2018-2019版高中数学人教版A版必修一课件：第一单元 1.1.1 第1课时集合的含义

§1.1
集合
1.1.1 集合的含义与表示
第1课时集合的含义
学习目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的
三个特性(重点、难点).2.了解元素与集合间的“从属关系”(重点).3.记住常用数集的表示符号并会应用．
预习教材 P2，完成下面问题：知识点 1 元素与集合的概念
研究对象统称为元素，常用小写的 (1)元素：一般地，把__________ a，b，c，… 拉丁字母________________ 表示．集元素 (2) 集合：一些__________ 组成的总体，简称 __________ ，
.
答案 (1)D (2)2 或 3
题型一集合的判定问题
【例 1】下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我们班的所有高个子同学； (2)不超过 20 的非负数； (3)直角坐标平面内第一象限的一些点； (4) 3的近似值的全体．
解
(1)“高个子 ” 没有明确的标准，因此不能构成集合． (2)
任给一个实数 x，可以明确地判断是不是“不超过 20 的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20 或 x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过 20 的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合； (4)“ 3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“ 3的近似值”不能构成集合．
解析判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是． ∵ 11<2 3，∴a∉M.
答案 B
典例迁移
【例3】
题型三集合中元素的特性
已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3是集合
A中的元素，试求实数a的值．解因为－3是集合A中的元素，所以－3＝a－3或－3＝2a－1. 若－3＝a－3，则a＝0，
规律方法判断一组对象能否构成集合的依据
【训练1】给出下列说法： ①中国所有的直辖市可以构成一个集合； ②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合；
③正偶数的全体可以构成一个集合；
④大于2 011且小于2 017的所有整数不能构成集合．其中正确的有________(填序号)．解析 ②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，故 ④错误．答案 ①③
【预习评价】 (1)若 a 是 R Nhomakorabea中的元素，但不是 Q 中的元素，则 a 可以是( A．3.14 B．－2 7 C．8 D． 7 )
(2)若 2<x< 10，且 x∈Z，则 x＝________.
解析 (1)由选项知 7是实数，但不是有理数，故选 D．
(2)大于 2且小于 10的整数为 2 和 3，故 x＝2 或 3
题型二元素与集合的关系
【例 2】 1 (1)给出下列关系：①2∈R；② 2∉Q；③|－3|∉N； ) D．4
④|－ 3|∈Q；⑤0∉N.其中正确的个数为( A．1 B．2 C．3
6 (2)集合 A 中的元素 x 满足 ∈N，x∈N，则集合 A 中的 3－x 元素为________．
解析
(1)①②正确；③④⑤不正确．
【预习评价】思考设集合 A表示“1～ 10以内的所有素数”， 3,4 这两个元 3 是集合 A 中的元素，即 3属于集合 A ，记作 3∈A ； 4
素与集合A有什么关系？如何用数学语言表示？
提示不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4∉A.
知识点3 常用数集及表示符号非负整数集 ______ 数集正整数集整数集 (自然数集) N Z N*或N＋符号 __________ ____ 有理数集实数集 Q ________ R
6 6 (2)∵ ∈N，x∈N，∴当 x＝0 时，＝2∈N，∴x＝0 满 3－x 3－x 6 足题意；当 x＝1 时，＝3∈N，∴x＝1 满足题意；当 x＝2 3－x 6 6 时，＝6∈N，∴x＝2 满足题意，当 x>3 时， <0 不满 3－x 3－x 足题意，所以集合 A 中的元素为 0,1,2.
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合要求；
若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合要求．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
【迁移 1】
解
( 变换条件 ) 若把本例中的条件“－ 3是集合 A 中的
答案 (1)B (2)0,1,2
规律方法判断元素与集合关系的两个关键点判断一个元素是否属于一个集合，一要明确集合中所含元
素的共同特征，二要看该元素是否满足该集合中元素的共
同特征．
【训练 2】设集合 M 是由不小于 2 3的数组成的集合，a＝ 11，则下列关系中正确的是( A．a∈M B．a∉M ) C．a＝M D．a≠M
素．(
提示合． (2)× (3)×
)
) (1)× “漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集
(3)元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是不相等的．(
由于集合中的元素具有互异性，故由两方程的根组集合中的元素具有无序性，所以元素 1,2,3 和元素
成的集合中有2个元素． 3,2,1组成的集合是同一集合．
A，B，C，… 常用大写拉丁字母__________________ 表示．
一样的． (3)集合相等：指构成两个集合的元素是_______ 无序性．互异性和_________ 确定性、 (4)集合中元素的特性： _________ _________
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)漂亮的花可以组成集合．( ) (2) 由方程 x2 － 4 ＝ 0 和 x － 2 ＝ 0 的根组成的集合中有 3 个元
知识点2 元素与集合的关系关系概念记法读法
a是集合A 的元素，如果__________ a∈A __________ a属于集合A 属于就说a属于集合A a不是集合A 中的元 a不属于集不属如果____________ a∉A __________ 合A 于素，就说a不属于集合A

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1.1.1 集合的含义与表示(第2课时)集合的表示(课件)

[解] (1)不大于 10 的非负偶数有 0,2,4,6,8,10，所以 A＝{0,2,4,6,8,10}． (2)小于 8 的质数有 2,3,5,7，所以 B＝{2,3,5,7}． (3)方程 2x2－x－3＝0 的实数根为－1，32.所以 C＝－1，32. (4)由yy＝＝－x＋23x，＋6，得xy＝＝14， . 所以一次函数 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的交点为(1,4)，所以 D＝{(1,4)}．
[规律方法] 用列举法表示集合的个步骤求出集合的元素把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次用花括号括起来提醒：二元方程组的解集，函数的图象点形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“,”隔开.如{2，3，5，－1}.
[跟踪训练] 1．用列举法表示下列集合： (1)方程组xx－＋yy＝＝02，的解集； (2)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}.
2．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数 k 的取值范围． [解] 由题意可知，方程 kx22－8x＋16＝0 至少有一个实数根． ①当 k＝0 时，由－8x＋16＝0 得 x＝2，合题意； ②当 k≠0 时，要使方程 kx22－8x＋16＝0 至少有一个实数根，则 Δ＝64－64k≤0，即 k≥1. 综合①②可知，实数 k 的取值集合为{k|k＝0 或 k≥1}．
[解] (1)解方程组23xx－＋32yy＝＝18，4，得xy＝＝－4，2，故解集为{(4，－2)}． (2)集合用描述法表示为{x|x 是正方形}，简写为{正方形}． (3)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．
“ THANKS ”
【解答】解：解集合A方程，x2-x-2=0得到x=2，x=-1， ∵y∈A，即：y=2，y=-1， ∴集合B|x|=y+2，y∈A，得：|x|=y+2=4，|x|=y+2=1，故：x=±4，x=±1， ∴集合B={-4，-1，1，4} 故选：B．

人教课标A版数学必修一1.1.1集合的含义与表示教案

1.1.1《集合的含义与表示》导学案班级组名：姓名【学习目标】A级目标：通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.B级目标：了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识.【重点难点】重点：集合的基本概念与表示方法.难点：选择恰当的方法表示一些简单的集合.【学习过程】一、课题引入问题1.军训前学校通知:8月30日8点,高一年级学生到操场集合进行军训.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？问题2.首先教师提出问题:在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗?二、自主探究得出结论阅读课本第2~3页，完成下列探究任务[问题一]①请我们班的全体女生起立！接下来问:“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义.④如果用A表示高一(1)班全体学生组成的集合,用a表示高一(1)班的一位同学,b是高一(2)班的一位同学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？⑥世界上的高山能不能构成一个集合？⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？[问题二]阅读课本P3中:数学中一些常用的数集及其记法.快速写出常见数集的记号.[问题三]①前面所说的集合是如何表示的？②阅读课本中的相关内容,并思考:除字母表示法和自然语言之外,还能用什么方法表示集合？③集合共有几种表示法?三、合作交流，解决问题例1.下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x1图象上所有的点例2.在数集{2x,x 2-x}中,实数x 的取值范围是什么？例3.试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1) 小于10的所有自然数组成的集合;(2) 方程x 2=x 的所有实数根组成的集合;(3) 由1~20以内的所有质数组成的集合.四．突破疑难例4.若集合A={}23,21,4a a a ---且3A -∈，求实数a 的值组成的集合.例5.已知集合A={x|ax 2-3x+2=0,a ∈R},若A 中至少有一个元素,求a 的取值范围.【当堂检测】1. (1) A={1,3},判断元素3,5和集合A 的关系,并用符号表示.(2) 所有素质好的人能否表示为集合?(3) A={2,2,4}表示是否准确?(4) A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一集合?2.方程ax 2+5x+c=0的解集是{21,31},则a=________,c=_______.3.已知A={x ∈R |x=abcabc bc bc ac ac ab ab c c b b a a ||||||||||||||++++++,abc ≠0},用列举法表示集合A.4.用列举法表示下列集合:(1) 所有绝对值等于8的数的集合A;(2) 所有绝对值小于8的整数的集合B.5.试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1) 方程x 2-2=0的所有实数根组成的集合;(2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合.【课后反思】1.今天你的收获是什么？2.你有哪些方面需要努力？【课后巩固提高】1.说出下面集合中的元素:(1) {大于3小于11的偶数};(2) {平方等于1的数};(3) {15的正约数}.2.判断正误:(1)所有属于N 的元素都属于N *. ( )(2)所有属于N 的元素都属于Z . ( )(3)所有不属于N *的数都不属于Z . ( )(4)所有不属于Q 的实数都属于R . ( )(5)不属于N 的数不能使方程4x=8成立. ( )3.用列举法表示下列集合:(1)小于5的正奇数组成的集合;(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;(3)方程x 2-9=0的解组成的集合;(4){15以内的质数}; (5){x|x-36∈Z ,x ∈Z }. (6){(x,y)|x ∈N 且1≤x<4,y-2x=0};(7){(x,y)|x+y=6,x ∈N ,y ∈N }.4.用描述法分别表示下列集合:(1)二次函数y=x 2图象上的点组成的集合;(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合;(3)不等式x-7<3的解集.(4)方程ax+by=0(ab ≠0)的解;(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合;(6)能被3整除的整数.5.定义集合运算:A ⊙B={z|z=xy(x+y),x ∈A,y ∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A ⊙B 的所有元素之和为( )A.0B.6C.12D.186.集合A 中的元素由关于x 的方程kx 2-3x+2=0的解构成,其中k ∈R,若A 中仅有一个元素,求k 的值.7. 已知集合A 有三个元素2+a ，2)1(+a ，332++a a（1）若1A ∈，则集合A 中还有哪些元素？（2）若1A ∉，则a 应满足什么条件?拓展提升1.集合A={x|x=a+2b,a ∈Z ,b ∈Z },判断下列元素x=0、121-、231-与集合A 之间的关系.2.已知集合C={x|x=a+b,a ∈A,b ∈B}.(1)若A={0,1,2,3},B={6,7,8,9},求集合C 中所有元素之和S;(2)若A={0,1,2,3,4,…,2 005},B={5,6,7,8,9},试用代数式表示出集合C 中所有元素之和S;(3)联系高斯求S=1+2+3+4+…+99+100的方法,试求出(2)中的S.思路分析：先用列举法写出集合C,然后解决各个小题.答案：(1)列举法表示集合C={6,7,8,9,10,11,12},进而易求得S=6+7+8+9+10+11+12=63.(2)列举法表示集合C={5,6,7,…,2 013,2 014},由此可得S=5+6+7+…+2 013+2 014.(3)高斯求S=1+2+3+4+…+99+100时,利用1+100=2+99=3+98=…=50+51=101,进而得S=1+2+3+4+…+99+100=101×50=5 050.本题(2)中S=5+6+7+…+2 013+2 014=2 019×1 005=2 029 095.。

人教A版选择性必修第一册高中数学1.1.2空间向量的数量积运算精品课件

2
2×4×cos 135°＋16λ
例题解析
例 9．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，有下列说法：
→1＋AD
→ ＋AB
→ )2＝3|AB
→ |2；②A→
→
→
→
→
①(AA
1C·(A1B1－A1A)＝0；③AD1与A1B的夹角为 60°.
其中说法正确的有( B )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．0 个
知识梳理
三、数量积的运算规律：
注意：等式 (a b)c a (b c ) 是否成立？
不成立
练习：判断下列说法的真假.
（1）若a b 0, 则a 0或b 0;
（ × ）
（2）若a b b c(b 0),则a c;
（ × ）
2
2
（3） p q ( p q ) ;
A
知识梳理
投影向量
(1)投影向量
在空间，向量 a 向向量 b 投影，可以先将它们平移到同一个平面内，
进而利用平面上向量的投影，得到与向量 b 共线的向量 c，
b
c＝|a|cos〈a，b〉|b|，则向量 c 称为向量 a 在向量 b 上的投影向量，
a
同理向量 b 在向量 a 上的投影向量是|b|cos〈a，b〉
A．0
B.－2
C．2
D.－3
1
1
→
→
→
→
如图所示．在棱长为 2 的正四面体 ABCD 中，因为 E，F 分别是棱 BC，AD 的中点，所以AE·CF＝ (AB＋AC)·
2
2
1
1
→
→
→
→

高中数学一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法集合的含义

第1课时集合的含义考点学习目标核心素养集合的概念了解集合与元素的概念数学抽象理解元素与集合的关系，掌握数学元素与集合的关系数学抽象、逻辑推理中一些常见的集合及其记法理解集合中元素的特征，并能利用数学运算、数学抽象集合中元素的特征及应用它们进行解题问题导学预习教材P3－P5的内容，思考以下问题：1．集合和元素的概念是什么？2．如何用字母表示集合和元素？3．元素和集合之间有哪两种关系？4．常见的数集有哪些？分别用什么符号来表示？5．按元素个数的多少，集合可分为哪几类？1．元素与集合的概念(1)集合：把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象组成的集合(有时简称为集)，通常用英文大写字母A，B，C，…表示．(2)元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c，…表示．(3)元素的特性①确定性：集合的元素必须是确定的；②互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．③无序性：集合中的元素可以任意排列，与次序无关.■名师点拨(1)在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么，集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．(2)集合中的元素与顺序无关，只要两个集合中的元素是一样的，这两个集合就是同一个集合．2．元素与集合的关系关系语言描述记法读法属于a 是集合A 中的元素 a ∈Aa 属于A不属于a 不是集合A 中的元素a ∉Aa 不属于A■名师点拨对元素和集合之间关系的两点说明(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种结果．(2)“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如“R ∈0”是错误的． 3．空集(1)定义：不含任何元素的集合． (2)符号：∅．4．常用的数集及其记法常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法 NN *或N ＋ZQR5.集合的分类(1)集合⎩⎪⎨⎪⎧有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合(2)空集是有限集．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合中的元素一定是数．( )(2)高一四班的全体同学组成一个集合．( )(3)由1，2，3构成的集合与由3，2，1构成的集合是同一个集合． ( ) (4)一个集合中可以找到两个相同的元素．( ) (5)集合N 中的最小元素为0.( ) (6)若a ∈Q ，则一定有a ∈R .( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√ 由“title ”中的字母构成的集合中元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C.由“title ”中的字母构成的集合中元素为t ，i ，l ，e ，共4个．下列关系中：①0.21∈Q ；②105∉N *；③－4∈N *；④4∈N ；⑤0∈∅.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.①是正确的；②中105＝2∈N *，故②错误；③中－4＝－2∉N *，故③错误；④4＝2∈N 是正确的，⑤0∉∅，故⑤错误．故①④正确．已知集合M 有两个元素3和a ＋1，且4∈M ，则实数a ＝________．解析：由题意知a ＋1＝4，即a ＝3. 答案：3 集合的概念2019年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级．则下列对象能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由．(1)你所在班级中全体同学； (2)班级中比较高的同学；(3)班级中身高超过178 cm 的同学； (4)班级中比较胖的同学； (5)班级中体重超过75 kg 的同学； (6)学习成绩比较好的同学．【解】 (1)班级中全体同学是确定的，所以可以构成一个集合． (2)因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合． (3)因为“身高超过178 cm ”是确定的，所以可以构成一个集合． (4)因为“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合． (5)因为“体重超过75 kg ”是确定的，可以构成一个集合．(6)因为“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．判断一组对象能否构成集合的方法一般地，确认一组对象a 1，a 2，a 3，…，a n (a 1，a 2，…，a n 均不相同)能否构成集合的过程为1．(2019·临川检测)考察下列每组对象，能组成一个集合的是( )①一中高一年级聪明的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的正整数；④3的近似值．A．①②B．③④C．②③D．①③解析：选C.①“一中高一年级聪明的学生”的标准不确定，因而不能构成集合；②“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准是确定的，因而能构成集合；③“不小于3的正整数”的标准是确定的，因而能构成集合；④“3的近似值”的标准不确定，所以不能构成集合．2．中国男子篮球职业联赛(China Basketball Association)，简称中职篮(CBA)，是由中国篮球协会所主办的跨年度主客场制篮球联赛，是中国最高等级的篮球联赛．下列对象能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由．(1)2018～2019赛季，CBA的所有队伍；(2)CBA中比较著名的队员；(3)CBA中得分前五位的球员；(4)CBA中比较高的球员．解：(1)CBA的所有队伍是确定的，所以可以构成一个集合．(2)“比较著名”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．(3)“得分前五位”是确定的，可以构成一个集合．(4)“比较高”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．元素与集合的关系(1)下列关系中，正确的有( )①12∈R；②2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.A．1个B．2个C．3个D．4个(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3【解析】 (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误． (2)因为a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，若a ＝0，则4－a ＝4，此时A 满足要求；若a ＝1，则4－a ＝3，此时A 满足要求；若a ＝2，则4－a ＝2，此时A 含1个元素不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C. 【答案】 (1)C (2)C判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可. 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．1．用适当的符号填空：已知集合A 中的元素x 是被3除余2的整数，则有： 17________A ；－5________A . 解析：由题意可设x ＝3k ＋2，k ∈Z ，令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z . 所以17∈A .令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z .所以－5∉A .答案：∈ ∉2．已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R .若1∉A ，2∈A ，则实数a 的取值范围为________．解析：因为1∉A ，2∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×1＋a ≤0，2×2＋a >0，即－4<a ≤－2. 答案：－4<a ≤－2 集合中元素的特征及应用已知集合A 中含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，则实数a 的值为________．【解析】若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1. 当a ＝1时，集合A 中有重复元素，所以a ≠1；当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a ＝－1. 【答案】－11．(变条件)若去掉本例中的条件“1∈A ”，则实数a 的取值范围是什么？解：因为集合A 中含有两个元素a 和a 2，所以a ≠a 2，即a ≠0且a ≠1.2．(变条件)若将本例中的“1∈A ”改为“2∈A ”，则a 为何值？解：因为2∈A ，所以a ＝2或a 2＝2，即a ＝2或a ＝± 2.3．(变条件)若由a 和a 2构成的集合只有一个元素，则a 为何值？解：因为由a 和a 2构成的集合只有一个元素，所以a ＝a 2，即a ＝0或a ＝1.由集合中元素的特征求解字母取值(范围)的步骤1．若集合M 中的三个元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选D.由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，故选D. 2．若集合A 中的三个元素x ，x ＋1，1与集合B 中的三个元素x ，x ＋x 2，x 2相同，求实数x 的值．解：因为集合A 与B 的元素相同，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2，1＝x 2＋x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2＋x ，1＝x 2. 解得x ＝±1.经检验，x ＝1不符合集合中元素的互异性，而x ＝－1符合，所以x ＝－1.1．下列各组对象可以组成集合的是( ) A ．数学必修1课本中所有的难题 B ．小于8的所有质数C ．直角坐标平面内第一象限的一些点D ．所有小的正数解析：选B.A 中“难题”的标准不确定，因而不能构成集合；B 能构成集合；C 中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．D 中“小”没有明确的标准，所以不能构成集合．2．下列结论中，不正确的是( ) A ．若a ∈N ，则1a∉NB ．若a ∈Z ，则a 2∈Z C ．若a ∈Q ，则|a |∈Q D ．若a ∈R ，则3a ∈R解析：选A.A 不正确．反例：a ＝1∈N ，1a＝1∈N .3．若以方程x 2－5x ＋6＝0和x 2－x －2＝0的解为元素组成集合M ，则M 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.方程x 2－5x ＋6＝0的解为x ＝2或x ＝3，x 2－x －2＝0的解为x ＝2或x ＝－1，所以集合M 中含有3个元素．4．下列集合中________是有限集，________是无限集(填序号)． (1)由小于8的正奇数组成的集合； (2)大于5小于20的实数组成的集合．解析：(1)因为小于8的正奇数有1，3，5，7，所以其组成的集合是有限集． (2)因为大于5小于20的实数包括整数、小数等，有无数个，所以其组成的集合是无限集．答案：(1) (2)5．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A ，则实数m ＝________．解析：由题意知，m ＝2或m 2－3m ＋2＝2，解得m ＝2或m ＝0或m ＝3，经验证，当m ＝0或m ＝2时，不满足集合中元素的互异性，当m ＝3时，满足题意，故m ＝3. 答案：3[A 基础达标]1．现有以下说法，其中正确的是( ) ①接近于0的数的全体构成一个集合； ②正方体的全体构成一个集合； ③未来世界的高科技产品构成一个集合； ④不大于3的所有自然数构成一个集合． A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选D.在①中，接近于0的数的全体不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．2．给出下列关系：①13∈R ；②5∈Q ；③－3∉Z ；④－3∉N ，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.13是实数，①正确；5是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－3是无理数，④正确．故选B.3．设A 是方程2x 2＋ax ＋2＝0的解集，且2∈A ，则实数a 的值为( ) A ．－5 B ．－4 C ．4D ．5解析：选A.因为2∈A ，所以2×22＋2a ＋2＝0，解得a ＝－5.4．设集合M 是由不小于23的数组成的集合，a ＝11，则下列关系中正确的是( ) A ．a ∈M B ．a ∉M C ．a ＝MD ．a ≠M解析：选B.因为集合M 是由不小于23的数组成的集合，a ＝11，所以a 不是集合M 中的元素，故a ∉M .5．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含有 ( ) A ．2个元素 B ．3个元素 C ．4个元素D ．5个元素解析：选A.x 2＝|x |，－3x 3＝－x . 当x ＝0时，它们均为0；当x >0时，它们分别为x ，－x ，x ，x ，－x ；当x <0时，它们分别为x ，－x ，－x ，－x ，－x .通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故此集合中元素最多含有2个． 6．下列说法：①集合N 与集合N *是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素；⑤方程x 2＋2x ＋3＝0的解集是∅.其中正确的有________(填序号)．解析：集合N *表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，因为方程x 2＋2x ＋3＝0无解，所以它的解集为∅.所以①③的说法不正确，②④⑤的说法正确．答案：②④⑤7．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ________A ，ab ________A ．(填“∈”或“∉”)解析：因为a 是偶数，b 是奇数，所以a ＋b 是奇数，ab 是偶数，故a ＋b ∉A ，ab ∈A . 答案：∉ ∈8．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0且b >0时，|a |a ＋|b |b＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b＝0；当a <0且b <0时， |a |a ＋|b |b＝－2.所以集合中的元素为2，0，－2. 即元素的个数为3. 答案：39．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，a ∈R . (1)若－3∈A ，试求实数a 的值； (2)若a ∈A ，试求实数a 的值．解：(1)因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1.若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a －1，则a ＝－1.此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，实数a 的值为0或－1. (2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1. 当a ＝a －3时，有0＝－3，不成立；当a ＝2a －1时，有a ＝1，此时A 中有两个元素－2，1，符合题意．综上知a ＝1. 10．集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，试分别判断a ＝－3，b ＝13－3，c ＝(1－23)2与集合A 的关系．解：因为a ＝－3＝0＋(－1)×3，而0，－1∈Z ，所以a ∈A ；因为b ＝13－3＝3＋3（3－3）（3＋3）＝12＋36，而12，16∉Z ，所以b ∉A ；因为c ＝(1－23)2＝13＋(－4)×3，而13，－4∈Z ，所以c ∈A .[B 能力提升]11．集合A 中的元素y 满足y ∈N 且y ＝－x 2＋1，若t ∈A ，则t 的值为( ) A ．0 B ．1C ．0或1D ．小于或等于1解析：选C.由y ∈N 且y ＝－x 2＋1≤1，所以y ＝0或y ＝1，所以A ＝{0，1}．又因为t ∈A ，所以t ＝0或t ＝1，故选C.12．集合A 的元素y 满足y ＝x 2＋1，集合B 的元素(x ，y )满足y ＝x 2＋1(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1，2)∈A ，且(1，2)∈BC ．2∈A ，且(3，10)∈BD ．(3，10)∈A ，且2∈B解析：选C.集合A 中的元素为y ，是数集，又y ＝x 2＋1≥1，故2∈A ，集合B 中的元素为点(x ，y )，且满足y ＝x 2＋1，经验证，(3，10)∈B ，故选C.13．(2019·信阳检测)已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.解析：因为集合P 中恰有三个不同元素，且元素x 满足x ∈N ，且2<x <a ，则满足条件的x 的值为3，4，5，所以a 的值是6.答案：614．设集合A 中的元素是实数，且满足1∉A ，且若a ∈A ，则11－a∈A .若2∈A ，写出集合A 中的元素．解：因为2∈A ，所以11－2＝－1∈A ，所以11－（－1）＝12∈A ，所以11－12＝2，再求下去仍然只得到2，－1，12这三个数，所以集合A 中的元素只有三个－1，12，2. [C 拓展探究]15．定义满足“如果a ∈A ，b ∈A ，那么a ±b ∈A ，且ab ∈A ，且a b∈A (b ≠0)”的集合A 为“闭集”．试问数集N ，Z ，Q ，R 是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．解：(1)数集N ，Z 不是“闭集”，例如，3∈N ，2∈N ，而32＝1.5∉N ；3∈Z ，－2∈Z ，而3－2＝－1.5∉Z ，故N ，Z 不是闭集． (2)数集Q ，R 是“闭集”．由于两个有理数a 与b 的和，差，积，商，即a ±b ，ab ，a b (b ≠0)仍是有理数，所以Q 是闭集，同理R 也是闭集．。

人教A版高中数学必修一：1.1.1集合的含义与表示第二课时课件(人教A版必修1)(2)

2．用描述法表示下列集合： (1)所有正偶数组成的集合； (2)方程x2＋2＝0的解的集合； (3)不等式4x－6<5的解集； (4)函数y＝2x＋3的图象上的点集．解：(1)文字描述法：{x|x是正偶数}．符号描述法：{x|x＝2n，n∈N*}． (2){x|x2＋2＝0，x∈R}． (3){x|4x－6<5，x∈R}． (4){(x，y)|y＝2x＋3，x∈R，y∈R}．
2．用集合所含元素的_共__同__特__征__表示集合的方法称为描述法．具体的方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
自主探究
1．集合{x|x>1}与集合{y|y>1}是否表示同一集合？答：虽然两个集合的代表元素不同，但实质上它们均表示大于1的所有实数，故是同一集合． 2．下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋ 1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．它们各自的含义是什么？它们是不是相同的集合？答：集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R，
(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．
用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑连接词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围．
(3)集合语言的转化集合语言是现代数学的基本语言，也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言．集合语言与其他语言的关系以及它的构成如下：
3．用列举法表示大于2小于15的偶数全体为 ________．
答案：{4,6,8,10,12,14} 4．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|， x∈A}，则B＝________. 解析：∵|－1|＝1，|0|＝0，|1|＝1，故B＝{0,1}．答案：{0,1}

人教A版高中数学选择性必修一1.1.1空间向量及其线性运算课件

三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
发现： AB AD AA' AB AA' AD AC '
即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平
行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的
向量．
发现：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.
（三）共线向量
1.定义(类比平面向量)
及推论的应用．(重点、难点)
逻辑推理的核心素养.
二.情景引入
这是一个做滑翔伞运动
的场景.可以想象,在滑翔过
程中,飞行员会受到来自不同
方向、大小各异的力.显然这
些力不在同一个平面内.这就
是我们今天要学习的空间向
量.
三.新知初探
(一)空间向量的有关概念
1.定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量.
2.长度或模：空间向量的大小.
3.表示方法：
①字母表示法：用小写黑体字母, , ,
表示；模为||, ||, ||，
②几何表示法：用有向线段表示；若向量的起点是 A ,
→
→
|AB
| .
终点是 B ,也可记作： AB ，其模记为
终点
A
B
起点 A
C
, ,
O
B
4.几个特殊的向量概念：
A
当 0 ， a OA MN
当 0或 a 0 ， a 0
M
λa
a
O
λa
λ >0
P
λ <0
N
运算律：对于空间中任意向量a和向量b,以及实数λ和μ，
①结合律：（ a）=(）a，
②分配律：( + )a a + a, (a b) a + b,

《金版学案》2018-2019学年高中数学必修一(人教版)课件：第一章1.1-1.1.3第1课时并集与交集

答案：(1)C (2){m|m≥－1}
类型 2 集合交集的简单运算 [典例 2] (1)已知集合 A＝{x∈R|3x＋2>0}， B＝{x|x< －1 或 x>3}，求 A∩B； (2)若 A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x>a}，求 A∩B. 2 解：(1)由 3x＋2＞0，得 x>－ . 3
第一章
集合与函数概念
1.1
集合
1．1.3 集合的基本运算第 1 课时并集与交集
[学习目标]
1.理解两个集合的并集与交集的含义，
会求两个简单集合的并集与交集(重点)． 2.能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用(重点)． 3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题(重点、难点)．
解析：(1)错，A∪B 的元素个数小于或等于集合 A 与集合 B 的元素个数和． (2)错，当集合 A 与 B 没有公共元素时，集合 A 与 B 的交集为∅，即 A∩B＝∅. (3)错，B 中最多有 3 个元素，也可能 B＝∅. 答案：(1)× (2)× (3)×
2．已知集合 M＝{－1，－2，－3，－4}，N＝{－3， 3}，下列结论成立的是( A．N⊆M C．M∩N＝N ) B．M∪N＝M D．M∩N 是单元素集合
[知识提炼· 梳理] 1．集合的并集并集的三种语言表示： (1)文字语言：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集． (2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A 或 x∈B}．
(3)图形语言：如图所示．
温馨提示 “x∈A ，或 x∈B” 包括了三种情况： ①x∈A，但 x∉B；②x∈B，但 x∉A；③x∈A，且 x∈B.
2．求两个集合交集的一般方法：①明确集合中，借助数轴求解．③当所给集合中有一个不确定时，要注意分类讨论，分类的标准取决于已知集合．

空间向量基本定理人教A版(2019)选择性必修第一册高中数学精品课件

例题解析
例 5．在空间四点 O，A，B，C 中，若{O→A，O→B，O→C}是空间的一个基底，则下列说法不正确的是( B ) A．O，A，B，C 四点不共线 B．O，A，B，C 四点共面，但不共线 C．O，A，B，C 四点不共面 D．O，A，B，C 四点中任意三点不共线选项 A 对应的说法是正确的，若四点共线，则向量O→A，O→B，O→C共面，构不成基底；选项 B 对应的说法是错误的，若四点共面，则O→A，O→B，O→C共面，构不成基底；选项 C 对应的说法是正确的，若四点共面，则O→A， O→B，O→C构不成基底；选项 D 对应的说法是正确的，若有三点共线，则这四点共面，故向量O→A，O→B， O→C构不成基底．
例题解析
①根据空间基底的定义，三个非零向量 a，b，c 不能构成空间的一个基底，则 a，b，c 共面，故正确． ②由空间基底的定义，若两个非零向量 a，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 a，b 共线，故正确． ③对空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，若O→P＝2O→A－2O→B－2O→C，由于 2－2－2＝－2≠1，则 P， A，B，C 四点不共面，故错误． ④若 a，b 是两个不共线的向量，且 c＝λa＋μb(λ，μ∈R，λ，μ≠0)，则向量 c 与 a，b 共面，则{a，b， c}不能构成空间的一个基底，故错误． ⑤利用反证法：若{a＋b，b＋c，c＋a}不能构成空间的一个基底，则存在实数 x，y，使得 a＋b＝x(b＋c) ＋y(c＋a)，整理得(1－y)·a＝(x－1)b＋(x＋y)c，则 a，b，c 共面，由于{a，b，c}为空间的一个基底，得出矛盾，所以{a＋b，b＋c，c＋a}能够成空间的一个基底，故正确．故选 D.
选择性必修一第一章
1.2 空间向量基本定理

1.1 集合的概念及表示-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修一同步讲义

人教版（A 版）新高一集合的概念及表示审核人签字：审核时间：学员编号：年级：高一课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：边德龙授课类型T-集合的概念及表示★★★授课日期及时段2020.07. 00:00-0:00教学目标1、理解集合中元素的性质2、掌握元素与集合的关系3、理解集合的表示法重点难点1、集合中元素的性质2、集合的表示教学内容1、集合的概念：一般的我们把研究对象统称为，把一些元素组成的总体叫做。

2、集合的3个性质：⎪⎩⎪⎨⎧的元素顺序无关无序性：集合与组成它元素是互不相同的互异性：集合中任两个必须是确定的确定性：集合中的元素3、元素与集合的表示：我们通常用来表示集合，用来表示元素。

4、元素与集合的关系：①如果a 是集合A 的元素，就说a A ，记作：A a ∈②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作：注意：属于或不属于（∉∈,）一定是用在表示元素与集合间的关系上。

5、集合的分类：（集合含有有限个元素）；无限集（集合含有个元素）；空集（不含任何元素的集合，用记号表示）。

6、常用集合的表示：自然数集（非负整数集）记作N ；正整数集记作()+N N *；T-集合的概念及表示知识梳理整数集记作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R 。

注意：（这些特定集合外面不用加{}）7、集合的表示：（1）：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来的表示方法。

注意：一般用列举法，元素是有限的，在不产生歧义的情况下，无限集合也可以用列举法，例：正整数集合｛1，2，3，4，…｝．（2）：在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

例：{}4>=x x B （如果元素的取值范围是全体实数，范围可省略不写）。

（3）：用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。

题型一基本概念例1 下列各组对象中能构成集合的是（） A ．充分接近3的实数的全体 B ．数学成绩比较好的同学 C ．小于20的所有自然数 D ．未来世界的高科技产品【答案】C1、判断下面例子能否组成集合？（1）大于3小于12的所有偶数；（2）我国的小河流。