垂径定理及圆心角定理的应用
垂径定理
垂径定理、圆心角、圆周角一、重难点（一）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）PS:几何语言表达①CD 是直径 ②CD ⊥AB⇒③AM=BM ④AC=BC ⑤AD=BDPS: 其中任意两个成立，其他三个都成立Eg:CD 是直径，AM=BM ，则有CD ⊥AB,AC=BC,AD=BD1.如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为a ，b 。
求证：A D B D a b·=-22A C E D BO2.如图所示，以O 为圆心，∠AOB ＝120°，弓形高ND ＝4cm ，矩形EFGH 的两顶点E 、F 在弦AB 上，H 、G 在AB ⋂上，且EF ＝4HE ，求HE 的长。
DH M GA BO E F N3.如图，⊙O 的两弦AB ，CD 互相垂直于H ，AH ＝4，BH ＝6，CH ＝3，DH ＝8，求⊙O 半径。
CA H BOD4.为圆O 的直径，C 在圆O 上，∠ABC 的平分线交圆O 于D ，交CA 于E ，已知BC=6，AC=8，求CD 的长。
OA BC DEC DA B M5.为圆O 的直径，割线l 交圆O 于M 、N ，AC ⊥l ，且交圆O 于E ，BD ⊥l 于D ，若AB=10，AC=7，BD=1，求OC 的长。
6.如图所示，在圆⊙O 内有折线OABC ，其中OA ＝8，AB ＝12，∠A ＝∠B ＝60°，则BC 的长为7.AB 是直径，CD 是弦，AF ⊥CD 于F ，BE ⊥CD 于E（1）求证：CE=DF （2）若AF=32，BE=8，求点O 到CD 的距离。
OAC D B EF归纳总结：在圆内，关于弦的问题，常需要经过圆心作弦的垂线，利用弦心距、半径、弦长的一半构建直角三角形， 将问题转化为直角三角形的问题（二）圆心角、圆周角定理：在等圆或同圆中，等弧（同弧）所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角一半。
垂径定理
∟
其对称轴是什么?
（2）你能发现图中有哪些 等量关系？说一说你的理由.
垂径定理的逆定理：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的弧.
符号语言：
∵AM＝MB CD为⊙O的直径
∴CD⊥AB
⌒ ⌒ ，AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD
⌒， 例：如图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ⌒ 的圆心)，其中CD=600m，E为CD ⌒ 上一点，且 点O是CD
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直 角三角形，可解决弦长、半径、弦心距等 计算问题．
A R 5 C 1 ∟ E R-1 D
即(R-1)2+52=R2
∴R=13 ∴CD=2R=26寸
B
3、如图，已知⊙O的半径为30mm,弦AB=36mm. 求点O到AB的距离及∠OAB的余弦值.
解：过点O作OC⊥AB于点C
∵ OC⊥AB 1 1 AC AB 36 18 2 2
2 2 2 2
OC OA AC 30 18 24
∟
A
C
B
AC 18 3 cos OAB OA 30 5
4、如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆 的弦AB在同一条直线上.你认为AC与BD的大小有什么 关系？为什么？
解：AC=BD
过点O作OE⊥AB于点E
∵OE⊥AB
∟
∴AE=BE 同理 CE=DE ∴AE-CE=BE-DE 即 AC=BD
C A E B D
F
图1
5、如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的
弧相等吗？为什么？
E A B A E BC源自DC F DF
图2
图3
垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 人教版
垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系一. 本周教学内容：垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系［学习目标］1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。
（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。
已知其中两项，可推出其余三项。
注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。
”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。
2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。
（M点是两点重合的一点，代表两层意义）COA BMD3. 应用以上定理主要是解直角三角形△AOM，在Rt△AOM中，AO为圆半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。
无该Rt△AOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。
4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。
5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。
四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。
源于圆的旋转不变性。
即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。
()()()()1234⇔⇔⇔O B'M'A' BMA6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。
7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。
二. 重点、难点：垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。
【典型例题】例1. 已知：在⊙O 中，弦AB ＝12cm ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：∠AOB 的度数和圆的半径。
垂径定理、圆周角与圆心角
圆1一、知识点1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.2、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.3、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条都是它的对称轴。
（因为直径是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成：“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”。
）4、、垂径定理：垂直于弦的直径这条弦，并且弦所对的弧。
（这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是过“圆心”。
）5、推论：（1）平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，弦且平分弦所对的另一条弧。
推论：圆的两条平行弦所夹弧。
6、与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.7、垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.二、例题(泸州市2008年)如图1，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧CD上不同于点C得到任意一点，则∠BPC的度数是（）A．45 B．60 C．75 D．902．(PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，若PA=6，PB=4，则⊙O的半径是（）`A．52B．56C．2 D．53、(南京市2008年)如图3，已知O的半径为1，AB与O 相切于点A，OB与O交于点C，OD OA⊥，垂足为D，则cos AOB∠的值等于（）A．OD B．OA C．CD D．AB）4、(威海市2008年)如图，⊙O的半径为2，点A的坐标为（2，32），直线AB为⊙O的切线，B为切点．则B点的坐标为A．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5823,B．()13,- C．⎪⎭⎫⎝⎛-5954,D．()31,-5、(2009年潍坊)已知圆O的半径为R，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连结AC，若，则BD的长为（）A．B．C．D．6、（09湖南邵阳）如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的切线，A为切点，连结BC交圆O于点D，连结AD，若45ABC∠=°，则下列结论正确的是（）A．12AD BC= B．12AD AC= C．AC AB> D．AD DC>7．如图，在⊙O中，弦BC15∶AB AB BC CD==50ACABC∆AB O60,70B C∠=∠=BOD∠AB O COA OB=O4,8AB=OB sin A A B C O//AB OC（1）求证：AC平分OAB∠.|（2）过点O作OE AB⊥于点E，交AC于点P. 若2AB=30AOE∠=︒，求PE的长．30CAB∠=°2R3R R32R~ABCO D xyO11BACBA OMBADCEC、BDOAOPBDEOBC、18、（2010湖北荆门）如图，圆O 的直径为5，在圆O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ：CA =4：3，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点． （1）求证：AC ·CD=PC ·BC ；（2）当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长；（3）当点P 运动到什么位置时，△PCD 的面积最大并求出这个最大面积S 。
圆的垂径定理
圆的垂径定理定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。
一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理。
证明定理是数学的中心活动。
圆作为数学中常用的图像，有十八个基本定理。
圆的十八个定理1、圆心角定理：在同圆或等圆中，成正比的圆心角所对弧成正比，面元的弦成正比，面元的弦的弦心距成正比。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中存有一组量成正比那么它们所对应的其余各组量都成正比2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推断1：同弧或等弧所对的圆周角成正比;同圆或等圆中，成正比的圆周角面元的弧也成正比推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所推断3：如果三角形一边上的中线等同于这边的一半，那么这个三角形就是直角三角形3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
推断1：①平分弦(不是直径)的直径旋转轴弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推断2 ：圆的两条平行弦所缠的弧成正比4、切线之判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。
5、切线短定理：从铅直一点引圆的两条切线，他们的切线短成正比，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。
6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。
如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。
7、平行弦定理：圆内两条弦平行，被交点分为的两条线段长的乘积成正比。
8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。
9、割线短定理：从铅直一点向圆引两条割线，这一点至每条割线与圆的交点的两条线段长的积成正比。
10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推断1 ：经过圆心且旋转轴切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心11、弦切角定理：弦切角等同于它所缠的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等12、定理：平行两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦13、定理：把圆分成n(n≥3):⑴依次联结各分点税金的多边形就是这个圆的内arccosn边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形14、定理：任何正多边形都存有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆就是同心圆15、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆16、定理：正n边形的半径和边心距把也已n边形分为2n个全等的直角三角形17、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
24.1.2-3圆的垂直定理及弦、弧、圆心角
B
(4)
(5)
填空：
1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若 AB⊥CD（或AC=AD，或BC=BD） _____________________________________________________ ， 则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件） 2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O 到AB的距离是___________cm ，AB=_________cm. 2 4 A C E 。 O B 第1题图 D 。 O H
⌒ ⌒ = AOB COD ． （1）如果AB=CD，那么___________ AB CD ，_________________ AOB COD AB=CD （2）如果 ⌒ = ⌒ ，那么____________ ， ______________ ． AB CD ⌒ =⌒ AB=CD
又因为OE
所以
、OF是AB与CD对应边上的高，
O
·
F
D
OE = OF.
C
⌒ = ⌒ , ∠COD=35°， = 2.如图，AB是⊙O的直径， ⌒ BC CD DE
求∠AOE的度数．
解： E D C A
⌒
⌒ =⌒ = BC CD DE
BOC=COD=DOE=35
O
·
AOE 180 3 35
A O· B 如图中所示， ∠AOB就是一个圆心角。
三、探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能 发现哪些等量关系？为什么？ A′ A′ B B B′ B′
O
·
A
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然 ∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等， OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．
九年级数学上册讲义第十讲——圆的性质垂径定理,圆心角
第十讲 第二十四章 圆24.1.1圆的性质1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.其中，定点称为圆心，定长称为半径，以点O 为圆心的圆记作“☉O”，读作“圆O”.2.确定圆的基本条件：（1）、圆心：定位置，具有唯一性，（2）、半径：定大小.3.连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC ，AB ；4.经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB ；5.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A 、C 为端点的弧记作AC ”，读作“圆弧AC ”或“弧AC ”．大于半圆的弧（如图所示ABC 叫做优弧，•小于半圆的弧（如图所示）AC 或BC 叫做劣弧．6. 在同圆或等圆中，能过重合的两条弧叫做等弧.24.1.2 垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧.推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论.推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD证明过程已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M求证：AM=BM ，AC BC =，AD BD =.分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、•OB 或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB 在Rt △OAM 和Rt △OBM 中OA OBOM OM =⎧⎨=⎩∴Rt △OAM ≌Rt △OBM∴AM=BM∴点A 和点B 关于CD 对称 ∵⊙O 关于直径CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC 重合，AD 与BD 重合． ∴AC BC =，AD BD =24.1.3 弧、弦、圆心角1.顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心角的度数与他所对的弧的度数相等.2.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等. 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD推导过程如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？DAB =''A B ，AB=A ′B ′理由：∵半径OA 与O ′A ′重合，且∠AOB=∠A ′OB ′ ∴半径OB 与OB ′重合∵点A 与点A ′重合，点B 与点B ′重合 ∴AB 与''A B 重合，弦AB 与弦A ′B ′重合∴AB =''A B ，AB=A ′B ′例1、如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ． （1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？ （2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？∠AOB 与∠COD 呢？练一练一、填选1、如图1，M 是⊙O 内一点，已知过点M 的⊙O 最长的弦为10 cm ，最短的弦长为8 cm ，则OM =_____ cm.2、如图2，⊙O 的直径AC =2，∠BAD =75°，∠ACD =45°，则四边形ABCD 的周长为_____(结果取准确值).3、如图3，⊙O 的直径为10，弦AB =8，P 是弦AB 上一动点，那么OP 长的取值范围是_____.课后作业1、在半径为5cm 圆中，有一条长为6cm 的弦，则圆心到此弦的距离为（ ）。
9 垂径定理 圆心角 圆周角定理(
垂径定理圆心角圆周角定理垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧1、平分弦所对的两条弧）2、平分弦（不是直径）3、垂直于弦4、过圆心推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。
推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。
推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等[垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。
]圆心角在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。
圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。
1.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。
2.半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
3.圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
切线定理（定义）和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。
（数量法d=r）圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。
判定定理：1、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
判定性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂线，证半径（d=r）练习一选择题：1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=42°，则∠A的度数是（）A．42°B．48°C．52°D．58°2.如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数为( )A．50° B．55°C．60° D．65°3.如图，点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°，则∠BOC是（）A．100° B．110°C．120° D．130°4.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上移动，则OM取值范围是（）A.3≤OM≤5B.3≤OM＜5C.4≤OM≤5D.4≤OM＜55、如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为( )A．15°B．28° C.29°D．34°7.如图，C为⊙O直径AB上一动点,过点C的直线交⊙O于D、E两点,且∠ACD=45°,DF⊥AB于点F,EG⊥AB 于点G,当点C在AB上运动时,设AF=x,DE=y,下列中图象中,能表示y与x的函数关系式的图象大致是( )8.如图.⊙O 中，AB、AC是弦，O在∠ABO的内部，，，，则下列关系中，正确的是（）A. B.C． D.9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，AD=DC，∠ADB=20º，则∠ACB，∠DBC分别为（）A．15º与30º B．20º与35ºC．20º与40º D．30º与35º10.图中∠BOD的度数是（）A．55° B．110°C．125° D．150°11.如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，∠O=140°，则∠I为（）（A）140°（B）125°（C）130°（D）110°12.如图,弦AB∥CD，E为弧CBD上一点，AE平分，则图中与相等（不包括）的角共有（）A．3个 B．4个C．5个 D．6个13、如图，已知的半径为1，锐角内接于，于点，于点，则的值等于（）A．的长 B．的长 C．的长 D．的长14.如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（）A.直线的一部分B.圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分15.如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60°.若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t(s)，当△APQ是直角三角形时，t的值为（）A. B.C.或D.或或16.如图，，在以为直径的半圆上，，在上，为正方形，若正方形边长为1，，，则下列式子中，不正确的是（）A. B.C. D.17.如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN周长的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．718.如图，在△ABC中，AD是高，AE是直径，AE交BC于G，有下列四个结论：•①AD2=BD·CD；②BE2=EG·AE；③AE·AD=AB·AC；④AG·EG=BG·CG．其中正确结论的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个19.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q。
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垂径定理及圆心角定理的应用
【教学目标】
1．掌握垂径定理及其应用。
2．掌握圆周角及圆心角定理及其应用。
【教学重点】
1．垂径定理及其应用。
2．圆周角及圆心角定理及其应用。
【教学难点】
1．垂径定理及其应用。
2．圆周角及圆心角定理及其应用。
【教学内容】
一．用垂径定理算弦长：
（一）预备知识：
1．基本定理
垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
2．黄金三角形：
由半弦长、弦心距及半径组成的直角三角形叫黄金三角形。
（二）．黄金三角形的应用：
例1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若CD=6，AE=1，求⊙O的半径。
过手练习：
1．已知⊙O的半径为5，弦AB=6，弦CD=8，AB//CD，求这两条平行弦AB、CD的距离。
2．已知⊙O的半径为10,点A为⊙O内一点，且OA=6，过点A作⊙O的所有弦中，弦长的最大值和最小值分别是多少？
当堂检测：
1．已知P为⊙O内一点，且OP=3cm，若⊙O的半径为5 cm,那么过点P的最长弦长为cm,
最短弦长为cm。
2．已知⊙O的半径为13，弦AB=24，弦CD=10，AB//CD，求这两条平行弦AB、CD的距离。
3．AB是⊙O的弦，∠OAB=300，若AB=6，则⊙O的半径为。
4．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=4√3，则⊙O的半径为。
5．如图，⊙O的弦AB=8，半径OD⊥AB于点C，若DC=2，则⊙O的半径为。
二．弦心距的灵活应用
例1．如图，P为⊙O外一点，PAB、PCD分别与⊙O交于A、B、C、D四点，PO平分∠BPD，求证：AB=CD
例2．如图，DE为半圆的直径，O为圆心，DE=10，延长DE到A，使得EA=1，直线AC与半圆交于B、C两点，且∠DAC=30°．
（1）求弦BC的长；
（2）求△AOC的面积．
过手练习：
1．如图：在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在⊙O内，其中OA=4cm，BC＝10cm，∠A＝
∠B＝60°，则AB的长为（）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
当堂检测：
1．如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB与CD交于点E，CE=2，DE=6，若∠AED=450，求弦AB的长。
2．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为( )
A．3 B．4 C．3 D．4
三．圆心角定理及推论的应用
（一）．预备知识
A．圆心角定理及推论
（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
（2）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等
B．圆周角定理及推论
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
（2）其他推论
①圆周角度数定理,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半
②同圆或等圆中,圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半
③同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等圆周角所对的弧也相等
④半圆（或直径）所对圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径
⑤圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角.
（二）例题解析
例1．如图，在△ABC中，AD、BD分别平分∠BAC和∠ABC，延长AD交△ABC的外接圆于E，连接BE．求证：BE=DE．
过手练习：
1．如图，△ABC的高AD、CE相较于点H，延长AD交△ABC的外接圆于点EG，连接BG．求证：HD=GD．
例2．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC、CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=√34，BC-AC=2，求CE的长．
过手练习：
1．BC是⊙O的直径，AD⊥BC于点D，点A为BF̂的中点，AD与弦BF交于点E，求证：AE=BE
当堂检测：
1．如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10,以AC为直径画⊙O交BC于点E，交AB于点D，连接CD，求CD的长。
课后作业：
̂的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.
1．如图，AB是⊙O的直径，点C为DB
（1）求证：CF＝BF.
（2）若CD=6，AC=8，则CE等于多少？。