实变函数与泛函分析要点说明

实变函数与泛函分析概要第一章集合基本要求：1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。

2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。

3、会求已知集合的并、交、差、余集。

4、了解对等的概念及性质。

5、掌握可数集合的概念和性质。

6、会判断己知集合是否是可数集。

7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。

8、了解半序集和Zorn引理。

第二章点集基本要求：1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。

2、掌握点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。

掌握聚点的性质。

3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。

4、会求己知集合的开集和导集。

5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。

6、会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。

7、了解Peano曲线概念。

主要知识点：一、基本结论：1、聚点性质§2 中T1聚点原则：P0是E的聚点⇔ P0的任一邻域，至少含有一个属于E而异于P0的点⇔存在E中互异的点列{Pn}，使Pn→P0 （n→∞）2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3T2：设A⊂B，则A⊂B，·Ａ⊂·Ｂ，－Ａ⊂－Ｂ。

T3：（A∪B）′=A′∪B′.3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、4、5）T1：对任何E⊂Rⁿ，Ė是开集，E´和―Ｅ都是闭集。

（Ė称为开核，―Ｅ称为闭包的理由也在于此）T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。

T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。

T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。

T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是一个有界闭集，ℳ是一开集族{Ui}iєI它覆盖了F（即Fс∪ｉєＩUi），则ℳ中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们同样覆盖了F（即F⊂ｍ∪ Ui）（iєI）4、开（闭）集类、完备集类。

开集类：Rⁿ，Φ，开区间，邻域、Ė、Pо闭集类：Rⁿ，Φ，闭区间，有限集，E΄、E、P完备集类：Rⁿ，Φ，闭区间、P二、基本方法：1、判断五种点的定义；2、利用性质定理，判断导集、邻域等；3、判断开集、闭集；4、关于开闭集的证明。

第三章测度论基本要求：1、理解外测度的概念及其有关性质。

2、掌握要测集的概念及其有关性质。

3、掌握零测度集的概念及性质。

4、熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集，掌握一批可测集的例子。

5、会利用本章知识计算一些集合的测度。

6、掌握“判断集合可测性”的方法，会进行有关可测集的证明。

要点归纳：外测度：①定义：E⊂Rⁿ Ii（开区间）∞∪ IiכE m*（E）=inf∑ｉ│Ii│②性质：(1) 0≤m*E≤+∞（非负）（2）若AсB则m*A≤ m*B（单调性）（3）m*（∞∪A i）≤∞∑m*A i（次可列可加性）③可测集：E⊂Rⁿ对任意的TєRⁿ有：m*（T）= m*（T∩E）+ m*（T∩CE）称E为可测集，记为mE 其性质：1）T1：E可测⇔∀A⊂E B⊂C E使m*（A∪B）= m*A+ m*B2）T2：E可测⇔CE可测④运算性质：设S1、S2可测⇒S1∪S2可测（T3）；设S1、S2可测⇒S1∩S2可测（T4）；设S1、S2可测⇒S1-S2可测（T5）。

⑤S1、S2…S n可测⇒∪S i可测（推论3）∩S i可测（T7）⑥S1、S2…S n…可测，S i∩S j=φ⇒∪S i可测m(∪S i)=∑m(S i)(T6)⑦S i递增,S1⊂S2⊂S3⊂…⇒lim(∪S i)=lim mS i=Ms(T8)⑧S i递降可测, S1כS2כS3כ…当m S1<+∞⇒lim m(∩S i)=lim mS n (T9)⑨可测集类:1)零测度集:可数集、可列点集、Q、[0，1]∩Q、Ф、P零测度集的子集是~，有限个、可数个零测度集之并是~。

2）区间是可测集 m I=│I│ 3）开集、闭集；4）Borel集定义，设G可表为一列开集的交集，且称G为Gδ型集如[-1，1]；设F可表为一列闭集之并，则称为Fσ型集，如[0，1]Borel集定义：从开集出发，用取余集、取有限个或可列个集合的并集或交集（不超过可数次）的集合。

T6：设E是任一可测集，存在Gδ集，使E⊂G，且m（G-E）=0T7：设E是任一可测集，存在Gσ集，使F⊂E，且m（F-E）=0可测集是存在的。

第四章可测函数基本要求：1、掌握可测函数的概念和主要性质。

2、掌握点集上的连续函数、简单函数、几乎处处成立（几乎处处相等、几乎处处有限、几乎处处收敛…）的概念。

3、掌握一批可测函数的例子。

4、掌握判断函数可测性的方法，会进行关于可测函数的证明。

5、理解叶果洛夫定理和鲁金定理。

6、了解依测度收敛的概念及其性质。

7、理解三种收敛之间的关系。

(一)基本概念1可测函数：ƒ是定义在可测集E Rⁿ上的实函数，任意的α∈RE[ƒ>α]是可测集，称ƒ（x）是E上的可测函数ƒ可测⇔任意的α∈R E[ƒ≧α]是可测集⇔任意的α∈R E[ƒ<α]是可测集⇔任意的α∈R E[ƒ≦α]是可测集⇔任意的α，β∈R E[α≤ƒ<β]是可测集（│ƒ│<+∞）几乎处处成立2连续函数、简单函数3依测度收敛、收敛 、一致收敛（二）基本结论：可测函数的性质（8个定理）（1） 充要条件（T 1）4 个等价条件（2） 集合分解T 3（2），ƒ在E i 之并S ∪E i 上，且在E i 上可测=> ƒ在S ∪E i 上可测（3） （四则运算）ƒ ，g 在E 上可测ƒ+g ，ƒg ，│ƒ│，1/ ƒ在E 上可测。

（4） 极限运算 { ƒn }是可测函数列，则μ=inf ƒn λ（x ）=sup ƒn 可测（T5）⇒F=lim ƒn G=── lim ƒn 可测（5） 与简单函数的关系：ƒ在E 上可测 ⇒ ƒ总可以表成一列简单函数{φn }的极限函数 ƒ=lim n φn ，而且可以办到│φ1│≤│φ2│≤│φ3│≤…2.ЕгopO в定理：mE<+∞ ƒn 是E 上a .e 于一个a .e 有限的函数ƒ的可测函数 ⇒ 对任意的δ>0 存在子集E δ⊂E 使得ƒn 在E δ上一致收敛且m （E-E δ）<δ3Лузин定理：ƒ是E 上a.e 有限可测函数,任意δ>0 ∃闭子集E δ⊂E 使得ƒ在E δ上连续 且m （E-E δ）<δ即在E 上a.e 有限的可测函数是：“基本上连续”的函数。

4可测函数类：连续函数（T2）、简单函数、R 上单调函数、零测度集上函数。

5三种收敛之间的关系：（ E ⊂R ⁿ mE ＜+∞）（Riesz：f n⇒f 则{f n i}→f a.e于E）Lebesgue：1） mE<+∞；2）f n E 上a.e有限的可测函数列;3)f n E 上a.e收敛于a.e有限的ff n⇒f(x) 在此mE<+∞条件下,可见测度收敛弱于a.e收敛补充定理(见复旦§3.2 T5) mE<+∞,fn是E上可测函数列fn⇒f ⇔{fn}的（任何子列）∀fn i，总可以找到子子列（∃） fn ij →f a.e于E三、基本方法：1判函数可测（1）集合判别法，任意的a∊R E[f>a] 是可测集（2）集合分解法，E=∪E i E i∩E j=Ф f在E i上可测（3）函数分解法，f可表为若干函数的运算时（4）几乎处处相等的函数具有相同的可测性（§1，T8）（5）可测函数类2判断三种函数之间的关系第五章积分论基本要求：1、了解可测分划、大（小）和、上（下）积分、有界函数L可积和L积分的概念。

2、掌握有界函数L积分的性质。

3、理解非负函数L积分与L可积的概念。

4、理解一般函数的L积分确定、L积分与L可积的概念。

5、掌握一般函数的L积分的性质。

6、掌握L积分极限定理。

7、 弄清L 积分与R 积分之间的关系。

8、 熟练掌握计算L 积分的方法。

9、 会利用L 积分极限定理进行有关问题的证明。

10、了解有界变差函数的概念及其主要性质。

11、 了解不定积分、绝对连续函数的概念及它们的主要性质。

Lebesgue 积分1、 Riemann 积分 分割、作和、取确界、求极限。

2、 Lebesgue 积分定义1：E=ｎ∪Ei,各E i 互不相交，可测，则称{E i }为E 的一个分划，记作D={E i }定义2：设f 是定义在E ⊂R ⁿ（m E <∞）上的有界函数，D={E i }令B і=ｓｕ ｐｘєＥｉf （x ） b i=ｉｎ ｆｘєＥｉf （x ）大和S （D ，f ）=∞∑Bi m E i = S （D ，f ）小和ş（D ，f ）=∞∑b i m E i=ş（D ，f ）ş（D ，f ）≤S （D ，f ）定义3：设f 是定义在E ⊂R ⁿ（m E <∞）上的有界函数上积分：– ∫Ｅf （x ）dx=inf{ S （D ，f ）}下积分：∫ –Ｅ f （x ）dx=sup ş（D ，f ）若上下积分相等，则称f 在E 上可积，其积分值叫做L 积分值，记（L ）∫E f （x ）dxT1：设 f 是定义在E ⊂R q （m E <∞）上的有界函数，则f 在E 上L 可积‹═›任意的ε＞ 0S （D ，f ）- ş（D ，f ）＜εT2：f 在E 上L 可积⇔f 在E 上可测 （*）对有界函数而言，L 可积⇔可测T3：f ，g 有界，在E 上可测，f±g ，fg ，f/g ， │f │可积T4：f 在[a ，b]上R 可积═›L 可积，且值相等 *L 积分的性质：T-1（1）：f 在E 上L 可积，则在E 的可测子集上也L 可积；反之， E=E 1∪E 2 E 1∩E 2=φ E 1、E 2可测，若f 在E i 上L 可积，则f 在E 上可积 ∫E fdx= ∫E1fdx+ ∫E2fdx （积分的可加性）（2） f ，g 在E 上有界可测 ∫E （f+g ）dx=∫ E fdx+∫E gdx（3）任意c єR ∫ E c fdx=c ∫E fdx（4）f ，g 在E 上L 可积，且f ≤g 则∫E fdx ≤∫E gdx特别地，b ≤f ≤B ∫E fdx є[bmE ，BmE]推论1：（1）当mE=0 ∫E fdx=0（2）f=c ∫E fdx=cmE（5）f 在E 上可积，则│f │可积，且│∫E fdx │≤∫E │f │dx T-2 （1）设f 在E 上L 可积 f ≥0 ∫E fdx=0 则 f=0 a.e 于E（2）f 在E 上L 可积，则对任意的可测集A 属于E使ｌｉｍ ｍＡ→０ ∫A fdx=0 （绝对连续性）推2：设f ，g 在E 上有界可积，且f=g a.e 于E则 ∫E fdx= ∫E g dx证明思路: E=E 1∪E 2 E 1∩E 2=φ E 1=E [f ≠g]∫E (f- g)dx = ∫E1 + ∫E2 (f- g)dx=0注:1)在零测度集上随意改变函数值,不影响积分值,甚至在E 的一个零测度子集0E 上无定义亦可.2)从E 中除去或添加有限个或可数个点L 积分值不变一般函数的积分一、 非负函数：f, E ⊂E ｑ二、 定义: f ≥0 E ⊂E ｑ mE <∞[f(x)]n={ｆｎ ｆ≤ｎｆ＞ｎ 称[f]n 为（E 上）截断函数性质：（1） ∀ [f(x)]n 有界非负， f ≤n（2）单调 [f]1≤[f]2≤[f]3≤…（3）ｌｉｍｎ→∞[f]n=f （x ）定义1：设f 为非负（于E ）可测（mE <∞）称∫Efdx =∫E ｌｉｍｎ→∞[f]n d x （若存在含无穷大）为f 在E 上的L 积分当∫E ｌｉｍｎ→∞[f]n d x 为有限时，称f 为在E 上的非负可积函数注：①非负可积一定存在分② L三、 一般函数的积分设f 在E （mE <+∞）上可测， f ＋ f －在E 上非负可测，则│f │可测 ∫E f ＋ dx ∫E f － dx 存在 f= f ＋ - f －∫E f dx=∫E f ＋ dx-∫E f －dx 定义 2：设f 在E （mE <+∞）上可测，若∫E f ＋ dx 和∫E f －dx 不同时为+∞ 则称f 在E 上积分确定当∫E f dx <+∞时，则称f 在E 上L 可积注：①f 可测 f 的积分确定 可积②有界函数 −−−←][f n 非负函数−−−−←-+f f 一般函数mE <+∞L 积分的性质：定理1-（1）：若 mE=0，则 ∫E f dx=0（2）：f 在E 上可积⇒mE[f=+∞]=0 f 有限a .e 于E 同（R ）（3）：f 在E 上积分确定⇒ f 在可测子集E 1 ⊂E 上积分确定12E E E fdx fdx fdx =-⎰⎰⎰ E=E 1∪E 2 (4):f 在E 上积分确定,f=g a .e 于E 则f,g 的积分确定且相等 几乎处处相等的函数具有相同的可积性(值相等)同(R)(5):f,g 在E 上非负可测⇒∫E (f+g) dx=∫E f dx+∫E fgdx 同(R)(6): f,g 在E 上积分确定f ≤g ⇒ ∫E f dx ≤∫E fgdx L 可积性质定理2:有界可积函数性质仍成立(5条)(略)积分极限定理T-1 L 控制收敛定理设1）{fn}是E 上一列可测函数2）│fn │≤f （x ） f 为L 可积函数3）fn ⇒f （fn →f a.e 于E ）则f 是E 上L 可积函数,且ｌｉｍｎ→∞∫E fn d x=∫E f d xL 有界收敛定理设1）{n f }是E 上一列可测函数, mE <+∞2）│n f │≤K （常数）3）n f ⇒f （n f →f a.e 于E ）则f 是E 上L 可积函数,且ｌｉｍｎ→∞∫E n f dx=∫E f dxT-2(Levi)设{n f }是E 上一列非负可测函数, n f ≤1n f +则ｌｉｍｎ→∞∫E n f dx=∫E ｌｉｍｎ→∞ n f dxT-3设{n f }是E 上一列非负可测函数,则∫E ∑∞=1n n f n dx=∑∞=1n ∫E n f dx (逐项积分定理)T-4(积分的可数可加性)f 在可测集E ⊂E ｑ 上的积分确定,且E=∞∪Ei其中E i 为互不交的可测集, 则 ∫E f dx=∞∑∫E i f dx 有界变差函数分划:T:a=x0 <x1<x2<…<xn=b 若E{∑│()i f x - 1()i f x - │}为界数集则称f 在[a,b]上是有界变差函数 ,上确界称为全变差,记V b a （f ）=sup ∑=n i 1│f （xi ）-f （xi-1）│有限闭区间上满足Lipschtz 条件的f 是有界变差有限闭区间上单调有限函数是有界变差V b a （f ）=│f （b ）-f （a ）│T-2性质：1）()()b c b a a cf f V V V =+（f ）可加性2）f 在[a,b]上是有界变差⇒f 有界3）f ，g 有界变差⇒f ±g ，f g 有界变差T-3（Jordan 分解）f ∈V[a ，b] ⇔f 可分解为两个有限增函数之差有界变差函数不连续点至多可列个，f ∈V[a ，b]，V ba （f ）=0=>f =constT-4(Lebesgue)设f ∈V[a ，b],则1) 在[a ，b]上几乎处处存在导数f'(x)2) f'(x)在[a ，b]上可积3) 若f 是增函数,有∫ｂａ f'(x)dx ≤f(b)-f(a)不定积分定义1:设f 在[a ，b]上L 可积, f ∈L[a ，b]∫[a,x] f dx 称为f 在[a ，b]上的不定积分定义2:设F(x ) 是[a ，b]上的有界函数,∀ε>0 ，∃δ>0 [a i ,b i ]不交,只要∑=n i 1( bi- ai)< δ 就有∑=n i 1│F(bi)-F(ai)│<ε,则称f 为[a ，b]上的绝对连续函数(全连续函数)定理1：f ∈[a ，b] F （x ）=∫[a,x] f dx+C 为绝对连续函数绝对连续⇒一致连续且有界变差f 满足Lipschtz 条件⇒f 全连续T2：F （x ）为[a ，b]上绝对连续函数，F'（x ）=0 a .e 于[a ，b]则F （x ）=constT3: f ∈L[a ，b], 绝对连续函数F （x ） ,使F'（x ）= f （x ）a.e 于[a ，b](只需取F （x ）=∫[a,x] f dx)T4: f 是[a ，b]上绝对连续函数,则几乎处处有定义的F'（x ）在[a ，b]上可积, 且 F （x ）= F （a ）+ ∫[a,x] f dx即F （x ）总是[a ，b]上可积函数的不定积分.F 是[a ，b]上绝对连续函数⇔F 是一可积函数的不定积分对绝对连续函数,微分再积分也还原(至多差一常数)T5:(分部积分) f在[a，b]上绝对连续,λ(x)在[a，b]上可积且g(x)-g(a)= xλ(x)dx 则有a∫ｂａf（x）λ(x)dx=f（x）λ(x)│ｂａ-∫ｂａf'（x）λ(x)dx补充：（见南京大学教材）fє V[a，b]，则f（x）=φ（x）+r（x）+s（x）φ（x）为全连续；r΄（x）为奇异函数；s（x）为跳跃函数f（x）=p（x）-n（x）+f（a）p（x）为正变分；n（x）为负变分。