹣1=0，解得k=±1，故直线l的方程为y=±1（x+1），即x﹣y+1=0或x+y+1=0．…（13分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和函数与方程思想的合理运用．21．（12分）f（x）=axe kx﹣1，g（x）=lnx+kx．（Ⅰ）当a=1时，若f（x）在（1，+∞）上为减函数，g（x）在（0，1）上是增函数，求k 值；（Ⅱ）对于任意k＞0，x＞0，f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）a=1时，f（x）=xe kx﹣1，分别求出函数f（x），g（x）的导数，从而得出k 的取值范围；（Ⅱ）设h（x）=f（x）﹣g（x）=axe kx﹣lnx﹣kx﹣1（x＞0），求出h（x）的导数，通过讨论a的取值范围解决问题．解答：解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=xe kx﹣1，∴f′（x）=（kx+1）e kx，g′（x）=+k，f（x）在（1，+∞）上为减函数，则∀x＞1，f′（x）≤0⇔k≤﹣，∴k≤﹣1；∵g（x）在（0，1）上为增函数，则∀x∈（0，1），g′（x）≥0⇔k≥﹣，∴k≥﹣1；综上所述：k=﹣1．（Ⅱ）设h（x）=f（x）﹣g（x）=axe kx﹣lnx﹣kx﹣1（x＞0），∴h′（x）=（kx+1）（ae kx﹣），设u（x）=ae kx﹣，∴u′（x）=ake kx+，①a≤0时，u（x）=ae kx﹣＜0，则h′（x）=（kx+1）（ae kx﹣）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上是减函数，h（x）＞0不恒成立；②当a＞0时，，则在（0，+∞）上，是增函数，u（x）的函数值由负到正，必有x0∈（0，+∞），u（x0）=0，即，两边取自然对数得，lna+kx0=﹣lnx0，h（x）在（0，x0）上是减函数，（x0，+∞）上是增函数，=1﹣1﹣lnx0﹣kx0=﹣lnx0﹣kx0=lna因此，lna＞0，即a的取值范围是（1，+∞）．点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的取值，本题是一道综合题．三、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知，在△ABC中，D是AB上一点，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2BE．（Ⅰ）求证：BC=2BD；（Ⅱ）若CD平分∠ACB，且AC=2，EC=1，求BD的长．考点：与圆有关的比例线段；弦切角．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，即可证明BC=2BD；（Ⅱ）先求DE，利用CD是∠ACB的平分线，可得DA=1，根据割线定理求出BD．解答：（Ⅰ）证明：连接DE，因为四边形ACED是圆的内接四边形，所以∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，所以△DBE∽△CBA，即有，又AB=2BE，所以BC=2BD …（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）△DBE∽△CBA，知，又A B=2BE，∴AC=2DE，∵AC=2，∴DE=1，而CD是∠ACB的平分线，∴DA=1，设BD=x，根据割线定理得BD•BA=BE•BC即x（x+1）=（x+1），解得x=1，即BD=1．…（10分）点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（﹣2，﹣4）的直线L的参数方程为：，直线L与曲线C分别交于M，N．（Ⅰ）写出曲线C和直线L的普通方程；（Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．考点：参数方程化成普通方程；等比数列的性质．专题：计算题．分析：（1）消去参数可得直线l的普通方程，曲线C的方程可化为ρ2sin2θ=2aρcosθ，从而得到y2=2ax．（II）写出直线l的参数方程为，代入y2=2ax得到，则有，由|BC|2=|AB|，|AC|，代入可求a的值．解答：解：（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的转化可得，C：ρsin2θ=2acosθ⇒ρ2sin2θ=2aρcosθ，即y2=2ax，直线L的参数方程为：，消去参数t得：直线L的方程为y+4=x+2即y=x﹣2（3分）（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数），代入y2=2ax得到，则有…（8分）因为|MN|2=|PM|•|PN|，所以即：2﹣4×8（4+a）=8（4+a）解得a=1…（10分）点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线的参数方程中参数的几何意义，是一道基础题．三、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x﹣1）≤2；（Ⅱ）当a＞0时，不等式2a﹣3≥f（ax）﹣af（x）恒成立，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）分当x≤1时、当1＜x≤2时、当x＞2时三种情况，分别求得原不等式的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）当a＞0时，利用绝对值三角不等式可得f（ax）﹣af（x）≤|a﹣1|，结合题意可得2a ﹣3≥|a﹣1|，由此解得a的范围．解答：解：（Ⅰ）原不等式等价于：当x≤1时，﹣2x+3≤2，即≤x≤1．当1＜x≤2时，1≤2，即1＜x≤2．当x＞2时，2x﹣3≤2，即2＜x≤．综上所述，原不等式的解集为{x|≤x≤}．（Ⅱ）当a＞0时，f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣|ax﹣a|=|ax﹣1|﹣|a﹣ax|≤|ax﹣1+a﹣ax|=|a﹣1|，所以，2a﹣3≥|a﹣1|，解得a≥2．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2018届河南省名校高三压轴第二次考试理科数学试题Word版含答案

河南名校2018届高三第二次考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若31zi i=+-（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.已知集合{}|A x x a =>，{}2|430B x x x =-+≤，若AB B =，则实数a 的取值范围是（）A ．3a >B ．3a ≥C ．1a ≤D ．1a < 3.各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2a ，312a ，1a 成等差数列，则4523a a a a ++的值为（） A ．152+ B ．352+ C ．512- D ．352-或352+ 4.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）A ．13 B ．25 C. 23 D ．455.将曲线11:sin()26C y x π=+上各点的横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2:()C y g x =，则()g x 在[]0π-，上的单调递增区间是（） A ．5[,]66ππ-- B ．[,]6ππ-- C.2[,0]3π- D ．2[,]36ππ-- 6.若不等式组32420x y x y λ≤⎧⎪≤⎨⎪--+≥⎩表示的平面区域经过所有四个象限，则实数λ的取值范围是（）A ．()2-∞，B ．[1,2] C.[]24， D ．()2+∞，7.如图，“大衍数列”：024812，，，，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入7m =，则输出的S =（）A ．64B ．68 C.100 D ．1408.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．483π-B ．283π- C.24π- D ．24π+ 9.如图，半径为2的圆内有两条半圆弧，一质点M 自点A 开始沿弧A B C O A D C ------匀速运动，则其在水平方向（向右为正）的速度()v g t =的图像大致为（）A ．B ． C. D ．10.已知抛物线2:2(04)C y px p =<<的焦点为F ，点P 为C 上一动点，(4,0)A ，(,2)B p p ，且PA 的最小值为15，则||BF 等于（） A ．112 B ．5 C. 92D ．4 11.正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长均相等，D 为1AA 的中点.,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 上的动点（含端点），且满足1BM C N =.当,M N 运动时，下列结论中不正确．．．的是（） A ．平面DMN ⊥平面11BCC B B ．三棱锥1A DMN -的体积为定值C. DMN ∆可能为直角三角形 D ．平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为(0,]4π12.定义在R 上的函数()f x 满足1(2)()2f x f x +=，当[)0,2x ∈时，31||212,012()3,12x x x f x x --⎧-≤≤⎪=⎨⎪-≤≤⎩，函数32()3g x x x m =++.若对任意[)4,2s ∈--，存在[)4,2t ∈--，不等式()()0f s g t -≥成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(]4-∞，B ．(]8-∞， C.(]12-∞-， D ．312⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设平面向量m 与向量n 互相垂直，且()211,2m n -=-，若||5m =，则||n = ． 14.已知11eea dx x=⎰，则二项式6(1)a x -的展开式中3x -的系数为．15.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，D 为虚轴的一个端点，且ABD ∆为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为．16.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；….设第m 次“扩展”后得到的数列为12211,,,,,2n x x x -，并记212log (12)n t a x x x =⋅⋅⋅⋅⋅，其中21,n t n N *=-∈，则数列{}n a 的前n 项和为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，在锐角ABC ∆中，D 为边BC 的中点，且3AC =，112AD =,O 为ABC ∆外接圆的圆心，且1cos 3BOC ∠=-.（1）求sin BAC ∠的值；（2）求ABC ∆的面积.18.某地高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等级划分标准：85分及以上，记为A 等级；分数在[)7085，内，记为B 等级；分数在[)6070，内，记为C 等级；60分以下，记为D 等级.同时认定等级为,,A B C 的学生成绩合格，等级为D 的学生成绩为不合格.已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[]50100，内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90,100分组作出甲校样本的频率分布直方图（如图1所示），乙校的样本中等级为,C D 的所有数据的茎叶图（如图2所示）.（1）求图1中x 的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C 等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X 表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.19.如图，在空间几何体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ACB ，ACD ∆与ACB ∆都是边长为2的等边三角形，2BE =，点E 在平面ABC 上的射影在ABC ∠的平分线上，已知BE 和平面ACB 所成角为60︒.（1）求证：DE ∥平面ABC ；（2）求二面角E BC A --的余弦值.20.已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的上、下焦点分别为12,F F ，上焦点1F 到直线43120x y ++=的距离为3，椭圆C 的离心率12e =. （1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆22223:116y x E a b+=，设过点(0,1)M 斜率存在且不为0的直线交椭圆E 于,A B 两点，试问y 轴上是否存在点P ，使得()PA PB PM PAPBλ=+？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.21. 已知函数()ln m x x x =.（1）设2()[()1]f x a m x x '=--(0)a ≠，若函数()f x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）设()[()1]bg x b m x x'=--+(0)b >，对任意121,[,]x x e e∈，有12|()()|2g x g x e -≤-成立，求实数b 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线2:sin 2cos C a ρθθ=(0)a >，直线2:4x tl y t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）与曲线C 相交于,M N 两点. （1）求曲线C 与直线l 的普通方程；（2）点(2,4)P --，若PM MN PN 、、成等比数列，求实数a 的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||1|f x m x x =---+.（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图像恒有公共点，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ADBAD 6-10:ABCBC 11、12：CA二、填空题13.5 14. -160 15.()()1,222,++∞ 16.13234n n n S ++-=三、解答题17.解：（1）由题设知，2BOC BAC ∠=∠，∴cos cos 21BOC ABC ∠=∠=212sin 3BAC -∠=-，∴22sin 3BAC ∠=，6sin 3BAC ∠=. （2）延长AD 至E ，使2AE AD =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形，∴CE AB =，在ACE ∆中，211AE AD ==，3AC =，ACE BAC π∠=-∠，3cos cos 3ACE BAC ∠=-∠=-，∴由余弦定理得，2222AE AC CE AC =+-cos CE ACE ∠，即222(11)(3)23CE =+-3()3CE -，解得2CE =，∴2AB CE ==， ∴1sin 2ABC S AB AC BAC ∆=∠1623223=⨯⨯⨯=.18.解析：（1）由题意，可知100.012100.05610x +⨯+⨯0.018100.010101+⨯+⨯=，∴0.004x =.∴甲学校的合格率为(1100.004)100%-⨯⨯=0.96100%96%⨯=，乙学校的合格率为2(1)100%0.96100%96%50-⨯=⨯=.∴甲、乙两校的合格率均为96%. （2）样本中甲校C 等级的学生人数为0.01210506⨯⨯=，乙校C 等级的学生人数为4. ∴随机抽取3名学生中甲校学生人数X 的可能取值为0,1,2,3.∴343101(0)30C P X C ===，12643103(1)10C C P X C ==，21643101(2)2C C P X C ===，363101(3)6C P X C ===. ∴X 的分布列为X 0 1 2 3P130 310 1216数学期望13()013010E x =⨯+⨯11923265+⨯+⨯=.19.解析：（1）证明：由题意知，ABC ∆与ACD ∆都是边长为2的等边三角形，取AC 中点O ，连接BO DO ，，则BO AC ⊥，DO AC ⊥.又∵平面ACD ⊥平面ABC ，DO ⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ，那么EF DO ∥，根据题意，点F 落在BO 上，∵BE 和平面ABC 所成角为60︒，∴60EBF ∠=︒.∵2BE =，∴3EF DO ==，∴四边形DEFO 是平行四边形，∴DE OF ∥，∴DE ⊄平面ABC ，OF ⊂平面ABC ，∴DE ∥平面ABC .（2）由已知，,,OA OB OD 两两互相垂直，故以,,OA OB OD 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，得(0,3,0)B ，(1,0,0)C -，(0,31,3)E -.∴(1,3,0)BC =--，(0,1,3)BE =-，设平面BCE 的一个法向量为2(,,)n x y z =.∵2200n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴3030x y y z ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩.令1z =，∴取2(3,3,1)n =-，又∵平面ABC 的一个法向量1(0,0,1)n =，∴12121213cos ,13||||n n n n n n ⋅<>==. 又由图知，所求二面角的平面角为锐角，∴ 二面角E BC A --的余弦值为1313.20.解析：（1）由已知椭圆C 方程为22221(0)y x a b a b +=>>，设椭圆的焦点1(0,)F c ，由1F 到直线43120x y ++=的距离为3，得|312|35c +=，又椭圆C 的离心率12e =，所以12c a =，又222a b c =+，求得24a =，23b =.椭圆C 方程为22143y x +=. （2）存在.理由如下：由（1）得椭圆22:1164x y E +=，设直线AB 的方程为1(0)y kx k =+≠，联立2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22(41)8120k x kx ++-=.22(8)4(41)12k k ∆=++⨯2256480k =+>.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122841k x x k +=-+，1221241x x k =-+. 假设存在点(0,)P t 满足条件，由于()||||PA PBPM PA PB λ=+，所以PM 平分APB ∠. 易知直线PA 与直线PB 的倾斜角互补，∴0PA PBk k +=.即12120y t y tx x --+=，即2112()()0x y t x y t -+-=.（*）将111y kx =+，221y kx =+代入（*）并整理得12122(1)()0kx x t x x +-+=， ∴2212(1)(8)204141t k k k k -⨯--⋅+=++，整理得3(1)0k k t +-=，即(4)0k t -=，∴当4t =时，无论k 取何值均成立. ∴存在点(0,4)P 使得()||||PA PBPM PA PB λ=+. 21.解析：()ln 1m x x '=+（1）函数2()ln (0)f x a x x a =+≠的定义域为(0,)+∞，∴22()2a x af x x x x+'=+=.①当0a >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，取10ax e -=，则112()1()0aa f e e --=-+<，（或：因为00x a <<且01x e <时，所以20000()ln ln f x a x x a x =+<1ln 0a a a e+<+=.）因为(1)1f =，所以0()(1)0f x f <，此时函数()f x 有一个零点.②当0a <时，令()0f x '=，解得2a x =-.当02a x <<-时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)2a-上单调递减；当2a x >-时，()0f x '>，所以()f x 在()2a-+∞，上单调递增.要使函数()f x 有一个零点，则()ln 0222a a a f a -=--=，即ln()12a-=，2a e =-.综上所述，若函数()f x 恰有一个零点，则2a e =-或0a >.（2）因为对任意121,[,]x x e e∈，有12|()()|2g x g x e -≤-成立，因为12|()()|g x g x -≤max min [()][()]g x g x -，所以max min [()][()]2g x g x e -≤-.所以()ln bg x b x x =-+，所以1(1)()b b b b x g x bx x x---'=+=.当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在1[,1)e上单调递减，在(]1e ，上单调递增，min [()](1)1g x g ==，∵1()bg b e e -=+与()b g e b e =-+，所以max 1[()]max{(),()}g x g g e e=.设1()()()h b g e g e=-=2(0)b b e e b b --->，则()2220b b b b h b e e e e --'=+->-=，所以()h b 在()0+∞，上单调递增，故()(0)h b h >，所以1()()g e g e>.从而max [()]()b g x g e b e ==-+. 所以12b b e e -+-≤-即10b e b e --+≤,设()1(0)b b e b e b ϕ=--+>，则()1b b e ϕ'=-.当0b >时，()0b ϕ'>，所以()b ϕ在()0+∞，上单调递增.又(1)0ϕ=，所以10b e b e --+≤，即()(1)b ϕϕ≤，解得1b ≤.因为0b >，所以b 的取值范围为(0,1].22.解析：（1）因为2sin 2cos a ρθθ=，所以2(sin )2cos a ρθρθ=，即曲线C 的普通方程为22(0)y ax a =>，由2:4x tl y t =-+⎧⎨=-+⎩，得直线l 的普通方程为2y x =-. （2）直线l 的参数方程为222242x ty t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t为参数），代入22y ax =，得到222(4)t a t -+8(4)0a ++=，8(4)0a a ∆=+>.设点,M N 分别对应参数12,t t ，恰为上述方程的根，则有1222(4)t t a +=+，128(4)t t a ⋅=+，则120t t ⋅>.又1PM t =，2PN t =，12MN t t =-.因为2MNPM PN =⋅，所以221212()()t t t t -=+12124t t t t -⋅=⋅2(4)5(4)0a a +-+=，得1a =，或4a =-.因为0a >时，所以1a =.23.解析：（1）当5m =时，52(1)()3(11)52(1)x x f x x x x +<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，由()2f x >得不等式的解集为33{|}22x x -<<.（2）由二次函数223y x x =++=2(1)2x ++，该函数在1x =-取得最小值2，因为2(1)()2(11)2(1)m x x f x m x m x x +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，在1x =-处取得最大值2m -，所以要使二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图像恒有公共点，只需22m -≥，即4m ≥。

河南省中原名校(即豫南九校)2017-2018学年高一上学期第二次联考数学试题(解析版)Word版含解斩

豫南九校2017-2018学年上期第二次联考高一数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】所以，选D.2. 若对于任意实数恒有，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，解得选A.3. 设集合，，则下列表示到的映射的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】当时，所以；；，，所以选C.4. 幂函数在上为增函数，则的取值是（）A. B. C. 或 D.【答案】Am=﹣1；又x∈（0，+∞）时f（x）为增函数，∴当m=2时，m2+2m﹣3=5，幂函数为f （x）=x5，满足题意；当m=﹣1时，m2+2m﹣3=﹣4，幂函数为f（x）=x﹣4，不满足题意；综上，m=2．故选：A．5. 已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】﹣mx2+mx+1＞0对任意实数x恒成立，当m=0时，不等式成立；当m≠0时，则，解得﹣4＜m＜0．综上，实数m的取值范围是﹣4＜m≤0．故选：B．6. 函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】当x≤0时，y≥1，故选：C7. 已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如图，则它的左（侧）视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意可知截取三棱台后的几何体是7面体，左视图中前、后平面是线段，上、下平面也是线段，轮廓是正方形，是虚线，左视图为：故选A．考点：三视图8. 若满足，满足，函数，则关于的方程的解的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】由图像知a+b=6，或解得解的个数是1，选D.9. 已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】几何体为一个长方体截取一个三棱锥，所以该几何体的体积是，选D.点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．10. 如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，，，则四棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取AD的中点E，连接PE，△PAD中，PA=PD=1，，∴PA⊥PD，∴PE=，设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B=BD=，设O到平面ABCD的距离为d，则R2=d2+（）2=+（﹣d）2，∴d=0，R=，∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为4πR2=3π．故选：A．点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．11. 已知是定义在整数集上的减函数，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】为定义在上的减函数；∴解得．故选：．点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.12. 已知实数满足且，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】作与的图像,可得时,所以选C.点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 如图所示，函数的图像是折线段，其中的坐标分别为，，，则__________.（用数字作答）【答案】0【解析】f（4）=2，f（2）=0．故0．14. 如图，在长方体中，，，则三棱锥的体积为__________.【答案】24【解析】15. 已知集合，，则能使成立的实数的取值范围是__________.【答案】【解析】集合A={x|k+1≤x≤2k}，B={x|1≤x≤3}，∵A∩B=A，∴A⊆B当A=时，满足题意，此时k+1＞2k，解得k＜1．当A≠时，要使A⊆B成立，则，解得：,综上可得：实数k的取值范围16. 已知函数，若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是__________.【答案】（0，+∞）【解析】如图，当时，有两个根，，（0，1），所以对应四个实根，满足题意；当时，有一个根，（0，1），所以对应一个实根，不满足题意；即实数的取值范围是点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知全集，，，.（1）求；（2）若，求的取值范围.【答案】(1){x|﹣1≤x＜2}；(2)a>3.【解析】试题分析：（1）先解一元二次不等式得集合A，再结合数轴求C U B，以及（2）由，得A⊆C，再结合数轴得的取值范围.试题解析：（1）A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，且B={x|2≤x＜5}，U=R，∴C U B={x|x＜2，或x≥5}，∴A∩（C U B）={x|﹣1≤x＜2}；（2）由A∪C=C，得A⊆C，又C={x|x<a}，A={x|﹣1≤x≤3}，∴a的取值范围是a>3.18. 如图，底面是正三角形的直三棱柱中，是的中点，.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的正切值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）连接交于O，根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结论（2）根据，得异面直线与所成角为，再通过解三角形得异面直线与所成角的正切值.试题解析：（1）连接交于O，连接OD，在中，O为中点，D为BC中点（2）由（1）知即为所求角.19. 如图，在半径为的半圆形（为圆心）铝皮上截取一块矩形材料，其中在直径上，点在圆周上.（1）设，将矩形的面积表示成的函数，并写出其定义域；（2）怎样截取，才能使矩形材料的面积最大？并求出最大面积.【答案】(1)y=2x，x∈（0，20）.(2)截取AD=10时，才能使矩形材料ABCD的面积最大，最大面积为.【解析】试题分析：（1）根据勾股定理得OA=2，再根据矩形面积公式得函数关系式，最后根据实际意义得定义域；（2）先整理成关于二次函数，再根据二次函数对称轴与定义区间位置关系确定最大值取法试题解析：（1）AB=2OA=2，∴y=f（x）=2x，x∈（0，20）.（2）时，.∴截取AD=10时，才能使矩形材料ABCD的面积最大，最大面积为.20. 已知函数（为常数，且）.（1）当时，求函数的最小值（用表示）；（2）是否存在不同的实数使得，，并且，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2).试题解析：（1）令当即时，当即时，综上：.（2）假设存在，则由已知得,等价于在区间上有两个不同的实根等价于，作出函数图象，可得.法二:亦可用一元二次方程实根分布求解.21. 已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，分别是线段的中点.（1）证明：；（2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由；（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析；(3).【解析】试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．（2）证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．试题解析：解法一：（1）∵平面，，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则．2分不妨令∵，∴，即．4分（2）设平面的法向量为，由，得，令，得：．∴．6分设点坐标为，，则，要使∥平面，只需，即，得，从而满足的点即为所求．8分（3）∵，∴是平面的法向量，易得，9分又∵平面，∴是与平面所成的角，得，，平面的法向量为10分∴，故所求二面角的余弦值为．12分解法二：（1）证明：连接，则，，又，∴，∴2分又，∴，又，∴4分（2）过点作交于点，则∥平面，且有5分再过点作∥交于点，则∥平面且，∴平面∥平面7分∴∥平面．从而满足的点即为所求．8分（3）∵平面，∴是与平面所成的角，且．∴9分取的中点，则，平面，在平面中，过作，连接，则，则即为二面角的平面角10分∵∽，∴，∵，且∴，，∴12分考点：1、直线与直线垂直的判定；2、直线与平面垂直的判定；3、二面角的余弦值．22. 已知函数（）且.（1）求的值；（2）若函数有零点，求实数的取值范围.【答案】(1)2；(2)k＜1.【解析】试题分析：（1）代入，解得的值；（2）化简函数得2x﹣1+k，再根据指数函数图像确定实数的取值范围.试题解析：（1）对于函数f（x）=1﹣（a＞0，a≠1），由f（0）=1﹣=0，求得a=2，故f（x）=1﹣=1﹣.（2）若函数g（x）=（2x+1）•f（x）+k=2x+1﹣2+k=2x﹣1+k 有零点，则函数y=2x 的图象和直线y=1﹣k有交点，∴1﹣k＞0，求得k＜1.点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.。

河南省中原名校(即豫南九校)2017-2018学年高二上学期第二次联考数学(理)试题

豫南九校2017-2018学年上期第二次联考高二数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|A x y ==，{}|30B x x =+>，则A B =（） A ．[1,2)- B ．[]3,1-- C ．(3,2]- D ．(2,1]- 2.“14k <<”是“方程22141x y k k +=--表示椭圆”的什么条件（） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3.命题“x R ∀∈，使得20x ≥”的否定形式是（）A ．x R ∀∈，使得20x <B ．x R ∀∈，使得20x ≤ C ．x R ∃∈，使得20x ≥ D ．x R ∃∈，使得20x < 4.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若21218a a +=，则13S =（）A ．91B ．126C ．234D ．1175.数列{}n c 满足112ln ln ln n n n c c c -+=+，若13c =，327c =，则2c 等于（）A ．9-B ．9C ．9±D ．以上都不对6.已知数列{}n a 的前n 项和25n S n n =-，若它的第k 项满足37k a <<，则k =（）A ．4和5B ．5和6C ．6和7D ．7和87.已知命题p ：0x R ∃∈，使得0sin x =；命题q ：在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >，下列判断正确的是（）A ．q 为假B ．p q ∨为假C ．p q ∧为假D ．p 为真8.若1a b >>，则下列结论不一定成立的是（）A ．11a b <B >C ．b a a b >D ．log log b a a b >9.设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a =b =3B π=，则A =（）A ．6π B ．56π C ．4π D ．4π或4π3 10.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知32a c -，2C A =，则cos C =（）A ．38- B ．18 C ．18± D ．38± 11.下列结论正确的是（）A ．若{}n a 为等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -是等比数列B ．若{}n a 为等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -是等差数列C ．若{}n a 为等比数列，“m n p q +=+”是“m n p q a a a a +=+”的充要条件D ．满足1n n a qa +=（*n N ∈，q 为常数的数列{}n a 为等比数列12.已知圆1F ：22(2)36x y ++=，定点2(2,0)F ，A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是（） A ．22143x y += B ．22195x y += C ．22134x y += D ．22159x y += 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.100以内的正整数有个能被7整除的数．14.在ABC ∆中，5AB =，4AC =，M 是BC 的中点，3AM =，则BC 等于．15.等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若0n S >，{}n a 为递增数列，则公比q 的取值范围．16.设m R ∈，实数x ，y 满足,230,230,x m x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若||6x y +≤，则实数m 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知p ：{}2|230A x x x =--≤，q ：{}22|210B x x x a =-+-≥（0a >），若p ⌝是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18.要制作一个体积为39m ，高为1m 的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米10元，侧面造价是每平方米5元，盖的总造价为100元，求该容器长为多少时，容器的总造价最低为多少元？19.已知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且314a =，2269a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n n b a a +=⋅（*n N ∈），n S 是{}n b 的前n 项和，求证：512n S <．20.已知ABC ∆的边BC =，三角形内角A 、B 满足(2cos 1)sin 2cos 1A B A -+=．（1）求角A 的值；（2）点A 在以B ，C 为焦点的椭圆上，求椭圆离心率的取值范围．21.数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，121n n a S +=+（*n N ∈）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T ．22.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过，且椭圆C 的离心率为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率存在的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，OP OQ ⊥，且l 与圆心为O 的定圆W 相切，求圆W 的方程．豫南九校2017-2018学年上期第二次联考高二数学（理）试题答案一、选择题1-5:BCDDB 6-10:BCCCB 11、12：BB二、填空题13.1415.1q > 16.[]1,3-三、解答题17.解：:p 由0322≤--x x 得31≤≤-x []3,1-=∴A ， :q 由()001222>≥-+-a a x x 得()[]()[]011≥+-⋅--a x a x{}()011>-≤+≥=a a x a x x B 或．又因为p ⌝是q 的充分不必要条件,所以0,11,13,a a a >⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩解得20≤<a ．18.解：设该长方体容器长为m x ，则宽为m x9，又设该容器的造价为y 元，则)9(1019010051)9(2109x x x x y ++=+⨯⨯++⨯=，因为69239=⋅≥+x x x （当且仅当xx 9=即3=x 时取“=”），所以 250min =y ．答：该容器长为3米时，容器的总造价最低为250元．19.解：（1）因为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1为等差数列,设公差为d ,413=a ,2629a a =所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅==2623191141a a a []d d )326(4914-+=-，∴1d =， 1)3(113+=-+=n d n a a n ，∴11n a n N n =∈*+．（2）)3111(21)3()1(12+-+=+⋅+=⋅=+n n n n a a b n n n ， )3111211614151314121(21+-+++-++-+-+-=n n n n S n 125))3)(2(165(21<++-=n n ， ∴512n S <． 20.解：在ABC ∆中,由1cos 2sin )1cos 2(=+-A B A 得0)1)(sin 1cos 2(=+-B A ，因为A,B 为ABC ∆的内角,01sin ≠+B 所以01cos 2=-A 即21cos =A ，所以3π=A ．又因为点A 在以B,C 为焦点的椭圆上 ,3=BC 所以椭圆的焦距32/=c 而椭圆长轴AB AC a +=/2，在ABC ∆中 A AB AC AB AC BC cos 2222⋅-+=ABAC AB AC AB AC AB AC ⋅-+=⋅-+=3)(3222()2223333⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⋅+=+AB AC AB AC AB AC ，21()3,4AC AB AC AB +≤<+≤/11122e a ≤<≤<，所以椭圆离心率的值范围：⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21．21.解：（1）),2(12,1211*-+∈≥+=∴+=N n n S a S a n n n n ，),2(31*+∈≥=N n n a a n n22212215,353(2,)n n n a S a a n n N --=+=∴==⋅≥∈*，当1=n ，1a =2不满足上式，⎩⎨⎧∈≥⋅==∴*-),2(35122N n n n a n n （2）由（1）知⎩⎨⎧∈≥⋅==*-),2(35122N n n n n na n n12321233210353)1(534533532563353)1(53553453353252----⋅⋅+-⋅++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+=⋅⋅+⋅-⋅++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+=n n n n n n n n T n n T 123235)3333(562--⋅-+++++=-n n n n T123531)31(3562--⋅---⨯+=-n n n n T ∴13105344n n n T --=+． 22.解：（1）因为C 经过点（0，2），所以22=b ，又因为椭圆C 的离心率为22 所以42=a ，所以椭圆C 的方程为：12422=+y x ．（2）设l y x Q y x P ),(),(2211的方程为m kx y += 由⎩⎨⎧+==+mkx y y x 4222得0424)21(222=-+++m kmx x k ， 22212212142,214k m x x k mk x x +-=+-=+， 12121212.()()OP OQ OP OQ x x y y x x kx m kx m →→⊥∴⋅=+=+++221212(1)()k x x km x x m =++++ 222222(1)(24)4012k m k m m k+--=+=+，∴2223444(1)m k k =+=+， 0)24(8)42)(12(416222222>+-=-+-=∆m k m k m k 成立，因为l 与圆心为O 的定圆W 相切所以O 到l 的距离3212=+=k m d 即定圆W 的方程为3422=+y x ．。

高三数学(理)答案

π
2 5π π ∵ x ∈ [−2π , 2π ] ∴ 减区间 [− , ] 故选 A． 3 3
2 2
≤
1 π π 5π π x + ≤ 2k π + ∴ 4k π − ≤ x ≤ + 4 kπ 2 3 2 3 3
A 【解析】 f(k 1) 12 22 3．
＋＝＋＋3 ＋…＋(2k) ＋(2k＋1) ＋[2(k＋1)] ＝f(k)＋(2k＋1) ＋(2k＋2) .
x2 y2 2 − 2 =1 a (a + c) b ab b 所以 ON 的方程为 y = x ，所以 a ∴N , 2 2 a+c y = b x c + 2ac c + 2ac a+c
中原名校 2017—2018 学年三次质量考评
一、选择题
CAADA
高三数学（理）参考答案
BCDBB AA
1．C【解析】 M = { x | −1 < x < 2} ， N = { y | y ≤ 1} ，则 M ∩ N = { x | −1 < x ≤ 1} ，故选 C． 2．A【解析】依题意知， 2kπ −
2 2 2 2
a1 (1 − q n ) 4．D【解析】∵ S n = ∴ A = 3 ，故选 D. 1− q
5．A【解析】画出可行域可知当 x = 2 y = 2 时，z 取得最大值 4，故选 A．
6．B【解析】因为上下楼的不满意度 n ,和环境的不满意度
，
8 的和最小时，教室楼层最适宜， n 8 17 * 设 f ( n) = n + ≥ 4 2( n ∈ N ) ，而f ( 2) = 6 > f (3) = ,∴ n = 3 .选 B. n 3

河南省中原名校(即豫南九校)高三上学期第二次质量考评

中原名校2017—2018学年第二次质量考评高三数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合()22,143x y A x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，(){},3xB x y y ==，则A B I的子集的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知复数21z x x i =+-，222z x i =-+（x R ∈，i 为虚数单位），若120z z +<，则x的值是（）A ．1±B ．1-C ．1D ．2- 3．定义在R 上的函数()f x ，满足()()()()2log 4,012,0x x f x f x f x x -≤⎧⎪=⎨--->⎪⎩，则()3f =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．24．已知函数()()22435f x ax a x =+-+在区间(),3-∞上是减函数，则a 的取值范围是（） A ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件是（） A ．1a ≤ B ．1a < C ．01a <≤ D ．01a <≤或0a < 6．函数()2log xf x x=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．7．定义在R 上的奇函数()f x ，满足()()2f x f x -=，当(]0,1x ∈，()1x f x e =-，则20232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．1e -B ．1e - C．118．直线3470x y +-=与椭圆22221x y a b+=（0a b >>）相交于两点A ，B ，线段AB 的中点为()1,1M ，则椭圆的离心率是（）A ．12 B．2 CD ．349．已知函数()()21ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为（） A ．2 B ．2ln 22- C ．e D ．2e -10．若方程220x ax b ++=的一个根在区间()0,1内，另一根在区间()1,2内，则32b a --的取值范围是（）A ．2,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,15⎛⎫⎪⎝⎭11．一棱长为6的正四面体内部有一个可以任意旋转的正方体，当正方体的棱长取最大值时，正方体的外接球的表面积是（）A ．4πB ．6πC ．12πD ．24π12．定义在R 上的函数()f x ，满足()[)[)222,0,12,1,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()11f x f x +=-，若()232x g x x -=-，则方程()()g x f x =在区间[]1,5-上所有实根之和为（）A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知()()221sin 1x a xf x x ++=+（a R ∈），则()()()()()21012f f f f f -+-+++= ．14．已知长方体ABCD A B C D ''''-，3AB =，4AA AD '==，则B 到平面AB C '的距离是．15．直线l 与抛物线24y x =交于两不同点A ，B .其中()11,A x y ，()22,B x y ，若1236y y =-，则直线l 恒过点的坐标是．16．已知函数()2x f x e ax =-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()cos cos cos 0C A A B +=（1）求角B 的大小；（2）若1a c +=，求b 的取值范围.18．某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：（1）根据已有数据，把表格数据填写完整；（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位女教师的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++19．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，PAD ∆是等边三角形，已知2AD =，BD =24AB CD ==.（1）设M 是PC 上一点，求证：平面MBD ⊥平面PAD . （2）求四棱锥P ABCD -的体积.20．已知椭圆D ：22221x y a b+=（0a b >>）的短轴长为2，离心率是2.（1）求椭圆D 的方程；（2）点()0,2E ，轨迹D 上的点A ，B 满足EA EB =λuu r uu r，求实数λ的取值范围.21．已知函数()()222ln 2f x x x x ax =-++.（1）若()f x 在1x =处的切线是340x y +-=，求实数a 的值；（2）当0a >时，函数()()2g x f x x =--有且仅有一个零点，若此时1,x e e -⎡⎤∈⎣⎦，()g x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0-=ρθθ，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点()1,3P .（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求11PA PB+的值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x x x =-++.（1）若存在x 使不等式()0a f x ->成立，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()40a f x a+-≥对任意正数a 恒成立，求实数x 的取值范围.中原名校2017—2018学年第二次质量考评高三数学（文）参考答案一、选择题1-5:DBADA 6-10:CCABD 11、12：BC二、填空题13．5 14．()9,0 16．,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭三、解答题17．解：（1）()cos cos cos C A A B +=()cos cos cos cos 0A B A B A B -+=化简得sin B B = 所以3B =π（2）由正弦定理sin sin sin a c b A C B ===所以()1sin sin 3a c A C =+=+b =，2sin sin sin sin 3A C A A ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭π6A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π 203A <<π，∴1sin ,162A ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦π，∴11 2b≤<综上：b的取值范围是1,1 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭18．解：（1）（2）()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-==++++()21002006004.762 3.84180203070⨯-≈>⨯⨯⨯所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关.（3）记5人为abcde，其中ab表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事件是：abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde共10个，其中至多1为教师有7个基本事件：acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde所以所求概率是7 10.19．解：（1）在三角形ABD中由勾股定理AD BD⊥，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD I平面ABCD AD=所以BD⊥平面PAD又BD⊂平面BDM.所以平面MBD⊥平面PAD.（2）取AD中点为O，则PO是四棱锥的高PO=底面ABCD 的面积是三角形ABD 面积的32，即所以四棱锥P ABCD -的体积为133⨯=20．解：（1）由已知2221a b c b c a ⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2a =，1b =，c =D 的方程为2214x y +=（2）过()0,2E 的直线若斜率不存在，则13=λ或3. 设直线斜率k 存在()11,A x y ，()22,B x y222440y kx x y =+⎧⇒⎨+-=⎩()221416120k x kx +++= 则()()()()122122120,116,21412,314,4k x x k x x k x x ∆≥⎧⎪-⎪+=⎪+⎨⎪=⎪+⎪=⎩λ 由（2）（4）解得1x ，2x 代入（3）式得()2222161214141k k k-⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭+λλ 化简得()22314641k⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+λλ 由（1）0∆≥解得234k ≥代入上式右端得 ()2311641<≤+λλ 解得133<<λ 综上实数λ的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21．解：（1）()()222ln 2f x x x x ax =-++，（0x >）()()22ln 22f x x x x ax '=-+-+由已知()1123f a '=-+=-，∴1a =-（2）由已知()()222ln 0g x x x x ax x =-+-=（0x >）即方程()2ln 10x x ax -+-=（0x >）有唯一的实数根所以()12ln x xa x--=（0x >）即直线y a =与函数()12ln x xy x--=（0x >）的图象有唯一的交点构造函数()()12ln 1ln x x h x x x x --==-2ln xx+（0x >）()212ln x xh x x--'=（0x >）令12ln y x x =--，210y x '=--<，y ↓而1x =，0y =∴()10h '=；01x <<，0y >，()0h x '>；1x >，0y <，()0h x '< ∴01x <<，()h x ↑；1x >，()h x ↓且0x →，()h x →-∞；x →+∞，()h x →-∞ 所以()11a h ==已知可化为()()222ln m g x x x x x x ≤=-+-（1ex e -≤≤）的最小值()()()12ln 3g x x x '=-+（1e x e -≤≤）所以()g x 在()1,1e -上减，在()1,e 上增所以()()max 10m g x g ≤== 综上实数m 的取值范围是(],0-∞ 22．解：（1）直线l 的普通方程21y x =+ 曲线C 的直角坐标方程216y x =（2）直线的参数方程改写为153x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入216y x =24705t -=，∴12t t +=，12354t t =-，12121135t t PA PB t t -+==23．解：（1）()12f x x x =-++≥123x x ---= 已知等价于()min 3a f x >= 所以实数a 的取值范围()3,+∞ （2）0a >，44a a+≥（2a =取等号）已知可化为()min44f x a a ⎛⎫≤+= ⎪⎝⎭ 所以124x x -++≤5322x ⇒-≤≤. 因此实数x 的取值范围53,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。

河南省中原名校(即豫南九校)2018届高三上学期第二次质量考评数学(理)试题及答案

中原名校2017—2018学年第二次质量考评高三数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}lg A x y x ==，{}2230B x x x =--<，则A B =I （）A ．()0,3B ．()1,0-C ．()(),03,-∞+∞UD ．()1,3- 2．若()2x i i y i -=+，,x y R ∈，其中i 为虚数单位，则复数x yi +=（） A ．2i -+ B ．2i + C ．12i - D ．12i +3．命题p ：,x y R ∈，222x y +<，命题q ：,x y R ∈，2x y +<，则p 是q 的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．必要充分条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()12log ,1236,1xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．3 B ．4 C ．3- D ．385．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积等于（）3cm.A ．243+π B ．342+π C ．263+π D ．362+π6．已知定义域为R 的偶函数()f x 在(],0-∞上是减函数，且()12f =，则不等式()2log 2f x >的解集为（）A ．()2,+∞B ．()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U C ．)⎛+∞ ⎝⎭UD ．)+∞7．已知0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πα，()sin sin a =αα，()sin cos b =αα，()cos sin c =αα，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<8．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB BC ==，90ABC ∠=︒，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为（） A ．2π B ．4π C ．16π D ．8π9．已知AB 是圆C ：()2211x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅uu r uu r的最小值是（）A ．1B ．0C 110．若函数()()3f x x x c =-在2x =处有极小值，则常数c 的值为（） A ．4- B ．2或8 C ．2 D ．811．倾斜角为12π的直线l 经过原点与双曲线22221x y a b-=的左、右两支于A 、B 两点，则双曲线离心率的取值范围为（）A ．)+∞ B ．)+∞ C ．(D ．(12．已知曲线()xf x ke -=在点0x =处的切线与直线210x y --=垂直，若1x ，2x 是函数()()ln g x f x x =-的两个零点，则（） A ．12211x x e e << B ．12211x x e << C ．1211x x e<< D ．212e x x e <<第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设x ，y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最大值为．14．已知函数()sin bf x a x c x=++，[)(]5,00,5x ∈-ππU ，若()()114034f f +-=，则c = ． 15．由曲线y =2y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为．16．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()0f x >，()f x '为()f x 的导函数，且()()()23f x xf x f x '<<对()0,x ∈+∞恒成立，则()()23f f 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且sin cos a B A =. （1）求角A 的值；（2）若ABC ∆ABC ∆的周长为6，求边长a .18．近年来空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是否与性别有关，在市第一人民医院随机对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表：（1）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（2）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3位进行其他方面的排查，其中患胃病的人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++下面的临界值仅供参考：19．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD QA ∥，2QA AB PD ==. （1）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；（2）求二面角Q BP C --的余弦值.20．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点()4,0P ，A 、B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点. 21．已知函数()ln f x x =，()h x ax =（a R ∈）.（1）函数()f x 与()h x 的图象无公共点，试求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，都有函数()m y f x x =+的图象在()xe g x x=的图象的下方？若存在，请求出最大整数m 的值；若不存在，请说明理由.（参考数据：ln 20.6931=，ln 3 1.0986= 1.6487= 1.3956=）.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10+=ρθρθ，将曲线1C ：cos sin x y =⎧⎨=⎩αα（α为参数），经过伸缩变换32x xy y'=⎧⎨'=⎩后得到曲线2C .（1）求曲线2C 的参数方程；（2）若点M 的曲线2C 上运动，试求出M 到直线C 的距离的最小值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x x a a=-+（0a ≠）（1）若不等式()()1f x f x m -+≤恒成立，求实数m 的最大值. （2）当12a <时，函数()()21g x f x x =+-有零点，求实数a 的取值范围.中原名校2017—2018学年第二次质量考评高三数学（理）参考答案一、选择题1-5:ABACD 6-10:BDCAD 11、12：AB二、填空题13．8 14．2017 15．103 16．84,279⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题17．解：（1）∵sin cos a B A =，∴sin sin cos A B B A =， ∵()0,B ∈π，∴sin 0B ≠，∴sin A A =，tan A =()0,A ∈π，∴3A =π.（2）1sin 2ABC S bc A ∆==4bc =，又∵6a b c ++=，222cos 2b c a A bc +-==()222122b c bc a bc +--=∴()2268182a a ---=解得2a =.18．解：（1）∵()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，即()2250201551025252530203K ⨯-⨯==⨯⨯⨯∴28.333K ≈，又()27.8790.0050.5%P K ≥==，∴我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的（2）现在从患心肺疾病的10位女性中选出3位，其中患胃病的人数0,1,2,3=ξ，∴()373107024C P C ===ξ，()217331021140C C P C ⋅===ξ， ()12733107240C C P C ⋅===ξ，()3331013120C P C ===ξ. 所以ξ的分布列为所以ξ的数学期望()721012440E =⨯+⨯+ξ719234012010⨯+⨯= 19．解：如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -.（1）依题意有()1,1,0Q ，()0,0,1C ，()0,2,0P .则()1,1,0DQ =uuu r ，()0,0,1DC =uuu r ，()1,1,0PQ =-uu u r.所以0PQ DQ ⋅=u u u r u u u r ，0PQ DC ⋅=u u u r u u u r.即PQ DQ ⊥，PQ DC ⊥，故PQ ⊥平面DCQ ，又PQ 平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .（2）依题意有()1,0,1B ，()1,0,0CB =uu r ，()1,2,1BP =--uu r.设(),,n x y z =是平面PBC 的法向量，则0n CB n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu r r uu r即0220x x y =⎧⎨-+-=⎩因此可取()0,1,2n =--r . 设m 是平面PBQ 的法向量，则0m BP m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uu r u r uu u r同理可取()1,1,1m =u r.所以cos ,m n =. 故二面角Q BP C --的余弦值为20．解：（1）以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆为222x y b +=直线0x y -=与圆相切，∴b ==又12c e a ==∴2a c =∵222a b c =+∴2243c c =+解得1c =∴2a =故椭圆的方程为22143x y +=. （2）由题意知直线PB 的斜率存在，所以设直线PB 的方程为()4y k x =-，由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222433264120k x k x k +-+-=，设点()11,B x y ，()22,E x y ，则()11,A x y -，∴21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+① 直线AE 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--，令0y =得212221x xx x y y y -=-+，有∵()114y k x =-，()224y k x =-代入上式，整理得()121212248x x x x x x x -+=+-②将①式代入②式整理得1x =，所以直线AE 与x 轴相交于定点()1,0.21．解：（1）函数()f x 与()h x 无公共点，等价于方程ln xa x=在()0,+∞无解，令()ln x t x x =，则()21ln xt x x -'=，令()0t x '=，得x e =因为x e =是唯一的极大值点，故()max 1t t e e== 故要使方程ln x a x =在()0,+∞无解，当且仅当1a e >故实数a 的取值范围为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）假设存在实数m 满足题意，则不等式e ln x m x x x +<对1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立，即ln xm e x x <-对1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭恒成立，令()ln x r x e x x =-，则()ln 1x r x e x '=--，令()ln 1x x e x =--ϕ，则()1xx e x'=-ϕ，因为()x 'ϕ在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，121202e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭ϕ，()110e '=->ϕ，且()x 'ϕ的图象在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上连续，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00x '=ϕ，即0010x e x -=，则00ln x x =-所以当01,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()x ϕ单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()x ϕ单调递增，则()x ϕ取到最小值()000ln 1xx e x =--=ϕ0011110x x +-≥=>，所以()0r x '>，即()r x 在区间1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭内单调递增， 12111ln 222m r e ⎛⎫≤=-= ⎪⎝⎭121ln 2 1.995252e +=，所以存在实数m 满足题意，且最大整数m 的值为1.22．解：（1）将曲线1C ：cos sin x y =⎧⎨=⎩αα（α为参数）由伸缩变换32x x y y '=⎧⎨'=⎩，可得参数方程为3cos 2sin x y =⎧⎨=⎩αα（α为参数）. （2）曲线C 的极坐标方程2sin cos 10+=ρθρθ，化为直角坐标方程：2100y x +-=，点M 到C的距离d ==≥=，∴点M 到C 23．解：（1）12x a x a m a -+--+12x a x a m m a-≤--+-= ∵()()1f x f x m -+≤∴1m ≤，m 的最大值为1.（2）()()21g x f x x =+-即()1131,22111,22131,2x a x a g x x a a x a x a x a a ⎧+--≥⎪⎪⎪=-+-+≤<⎨⎪⎪-+++<⎪⎩()g x 在12x =处取到最小值，即1131022a a ⨯+--≤，11022a a+-≤，通分后的()()21102a a a+-≥ 解集为10,12a a a ⎧⎫-≤<≥⎨⎬⎩⎭与题干中12a <取交集得102a a ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭。

2018届河南省中原名校高三上学期第二次质量考评数学(理)试题

2018届河南省中原名校高三上学期第二次质量考评数学（理）试题一、单选题1．已知集合A = x y =lg x ，B = x x 2−2x −3<0 ，则A ∩B =（） A. 0,3 B. −1,0 C. −∞,0 ∪ 3,+∞ D. −1,3 【答案】A【解析】B = x|x 2−2x −3<0 = x|-1<x<3 ，A = x y =lg x = x |x >0 ，A ∩B = x |0<x <3 故选择A ．2．若 x −i i =y +2i ，x ,y ∈R ，其中i 为虚数单位，则复数x +y i =（）A. −2+iB. 2+iC. 1−2iD. 1+2i 【答案】B【解析】 x −i i =x i +1=y +2i ,根据复数相等的定义，实部等于实部，虚部等于需部，得到：x =2,y =1,所以x +y i =2+i ；故选B ．3．命题p ：x ,y ∈R ，x 2+y 2<2，命题q ：x ,y ∈R ， x + y <2，则p 是q 的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 必要充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】x 2+y 2<2表示的范围，用图像来表示就是以(0,0)为圆心， 2为半径的圆内；q ：x ,y ∈R ， x + y <2表示以 0,2 , 0,−2 , 2,0 , −2,0 为顶点的菱形；画出图像知道菱形包含了圆形；故p 范围比q 范围小，根据小范围推大范围，得p 是q 的充分非必要条件；故选A点睛：充分必要条件中，小范围推大范围，大范围推不出小范围；这是这道题的跟本；再者，根据图像判断范围大小很直观，快捷，而不是去解不等式； 4．已知函数f x =log 12x ,x >12+36x ,x ≤1，则f f 12=（）A. 3B. 4C. −3D. 38 【答案】C【解析】f x =2+36x(x ≤1),f 12 =2+3612=8f f 12=f (8)=log 12x =−3故选C5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm3.A. 4+2π3B. 4+3π2C. 6+2π3D. 6+3π2【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据，计算它的体积为：V=V三棱柱+V半圆柱=×2×2×3+12•π•12×3=（6+1.5π）cm3．故答案为：6+1.5π．点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可．6．已知定义域为R的偶函数f x在−∞,0上是减函数，且f1=2，则不等式f log2x>2的解集为（）A. 2,+∞B. 0,12∪2,+∞ C. 0,22∪2,+∞ D.2,+∞【答案】B【解析】f（x）是R的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，所以f（x）在[0，+∞）上是增函数，所以f（log2x）＞2=f（1）⇔f（|log2x|）＞f（1）⇔|log2x|＞1；即log2x＞1或log2x＜﹣1；解可得x＞2或0<x<12．故选B．点睛：根据题意，结合函数的奇偶性、单调性分析可得f（log2x）＞2⇔|log2x|＞1；化简可得log2x＞1或log2x＜﹣1，解可得x的取值范围，即可得答案．7．已知α∈ 0,π4 ，a = sin α sin α，b = cos α sin α，c = sin α cos α，则（） A. a <b <c B. a <c <b C. b <a <c D. c <a <b 【答案】D【解析】∵α∈ 0,π4 ∴1>cos x >sin x >0，小于1的数越平方越小，∴ sin α sin α< cos α sin αsin α sin α> sin α cos α故选D ；8．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB=BC= 6 ，∠ABC=90°，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为 A. 2π B. 4π C. 8π D. 16π 【答案】D 【解析】由题意，结合圆的性质知当四面体A B C D 的体积为最大值时，点D 在平面A C D 上的射影为A C 中点O ′，则BO ′= 3．设球的半径为R ，球心为O ，则O B =O D =R ，O ′D = R 2−3，DO ′=R + R 2−3，于是由13S ΔA C D ⋅DO ′=3，即13×126× 6(R + R 2−3)=3，解得R =2，所以球的表面积为4πR 2=16π，故选D ．9．已知AB 是圆()22:11C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅的最小值是（）A. 1B. 0C.D. 1【答案】A【解析】试题分析：由题意得， ()()()2PA PB PO OA PO OB PO PO OA OB OA OB ⋅=+⋅+=+⋅++⋅ 22PO r =- ，即为22d r -，其中d 为圆外点到圆心的距离， r 为半径，以内当d 取最小值时， •PA PB 的取值最小，可知d =PA PB ⋅ 的最小值211-=，故选A.【考点】平面向量的数量积的运算；直线与圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的数量积的运算、直线与圆的位置关系，注意运用向量的平方即为模的平方，以及点到直线的距离公式，属于中档试题，着重考查了学生的推理、运算能力，本题的解答中运用向量的加减运算和数量积的性质，可得2222PA PB PO r d r ⋅=-=- ，在运用点到直线的距离公式，可得d 的最小值，进而得到结论. 10．若函数f x =x x −c 3在x =2处有极小值，则常数c 的值为（） A. −4 B. 2或8 C. 2 D. 8【答案】D【解析】∵函数f （x ）=x （x ﹣c ）2， ∴f′（x ）=3x 2﹣4cx+c 2，又f （x ）=x （x ﹣c ）2在x=2处有极值， ∴f′（2）=12﹣8c+c 2=0，解得c=2或6，又由函数在x=2处有极小值，故c=2，c=6时，函数f （x ）=x （x ﹣c ）2在x=2处有极大值，点睛：根据函数在x=2处有极小值，得到f′（2）=0，解出关于c 的方程，再验证是否为极小值即可．需要注意：f ′(x )=0是x 是函数的极值点的充分不必要条件．11．倾斜角为12π的直线l 经过原点与双曲线22221x y a b-=的左、右两支于A B、两点，则双曲线离心率的取值范围为 ( )A.)+∞ B.)+∞ C. ( D.(【答案】A【解析】由题意可知，一条渐近线的斜率的倾斜角大于12π，即tan 212b k a π=≥=e =≥= A.12．已知曲线()x f x ke -=在点0x =处的切线与直线210x y --=垂直，若12,x x 是函数()()ln g x f x x =-的两个零点，则（）A.12211x x e e << B. 12211x x e << C. 1211x x e << D. 212e x x e << 【答案】B【解析】试题分析：因,故,由题设可知,则,所以．又因12,x x 是方程的两个根,即是的两根,结合图象可知,,以上两式两边相减可得,注意到,由于,,因此,所以,故12211x x e<<,选B ．【考点】函数与方程的关系及数形结合的思想．【易错点晴】本题考查的是以导数的几何意义及函数零点为背景的不等式问题．求解时充分借助题设条件与已知,先运用导数的知识求出函数解析式()xf x ke-=中的未知数,后依据函数零点的概念建立方程,然后借助题设和函数图象的特征确定零点的取值范围,最后运用不等式的性质求出,从而求出12211x xe<<．13．设,x y满足约束条件70{310350x yx yx y+-≤-+≤--≥，则2z x y=-的最大值为A. 2B. 3C. 8D. 10【答案】C【解析】作出不等式组70{310350x yx yx y+-≤-+≤--≥，表示的平面区域如图：根据图形可知：当直线2z x y=-经过点B时z取得最大值，由70{310x yx y+-=-+=，解得：()max5,2,5228B z∴=⨯-=，故选C.二、填空题14．已知函数f x=a sin x+bx+c，x∈−5π,0∪0,5π，若f1+f−1=4034，则c=__________．【答案】2017【解析】设：g(x)=a sin x+bx是奇函数，f(x)=g(x)+c，f(−1)+f(1)=g(−1)+g(1)+2c，因为g(x)=a sin x+bx是奇函数，所以g(1)+g(−1)=0，f(−1)+f(1)=g(−1)+g(1)+2c=2c=4034，故c=2017；故答案为c=2017．15．曲线y=与直线y x=所围成的封闭图形的面积为__________．【答案】16【解析】由定积分的几何意义可得：封闭图形的面积)132120211|326S x dx x x ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰. 16．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()0f x >，()()f x f x '为的导函数，且()()()()230,f x xf x f x x '<<∈+∞对恒成立，则()()23f f 的取值范围是【答案】48,927⎛⎫⎪⎝⎭【解析】试题分析：设()()()()()()23'2,'0,f x xf x f x g x g x g x x x -==>递增 ()()()()23244939f f f f ∴<∴<设()()()()()()34'3,'0,f x xf x f x h x h x h x x x -==<递减 ()()()()2328827327f f f f ∴>∴>，所以()()2842739f f <<【考点】利用导数研究函数的性质【方法点睛】导数在不等式问题中的应用问题解题策略 (1)利用导数证明不等式若证明f(x)＜g(x)，x ∈(a ，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＜0，则F(x)在(a ，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b)时，有F(x)＜0，即证明了f(x)＜g(x)． (2)利用导数解决不等式的恒成立问题利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．三、解答题17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且s i n a B A =.（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若ABC ∆ABC ∆的周长为6，求a ．【答案】（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）2=a .【解析】试题分析：（Ⅰ）由正弦定理得tan A =A ；（Ⅱ）由周长得6a b c ++=，面积得4=bc ，以及余弦定理222a b c bc =+-联立方程组得a .试题解析：（Ⅰ）sin cos a B A =，∴由正弦定理得：sin sin cos A B B A .sin A A =,tan A = ∵0A π<<，3A π=.（Ⅱ）6a b c ++=，ABC ∆的面积4S bc ==.在ABC ∆中，由余弦定理可得222a b c bc =+-，则222644b c a bc b c a ⎧+=-⎪=⎨⎪+=+⎩, 2222222(6)44b c bc a bc b c a ⎧++=-⎪=⎨⎪+=+⎩, 22(6)122a a a ⇒-=+=，.【考点】（1）正弦定理；（2）余弦定理.18．近年来空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是否与性别有关，（1）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（2）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3位进行其他方面的排查，其中患胃病的人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望.参考公式：K 2=n a d −b c 2a +bc +d a +c b +d，其中n =a +b +c +d【答案】（1）有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的；（2）E ξ =910;【解析】试题分析：（1）计算观测值K 2，与7.879比较大小即可得出结论；（2）利用超几何分布的概率公式计算分布列，从而得出数学期望．（1）∵K 2=n a d −b c 2 a +b c +d a +c b +d，即K 2=50 20×15−5×10 225×25×30×20=253∴K 2≈8.333，又P K 2≥7.879 =0.005=0.5%，∴我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的（2）现在从患心肺疾病的10位女性中选出3位，其中患胃病的人数ξ=0,1,2,3， ∴P ξ=0 =C 73C 103=724，P ξ=1 =C 72⋅C 31C 103=2140，P ξ=2 =C 71⋅C 32C 10=740，P ξ=3 =C 33C 10=1120.所以ξ的分布列为所以ξ的数学期望E ξ =0×724+1×2140+2×740+3×1120=91019．如图，四边形A B C D 为正方形，P D ⊥平面A B C D ，P D ∥Q A ，Q A =A B =12P D .（1）证明：平面P Q C⊥平面D C Q；（2）求二面角Q−B P−C的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）二面角Q−B P−C的余弦值为−155.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据已知条件建立空间直角坐标系，求向量C D,Q D,P Q,的坐标，求P Q∗C D,P Q∗Q D,从而判断出P Q⊥C D，P Q⊥DQ这样即可证明PQ⊥平面DCQ，这样便可证明平面PQC⊥平面DCQ；（Ⅱ）根据平面的法向量和平面内两向量垂直，求出平面BPC和平面QBP的法向量，根据这两法向量的夹角的余弦值求出这两平面夹角的余弦值．如图，以D为坐标原点，线段D A的长为单位长，射线D A为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D−x y z.（1）依题意有Q1,1,0，C0,0,1，P0,2,0.则D Q=1,1,0，D C=0,0,1，P Q=1,−1,0.所以P Q⋅D Q=0，P Q⋅D C=0.即P Q⊥D Q，P Q⊥D C，故P Q⊥平面D C Q，又P Q平面P Q C，所以平面P Q C⊥平面D C Q.（2）依题意有B1,0,1，C B=1,0,0，B P=−1,2,−1.设n=x,y,z是平面P B C的法向量，则n⋅C B=0 n⋅B P=0即x=0−x+2y−2=0因此可取n=0,−1,−2.设m是平面P B Q的法向量，则m⋅B P=0 m⋅P Q=0同理可取m=1,1,1.所以cos m,n=−155.故二面角Q−B P−C的余弦值为−155.点睛：考查建立空间直角坐标系，用向量的方法证明面面垂直，求两平面夹角的方法，向量的数量积，及向量垂直的充要条件，平面法向量的概念，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理．20．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x−y+6=0相切.(1)求椭圆C的方程：(2)设P(4,0)，A、B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结P B 交椭圆C于另一点E，证明直线A E与x轴相交于定点Q.【答案】（1）x 24+y23=1（2）Q(1,0)【解析】【试题分析】（1）依据题设运用已知条件分别求出其参数a，b；（2）运用直线的点斜式方程求出直线P B的方程，再与椭圆方程联立，借助坐标之间的关系建立直线A E的方程，然后借助题设进行分析推证：解:(1)∵e=ca =12∴e2=c2a2=a2−b2a2=14，即a2=43b2，又∵b=61+1=3，既b2=3∴a2=4故椭圆C的方程为x2 4+y23=1.(2)由题意知，直线P B的斜率存在，设其为k，则直线P B的方程为y=k(x−4)由{3x2+4y2−12=0y=k(x−4)可得，(4k+3)x2−32k2x+64k2−12=0设点B(x1,y1)、E(x2,y2)，则A(x1,−y1)，x1+x2=32k24k2+3①，x1x2=64k2−124k2+3②由于直线A E的方程为y−y2=y2+y1x2−x1(x−x2)所以令y=0，可得x=x2−y2(x2−x1)y2+y1=x2−k(x2−4)(x2−x1)k(x2−4)+k(x1−4)=2x1x2−4(x1+x2)x1+x2−8①②带入到上式既可解得x=1，所以直线A E与x轴相交于定点Q(1,0).点睛：椭圆是重要的圆锥曲线的代表之一，也是高考重点考查的重要内容之一。

河南省中原名校联盟2017-2018学年高三数学模拟试卷(理科)(9月份) Word版含解析

2017-2018学年河南省中原名校联盟高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集U=R，集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤3}，则（∁U A）∪B=（）A．（2，3]B．（﹣∞，1]∪（2，+∞）C．[1，2）D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）2．已知i是虚数单位，若，则a+b的值是（）A．0 B．C． D．3．已知条件p：a＜0，条件q：a2＞a，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①④B．②③C．②④D．①②5．双曲线与椭圆的焦点相同，若过右焦点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同交点，则此双曲线实半轴长的取值范围是（）A．（2，4）B．（2，4]C．[2，4）D．（2，+∞）6．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．407．已知实数x，y满足约束条件则x2+y2+2x的最小值是（）A．B．C．D．18．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中0＜φ＜2π，若恒成立，且，则φ等于（）A．B． C． D．9．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．2 B．﹣C．﹣3 D．10．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（）A．B．C．D．11．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．212．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=3，PB=2，PC=2，设M是底面三角形ABC内一动点，定义：f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别表示三棱锥M﹣PAB，M﹣PBC，M﹣PAC的体积，若f（M）=（1，x，4y），且+≥8恒成立，则正实数a的最小值是（）A．2﹣B． C． D．6﹣4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．（+x）（1﹣）6的展开式中x的系数是．14．已知等比数列{a n}为递增数列，a1=﹣2，且3（a n+a n+2）=10a n+1，则公比q=．15．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为．16．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为．三、解答题（本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知sin=．（1）求cos C的值；（2）若△ABC的面积为，且sin2A+sin2B=sin2C，求a，b及c的值．18．某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调査，右表是在某单位得到（2）进一步调查：（ⅰ）从赞同“男女同龄退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；（ⅱ）从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调査的女士人数为X，求X的分布列和期望．．19．在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（1）求证：BD⊥EG；（2）求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点为短轴的一个端点，∠OF2B=60°．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，过右焦点F2，且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AD分别交直线x=3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′．试问k•k′是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnax﹣（a≠0）．（1）求此函数的单调区间及最值；（2）求证：对于任意正整数n，均有1++…+≥ln（e为自然对数的底数）．【选做题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．选修4﹣4：极坐标与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线，与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值．（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．2016年河南省中原名校联盟高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集U=R，集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤3}，则（∁U A）∪B=（）A．（2，3]B．（﹣∞，1]∪（2，+∞）C．[1，2）D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U=R，集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤3}，先求出∁U A={x|x＜0，或x ＞2}，再求（∁U A）∪B．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤3}，∴∁U A={x|x＜0，或x＞2}，∴（∁U A）∪B={x|x＜0，或x≥1}．故选D．2．已知i是虚数单位，若，则a+b的值是（）A．0 B．C． D．【考点】复数代数形式的混合运算；复数相等的充要条件．【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则，化简为，再利用两个复数相等的充要条件求出a、b的值，即可得到a+b的值．【解答】解：若，则a+bi=﹣=﹣=，∴a=，b=0，∴a+b=．故选D．3．已知条件p：a＜0，条件q：a2＞a，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【分析】根据已知中条件p：a＜0，条件q：a2＞a，我们可以判断出条件p与条件q之间的充要关系，然后再根据四种之间充要性的相互关系，即可得到答案．【解答】解：∵条件p：a＜0，条件q：a2＞a，⇔a＜0或a＞1故条件p是条件q的充分不必要条件则¬p是¬q的必要不充分条件故选：B4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①④B．②③C．②④D．①②【考点】平行投影及平行投影作图法．【分析】由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影，首先确定关键点P、A在各个面上的投影，再把它们连接起来，即，△PAC在该正方体各个面上的射影．【解答】解：从上下方向上看，△PAC的投影为①图所示的情况；从左右方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；从前后方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；故选A．5．双曲线与椭圆的焦点相同，若过右焦点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同交点，则此双曲线实半轴长的取值范围是（）A．（2，4）B．（2，4]C．[2，4）D．（2，+∞）【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜1，求得a和b的不等式关系，进而根据b=转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．【解答】解：椭圆的半焦距c=4．要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan60°=，即b＜ a∴＜a，整理得c＜2a∴a＞2，又a＜c=4则此双曲线实半轴长的取值范围是（2，4）故选A．6．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N*，d为常数），则称数列{a n}为调和数列．已知数列{}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=（）A．10 B．20 C．30 D．40【考点】数列的求和．【分析】由题意知道，本题是构造新等差数列的问题，经过推导可知{x n}是等差数列，运用等差数列的性质可求解答案．【解答】解：由题意知：∵数列{}为调和数列∴﹣=x n+1﹣x n=d∴{x n}是等差数列又∵x1+x2+…+x20=200=∴x1+x20=20又∵x1+x20=x5+x16∴x5+x16=20故选：B．7．已知实数x，y满足约束条件则x2+y2+2x的最小值是（）A．B．C．D．1【考点】简单线性规划的应用．【分析】在坐标系中画出满足约束条件的可行域，进而分析x2+y2+2x的几何意义，借助图象数形分析，即可得到答案．【解答】解：满足约束条件件的平面区域如下图中阴影部分所示：∵x2+y2+2x=（x+1）2+y2﹣1，表示（﹣1，0）点到可行域内任一点距离的平方再减1，由图可知当x=0，y=1时，x2+y2+2x取最小值1故选D8．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中0＜φ＜2π，若恒成立，且，则φ等于（）A．B． C． D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由对x∈R恒成立，结合函数最值的定义，求得f（）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，结合f（）＞f（π），易求出满足条件的具体的φ值．【解答】解：若对x∈R恒成立，则f（）等于函数的最大值或最小值即2×+φ=kπ+，k∈Z则φ=kπ+，k∈Z又，即sinφ＜0，0＜φ＜2π当k=1时，此时φ=，满足条件故选C．9．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．2 B．﹣C．﹣3 D．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的s，i的值，观察规律可知S出现周期为4，当i=2017时，不满足条件i≤2016，结束循环输出S，输出的s的值为2．【解答】解：模拟执行程序，可得：s=2，i=1满足条件i≤2016，执行循环体，满足条件i≤2016，执行循环体，满足条件i≤2016，执行循环体，满足条件i≤2016，执行循环体，s==2，i=5…，观察规律可知S出现周期为4，由于2016=504×4，可得当i=2016时，满足条件i≤2016，执行循环体，s=2，i=2017，不满足条件i≤2016，结束循环输出S，输出的s的值为2．故选：A．10．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（）A．B．C．D．【考点】互斥事件与对立事件；等可能事件的概率．【分析】恰好取5次球时停止取球，分两种情况3，1，1及2，2，1，这两种情况是互斥的，利用等可能事件的概率计算每一种情况的概率，再根据互斥事件的概率得到结果．【解答】解：分两种情况3，1，1及2，2，1这两种情况是互斥的，下面计算每一种情况的概率，当取球的个数是3，1，1时，试验发生包含的事件是35，满足条件的事件数是C31C43C21∴这种结果发生的概率是=同理求得第二种结果的概率是根据互斥事件的概率公式得到P=故选B11．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．2【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．【分析】设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴2+3cosθ=3∴cosθ=∵m=2+mcos（π﹣θ）∴∴△AOB的面积为S==故选C．12．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=3，PB=2，PC=2，设M是底面三角形ABC内一动点，定义：f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别表示三棱锥M﹣PAB，M﹣PBC，M﹣PAC的体积，若f（M）=（1，x，4y），且+≥8恒成立，则正实数a的最小值是（）A．2﹣B． C． D．6﹣4【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【分析】先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用基本不等式求出的最小值，建立关于a的不等关系，解之即可．【解答】解：∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=2．=×3×2×2=2=1+x+4y，∴V P﹣ABC即x+4y=1，∵+≥8恒成立，∴+=（+）（x+4y）=1+≥1+4a+4≥8，解得a≥∴正实数a的最小值为．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．（+x）（1﹣）6的展开式中x的系数是31．【考点】二项式系数的性质．【分析】求出（1﹣）6的展开式，可得（+x）（1﹣）6的展开式中x的系数．【解答】解：∵（1﹣）6=•+•+…+•，∴（+x）（1﹣）6的展开式中x的系数是2×+1=31，故答案为：31．14．已知等比数列{a n}为递增数列，a1=﹣2，且3（a n+a n+2）=10a n+1，则公比q=．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知可得0＜q＜1，再由3（a n+a n+2）=10a n+1，得到关于q的一元二次方程，求解一元二次方程得答案．【解答】解：∵等比数列{a n}为递增数列，且a1=﹣2＜0，∴公比0＜q＜1，又∵3（a n+a n+2）=10a n+1，两边同除a n，可得3（1+q2）=10q，即3q2﹣10q+3=0，解得q=3或，而0＜q＜1，∴．故答案为：．15．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，求出向量=（，﹣λ+μsinθ）=（1，1），用cosθ，sinθ表示λ和μ，根据cosθ，sinθ的取值范围，再结合λ+μ的单调性，求出λ+μ=的最小值．【解答】解：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则E（，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0）．设P（cosθ，sinθ），∴=（1，1）．再由向量=λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）=（，﹣λ+μsinθ），∴，∴，∴λ+μ===﹣1+．由题意得0≤θ≤，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1．求得（λ+μ）′==＞0，故λ+μ在[0，]上是增函数，故当θ=0时，即cosθ=1，这时λ+μ取最小值为=，故答案为：．16．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为1﹣3a．【考点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质．【分析】作函数f（x）与y=a的图象，从而可得函数F（x）=f（x）﹣a有5个零点，设5个零点分别为b＜c＜d＜e＜f，从而结合图象解得．【解答】解：作函数f（x）与y=a的图象如下，，结合图象可知，函数f（x）与y=a的图象共有5个交点，故函数F（x）=f（x）﹣a有5个零点，设5个零点分别为b＜c＜d＜e＜f，∴b+c=2×（﹣4）=﹣8，e+f=2×4=8，﹣（﹣x+1）=a，故x=1﹣3a，即d=1﹣3a，故b+c+d+e+f=1﹣3a，故答案为：1﹣3a．三、解答题（本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知sin=．（1）求cos C的值；（2）若△ABC的面积为，且sin2A+sin2B=sin2C，求a，b及c的值．【考点】解三角形；三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】（1）所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，得到关于sin的关系式，把sin的值代入即可求出值；（2）把sin2A+sin2B=sin2C利用正弦定理化简，得到一个关于a，b和c的关系式，记作①，然后根据余弦定理表示出cosC，把（1）中求出的cosC的值代入，得到关于a，b和c 的另一关系式，记作②，又根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，让面积等于的一个关系式，且由cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，把sinC的值代入关系式中化简，得到又一个关于a，b的关系式，记作③，联立①②③组成方程组，求出方程组的解即可得到a，b和c的值．【解答】解：（1）因为sin=，所以cosC=1﹣2sin2=1﹣2=﹣；（2）因为sin2A+sin2B=sin2C，由正弦定理得：a2+b2=c2．①由余弦定理得a2+b2=c2+2abcosC，将cosC=﹣代入，得：ab=c2．②由S△ABC=absinC=及sinC==，得：ab=6．③联立①②③，解得或，经检验，满足题意．所以或．18．某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调査，右表是在某单位得到（1 ）能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？（2）进一步调查：（ⅰ）从赞同“男女同龄退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；（ⅱ）从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调査的女士人数为X，求X的分布列和期望．【考点】独立性检验的应用；等可能事件的概率；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由题设知K2=≈2.932＞2.706，由此得到结果．（2）（i）记题设事件为A，利用组合数公式得P（A）=，由此能求出事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率．（ii）根据题意，X服从超几何分布，P（X=k）=，k=0，1，2，3．由此能求出X 的分布列和期望．【解答】解：（1）K2=≈2.932＞2.706，由此可知，有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关．…（2）（ⅰ）记题设事件为A，则所求概率为P（A）==．…（ⅱ）根据题意，X服从超几何分布，P（X=k）=，k=0，1，2，3．X的期望E（X）=0×+1×+2×+3×=1．…19．在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（1）求证：BD⊥EG；（2）求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质．【分析】解法1（1）证明BD⊥EG，只需证明EG⊥平面BHD，证明DH⊥EG，BH⊥EG即可；（2）先证明∠GMH是二面角G﹣DE﹣F的平面角，再在△GMH中，利用余弦定理，可求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值；解法2（1）证明EB，EF，EA两两垂直，以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系用坐标表示点与向量，证明，可得BD⊥EG；（2）由已知得是平面DEF的法向量，求出平面DEG的法向量，利用向量的夹角公式，可求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．【解答】解法1（1）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF⊂平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．…过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．∵EG⊂平面BCFE，∴DH⊥EG．…∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG，…又BH∩DH=H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，∴EG⊥平面BHD．…∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG．…（2）解：∵AE⊥平面BCFE，AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面BCFE由（1）可知GH⊥EF，∴GH⊥平面AEFD∵DE⊂平面AEFD，∴GH⊥DE…取DE的中点M，连接MH，MG∵四边形AEHD是正方形，∴MH⊥DE∵MH∩GH=H，MH⊂平面GHM，GH⊂平面GHM，∴DE⊥平面GHM，∴DE⊥MG∴∠GMH是二面角G﹣DE﹣F的平面角，…在△GMH中，，∴…∴平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为．…解法2（1）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE，又AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．…以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2），G （2，2，0）．…∴，，…∴，…∴BD⊥EG．…（2）解：由已知得是平面DEF的法向量．…设平面DEG的法向量为，∵，∴，即，令x=1，得．…设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为θ，则…∴平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为．…20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点为短轴的一个端点，∠OF2B=60°．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，过右焦点F2，且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AD分别交直线x=3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′．试问k•k′是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由条件可知，故求的椭圆方程．（2）设过点F2（1，0）的直线l方程为：y=k（x﹣1）．由可得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．因为直线AE的方程为：，直线AD的方程为：，从而列式求解即可．【解答】解：（1）由条件可知，故所求椭圆方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）设过点F2（1，0）的直线l方程为：y=k（x﹣1）．由可得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0因为点F2（1，0）在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，即△＞0恒成立．设点E（x1，y1），D（x2，y2），则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为直线AE的方程为：，直线AD的方程为：，令x=3，可得，，所以点P的坐标．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣直线PF2的斜率为=====，所以k•k'为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．已知函数f（x）=lnax﹣（a≠0）．（1）求此函数的单调区间及最值；（2）求证：对于任意正整数n，均有1++…+≥ln（e为自然对数的底数）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出函数的导数，分类讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求得函数的极值．（2）取a=1，由（1）知f（x）=lnx﹣≥0，即≥1﹣lnx=ln，取x=1，2，3…，n，累加可得要征的结论．【解答】解：（1）由题意可得f′（x）=，∴当a＞0时，令f′（x）=0，求得x=a，由ax＞0，求得x＞0，函数的定义域为（0，+∞），此时函数在（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数；在（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数，故函数f（x）的极小值为f（a）=lna2，无最大值．当a＜0时，由ax＞0，求得x＜0，可得函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），此时函数（﹣∞，a）上，f′（x）=＜0，f（x）是减函数；在（a，0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数，故函数f（x）的极小值为f（a）=lna2，无最大值．（2）证明：取a=1，由（1）知f（x）=lnx﹣≥f（1）=0，∴≥1﹣lnx=ln，取x=1，2，3…，n，则1++…+≥ln+ln+ln+…+ln=ln，故要征得不等式1++…+≥ln成立．【选做题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD．【考点】圆內接多边形的性质与判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质．【分析】（I）根据圆内接四边形的性质，可得∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，从而△EDC∽△EBA，所以有，利用比例的性质可得，得到；（II）根据题意中的比例中项，可得，结合公共角可得△FAE∽△FEB，所以∠FEA=∠EBF，再由（I）的结论∠EDC=∠EBF，利用等量代换可得∠FEA=∠EDC，内错角相等，所以EF∥CD．【解答】解：（Ⅰ）∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B∴△EDC∽△EBA，可得，∴，即∴（Ⅱ）∵EF2=FA•FB，∴，又∵∠EFA=∠BFE，∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC=∠EBF，∴∠FEA=∠EDC，∴EF∥CD．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．选修4﹣4：极坐标与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线，与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（Ⅰ）把C1、把C2的方程化为直角坐标方程，根据因为曲线C1关于曲线C2对称，可得直线y=a经过圆心（1，1），求得a=1，故C2的直角坐标方程．（Ⅱ）由题意可得，；φ；；=2cos（+φ），再根据|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin（φ+）sinφ+8cos（+φ）cosφ=8cos，计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）C1：即ρ2=2ρ（sinθ+cosθ）=2ρsinθ+2ρcosθ，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，因为曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，；φ；；=2cos（+φ），∴|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin（φ+）sinφ+8cos（+φ）cosφ=8cos[（+φ）﹣φ]=8×=4．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值．（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．【考点】其他不等式的解法．【分析】（1）根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数a，m的值．（2）根据绝对值的解法，进行分段讨论即可得到不等式的解集．【解答】解：（1）∵f（x）≤m，∴|x﹣a|≤m，即a﹣m≤x≤a+m，∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得a=2，m=3．（2）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|．当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0，成立．当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立．综上不等式的解集为（﹣∞，]．2016年8月1日。

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中原名校联盟2017-2018学年上期第二次联合考试
高三数学试题（理科）
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。

第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。

只有
一个选项是符合题目要求的． 1．若集合M ＝{x ｜x ≥0}，N ＝{x ｜4x
＜4}，则M ∩N ＝
A ．[0，＋∞）
B ．[0，1）
C ．（1，＋∞）
D ．（0，1]
2．函数y 的定义域为
A ．（0，1]
B ．[1，3]
C ．（0，3]
D ．（1，3] 3．已知数列{n a }是公比为q 的等比数列，则“q ＜0”是“a 1＋a 2＜0”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．执行右面的程序框图，输出S 的值为 A ．1 B ．5 C ．21 D ．85
5．函数f （x ）＝3
ax ＋ln （x ＋2）在点（－1，－a ）处取得
极值，则a ＝
A ．－1
B ．1
C ．－13
D ．13
6．已知角α的终边上的一点的坐标为（35，45），则cos 21sin 2α
α
＋＝
A ．－17
B ．1
7
C ．－7
D ．7
7．函数f （x ）＝sin （ωx ＋ϕ）（ω＞0，｜ϕ｜＜
2
π
）的最小正周期为π，其图象向左平移6π个单位后关于原点对称，则函数f （x ）在[0，2
π
]上的最小值为
A ．－
12 B C ．12 D
8．已知实数x ，y 满足220,240,30,x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩
－－≥＋－≥－－≤则2
x ＋2(2)y ＋的取值范围是
A ．[
659,25] B ．[365
,25] C ．[16，25] D ．[9，25] 9．已知f （x ）＝2,0,1,
x x x x ⎧⎨⎩≥－,＜0，则不等式f （x ）＞22
x －4的解集为
A ．（－1，2）
B ．（－2，1）
C ．[0，1）
D ．（－2，0]
10．已知等比数列{n a }的公比q ＜0，前n 项和为n S ，且a 1＋22a ＝3，a 3＝－4，则S 9＋S 10＝
A ．150
B ．170
C ．190
D ．210
11．在Rt △ABC 中，直角边AC ，BC 长分别为3，6，点E ，F 是AB 的三等分点，D 是BC
中点，AD 交CE ，CF 分别于点G ，H ，则CG uu u r ·CH uuu
r ＝
A ．
73 B ．113 C ．72 D ．92
12．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （－x ）＋f （x ＋3）＝0；当
x ∈（0，3）时，f （x ）＝
ln e x
x
，其中e 是自然对数的底数，且e ≈2．72，则方程 6f （x ）－x ＝0在[－9，9]上的解的个数为
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分． 13．已知sin （π－α）＝
1
3
，α是第二象限角，则cos α＝_________． 14．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝a －b ，d ＝2a ＋tb ．若c ⊥d ，则实数t ＝________． 15．已知f （x ）是偶函数，当x ≥0时，f （x ）＝5x
＋2log (1)x ＋，若f （32
x －2x ）＜6，则
实数x 的取值范围是____________．
16．设n S 是等差数列{n a }的前n 项和，S 6＝21且S 15＝120，则
20
1
n n S a ＋＋的最小值是___________．三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17．（本小题满分10分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos2C －3cosC ＝1，c
S △ABC
＝
2
．（Ⅰ）求角C 的大小；
＋sinB)的值． 18．（本小题满分12分）
已知P ：x ∃∈R ，cos2x －sinx ＋2≤m ；q ：函数y ＝222
1
()
3
x mx －＋在[2，＋∞）上单调递减．
（Ⅰ）若p ∧q 为真命题，求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）若p ∧q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围． 19．（本小题满分12分）已知向量m ＝（sinxcos α,sin α），n ＝（2cosx,1－22
cos x ），α∈[－
23
π
，0] ，f （x ）＝m ·n ，且函数f （x ）图象关于点（－
6
π
，0）对称．（Ⅰ）求α值；
（Ⅱ）若函数f （x ）在x ＝x 0处取最大值，求cosx 0的值． 20．（本小题满分12分）在公比为正数的等比数列{n a }中，a 3－a 1＝
1627，a 2＝－2
9
，数列{ n b }（n b ＞0）的前n
项和n S 满足n S －1n S -（n ≥2），且S 10＝100．（Ⅰ）求数列{n a }和{n b }的通项公式；（Ⅱ）求数列{n a n b }的前n 项和n T ．
21．（本小题满分12分）
已知函数f （x ）＝2x
e －3x
x e ．
（Ⅰ）求函数f （x ）在（0，f （0））处的切线方程；（Ⅱ）证明：当x ∈（0，1）时，f （x ）＞ln x
x
． 22．（本小题满分12分）
已知函数f （x ）＝ln （2ax ＋1）＋33
x －2
x （a ∈R ）．
（Ⅰ）若x ＝2为f （x ）的极值点，求实数a 的值；
（Ⅱ）若y ＝f （x ）在[2，＋∞）上为增函数，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）当a ＝－12时，方程f （1－x ）＝3(1)3
x －＋b
x ＋x －1有实根，求实数b 的最大值．。