理想在环中的作用
一元多项式环的极大理想
一元多项式环的极大理想一元多项式环是代数学中的重要概念，它在代数、数论、几何等领域都有广泛应用。
而其中的极大理想更是这个环中的重要元素，具有深远的理论和实际意义。
首先，我们来看一看一元多项式环的定义。
一元多项式环指的是一组多项式的集合，其中每个多项式都可以表示为一个变量乘以一些常数的和。
例如，多项式环中的一个元素可以写作f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0，其中a_i是常数，x是变量，n是一个非负整数。
这样的环可以表示为R[x]，其中R是常数环。
在一元多项式环中，极大理想是一类特殊的理想。
理想是指包含于环中的子集，对于环中的元素的加法和乘法都满足封闭性。
而极大理想则是指在所有包含此理想的真理想中，没有其它真理想能包含它。
换句话说，极大理想是最大的真理想，不再包含于任何其他真理想中。
极大理想在一元多项式环中具有许多重要的性质。
首先，一元多项式环中的极大理想都是主理想，即由某个元素生成的理想。
这使得对极大理想的研究变得更加简单和直观。
另外，极大理想在环的结构和性质的研究中具有重要的指导意义。
通过研究一元多项式环中的极大理想，可以得到该环的一些重要的性质和结构信息。
例如，可以推导出环的维数和高度等重要概念，进一步研究环的代数性质。
此外，极大理想也与环的素理想和主理想之间的关系有着密切的联系。
极大理想还在现代数学的许多领域中有广泛应用。
在代数几何中，通过研究一元多项式环中的极大理想，可以得到曲线的切线和切点的信息。
在代数数论中，极大理想与数域的无理数、勒让德符号等有着紧密的联系。
在编码理论中，极大理想有着重要的应用，用于构造纠错码和检错码等。
综上所述，一元多项式环的极大理想是代数学中重要的研究对象，具有深远的理论和实际意义。
通过对极大理想的研究，不仅可以深入理解环的性质和结构，还可以在代数几何、代数数论、编码理论等领域中产生重要的应用。
因此，在代数学的学习和研究中，极大理想是不可或缺的内容之一。
环术中的素理想是什么？
环术中的素理想是什么？一、环术概述与背景环术，指的是为了保护环境资源、推动可持续发展而实施的一系列技术和方法。
在当今人类面临日益严峻的环境问题的同时，环术作为一种具有广泛应用前景的技术手段，其所追求的素理想正逐渐成为全球关注的焦点。
二、环术中的素理想1. 绿色发展理念：环术中的素理想倡导以绿色发展理念为指导，实现经济增长与环境保护的良性循环。
传统经济发展模式中对资源的过度开采和环境的破坏已经导致了严重的生态危机，而环术中的素理想则通过各种技术与创新方法，推动经济的高效使用资源，减少污染物的排放，实现经济增长与环境保护的双赢。
2. 可持续能源利用：环术中的素理想致力于推动可持续能源的广泛利用。
传统能源的开采和利用方式对环境造成了巨大的压力，而可持续能源，如太阳能、风能、水能等清洁能源，不仅不会排放污染物，还能源源不断地提供能源，实现能源的可持续发展。
环术中的素理想通过改进和推广可持续能源技术，为人类提供更可持续的能源选择。
3. 循环经济模式：环术中的素理想呼吁建立循环经济模式，实现资源的高效利用和节约。
循环经济将资源的采集、生产、消费和废弃物的处理过程相互关联起来，实现资源的最大化利用和循环利用。
通过环术中的素理想，人们可以更好地发挥废物资源的潜力，减少资源的浪费，降低环境的负担。
4. 生态文明建设：环术中的素理想追求人与自然和谐共生的生态文明建设。
在经济发展的同时，环术中的素理想强调生态环境的保护与修复，推动生态恢复与经济发展相协调。
通过生态文明建设，人们可以实现与自然的和谐共生，建设可持续发展的社会。
5. 意识觉醒与行动：环术中的素理想教育人们应当始终保持环境意识，积极履行环境责任，并通过行动推动社会的环保进步。
环术中的素理想通过科普教育、公益活动等形式，加强人们对环境保护的认识，激发环保意识，促使人们形成环境友好的行为习惯。
三、结语环术中的素理想是人类面对严峻的环境挑战所追求的目标。
通过绿色发展理念、可持续能源利用、循环经济模式、生态文明建设以及意识觉醒与行动，我们可以为实现环境保护作出积极的贡献。
素理想分解定理 -回复
素理想分解定理-回复素理想分解定理（Prime Ideal Theorem）是代数学中一个重要的基本定理。
该定理给出了任意一个交换环中理想的素理想分解的存在性和唯一性。
本文将详细介绍素理想分解定理，并逐步回答相关问题。
一、什么是理想？在代数学中，一个环R是指一个集合，其中定义了两个二元运算：加法和乘法，并满足以下条件：1. R关于加法构成一个阿贝尔群，其中加法单位元为0。
2. R关于乘法构成一个半群，即乘法满足结合律。
对于环R中的元素a和b，我们定义它们的和a+b和它们的积a·b。
若R中的一个非空子集I对R的加法和乘法封闭，即对于任意的a，b∈I，有a+b∈I，a·b∈I，则称I为环R的一个理想。
简而言之，理想是环中的一个子集，对加法和乘法封闭。
二、什么是素理想？在一个环R中，若一个非空理想P满足以下条件：1. 对于任意的a，b∈R，如果a·b∈P，则a∈P或b∈P。
2. 加法单位元0∉P。
则称P为环R的一个素理想。
三、什么是素理想分解定理？给定一个环R的理想I，素理想分解定理指出，存在一个素理想的集合S，使得I是S的交。
形式化地说，对于环R的任意理想I，存在素理想P1，P2，...，Pn，使得I=P1∩P2∩...∩Pn。
此外，如果存在另一个素理想的集合S'，使得I=P'1∩P'2∩...∩P'm，则n=m，并且可以重新排列S'中的素理想，使得P'i=P'i，其中i=1，2，...，n。
简单地说，理想I可以表示成一些素理想的交，且这个表示方式是唯一的。
四、素理想分解定理的证明我们来逐步证明素理想分解定理的存在性和唯一性。
首先，给定一个理想I，我们考虑R的所有I-可凑素理想的交的形式。
这些I-可凑素理想是满足以下条件的素理想P：1. P包含I2. 如果a，b∈R都满足a·b∈P，则a∈P或b∈P。
我们断言，这样的素理想集合非空。
环和交换环
环和交换环全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：环和交换环是代数学中的重要概念，对于代数结构的研究有着重要的意义。
环是一个广泛研究的数学结构，满足一定条件的代数系统通常可以被看作是环的某种特例。
而交换环是一种特殊的环，其乘法运算满足交换律。
在代数学中，环和交换环是重要的基础概念，对于理解代数结构和代数运算起着关键的作用。
首先我们来看一下环的定义。
环是一个集合，其上定义了加法和乘法两种二元运算，并且满足以下条件：对于任意的a、b、c∈R（R为环），满足加法封闭性、加法结合律、加法交换律、存在加法单位元素、存在加法逆元素、乘法封闭性、乘法结合律和分配律等八个性质。
这些性质保证了环是一个良好定义的代数结构，可以进行有意义的代数运算。
而交换环是一个乘法交换的环，即乘法满足交换律。
这使得交换环在一些代数运算中更加简单和方便，也有助于简化一些运算的证明。
许多我们熟悉的代数结构，比如整数环（Z）、有理数环（Q）、实数环（R）和复数环（C）等，都是交换环。
在代数学的研究中，交换环是一个非常重要的研究对象，具有广泛的应用价值。
环的研究不仅仅局限于基本的定义和性质，还扩展到了更为深入和抽象的层面。
比如理想（ideal）是环中一个附加的子集合，满足对环的加法和乘法封闭性，并且满足左右吸收律。
理想是环的一个重要概念，可以帮助我们理解环的结构和性质。
环同态（ring homomorphism）和环同构（ring isomorphism）也是环研究中的重要概念，它们描述了环之间的映射和一一对应关系。
环同态和环同构是研究环之间关系的重要工具，有助于我们理解环的结构和性质。
环论（ring theory）作为代数学的一个分支，研究的内容非常广泛，涉及到代数结构、理想、同态、同构、模论等众多重要概念。
环论不仅在抽象代数学中有重要应用，而且在许多其他数学领域，比如几何学、数论、代数拓扑学等都有广泛的应用。
环论的发展不仅推动了代数学的发展，也对整个数学领域起着积极的促进作用。
一元多项式环的理想之和
一元多项式环的理想之和
一元多项式环是一种由多项式构成的环，其中每个元素都可以表示为一个多项式。
在这种环中，理想是一组多项式的集合，这些多项式在某种意义下可以看作是“观察”到的某种关系。
理想之和是指将多个理想结合起来得到的理想集合，下面我们来详细探讨一元多项式环的理想之和。
一、定义
在一元多项式环中，设有两个理想I和J，它们的和I+J定义为：
I+J={f+g|f∈I,g∈J}
其中f+g表示将f和g的系数相加得到的多项式。
可以证明，I和J的生成元都属于I+J，同时I+J也是一个理想。
二、性质
1. 理想之和仍然是一个理想，具有封闭性和加法性。
2. 如果一个多项式f同时属于I和J，则f也属于I+J，因为f=f+0，其中0属于J。
3. 如果一个多项式f属于I+J，则它可以写成f=f1+f2，其中f1属于I，
f2属于J。
因此，理想之和的元素可以分解成两个原始理想的元素的和。
三、例子
例如，设I=<x>和J=<x^2>是一元多项式环K[x]中的两个理想。
那么
I+J=<x,x^2>表示由所有的一次和二次多项式构成的理想，其中x和
x^2都属于I+J，因为它们都是I和J的生成元。
四、结论
在一元多项式环中，理想之和是一个重要的概念，它可以帮助我们描
述和分析多项式环中元素之间的关系。
对于K[x]中的任意两个理想I
和J，它们的和I+J都是一个理想，并且可以看作是I和J的所有生成
元的集合。
交换环的极大理想 可逆元
交换环的极大理想 可逆元
在交换环中，讨论极大理想和可逆元是环论中的基本概念。
极大理想：
定义： 设 R 是一个环，I 是 R 的一个真理想，如果对于 R 中的任何真理想 J，都有 I ⊆ J 或 J = R，则称 I 是 R 的一个极大理想。
性质： 极大理想是真理想的极大元，不包含于其他真理想。
可逆元：
定义： 在环 R 中，如果存在元素 a 和 b，使得 ab = ba = 1，则称 a 是 R 的可逆元，而 b 就是 a 的逆元。
性质： 可逆元在环的运算中扮演着类似于分数的角色，因为它们有左逆元和右逆元。
在交换环中，有一个有趣的结论是：
极大理想与可逆元的关系：
定理： 设 R 是一个交换环，I 是 R 的一个真理想。
则 I 是极大理想当且仅当 R/I 是一个域。
证明大致思路：
如果 I 是 R 的一个极大理想，那么 R/I 是一个整环（没有零因子），进一步证明 R/I 中的非零元素都是可逆元，从而 R/I 是一个域。
反之，如果 R/I 是一个域，那么 R/I 的唯一真理想就是零理想，通过逆映射回 R 中，得到 R 的一个极大理想。
这个定理揭示了极大理想和域的联系，表明在交换环中，极大理想的研究与域的性质密切相关。
矩阵环中的理想
矩阵环中的理想张姗梅;刘耀军【摘要】讨论环R上的全矩阵环,上三角形矩阵环以及对角矩阵环的理想,建立环R 的理想与这些环的理想之间的对应关系.并给出模n的剩余类环Zn上的全矩阵环,上三角形矩阵环以及对角矩阵环的所有理想.【期刊名称】《太原师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(012)001【总页数】4页(P17-20)【关键词】理想;环;商环;矩阵环;模n的剩余类环【作者】张姗梅;刘耀军【作者单位】太原师范学院数学系,山西太原030012;太原师范学院计算机系,山西太原030012【正文语种】中文【中图分类】O153.3利用一个环的理想，可以构造出新的环——商环.并且一个环R的商环穷尽了R的满同态像:商环是满同态像，满同态像就是商环[1].这样，一个环R和其他环的关系在一定意义下归结为R与其商环的关系，即环R与外部世界的关系归结为环R自身的内部结构.商环在一定程度上继承了原环的一些性质，同时也产生了一些新的特点.如果对环的理想添加一些不同的限制，就有可能构造出具有不同性质的环来.当然，首要问题是，弄清楚环的所有理想.本文就常见的矩阵环讨论了这个问题.设R是一个环，n是正整数.则R上全体n阶矩阵，全体n阶上三角形矩阵以及全体n阶对角矩阵，对于矩阵的普通加法和乘法分别作成环Mn（R），MΔn（R），Mdn（R）.分别称Mn（R），MΔn（R），Mdn（R）为环R上的全矩阵环，上三角形矩阵环[2]和对角矩阵环.定义[3] 设R是一个环，I是R的非空子集，如果I满足1）对任意的r1，r2∈I，r1－r2∈I；2）对任意的r∈I，s∈R，rs，sr∈I.则称I为环R的一个理想.引理1[4] 设R 是一个环，I是R 的理想.则 Mn（I）是 Mn（R）的理想.引理2[4] 设R 是一个环，M 是Mn（R）的理想.令则I是R的理想.引理3 设R是一个有单位元的环，M是Mn（R）的理想.则存在R的理想I，使M＝Mn（I）证明由引理2，I＝｛a∈R｜存在A＝（aij）∈M，a11＝a｝是R 的理想.下证 M ＝Mn（I）.记Eij为（i，j）元素是单位元1，其余元素全为零元0的n阶方阵.任取A＝（aij）∈M，则E1iAEj1∈M，且E1iAEj1的（1，1）元素为aij，由I的构造知ai j∈I，从而A＝（aij）∈Mn（I），因此 M⊆Mn（I）.另一方面，任取X＝（xij）∈Mn（I），则xij∈I，因而存在Y＝（yij）∈M，使得y11＝xij，于是xijEij＝Ei1YE1j∈M，从而X＝（xij）＝∑xijEij∈M，故Mn（I）⊆M.因此 M＝Mn（I）.由引理1，引理3可得定理1 设R是一个有单位元的环，则Mn（R）的全部理想为Mn（I），这里I是环R的理想.注若R没有单位元，则如上结论不成立.例:设R是偶数环，I是由所有整数4r（r是整数）所作成的R的理想.则引理4 设Iij（1≤i≤j≤n）是环R的理想，且对任意i≤m≤l≤j有Iml⊆Iij.则是R上的上三角形矩阵环（R）的理想.证明任取A＝（aij），B＝（bij）∈M，则i＞j时aij＝0，bij＝0，1≤i≤j≤n时aij，bij∈Iij.于是i＞j时aij－bij＝0，1≤i≤j≤n时aij－bij∈Iij，从而A－B＝（aij －bij）∈M.再任取K＝（rij）∈（R），则k＞j时rkj＝0.从而有i＞j时1≤i≤j≤n时，由aij∈Iij及对任意i≤m≤l≤j有Iml⊆Iij知于是AK＝（cij）∈M，KA＝）∈M.因此M是（R）的理想.引理5 设R是一个有单位元的环，M是（R）的理想.则存在R的理想Iij（1≤i≤j≤n）使对任意i≤m≤l≤j有Iml⊆Iij且证明令Iij＝｛a∈R｜存在A＝（aij）∈M 使a＝aij｝（1≤i≤j≤n）.若a，b∈Iij，则存在A＝（aij），B＝（bij）∈M使a＝aij，b＝bij.于是A－B＝（aij－bij）∈M，a－b＝aij－bij因此a－b∈Iij.任取r∈R，则rE∈MΔn（R）.于是因ra＝raij，ar＝aijr，所以ra，ar∈Iij.从而Iij是R 的理想.又对任意i≤m≤l≤j，设c∈Iml，则存在A＝（aij）∈M使aml＝c.于是由Eim，Elj∈（R）知故c∈Iij.从而Iml⊆Iij.下证（1）成立，用M′表示（1）右端的集合.任取A＝（aij）∈M，则aij∈Iij（1≤i≤j≤n）.于是A∈M′，M⊆M′.另一方面，若A＝（aij）∈M′，则aij∈Iij（1≤i≤j≤n），因此存在相应矩阵Y＝（yij）∈M，使得yij＝aij，于是aijEij＝yijEij＝EiiYEjj∈M，从而，故M′⊆M.因此M ＝M′.由引理4，引理5可得定理2 设R是一个有单位元的环，则Mn（R）的全部理想为其中Iij是R的理想，且满足对任意i≤m≤l≤j有Iml⊆Iij.类似引理4，引理5的证明，可得:引理6 设R 是一个环，Ii（i＝1，2，…，n）是R 的理想.则是R上对角矩阵环（R）的理想.反之，设M 是（R）的理想，则存在R的理想Ii，i＝1，2，…，n使M＝由引理6可得:定理3 设R是一个环，则（R）的全部理想为其中Ii是R的理想.定理4 令dZn＝｛dr｜r∈Zn｝[5]，则模n的剩余类环Zn 的所有理想为dZn，其中d＝0或d｜n，1≤d＜n.证明先证dZn 是Zn 的理想.任取a，b∈dZn，r∈Zn，则a＝dr1，b＝dr2（r1，r2∈Zn）.于是a－b＝dr1－dr2＝d（r1－r2）∈dZn；ra＝ar＝（dr1）r＝d（r1r）∈dZn.dZn 是Zn 的理想.又设I是Zn 的任一理想，则[0]∈I.如果I＝｛[0]｝，则取d＝0，有I＝dZn.如果I≠｛[0]｝，令d是使得[d]∈I的最小正整数，则1≤d＜n且对任意[q]∈Zn 有d[q]＝[dq]＝[d][q]∈I.因此dZn⊆I.另一方面，若[b]∈I，设b＝dq＋r（0≤r＜d），则r＝b－dq，从而[r]＝[b－dq]＝[b]－[dq]＝[b]－[d][q]∈I.但d是使得[d]∈I的最小正整数，故r＝0.这样b＝dq（因此d｜b），从而[b]＝[dq]＝d[q]∈dZn，因此I⊆dZn.故I＝dZn.并且由上证明知若[b]∈I，则d｜b.因此由[n]＝[0]∈I得d｜n.定理5 设Zn是模n的剩余类环，则1）Mm（Zn）的全部理想为Mm（dZn），其中d＝0或d｜n，1≤d＜n.2（Zn）的全部理想为其中dij＝0或dij｜n，1≤dij＜n且对任意i≤m≤l≤j有dij｜dml.3）（Zn）的全部理想为｝，其中di＝0或di｜n，1≤di＜n.证明根据定理1，定理2，定理3，由定理4可得.例模2的剩余类环Z2上的上三角矩阵环MΔ3（Z2）的全部理想为参考文献:[1]刘绍学.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社，1999[2]吴毅清.矩阵环的理想[J].怀化学院学报，2004，23（2）:1－3[3]韩士安，林磊.近世代数[M].北京:科学出版社，2004[4]苏忍锁.环R 上的矩阵环Mn（R）的理想[J].宝鸡文理学院学报（自然科学版），2002，22（2）:115－117[5]张翔.例说剩余类的理想求法以及剩余类方程的解法[J].遵义师范学院学报，2009，11（1）:70－72。
环的同态映射
环的同态映射在代数学中，环是一种重要的代数结构，它由一个非空集合和两个运算（加法和乘法）组成。
同态映射是保持运算结构的映射，它在环论中起着重要的作用。
本文将介绍环的同态映射及其性质，以及同态映射在环论中的应用。
一、环的定义与性质环是一个满足特定条件的代数结构。
一个环由一个非空集合R和两个二元运算“+”和“·”组成，满足以下条件：1. R关于“+”构成一个交换群；2. R关于“·”满足结合律；3. R关于“·”满足分配律。
在环中，加法运算“+”是交换的，且存在一个零元素0，使得对于任意元素a，有a+0=0+a=a。
乘法运算“·”不一定是交换的，但满足结合律。
同时，环中的乘法也满足分配律，即对于任意元素a、b、c，有a·(b+c)=a·b+a·c。
二、同态映射的定义与性质同态映射是保持运算结构的映射，它将一个环映射到另一个环，并保持环的加法和乘法运算。
具体地说，设有两个环R和S，它们的加法运算分别为“+R”和“+S”，乘法运算分别为“·R”和“·S”。
若存在一个映射f：R→S，满足以下条件：1. 对于任意元素a、b∈R，有f(a+b)=f(a)+f(b)；2. 对于任意元素a、b∈R，有f(a·Rb)=f(a)·Sf(b)；则称f为从环R到环S的同态映射。
同态映射保持了环的加法和乘法运算，即通过同态映射，环R中的运算结果在环S中保持不变。
同态映射还具有以下性质：1. 同态映射保持零元素：对于任意元素a∈R，有f(0R)=0S；2. 同态映射保持乘法单位元：对于任意元素a∈R，有f(1R)=1S；3. 同态映射保持逆元素：对于任意元素a∈R，有f(-a)=-f(a)；4. 同态映射保持子环：若R中存在一个子环H，那么S中存在一个子环f(H)。
三、同态映射的应用同态映射在环论中有广泛的应用。
以下是同态映射的几个典型应用：1. 同态核与同态定理：同态核是同态映射的一个重要概念，它是使得同态映射为零的元素的集合。
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DOI: 10.12677/pm.2020.103031
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理论数学
张翻红，姚淑霞
称 N 为 R 的子环，记作 N ≤ R 。 特别的，我们把一个阶为素数的零乘环叫做素阶零乘环。 定理(子环的判定定理) [9]：一个环 R 的一个不空子集 N 作成 R 的一个子环的充要条件是： (i) a,b ∈ N ⇒ ab ∈ N ； (ii) a ∈ N ⇒ a−1 ∈ N ； 推论：一个环 R 的一个不空子集 N 作成 R 的一个子环的充要条件是： ∀a,b ∈ N ⇒ ab−1 ∈ N. 为方便叙述，常用符号 R 表示环 R 的阶。
Function of Ideal in Ring
Fanhong Zhang, Shuxia Yao* School of Mathematics, Lanzhou City University, Lanzhou Gansu
Received: Feb. 24th, 2020; accepted: Mar. 10th, 2020; published: Mar. 17th, 2020
Keywords
Ring, Field, Homomorphism, Ideal
理想在环中的作用
张翻红，姚淑霞* 兰州城市学院(数学学院)，甘肃 兰州
收稿日期：2020年2月24日；录用日期：2020年3月10日；发布日期：2020年3月17日
摘要
理想在环中的作用与不变子群在群论中的作用相仿。不变子群在群论中起着非常重要的作用，是群的同 态与同构相关结论获得的前提和基础。本文通过类比不变子群在群论中的作用，分析了理想对刻画环的 性质所起的重要作用，阐明了理想的性质在决定环的同态与同构关系中的重要性，进一步说明了如何利 用理想来构造有限域，进而建立数域上的同态及同构关系。
Pure Mathematics 理论数学, 2020, 10(3), 235-243 Published Online March 2020 in Hans. /journal/pm https:///10.12677/pm.2020.103031
任何一门学科，就其本质来说，关键的内容、核心的概念，往往就不过那么几条；而发挥出来，就 成了洋洋大观的巨著。理解了这些核心和关键，并通过严格的训练将其真正学到手，就掌握了这门课程 的精髓，就能得心应手地加以应用和发挥，也就达到了学习这门课程的目的，并为培养创新人才打下了 基础。近世代数也不例外，要让学生把主要的精力集中在那些最基本、最主要的内容上，真正学深学透， 一生受用不尽。同时，任何一门学科的产生与发展，都离不开外界的推动，数学也是如此。19 世纪关于 实数域的扩张和分类的研究使得环论应用而生，直到今天，理想这个威力无比的武器仍在各方面不断发 挥着重要的作用。这不仅为近世代数增添了色彩，而且也为近世代数以后的发展提供了丰富的原材料。 再次，任何一门课程的内容不应该是故步自封的，而应顺应时代的发展和科技的进步。学习的目的在于 应用。只有将所学知识与现实生活联系起来并加以应用，才能够发挥数学的威力。19 世纪初，见证了纯 数学向抽象代数学的变化。以 18 世纪末的方程的可解性研究为开端，到 19 世纪 40 年代，虽然那个时候 还没有完全弄清楚群，但群的概念已明显地出现在多个独立的数学领域(包括置换理论)。由于对规律的渴 求以及对新概念的需求，到 20 世纪我们有了对群的本质属性的公理化。走在这场变革前沿的有 3 个人分 别是：Evariste Galois (方程可解性的先锋)；Augustin-Louis Cauchy (置换理论的奠基人)；Arthur Cayley (把 群抽象化的先驱)。自从 1968 年 A.L. Kostrikin 的相关文章发表以后，模李代数(即素特征域上的李代数) 的研究有了长足的发展，经过多位数学家几十年的共同努力，特别是 H Strade 的杰出工作，最终于 1989 年完成了特征数大于 7 的代数闭域上单的有限维李代数的分类。至今，模李代数已经有了丰富的理论[4]。
DOI: 10.12677/pm.2020.103031
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理论数学
张翻红，姚淑霞
近世代数又名抽象代数，它是近代数学的基础学科。近世代数主要研究对象是具有代数运算的集合 所做成的代数系统中元素之间的关系，从而将其推广到普通意义下的群、环、域中。环作为带有两个代 数运算中最简单的一例，自然成为我们主要的研究对象。通过理想的若干等价命题能够帮助我们快速找 到环中元素之间的关系，从而能够大大减少繁琐的证明过程。加深学生对知识的理解和掌握。不变子群 是近世代数中为数不多的重要概念之一，熟练应用不变子群的性质有利于我们对群论产生更直观、更简 明的认识和了解。那么，理想对环论而言，又起着怎样的重要意义，理想本身的特殊性质又会带给我们 怎样的学习体会？这将是本论文要解决的主要问题。近世代数又名抽象代数，它是近代数学的基础学科。 近世代数主要研究对象是具有代数运算的集合所做成的代数系统中元素之间的关系，从而将其推广到普 通意义下的群、环、域中。为培养学生良好的逻辑思维能力。环作为带有两个代数运算中最简单的一例， 自然成为我们主要的研究对象。通过理想的若干等价命题能够帮助我们快速找到环中元素之间的关系， 从而能够大大减少繁琐的证明过程。加深学生对知识的理解和掌握。
进一步利用子群 H 的陪集 H 得到一个不变子群 N；紧接着，将不变子群 N 的所有左(右)陪集找出来 构成集合 G/N 表示；最后，将 G/N 中元素所在的类找出来，做成一个剩余类记为 G 。这样，我们得到了 以下结论：
2. 不变子群在群论中的作用
我们知道，群论是近世代数的基础，下面对群论中的相关理论做一个简单的介绍，并以此为依据引 出理想在环论中的重要应用。
在群论的研究中，由一个群 G 获得一个相应的商群的思路是：首先，找到群 G 的一个非空子集 S， 进一步由非空子集 S 作成子群 H；再做子群 H 的陪集：
= H H= a {h a | h ∈ H};
定义 3 [7] 理想(Ideals)：设 N 是环 R 的一个子加群，即对 N 中任意元素 a,b ， a − b 仍属于 N。
如果还满足：
∀r ∈ R, a ∈ N ⇒ ra ∈ N.
则称 N 是环 R 的一个左理想；并称 N 满足左吸收率。
如果：
∀r ∈ R, a ∈ N ⇒ ar ∈ N.
则称 N 是环 R 的一个右理想；并称 N 满足右吸收率。
如果 N 即是环 R 的左理想，又是环 R 的右理想，则称 N 是环 R 的一个双边理想，简称理想(Ideals)。 并用符号 N R 表示。
定义 4 [8] 商环(Quotient Ring)：设 µ 是 R 的一个理想， R µ 表示 µ 的所有左(右)陪集构成的集合， 则 R µ 关于集合的乘法构成一个环，称其为 R 关于 µ 的商环，记为 R µ 。
a (b + c) = ab + ac, (b + c) a = ba + ca.
则称 R 对这两个代数运算做成一个环。
定义 2 [6] 除环(Division ring)：一个环 R满足：
1) R 至少包含一个不等于零的元；
2) R 中有一个单位元；
3) R 的每一个不等于零的体)；一个可交换的除环叫做域。
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1. 引言
1.1. 研究背景
《近世代数》课程主要研究的对象是代数系统，也就是带有运算的集合。群是带有一个运算的代数 系统，而环和域是带有两个运算的代数系统。环论起源于 19 世纪关于实数域的扩张和分类的研究。19 世纪早期到 20 世纪二三十年代形成严谨的结构化体系。对环论历史研究，进行不同角度的考察。从思想 史角度探讨环论概念的发展，掌握环论与其他相关分支和学科之间的关系，认识在环论发展过程中起主 导作用的集合论、公理化、抽象化、结构化等思想[1] [2]。后来在魏得邦(J∙H∙M∙Wedderburn)、诺特(A∙ E∙Noether)、阿廷(E∙Artin)、雅各布森(N∙Jacobson)等人的不懈努力下，环论的研究不断发展，日渐完善， 现已成为代数学研究的一个重要分支[3]。环论的另一起源是代数数论、代数几何学及它们综合而产生的 交换环理论。1871 年戴德金(Daidkin)首先引进了理想的概念，开创了理想理论。而环这个名词首先出现 在希尔伯特的数论报告中。同时代数几何学的研究也促使希尔伯特证明多项式环的基本定理。在本世纪 初英国数学家腊斯克(E∙Lasker, 1868~1941)及麦考莱(F∙S∙Macaulay, 1862~1937)对于多项式环得出了分 解定理。对于交换环的一般研究来源于 E·诺特(A∙E∙Noether)，他对一般诺特环进行了公理化阐述，并 证明了准素分解定理，从而奠定交换环论乃至抽象代数学基础，其后克鲁尔(W∙Krull, 1899~1971)给出系 统的研究，他还引进了最值得注意的局部环。四十年代，薛华荔、柯恩(I∙S∙Cohen, 1917~1955)及查瑞斯 基(O∙Zariski, 1899~1986)对局部环论进行了系统的研究[4]。
Abstract
The role of ideal in ring is similar to the invariant subgroup in group theory. Invariant subgroup plays a very important role in group theory, and is the premise and basis for the conclusion of group homomorphism and isomorphism. This paper analyzes the important role of ideals in characterizing the properties of rings by means of the function of analogous invariant subgroups in group theory, expounds the importance of the properties of ideals in determining the homomorphism and isomorphism of rings, and further illustrates how to construct finite fields by means of ideals, and then establish the homomorphism and isomorphism relations over number fields.