44个精彩物理趣题

44个精彩的物理趣题（转自MATRIX67）这个Blog 几乎一直在讲数学趣题，却很少提到物理趣题。

其实，我个人觉得，物理也是相当好玩的（我是化学不好才选的文科）。

隐约记得初中搞物理竞赛时，曾见过大量让人大呼过瘾的好题。

前几天看到了一个绝好的网站，里面有相当多的物理题目，让我激动了好一阵子。

我搜集整理了里面的一些好题，加上了我自己的一些补充，在这里和大家分享。

不过，由于我的物理实在不怎么样，如果出现什么错误，请大家及时纠正。

那个网站上的“官方解答”并不见得靠谱，也不知是因为我没有悟到，还是因为它真的不靠谱。

不管怎样，我给出的基本上还是它的官方答案。

其实，阅读过程中你会发现，答案是次要的，真正有趣的其实是问题本身。

几乎从没写过物理题目的Blog ，想要用一篇文章总结物理趣题，因此毫无疑问——这是一篇非常，非常，非常长的文章。

建议大家用自己喜欢的方式做个书签，一天看一点。

如果觉得还不过瘾，推荐订阅物理大牛EagleFantasy 的Blog。

另外，此日志一出，想必又会收到无数邮件，询问我作图用的什么工具的。

在此就先回答了——请见FAQ。

开始吧。

有一块V 字形木板，两侧与地面的夹角都是θ 。

一根密度均匀的绳子放在木板上，绳子与木板之间的摩擦系数为 1 。

整个系统左右对称。

没挨着木板的那段绳子所占的比例最大是多少？此时θ 是多少度？用一些非常初等的方法可以得到，答案是(√2 - 1)2≈ 0.172 ，此时θ = 22.5° 。

具体解答可以见http://star.tau.ac.il/QUIZ/05/sol_rope.pdf。

一个长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体物块，斜靠在一个墙角。

由于墙壁和地面都是完全光滑的，因此物块将会开始下滑。

什么时候，物块会脱离墙壁？为了解决这个问题，首先需要把物块和地面的夹角记作θ ，物块下滑过程中的各种物理量都可以用θ 来表示。

然后，解决这个问题的关键就在于，当物块脱离墙壁时，物块向右的加速度就消失了，这个临界点就由等量关系dv x/ dθ = 0 给出。

不过，由此产生的方程非常复杂，我们只能用数值的方式去解它。

有一个半圆柱体横放在水平桌面上，截面的半径为R 。

我们在半圆柱体上放一块木板，试图让它在半圆上保持平衡。

假如这块木板非常薄，那么这块木板很容易放稳，即使有些小动静，木板也会自动恢复平衡。

但考虑另外一个极端，假如这是一块非常厚非常厚的木板（甚至是大楼一般的形状），它显然不能稳放在这个半圆上。

那么，这中间一定会有一个临界点。

这个临界点在哪里？换句话说，这个半圆上最多能放稳一块多厚的木板？把半圆的半径记作R ，把木板的厚度记作t 。

如果把木板平放在半圆上，其重心的高度就是R + t/2 。

假如这块木板倾斜了一个微小的角度θ ，那么图中M'T 的长度等于弧MT 的长度，即2πR·(θ/2π) = R·θ 。

此时，木板的重心G' 的高度变为了(t/2)cosθ + (R·θ)sinθ + R·cosθ。

为了让木板保持平衡，不会自动往下滑，我们需要让新的重心高度大于原来的重心高度，即(t/2)cosθ + (R·θ)sinθ + R·cosθ > R + t/2。

解出不等式，再令θ→0 ，即可得到t < 2R。

也就是说，一旦木板的厚度超过半圆的直径，木板就无法放稳了。

假如你面向东边，站在冰面上，鞋底与冰面完全没有摩擦。

你能否做出一系列动作，使得自己最后能面向西边站立？可以。

只需要重复“伸臂－挥臂－屈臂”的动作，你的身体便会向反方向转动一点。

期待实验党。

用过多年的插座（尤其是插过大功率电器的插座），右边的孔（火线）往往会有过热的迹象。

如果是劣质插座，加上经常插拔插头的话，右边的孔甚至会有烧黑了的痕迹。

明明是通过相同大小的电流，为什么右边的孔会被烧得更厉害呢？目前，这个问题没有一个所谓的标准答案。

当然，这个现象本身是否存在也是存疑的。

大家不妨来说说自己家里插座的情况。

呼拉圈是怎么转起来的？人应该做一个什么样的运动？呼拉圈的转动频率是由什么决定的？和人的体形、运动速度、运动方式有关系吗？是否存在一个最优的频率？⋯⋯我有几件事情死活搞不明白，吹泡泡是怎么吹出来的，小舌颤音是怎么发出来的，骑车不动把手是怎么实现拐弯的⋯⋯当然，还有呼拉圈是怎么转起来的。

和呼拉圈有关的问题似乎永远也列举不完。

如果你真的把它当成一回事仔细分析，你会发现这不是一般的困难。

2004 年，Biological Cybernetics 上发表了一篇长达15 页的论文，论文题目是Coordination Modes in the Multi-Segmental Dynamics of Hula-Hooping 。

这篇论文终于不负众望，成功地摘得了诺贝尔奖——当然，是搞笑版的。

投一枚硬币，如果是正面，我就去打球，如果是反面，我就去打游戏，如果立起来，我就去学习。

不知道大家第一次看到这个笑话时，有没有想过，如果一枚硬币真的有1/3 的概率正面朝上，有1/3 的概率反面朝上，有1/3 的概率立起来，那么这个硬币的半径与厚度满足什么样的关系？这枚硬币必须满足，把它立起来后，即使倾斜30 度仍然不倒。

这样，硬币直立的“势力范围”才会达到120 度。

因此，硬币的直径应该是厚度的√3 倍。

考虑某颗星球，它由某种密度均匀的物质组成，其质量为M ，体积为V 。

如果这颗星球是一个球体，那么它的半径R = ((3V) / (4π))1/3，星球表面上的重力加速度则为g = GM / R2= GM((4π) / (3V))2/3，其中G 是万有引力常数。

考虑这颗星球所有可能的形状，怎样的形状才会让星球表面的某一点重力加速度达到最大？最大值是多少？下图就是让表面某处的重力加速度达到最大的星球形状。

这个图形是一个稍微有些变形的球体，整个图形是一个以z 方向为轴的旋转体，顶端的m 点即是重力加速度最大的点，它的重力加速度为g = (4/5)(15/4)1/3π2/3M / V2/3，只比球形星体的重力加速度大 2.6% 。

这是又一个经典的例子——圆形似乎并不是那么完美。

这个问题的解法非常漂亮。

首先，假设我们想要让星体表面上的某个点m 的重力加速度最大，并且所受重力方向在z 轴上，那么这个星体必然是沿z 轴方向对称的。

否则，取出不对称的一层，把多的部分填进少的部分让它变成一个完全对称的圆盘，这将会让m 点在竖直方向上的受力变大。

不断这样做直到这个图形沿z 轴完全对称，显然就得到了一个更优的形状。

接下来的步骤就真的神了。

现在，在星体上取一个非常细的圆环，假设它的质量是dM 。

那么，这个圆环所贡献的重力加速度大小就是G·dM·cosθ /r2。

如果把这个圆环从星体中挖掉，放到其它的位置上，那么新的圆环将会有新的r 值和θ 值。

当整个形状达到最优时，这个形状将位于“极值点”的位置，也就是说它的“微分”为0 ，任何微小的变动都不会改变m 的加速度。

这就意味着，cosθ / r2是一个常数。

这个条件就确定出整个星体的形状。

Fermat 光程最短原理指出，光从A 点到B 点，总是沿着最快的路径传播。

这一神奇的定律一下子就把直线传播定律、反射定律、折射定律统一在了一起。

不过，后来我们知道了，更一般的描述应该是，光总是沿着光程处于驻点的路径传播。

为什么会加上这一条？有没有光程极大的例子呢？这里有一个例子。

考虑椭圆内的两个焦点A 、B ，和椭圆上的一点M 。

显然，不管M 取在哪儿，AM + BM 都是相同的。

现在，在椭圆内部画一条曲线，这条曲线与椭圆相切于M 点。

然后，擦掉原来的椭圆，把这条曲线视作镜面。

显然，AMB 仍然是一条反射光线，但从其它地方反射，光程都会小于AMB 。

AMB 是一个光程极大的路径。

物理量的单位总是由基本单位（质量、长度、时间等）的幂相乘得来的。

比如，能量的单位就是1J = kg·m2·s-2。

为什么没有什么物理量，它是由基本单位通过更复杂的形式导出的？比如说，为何没有什么物理量，它的单位是sin(kg)·log(m) ？这是一个非常有趣，无疑也是非常深刻的问题。

它让我们开始认真思考一个看上去很不像问题的问题：什么是物理量？什么是物理单位？我们需要去挖掘物理量和物理单位的最基本、最本质的性质。

网站上的标准答案是，只有这种形式的导出单位才能保证，在不同的单位制下，得到的导出单位是等价的。

具体地说，物理单位的作用就是用来描述，当各个基本单位的尺度变化以后，这个物理量会发生怎样的变化。

比如说，密度单位是质量除以长度的三次方，就表明如果质量扩大到原来的 2 倍（或者说单位量变成了原来的1/2 ），长度扩大到原来的4 倍（或者说单位量变成了原来的1/4 ），那么这个物理量将会变成原来的2/43 = 1/32 。

现在，假设某个物理量的单位是质量的正弦乘以长度的对数。

按照国际标准单位制，这个单位是sin(kg)·log(m) 。

假如单位换成了sin(g)·log(cm) ，那么这个物理量将会变成原来的sin(1000)·log(100) ≈ 3.80792 。

再继续换算成sin(mg)·log(mm) ，物理量应该继续变成原来的sin(1000)·log(10) ≈ 1.90396 。

但是，如果从sin(kg)·log(m) 直接变到sin(mg)·log(mm) ，物理量应该变成原来的sin(1 000 000)·log(1000) ≈ -2.41767 ，这就和前面的结果矛盾了。

利用一些微积分知识可以证明，如果一个合成物理单位不会出现这样的问题，它必然是基本单位的幂的乘积的形式。

不过，这个解释并不能让我十分满意。

大家怎么看呢？有一个无穷大的正方形网格，每条小线段都是1Ω 的电阻丝。

求相邻两点间的等效电阻阻值。

这个问题有一个很妙的解法。

假设一个大小为1A 的电流从红点处流入，从各个无穷远处流出。

由对称性，有(1/4)A 的电流将会流过红蓝两点之间的线段。

现在，再假设一个大小为1A 的电流从各个无穷远处流入，从蓝色点流出。

由对称性，红蓝两点之间的线段仍然有(1/4)A 的电流。

现在，把两种情况叠加在一起看，大小为1A 的电流从红点进去从蓝点出来，那么，红蓝两点间的线段就有(1/2)A 的电流。

因而，两点间的电压就是(1/2)A·1Ω = (1/2)V 。

因而两点间的等效电阻就是(1/2)V / 1A = (1/2)Ω。

说到无穷网格电阻的问题，我们有说不完的话题。