零点定理教学中数学建模的典型案例
分析“三次函数零点判别探究”的教学案例
分析“三次函数零点判别探究”的教学案例高三数学总复习的导数复习课后，有学生提出:二次函数有根的判别式，那么三次函数的根的个数能否由系数进行判别呢?对此，笔者没有立即给出答案，而是思索如何利用这个问题发动学生去自主探究，通过探究使学生熟练运用导数工具解决函数问题，让学生领悟数形结合、转化与化归、猜测和归纳等数学思想，引导学生积极参与到知识的发生开展过程中去，体验知识获取的艰辛和愉悦。
在组织学生探究之前，笔者对这个问题先行进行了探究.首先，三次函数的一般形式f( x )=ax3+ bx2+cx+d( a≠0)中含有四个参数，直接探究其零点判定，对学生来说难度较大.联想到三次函数经过平移和伸缩变换后总可以化成以下形式:f( x )=x3+px+q.在不完全的三次函数形式里，参数减少为两个，探究的难度就大大减少了.反之，假设不完全形式的三次函数零点问题解决了，一般形式的三次函数就可以先转化成不完全形式，然后再利用已有结论进行判别。
针对以上的思考，笔者设计了层层递进的疑问，每一步使学生能够做到“跳一跳，够得到”，一步步逼近结论.并且对某些公式和定理进行认真的推导，对学生的现实和数学现实中有哪些与本质类似或有联系等问题进行慎密的思考，对探究过程中学生可能出现的即时生成问题，准备好引领方法，这样才能做到胸有成竹，防止浪费珍贵的教学时间.下面是课堂实录。
2.1 情境创设，引入课题问题1 函数( )31f xxax=?+有三个零点，求a的取值范围.设计意图从典型的例习题联想提出新问题，从熟悉的问题而想到尚待解决的问题，从特殊的背景猜测得到一般性的结论并加以证明，这样设计可以激发学生的学习兴趣和求知欲望，提高学生的猜测和归纳能力。
(投影生1的解答过程)“以学生为主体”的教育观念要求教学过程要在探究活动中展开，也就是说，概念、公式、定理等的数学都要表达数学化的教学思想，要提醒数学的形成过程.什么问题可以让学生自主探究，什么问题不适合在课堂探究，根据学生的“最近开展区”如何设置探究的难度和过程，探究过程中学生可能会遇到哪些思维障碍如何启发学生解决问题，等等.这些都需要教师在组织学生探究之前应该先行探究，并解决以下两个问题:有没有探究的必要?如何确定探究的起点和探究的方式?对于那些抽象度较低、无任何知识背景的工具性知识或学生容易理解其产生或形成过程的概念或数学结论，采用承受性学习比拟经济和理想.对于那些本身具有较强的经验性、演绎性或对象性的数学知识，教学中从学生日常经验或教材出发，开展数学探究性学习那么是必要的.探究的.起点不宜太高，应选用学生比拟熟悉的背景作为切入点.将学生的兴趣和注意力引导到探究的问题中去后，探究过程应是探究课的重点所在，采用自主探索与合作交流相结合的方式为好.但要保证足够的时间和空间让学生经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程.苏霍姆林斯基说过:“学生要想牢固地掌握数学，就必须用内心创造与体验的方法来学习数学”.因此，引导学生在体验中学习，在体验中自主探究、自主开展是学好数学的关键.在学习过程中，教师通过指导、创设情境，提供信息资料、工具和情感交流等多种途径使学生在不断的“体验”中获得知识，开展能力.要给学生独立思考的时间和空间，充分用好学生的口、手和思维，让学生敢说、敢做、敢于发现问题、敢于发表见解，最大限度地让学生在体验中学习，在合作中提高，在主动中开展.只有这样学生才能真正体会和感受知识的生长过程与创作，体验其中蕴含的发现，有助于加深对概念的理解，搞清概念的内涵特征，从而提高课堂教学的有效性。
数学建模——切蛋糕问题
蛋糕问题不规则形状的蛋糕，是不是一定能够被一刀切成大小相等的两块？一．模型重述：即所要求的问题转化为是否存在某条直线型（刀切割所造成的）路径，将蛋糕等分成大小相等的两块。
二．模型假设：1、将蛋糕放在水平放置的桌面上，假设蛋糕上每一点到桌面的距离都相等且蛋糕边缘顶点与底边对应点的连线垂直于桌面。
2、仅需考虑蛋糕底面，假设蛋糕底面是由平面上一条没有交叉的封闭曲线（无论什么形状）围成的，则所求路径为在此底面存在两个交点的直线。
三．模型建立：1SP l 2S图11、如图1，所求直线可以通过点斜式来确定，于是我们可将所求直线转化成： 经过平面内一定点P ，并且围绕此点所构成的线束中任意一条都满足题意。
2、过P 点任作一直线l ,将曲线所围成的图形分为两部分，其面积分别为1S ,2S .(1)若1S =2S ，则l 即是我们所要求的路径，(2)若1S ≠2S ，则不妨设1S ≥2S (此时l 与x 轴正向的夹角记为0α)，以P点为旋转中心，将l 按逆时针方向旋转，面积1S ,2S 就连续地依赖于α变化，记为1()S α,2()S α。
则归结为如下命题：已知1()S α，2()S α是连续函数，如图2，对α∀，都有1221()(),()()S S S S απααπα+=+=，证明：存在ζ，使得12()()S S ζζ=四．模型求解：证明：将直线l 以P 点为中心旋转，与x 轴正向的夹角记为α，[]00αααπ∈+，，得连续函数1()S α，2()S α。
作辅助函数：12()()()h S S ααα=-，得到()h α是连续函数。
假设：01020()()()0h S S ααα=-＞，则010202010()()()()()0h S S S S απαπαπαα+=+-+=-＜.根据零点定理，存在一点[]00,ζααπ∈+，使得()0h ζ=,即12()()0S S ζζ-=.即过P 点作直线，使之与x 轴的正向夹角成ζ，该直线即为所求路径。
高等数学中的零点定理及其应用
高等数学中的零点定理及其应用数学是一门基础学科，应用广泛，与各领域有着密不可分的联系。
其中，高等数学是各个领域中不可或缺的一门学科。
而零点定理是高等数学中非常重要和基础的一个部分，涉及到多个学科的交叉应用。
本文将主要介绍零点定理的概念、分类和应用。
一、零点定理的概念和分类零点定理是指在某些函数中，存在某些特殊值(称为零点)，使得函数在这些点处取值为零。
具体地说，若函数$f(x)$在点$x_0$处为零，则称$x_0$是$f(x)$的一个零点。
零点定理就是研究函数的零点及其性质的理论。
根据不同的函数类型和性质，零点定理可分为常微分方程的零点定理、复变函数的零点定理、二次型的零点定理、拓扑定理的零点定理等等。
这里重点介绍前三种。
1、常微分方程的零点定理设$y'=f(x,y)$是一个初值问题的解，其中$f$在闭区间$D=\{(x,y)\in R^2|a\leq x\leq b,\alpha\leq y\leq \beta\}$上连续，如果有一连续函数$G(x)$，使得$f$在$D$上满足$f(x,y)G(x)\leq0(\alpha\leq y\leq \beta)$，则$y'=f(x,y)$在区间$[a,b]$上必然有解，并且至少有一个零解。
2、复变函数的零点定理对于一函数$f(z)$，如果它在圆$|z|=R$内是连续的，假定$f(z)$在圆周上连续并且$f(z)$在圆内没有零点，则$f(z)$在圆周上至少有一个零点。
3、二次型的零点定理设$n$元二次型为$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j $，其中$a_{ij}$为常数，且$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)$中不含常数项。
则它的正惯性等于零点距的个数，负惯性等于负的零点距的个数。
二、零点定理的应用零点定理在诸多领域中都有广泛的应用。
下面就以实例的形式逐一介绍：1、求函数零点先将原函数化简成$f(x)=0$的形式，就可以利用零点定理来计算零点了。
用二分法求方程的近似解——零点定理的应用
2022年第12期教育教学2SCIENCE FANS 用二分法求方程的近似解*——零点定理的应用王俊美，张 超，朱柘琍（山东农业大学信息科学与工程学院，山东 泰安 271018）【摘 要】用二分法求方程的近似解是零点定理的应用，充分体现了方程和函数之间的联系。
文章首先用案例教学法引出二分法的定义，进而解决了求方程近似解的问题，然后利用Matlab程序，在提高方程近似解精确度的同时缩短了用时，为学生日后应用该软件进行科学研究打下了良好的基础，最后对二分法求方程近似解的优缺点进行了介绍，并提出了改进方法。
【关键词】二分法；方程的近似解；零点定理；Matlab【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2022）12-0001-03在解决实际问题时常常需要求一个方程的实根，但除了一些简单的方程，大部分方程都很难求出准确解，因此求方程的近似解在数学应用上具有重要意义[1]。
本文用案例法介绍了求方程近似解的方法——二分法，同时用Matlab程序可以求出方程不同精确度的近似解，与其他方法相比缩短了求方程近似解的时间。
1 学情分析大一学生已经学习了函数知识，理解了函数零点和方程根的关系，初步掌握了函数与方程的转化思想。
但是对于求函数零点，学生只是比较熟悉求二次函数的零点，求高次方程和超越方程对应函数零点却有一定困难。
2 课程设计本文首先将天平测量假币案例作为教学素材，以期激发学生的学习兴趣，突显学生在课堂上的主体地位，充分发挥学生的主观能动性。
同时将教材中的概念和理论知识与生活实际相结合，做到学以致用，通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程。
其次利用现代信息化教学模式，在高等数学教学中适当地引入Matlab软件，利用Matlab的强大计算功能提高课堂教学效率，为学生日后应用该软件进行科学研究打下良好的基础。
最后对二分法求方程近似解的优缺点进行介绍，并针对缺点提出了改进办法。
椅子在不平的地面放平模型
文 章编号 ：０３２ ４（Ｏ ＯＯ．３ ２０ １０－８３２ ）３０９ ． Ｌ ２
椅 子在 不平 的地面放 平模 型
王 文武
（ 商丘 师 范 学院 数 学 系，河 南商 丘 ４ ６ ０ ） ７ ００
摘
要：对 于椅子能否在地面上放平的 问题，我们从封闭曲线或者平面的性质入手，得 出了结论．并且针对一般 的情况，
ｆ ｘ ，０ ＝ｇｘ ，ｏ，即椅子可以放平． （０Ｙ ） （０Ｙ ）
参考 文献 ：
［】 姜启源，谢金星，叶俊 ． １ 数学模型［ ． Ｍ】 北京：高等教育 出版社， ０ ３ ２０．
［】 张筑生．数学分析新 讲［ ． ２ Ｍ】 北京 ： 北京大学出版社， ９ ０ １９ ． 【】 陈雪梨．椅子放稳问题 另解 ［ ．湖州职业技术学院学报 ，０ ８３：４２ ． ３ Ｊ ］ ２ ０ （）２ －７
作者简介 ：＿ ｑ ￣
（９２） 男，山东 青岛人， １８ － ， 商丘师范学院数学系助教 ， 研究方向为概 率统计． ｍ ｉ ｅｇ ｗ ｈ ｉ ． ｒ Ｅ ａｌ ｎ ｅ ｓ＠ｓ ａ ｏ ：ｗ ｎ ｃｎ
基金项 目：河南 自然科学基金资助项 目（９ １２ ０ ２） ０ ２ ２ １１ １．
第 ３期
王文武： 椅子在不平的地面放平模型
３３ ９
使得 （０ ＝ｇＯ ） ． Ｏ） （ｏ ＝０
证明 构造函数ｈｏ ＝厂（） （） （） Ｏ＋ ， （） 一ｇ ＝ 一ｆ（ ） 显然 （） 连续．
厂 是 的 周 期 为 ２ 连 续 函 数 ，那 么 根 据 闭 区 间 连 续 函 数 最 值 的 性 质 ，存 在 、 （） 万 ，使
存在 ， 使 （ ） ， ＝０ 即 （ ） （ｏ ＝０ ＝ｇ Ｏ ） ．
案例零点定理的教学设计
案例零点定理的教学设计过程与⽅法是这样体现的！⼀、开放的情境更易于引导学⽣做数学根据⾼中学⽣的认知⽔平，开发利⽤教材的探索性内涵，创造性地使⽤教材，设计了能启发学⽣思维的“温度连续变化”情境，引导学⽣得出本节课的重要结论：零点附近两侧的图象特征及代数特征（函数值异号）。
这⼀⽚段的课堂教学实录如下：问题1 图1是某地从0点到12点的⽓温变化图，假设⽓温是连续变化的，请将图形补充成完整的函数图象。
这段时间内，是否⼀定有某时刻的⽓温为0度？为什么？师：在补充图象的时候请考虑：图象与x轴是否⼀定相交。
师：有哪位同学得到与x轴不相交的图象吗？（所有同学都摇头表⽰不能画出）师：困难在哪？为什么画不出？⽣丁：因为⽓温的变化连续不断，⽽且有两个已知的温度是⼀正⼀负。
师：很好，因为这两个原因使得图象与x轴⼀定相交。
那么，交点可能会在哪⼉？⽣众：0到12之间。
师：⽓温变化图其实也是⼀个函数的图象，它与x轴的交点就是函数的零点，这样我们已经发现了函数存在零点的⼀种判断⽅法。
师：函数存在零点的关键是什么？⽣众：函数图象是连续不断的；⼀个点在x轴下⽅，⼀个点在x轴上⽅。
从上述过程可见，通过“问答”式这种形式引导学⽣进⾏探究，实践证明效果较好。
但对⾼中学⽣来说，数学学习是⼀个充满价值判断的过程，最有效的是有引导⼜不受⼲扰的思考，属于学⽣⾃⼰的独⽴思考。
美国数学家哈尔莫斯指出：“学习数学的唯⼀⽅法是做数学”，我们认为：让学⽣以研究者的⾝份通过动⼿做来解决这⼀问题，先做后说，也许效果会更好。
鉴于此，我们对这⼀教学⽚段重新进⾏了设计，把如下的修改问题作为学⽣深度思考的⼀个源题：问题2 图1是某地从0点到12点的⽓温变化图，假设⽓温是连续变化的，请⽤⼆种不同的⽅法将图形补充成完整的函数图象。
这段时间内，是否⼀定有某时刻的⽓温为0度？为什么？在课外活动中将印有这个题⽬的纸张发给学⽣，要求学⽣通过研究设计出⼆种不同的连结⽅法。
上述的图形连接问题起点低，直观性强，简单⽽内涵丰富，且结论开放，符合⾼中学⽣喜欢动⼿的特点，适合不同层次学⽣进⾏探究。
数学模型中的0、1变量的使用的案例
数学模型中的0、1变量的使用的案例【摘要】在数学模型中，0和1变量是非常常见且重要的。
它们可以用来表示逻辑的真假、存在与否等概念，广泛应用于各种领域的建模和分析中。
本文将通过具体案例展示0和1变量在数学模型中的应用。
通过引言部分介绍0和1变量的基本概念及其重要性。
在将介绍数学模型中使用0和1变量的具体案例，包括布尔逻辑、线性规划、概率模型等方面。
通过这些案例，读者可以更加直观地了解0和1变量在数学建模中的作用和意义。
在结论部分总结本文的主要内容，强调0和1变量在数学模型中的重要性，并展望未来它们在数学建模中的应用前景。
通过本文的阐述，读者能够更深入地理解并运用0和1变量来解决实际问题。
【关键词】数学模型、0、1变量、案例、引言、正文、结论1. 引言1.1 引言在数学建模中，0、1变量是一种非常重要的工具，通常用来表示某种特定的情况是否发生。
0代表“否”或“假”，1代表“是”或“真”。
通过对0、1变量的合理运用，可以将实际问题转化为数学模型，并找到有效的解决方案。
在实际应用中，0、1变量有着广泛的应用。
比如在生产调度中，我们可以用一个0、1变量表示某一台机器是否开启；在资源分配中，我们可以用一个0、1变量表示某一资源是否可用；在网络传输中，我们可以用一个0、1变量表示数据包的传输是否成功。
通过这些简单的变量，我们可以构建复杂的数学模型，解决各种实际问题。
本文将介绍一些关于数学模型中0、1变量的使用案例，通过这些案例可以更直观地理解0、1变量在数学建模中的作用。
这些案例涉及到生产调度、资源分配、网络传输等领域，展示了0、1变量的强大功能和广泛适用性。
希望通过本文的分享，读者可以更深入地了解数学模型中0、1变量的重要性和应用范围。
2. 正文2.1 数学模型中的0、1变量的使用的案例0、1变量在数学模型中的应用可以说是非常广泛的，它们可以表示两种状态或者选择两种不同的决策。
在实际应用中，0、1变量可以被用来描述某个事件是否发生、某个条件是否满足或者某个选择是否被做出。
数学教学中的数学建模案例
数学教学中的数学建模案例数学建模是指运用数学原理与方法解决实际问题的过程。
在数学教学中，数学建模可以帮助学生将抽象的数学概念与实际问题相结合，提高他们解决问题的能力和应用数学的能力。
本文将介绍几个数学建模在数学教学中的典型案例。
案例一：用数学建模解决实际问题我们以一个实例开始，假设一个园区的供电系统需要进行优化和改造，以降低能耗和成本。
为了解决这个问题，我们可以通过数学建模来分析和优化供电系统。
首先，我们可以收集园区的用电数据，包括用电量、峰谷电价等信息。
然后，我们可以建立数学模型，使用线性规划等方法来优化供电系统的运行。
通过调整供电系统的负荷分配和电源配置，我们可以找到一种最优方案，以达到降低能耗和成本的目标。
在数学教学中，我们可以通过这个案例引导学生运用数学知识和方法解决实际问题。
学生可以根据实际场景，收集数据，建立数学模型，并利用计算机软件进行模拟和优化。
这样，学生不仅可以巩固数学知识，还可以提高他们的问题解决能力和创新思维。
案例二：用数学建模解决交通流问题交通流问题是城市规划中的一个重要问题。
如何合理安排信号灯的时序，以及交通流的优化调度，都是需要运用数学建模来解决的。
我们可以以某个路口的交通流问题为例。
假设某个路口存在交通拥堵问题，我们需要通过数学建模来优化车辆的行驶路径和交通信号。
首先，我们可以通过收集交通流数据，包括车辆数量、车速等信息。
然后，我们可以建立数学模型，使用图论等方法来分析交通网络的拓扑结构，考虑车辆的速度、密度等因素，并结合交通信号的控制，来优化交通流的调度和路口的通行效率。
在数学教学中，我们可以通过这个案例让学生了解到数学在交通规划中的应用。
学生可以通过收集数据、建立数学模型，运用图论等数学知识，来解决交通流问题。
通过这种实践性的学习，学生可以更好地理解数学的应用和实际问题的解决方法。
案例三：用数学建模解决金融风险问题金融风险管理是银行和其他金融机构需要处理的一个重要问题。
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零点定理教学中数学建模的典型案例
1. 求最大金字塔的案例：水果称重问题
问题描述：在一定的容器空间和给定的物品种类和重量范围内，构建最大的金字塔，以求得最大表面积；
使用零点定理解决：建立一个有限约束条件的最优化模型，以求使称重表面积最大化；
解决过程：
（1）首先划分限制性和目标函数；
（2）使用元表示法将一般性矩阵约束方程转换成对称正定的标准型；（3）使用零点定理求解出最优值，以求得最最大表面积。
2. 王者荣耀英雄组合策略案例
问题描述：基于王者荣耀中的9个英雄以及它们之间的8种关系，求出能发挥出最强实力的组合策略；
使用零点定理解决：建立一个有限搭配条件的最优化模型，以求最大化整体英雄之间的多方面协同作用；
解决过程：
（1）根据英雄的关系构建联合表达式，确定约束条件；
（2）使用零点定理转化为标准型，在给定的特定环境中最大化英雄之间的多方面协同作用；
（3）最后得出最优的组合策略，有利于英雄发挥最强实力。