15.3.2分式方程的应用(工程问题)
教师寄语
。
例3： 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队
单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加 了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部 完成，哪个队的施工速度快？
解： 设乙队如果单独施工一个月能完成总工程的
记总工程量为1，根据题意，得
1 x
.
1 1 1 ` =1 3 6 2x
我们所列的是一 个分式方程，这 是分式方程的应 用
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.
3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程.
4.解:认真仔细. 5.验:有两次检验.
两次检验是: (1)是否是所列方程的解; (2)是否满足实际意义.
6.答:注意单位和语言完整.且答案要生活化.
180 240 x x5
方程两边乘x(x+5)得 180(x+5)=240x 解得 x＝15 检验:当x=15时，x(x+5) ≠0 ∴x=15是原分式方程的解． ∴x+5=20 答:甲每分钟跳15个,乙每分钟跳20个．
练习2、甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改 造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能 完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数 4 是甲队单独完成此项工程所需天数的 ，求甲、乙两 5 个施工队单独完成此项工程各需多少天？ 解：设甲施工队单独完成此项工程需x天，则乙施工队 单独完成此项工程需 4 x天 ,得 10 12
5
x
4 x 5
1
4 经检验，x＝25是所列方程的解. 当x＝25时，5 x＝20
解这个方程，得x＝25
答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天．
练习3、 A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型 机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬 运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相 等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
思考：这是工程 ____问题，三个工作 工作量、工作效率、工作时间 量为 ____________________ 等量关系：时间相等 分析:（列表） A B 工作量kg 工作效率kg/h 工作时间h 900 x
900 x
600
x-30
600 x 30
以下是解题格式 解：设A种机器人每小时搬运 等量关系：时间相等 x kg，由题意得 900 600 工作 工作效 工作 = x 量kg 率kg/h 时间h x 30 900 A 900 x x 方程两边乘x(x-30)得 600 B 600 x-30 x 30 900(x-30)=600x 解得x=90 检验：当x=90时，x(x-30)≠0 ∴ x=90是原方程的解 ∴ x-30=60 答：A和B两种机器人每小时分别能搬90kg和60kg。
8 3
8
8 x 3
8 3
x 0, x 是原分式方程的解,且符合题意。 时， 3
答：李强单独清点这批图书需要
小时。
精选作业
练习1、学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练 习．甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个； 又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多 少个． 解：设甲每分钟跳x个,则乙每分钟跳（x+5）个，
例3： 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队
单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加 了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部 完成，哪个队的施工速度快？ • • • •
1 1 月完成总工程的（ 6 2 x ）
1 分析：甲队1个月完成总工程的 3 ，设乙队 1 如果单独完成施工1个月能完成总工程的 , x 1 那么甲队半个月完成总工程的 ，乙 1 6 队半个月完成总工程的 2 x ，两队半个
15.3
分式方程
（工程问题）
相信自己是最棒的!
填空复习
1、在工程问题中，主要的三个量是：工作量、工作 效率、工作时间。它们的关系是
工作效率×工作时间 、 工作量=________________
工作量 工作时间 工作效率=_________
工作量 工作效率 工作时间=_________
分式方程在实际在应用
3 x 1 x x4
以 下 是 解 题 格 式
1、甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工 240个零件，已知甲每小时比乙少加工5个零件， 求两人每小时各加工的零件个数.
解：设乙每小时加工x个，甲每小时加工（x-5）个，则
180 240 x5 x
解得x=20 检验：x=20时x(x-5) ≠0,x=20是原分式方程的解。 x-5=15 答：乙每小时加工20个，甲每小时加工15个。
完成的工作量
第一组
第二组
1 x
1 x4
3
x
x x4
3 x
等量关系：
甲完成的工作量+乙完成的工作量=总做总量
工作效率 工作： 设规定日期是x天，由题意，得
1 x4
3
3 x
x
在方程两边都乘以x(x+4)得: 3(x+4)+x2=x(x+4) 解得x= 12 检验：当x=12时，x(x+4)≠0 ∴ x=12是原方程的根 答：规定日期是12天。
练习4、一项工程要在限期内完成。如果第一组单独 做，恰好按规定日期完成；如果第二组单独做，需要 超过规定日期4天才能完成。如果两组合作3天后，剩 下的工程由第二组单独做，正好在规定日期内完成， 问规定日期是多少天？
工程 问题 思考：这是____
等量关系：甲完成的工作量+乙完成的工作量=总工作量
工作效率 工作时间
归纳：解工程问题的基本思路是 （1）审题 （2）找等量关系 （3）写解题过程
试一试：张明4小时清点完一批图书的一半，李 强加入清点另一半图书的工作，两人合作1小时 清点完另一半图书，如果李强单独清点这批图 书需要几小时？ 1 1 等量关系：（张明工作效率+李强工作效率） 2
解：设李强单独清点这批图书需要x小时. 由题意可得： 1 1 1 ( ) 1 8 x 2 方程两边乘8x，得 x+8=4x 解得 检验： x
例3： 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队
单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加 了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部 完成，哪个队的施工速度快？
思考：
列方程的关键是什么？ 找出相等关系
问题中的那个等量关系可以用来列方程？ • 甲队施工1个月的工作量+甲乙共施工半个 月的工作量=总工作量
1、甲种原料和乙种原料的单价比是2：3,将价值2000元的甲种原料和价值1000元的乙混合后,单价为9元, 求甲
15.3.2分式方程应用题分类解析一、营销类应用性问题1、甲种原料和乙种原料的单价比是2：3，将价值2000元的甲种原料和价值1000元的乙混合后，单价为9元， 求甲的单价.2、小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买 了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们买的文学书比科普书多一本，这种科普书和文学书的价格各是多少？3、某种商品价格，每千克上涨31，上回用了15元，而这次则是30元，已知这次比上回多买5千克，求这次的价格.二、利润类应用性问题1、某工厂去年赢利25万元，按计划这笔赢利额应是去、今两年赢利总额的20%，今年的赢利额应是多少？2、某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%，求这种服装的成本价.3、某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方水费上涨31，小利家去年12月的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元，已知小利家今年7月的用水量比去年12月份的用水量多5立方米，求该市今年居民的用水的价格.4、某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元。
⑴求第一批购进书包的单价；⑵在商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？5、某商店经销一种纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售，5月份该商店对这种纪念品打九折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。
⑴求这种纪念品4月份的销售价格.⑵若4月份销售这种纪念品获利800元，问：5月份销售这种纪念品获利多少元？6、某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商厦共赢利多少元.7、某超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销时的2倍。
15.3.2分式方程应用题分类解析
1532分式方程应用题分类解析一、营销类应用性问题1、甲种原料和乙种原料的单价比是2: 3,将价值2000 元的甲种原料和价值1000元的乙混合后，单价为9元，求甲的单价•3、某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方水1费上涨丄，小利家去年12月的水费是15元，而今年73月份的水费则是30元，已知小利家今年7月的用水量比去年12月份的用水量多5立方米，求该市今年居民的用水的价格•4、某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元。
⑴求第一批购进书包的单价；⑵在商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？13、某种商品价格，每千克上涨，上回用了15元，而这3次则是30元，已知这次比上回多买5千克，求这次的价格•5、某商店经销一种纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售，5月份该商店对这种纪念品打九折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。
⑴求这种纪念品4月份的销售价格.⑵若4月份销售这种纪念品获利800元，问：5月份销售这种纪念品获利多少元？2、某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%求这种服装的成本价2.A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做35个机器零件。
求A、B每小时各做多少个零件。
6、某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8 万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用17.6 万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，2、小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们买的文学书比科普书多一本，这种科普书和文学书的价格各是多少？二、利润类应用性问题1、某工厂去年赢利25万元，按计划这笔赢利额应是去、今两年赢利总额的20%今年的赢利额应是多少？最后剩下的150件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商厦共赢利多少元•3.一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一台乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。
15.3.2分式方程应用题
方法点拨
工作量问题解题思路: 1.工作量: (1)通常把总工作量看成单位“1”． (2)每一部分的工作量=工作效率×工作时间. 2.等量关系:每人完成的工作量之和＝总工作量.
知识运用
二.行程问题
例3 某校学生乘车到距学校60 km的景, 他们同时 出发,结果乘慢车的同学晚到20 min．已知快车速
车快54km/h,当动车到达B站时,特快列车恰好到
达距离A站135km处的C站.求动车和特快列车的
平均速度各是多少？
思维点拨
1.设特快列车的平均速度为xkm/h,则动车的
速度为(x+54)km/h. 2.等量关系:动车行驶360km与特快列车行 驶(360﹣135)km所用的时间相同. 3.列方程求解.
知识运用
例2.(2012∙临沂中考)某工厂加工某种产品.机器每
小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数 量的2 倍多 9 件 ,若加工 1800 件这样的产品 ,机器加
3 工所用的时间是手工加工所用时间的 倍,求手工 7
每小时加工产品的数量.
解:设手工每小时加工产品x件,则机器每小时加 工产品(2x+9)件, 1 800 3 1 800 根据题意可得: ， x 7 2x 9 解得x=27, 经检验x=27是原方程的解且符合题意. 答:手工每小时加工产品27件．
思维点拨
根据甲,乙的工作量的和等于工作总 量,列方程求解.
解:设乙单独做需要x天完成,由题意得. 30 1 1 ( ) 20 1, x 40 x 解得x=100． 经检验x=100是原方程的解,且满足题意. 答:乙单独做需要100天完成．
智能抢答
甲,乙合干一项工作,甲单独干需要x天,乙单独干 1 , 正确吗？ 需要y天,则甲,乙合干的工作效率为 xy 为什么？ 1 1 答:不正确.∵工作效率为 . x y
人教版八年级数学上册集体备课(教案)15.3.2分式方程的应用
八年级数学集体备课（教案）
初备人：谢彬审核人：八年级数学组编写时间：2018-12-20
同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？
【方法总结】解答此类问题要结合图表提供给我们的信息，找出相等关系列方程．
【类型六】销售盈亏问题
例6：佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
（1）求第一次水果的进价是每千克多少元？
（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
【方法总结】本题具有一定的综合性，应该把问题分成购买水果这一块，和卖水果这一块，分别考虑，掌握这次活动的流程．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
四、反思小结当堂测评
（一）反思小结：
列分式方程解应用题的一般步骤是:
第一步，审清题意;
第二步，根据题意设未知数;
第三步，根据题目中的数量关系列出式子，并找准等量关系，列出方程;
第四步，解方程，并验根；
第五步，检查方程的解是否符合题意;最后作答
（二）当堂测评：
《长江全能学案》。
15.3 课时2 分式方程的实际应用 教案2
15.3 课时2 分式方程的实际应用教案
教师活动1：
应用整式方程解实际问题的步骤：
那么如何运用分式方程解决实际问题呢？
活动意图说明：回顾旧知，引出新知
教师活动2：
两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个
月完成总工程的1
3
，这时增加了乙队，两队又共同工作了
半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？
分析：本题是一道工程问题，可将总工程量记为1．
数量关系：工作总量＝工作效率×工作时间．
设乙单独完成这项工程需要x 月.
借助列表分析，确定题目中的数量关系.
解：设乙单独完成这项工程需要x 月，则乙队的工作效
率是1
x
，记总工程量为1，根据工程的实际进度，得
1 3×1+
1
2
×(
1
x
+
1
3
)=1
解得x = 1.。
人教版数学八年级上册15.3.2分式方程解应用题 课件
——分式方程解应用题
解分式方程
(1) 3 2
x x3 (2) x 2x 1
x1 3x3
注意验根哦
分式方程
去分母
整式方程
解整式方程
x =a
检验
x =a 最简公分母是
否为零？
步骤
x =a不是分式 方程的解
x =a是分式 方程的解
列一元一次方程解应用题的步骤是什么？
1.审题； 2.设未知数； 3.列方程； 4.解方程； 5.作答。
说明：应用分式方程解决 实际问题与一元一次方程 解决实际问题的步骤基本 相同，但要注意验根。
一验是否是原方程的解； 二验是否符合实际问题。
例4：从2004年5月起某列列车平均提速 v千米/
时。用相同的时间，列车提速前行驶 s千米，
提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平 均速度是多少？
分析：这里的字母 v 和 s表示已知量，设提速前的平
1、（1）工程问题基本公式： 工作量=工时×工效，
（2）某项工程甲独做10天完成，则每天完成
1 10
，乙独做6天完成这项工程的
1
2 3
，则
需 9 天完成 ，每天完成 9
。
此时，不知具体的工作总量，常常设为“1”。
（3）某公司需要600台机器，甲工厂12天可完成，
则甲工厂每天生产 50 台，乙工厂每天比甲多生
分析：设甲每小时做 x个零件，则乙每小时做 (x 6)
个零件，由“甲90个所用的时间与乙做60个所有的时间
相等”可知等量关系为： 甲做90个所用的时间= 乙做60个所用的时间
列方程为： 90 60 x x6
2.某工程队需要在规定日期内完成。若甲队单 独做正好按时完成；若乙队单独做，超过规定日期 三天才能完成。现由甲、乙合作两天，余下工程由 乙队单独做，恰好按期完成，问规定日期是多少天？
八年级数学人教版(上册)第2课时分式方程的实际应用——工程问题
解：根据题意，得 m×1180＋n×1120＝1. 整理，得 n＝120－23m. ∵m＜46，n＜92，∴120－23m＜92. 解得 42＜m＜46.
∵m 为正整数，∴m＝43，44，45. 又∵n＝120－23m 为正整数，∴m＝45，n＝90.
答：A，B 两个工程公司分别施工了 45 天、90 天．
箱药品，则下面所列方程正确的是( D )
A．6 0x00＝x4＋550000
B．x6－050000＝4
500 x
C．6 0x00＝x4－550000
D．x6＋050000＝4
500 x
2．(2021·东营)某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿 色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园， 促进旅游发展．某工程队承接了 90 万平方米的荒山绿化任务，为了 迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%， 结果提前 30 天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为 x 万平方米，
解：设八年级捐书人数是 x，则七年级捐书人数是(x－150)，依 题意，得
1 8x00×1.5＝x1－810500，解得 x＝450. 经检验，x＝450 是原方程的解，且符合题意． 答：八年级捐书人数是 450.
5．某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工
程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：①甲队单独完
成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程，要比规定工期多用 5
天；③
，剩下的工程由乙队单独完成，也正好如期完工．某同学设规
定的工期为 x 天，根据题意列出了方程：4x＋x＋x 5＝1，则方案③中被墨水污染
的部分应该是( B )