常见的数学分布
几种常见的分布
应用：假设检验。
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各种分布之间的关系
Gamma分布与指数分布、正态分布
当gamma分布的形状系数k为正整数时，gamma分布可看作k个独立的指数分布 之和，当k趋向于较大数值时，分布近似于正态分布。
在Gamma分布中：k=n（正整数）时的gamma分布可以看作n个独立的k=1的 gamma分布（即指数分布）之和，按照中心极限定理，独立同分布随机变量 之和趋于正态分布。
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六、Gamma分布
E[X]=
D[X]=
应用：用于描述随机变量X等到第K件事发生所需等候的时间。
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七、瑞利分布(Rayleigh distribution)
定义：当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分 布时，这个向量的模呈瑞利分布。
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ห้องสมุดไป่ตู้
四、对数正态分布
定义：如果一个随机变量的对数服从正态分布，那么该随机变量服从对数 正态分布。
应用：金融保险业、投资收益计算等。
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五、柯西分布(Cauchy distribution)
应用：主要应用于物理学中，它是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中， 它用来描述被共振或者其他机制加宽的谱线形状。
应用：在自然情况下，均匀分布极为罕见。在实际问题中，当我们无法区分在 区间内取值的随机变量取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定随机变 量服从区间上的均匀分布。
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三、指数分布(Exponential distribution)
三大分布和正态分布的关系
三大分布和正态分布的关系三大分布是指均匀分布、正态分布和泊松分布。
在统计学中，这三个分布都是非常重要的基本概率分布之一。
正态分布是最为常见的一种概率分布，也被称为高斯分布或钟形曲线，因其形状呈钟形而得名。
均匀分布则是一种平均分布的概率分布，泊松分布则是一种描述稀有事件发生次数的概率分布。
首先，我们来探讨一下正态分布和均匀分布的关系。
首先需要了解的是，均匀分布是一种最简单的概率分布，它在给定区间内的各个取值概率相等，也就是说每个取值都是等可能发生的。
而正态分布则是一种近似正常分布的概率分布，它的概率密度在均值处达到最大值，两侧逐渐减小。
在正态分布中，大部分的值都集中在均值附近，并且对称分布。
均匀分布和正态分布在形状上有明显的区别。
均匀分布的概率密度函数是一个矩形，在给定区间内的取值概率是相等的，因此其形状是平坦的。
而正态分布的概率密度函数呈现钟形曲线，形状相对较高且对称。
在正态分布中，均值和标准差控制了曲线的位置和形状。
对于均匀分布，通过区间的长度可以控制分布的形状。
另外，均匀分布和正态分布在数学性质上也有一些区别。
对于均匀分布，其期望值和方差均可以通过区间的长度来计算。
例如，在[0,1]区间上的均匀分布的期望值为0.5，方差为1/12。
而对于正态分布，其期望值恒为均值μ，方差为标准差的平方σ^2。
在正态分布中，许多常见的统计推理方法都是基于正态分布的假设，这也是正态分布被广泛应用的原因之一。
此外，正态分布和均匀分布在实际应用中也有着不同的特点和用途。
正态分布广泛应用于实际测量的误差分布、自然现象的变异分布等。
在统计学中，许多假设检验和参数估计方法都是基于正态分布的推论，因此正态分布在统计学中具有重要作用。
而均匀分布常常用于随机数生成、模拟实验中，以及一些特定的情况下，如等可能事件的建模等。
最后，我们来讨论一下正态分布和泊松分布的关系。
正态分布和泊松分布是两种完全不同的概率分布。
正态分布是描述连续型随机变量的概率分布，而泊松分布则是描述离散型随机变量的概率分布。
几种常见的分布
十一、几何分布
定义：在第 n 次伯努利实验，才得到第一次成功的机率。更详细的说是：n 次伯努利试验，前 n-1 次皆失败，第 n 次才成功的概率。
应用：射击比赛等。
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十二、超几何分布
定义：在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所 得次品数X=k，是一个随机变量：
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十、负二项分布(Negative binomial distribution)
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利 试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
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取r = 1，负二项分布等于几 何分布。其概率质量函数 为
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六、Gamma分布
E[X]=
D[X]=
应用：用于描述随机变量X等到第K件事发生所需等候的时间。
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七、瑞利分布(Rayleigh distribution)
定义：当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分 布时，这个向量的模呈瑞利分布。
应用：瑞利分布常用于描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接受包络统 计时变特性。如两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布。
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各种分布之间的关系
Gamma分布与指数分布、正态分布
当gamma分布的形状系数k为正整数时，gamma分布可看作k个独立的指数分布 之和，当k趋向于较大数值时，分布近似于正态分布。
在Gamma分布中：k=n（正整数）时的gamma分布可以看作n个独立的k=1的 gamma分布（即指数分布）之和，按照中心极限定理，独立同分布随机变量 之和趋于正态分布。
概率论各种分布的符号
概率论各种分布的符号概率论是数学的一个重要分支，研究随机现象的规律和性质。
在概率论中，不同的概率分布描述了随机变量可能的取值和其对应的概率。
本文将介绍概率论中各种分布的符号，包括离散分布和连续分布。
离散分布离散分布描述的是随机变量取有限或可数个值的概率分布。
常见的离散分布有以下几种：伯努利分布（Bernoulli distribution ）伯努利分布描述了一次试验中随机变量取两个可能取值的概率分布。
通常用符号p 表示事件发生的概率，用1−p 表示事件不发生的概率。
数学期望（expected value ）：E (X )=p方差（variance ）：Var (X )=p (1−p )二项分布（binomial distribution ）二项分布描述了n 次独立重复试验中成功次数的概率分布。
每次试验中成功的概率为p 。
符号n 表示试验次数，p 表示成功的概率。
概率质量函数（probability mass function ）：P (X =k )=C n k p k (1−p )n−k数学期望：E (X )=np方差：Var (X )=np (1−p )泊松分布（Poisson distribution ）泊松分布描述了单位时间或空间中事件发生的次数的概率分布。
它假设事件是独立随机发生的，且事件发生的平均频率是固定的。
符号λ表示单位时间或空间中事件发生的平均频率。
概率质量函数：P (X =k )=λk e −λk!数学期望：E (X )=λ方差：Var (X )=λ几何分布（geometric distribution ）几何分布描述了在一系列独立重复试验中，试验成功需要进行的次数的概率分布。
每次试验中成功的概率为p 。
概率质量函数：P (X =k )=(1−p )k−1p数学期望：E (X )=1p方差：Var (X )=1−pp 2超几何分布（hypergeometric distribution ）超几何分布描述了不放回地从有限总体中抽取样本时，成功的次数的概率分布。
常用分布的数学期望及方差
−
t2 2
dt , (
x−µ
σ
= t)
=
σ
2π
∫ te
t2 − 2
dt +
∞
µ 2π
∫e
t2 − 2
dt = µ
−
DX = E ( X − µ ) =
2
=
σ2 =− te 2π
σ t 2π −∞
∞
∫
2 2
t2 − e 2
t2 − 2
−∞
∫ (x − µ)
σ
2 ∞
2
1 2π σ
且 X 1 ,L , X n 独立，令 X = X 1 + L + X n ，则 X 的可能 取值为 0,1,…n，
P{ X = k } = C nk p k q n − k , k = 0 , L , n
EX = ∑ EX i = np ， DX = ∑ DX i = npq,
i =1 i =1 n n
n
= n ( n − 1) p 2 ∑
n! n! = p ( k − 1) p k −1 q n − k + p p k −1 q n − k ( k − 1)! ( n − k )! ( k − 1)! ( n − k )! k =1 k =1
∑
∑
n
( n − 2)! p k − 2 q n − 2 − ( k − 2 ) + np k = 2 ( k − 2)!( n − 2 − ( k − 2))!
泊 分 3． 松 布
设 X 服从参数为λ泊松分布， 其分布律为 P{ X = k} =
EX =
λk
∑
常用离散分布
1. （0 – 1）分布，其分布律为 P X 0 1 p, P X 1 p 解： E ( X ) 0 ( 1 p ) 1 p p
E( X ) 0 (1 p ) 1 p p
2 2 2
D ( X ) E ( X ) E ( X ) p p p (1 p )
2
2
2
故
D ( X ) E ( X ) E ( X )
常用离散分布的数学期望
0-1 分布的数学期望 = p 二项分布 b(n, p)的数学期望 = np
几何分布Ge(p) 的数学期望 = 1/p
泊松分布 P() 的数学期望 =
常用离散分布的方差
2 2 2
2
二项分布 设 X 服从参数为 n、p 的二项分布，其分布律为
n k n k P X k p (1 p ) , k k 0 , 1 ,, n
有
E ( X ) np , D ( 数为 的泊松分布，其分布律为
例2.4.1 设X ~ b(2, p)， Y ~ b(4, p)，
已知 P(X1) = 8/9， 求 P(Y1). 解: 由 P(X1) = 8/9 ，知 P(X=0) = 1/9. 所以 1/ 9 = P(X=0) =(1p)2， 从而解得: p = 2/3.
由此得： P(Y1) = 1 P(Y=0)
泊松定理
定理2.4.1 (二项分布的泊松近似)
在n重伯努里试验中，记 pn 为一次试验中 成功的概率. 若 npn ，则
k n k n k e pn (1 pn ) k! k
上面我们提到
常见随机变量的分布函数
常见随机变量的分布函数在概率论和统计学中，随机变量是一个可以取得不同值的变量，其值是按照一定的概率分布规律出现的。
随机变量的分布函数描述了随机变量在不同取值上的概率。
下面是一些常见的随机变量及其分布函数：1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：伯努利分布是最简单的离散随机变量分布之一、它只有两个可能的取值，例如0和1，成功和失败，正面和反面等。
伯努利分布的分布函数可以表示为：F(x)=1-p,x<0F(x) = 1-p+px, 0<= x < 1F(x)=1,x>=12. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布用于描述一系列独立重复实验中成功的次数。
成功和失败的概率分别为p和q=1-p。
二项分布的分布函数可以表示为：F(x)=Σ(从0到x)[C(n,i)*p^i*q^(n-i)],x为非负整数F(x)=Σ(从0到x)[(e^(-λ)*λ^i)/i!],x为非负整数4. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是连续型随机变量的常用分布，也被称为高斯分布。
它具有对称的钟形曲线，其分布函数不具有一个简单的数学表达式。
正态分布的参数是均值μ和标准差σ。
5. 均匀分布（Uniform Distribution）：均匀分布是最简单的连续型随机变量分布之一，它在一个给定的区间上的取值概率是均等的。
F(x)=(x-a)/(b-a),a<=x<=b6. 指数分布（Exponential Distribution）：指数分布用于描述连续时间的等待事件，例如到达一些交叉口的时间间隔。
指数分布的分布函数可以表示为：F(x)=1-e^(-λx),x>=07. 对数正态分布（Log-Normal Distribution）：对数正态分布是正态分布的指数函数，它使用对数尺度来处理正态分布不适用的情况，例如财富分布和人口增长。
六个常用分布的数学期望和方差
即
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若随机变量X~U( a , b ),则
ab
(b a)2
E(X)
, D( X )
2
12
五.指数分布
随机变量X服从参数为λ的指数分布，其概率密度为：
f
(
x)
1
θ
e
x θ
0
x0 x0
E(X )
xf ( x)dx
x
1
e
x θ
dx
x
（ x）de θ
0
θ
0
（
x）e
x
x
e dx
X X1 X2 Xn
E( X ) E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ) np
D( X ) D( X1 ) D( X 2 ) D( X n ) np(1 p)
即： 若随机变量X~B( n , p ),则
E( X ) np，D( X ) np(1 p)
E[3( X 2 1)] 3E( X 2 ) 3
3{D( X ) [E( X )]2 } 3 33
例2.已知X和Y相互独立，且X在区间(1，5)上服从
均匀分布， Y ~ N (1,求9)(1, ) (X,Y)的联合概率密度;(2)
E(3X 4Y 2) , D(3X 4Y 2)
E( X ) xf ( x)dx
b
x
1
dx
a ba
1 x2 b
ba 2 a
ab 2
E( X 2 ) b x 2
1
b3 a3 dx
a 2 ab b2
a ba
3(b a)
3
D( X )
E( X 2 ) [E( X )]2
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常见的数学分布
常见的数学分布
一. 离散分布
1. 伯努利分布
伯努利分布是研究单个成功/失败事件（二元变量）概率的基本
概率分布，只有两种结果，成功/失败，因此伯努利分布也称为二项
分布。
2. 贝叶斯分布
贝叶斯分布主要用于分析估计连续变量，它是基于贝叶斯概率理论，关于一个未知参数的不确定性状况，以后新的观测信号被观测后，这种参数的不确定性会发生变化。
3. 几何分布
几何分布是离散概率分布的一种，主要用于研究成功/失败事件
发生次数的概率分布，即最少要经历多少次失败才能够获得一次成功。
4. 泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布，属于参数为λ的二项分布，也叫泊松二项分布，用来描述一段时间内事件发生次数的概率分布，是一种常用的概率分布。
二. 连续分布
1. 正态分布
正态分布是连续概率分布的一种，也叫高斯分布，是最常用的一类概率分布，可以用来描述不同变量的概率分布情况，它的曲线呈现
出钟形，最大值位于均值处。
2. 对数正态分布
对数正态分布又叫做极大似然估计分布，属于一种连续概率分布，可以用来描述变量值的概率分布情况，表现为对数公式，又称为对数正态分布。
3. t 分布
t 分布是一种特殊的正态分布，也叫做学生的 t 分布，它可以
用来描述变量值的概率分布情况，它的曲线呈现出椭圆形。
4. 卡方分布
卡方分布是一种连续概率分布，常用于统计学分析中，它可以用来描述自由度为 k 的某个统计量的概率分布，其图形呈现出单峰形状。