2015年全国真题专题十一-排列组合、二项式定理 - 副本
2015高考数学一轮配套课件：11-2排列与组合
个班级中的 2 个班有 A26种． 所以不同的安排方法有12C24A26种，即 45 种．
法二 先从 6 个班级中选 2 个班级有 C26种不同方法，然后安排 学生有 C24C22种，故有 C26C24＝12A26C24种，即 45 种．
诊断·基础知识
突破·高频第考十点八页，编辑于星培期养五：·解十三题点 能五十力七分。
取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法
解析 满足题设的取法可分为三类：一是取四个奇数，在 5 个
共奇数有1_,_3,_5,_7_,9_中__，．任意取 4 个，有 C45＝5(种)；二是两个奇数和
两个偶数，在 5 个奇数中任取 2 个，再在 4 个偶数 2,4,6,8 中任 取 2 个，有 C25·C24＝60(种)；三是取 4 个偶数的取法有 1 种． 所以满足条件的取法共有 5＋60＋1＝66(种)．
• 3．排列数、组合数的公式及性质
(1)Amn ＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
＝n－n！m！
公
式
(2)Cmn ＝AAmmnm＝nn－1n－m2！…n－m＋1＝
n！ m！n－m！
(n，m∈N*，且 m≤n)．特别地 C0n＝1. 性 (1)0！＝ 1 ；Ann＝ n！. 质 (2)Cmn ＝Cnn－m；Cmn＋1＝ Cnm＋Cmn －1 .
答案 66种
诊断·基础知识
突破·高频第考十点六页，编辑于星培期养五：·解十三题点 能五十力七分。
• 考点三 排列、组合的综合应用
• 【例3】 (1)(2013·浙江卷)将A，B，C，D，E， F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧， 则不同的排法共有________种(用数字作答)．
• (2)某校高二年级共有6个班级，现从外地转
(新课标)北京市2015届高考数学一轮复习 第12讲 排列组合、二项式定理、概率与统计课后练习 理
第12讲 排列组合、二项式定理、概率与统计经典精讲题一：把座位编号为1、2、3、4、5、6的六X 观看《孔子》的电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一X ，至多两X ，且分得的票必须是连号，那么不同的分法种数是_________题二：把座位编号为1，2，3，4，5，6的六X 同排的电影票全部分给四个人，每人至少分一X ，至多分二X ，且这两X 票必须相隔一个数，则不同的分法种数是______．题三：由1，2，3，4，5组成的五位数中，恰有2个数位上的数字重复且十位上的数字小于百位上的数字的五位数的个数是____．题四：用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是____．题五：某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，若甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为____．题六：将编号为①②③④的四个小球放到三个不同的盒子内，每个盒子至少放一个小球，且编号为①②的小球不能放到同一个盒子里，则不同放法的种数为____．题七：若(x －m )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，其中a 5＝56， 则a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________．题八：若多项式x 5+x 10=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1) 2+…+a 9(x +1)9+a 10(x +1)10， 则a 4=______．题九：5)xax （(x ∈R)展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于________．题十：已知(x －2x2)n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含32x 的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．A ．27分B ．28分C ．29分D ．30分题十二：8名学生在一次数学测试中的成绩为80，82，79，69，74，78，x ，81，这组成绩的平均数是77，则x 的值为．题十三：已知一个样本中各个个体的值由小到大依次为：4，6，8，9，x ，y ，11，12，14，16，且中位数为10，要使该样本的方差最小，则xy =．题十四：样本中共有四个个体，其值分别为1，2，3，a ，若该样本的平均值为1， 则样本标准差为．题十五：从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为．题十六：从某校随机抽取了100名学生，将他们的体重（单位：kg ）数据绘制成频率分布直方图（如图），由图中数据可知m = ，所抽取的学生中体重在45～50kg 的人数是．题十七：已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋1，若a 是从区间[0,2]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，则此函数在[1，＋∞)递增的概率为________．题十八：小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若 此点到圆心的距离大于21，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于41，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为．详解：方法一：不在家看书的概率2211134216⎛⎫⎛⎫⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==ππ－ππ．题十九：甲，乙两人射击，每次射击击中目标的概率分别是31，41．现两人玩射击游戏，规则如下：若某人某次射击击中目标，则由他继续射击，否则由对方接替射击．甲、乙两人共射击3次，且第一次由甲开始射击．假设每人每次射击击中目标与否均互不影响． （Ⅰ）求3次射击的人依次是甲、甲、乙，且乙射击未击中目标的概率； （Ⅱ）求乙至少有1次射击击中目标的概率．题二十：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设两人每次射击是否击中目标相互之间没有影响．（Ⅰ）求甲射击5次，有两次未击中目标的概率；（Ⅱ）假设某人连续2次未击中目标，则终止其射击，求乙恰好射击5次后，被终止射击的概率．第12讲 排列组合、二项式定理、概率与统计经典精讲题一：144．详解：先将票分为符合条件的4份；由题意，4人分6X 票，且每人至少一X ，至多两X ，则两人一X ，2人2X ，且分得的票必须是连号，相当于将1、2、3、4、5、6这六个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号；易得在5个空位插3个板子，共有3510C =种情况，但其中有四种是1人3X 票的，故有104=6种情况符合题意，再对应到4个人，有4424A =种情况；则共有6×24=144种情况．题二：96．详解：由题意知本题是一个分步计数问题，先4个人中选2人，这2人每人会拿到2X 票有246C =，编号为1～6的电影票按连续编号可以分为：13，24，35，46共4组．被选出的2人分别可以从这4组中人选一组，第1人有4种选法，若第一个人选择13，则第二个人就不能选择35，第2人有2种选法，则有4×2=8，剩余的2人2X 票有2种结果，∴总的分法有6×8×2=96种．题三：540．详解：从5个位中任意取2个位，使这两个位上的数字相同（这2个位不能是十位和百位），共有（25C 1）×5=45种方法，其余的3个位从剩余的4个数种选3个填上，共有34A 种方法，恰有2个数位上的数字重复的五位数的个数是45×34A ．由于十位上的数字小于百位上的数字的五位数占总数的一半， 故满足条件的五位数的个数是（45×34A ）÷2=540，故答案为 540．题四：36．详解：如图所示：从5、7、9三个奇数中任选一个放在6与8之间， 可用13C 中选法，而6与8可以交换位置有22A 种方法，把6与8及之间的一个奇数看做一个整体与剩下的两个奇数全排列共有33A 种方法， 利用乘法原理可得两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是13C •22A •33A =36．题五： 36．详解：把甲、乙两名员工看做一个整体，5个人变成了4个，再把这4个人分成3部分，每部分至少一人，共有24C 种方法，再把这3部分人分到3个为车间，有33A 种方法，根据分步计数原理，不同分法的种数为24C •33A =36．题六：30．详解：由题意知4个小球有2个放在一个盒子里的种数是24C ，把这两个作为一个元素同另外两个元素在三个位置排列，有33A 种结果，而①②好小球放在同一个盒子里有33A =6种结果，∴编号为①②的小球不放到同一个盒子里的种数是24C •33A 6=30．题七：128．详解：由已知条件可得a 5＝38C ·(－m )3＝－56m 3＝56，解得m ＝－1，所以(x －m )8＝(x ＋1)8，所以a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝27＝128.题八：205．详解：以x 1代x 可得（x1）5+（x 1）10=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 9x 9+a 10x 10，则a 4为左边x 4的系数，左边x 4的系数为16510205C C -+=．题九：2．详解：552155()r rr r r r r a T x x a xCC --+==，∴5－2r ＝3，∴r ＝1，∴15C ·a ＝10，∴a ＝2.题十：（1）1；（2）－1632x ；（3）1 1206x-．详解：由题意知，第五项系数为44(2)n C -，第三项的系数为22(2)nC -，则有4422(2)10(2)1n n C C -=-， 化简得n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去)． (1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1. (2)通项公式1k T +＝8822()()k kk C x x -⋅-＝8(2)k kC -⋅822kk x--，令8－k 2－2k ＝32，则k ＝1，故展开式中含32x 的项为T 2＝－1632x .(3)设展开式中的第k 项，第k ＋1项，第k ＋2项的系数绝对值分别为1182k k C --⋅，82k k C ⋅，1182k k C ++⋅，若第k ＋1项的系数绝对值最大，则118811882222k k k k k k k kC C C C --++⎧⋅≤⋅⎪⎨⋅≤⋅⎪⎩解得56k ≤≤. 又T 6的系数为负，∴系数最大的项为T 7＝ 1 79211x-.由n ＝8知第5项二项式系数最大，此时T 5＝1 1206x -.题十一：C ．详解：在这一组数据中10出现次数最多，故众数是10； 这组数据的中位数是（10+10）÷2=10（分）；平均数是（3+5+6+7×5+8×4+9×11+10×27）÷50=9（分），这次听力测试成绩的众数、中位数和平均数的和是10+10+9=29（分）；故选C ．题十二：73．详解：根据平均数的性质，可将平均数乘以8再减去剩余7名学生的成绩，即可求出x 的值．依题意得：x =77×880827969747881=73．题十三：100．详解：∵个体的值由小到大依次为4，6，8，9，x ，y ，11，12，14，16，且总体的中位数为10，∴x +y =20，∴这组数据的平均数是（4+6+8+9+x +y +11+12+14+16）÷10=10，要使总体方差最小， 即（x 10）2+（y 10）2最小． 又∵（x10）2+（y 10）2=（x10）2+（20x 10）2=2（x 10）2，∴当x =10时，（x 10）2+（y10）2取得最小值．又∵x +y =20，∴x =10，y =10．xy =100， 故答案为：100．14．详解：由题意知（a +1+2+3）÷4=1，解得2a =-，∴样本标准差为S ．题十五：30．详解：由图知，（0.035+a +0.020+0.010+0.005）×10=1，解得a =0.03， ∴身高在[120，130]内的学生人数在样本的频率为0.03×10=0.3， 故身高在[120，130]内的学生人数为0.3×100=30．题十六：0.1；50．详解：由频率分步直方图知，（0.02+m +0.06+0.02）×5=1，∴m =0.1，∴所抽取的体重在45～50kg 的人数是0.1×5×100=50人， 故答案为：0.1；50．题十七：34．详解：∵f (x )＝ax 2－bx ＋1在[1，＋∞)上递增， ∴－－b2a≤1，即2a ≥b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤20≤b ≤2，2a ≥b画出图示得阴影部分面积．∴概率为P ＝2×2－12×2×12×2＝34．题十八：1613 ． 方法二：不在家看书的概率=1—在家看书的概率=1—2211132416⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=π－ππ．题十九：（Ⅰ）61；（Ⅱ）92． 详解：（Ⅰ）记“3次射击的人依次是甲、甲、乙，且乙射击未击中目标”为事件A ． 由题意，得事件A 的概率1231()3346P A =⨯⨯=； （Ⅱ）记“乙至少有1次射击击中目标”为事件B ， 事件B 包含以下两个互斥事件：1事件B 1：三次射击的人依次是甲、甲、乙，且乙击中目标， 其概率为11211()33418P B =⨯⨯=； 2事件B 2：三次射击的人依次是甲、乙、乙，其概率为2211()346P B =⨯=． 所以事件B 的概率为122()()9P B P B +=． 所以事件“乙至少有1次射击击中目标”的概率为92．题二十：（1）80243；（2）451024． 详解：（I ）设“甲射击5次，有两次未击中目标”为事件A ，则23252180()()()33243P A C ==． 答：甲射击5次，有两次未击中目标的概率为80243． （II ）设“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件C ，由于乙恰好射击5次后被终止射击，所以必然是最后两次未击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标，则12223313145()[()()()]()444441024P C C =⋅⋅⋅=+．答：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为451024．。
2015年高考数学(理)真题分项解析：专题11+排列组合、二项式定理
专题十一 排列组合、二项式定理1.【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r r r n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ． 【考点定位】二项式定理．【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C k n k kk n a b -+T =．2.【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选 C.【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.3.【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.选B.【考点定位】排列组合.【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类. 4.【2015高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式 系数和为（ ）A.122 B ．112 C ．102 D ．92【答案】D【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nn C C =，解得10=n ，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯. 【考点定位】二项式系数，二项式系数和.【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：n n n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等=⋅⋅⋅++++420n n n C C C 15312-=⋅⋅⋅++++n n n n C C C .5、【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】1560．【考点定位】排列问题．【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清40人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题．6.【2015高考重庆，理12】53x ⎛ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).【答案】52【解析】二项展开式通项为7153521551()()2k k kk k k k T C x C x --+==，令71582k -=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =. 【考点定位】二项式定理【名师点晴】()na b +的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指knC ，它仅是与二项式的幂的指数n 及项数有关的组合数，而与a ，b 的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a ，b 的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.7.【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 . 【答案】6．【解析】由题可知()()44214411r rrrrr r T CC x--+=-=-，令412r-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()22416C -=，故应填入6．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记二项展开式的通项即展开式的第1r +项为：()*12,r n r r r n T C a b n N n r N -+=∈≥∈且．8.【2015高考四川，理11】在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）. 【答案】40-. 【解析】55(21)(12)x x -=--，所以2x 的系数为225(2)40C -⨯-=-.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.9.【2015高考天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式的通项，求出当2r =时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.10.【2015高考安徽，理11】371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案） 【答案】35【解析】由题意，二项式371()x x +展开的通项372141771()()r r r r r r T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =.【考点定位】1.二项式定理的展开式应用.【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.11.【2015高考福建，理11】()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 ．（用数字作答） 【答案】80【解析】()52x + 的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度．12.【2015高考北京，理9】在()52x +的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字作答）【答案】40【考点定位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.【名师点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求出指定项的系数，本题属于基础题,要求正确使用通项公式1r n r r r n T C a b -+=，准确计算指定项的系数.13.【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =． 【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题．【2015高考湖南，理6】已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）B. C.6 D-6 【答案】D. 【解析】试题分析：r rr r r x a C T -+-=2551)1(，令1=r ，可得6305-=⇒=-a a ，故选D.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握nb a )(+的二项展开式的通项第1+r 项为rr n r nr b a C T -+=1，即可建立关于a 的方程，从而求解. 【2015高考上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）． 【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C = 【考点定位】二项展开式【名师点睛】（1）求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．（2）对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．【2015高考上海，理8】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】120【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：55961266120.C C-=-=【考点定位】排列组合【名师点睛】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷,含解析)
F
C
O E
B
【答案】(1)证明见解析，（2）
5 5
，（3） a
4 3
【解析】 试题分析：证明线线垂直可寻求线面垂直，利用题目提供的面面垂直平面 AEF 平面 EFCB ，借助性
质定理证明 AO 平面 EFCB，进而得出线线垂直，第二步建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，
平面 AEF 的法向量易得，只需求平面 AEB 的法向量，设平面 AEB 的法向量，利用线线垂直，数量积为
A(0,0 3a)，E(a,0,0),B(2,2 3 3a,0),AE (a,0, 3a)，EB (2 a,2 3 3a,0)，
由于平面 AEF 与 y 轴垂直，则设平面 AEF 的法向量为 n1 (0,1,0)，设平面 AEB 的 法向量
n2 (x,y ,1)， n2 AE ,ax- 3a 0,x 3 ，
2 sin A cos A sin C
2a c
b2
c2 a2 2bc
2
6
4
25 36 16 256
1
考点：正弦定理、余弦定理
13.在 △ABC 中，点 M ， N 满足 AM 2MC ， BN NC ．若 MN xAB y AC ，则 x
；y
．
【答案】
1 2
,
1 6
【解析】
试题分析：特殊化，不妨设 AC AB ,AB 4,AC 3 ，利用坐标法，以 A 为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，建立直角坐标系， A(0,0),M(0,2),C(0,3),B(4,0),N(2,3)，
n2 EB,(2 a)x (2 3 3a)y 0,y 1，则 n2
(
3,1,1)，二面角 F AE B 的余弦值 cosn1,n2
高考数学试题分类汇编---- 排列组合二项式定理
高考数学试题分类汇编---- 排列组合二项式定理一． 选择题：1.（全国一3）512x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ C ） A ．10 B ．5 C ．52 D ．12.（全国一12）将1，2，3填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ B ） A ．6种 B ．12种 C ．24种 D ．48种3.（全国二9）44)1()1(x x +-的展开式中x 的系数是（ A ）A ．4-B ．3-C ．3D ．44.（安徽卷7）设88018(1),x a a x a x +=+++则0,18,,a a a 中奇数的个数为（ A ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．55.（安徽卷12）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ( C )A ． 2686C AB ． 2283C A C ．2286C AD ．2285C A6.（福建卷9)某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为AA.14B.24C.28D.487.（湖北卷9）从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为BA.100B.110C.120D.1808.（湖南卷8）某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目A 和一般项目B 至少有一个被选中的不同选法种数是( C )A ．15B ．45C ．60D ．759.（江西卷8）10101(1)(1)x x++展开式中的常数项为 D A ．1 B ．1210()C C ．120C D ．1020C10.（辽宁卷7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ C ）A ．13B ．12C ．23D ．3411.（辽宁卷10）一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ B ）A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种12.(浙江卷6）在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4x 的项的系数是（A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）27413.（重庆卷10)若(x +12x)n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为B(A)6 (B)7 (C)8 (D)9 二． 填空题：1.（全国二14）从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有 种（用数字作答）4202.（北京卷12）5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 ．（用数字作答）10， 323.（福建卷13）（x +1x）9展开式中x 2的系数是 .（用数字作答）84 4.（湖南卷13）记n x x )12(+的展开式中第m 项的系数为m b ，若432b b =，则n =__________.55.（辽宁卷15）6321(1)x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 ．356.（陕西卷14）72(1)x -的展开式中21x的系数为 84 ．(用数字作答) 7.（陕西卷16）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 96 种．（用数字作答）．8.（四川卷13）()()34121x x +-展开式中x 的系数为______2_________。
2015届高考数学二轮复习专题讲解 课件 第二讲 排列、组合与二项式定理(选择、填空题型)
高考专题辅点 三分。
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1．两个计数原理 (1)分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种 不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成 这件事共有 N＝m＋n 种不同的方法． (2)分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方 法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m×n 种不同的方法．
2．若甲单独去一所学校，则有 C23C12A22＝12 种；若甲 不单独去一所学校，则有 C13C12A22＝12 种，所以不同的保送 方案有 24 种．
3．分情况：一种情况将有奖的奖券按 2 张、1 张分给 4 个人中的 2 个人，种数为 C23C11A24＝36；另一种将 3 张有奖 的奖券分给 4 个人中的 3 个人，种数为 A34＝24，则获奖情 况总共有 36＋24＝60(种)．
选修方案共有( )
A．15 种
B．60 种
C．75 种 D．100
种
4.(2014·潍坊模拟)现将如图所示的 5 个小正方形涂上
红、黄两种颜色，其中 3 个涂红色，2 个涂黄色，若恰有 2
个 相 邻 的 小 正 方 形 涂 红 色 ， 则 不 同 的 涂 法 共 有 ________ 种．(用数字作答)
2．依题意，对这 3 个盒子中所放的小球的个数情况进 行分类计数：第一类，这 3 个盒子中所放的小球的个数是 1,2,6，此类放法有 A33＝6(种)；第二类，这 3 个盒子中所放 的小球的个数是 1,3,5，此类放法有 A33＝6(种)；第三类，这 3 个盒子中所放的小球的个数是 2,3,4，此类放法有 A33＝ 6(种)．因此满足题意的放法共有 6＋6＋6＝18(种)，选 B.
高考数学理真题分类汇编专题11排列组合二项式定理
专题十一 排列组合、二项式定理1.【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r r r n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ． 【考点定位】二项式定理．【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C k n k kk n ab -+T =． 2.【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选 C.【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.3.【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.选B.【考点定位】排列组合.【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类. 4.【2015高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式 系数和为（ ）A.122 B ．112 C ．102 D ．92【答案】D【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nn C C =，解得10=n ，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯. 【考点定位】二项式系数，二项式系数和.【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：n n n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等=⋅⋅⋅++++420n n n C C C 15312-=⋅⋅⋅++++n n n n C C C .5、【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】1560．【考点定位】排列问题．【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清40人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题．6.【2015高考重庆，理12】53x ⎛ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).【答案】52【解析】二项展开式通项为7153521551()()2k k kkk k k T C x C x --+==，令71582k-=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =. 【考点定位】二项式定理【名师点晴】()na b +的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指knC ，它仅是与二项式的幂的指数n 及项数有关的组合数，而与a ，b 的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a ，b 的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.7.【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 . 【答案】6．【解析】由题可知()()44214411r rrrrr r T CC x--+=-=-，令412r-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()22416C -=，故应填入6．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记二项展开式的通项即展开式的第1r +项为：()*12,r n r r r n T C a b n N n r N -+=∈≥∈且．8.【2015高考四川，理11】在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）. 【答案】40-. 【解析】55(21)(12)x x -=--，所以2x 的系数为225(2)40C -⨯-=-.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.9.【2015高考天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式的通项，求出当2r =时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.10.【2015高考安徽，理11】371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案） 【答案】35【解析】由题意，二项式371()x x +展开的通项372141771()()r r r r r r T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =.【考点定位】1.二项式定理的展开式应用.【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.11.【2015高考福建，理11】()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 ．（用数字作答） 【答案】80【解析】()52x + 的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度．12.【2015高考北京，理9】在()52x +的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字作答）【答案】40【考点定位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.【名师点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求出指定项的系数，本题属于基础题,要求正确使用通项公式1r n r r r n T C a b -+=，准确计算指定项的系数.13.【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =． 【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题．【2015高考湖南，理6】已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）B. C.6 D-6 【答案】D. 【解析】试题分析：r rr r r x a C T -+-=2551)1(，令1=r ，可得6305-=⇒=-a a ，故选D.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握nb a )(+的二项展开式的通项第1+r 项为rr n r nr b a C T -+=1，即可建立关于a 的方程，从而求解. 【2015高考上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）． 【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C = 【考点定位】二项展开式【名师点睛】（1）求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．（2）对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．【2015高考上海，理8】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】120【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：55961266120.C C-=-=【考点定位】排列组合【名师点睛】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．。
2015高考数学排列组合与二项式定理训练题
2015高考数学排列组合与二项式定理训练题1、将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种 【答案】B【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力. 【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.2、将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种 【解析】B ：本题考查了排列组合的知识∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有246C =，余下放入最后一个信封，∴共有24318C =3、 (82展开式中不含．．4x 项的系数的和为（ ）A.-1B.0C.1D.2 【答案】B【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反。
采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去4x 项系数80882(1)1C -=即为所求，答案为0.4、某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有 （A ）30种 （B ）36种 （C ）42种 （D ）48种解析：法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法即2212116454432C C C C C C -⨯+=42法二：分两类甲、乙同组，则只能排在15日，有24C =6种排法甲、乙不同组，有112432(1)C C A +=36种排法，故共有42种方法5、4(1)x +的展开式中2x 的系数为（A ）4 （B ）6 （C ）10 （D ）20解析：由通项公式得2234T C 6x x ==6、某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有 A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有4414222A A A ⨯种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有)(43313134422A A A A A +种方法故共有1008种不同的排法7、（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C答案：A8、由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 （A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144 解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，32232A A ＝24个②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222A A ＝12个算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个 答案：C9、 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（A ）288种 （B ）264种 （C ）240种 （D ）168种 【答案】D【解析】本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，属于难题。
排列组合及二项式定理试题和答案
排列组合、二项式定理一、选择题：1．5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为 A ．120B ．324C ．720D ．12802．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是 A ．40B ．74C ．84D ．2003．以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有 A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个4．从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同，则发出不同的和弦，则这样的不同的和弦种数是 A ．512B ．968C ．1013D ．10245．如果()n x x x +的展开式中所有奇数项的系数和等于512，则展开式的中间项是 A ．6810C xB ．5710C xxC ．468C xD ．6811C xx6．用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是 A ．36B ．32C ．24D ．207．若n 是奇数，则112217777n n n n n n n C C C ---+++⋯⋯+被9除的余数是A ．0B ．2C ．7D ．88．现有一个碱基A ，2个碱基C ，3个碱基G ，由这6个碱基组成的不同的碱基序列有 A ．20个B ．60个C ．120个D ．90个9．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为 A ．504B ．210C ．336D ．12010．在342005(1)(1)(1)x x x ++++⋯⋯++的展开式中，x 3的系数等于 A ．42005CB ．42006CC ．32005CD ．32006C11．现有男女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人，分别参加数理化三科竞赛，共有90种不同方案，则男、女生人数可能是 A ．2男6女B ．3男5女C ．5男3女D ．6男2女12．若x ∈R ，n ∈N ＋ ，定义nx M ＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n －1)，例如55M -＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)＝－120，则函数199()x f x xM -=的奇偶性为A ．是偶函数而不是奇函数B ．是奇函数而不是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数13．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1),x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++定义映射12341234:(,,,)(,,,),f a a a a b b b b →则f （4，3，2，1）等于 A ．（1，2，3，4）B ．（0，3，4，0）C ．（－1，0，2，－2）D ．（0，－3，4，－1）14．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5，6}，从A 到B 的映射f (x )，B 中有且仅有2个元素有原象，则这样的映射个数为 A ．8B ．9C ．24D ．2715．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有 A ．24种B ．36种C ．60种D ．66种16．等腰三角形的三边均为正数，它们周长不大于10，这样不同形状的三角形的种数为 A ．8B ．9C ．10D ．1117．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有 A ．36种B ．42种C ．50种D ．72种18．若1021022012100210139(2),()()x a a x a x a x a a a a a a -=+++⋯+++⋯+-++⋯+则 的值为 A ．0B ．2C ．－1D ．1答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案二、填空题：19．某电子器件的电路中，在A ，B 之间有C ，D ，E ，F 四个焊点（如图），如果焊点脱落，则可能导致电路不通．今发现A ，B 间电路不通，则焊点脱落的不同情况有 种． 20．设f (x )＝x 5－5x 4＋10x 3－10x 2＋5x ＋1,则f (x )的反函数f －1(x )＝ ．21．正整数a 1a 2…a n …a 2n －2a 2n －1称为凹数，如果a 1>a 2>…a n ，且a 2n －1>a 2n －2>…>a n ，其中a i（i ＝1,2,3,…）∈{0,1,2,…,9}，请回答三位凹数a 1a 2a 3（a 1≠a 3）共有 个（用数字作答）．22．如果a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4，那么a 2－a 3＋a 4 ．23．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有．24．已知（x＋1）6（ax－1）2的展开式中，x3的系数是56，则实数a的值为．三、解答题：25．（本小题满分12分）将7个相同的小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？26．（本小题满分12分）已知(41x＋3x2)n展开式中的倒数第三项的系数为45，求：⑴含x3的项；⑵系数最大的项．27．（本小题满分12分）求证：123114710(31)(32)2.n n n n n n C C C n C n -++++⋯++=+⋅第十一单元 排列组合、二项式定理参考答案一、选择题（每小题5分，共90分）： 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 DBCBBDCBABBADDBCBD提示1．D 分五步：5×4×4×4×4＝1280．2．B 分三步：33425154545474.C C C C C C ++= 3．C 46312.C -=4．B 分8类：3451001210012101010101010101010101010()2(11045)968.C C C C C C C C C C C +++⋯+=+++⋯+-++=-++=5．B 12512,10,n n -=∴=中间项为5555761010().T C x x C x x ==6．D 按首位数字的奇偶性分两类：2332223322()20A A A A A +-=7．C 原式＝（7＋1）n －1＝(9－1)2－1＝9k －2＝9k ’＋7（k 和k ’均为正整数）．8．B 分三步：12365360C C C =9．A 939966504,504.A A A ==或10．B 原式＝11．B 设有男生x 人，则2138390,(1)(8)30x x C C A x x x -=--=即，检验知B 正确．12．A 2222()(9)(8)(9191)(1)(4)(81).f x x x x x x x x x =--⋯-+-=--⋯- 13．D 比较等式两边x 3的系数，得4＝4＋b 1,则b 1＝0，故排除A ，C ；再比较等式两边的常数项，有1＝1＋b 1＋b 2＋b 3＋b 4,∴b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝0．14．D 223327.C =15．B 先排甲、乙外的3人，有33A 种排法，再插入甲、乙两人，有24A 种方法，又甲排乙的左边和甲排乙的右边各占12 ，故所求不同和站法有3234136().2A A =种16．C 共有（1，1，1），（1，2，2），（1，3，3），（1，4，4），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，4，4），（3，3，3）（3，3，4）10种．17．B 每人值班2天的排法或减去甲值周一或乙值周六的排法，再加上甲值周一且乙值周32003320062006442006(1)[1(1)](1)(1)(1).1(1)x x x x x x C x x+-+-+++=+-+即求中的系数为六的排法，共有2212264544242().C C A C A -+=种18．D 设f (x )＝(2－x )10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…－a 9＋a 10)＝f (1)f (－1)＝(2＋1)10(2－1)10＝1。
2015年高三一模汇编——排列组合、二项式定理、概率统计
2015年高三一模汇编——排列组合、二项式定理、概率统计一、填空题1（2014长宁一模理6文6） 已知{}3,2,1,1,2,3,---∈b a 且b a ≠，则复数bi a z +=对应点在第二象限的概率为._______（用最简分数表示） 【答案】103 2（2014长宁一模理11文11）五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白信封内，这五位同学 每人随机地抽取一封，则恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是 . 【答案】61 3（2015奉贤一模理2文2）某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，其中A 种型号产品有16件，那么此样本的容量n = .【答案】804（2015奉贤一模理7文7）盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字1、2、3、4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率是 . 【答案】315（2015黄浦一模理10文10）若从总体中随机抽取的样本为1,3,1,1,1,3,2,2,0,0--，则该总体的标准差的点估计值是 ．6（2015黄浦一模理12文12）一副扑克牌（有四色，同一色有13张不同牌）共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为 （用数值作答）． 【答案】2344257（2015嘉定一模理5文5）为了解300名学生的视力情况，采用系统抽样的方法从中抽取容量为20的样本，则分段的间隔为_________．【答案】158（2015嘉定一模理11文11）甲、乙、丙三位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是___________．【答案】43 9（2015金山一模理8文8）若122)2(xx +的二项展开式中的常数项为m ，则m= ． 【答案】7920 10（2015金山一模理9文9）从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别是：(单位：克)125，124，121，123，127，则该样本的标准差是 克．【答案】211（2015金山一模理11文11）从集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k ，另一个数小于k （其中k ∈{5, 6, 7, 8, 9}）的概率是52，则k = ． 【答案】712（2015静安一模理2文6）设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则=++++8710a a a a【答案】25628=13（2015静安一模理14）两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛，每两名参赛选手之间都比赛一次，胜者得1分，和棋各得0.5分，输者得0分，即每场比赛双方的得分之和是1分。
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专题 排列组合、二项式定理1.【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C k n k k k n a b -+T =． 2.【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.3.【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.4.【2015高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式 系数和为（ ）A.122 B ．112 C ．102 D ．92 【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：n n n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等=⋅⋅⋅++++420n n n C C C 15312-=⋅⋅⋅++++n n n n C C C .5、【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清40人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题．6.【2015高考重庆，理12】5312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中8x 的系数是________(用数字作答). 【名师点晴】()n a b +的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指kn C ，它仅是与二项式的幂的指数n 及项数有关的组合数，而与a ，b 的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a ，b 的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.7.【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 .【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记二项展开式的通项即展开式的第1r +项为：()*12,r n r r r n T C a b n N n r N -+=∈≥∈且． 8.【2015高考四川，理11】在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）.【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解. 9.【2015高考天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . 【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式的通项，求出当2r =时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.10.【2015高考安徽，理11】371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案） 【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.11.【2015高考福建，理11】()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 ．（用数字作答）12.【2015高考北京，理9】在()52x +的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字作答）【名师点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求出指定项的系数，本题属于基础题,要求正确使用通项公式1r n r r r n T C a b -+=，准确计算指定项的系数.13.【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题．【2015高考湖南，理6】已知5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ） A.3 B.3- C.6 D-6【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握n b a )(+的二项展开式的通项第1+r 项为r r n r nr b a C T -+=1，即可建立关于a 的方程，从而求解. 【2015高考上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）． 【考点定位】二项展开式【名师点睛】（1）求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．（2）对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．【2015高考上海，理8】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．【名师点睛】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．2017年高考真题分类汇编（理数）：专题9 排列组合二项式定理（解析版）一、单选题（共3题；共6分）1、（2017•新课标Ⅲ）（x+y ）（2x ﹣y ）5的展开式中的x 3y 3系数为 （ ）A 、﹣80B 、﹣40C 、40D 、802、（2017•新课标Ⅰ卷）（1+ ）（1+x ）6展开式中x 2的系数为（ ）A 、15B 、20C 、30D 、353、（2017•新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A 、12种B 、18种C 、24种D 、36种二、填空题（共4题；共5分）4、（2017•山东）已知（1+3x ）n 的展开式中含有x 2的系数是54，则n=________．5、（2017·天津）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．（用数字作答）6、（2017•浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．（用数字作答）7、（2017•浙江）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x 5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x+a 5 ， 则a 4=________，a 5=________．1．5名男生和2名女生站成一列，男生甲必须站在正中间，2名女生必须站在甲前面，不同的站法共有种(用数字作答)。
2．8人排成一排, 其中甲、乙、丙三人中有2人相邻,但这3人不同时相邻的排法有______种.3．现有6张同排连座号的电影票, 分给3名老师与3名学生, 要求师生相间而坐, 则不同的分法数为________.4．在200件产品中有3件是次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 种。
5．现从某校5名学生干部中选出4人分别参加上海市“资源”、“生态”、和“环保”三个夏令营，要求每个夏令营活动至少有选出的一人参加，且每人只参加一个夏令营活动，则不同的参加方案的种数是___________.(写出具体数字)6．将A 、B 、C 、D 、E 、排成一排，其中按A 、B 、C 顺序（即A 在B 前，C 在B 后）的排列总数为 。
7．如果从一排10盏灯中关掉3盏灯，那么关掉的是互不相邻的3盏灯的方法有 。
8．（1）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻 地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着 色方法共有 种。
（以数字作答）（2）同室4人各写了一张贺年卡先集中起来，然后每人从中取回一张别人送出的贺卡，这4张贺年卡不 1 2 3 4 5同的分配方式有__________种。
九．和、整除、倍数、约数问题9．(1) 由2、3、4、5组成无重复数字的四位数，求：①这些数的数字之和；②这些数的和。
（2）由0、2、5、7、9这5个数字可组成多少个无重复数字且能被3整除的四位数？10．（1）在1、2、3、4 、…、50这50个自然数中，每次取出2个（无论先后），使他们的积是13的倍数，这样的取法有多少种？（2）①420共有多少个正约数？②14175共有多少个正约数？十．分配、分组问题：11．六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，问各有多少种分法？①甲一本、乙二本、丙三本；有种分法。
②一人一本、一人二本、一人三本；有种分法。
③甲一本、乙一本、丙四本；有种分法。
④一人一本、一人一本、一人四本；有种分法。
12．一般地，现有n6本不同的书，①分给甲、乙、丙三人，甲得n本、乙得n2本、丙得n3本，则有种分法。
②分给三人，一人得n本、一人得n2本、另一人得n3本，则有种分法。
③分给三人，甲、乙各得n本、丙得n4本，则有种分法。
④分给三人，其中二人各得n本，另一人得n4本，则有种分法。
⑤分成三堆，一堆n本、一堆n2本、一堆n3本，则有种分法。
⑥分成三堆，有二堆各n本，还有一堆n4本，则有种分法。