运输问题的数学模型
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运输问题模型
。
目标可以减少，说明当前
解不是最优解
闭回路法调整
选x22进基，找到闭回路
x12 5-
x14 1 +
x22 +
x24 5-
X22最多增加5
x12 5-5 x22 + 5
x14 1 +5 x24 5-5
X22进基，x12和x24经过调整同时变成 零。但是要注意只有一个变量出基。
例如：令x12出基
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
× 2
3 1
× 8
3 ,0
×
9
10
×
3
4
4
4
2
8
4，0
79 2 5，2 5 7，3 6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
×
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
4
8
4
2
5
3 ,0
8
4，0 6,4
9 5,2,0 7，3
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
7
-1
2
5
1
3
4
2
7
3
4
3
8
4
2
5
3 ,0
8,5 4，0 6,4,0
9,5 5,2,0 7,3,0
重新计算检验数
A1 u1=0
A2 u2=-5
A3 u3=-5 销量
B1
运输问题的数学模型例题
运输问题的数学模型例题运输问题是指在运输过程中，如何最优地分配资源，使得运输成本最小，运输效率最高。
运输问题的数学模型包括最小化成本、最大化效益等多种形式。
下面我们来看一个例题。
问题描述：某物流公司有3个仓库和4个客户，每个仓库和客户之间的距离已知。
现在需要将货物从仓库运送到客户，每个客户需要的货物量也已知。
假设每个仓库的货物量都足够满足所有客户的需求，如何安排运输方案，使得总运输成本最小？解题思路：我们可以用线性规划来解决这个问题。
设每个仓库和客户之间的运输量为$x_{ij}$，其中$i$表示仓库编号，$j$表示客户编号。
则总运输成本可以表示为：$$%min %sum_{i=1}^3%sum_{j=1}^4 c_{ij}x_{ij}$$其中$c_{ij}$表示从仓库$i$到客户$j$的单位运输成本。
同时，对于每个客户$j$，要求其所需货物量$q_j$必须满足：$$%sum_{i=1}^3 x_{ij}=q_j$$对于每个仓库$i$，要求其供应的货物量$y_i$必须满足：$$%sum_{j=1}^4 x_{ij}=y_i$$另外，由于$x_{ij}$必须非负，所以还要满足：$$x_{ij}%geq 0$$综上所述，我们可以得到如下线性规划模型：$$%min %sum_{i=1}^3%sum_{j=1}^4 c_{ij}x_{ij}$$$$s.t.% %sum_{i=1}^3 x_{ij}=q_j,% j=1,2,3,4$$$$% % % % % % % % % %sum_{j=1}^4 x_{ij}=y_i,% i=1,2,3$$ $$% % % % % % % % % x_{ij}%geq 0,% i=1,2,3,% j=1,2,3,4$$这是一个标准的线性规划模型，可以用常见的线性规划求解器求解。
求解结果就是每个仓库和客户之间的运输量$x_{ij}$，以及总运输成本。
总结：运输问题是一个常见的优化问题，在实际生产和物流中经常会遇到。
运筹学运输问题
当出现检验数<0，证明原初始方案或改 进方案还不是最优→如何进行基变量的 调入调出？
给检验数<0的非基变量赋值，越大 越好。但要考虑产销平衡问题。
11
8、运输问题的校验方法2 —位势法
利用行位势和列位势两类数据，将检验数与 单位运价联系起来
12
检 验 数 方 程
13
λ
= c – u – v ij ij i j
A、位势法求检验数的步骤
第一步：根据最小元素法或Vogel法确定的初始运量表做 一表格，将基变量（或运量）数据替换成与之对应的单位 运价；（或对单位运价表进行修改，只保留与基变量对应的运价信
息）
第二步：在右侧增加一列，下侧增加一行，用于填写位势 数据。右侧表示行位势ui（i=1，2...m），下侧表示列位 势vj（j=1，2...n）； 第三步：对于基变量对应的单位运价处，ui+vj=cij。随便 确定任一个位势，即可求解全部行和列位势； 第四步：在非基变量对应的空格处，计算检验数λij=cij（ui+vj）。并将检验数填入检验数表中； 第五步：判断检验数λij是否大于0，如是，则表示较优。 如不是，则需要调整基变量。 第六步：基变量的调整采用闭回路法进行。
收点 发点 9
B1
4
B2
1
B3
11
B4 -1
10 5
发量
偶 点 0 减 ， 2 奇 点 加 5
A1
14 ③奇点 9 18 1 A2 x x 1 9 11 6 8 0 A3 1 3 x 14 ②偶点 12 2
11 21 22 31
x 3 2
x 6 7
5
13
偶点④
9
运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展，它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题，例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中，整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题，以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合，它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章：运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题，主要 解决如何将一定数量的资源（如货物 、人员等）从起始地点运送到目标地 点，以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用，主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目， 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素，通过建立运 输问题的数学模型，可以找到最优的 资源分配方案，提高资源利用效率， 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用，主要解决如何合理安排生产计划， 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节，通 过建立运输问题的数学模型，可以找到最优的生产计划和调度方案，提高生产效 率，降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展，运输问题变得越来越复杂，需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时，随着大数据和人工智能技术的应用，运输问题的解决方案将更加智能化和
运输问题
运输问题的数学模型
问题的提出
• 一般的运输问题就是要解决把某种产品从
若干个产地调运到若干个销地，在每个产
地的供应量与每个销地的需求量已知，并
知道各地之间的运输单价的前提下，如何
确定一个使得总的运输费用最小的方案。
运输问题的数学模型
•
已知有m个生产地点Ai,i=1,2,…，m。可供
应某种物资，其供应量(产量)分别为ai，i=1，
销地 产地 A1
B2 1.1
B4 1.0
产量
400 300 100
0.4 0.5
700
A3 销量
600 600 ④
最小元素 0.4
900 600 2000
最小元素 0.5
销地 产地 A1
B4 1.0
产量
400 300 100
0.5
700
A3 销量
600
300 600
900 ⑤ 2000
销地 产地 A1
(1)最小元素法
最小元素 0.1
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1 0.3 0.1
B2 1.1 0.9 0.4
B3 0.3 0.2 1.0
B4 1.0
产量
700
0.8
300
0.7 0.5
400 900 2000
300 ①
600
500
600
产量400和销量300 最小者
最小元素 0.2
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B4
产量 1.0
0.3
400 300
0.1
300
0.2
0.5
700 ⑥
100 600
0.4
300 600 ⑥ 2000
问题的提出
• 一般的运输问题就是要解决把某种产品从
若干个产地调运到若干个销地，在每个产
地的供应量与每个销地的需求量已知，并
知道各地之间的运输单价的前提下，如何
确定一个使得总的运输费用最小的方案。
运输问题的数学模型
•
已知有m个生产地点Ai,i=1,2,…，m。可供
应某种物资，其供应量(产量)分别为ai，i=1，
销地 产地 A1
B2 1.1
B4 1.0
产量
400 300 100
0.4 0.5
700
A3 销量
600 600 ④
最小元素 0.4
900 600 2000
最小元素 0.5
销地 产地 A1
B4 1.0
产量
400 300 100
0.5
700
A3 销量
600
300 600
900 ⑤ 2000
销地 产地 A1
(1)最小元素法
最小元素 0.1
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1 0.3 0.1
B2 1.1 0.9 0.4
B3 0.3 0.2 1.0
B4 1.0
产量
700
0.8
300
0.7 0.5
400 900 2000
300 ①
600
500
600
产量400和销量300 最小者
最小元素 0.2
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B4
产量 1.0
0.3
400 300
0.1
300
0.2
0.5
700 ⑥
100 600
0.4
300 600 ⑥ 2000
数学建模运输问题
有时候把两个表写在一起:
销地 产地 1 2 . . . m 销量
销地 产地 1 2 . . . m
1
2
…
n
产 量 a1 a2 . . . am 销地 产地 1 1 2 … n 产 量 a1 a2 . . . am
b1
1
b2
2
…
…
bn
n
2 . . . m
销量
c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n . . . . . . . . . cm1 cm2 … cmn b1 b2 … bn
B2 10 4 5 6 14 6 5 3 4 3+4 B3 B4’ B4’’ 产量 （万台） 10 12 10 10
4
4 2
6
4
Global optimal solution found at iteration: 8 Objective value: 172.0000
销地 厂家 1 2
1
2
3
4
销地 厂家 A1 A2 A3 最高需求（万台）
31
x
32
x x x x x
33
x 2 3 4 6
34
7
x 11 x x 12 x x 13 x x 14 x x
ij
21
31
22
32
23
33
LINGO求解
24
34
0
设有三个电视机厂供应四个地区某种型号的电视机。 各厂家的年产量、 销地 各地区的年销售量以及 B1 B2 B3 厂家 各地区的单位运价 A1 6 3 12 如右表， A2 4 3 9 试求出总的运费最省的 A3 9 10 13 6 14 0 最低需求（万台） 电视机调拨方案。
运输问题的数学模型
每一个出发地都有一定的供应量（supply）配送到 目的地，每一个目的地都有需要从一定的需求量（ demand），接收从出发地发出的产品。 需求假设（The Requirements Assumption） 可行解特性（The Feasible Solutions Property） 成本假设（The Cost Assumption） 整数解性质（Integer Solutions Property）
如何制定一个运输方案，使总的运输费用最小。这样的问题称为运 输问题。
第1页/共10页
§3.1 运输问题的数学模型 Mathematical Model of T P
Ch3 Transportation Problem
2024年10月13日星期日 Page 2 of 11
运输问题的特征 Characteristics of Transportation Problems
第2页/共10页
§3.1 运输问题的数学模型 Mathematical Model of T P
Ch3 Transportation Problem
2024年10月13日星期日 Page 3 of 11
需求假设（The Requirements Assumption）： 每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应 量都必须配送到目的地。与之相类似，每一个目的 地都有一个固定的需求量，整个需求量都必须由出 发地满足，即
总供应量＝ 总需求量
可行解特性（The Feasible Solutions Property）： 当且仅当供应量的总和等于需求量的总和时，运输问 题才有可行解
第3页/共10页
§3.1 运输问题的数学模型 Mathematical Model of T P
(典型例题)《运筹学》运输问题
第四天送洗：y451200
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
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B1 c11 c21 ┇ cm1 b1
B2 … Bn c12 … c1n c22 … c2n ┇ ┇ ┇
产量 a1 a2 ┇ am
cm2 … cmn b2 … bn
分两种情况来讨论：
（1）
a b
i 1 i j 1
m
n
j
。即运输问题的总产量等于其总
销量，这样的运输问题称为产销平衡的运输问题。 （2）
（2）位势法（对偶变量法）
对于一个调运方案的每列赋予一个值，称为列位 势，记 v1 , v 2 , , v n ，对于每行赋予一个值，称为行位 势，记为 u1 , u2 ,, um 它们的值由下列方程组决定：
ui v j cij
其中， cij 是所有基变量（数字格）xij 的运价系数 。
（1）闭回路法
在单纯形法中，为了检验一个基本可行解是 不是最优解，需要求出所有非基变量的检验数。 在运输问题中，每个空格对应一个非基变量。因 此，我们需要求出每个空格的检验数。 由于目标要求极小，因此，当所有的检验数 都大于或等于零时该调运方案就是最优方案。
①对方案表中每一空格，确定一条由空格出发的闭回路。
u1 + v4 = c14 = 10 u2 + v3 = c23 = 2 u3 + v4 = c34 = 5
令u1 = 5 则有 v4 = 5 v3 = -2 u2 = 4 u3=0 v2=4 v1= -3 再求非基变量（空格）检验数： 11 = c11 – u1 - v1 = 3 – 5 – (-3) = 1 12 = c12 – u1 – v2 = 11 – 5 – 4 = 2 22 = c22 – u2 – v2 = 9 – 4 – 4 = 1 24 = c24 – u2 – v4 = 8 – 4 – 5 = -1 31 = c31 – u3 - v1 = 7 – 0 – (-3) = 10
A2
A3
3 6
1 3
（有数格）
X11=X31=X12=X22=X33=X24=0 （空格）
初始方案运费
Z0=3×1+6×4+4×3+1×2+3×10+3×5=86(元)
注： （ⅰ）有数格是基变量，共m+n-1=3+4-1=6个。空格是非基 变量，共划去m+n=7条线； （ⅱ）如果填上一个变量之后能同时划去两条线（一行与 一列），就须在所划去的该行或该列填一个0，此0格当有 数格对待。
m ( 3 1) x ij b j j 1,2, , n i 1 n s .t . x ij a i i 1,2, , m j 1 x 0 ij m n 其中，ai和bj满足： ai b j 称为产销平衡条件。
i 1 j 1
B2 11 9 4 5
B3 3 2 10 1 1
B4 10 8 5 3 2
5 3 6
3 6 5
2 1 3
6
0 07
1 16
1 2
2、判断当前方案是否为最优
用单纯形法解线性规划问题时，在迭代过程中 每次求得一个基本可行解以后，都要检验它是不是 最优解，如果不是最优解，就要继续进行迭代，直 到求得最优解或者判定无最优解。 表上作业法是用以下两种方法来处理这个问题 的：闭回路法和位势法。
例3.1
某公司从三个产地A1、A2、A3 将物品运往四个
销地B1、B2、B3、B4，各产地的产量、各销地的销量和各产 地运往各销地每件物品的运费如下表3-4所示
销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 3 1 7 3 B2 11 9 4 6 B3 3 2 10 5 B4 10 8 5 6 产量 7 4 9 20（产销平 衡）
销地。产地Ai的产量为 ai ( i 1,2,, m ) ；销地Bj的销 量 b j ( j 1,2,, n)。从第i个产地向第j个销地运输每单位物资 的运价为Cij。 这就是由多个产地供应多个销地的单品种物资运输问
题。问如何调运这些物资才能使总运费达到最小。
单位运价表
销地 产地 A1 A2 ┇ Am 销量
4
1
3
A1
A2 3 6 B1 B2
4
1
3
3
A3
3 B3 B4
B1
A1 A2 A3
B2
B3
4
B4
3
A1
A2 3 6
4
1
3
3
6
1
3
A3
3
②计算出空格的检验数—等于闭回路上由此空格起奇数顶点 运价与偶数顶点运价负值的代数和。 B1 B2 B3 B4 销地
产地 A1 A2 A3 B1 3 1 7 B2 B3 B4
则检验数为： ij = cij - ui - vj i = 1, … , m ; j = 1, … , n
方案表
销 产 A1 A2 A3 B1 B2 B3 4 B4 3 产量 7 4 3 9 B1 3 B2 11 9
运价表
B3 3 3 2 2 10 B4 10 10 8 5 5 u1 u2 u3
B1
B2
B3
B4
产量
75
B1
3 2 6
B2
8 9 3
B3
5 4 7
B4
9 8 5
35
40 0 40 15
40
65
65
80 195
35
40
55
(3)伏格尔法（次小运价与最小运价之差大者先安排）
方案表 运价表
销
产
A1 A2 A3 需求
B1
B2 B3 B4
产 量 7 4 9 20
B1 3 1 7 2 2
问应如何调运，可使得总运输费最小?
1、确定初始方案
即初始基本可行解的确定，与一般线性规划 问题不同，产销平衡运输问题总是存在可行解。 确定初始基本可行解的方法很多，一般希望方 法是既简便，又尽可能接近最优解。下面介绍两种 方法：最小元素法，西北角法、 Vogel 法
（1）最小元素法
最小元素法的基本思想是优先满足单位运价最小的 供销业务。 首先找出运价最小的，并以最大限度满足其供销量 为原则确定供销业务。同样的方法反复进行直到确定了所 有的供销业务，得到一个完整的调运方案即初始基本可行
解为止。
方案表 销
运价表
产
A1 A2 A3
B1
B2
B3
B4
产量
7 4
B1
3 1 7
B2
11 9
B3 3
2 2 10
B4
10 8 5
4 3 6
3 6 5
3
1 3
6
9
4
需求
20
B1 A1
B2
B3 4
B4 3
以此，得到一初始方案：
X13=4 , X14=3， X21=3，X23=1， X32=6， X34=3
该系数矩阵中每列只有两个元素为1，其余的都为零。
2.m+n个约束中有一个是多余的（因为其间含有一个平衡关系 式 ） ai b j 所以R(A)=m+n-1，即解的mn个变量中基变量为m+n-1个。
二、 表上作业法
运输问题仍然是线性规划问题，可以用线性规划 法中的单纯形法来解决。但是：
3
4 2 2 3
5
4
6
6
9 20
注：应用西北角法和最小元素法，每次填完数，都只划去一 行或一列。 当填上一个数后行、列同时饱和时，也应任意划去一行 (列)。在饱和的列（行）没被划去的格内标一个 0 , 然后划去 该列（行）。
例3.2 某公司下属有生产一种化工产品的三个产地A1、A2、
A3 ，有四个销售点B1、B2、B3、B4 销售这种化工产品。各
1.运输问题所涉及的变量多，造成单纯形表太大；
2.若把技术系数矩阵A中的0迭代成非0，会使问题 更加复杂。
以上两个原因使得我们不得不利用运输问题的 特点设计出它的特殊解法——表上作业法。
二、表上作业法（续）
表上作业法，实质上还是单纯形法。其步骤如下： 1.确定一个初始可行调运方案。可以通过最小元素法、 西北角法、Vogel 法来完成； 2.检验当前可行方案是否最优，常用的方法有闭回路法 和位势法，用这两种方法计算出检验数，从而判别方 案是否最优； 3.方案调整，从当前方案出发寻找更好方案，常采用闭 回路法。
闭回路是由水平或垂直线组成的闭合图形。闭回路上的 顶点除了这个空格外，其余均为有数格。
B1 A1 A2 A3 3
B2
B3 4 1
B4 3
B1
B2
B3
B4
A1
A2 3 6
4
1
3
Байду номын сангаас
6
3
A3
3
可以证明，对每一个空格都存在而且惟一存在 这样一条封闭回路。
B1
B2
B3
B4
B1
B2
B3
B4
A1
A2 A3 3 6
A1 A2 3
4 1
3
11 9 4
3 2 10
10 8 5
A3
11=3 - 3+2 - 1=1 22= 9-2+3–0+5–4 =1 31= 7-5+10–3+2–1=10
6
3
12=11 - 10+5 - 4=2 24= 8–10 +3 – 2 =-1 33=10 - 5+10 -3=12
将约束方程式展开可得
a1 x11 x1n x21 x2 n a2 xm1 xmn am x21 xm1 b1 x11 x12 x22 xm 2 b2 x1n x2 n xmn bn