概率论与数理统计课后答案第4章

概率论与数理统计课后答案第4章第4章 大数定律与中心极限定理4.1 设)(x D 为退化分布：⎩⎨⎧≤>=0001)(x x x D 讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？,2,1},01({)3()};1({)2()};({)1(=-++n nx D n x D n x D 其中解：（1）（2）不是；（3）是。

4.2 设分布函数)(x F n 如下定义：⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-+-≤=nx n x n n nx n x x F n 120)(问)(lim )(x F x F n n ∞→=是分布函数吗？解：不是。

4.3设分布函数列)}({x F n 弱收敛于分布函数)(x F ，且)(x F 为连续函数，则)}({x F n 在),(∞-∞上一致收敛于)(x F 。

证：对任意的0>ε，取M 充分大，使有M x x F M x x F -≤∀<≥∀<-,)(;,)(1εε对上述取定的M ，因为)(x F 在],[M M -上一致连续，故可取它的k 分点：M x x x M x k k =<<<<-=-121 ，使有k i x F x F i i <≤<-+1,)()(1ε，再令∞=-∞=+10,k x x ，则有10,)()(1+<≤<-+k i x F x F i i ε（1）这时存在N ，使得当N n >时有10,|)()(|+≤≤<-k i x F x F i i n ε（2）成立，对任意的),(∞-∞∈x ，必存在某个)0(k i i ≤≤，使得),(1+∈i i x x x ，由（2）知当N n >时有ε+<≤++)()()(11i i n n x F x F x F（3）ε->≥)()()(i i n n x F x F x F（4） 由（1），（3），（4）可得εεε2)()()()()()(11<+-≤+-<-++i i i n x F x F x F x F x F x F ， εεε2)()()()()()(1->--≥-->-+i i i n x F x F x F x F x F x F ，即有ε2)()(<-x F x F n 成立，结论得证。

4.5 设随机变量序列{}n ξ同时依概率收敛于随机变量ξ与η，证明这时必有1)(==ηξP 。

证：对任意的0>ε有()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-⊂≥-2εηξεηξn ，故()0,0220→→⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-+⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-≤≥-≤n P P P n n εηξεξξεηξ即对任意的0>ε有()0=≥-εηξP 成立，于是有()01111=⎪⎭⎫⎝⎛≥-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-=≠∑∞=∞=k k k P k P P ηξηξηξ从而1)(==ηξP 成立，结论得证。

4.6 设随机变量序列{}n ξ，{}n η分别依概率收敛于随机变量ξ与η，证明： （1）ηξηξ+−→−+P n n ；（2）ηξηξ⨯−→−⨯Pn n 。

证：（1）因为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-⊂≥--+22εηηεξξεηξηξn n n n 故∞→→⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-+⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-≤≥--+≤n P P P n n n n ,022)(0εηηεξξεηξηξ即ηξηξ+−→−+Pn n 成立。

（2）先证明这时必有22ξξ−→−Pn 。

对任给的0,0>>δε取M 足够大⎪⎭⎫ ⎝⎛≤1M ε，使有δξ<⎪⎭⎫ ⎝⎛->21M P 成立，对取定的M ，存在N ，当N n >时有()δεξξξξ<⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-≤≥-M P P n n 1成立这时有()()M P M P n n >+-≤>+ξξξξξ2()(){}12<-⋂>+-=ξξξξξn n M P )}1|(|)|2||{(|≥-⋂>+-+ξξξξξn n M Pδξξξ2)1|(|)1|2(|<≥-+->≤n P M P从而有δξξεξξξξεξξξξξξεξξξξεξξξξεξξ3)|(|)|(|)}|(|)|||{(|)}|(|)|||{(|)|||(|)|(|22<>++≥-≤>+⋂≥+-+≤+⋂≥+-=≥+-=≥-M P MP M P M P P P n n n n n n n n n n n 由δε,的任意性知22ξξPn→，同理可证22ηηPn→，由前述（1）有ξηηξηξηξηξηξ2)()(222222=--+→--+=Pnn n n n n故ηξηξ⨯−→−⨯P n n ，结论成立。

4.7 设随机变量序列a P n −→−ξ，0≠a 是一个常数，且0≠n ξ，证明aPn11−→−ξ。

证：不妨设0>a 对任意的a <<ε0，当εξ<-a n 时有εξξa a a a a a n n -≥-+=22)(，因而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥--⊂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-εεξεξξa a a a a n n n 2。

于是有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-≤εξa P n 110()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-=εξεξξεξεξξa a a P a a a P n n n n n n ()∞→→≥-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛≥--≤n a P a a a P n n ,02εξεεξ。

结论成立。

4.9 证明随机变量序列{}n ξ依概率收敛于随机变量ξ的充要条件为：∞→→-+-n En n ,01ξξξξ证：充分性，令xxx f +=1)(，0>x ，则0,0)1(1)(2'>>+=x x x f ，故)(x f 是)0(>x x 的单调上升函数，因而()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+>-+-⊂>-εεξξξξεξξ1||1n n n ，于是有()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+>-+-≤>-εεξξξξεξξ11n n n P P ∞→→-+-+≤n En n ,011ξξξξεε对任意的0>ε成立，充分性得证。

必要性，对任给的0>ε，令{}εξξωε>-=n A :，因为ξξ−→−P n ，故存在充分大的N 使得当N n ≥时有εε<)(A P ，于是有+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-+-εξξξξξξξξA n n n n I E E 11εξξξξA n n I E )1(-+- εεε2)(<+≤A P ， 由ε的任意性知∞→→-+-n En n ,01ξξξξ，结论为真。

4.10 设随机变量n ξ按分布收敛于随机变量ξ，又数列a a n →，b b n →，证明n n n b a +ξ也按分布收敛于b a +ξ。

证：先证明n a ξ按分布收敛于ξa 。

0=a 时为显然，不妨设0>a （0<a 时的修改为显然），若ξa ，ξ，n a ξ，n ξ的分布函数分别记作()⋅ξa F ，()⋅ξF ，()⋅n a F ξ与()⋅n F ，则()x F a ξ=⎪⎭⎫⎝⎛a x F ξ，当x 是()⋅ξa F 的连续点时，a x 是()⋅ξF 的连续点，于是有)(lim lim )(lim x F a x F a x F x F a n n n n a n ξξξ=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→∞→∞→ 成立，结论为真。

由4.12知0)(P n n a a →-ξ，再由4.6(1)知b b a a Pn n n →+-)(ξ，于是由前述结论及4.11知n n n n n n n b a a a b a +-+=+ξξξ)(按分布收敛于b a +ξ，结论得证。

4.11设随机变量序列}{n ξ按分布收敛于随机变量ξ，随机变量序列}{n η依概率收敛于常数a ，证明n n ηξ+按分布收敛于a +ξ。

证：记n ξξ,的分布函数分别为)(),(x F x F n ，则a +ξ的分布函数为)(a x F -，设x 是)(a x F -的连续点，则对任给的0>ε，存在0>δ，使当δε<'<0时有δε<--'±-|)()(|a x F a x F（1）现任取δεε<<<210，使得21,εε--+-a x a x 都是)(⋅F 的连续点，这时存在1N ，当1N n ≥时有εεε<+--+-|)()(|11a x F a x F n（2）εεε<-----|)()(|22a x F a x F n（3）对取定的1ε，存在2N ，当2N n ≥时有εεη<≥-)|(|1a P n（4）于是当),m ax (21N N n ≥时，由（1），（2），（4）式有)5(3)()|(|)()}|(|){()}|(|){())(1111εεηεξεηηξεηηξηξ+-<≥-++-<≤≥-⋂-<-++<-⋂-<-+=-<-+a x F a P a x P a a x a P a a x a P a x a P n n n n n n n n n n又因为)}|(|){()}|(|])({[)(22222εηεξεηεηηξεξ≥-⋂--<+<-⋂-<--+=--<a a x P a x a P a x P n n n n n n n于是由（1），（3），（4）式有εεηεξεηεηηξηξ3)(|(|)()}|(|])({[)(2222--≥≥----<≥<-⋂-<--+≥-<-+a x F a P a x P a x a P a x a P n n n n n n n n（6）由（5），（6）两式可得εηξ3|)()(|<---<-+a x F a x a P n n由ε的任意性即知n n ηξ+按分布收敛于a +ξ，结论得证。

4.12设随机变量序列}{n ξ按分布收敛于ξ，随机变量序列}{n η依概率收敛于0，证明0Pn n →ηξ.证：记n ξξ,的分布函数分别为)(),(x F x F n ，对任给的0>ε，取0,0>>b a 足够大，使b a ,-是)(x F 的连续点且εε<-<-)(,)(1a F b F因为)()(x F x F Wn →，故存在1N ，当1N n ≥时有εε2)(,2)(1<-<-a F b F n n令),max(b a M =，因为0Pn →η，故存在2N ，当2N n ≥时有εεη<>)|(|MP n而21)]}|(|)([)|{(|)]}|(|)[()|{(|)|(|I I Mb a P Mb a P P n n n n n n n n n n +=>⋃<≤-⋂>+≤⋂<≤-⋂>=>εηξεηξεηξεηξεηξ其中01=I ，当),m ax (21N N n ≥时有εξξξξεηξ4)](1[)()}(){(})({})()|{(|<-+-=≥⋃-<=<≤-≤<≤-⋂>b F a F b a P b a P b a P n n n n n n n n因而εεηξ5)|(|2<=>I P n n ，由ε的任意性知0Pn n →ηξ，结论为真。