等比数列测试题百度文库

一、等比数列选择题

1．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则4

S S =（） A ．76

B ．32

C ．

2132

D ．

2．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若543264328a a a a +--=，则7696a a +的最小值为（） A ．12

B ．18

C ．24

D ．32

3．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =，则4a =（） A ．8

B ．8-

C ．16

D ．16-

4．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2

6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且

77b a =，则3810b b b =（ )

A ．1

B ．8

C ．4

D ．2

5．已知数列{}n a 满足112a =

，*

11()2

n n a a n N +=∈.设2n n n b a λ-=，*n N ∈，且数列

{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）

A ．(,1)-∞

B ．3

(1,)2

C ．3(,)2

-∞

D ．(1,2)-

6．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （）

A ．有最大项，有最小项

B ．有最大项，无最小项

C ．无最大项，有最小项

D ．无最大项，无最小项

7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（） A ．80里

B ．86里

C ．90里

D ．96里

8．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ?=，则2122210log log log a a a +++=（）

A ．15

B ．10

C ．5

D ．3

9．数列{}n a 是等比数列，54a =，916a =，则7a =（） A ．8

B ．8±

C ．8-

D ．1

10．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.则数列()

{}

11n n n a a -+-的

前n 项的和为（）

A ．()23

82133n n +--

B ．()23

182155n n +---

C ．()2382133

n n ++-

D ．()23182155

n n +-+-

11．等比数列{}n a 中各项均为正数，n S 是其前n 项和，且满足312283S a a =+，

416a =，则6S ＝（）

A ．32

B ．63

C ．123

D ．126

12．已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则n T 的最大值为（） A ．152

B ．142

C ．132

D ．122

13．在数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，若513n a >，则n 的最小值是（） A ．9

B ．10

C ．11

D ．12

14．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()(

21n n n S a a n =+∈N

，且0n

>，记

数列{}

n a ?的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（）

A ．7

B ．8

C ．10

D ．11

15．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，344a a +=，则

5678a a a a +++=（）

A ．80

B ．20

C ．32

D ．

255

16．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（） A ．31

B ．32

C ．63

D ．64

17．已知等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q ，则5S 等于（）

A ．32

B ．31

C ．16

D ．15

18．在等比数列{}n a 中，首项11,2a =11

,,232

n q a ==则项数n 为（） A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

19．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a

14a =，则

m n +的最小值为（） A ．

B ．

C ．

D ．

116

20．已知等比数列{a n }中a 1010＝2，若数列{b n }满足b 1＝1

，且a n ＝1n n b b +，则b 2020＝（）

A ．22017

B ．22018

C ．22019

D ．22020

二、多选题21．题目文件丢失！

22．在数列{}n a 中，如果对任意*n N ∈都有

1n n n n

a a k a a +++-=-（k 为常数），则称{}n a 为等

差比数列，k 称为公差比.下列说法正确的是（） A ．等差数列一定是等差比数列 B ．等差比数列的公差比一定不为0

C ．若32n

n a =-+，则数列{}n a 是等差比数列

D ．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比

23．一个弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的

再落下.设它第n 次着地时，经过的总路程记为n S ，则当2n ≥时，下面说法正确的是（） A ．500n S < B ．500n S ≤

C ．n S 的最小值为

700

D ．n S 的最大值为400

24．已知1a ，2a ，3a ，4a 依次成等比数列，且公比q 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q 的值是（） A

．

-+ 25．若数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，则下列选项正确的为（） A ．数列{}n a 是等差数列

B ．2n

n a =

C ．数列{}2n

a 的前n 项和为2122

n +-

D ．数列11n n b b +??

?????

的前n 项和为n T ，则

1n T <

26．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，4n n b a =+，若数列{}n b 有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q 的值可以是（） A ．34

B ．23

C ．43

D ．32

27．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（） A ．数列2

{}n a 是等比数列 B ．若4123,27,a a ==则89a =± C ．若123,a a a <<则数列{}n a 是递增数列 D ．若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则r =-1

28．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（） A ．1a ，3a ，5a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列

D ．3a ，6a ，9a 成等比数列

29．已知数列是{}n a

是正项等比数列，且37

a a +

=，则5a 的值可能是（） A ．2

B ．4

C ．85

D ．

30．已知等比数列{}n a 中，满足11a =，2q ，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列说法正

确的是（）

A ．数列{}2n a 是等比数列

B ．数列1n a ??

???

是递增数列 C ．数列{}2log n a 是等差数列 D ．数列{}n a 中，10S ，20S ，30S 仍成等比

数列

31．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（）

A ．1

12n n n S S ++-=

B ．12n n

C ．21n

n S =- D ．1

21n n S -=-

32．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，22n n S a =-，若存在两项m a ，n a ，使得

64m n a a =，则（）

A ．数列{}n a 为等差数列

B ．数列{}n a 为等比数列

C ．22

212413

n a a a -++

D ．m n +为定值

33．定义在()(),00,-∞?+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，数列

(){}n

f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在

()(),00,-∞?+∞上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为（）

A ．()2f x x =

B ．()2x

f x =

C ．()f x =

D ．()ln f x x =

34．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（） A ．数列2

{}n a 是等比数列

B ．若32a =，732a =，则58a =±

C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列

D ．若数列{}n a 的前n 和1

3n n S r -=+，则1r =-

35．对于数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足1

n n n

b a a =-

（*n ∈N ），则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（） A ．若数列{}n a 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；

B ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最大值；

C ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最小值；

D ．若112n

n a ??=-- ???，则其“倒差数列”有最大值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等比数列选择题 1．B 【分析】

由5312a a a +=，解得q ，然后由414242212(1)111(1)11a q S q q q a q S q

---===+---求解. 【详解】

在等比数列{}n a 中，5312a a a +=，所以421112a q a q a +=，即42210q q +-=，解得2

q =

所以4142

42212(1)1311(1)12

1a q S q q q a q S q q

---===+=---，故选：B 【点睛】

本题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本运算，属于基础题, 2．C 【分析】

将已知条件整理为()()2

121328a q q q -+=，可得()

218

3221q q a q +=

-，进而可得

()44

7612249633221

q a a a q q q q +=+=-，分子分母同时除以4

q ，利用二次函数的性质即

可求出最值. 【详解】

因为{}n a 是等比数列，543264328a a a a +--=，

所以432

111164328a q a q a q a q +--=，

()()222

1232328a q q q q q ??+-+=??，即()()2

121328a q q q -+=，所以()

218

3221q q a q +=

-，

()()46

7611112

2124

82424

9696332321

2121q a a a q a q a q q q a q q a q q q +=+=+=?==---，

令

210t q =>，则()22

21211t t t q q -=-=--+，所以211t q

==，即1q =时2421

q q -最大为1，此时24

21q q -最小为24，所以7696a a +的最小值为24，故选：C 【点睛】

易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；

(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；

(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化. 3．C 【分析】

根据条件计算出等比数列的公比，再根据等比数列通项公式的变形求解出4a 的值. 【详解】

因为254,32a a ==，所以3

8a q a =

=，所以2q ，

所以2

424416a a q ==?=，

故选：C. 4．B 【分析】

根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】

因为各项不为0的等差数列{}n a 满足2

6780a a a -+=，

所以2

7720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；

又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，

所以3

3810371178b b b b b b b ===.

故选：B. 5．C 【分析】由*11()2n n a a n N +=

∈可知数列{}n a 是公比为2的等比数列，1

n n a =，得2(2)2n n n

n b n a λ

λ-=

=-，结合数列{b n }是单调递增数列，可得1n n b b +＞对于任意的*n N ∈*恒成立，参变分离后即可得解．

【详解】由*11

()2

n n a a n N +=

∈可知数列{}n a 是公比为2的等比数列，所以1111()222

n n n a -=

=， 2(2)2n n n

n b n a λ

λ-=

=- ∵数列{n b 是单调递增数列， ∴1n n b b +＞对于任意的*n N ∈*恒成立，即1

(12)2

(2)2n n n n λλ++->-，整理得：2

n λ+<

2λ∴＜，

故选：C. 【点睛】

本题主要考查了已知数列的单调性求参，一般研究数列的单调性的方法有：一、利用数列单调性的定义，由1n n a a +>得数列单增，1n n a a +<得数列单减；二、借助于函数的单调性研究数列的单调性. 6．B 【分析】

首先求得数列的通项公式，再运用等差数列的求和公式求得n T ，根据二次函数的性质的指数函数的性质可得选项.

设等比数列{}n a 为q ，则等比数列的公比41

4141328a q a -=

==，所以12

q =，则其通项公式为：1

16113222n n n n a a q ---??=?=?= ?

，

所以()

()

561154

622

n +n n n n n T a a

a ---==?==，

令()11t n n =-，所以当5n =或6时，t 有最大值，无最小值，所以n T 有最大项，无最小项. 故选：B. . 7．D 【分析】

由题意得每天行走的路程成等比数列{}n a 、且公比为1

，由条件和等比数列的前项和公式求出1a ，由等比数列的通项公式求出答案即可．【详解】

由题意可知此人每天走的步数构成

为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得611[1()]

2378

12a -=-，解得1192a =，∴此人第二天走1

192962

=里， ∴第二天走了96里，

故选：D ． 8．A 【分析】

根据等比数列的性质，由对数的运算，即可得出结果. 【详解】因为478a a ?=，则()()5

2212221021210110log log log log ...log a a a a a a a a ???=+

?++=

()2475log 15a a =?=.

故选：A. 9．A 【分析】

分析出70a >，再结合等比中项的性质可求得7a 的值.

设等比数列{}n a 的公比为q ，则2

750a a q =>，

由等比中项的性质可得2

75964a a a ==，因此，78a =.

故选：A. 10．D 【分析】

根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项，即可得到数列的通项公式，代入

()

11n n n a a -+-可知数列为等比数列，求和即可.

【详解】

因为公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =，

所以31121

208a q a q a q ?+=?=?，

解得2q

，12a =，

所以1222n n

n a -=?=，

()

111

1222111n n n n n n n n a a ++-+--+=??-=∴--，

()

{

}

11n n n a a -+∴-是以8为首项，4-为公比的等比数列，

()

8[1(4)]8222222

(1)1(4)155

n n n n n n S -++---∴=-+--+

+?==+---，故选：D 【点睛】

关键点点睛：求出等比数列的通项公式后，代入新数列，可得数列的通项公式，由通项公式可知数列为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可. 11．D 【分析】

根据等比数列的通项公式建立方程，求得数列的公比和首项，代入等比数列的求和公式可得选项. 【详解】

设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.∵312283S a a =+， ∴123122()83a a a a a ++=+，即321260a a a --=. ∴2

260q q --=，∴2q 或3

q =-（舍去），

∵416a =，∴4

2a a q =

=，

∴6616(1)2(12)

126112

a q S q --=

==--，故选：D. 12．A 【分析】

根据29T T =得到7

61a =，再由2121512a a a q ==，求得1,a q 即可.

【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ，

由29T T =得：7

61a =，故61a =，即5

11a q =. 又2

121512a a a q ==，

所以9

512

q =，故12

q =

，所以()()21112

123411...2n n n n n n n T a a a a a a q

--??=== ???

所以n T 的最大值为15

652T T ==.

故选：A. 13．C 【分析】

根据递推关系可得数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项

公式可得1

21n n a -=+，即求.

【详解】

因为121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，即

n n a a +-=-，所以数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列.

则112n n a --=，即1

21n n a -=+.

因为513n a >，所以121513n -+>，所以12512n ->，所以10n >. 故选：C 14．B 【分析】

由数列n a 与n S 的关系转化条件可得11n n a a -=+，结合等差数列的性质可得n a n =，再由错位相减法可得()1

2n n T n +=-?+，即可得解.

【详解】

由题意，()(

21n n n S a a n N

=+∈，

当2n ≥时，()11121n n n S a a ---=+，

所以()()11122211n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，

因为数列{}n a 单调递增且0n S >，所以110,10n n n n a a a a --+≠--=，即11n n a a -=+，当1n =时，()11121S a a =+，所以11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列，所以n a n =，

所以1231222322n n T n =?+?+?+???+?，

()23412122232122n n n T n n +=?+?+?+???+-?+?，

所以()()2

11212222222

212212

n n

n n n n T n n n +++--=++++???+-?=

-?=-?--，

所以()1

2n n T n +=-?+，

所以876221538T =?+=，9

87223586T =?+=，

所以2020n T >成立的n 的最小值为8. 故选：B. 【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是数列n a 与n S 关系的应用及错位相减法的应用. 15．A 【分析】

由条件求出公比q ，再利用前4项和和公比求5678a a a a +++的值. 【详解】

根据题意，由于{}n a 是各项均为正数的等比数列，

121a a +=，()234124a a q a a +==+，∴24q =，0q >，2q

则()()4

56781234161480a a a a q a a a a +++=+++=+=.

故选：A 16．C 【分析】

根据等比数列前n 项和的性质列方程，解方程求得6S . 【详解】

因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列，

所以()()242264S S S S S -=-，即()()62

153315-=-S ，解得663S =. 故选：C 17．B 【分析】

先求得首项，根据等比数列的求和公式，代入首项和公比的值，即可计算出5S 的值. 【详解】

因为等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q

，所以2

11a a q

=，又因为1111n

a q S q

，所以()551123112

S -=

=-.

故选：B. 18．C 【分析】

根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】

由题意可得等比数列通项5

111122n

n n a a q -????=== ? ?????

，则5n = 故选：C 19．B 【分析】

设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，由7652a a a =+，可得2

2q q =+，解得2

，

根据存在两项m a 、n a

14a =14a =，6m n +=．对m ，n 分类讨论即可得出．【详解】

解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，满足：7652a a a =+，

22q q ∴=+，

解得2q

，

存在两项m a 、n a 14

a =，

∴14a =，

6m n ∴+=，

m ，n 的取值分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，

则

14m n

+的最小值为143242+=．

故选：B ．

20．A 【分析】

根据已知条件计算12320182019a a a a a ????的结果为

2020

b b ，再根据等比数列下标和性质求解出2020b 的结果. 【详解】因为1

n n n

b a b +=

，所以3201920202020

12320182019123

201820191

b b b b b b a a a a a b b b b b b ????=

????

?=，因为数列{}n a 为等比数列，且10102a =，所以()()

()123

201820191201922018100910111010a a a a a a a a a a a a ???=??????

22019

201910101010

1010101010102a a a a a =???==

所以20192020

12b b =，又114

b =，所以201720202b =，故选：A. 【点睛】

结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若(

2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，

（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=；（2）当{}n a 为等比数列，则有2

m n p q t a a a a a ?=?=.

二、多选题 21．无

22．BCD 【分析】

考虑常数列可以判定A 错误，利用反证法判定B 正确，代入等差比数列公式判定CD 正确. 【详解】

对于数列{}n a ，考虑121,1,1n n n a a a ++===，21

1n n n n

a a a a +++--无意义，所以A 选项错误；

若等差比数列的公差比为0，21

2110,0n n n n n n

a a a a a a +++++---==，则1n n a a +-与题目矛盾，所

以B 选项说法正确；

若32n

n a =-+，

13n n n n

a a a a +++-=-，数列{}n a 是等差比数列，所以C 选项正确；

若等比数列是等差比数列，则1

1,1n n q a a q -=≠，

()()

11211111111111n n n

n n n n n n n a q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++--+---===---，所以D 选项正确.

故选：BCD 【点睛】

易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意：（1）常数列作为特殊的等差数列公差为0；（2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1. 23．AC 【分析】

由运动轨迹分析列出总路程n S 关于n 的表达式，再由表达式分析数值特征即可【详解】

由题可知，第一次着地时，1

100S =；第二次着地时，221002003

S =+?；

第三次着地时，2

32210020020033S ??

=+?+? ???；……

第n 次着地后，2

222100200200200333n n S -??

=+?+?+

+? ? ?

则2

1222210020010040013333n n n S --????

????

??=++++=+- ? ? ? ? ? ? ?????

???

，显然500n S <，又n S 是关于n 的增函数，2n ≥，故当2n =时，n S 的最小值为400700

10033

+=；综上所述，AC 正确故选：AC 24．AB 【分析】

因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ，分类讨论，即可得到答案【详解】

解：因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ， ①若删去2a ，则有3142a a a =+，得231112a q

a a q =+，即2321q q =+，整理得()()()2

111q

q q q -=-+，

因为1q ≠，所以21q q =+，因为0q >，所以解得q =

， ②若删去3a ，则2142a a a =+，得31112a q a a q =+，即3

21q q =+，

整理得(1)(1)1q q q q -+=-，因为1q ≠，所以(1)1q q +=，

因为0q >

，所以解得12

q -+=，

综上q =

或q =，

故选：AB 25．BD 【分析】

根据22n n S a =-，利用数列通项与前n 项和的关系得1,1

n n S n a S n =?=?≥?，求得通项n a ，然

后再根据选项求解逐项验证. 【详解】

当1n =时，12a =，

当2n ≥时，由22n n S a =-，得1122n n S a --=-，两式相减得：12n n a a -=，又212a a =，

所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以2n n a =，24n

n a =，数列{}2n

的前n 项和为()14144414

n n n

S +--'=

-，则22log log 2n

n n b a n ===，

所以()11111

n n b b n n n n +==-??++，

所以 1111111

(11123411)

n T n n n =-+-++-=-<++，故选：BD 【点睛】

方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()

11122

n n n a a n n S na d +-=

=+②等比数列的前n 项和公式()

11,1

1,11n

n na q S a q q q

=??=-?≠?

-?；

(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．

(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．

(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．

(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.

(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 26．BD 【分析】

先分析得到数列{}n a 有连续四项在集合{54-，24-，18，36，81}中，再求等比数列的公比. 【详解】 4n n b a =+ 4n n a b ∴=-

数列{}n b 有连续四项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中

∴数列{}n a 有连续四项在集合{54-，24-，18，36，81}中

又

数列{}n a 是公比为q 的等比数列，

∴在集合{54-，24-，18，36，81}中，数列{}n a 的连续四项只能是：24-，36，

54-，81或81，54-，36，24-.

∴363242

q ==--或2432

36q -=

=-. 故选：BD 27．AC 【分析】

根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D. 【详解】

设等比数列{}n a 公比为,(0)q q ≠

则2221

12(

)n n n n

a a q a a ++==，即数列2{}n a 是等比数列；即A 正确；因为等比数列{}n a 中4812,,a a a 同号，而40,a > 所以80a >，即B 错误；

若123,a a a <<则12

11101a a a q a q q >?<<∴?>?或1001a q

，即数列{}n a 是递增数列，C 正确；

若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则111221313231,2,6a S r r a S S a S S -==+=+=-==-= 所以32211

323(1),3

a a q r r a a =

==∴=+=-，即D 错误故选：AC

【点睛】

等比数列的判定方法

(1)定义法：若1

(n n

a q q a +=为非零常数)，则{}n a 是等比数列； (2)等比中项法：在数列{}n a 中，0n a ≠且2

12n n a a a a ++=，则数列{}n a 是等比数列；

(3)通项公式法：若数列通项公式可写成(,n

n a cq c q =均是不为0的常数)，则{}n a 是等比

数列；

(4)前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,1,n

n S kq k q q k =-≠≠为非零常数)，则

{}n a 是等比数列.

28．AD 【分析】

根据等比数列的定义判断．【详解】

设{}n a 的公比是q ，则1

1n n a a q -=，

A ．

23513

a a

q a a ==，1a ，3a ，5a 成等比数列，正确； B ，32a q a =，36

3a q a =，在1q ≠时，两者不相等，错误； C ．2

42a q a =，484a q a =，在21q ≠时，两者不相等，错误； D ．3

6936

a a q a a ==，3a ，6a ，9a 成等比数列，正确．故选：AD ．【点睛】

结论点睛：本题考查等比数列的通项公式．

数列{}n a 是等比数列，则由数列{}n a 根据一定的规律生成的子数列仍然是等比数列：如奇数项1357,,,,a a a a 或偶数项246,,,

a a a 仍是等比数列，

实质上只要123,,,,,n k k k k 是正整数且成等差数列，则123,,,,,

n k k k k a a a a 仍是等比

数列． 29．ABD 【分析】

根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出5a 的范围，即可得到所求．【详解】

解：依题意，数列是{}n a 是正项等比数列，30a ∴>，70a >，50a >，

∴2

373752323262a a a a a +

=，因为50a >，

所以上式可化为52a ，当且仅当3a =，7a = 故选：ABD ．【点睛】

本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力．属于中档题． 30．AC 【分析】由已知得1

n n

a 可得以21

n n a -=，可判断A ；又1

111122n n n a --??

== ?

，可判断B ；由

122log log 21n n a n -==-，可判断C ；求得10S ，20S ，30S ，可判断D.

【详解】

等比数列{}n a 中，满足11a =，2q

，所以12n n a ，所以2122n n a -=，所以数列

{}2n a 是等比数列，故A 正确；

又1

111122n n n a --??

== ???

，所以数列1n a ??

????是递减数列，故B 不正确；

因为1

22log log 2

1n n a n -==-，所以{}2log n a 是等差数列，故C 正确；

数列{}n a 中，101010111222

S -==--，202021S =-，30

3021S =-，10S ，20S ，30S 不成

等比数列，故D 不正确；故选：AC . 【点睛】

本题综合考查等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式，以及数列的单调性的判定，属于中档题. 31．BC 【分析】

先求得3a ，然后求得q ，进而求得1a ，由此求得1,,n n n n a S S S +-，进而判断出正确选项. 【详解】

由23464a a a =得33

34a =，则34a =．设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，由

2410a a +=，得4

410q q

+=，即22520q q -+=，解得2q

或1

2q =

．又因为数列{}n a 单调递增，所以2q

，所以112810a a +=，解得11a =．所以12n n

a ，

()

1122112

n n

n S ?-=

=--，所以()1

1212n n n n n S S ++-=---=.

故选：BC 【点睛】

本题考查等比数列的通项公式、等比数列的性质及前n 项和，属于中档题.

32．BD 【分析】

由n S 和n a 的关系求出数列{}n a 为等比数列，所以选项A 错误，选项B 正确；利用等比数列前n 项和公式，求出 12221

443n n

a a a +-++

+=，故选项C 错误，由等比数列的通项公式得到62642m n +==，所以选项D 正确. 【详解】

由题意，当1n =时，1122S a =-，解得12a =，当2n ≥时，1122n n S a --=-，

所以()111222222n n n n n n n a S S a a a a ----=-=---=，

所以1

n a a -=，数列{}n a 是以首项12a =，公比2q 的等比数列，2n n a =，

故选项A 错误，选项B 正确；数列{}2

a 是以首项214a

=，公比14q =的等比数列，

所以()

()211122

2121

141444114

n n n n

a q a a a q +-?--++

--，故选项C 错误； 6222642m n m n m n a a +====，所以6m n +=为定值，故选项D 正确.

故选：BD 【点睛】

本题主要考查由n S 和n a 的关系求数列的通项公式，等比数列通项公式和前n 项和公式的应用，考查学生转化能力和计算能力，属于中档题. 33．AC 【分析】

直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可. 【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q .

对于A ，则

211

12()()n n n n n n f a a a q f a a a +++??=== ???

，故A 是“保等比数列函数”；对于B ，则

11()22()2

n n n n a a a n a n f a f a ++-+==≠ 常数，故B 不是“保等比数列函数”；

对于C

，则

1()

()

n n f a f a +==

=，故C 是“保等比数列函数”；

对于D ，则

11ln ln ln ln ln ()1()ln ln ln ln n n n n n n n n n

a a q a q

q f a f a a a a a ++?+====+≠ 常数，故D 不是“保等比数列函数”. 故选：AC. 【点睛】

本题考查等比数列的定义，考查推理能力，属于基础题. 34．AC 【分析】

在A 中，数列{}

n a 是等比数列；在B 中，58a =；在C 中，若123a a a <<，则1q >，

数列{}n a 是递增数列；在D 中，13

r =-. 【详解】

由数列{}n a 是等比数列，知：在A 中，

22221n n a a q -=，

22221122221n

n n n a a q q a a q

+-∴==是常数， ∴数列{}

2n a 是等比数列，故A 正确；

在B 中，若32a =，732a =

，则58a =，故B 错误；

在C 中，若1230a a a <<<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；若1230a a a <<<，则

01q <<，数列{}n a 是递增数列，故C 正确；

在D 中，若数列{}n a 的前n 和1

3n n S r -=+，

则111a S r ==+，

()()221312a S S r r =-=+-+=， ()()332936a S S r r =-=+-+=，

1a ，2a ，3a 成等比数列， 2213a a a ∴=，

()461r ∴=+，

解得1

r =-

，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】

等比数列测试题 百度文库

等比数列测试题百度文库