第讲拉氏变换及传递函数
《拉氏变换详解》课件
积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用
拉普拉斯变换以及传递函数
2.3 控制系统的复域数学模型 2.3.1 传递函数
是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的 概念。
微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给 定外得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。
定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下， 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
例2-5
求例2-2机械系统与电路系统的传递函数 Xc和(s) Uc (s)
解：
Xr (s)
U r (s)
•
•
(B1 B2 ) X c (K1 K 2 ) X c B1 X c K1 X r
(B1 B2 )SXc (s) (K1 K2 ) X c (s) B1SX r (s) K1X r (s)
性质 传递函数与微分方程之间有关系。
6
G(s) C(s) R(s)
如果将 S d 置换 传递函数 微分方程
dt
10
性质 传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)
7
脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单 位脉冲输入
时的输出响应。
R(s) L[ (t)] 1
c(t) L1[C(s)] L1[C(s)R(s)]
延迟定理
L[ f (t )] es F (s)
终值定理
lim f (t) lim sF (s)
3
t
s 0
数学工具－拉普拉斯变换与反变换续
初值定理 微分定理
lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
d 2 f (t) L[ dt 2 ]
于是，由定义得系统传递函数为：
拉氏变换
控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表 序号 F(s) f(t) 序号 F(s) f(t)11 1121(t) 123t13414511+Ts Tte T-1 156)(1a s s +ate --1167)1(1+Ts sTt e--117)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn8189191020三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
传递函数和拉普拉斯变换
Unit 11The Transfer Function and the Laplace Transformation传递函数和拉普拉斯变换transfer function 传递函数Laplace transformation 拉氏变换Laplace domain 复频域linear and stationary 线性定常的initial condition 初始条件lumped parameter 集中参数transport lag 传输延迟complex Laplace variable 复变量polynomial n. 多项式order n. 阶integrate v. 积分differentiate v. 微分frequency domain 频率域characteristic function 特征函数characteristic equation 特征方程transient response 瞬态响应denominator polynomial 分母多项式numerator polynomial 分子多项式steady-state value 稳态值closed-loop transfer function 闭环传递函数opened-loop transfer function 开环传递函数block diagram algebra 方块图计算（代数）operational mathematics 应用数学constant coefficients 常系数manipulate v. 处理implement v. 实现become adept in 熟练homogeneous solution 通解particular solution 特解unilateral Fourier integral 单边傅立叶积分inverse transform 反（逆）变换improper integral 奇异（无理）积分superposition n. 叠加initial value theorem 初值定理final value theorem 终值定理magnitude n. 幅值shifting theorem 平移定理multiplication n. 复合性step n. 阶跃信号piecewise adj. 分段的yield v. 推导出，得出integro-differential equation 微积分方程Kirchhoffs laws 基尔霍夫定律algebraic equation 代数方程frequency transfer function 频率传递函数频率特性。
第讲拉氏变换及传递函数
例15： 待定系数法
F (s)
1 的逆变换 s(s 1)2
解：
ab
c
F (s)
s
s 1
(s 1)2
则 a ( s 1 ) 2 bs ( s 1 ) cs 1
对应项系数相等得
a 1, b 1, c 1
F
(s)
1 s
1 s 1
(s
1 1)2
f ( t ) 1 e t te t
29.01.2020
留数法
传递函F数 (s)B(s)/ A(s)B(s)/(sp1)(sp2)(spi)
c1 c2 ci
(sp1) (sp1)
(spi)
式中 pi(i 1,2,,n)是D(s)0的根 ,ci是常数
e at
s in t
cos t
F (s)
1
1s 1 s2 1 s3 1 (sa)
(s2 2)
s (s2 2)
29.01.2020
5 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 L a f 1 ( b tf 2 ( ) t a F ) 1 ( s b F 2 ( )s
（2）微分定理 L ft s F s f0
ci [M D((ss))(spi)]spi
（1）实根切为单根
例16：
F(s)
1
(s 1)(s 2)(s 3)
29.01.2020
c1 c2 c3 s 1 s 2 s 3
c1
[ (s
1)( s
1
2 )(
s
3)
(s
拉氏变换详解ppt课件
0
a
令t / a , 则原式 f ( )e
0
sa
ad aF (as)
9
(8)卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函 数的乘积。 t 即 L[ f (t ) f ( )d ] F ( s) Nhomakorabea ( s)
0 1 2 1 2
证明： L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] [ f1 (t ) f 2 ( )d ]e dt
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 氏变换之和。 (2)微分性质 若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
st st 0 0
st 0
sF ( s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[ sF ( s) f (0)] f (0) s 2 F ( s) sf (0) f (0)
14
2. 拉式反变换——部分分式展开式的求法
M (s) b0 s b1s bm1s bm F ( s) n (m n) n 1 D(s) s a1s an1s an
m
m1
（1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和
f (t ) L [ F ( s)] t 1 e
74-学习手册-单元二知识点二拉氏变换和知识点三传递函数
例题分析：用复阻抗法求 RLC 串联电路的传递函数
解：将 RLC 串联电路中的电压和电流各量用对应的象函数表示，根据电工基础所学 知识，有：
课堂讨论
已知某系统在0初条件下的阶跃响应为：
c(t)
=
1-
2 3
e-t
-
1 3
e-4t
试求：系统的传递函数。
解：
C(s)
=
1 s
-
2 3
�s 1+1
-
1 3
�s +1
t
s0
知识点三 传递函数
学习重点：
1、理解传递函数的定义
2、控制系统传递函数的求取方法
3、直接求取法和复阻抗法能够传递函数
学习内容：
一、传递函数的定义
当初始条件为零时，输出量 c(t)的拉氏变换式 C(s)与输入量 r(t)的拉氏变换式 R(s)的 之比。
零初始条件有两方面含义：
一是指输入量在 t≥0 时才作用于系统，因此，在 t≤0 时，输入量及其各阶导数均为
s( s 2
+
1 a1s +
a2 )
（3）L-1变换
y t = L-1 Y (s)
（四）小结
1 拉氏变换的定义
ﾥ F (s) = ﾥ f (t) ﾥe-tsdt 0
2 常见函数L变换
f (t)
（1）单位脉冲
(t)
（2）单位阶跃
1(t )
（3）单位斜坡
t
（4）单位加速度
t2 2
e -at
（5）指数函数
L f t = s F s - f 0
L
f tdt
=
1 s
F
拉普拉斯变换与传递函数
例1 求单位阶跃函数
0 u (t ) 1
t0 的拉氏变换 t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L [u (t )]
e
st
dt
0
这个积分在Re(s)>0时收敛, 而且有
e
st
dt
1 s
e
st
0
1 s
0
所以 L [u (t )]
j X (s)e ds
j
st
单位阶跃函数的拉氏变换
x(t ) u (t ) 0(t 0)
1(t 0)
Lu (t ) e dt
st 0
1 s
1 L u (t ) s
1
拉氏变换的性质与定理
1) 线性定理
设：
X ( s) Lx(t )
1
例13
G (s)
s 5s 9s 7
3 2
( s 1)( s 2 )
3 2
，求f(t)
s2
s2
解： G ( s )
s 5s 9s 7 ( s 1)( s 2 )
s3 ( s 1)( s 2 )
a1 s 1 a2 s2
dx n (t ) n n 1 L s X ( s) s x (0) n dt s
n2
x (0) x
( n 1)
(0)
dx n (t ) n L s X ( s) n dt
各初值为0时
3) 积分定理
L x(t )dt
1 s
(Re( s ) 0).
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1 st L1t 1 e dt e s 0
（2）指数函数
0
1 1 0 1 s s
f (t ) e at
at st
L[ f (t )] e e
0
dt e
0
s a t
dt
1 (s a)t e sa
s j
复函数 F ( s) Fx ( s) Fy ( s) 例1：F ( s ) s 2 2 j （2）模、相角
F s Fx2 Fy2 Fy 相角 F s arctan Fx
模
（3）复数的共轭 （4）解析
23:54
F ( s) Fx jFy
0
该函数f(t)满足: t<0时，f(t)=0 t>0时，f(t)分段连续 st f (t )e dt
0
则f(t)的拉氏变换存在，F(s)称为象函数，f(t)称 为原函数。
23:54
4 常见函数的拉氏变换
（1）阶跃函数
1 t 0 f (t ) 0 t 0
tg
1
23:54
1 jθ j θ cosθ (e e ) 2 1 jθ jθ sin θ (e e ) 2j
3、拉氏变换的定义 如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定 义域是t>0，那么拉氏变换就是如下的运算式：
F (s) L[ f (t )] f (t )e st dt
1 f t dt F s s
进一步有： 1 1 1 1 1 n 2 n L f t dt n F s n f 0 n 1 f 0 f 0 s s s s n个 例4 求 Fra bibliotek[t]=? 解.
t 1t dt
Lt L 1t dt
1 1 1 1 t t 0 2 s s s s
t2 例5 求 L ? 2
解. L t
23:54
2
t2 t dt 2 1 1 1 t2 2 L t dt 2 s s s 2
s (s2 2 )
5 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质
La f1(t) b f 2(t) a F1(s) b F2(s)
L f t s F s f 0
0 0
（2）微分定理
证 明：
左 f t e st dt e st df t
e
-st
f t 0 f t de st
n- 2 n1 f t s F s s f 0 s f 0 sf 0 f 0 n
n n- 1 n- 2
0-f 0 s f t e st dt sF s f 0 右
cos t
1
解.
1
sin t
1
s 2 Lcos t Lsin t s 2 2 s s 2
23:54
（3）积分定理
L
1 1 -1 0 f t dt F s f s s
零初始条件下有： L
自动控制原理
第3 讲复习拉氏变换 传递函数
杨金显
yangjinxian@
河南理工大学电气工程与自动化学院
主要内容
复习： 拉普拉斯变换有关知 识 传递函数
23:54
线性定常微分方程求解
微分方程求解方法
23:54
复习拉普拉斯变换有关内容
1 复数有关概念
（1）复数、复函数 复数
若F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则F(s)在 s 点解析。
2.复变数的各种表达形式
s j s se
jθ
代数形式 极坐标 指数
欧拉定理：
e cosθ j sin θ
jθ
s (cos j sin )
三角
e
jθ
cosθ j sin θ
s 2 2
1 1 (s j)t e 2 j s j
0
1 (s j)t e 0 s j
23:54
1 1 1 1 2 j 2 2 2 2 j s j s j 2 j s s 2
23:54
0
1 1 (01) sa sa
（3）正弦函数
t0 0 f(t) sinωt t 0
st
1 jt jt st L f(t) sin t e dt e e e dt 2j 0 0
1 -(s-j )t (s j)t e e dt 2j 0
1 3 s t 0
（4）延迟定理
证 明：
0
L f (t 0 ) e
t 0
常见函数L变换
f (t )
（1）单位脉冲 （2）单位阶跃
F ( s)
1
1s
1s 1s
2 3
(t )
1( t )
（3）单位斜坡 （4）单位加速度
（5）指数函数 （6）正弦函数 （7）余弦函数
23:54
t
t 2
2
e at sin t cos t
1 ( s a)
(s2 2 )
0
0
0初条件下有：
23:54
L f t s F s
n n
例2 求
解.
L (t ) ?
t 1t
1 Lδt L1t s δ 0 1 0 1 s
例3 求
Lcos( t ) ?