2019届高考数学一轮复习课件(文科)： 选考部分 坐标系与参数方程课件 文 新人教A版
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2.若原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,则点(-5,-5√3)的极 坐标是( ) A. 10, 3 2π C. -10,- 3
π
B. 10, 3 2π D. 10, 3
4π
关闭
B
答案
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3.已知直线 l 的参数方程为
������ = 2������, (t 为参数),圆 C 的极坐标 ������ = 1 + 4������ )
, (θ 为参数).
������ = 2 ④抛物线方程 y =2px(p>0)的参数方程为 ������ = 参数).
2pt2 2pt
, (t 为
-10知识梳理 双基自测 自测点评
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1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆. ( ) (2)点 P 在曲线 C 上,则点 P 的极坐标一定满足曲线 C 的极坐标 方程. ( ) (3)如果点 P 的直角坐标为(-√2, √2),那么它的极坐标可表示为 2, 4 . (4)参数方程
;
③圆心位于 M
π ������, 2
,半径为 a:ρ= 2asin θ
.
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6.曲线的参数方程 (1)定义:在平面直角坐标系 xOy 中,如果曲线上任意一点的坐标 ������ = ������(������), x,y 都是某个变数 t 的函数 并且对于 t 的每一个允许值,上 ������ = ������(������), 式所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为该曲线 的 参数方程 ,其中变数 t 称为 参数 . (2)一些常见曲线的参数方程 ①过点 P0(x0,y0),且倾斜角为 α 的直线的参数方程为 ������ = ������0 + ������cos������, (t 为参数).t 的几何意义是直线上的点 P 到 ������ = y0+tsin α 点 P0(x0,y0)的数量,即|t|=|������0 ������|,t 可正,可负.使用该式时直线上任意两 点 P1,P2 对应的参数分别为 t1,t2,则|P1P2|=|t1-t2|,P1P2 的中点对应的参 数为2(t1+t2).
(2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差 2π的整数倍).一般取ρ≥0,θ∈[0,2π).
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4.直线的极坐标方程 (1)若直线过点M(ρ0,θ0),且与极轴所成的角为α,则直线的方程 为:ρsin(θ-α)= ρ0sin(θ0-α) .
3π
(
)
������ = -1-������, (t 为参数)所表示的图形是直线. ( ) ������ = 2 + ������ (5)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点 O 的圆的极坐标方程为 ρ=2asin θ. ( )
关闭
(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
答案
-11知识梳理 双基自测 自测点评
-5知识梳理 双基自测 自测点评
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3.极坐标与直角坐标的互化 (1)设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(ρ,θ),
互化的前提条件 互化公式 x = ρ������������������θ, ① (1)极点与原点重合 y = ρ������������������θ, (2)极轴与 x 轴非负半轴重 ρ2 = x 2 + y2 , y 合 ������������������θ = x (������ ≠ 0). (3)取相同的长度单位 ②
方程为 ρ=2√2sin θ,则直线 l 与圆 C 的位置关系为( A.相离 B.相切 C.相交 D.由参数确定
关闭
C
答案
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2.极坐标系与极坐标
(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个 定点 O,叫做极点,自 极点O引一条 射线 Ox,叫做极轴;再选定一个 长度 单位,一 个 角度 单位(通常取 弧度 )及其正方向(通常取 逆时针 方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的 距离|OM| 叫做 点M的极径,记为 ρ ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角 xOM (ρ,θ) 叫做点M的极坐 叫做点M的极角,记为 θ .有序数对 标,记为 M(ρ,θ) .
选修4系列
选修4—4
坐标系与参数方程
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1.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ������' = ������· ������,������ > 0, φ: 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P'(x',y'),称 φ 为平面直 ������' = ������· ������,������ > 0 角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
(2)几个特殊位置的直线的极坐标方程 ①直线过极点:θ=θ0和 θ=π+θ0 ; ②直线过点M(a,0),且垂直于极轴: ρcos θ=a
π ③直线过 M ������, 2 ,且平行于极轴: ρsin θ=b
;
.
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5.圆的极坐标方程 (1)若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程 为 . (2)几个特殊位置的圆的极坐标方程 ①圆心位于极点,半径为r:ρ= r ; ②圆心位于M(a,0),半径为a:ρ= 2acos θ
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②圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程为 ������ = a+rcos θ , (θ 为参数). ������ = b+rsin θ ������ = acos θ ������ = bsin θ
������2 ������2 ③椭圆方程������2 + 2 =1(a>b>0)的参数方程为 ������
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 坐标系与参数方程 第1节 坐标系学案 文 北师大版
第一节 坐标系[考纲传真] 1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．(对应学生用书第158页)[基础知识填充]1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：Error!的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值．图(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：Error!或Error!图3．常用简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ≤2π)圆心为(r,0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos θ(－π2＜θ≤π2)圆心为，半径为r 的圆(r ，π2)ρ＝2r sin θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R )过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos θ＝a(－π2＜θ＜π2)过点，与极轴平行的直(a ，π2)线ρsin θ＝a (0＜θ＜π)[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－)，则点P 的一个极坐标是.( )3(2，－π3)(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( )(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝，0≤θ≤1cos θ＋sin θπ2B ．ρ＝，0≤θ≤1cos θ＋sin θπ4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4A [∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，∴ρ＝.]1sin θ＋cos θ(0≤θ≤π2)3．(教材改编)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________．x 2＋y 2－2y ＝0 [由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ.所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.]4．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin＝，点A 的极坐标为A ，则点(θ－π4)2(22，7π4)A 到直线l 的距离为________． [由2ρsin＝，得522(θ－π4)22ρ＝，(22sin θ－22cos θ)2∴y －x ＝1.由A，得点A 的直角坐标为(2，－2)．(22，7π4)∴点A 到直线l 的距离d ＝＝.]|2＋2＋1|25225．已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρ·sin－4＝0，求圆C 的半径.2(θ－π4)【导学号：00090368】[解] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程可化为ρ2＋2ρ－4＝0，2(22sin θ－22cos θ)化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为.6(对应学生用书第159页)平面直角坐标系中的伸缩变换 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．[解] (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得Error!2分由x ＋y ＝1得x 2＋2＝1，2121(y2)故曲线C 的方程为x 2＋＝1.5分y 24(2)由Error!解得Error!或Error!6分不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为，所求直线斜率为k ＝，(12，1)12于是所求直线方程为y －1＝，12(x －12)化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，故所求直线的极坐标方程为ρ＝.10分34sin θ－2cos θ[规律方法] 1.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，利用方程思想求解．2．求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x ＝ρcosθ，y ＝ρsin θ代入转化．[变式训练1] 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：Error!(1)求点A 经过φ变换所得点A ′的坐标；(13，－2)(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程．[解] (1)设点A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：Error!得Error!∴x ′＝×3＝1，y ′＝＝－1.13－22∴点A ′的坐标为(1，－1)．(2)设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点．由伸缩变换φ：Error!得Error!代入y ＝6x ，得2y ′＝6·＝2x ′，x ′3∴y ′＝x ′为所求直线l ′的方程．极坐标与直角坐标的互化 (2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．(2，π3)[解] (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝.4cos θ由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0).2分因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0).4分(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝|OA |·ρB ·sin∠AOB 6分12＝4cos α·|s in (α－π3)|＝2≤2＋.8分|s in (2α－π3)－32|3当α＝－时，S 取得最大值2＋.π123所以△OAB 面积的最大值为2＋.10分3[规律方法] 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是灵活应用互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝(x ≠0)．yx 2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等方法．[变式训练2] (2016·北京高考改编)在极坐标系中，已知极坐标方程C 1：ρcosθ－ρsin θ－1＝0，C 2：ρ＝2cos θ.3(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；(2)若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求两交点间的距离．[解] (1)由C 1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，3∴x －y －1＝0，表示一条直线．3由C 2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，∴x2＋y2＝2x，则(x－1)2＋y2＝1.∴C2是圆心为(1,0)，半径r＝1的圆．3(2)由(1)知点(1,0)在直线x－y－1＝0上，因此直线C1过圆C2的圆心．∴两交点A，B的连线段是圆C2的直径．因此两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.直线与圆的极坐标方程的应用 (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为Error!(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求A．[解] (1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆.2分将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.4分(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组Error!若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，8分从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．所以a＝1.10分[规律方法] 1.第(1)问将曲线C1的参数方程先化为普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的化归与转化能力．第(2)问中关键是理解极坐标方程，有意识地将问题简单化，进而求解．2．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标方程解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．33[变式训练3] (2018·石家庄模拟)已知曲线C1：x＋y＝和C2：Error!(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．[解] (1)曲线C 1化为ρcos θ＋ρsin θ＝.33∴ρsin＝.2分(θ＋π6)32曲线C 2化为＋＝1.(*)x 26y 22将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式得cos 2θ＋sin 2θ＝1，即ρ2(cos 2θ＋3sin 2θ)＝6.ρ26ρ22∴曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝.4分61＋2sin2θ(2)∵M (，0)，N (0,1)，∴P ，3(32，12)∴OP 的极坐标方程为θ＝，6分π6把θ＝代入ρsin＝得ρ1＝1，P .π6(θ＋π6)32(1，π6)把θ＝代入ρ2＝得ρ2＝2，Q .8分π661＋2sin2θ(2，π6)∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1.10分。
2019届高考数学一轮复习 选考4-4 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系课件 文 新人教版
换方程的求法是将xy＝＝xy′′μλ ，
代入 y＝f(x)，得y′μ ＝fx′λ ，整理之
后得到 y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．
【针对补偿】 1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换 φ：x2′y′＝＝3xy， . 求 点 A13，－2经过 φ 变换所得的点 A′的坐标．
[解] 设 A′(x′，y′)，由伸缩变换 φ：
[知识自测] 1．点 P 的直角坐标为(1，－ 3)，则点 P 的极坐标为__________．
[解析] 因为点 P(1，－ 3)在第四象限，与原点的距离为 2，且 OP 与 x 轴所成的角为－π3，所以点 P 的极坐标为2，－π3.
[答案] 2，－π3
2．圆 ρ＝5cos θ－5 3sin θ 的圆心的极坐标为________． [解析] 将方程 ρ＝5cos θ－5 3sin θ 两边都乘以 ρ 得： ρ2＝5ρcos θ－5 3ρsin θ， 化成直角坐标方程为 x2＋y2－5x＋5 3y＝0. 圆心的坐标为52，－5 23，化成极坐标为5，53π. [答案] 5，53π(答案不唯一)
例 1 (1)求椭圆x42＋y2＝1，经过伸缩变换xy′ ′＝ ＝y12x，
方程．[解]
由x′＝12x， y′＝y
得到xy＝＝2y′x′. ，
①
后的曲线
将①代入x42＋y2＝1，得4x4′2＋y′2＝1，即 x′2＋y′2＝1. 因此椭圆x42＋y2＝1 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2＋y2＝1.
3．常用简单曲线的极坐标方程
曲线
图形
圆心在极点，半径为 r 的圆
圆心为(r,0)，半径为 r 的圆
极坐标方程 ρ＝r
ρ＝2rcos θ
圆心为(r，π2)，半径为 r 的圆 过极点，倾斜角为 α 的直线 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 过点a，π2，与极轴平行的直线
2019届高考数学一轮复习鸭部分坐标系与参数方程课件文新人教A版【优质ppt版本】
00,的作用下,点
P(x,y)对应到点
P'(x',y'),称 φ
为平面直
角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
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2.极坐标系与极坐标
(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个 定点 O,叫做极点,自
极点O引一条 射线 Ox,叫做极轴;再选定一个 长度 单位,一
为:ρsin(θ-α)= ρ0sin(θ0-α)
.
(2)几个特殊位置的直线的极坐标方程
①直线过极点:θ=θ0和 θ=π+θ0
;
②直线过点M(a,0),且垂直于极轴: ρcos θ=a ;
③直线过 M
������,
π 2
,且平行于极轴:
ρsin θ=b
.
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故 ρ1-ρ2=√2,即|MN|=√2. 由于 C2 的半径为 1,所以△C2MN 的面积为12.
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
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考向二 极坐标方程化为直角坐标方程 例2在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为 ρ2=9+174si4n2������, 以极点O为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平 面直角坐标系.
方程.
()
(3)如果点 P 的直角坐标为(-√2, √2),那么它的极坐标可表示为
2,
3π 4
.
()
(4)参数方程
������ ������
= =
-21+-������,������(t
为参数)所表示的图形是直线.
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(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习_坐标系和参数方程 第2节 参数方程课件 文 新人教A版
第2节参数方程最新考纲 1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.知识梳理1.曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的x＝f（t），y＝g（t），函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.2.参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y g(t)，x＝f（t），那么就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使y＝g（t）用x，y的取值范围保持一致.3.常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹直线 普通方程 参数方程 x ＝x 0＋t cos α， y －y 0＝tan α(x －x 0) (t 为参数 ) y ＝y 0＋t sin αx ＝r cos θ， (θ为参数) 圆 x 2＋y 2＝r 2 y ＝r sin θx 2 y ＋ 2＝1(a ＞b ＞0) a 2 b 2 x ＝a cos φ， 椭圆(φ为参数 ) y ＝b sin φ温馨提醒 直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时， t 才有几何意义且几何意义为： |t |是直线上任一点 M (x ，y )到 M 0(x 0，y 0)的距离.诊断自1.思考辨析(在括号内打“√”测或“×”)(1)参数方程y ＝g （t ） y ＝f （t ），中的 x ，y 都是参数 t 的函数.( )x ＝x 0＋t cos α， (2)过 M 0(x 0，y 0)，倾斜角为 α的直线 l 的参数方程为(t 为参数).参数 y ＝y 0＋t sin α t 的几何意义表示：直线 l 上以定点 M 0为起点，任一点 M (x ，y )为终点的有线段M →0M的数量.( )x ＝2cos θ，(3)方程y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以 2为半径的圆.( )(4)已知椭圆的参数方程y ＝4sin t x ＝2cos t ，(t 为参数)，点 M 在椭圆上，对应参数 t ＝π3，点 O 为原点，则直线 OM 的斜率为 3.( )答案 (1)√ (2)√ (3)√(4)×x ＝2＋ 22t ，y ＝1＋ 22t 2.(选修 4－4P26习题 T 4改编)在平面直角坐标系中，曲线 C ：(t 为参数)的普通方程为________.解析 消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0.答案 x －y －1＝03.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐系.x＝t 2，曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C2的参数方程为y＝2 2t(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________.解析由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x＋y＝－2.①x＝t 2，又(t为参数)消去t，y＝2 2t得y2＝8x.②x＝2，联立①，②得y＝－4，即交点坐标为(2，－4).答案(2，－4)x ＝2＋ 3cos θ， 4.直线 y ＝b (x －4)与圆y ＝ 3sin θ(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________. 解析圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝3，圆心 A (2，0)，半径 r ＝ 3.|2b －4b －0| ∵直线 y ＝b (x －4)与圆相切，∴＝ 3，则 b 2＝3，b ＝± 3. b 2＋1 π 2因此 t an θ＝± 3，切线的倾斜角为或 π. 3 3 π 2π 答案 3或 3x ＝－8＋t ，5.(2017·江苏卷)在平面坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为y ＝t (t 为参2x ＝2s 2，数)，曲线 C 的参数方程为y ＝2 2s (s 为参数).设 P 为曲线 C 上的动点求点 P到直线 l 的距离的最小值.x ＝－8＋t ， 解由t (t 为参数)消去 t .y ＝ 2 得l 的普通方程为x －2y ＋8＝0，因为点 P 在曲线 C 上，设点 P (2s 2，2 2s ).|2s 2－4 2s ＋8| 2（s － 2）2＋4 则点 P 到直线 l 的距离 d ＝＝ ， 5 5 4 4 5 ∴当 s ＝ 2时，d 有最小值 5＝ .5考点一参数方程与普通方程的互化x ＝a －2t ， 【例 1】已知直线 l 的参数方程为y ＝－4t (t 为参数)，圆 C 的参数方程为x ＝4cos θ， (θ为参数). y ＝4sin θ(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程；(2)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围.解(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x＋y＝16.2 2(2)因为直线l与圆C有公共点，|－2a|故圆C的圆心到直线l的距离d＝5≤4，解得－2 5≤a≤2 5.即实数a的取值范围是[－2 5，2 5].规律方法 1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数.2.把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，一定要保持同解变形.【训练 1】 (2016·江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数程为 1 2 x ＝1＋ t ， x ＝cos θ， (t 为参数)，椭圆 C 的参数方程为y ＝2sin θ (θ为参数).设直线l 与椭y ＝ 23t圆 C 相交于 A ，B 两点，求线段 AB 的长.2 解椭圆 C 的普通方程为 x 2＋y 4＝ 1.1 2 3 t 2 2 x ＝1＋ t ， 2 (t 为参数)代入 x 2＋y 4＝1，得1＋2t ＋ 4 ＝1， 1 2 将直线 l 的参数方程y ＝ 23t 即 7t 2＋16t ＝0，解之得 t 1＝0，t 2＝－167 .所以|AB |＝|t 1－t 2|＝167 .所以线段 AB 的长为167 .考点二参数方程及应用【例 2－1】 (2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为x ＝a ＋4t ，(t 为参数).x ＝3cos θ，(1)若 a ＝－1，求 C 与 l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a .解 (1)a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.2曲线 C 的标准方程是x 9＋y 2＝1，21 25 x ＋4y －3＝0， x ＝－， x ＝3， 联立方程x 2 ＋y 2＝1， 或解得24 25y ＝0 y ＝ . 9 21 24则 C 与 l 交点坐标是(3，0)和－， . 25 25(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0. 设曲线C上点P(3cos θ，sin θ).|3cos θ＋4sin θ－4－a| |5sin（θ＋φ）－4－a| 3 4则P到l距离d ＝＝，其中tan φ＝.17 17又点C到直线l距离的最大值为17.∴|5sin(θ＋φ)－4－a|的最大值为17.若a≥0，则－5－4－a＝－17，∴a＝8. 若a<0，则5－4－a＝17，∴a＝－16. 综上，实数a的值为a＝－16或a＝8.【例2－2】(2018·郴州模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数程为x＝1－22t，x＝2cos θ，(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点y＝2＋2sin θy＝22tO为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；(2)若直线l与曲线C的两个交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，|PM|·|PN|的值.x ＝1－ 22t ，y ＝ 22t 解 (1)直线 l 的参数方程为(t 为参数)，消去参数t ，得x ＋y －1＝0.x ＝2cos θ， 曲线 C 的参数方程为y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，利用平方关系，得x ＋(y －2)＝4，则x ＋y －4y ＝0.2 2 2 2 令ρ＝x ＋y ，y ＝ρsin θ，代入得C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.2 2 2 (2)在直线x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得点P (1，0).把直线 l 的参数方程代入圆 C 的方程得 t 2－3 2t ＋1＝0，∴t 1＋t 2＝3 2，t 1t＝1.由直线参数方程的几何意义，|PM |·|PN |＝|t 1·t 2|＝1.规律方法 1.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普程中，根据参数的取值条件求解.x ＝x 0＋t cos α， 2.过定点 P 0(x 0，y 0)，倾斜角为 α的直线参数方程的标准形式为(t 为 y ＝y 0＋t sin α 参数)，t 的几何意义是P →0P 的数量，即|t |表示 P0到 P 的距离，正负之分.对于形如x ＝x 0＋at ，(t 为参数)，当 a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利t 的几何意义 y ＝y 0＋bt解题.x＝2cos θ，(θ为参数)，【训练2】(2018·衡水中学质检)已知曲线C 的参数方程为y＝2sin θtx＝2，直线l 的参数方程为(t为参数).y＝2＋3t(1)写出直线l与曲线C的普通方程；x′＝x，(2)设曲线C 经过伸缩变换1得到曲线C′，过点F( 3，0)作倾斜角为60°的y′＝2y直线交曲线C′于A，B两点，求|FA|·|FB|.解 (1)直线 l 的普通方程 2 3x －y ＋2＝0. 曲线C 的普通方程为x ＋y ＝4. 2 2 x ′＝x ， 2 x ＝x ′， 代入曲线 C ，得 x ′2＋4y ′2＝4，即x 4′＋y ′2＝1. (2)由y ′＝2y ，得y ＝2y ′，2则曲线 C ′的方程为x 4＋y 2＝1表示椭圆.x ＝ 3＋2t ，由题设，直线 AB 的参数为(t 为参数). y ＝ 23t2 将直线 AB 的参数方程代入曲线 C ′：x 4＋y 2＝1.得134 t 2＋ 3t －1＝0，则 t 1·t 2＝－134，∴|FA |·|FB |＝|t 1||t 2|＝|t 1·t 2|＝ . 4 13考点三参数方程与极坐标方程的综合应用x＝2＋t，【例3－1】(2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为y＝ktx＝－2＋m，(t为参数)，直线l2的参数方程为my＝(m为参数).设l1与l2的交点为P，k当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin － 2＝0，M为与C的交点，求M的极径.x ＝2＋t ， (t 为参数)消去 t ，解 (1)由 l 1：y ＝kt 化为l 1的普通方程y ＝k (x －2)，①同理得直线l 2的普通方程为x ＋2＝ky ，②联立①，②消去k ，得x －y ＝4(y ≠0). 2 2 所以C 的普通方程为x －y ＝4(y ≠0). 2 2 (2)将直线 l 3化为普通方程为 x ＋y ＝ 2，3 2 x ＝ ， 联立x ＋y ＝ 2， 2 得x 2－y 2＝4 y ＝－ 22，18 2 ∴ρ2＝x 2＋y 2＝＋＝5，∴与 C 的交点 M 的极径为 5.4 4【例3－2】(2018·河北“五个一”名校联盟二模)在平面直角坐标系xOy中，线 Cx＝5cos α，的参数方程为(α为参数).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极y＝sin α轴π建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ＋＝ 2.l与C交于A，B两点. 4(1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设点P(0，－2)，求|PA|＋|PB|的值.解 (1)由曲线 C ：y ＝sin α x ＝ 5cos α， 2 (α为参数)消去 α，得普通方程x 5＋y 2＝ 1. π因为直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ＋ ＝ 2，即 ρcos θ－ρsin θ＝2， 4 所以直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0.x ＝ 22t ，(2)点 P (0，－2)在 l 上，则 l 的参数方程为 2 (t 为参数)，y ＝－2＋ 2 t2代入x 5＋y 2＝1整理得 3t 2－10 2t ＋15＝0，由题意可得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝10 2.3规律方法 1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.【训练 3】 (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1的参数程为 x ＝ 3cos α， (α为参数)，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极y ＝sin απ坐标系，曲线 C 2的极坐标方程为 ρsin θ＋ ＝2 2. 4 (1)写出 C 1的普通方程和 C 2的直角坐标方程； (2)设点 P 在 C 1上，点 Q 在 C 2上，求|PQ |的最小值及此时 P 的直角坐标.2 解 (1)曲线 C 1的普通方程为x 3＋y 2＝ 1. π又曲线 C 2：ρsin θ＋ ＝2 2.所以 ρsin θ＋ρcos θ＝4. 4 因此曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3cos α，sin α).因为 C 2是直线，所以|P 最小值即为 P 到 C 2的距离 d (α)的最小值. | 3cos α＋sin α－4| π＝ 2sin α＋ －2， 3 d (α)＝ 2 当且仅当 α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为 2，此时 P 的直坐标 3 1为， .2 2。
2019年高考数学一轮复习(文理通用) 选修4-4 坐标系与参数方程 第1讲
4． (2017· 北京， 5 分)在极坐标系中， 点 A 在圆 ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0 上，
1 点 P 的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为________. 导学号 58533659
[ 解析] 将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2＋y2－2x－4y＋4＝0， 即(x
－ 1)2 ＋ (y － 2)2 ＝ 1 ，圆心为 (1,2) ，半径 r ＝ 1. 因为点 P(1,0) 到圆心的距离 d ＝ 1－12＋0－22＝2>1，所以点 P 在圆外，所以|AP|的最小值为 d－r＝2－1＝1.
圆心的极坐标 (0,0) 圆的极坐标方程
r ρ＝________(0 ≤θ＜2π)
图形
(r,0)
π π 2 r cos θ ρ＝________(－2≤θ＜2)
圆心的极坐标 π (r，2)
圆的极坐标方程图形Fra bibliotek2rsinθ ρ＝__________(0 ≤θ＜π)
(r，π)
3π π － 2 r cos θ ρ＝__________(2≤θ＜ 2 )
α π＋α 过极点，倾斜 θ＝_______( ρ∈R)或 θ＝________( ρ∈R)
角为 α
α π＋α (θ＝________ 和 θ＝________( ρ≥0))
直线
极坐标方程 ________ ＝a ρcosθ π π (－2＜θ＜2)
图形
过点(a,0)，与 极轴垂直
π 过点(a， 与 2)， 极轴平行
1 2
知 识 梳 理 考 点 突 破
4
思 想 方 法
知 识 梳 理
xλ＞0， • 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 x′＝λ· yμ＞0 y′＝μ· • 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ： _______________的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′， 伸缩 y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称 ________变换．
全国通用版2019版高考数学一轮复习 选考部分 坐标系与参数方程 1 坐标系课件 文
【解析】直线方程可化为2ρsin θ+ 2ρc3os θ +1=0,即2 3x+2y+1=0,圆为x2+(y-1)2=1,因为圆心到 直线的距离d=3 <1,所以有两个交点.
4
命题点2 弦长问题
2.在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x- 3)2+(y+1)2
=9,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
2
【同源异考·金榜原创】 1.在极坐标系中,直线ρcos θ- ρsi3n θ-1=0 与圆ρ=2cos θ交于A,B两点,求|AB|.
【解析】因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,
所以直线的直角坐标方程为x- 3y-1=0.
因为ρ=2cos θ, 所以ρ2(sin 2θ+cos 2θ)=2ρcos θ, 所以x2+y2=2x.
((12))求直圆线CO的P:θ极=坐(ρ标∈方R)程与.圆C交于点M,N,求线段MN的
长.
6
【解题指南】(1)利用直角坐标方程化极坐标方程的方法,求圆C的极坐标方程. (2)利用|MN|=|ρ 1-ρ 2|,求线段MN的长.
3 【解析】(1)(x- )2+(y+1)2=9可化为
x2+y2-2 3x+2y-5=0,
|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积
S当=2α|s12i=n|O(A2·|ρ时B3·)s,iSn取23∠|得A2 O最3B大. =值4c2o+s α· 所以△O1A2 B面积的最大值为2+
3. 3.
|sin (
3
)
|
【技法点拨】 判断位置关系和求最值问题的方法 (1)已知极坐标方程讨论位置关系时,可以先化为直角坐标方程,化陌生为熟悉再进行解 答.
2019届高考数学一轮复习 选考4-4 坐标系与参数方程课件 文
的倾斜角的余弦值为( )
4 A.5
B．－45
3 C.5
D．－35
[解析] 由yx＝＝21－＋43tt， (t 为参数)得直线方程为 4x＋3y－10 ＝0，且斜率为 k＝－43，令直线 l 的倾斜角为 α，则 tanα＝－43， 所以 cosα＝－35.
[答案] D
3 ． 在 极 坐 标 系 中 ， 过 点 (1,0) 且 与 极 轴 垂 直 的 直 线 方 程 是
＝4cosαsinα－π3 ＝2|cosαsinα－ 3cos2α|
＝212sin2α－
3c2os2α－
3 2
＝2sin2α－π3－ 23≤2＋ 3.
当 α＝－1π2时，S 取得最大值 2＋ 3.
所以△OAB 面积的最大值为 2＋ 3.
极坐标方程与直角坐标方程互化技巧 (1)巧用极坐标方程两边同乘以 ρ 或同时平方技巧，将极坐标 方程构造成含有 ρcosθ，ρsinθ，ρ2 的形式，然后利用公式代入化 简得到直角坐标方程． (2)巧借两角和差公式，转化 ρsin(θ±α)或 ρ＝cos(θ±α)的结构 形式，进而利用互化公式得到直角坐标方程． (3)将直角坐标方程中的 x 转化为 ρcosθ，将 y 换成 ρsinθ，即 可得到其极坐标方程．
选
修
坐标系与参数方程
4-4
高考概览 1.理解坐标系的作用，了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平 面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用 极坐标刻画点的位置；3.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示 点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；4.能在极坐标 系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表 示的极坐标方程；5.了解参数方程，了解参数的意义．能选择适当 的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.
2019届高考数学一轮复习选考部分坐标系与参数方程第2
与曲线
C：y2＝
y＝tsinθ
2x 交于 A、B 两点，当 θ 变化时，|AB|的最小值为________．
答案 2 解析 将直线 l 的参数方程代入 y2＝2x，得 t2sin2θ－2tcos θ－1＝0. 设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2， 则 t1＋t2＝2sicno2sθθ，t1·t2＝－sin12θ， |AB|＝|t1－t2|＝ （t1＋t2）2－4t1t2 ＝ 4scion4sθ2θ＋sin42θ＝sin22θ.
课前自助餐
参数方程的概念 如果曲线 C 上任意一点 P 的坐标 x 和 y 都可以表示为某个变 量 t 的函数xy＝ ＝fg（（tt）），. 反过来，对于 t 的每个允许值，由函数式xy＝ ＝fg（（tt）），，所确 定的点 P(x，y)都在曲线 C 上，那么方程yx＝＝gf（（tt）），，叫做曲线 C 的参数方程，变量 t 是参数．
5．(2015·湖北)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线 l 的极坐标方程为 ρ(sinθ －3cosθ )＝0，曲线 C 的参数方程为xy＝＝tt－＋11tt ，(t 为参数)，l 与 C 相交于 A，B 两点，则|AB|＝________．
线 C 上的点的轨迹是( ) A．直线 x＋2y－2＝0
B．以(2，0)为端点的射线
C．圆(x－1)2＋y2＝1
D．以(2，0)和(0，1)为端点的线段
答案 D 解析 将曲线的参数方程化为普通方程得 x＋2y－2＝ 0(0≤x≤2，0≤y≤1)．
4．已知直线xy＝ ＝xy00＋ ＋abtt，(t 为参数)上两点 A，B 对应的参数
第2课时 参 数 方 程
…2018 考纲下载… 1．了解参数方程，了解参数的意义． 2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程． 请注意 对本部分的考查，主要是参数方程与普通方程的互化，常见 曲线的参数方程及参数方程的简单应用，题目难度的设置以中档 题型为主，预测 2019 年高考中，在难度，知识点方面变化不大．
2019年高考数学一轮复习课件(文科)： 选考部分 坐标系与参数方程课件 新人教B版选修4-4
设 P(4cos θ,3sin θ),则 P 到直线 AB 的距离为
d=|12cos������+152sin������-12|
=
12√2sin ������+π4 5
-12
.
当 θ=54π时,dmax=12√25+12.
故△ABP 面积的最大值为12×|AB|×12√25+12=6(√2+1).
|4-2+1| 42+(-2)2
=
√320,
故弦长|AB|=2
1-
3 √20
2
= √555.
-22-
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
(2)解 ①圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ,
则圆 O 的直角坐标方程为 x2+y2=x+y, 即 x2+y2-x-y=0.
直线
为参数),圆
C
的极坐标
方程为 ρ=2√2sin θ,则直线 l 与圆 C 的位置关系为( )
A.相离
B.相切
C.相交
D.由参数确定
关闭
将直线的参数方程
������ ������
= =
2������, 1+
4������(t
为参数)化为普通方程,得
2x-y+1=0.
将圆 C 的极坐标方程 ρ=2√2sin θ 化为直角坐标方程,得
01,,故直线
l
与圆
O
公共点的
一个极坐标为
1,
π 2
.
-23-
考点1
考点2
考点3
(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习-坐标系和参数方程 第1节 坐标系课件 新人教A版
解析 ∵y＝1－x(0≤x≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)；
∴ρ＝sin
1 θ＋cos
θ0≤θ≤π2.
答案 A
3.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极 轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线 C的直角坐标方程为________. 解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C的直角坐标 方程为x2＋y2－2y＝0. 答案 x2＋y2－2y＝0
【训练 2】 (1)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系.已知点 A 的极坐标为
2，π4，直线的极坐标方程为 ρcosθ－π4＝a，且
点 A 在直线上，求 a 的值及直线的直角坐标方程.
(2)把曲线 C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0 化为极坐标方程.
解
(1)∵点
规律方法 1.平面上的曲线 y＝f(x)在变换 φ：xy′′＝＝λμxy（（λμ>>00）），的作用下的变换方程 的求法是将xy＝＝xyμλ′′，代入 y＝f(x)，整理得 y′＝h(x′)为所求. 2.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与 作用；二是明确变换前的点 P(x，y)与变换后的点 P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想 求解.
A
2，π4在直线 ρcosθ－π4＝a 上，∴a＝
2cosπ4－π4＝
2，
所以直线的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，
从而直线的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)将xy＝＝ρρcsions
θ， 代入
θ
x2＋y2－8x－10y＋16＝0，