人教A版高中数学必修五1.1 正弦定理和余弦定理
人教A版必修5第1章《正弦定理和余弦定理》ppt导学课件
根据勾股定理知△ABC 是直角三角形． 4、 已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC＋ 3asinC－b－c ＝0. (1)求 A； (2)若 a＝2，△ABC 的面积为 3，求 b， c. 【解析】本题考查正弦定理.（1）利用正 弦定理边化角结合两角和差公式化简求 解； （2）利用三角形面积公式及余弦定理 求解. 【答案】 (1)由 acosC＋ 3asinC－b－c＝ 0 及正弦定理得
．
【解析】本题考查正弦定理 . 在三角形中【解析】本题考查正弦定理.由正弦定理， 需要考虑大边对大角，三个内角的和不能得 sin B＝ 2， 2 0 超过 180 .利用正弦定理求得∠B，根据大 ∵a>b，∴∠A>∠B. 边对大角，故∠B ＝30°，勾股定理求得 ∴∠B 只有一解．∴∠B＝45°. c. 【答案】45°.
人教（A）数学 · 必修5 对点助学PPT
【知识目标】
1、理解正弦定理和余弦定理公 式的推导过程；
正弦定理和余弦定理
【学习目标】
1、会根据正弦定理和余弦定理 解三角形（知三求一） ； 2、会利用正弦定理和余弦定理 进行边角的相互转化2 3， b＝6，
B＝60°或 120°.
a
sin A
＝
＝ ＝2R sin B sin C
b
c
(R 为△ABC 的外接圆半径)．
统一为“边”之间的关系式或“角” 【答案】由正弦定理 a ＝ b sin A sin B 之间的关系式． 3 1 1 可得 ＝ ，∴sin B＝ ， sin 60° sin B 2
【对点巩固】
故∠B＝30°或 150°.由 a>b，
高中数学人教版必修5课件：1.1.1正弦定理(系列三)
典型例题 例1 已知一三角形中a＝2 3 ，b＝6，A＝30°，判断三角形是
否有解，若有解，解该三角形．
解 a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30°<90°.
又因为bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA，
所以本题有两解，由正弦定理得，
sinB＝bsian
A＝6sin 2
30°＝ 3
23，故B＝60°或120°.
跟踪训练1 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、
c，已知A＝60°，a＝ 3，b＝1，则c等于
(B )
A．1 B．2 C. 3－1 D. 3
解析 由正弦定理sina A＝sinb B，可得sin 630°＝sin1 B，
∴sinB＝12，故∠B＝30°或150°.由a>b，
得∠A>∠B，∴∠B＝30°，故∠C＝90°，
由勾股定理得c＝2.
例2 在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，求△ABC 的面积．
解 如图，由正弦定理，
得sin
1720°＝sin5
， C
∴sinC＝5143，且∠C为锐角(∠A＝120°)．∴cosC＝1114. ∴sinB＝sin(180°－120°－∠C)＝sin(60°－∠C) ＝ 23cosC－12sinC＝ 23×1114－12×5143＝3143.
证明 作AD⊥BC，垂足为D， 则AD＝AB·sinB，又AD＝AC·sinC，
∴csinB＝bsinC.
∴S△ABC＝12BC·AD ＝12acsinB＝12absinC. 同理S△ABC＝12absinC＝12bcsinA.
∴S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.
人教版高中数学必修五正弦定理和余弦定理课件
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 ㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知
解：
=31+18 =49
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解：
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
二、可以用正弦定理解决的两类三角问题： （1）知两角及一边，求其它的边和角； （2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它
的边和角（注意判断解的个数）
思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大
的角所对的边就越大吗？
分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，
且∠A≥∠B≥∠C，
（1）若△ABC是锐角或直角三角形 ∵正弦函数y=sinx在 [0, ]上是增函数 2
2A 2k 2B 或 2A 2k 2B(k Z)
0 A,B ，∴k 0，则A B或A+B=
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是
人教版高一必修五第一章正弦定理和余弦定理
CD a sinB
S ABC
1 1 AB CD ac sin B 2 2
C a
同理：S ABC S ABC
1 ab sinC； 2 1 bc sin A. 2
b
B
c D
A
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比 相等.
A
C 且 B 180 ( A C ) 105
b c 解：∵ sin B sin C
c sin B 10 sin 105 b 19 sin C sin 30
例2：在
ABC中，已知a=20cm,b=28cm,A=40°，解三角形
（角度精确到1 ° ，边长精确到1cm）. b sin A 28 sin 40 解：根据正弦定理， sin B 0.899 a 20 因为0＜B＜180 ，所以B 64或 116 （1）当B≈64°时， C=180°-（A+B）≈180°-（40°+64°）=76°
例题1
2
4
正弦定理
(1)在ABC中，已知b 12, A 30 ，
3.定理的应用举例 例1 在ABC 已知 解三角形. 变式：若将a=2 改为c=2，结果如何？ 通过例题你发现了什么一般性结论吗?
A 300 , B 1350 , a 2
,
小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。
例 2、 已知a=16， b= 16 3， A=30° . 已知两边和其中一边 解三角形（2）将 A=30° 变为B= 30° 呢？ 的对角,求其他边和角 a b 解：由正弦定理 C
新人教A版必修5高中数学正弦定理、余弦定理(一)
正弦定理、余弦定理（一）教学目标：进一步熟悉正、余弦定理内容，能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化，判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式；通过正、余弦定理在边角互换时所发挥的桥梁作用来反映事物之间的内在联系；通过三角恒等式的证明来反映事物外在形式可以相互转化而内在实质的不变性.教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换.教学难点：1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向；2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求.教学过程：Ⅰ.复习回顾前面两节课，我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容，并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面，我们先来回顾一下正、余弦定理的内容.正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系，运用定理可以进行边与角之间的转换，这一节，我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用.Ⅱ.讲授新课［例1］已知△ABC ，BD 为B 的平分线，求证：AB ∶BC ＝AD ∶DC分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而 B 的平分线BD 将△ABC 分成了两个三角形：△ABD 与△CBD ，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB ∶AD ＝BC ∶DC ，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为AB sin ∠ADB ＝AD sin ∠ABD ，BC sin ∠BDC ＝DCsin ∠DBC，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论.证明：在△ABD 内，利用正弦定理得：AB sin ∠ADB ＝AD sin ∠ABD ，即AB AD ＝sin ∠ADB sin ∠ABD在△BCD 内，利用正弦定理得：BC sin ∠BDC ＝DC sin ∠DBC ，即BC DC ＝sin ∠BDC sin ∠DBC. ∵BD 是B 的平分线.∴∠ABD ＝∠DBC ，∴sin ABD ＝sin DBC .∵∠ADB ＋∠BDC ＝180°，∴sin ADB ＝sin （180°－∠BDC ）＝sin BDC∴AB AD ＝sin ∠ADB sin ∠ABD ＝sin ∠BDC sin ∠DBC ＝BC DC ，∴AB BC ＝AD DC评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.［例2］在△ABC 中，求证：a 2sin2B ＋b 2sin2A ＝2ab sin C分析：此题所证结论包含关于△ABC 的边角关系，证明时可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦定理转化为边的关系，若是余弦形式则通过余弦定理；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理.另外，此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式，如sin2B ＝2sin B ·cos B 等，以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形.证明一：（化为三角函数）a 2sin2B ＋b 2sin2A＝（2R sin A ）2·2sin B ·cos B ＋（2R sin B ）2·2sin A ·cos A＝8R 2sin A ·sin B （sin A cos B ＋cos A sin B ）＝8R 2sin A sin B sin C＝2·2R sin A ·2R sin B ·sin C ＝2ab sin C所以原式得证.证明二：（化为边的式子）左边＝a 2·2sin B cos B ＋b 2·2sin A ·cos A＝a 2·2b k ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b 2·2a k ·b 2＋c 2－a 22bc＝ab kc（a 2＋c 2－b 2＋b 2＋c 2－a 2） ＝ab kc ·2c 2＝2ab ·c k ＝2ab sin C 评述：由边向角转化，通常利用正弦定理的变形式：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，在转化为角的关系式后，要注意三角函数公式的运用，在此题用到了正弦二倍角公式sin2A ＝2sin A ·cos A ，正弦两角和公式sin （A ＋B ）＝sin A ·cos B ＋cos A ·sin B ；由角向边转化，要结合正弦定理变形式以及余弦定理形式二.三角形的有关证明问题，主要围绕三角形的边和角的三角函数展开，从某种意义上来看，这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题.［例3］已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且满足（sin A ＋sin B ）2－sin 2C ＝3sin A sin B求证：A ＋B ＝120°分析：要证A ＋B ＝120°，由于A ＋B ＋C ＝180°，只要证明C ＝60°，而已知条件为三角函数关系，故应考虑向三角函数的转化，又在0°～180°之间，余弦值所对应角唯一，故可证明cos C ＝12 ，而由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，所以应考虑把已知的角的关系式转化为边的关系.证明：由（sin A ＋sin B ）2－sin 2C ＝3sin A ·sin B可得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A ·sin B又∵sin A ＝a k ，sin B ＝b k，sin C ＝c k， ∴a 2k 2 ＋b 2k 2 －c 2k 2 ＝a k ·b k整理得a 2＋b 2－c 2＝ab∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12又0°＜C ＜180°，∴C ＝60°∴A ＋B ＝180°－C ＝120° 评述：（1）有关三角形内角的证明，选择余弦值与正弦值相比较，要省去取舍的麻烦.但注意在根据三角函数值求角时，应先确定角的范围；（2）在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，这一转化技巧，要求学生熟练掌握.［例4］在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，试判断三角形的形状.分析：三角形形状的判断，可以根据角的关系，也可根据边的关系，所以在已知条件的运用上，可以考虑两种途径：将边转化为角，将角转化为边，下面，我们从这两个角度进行分析.解法一：利用余弦定理将角化为边.∵b cos A ＝a cos B∴b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac∴b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2∴a 2＝b 2 ∴a ＝b故此三角形是等腰三角形.解法二：利用正弦定理将边转化为角.∵b cos A ＝a cos B又b ＝2R sin B ，a ＝2R sin A∴2R sin B cos A ＝2R sin A cos B∴sin A cos B －cos A sin B ＝0∴sin （A －B ）＝0∵0＜A ，B ＜π，∴－π＜A －B ＜π∴A －B ＝0，即A ＝B故此三角形是等腰三角形.评述：（1）在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理.要求学生要注重边角转化的桥梁——正、余弦定理；（2）解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式，但应注意在根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式sin B ·cos A ＝sin A cos B 两端同除以sin A sin B 得cot A ＝cot B ，再由0＜A ，B ＜π，而得A ＝B .为巩固本节所学的解题方法，下面我们进行课堂练习.Ⅲ.课堂练习1.在△ABC 中，证明下列各式：（1）（a 2－b 2－c 2）tan A ＋（a 2－b 2＋c 2）tan B ＝0（2）cos2A a 2 －cos2B b 2 ＝1a 2 －1b 2 . 证明：（1）左边＝（a 2－b 2－c 2）sin A cos A ＋（a 2－b 2＋c 2）sin B cos B＝（a 2－b 2－c 2）·a k ·2bc b 2＋c 2－a 2 ＋（a 2－b 2＋c 2）·b k ·2ac a 2＋c 2－b 2＝2abc k [－（b 2＋c 2－a 2）b 2＋c 2－a 2 ＋a 2＋c 2－b 2a 2＋c 2－b 2] ＝2abc k（－1＋1）＝0＝右边 故原命题得证.（2）左边＝1－2sin 2A a 2 －1－2sin 2B b 2 ＝（1a 2 －1b 2 ）－2sin 2A k 2 sin 2A ＋2sin 2B k 2 sin 2B＝1a 2 －1b 2 －2k 2 ＋2k 2 ＝1a 2 －1b 2 ＝右边 故原命题得证.评述：（1）在（1）题证明时应注意两点：一是切化弦的思路，二是结合正、余弦定理将角的关系转化为边的关系；（2）（2）题证明过程中用到了余弦二倍角的公式，而此公式有三种形式cos2A ＝cos 2A －sin 2A ＝2cos 2A －1＝1－2sin 2A ，由于考虑到等式右端为边的关系，故选用第三种形式，在转化为边的关系时较为简便.2.在△ABC 中，已知sin B ·sin C ＝cos 2A 2，试判断此三角形的类型. 解：∵sin B ·sin C ＝cos 2A 2 ，∴sin B ·sin C ＝1＋cos A 2∴2sin B ·sin C ＝1＋cos ［180°－（B ＋C ）］将cos （B ＋C ）＝cos B cos C －sin B sin C 代入上式得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1∴cos（B－C）＝1又0＜B，C＜π，∴－π＜B－C＜π∴B－C＝0，∴B＝C故此三角形是等腰三角形.评述：（1）此题在证明过程中，要用到余弦二倍角公式cos A＝2cos2A2－1的逆用，要求学生注意；（2）由于已知条件就是三角函数关系式，故无需向边的关系转化，而是进行三角函数式的恒等变形.Ⅳ.课时小结通过本节学习，我们熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断.其中，要求大家重点体会正、余弦定理的边角转换功能.Ⅴ.课后作业补充作业：1.在△ABC中，已知sin Asin C＝sin（A－B）sin（B－C），求证：2b2＝a2＋c2.证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B2cos2B＝cos2A＋cos2C2·1－cos2B2＝1－cos2A2＋1－cos2B2∴2sin2B＝sin2A＋sin2C由正弦定理可得2b2＝a2＋c2.2.在△ABC中，A＝30°，cos B＝2sin B－ 3 sin C.（1）求证：△ABC为等腰三角形；（提示B＝C＝75°）（2）设D为△ABC外接圆的直径BE与AC的交点，且AB＝2，求AD∶DC的值. 答案：（1）略（2）1∶ 3。
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理人教A版必修5
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
探究 2 已知三边(三边关系)解三角形 例 2 (1)在△ABC 中，若 a＝7，b＝4 3，c＝ 13，则 △ABC 的最小角为( )
πππ π A.3 B.6 C.4 D.12 (2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为 120°，求此三角形的 最大边长． 答案 (2)见解析
2．做一做
(1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 5π
若 a＝1，b＝ 7，c＝ 3，则 B＝____6____. (2) 已知 △ABC 的 三边 分 别为 2,3,4 ， 则此 三 角形是
___钝__角___三角形．
π (3)在△ABC 中，若 a2＋b2－c2＝ab，则角 C 的大小为 ___3_____．
解析 (1)因为 c<b<a，所以最小角为角 C. 所以 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝429×＋74×8－4 133＝ 23， 所以 C＝π6，故选 B.
(2)已知 a－b＝4，且 a>b，且 a＝b＋4，又 a＋c＝2b， 则 b＋4＋c＝2b，所以 b＝c＋4，则 b>c，从而 a>b>c，所以 a 为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.
解 利用边的关系判断， 由正弦定理，得sinC＝c，
sinB b 由 2cosAsinB＝sinC，得 cosA＝2ssininCB＝2cb， 又 cosA＝b2＋2cb2c－a2，∴2cb＝b2＋2cb2c－a2，即 a＝b.
又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab， ∴b＝c， 综上 a＝b＝c，∴△ABC 为等边三角形．
正弦定理和余弦定理1 高中数学(人教)
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
问题导学
当堂检测
解:在△ABC 中,C=180° -(A+B)=180° -(60° +45° )=75° . sin 75° =sin(45° +30° ) =sin 45° cos 30° +cos 45° sin 30° =2 ×
2 3 2 2 2 1 2 ( 3+1Leabharlann . 4第一章解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1
正弦定理
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
目标导航
预习引导
1.会推导正弦定理; 学习目标 2.会用正弦定理解一些简单的三角形度量问题; 3.能用正弦定理判断三角形的形状. 重点难点 重点:应用正弦定理进行边角转化,解决三角形问题; 难点:正弦定理的理解及推导.
������������ ������������ ������ =BD=2R.故 =2R,即 =2R. sin������ sin������ sin������ ������������ ������������
课前预习导学
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������ 2������ ������ 2������ ������ 2������
课前预习导学
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目标导航
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2.解三角形 (1)一般地,把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角 形的元素. (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
人教版高中数学必修五目录
人教版高中数学必修五目录 1.1正弦定理与余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例第二章数列2.1数列2.1.1数列2.2.2数列的递推公式（选学）2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用领域3.5二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题如何努力学习高中数学一·培养良好的学习兴趣自学数学最出色的方法就是把数学培育成自己的嗜好。
嗜好高中数学就可以有兴趣回去课堂教学高中数学的自学方法，有兴趣才可以构成自学的主动性和积极性。
养好较好的自学习惯，并把它培育成自学兴趣存有这几点建议：（1）课前预习，对所有学识产生疑问，产生好奇心。
（2）听讲中要协调老师授课，满足用户感官的兴奋性，听讲重点化解复习中疑点，把老师课堂的回答·停滞·教具和模型的模拟的都视作观赏音乐，及时提问老师课堂回答，培育思索与老师同步性，提升精神，把老师对你的回答的评价，变成鞭策自学的动力。
（3）思考问题注意归纳，挖掘你的学习的潜力。
（4）听讲中特别注意老师传授时的数学思想，多问什么必须这样的思索，这样的方法怎样就是产生的？把概念回归自然。
所有学科都是从实际问题中产生归纳的，数学概念也回归于现实生活，如角的概念·直角坐标系的产生·极坐标的产生都是从实际生活中抽象出来的。
只有回归现实才能对概念理解切实可靠，有应用概念判断·推理时会准确。
二、弄清楚概念、性质与基本方法弄清概念、性质和基本方法是每个学科学习的第一步也是最重要的一步，如果概念没有弄清就去解题是没有不碰壁的。
正确理解概念再做习题就比较容易了，通过习题的演算反过来还可以进一步理解概念与性质。
要弄清概念、性质和基本方法，就要先复习老师上课所讲的东西，要看一看课本上的相关内容。
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高中数学学习材料金戈铁骑整理制作1.1 正弦定理和余弦定理一、填空题1．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是________． 解析 由题意和正弦定理，得a 2≤b 2＋c 2－bc ，b 2＋c 2－a 2≥bc ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，所以0＜A ≤π3.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，π32．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为________．解析 由(a ＋b )2－c 2＝4及余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°＝(a ＋b )2－3ab ，所以ab ＝43.答案433．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.解析 由正弦定理，有3sin2π3＝1sin B ， 即sin B ＝12.又C 为钝角，所以B 必为锐角，所以B ＝π6，所以A ＝π6.故a＝b ＝1.答案 14.在△ABC 中,已知5210a c A =,=,=30,则B 等于________.解析 根据正弦定理sin sin a c A C =,得sin 1102sin 2252c A C a ⨯===. ∴C=45或C=135.当C=45时,B=105; 当C=135时,B=15. 答案 105或155．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C ＝________.解析 设AB ＝a ，∴BD ＝23a ， BC ＝2BD ＝43a ， cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝2a 2－43a22a 2＝13∴sin A ＝1－cos 2A ＝223由正弦定理知sin C ＝AB BC ·sin A ＝34×223＝66. 答案 666．在△ABC 中，若S △ABC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，那么角C ＝________.解析 根据三角形面积公式得，S ＝12ab sin C ＝14(a 2＋b 2－c 2)，∴sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab .又由余弦定理：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝π4.答案 π47．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝bc ＋a 2，则角A 的大小为________．解析 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3.答案π38．已知△ABC 中，AB ＝2，C ＝π3，则△ABC 的周长为________(用含角A 的三角函数表示)．解析 由正弦定理，得△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝2sin A sin π3＋2sin Bsinπ3＋2＝43sin A ＋43sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋2＝23sin A ＋2cos A ＋2＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋2. 答案 4sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋29．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则 △ABC 的面积为________．解析 不妨设A ＝120°，c ＜b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是由cos 120°＝b 2＋b －2－b ＋22b b －＝－12，解得b ＝10，S ＝12bc sin 120°＝15 3.答案 15 310. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 角大小为________． 解析 由a 2－b 2＝3bc ，c ＝23b ，得a 2＝7b 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b 2＝32，所以A ＝π6. 答案π611.在锐角△ABC 中,BC=1,B=2A,则cos AC A的值等于 ,AC 的取值范围为 .解析 设2A B θθ=⇒=.由正弦定理得sin2sin AC BC θθ=, ∴122cos cos AC AC θθ=⇒=.由锐角△ABC 得0290θ<<0⇒45θ<<, 又0<180390θ-<30⇒60θ<<,故3045θ<<22⇒<cos 32θ<, AC=2cos θ,∴(23)AC ∈,.答案 2 (23),12．△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b ＝________.解析 由a ，b ，c 成等差数列，得2b ＝a ＋c . 平方得a 2＋c 2＝4b 2－2ac . 又△ABC 的面积为32，且B ＝30°，故由S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac sin 30°＝14ac ＝32，得ac ＝6，所以a 2＋c 2＝4b 2－12.由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4b 2－12－b 22×6＝b 2－44＝32.解得b 2＝4＋2 3.又因为b 为边长，故b ＝1＋ 3. 答案 1＋ 313．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan Ctan A ＋tan Ctan B的值是________． 解析 利用正、余弦定理将角化为边来运算，因为b a ＋ab ＝6cos C ，由余弦定理得a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ，即a 2＋b 2＝32c 2.而tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C cos C ·sin Csin A sin B＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 232c 2－c2＝4.答案 4 二、解答题14．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc . (1)求A ；(2)若B －C ＝90°，c ＝4，求b .(结果用根式表示)解析 (1)由条件，得(b ＋c )2－a 2＝3bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∵0°<A <180°，∴A ＝60°. (2)由⎩⎨⎧B ＋C ＝120°，B －C ＝90°得B ＝105°，C ＝15°.由正弦定理得b sin105°＝4sin15°，即b ＝4sin105°sin15°，∴b ＝4tan75°，∵tan75°＝tan(45°＋30°)＝1＋tan30°1－tan30°＝2＋3，∴b ＝8＋4 3.15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝C,2b ＝3a . (1)求cos A 的值； (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．解析 (1)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13. (2)因为cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝223，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－79，sin2A ＝2sin A cos A ＝429. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝cos 2A cos π4－sin 2A sin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×22－429×22＝－8＋7218.16．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2， cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．解析 (1)因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4.所以c ＝2.所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)因为cos C ＝14，所以sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.所以sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.因为a ＜c ，所以A ＜C ，故A 为锐角， 所以cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1582＝78. 所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab.(1)求sin Csin A的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．解析 (1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)，所以cos A －2cos C cos B ＝2c －a b ＝2sin C －sin Asin B，即sin B cos A －2sin B cos C ＝2sin C cos B －sin A cos B ， 即有sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )，即sin C ＝2sin A ，所以sin Csin A＝2. (2)由(1)知sin C sin A ＝2，所以有ca＝2，即c ＝2a ，又因为△ABC 的周长为5， 所以b ＝5－3a ，由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，即(5－3a )2＝(2a )2＋a 2－4a 2×14，解得a ＝1， 所以b ＝2.18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且cos 〈AB →，AC →〉＝14.(1)求sin 2B ＋C 2＋cos 2A 的值；(2)若a ＝4，b ＋c ＝6，且b ＜c, 求a ，c 的值． 解析 (1)sin 2B ＋C 2＋cos 2A＝12[1－cos(B ＋C )]＋(2cos 2A －1) ＝12(1＋cos A )＋(2cos 2A －1) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫18－1＝－14.(2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ， 即16＝36－52bc ，∴bc ＝8.由⎩⎨⎧b ＋c ＝6，bc ＝8，b ＜c ，可求得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝4.。