北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》实际问题中导数的意义 课件
（2）该产品的边际利润函数以及销量为 q 420 个
单位时的边际利润，并对此结论作出经济意义的解释． （3）销售量为何值时利润最大？
2012-12-24
解
（1）由已知可得总收入函数为： R(q) pq 280q ，
L(q) R(q) C(q) 280q 1500 34q 0.3q 2
2012-12-24
一、教学目标：l.知识与技能 ：(1) 了解实际背景中 导数的含义，体会导数的思想及其内涵在实际问题中 的应用；(2)理解世界问题中的具体情境，了解解题思 路和方法。2. 过程与方法 ：通过实际问题，让学生进 一步理解导数的思想，感知导数的含义.3. 情感.态度与 价值观：使学生感受到学习导数的实际背景，增强学 习从生活中发现问题，解决问题的能力 二、教学重难点 1、难点：实际问题中的函数以及变化率。 2、重点：理解导数的含义，建立数学模型解决实际 问题。 三、教学过程：
2012-12-24
思考总结：实际问题中导数的意义（1）.明 确实际问题中的函数,自变量以及变化率； （2）建立导数数学模型。（3）结合实际， 明确在实际问题中导数的含义 ，日常生活 中，需要用导数概念来理解的量。请同学 们仔细思考，结合实际问题讨论交流导数 的实际含义。四、练习：P65. 五、作业：第69页A组中1、3 B组题。 六、教后反思：
2012-12-24
阅读例2.思考降雨问题中导数的意义。
变式：比较T从10到30的的平均降水 强度和从40到70的平均降水强度的大 小。
2012-12-24
3、边际
（1）边际成本 设总成本函数为 C C (q) ， C 表示总成本， q 表示产量， 则 C(q) 称为产量为 q 个单位时的边际成本． 边际成本的经济意义 是：当产量达到 q 个单位时，再增加一个单位的产量，总成本 将增加 C (q) 个单位． （2）边际收入 设总收入函数为 R R(q) ， R 表示总收入， q 表示销售量， 则 R(q) 称为销售量为 q 个单位时的边际收入． 边际收入的经济意 义是：销售量达到 q 个单位的时候，再增加一个单位的销量，
2012-12-24
一．复习引入： 导数来源与生活，服务于生活。实 际生活中，有许多词语与导数有关。 如物理上的功率，线速度，加速度， 还有生活中常听说的降水强度、边际 成本等。这节课，我们就来研究一下 实际问题中导数的含义。 二．新课探析
2012-12-24
1、功与功率 例1、如图所示，某人拉动一个物体前进， 他所做的功W（单位：J）是时间t（单位： s）的函数，设这个函数可以表示为 3 2 t 6t 16t W=W(t)= (1) 求t从1s变到3s时，功W关于时间t的 平均变化率，并解释它的实际意义 (2) 求W’(1),W’(2),并解释它们的实际意义
2012-12-24
例 4.5.3
某种产品的总成本 C (万元)与产量 q (万件)之
C C(q) 100 6q 0.4q 2 0.02q 3 ，
间的函数关系(即总成本函数)为 试问当生产水平为 q 10 (万件)时，从降低成本角度看，继续 提高产量是否合适？ 解 当 q 10 时的总成本为
W(3) W(1) 3 1
2012-12-24
21 11 5( j / s) 3 1
它表示t从1s变到3s这段时间，这个人平 均每秒做功5j。
(2) W’(t)= W (t ) 3t 12t 16 W’(1)=7j/s,W’(2)=4j/s W’(1),W’(2)分别表示t=1s和t=2s时，这 个人每秒做的功伟7j和4j 2、降水强度：在气象部门发布的天气预 报中，我们经常听到小雨、中雨、暴雨 等专业术语，如何反映和区别它们呢？ 在气象学中，通常把单位时间内的降水 量称为降水强度。常用的单位是毫米／ 天、毫米／小时。
2012-12-24 相应的总收入增加 R(q ) 个单位．
（3）边际利润 设总利润函数为 L L(q) ， L 表示总利润， q 表示 销售量，则 L (q ) 称为销售量为 q 个单位时的边际利 润．边际利润的经济意义是：销售量达到 q 个单位的时 候，再增加一个单位的销量，相应的总利润增加 L(q) 个 单位．
C(10) 100 6 10 0.4 102 0.02103 140 （万元)，
所以单位产品的成本(单位成本)为 C (10) 10 140 10 14 (元/件)．
2012-12-24
边际成本 C (q) 6 0.8q 0.06q ，
2
C (10) 6 0.8 10 0.0610 4 (元/件)，
2
2012-12-24
小雨是指24小时内降水量不超过10毫 米的雨，小到中雨为5毫米～18毫米， 中雨为10毫米～25毫米，中到大雨为 18毫米～38毫米，大雨为25毫米～50 毫米，大到暴雨为38毫米～75毫米。 24小时内雨量超过50毫米的称为暴雨， 超过100毫米的称为大暴雨，超过200 毫米的称为特大暴雨。
2012-12-24
1500 246q 0.3q 2 ；
因此总利润函数为：
（2）该产品的边际利润函数为： L(q) 246 0.6q ，
L(420) 246 0.6 420 6 ，
这说明，销售量达到 420 件时，多销售一件该产品，总利润 会减少 6 元． （3）令 L(q) 0 ，得唯一驻点 q 410（件） ，又最大利 润一定存在，且驻点唯一，所以当销售量 q 410 件时，获利 最大．
2
因此在生产水平为 10 万件时，每增加一个产品总成本 增加 4 元，远低于当前的单位成本．因此从降低成本 角度看应继续提高产量．
2012-12-24
例 4.5.4 设生产 q 件某产品的总成本函数为：
C(q) 1500 34q 0.3q
（1）该产品的总利润函数 L(q) ；
2
如果该产品销售单价为： p 280元／件，求
图形见课本P63页
2012-12-24
分析：求功W关于时间t的平均变化率 W W( t ) W( t0 )
t =
t t(0)
所以需要找出自变量t的变化量（从1s变到 3s），函数值W的变化量（W(1)到W(3)）， 导数W’(t)表示在t时刻的瞬时变化率
2012-12-24
解：（1）当t从1s变到3s时，功W从 W(1)=11j变到W(3)=21j 此时功W关于时间t的平均变化率为
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北师大高中数学选修2-2课件：3.2.1实际问题中导数的意义(3)
制作的瓶子的最大半径为 6cm.
问题: (１)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
(２)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
答案
答案(续)
解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
y f (r) 0.2 4 r3 0.8 r2
0.8 ( r 3
3 r 2 ),
0 r ≤6
3
令 f '(r ) 0.8(r 2 2r ) 0
L( x) x (3 x)2 1.52 (3 x) x2 1 0 , (3 x)2 1.52 x2 1
x (3 x)2 1.52 (3 x) x2 1, 1.25 x2 6 x 9 0. 解得 x 1.2 和 x 6 (舍去).
课外练习：
某造船公司年最高造船量是 20 艘. 已知造船 x 艘的产值函数 R(x)=3700x + 45x2–10x3(单位：万元), 成本函数为 C(x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数 f(x)的边 际函数 Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:（提示：利润 = 产值 – 成本） (1)利润函数 P(x) 及边际利润函数 MP(x); (2)年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?
复习
实际生活中的很多优化问题的解决都可归结
为寻求一个量的最值问题,一个量的最值问题转化
为数学问题通常都是求一个函数的最值问题,而函
数的最值问题的解决导数是一个强有力的工具.
利用导数解决优化问题的基本思路：
建立数学模型
优化问题
用函数表示数学问题
优化问题的答案 作答
解决数学模型
用导数解决数学问题
问题: (１)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
(２)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
答案
答案(续)
解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
y f (r) 0.2 4 r3 0.8 r2
0.8 ( r 3
3 r 2 ),
0 r ≤6
3
令 f '(r ) 0.8(r 2 2r ) 0
L( x) x (3 x)2 1.52 (3 x) x2 1 0 , (3 x)2 1.52 x2 1
x (3 x)2 1.52 (3 x) x2 1, 1.25 x2 6 x 9 0. 解得 x 1.2 和 x 6 (舍去).
课外练习：
某造船公司年最高造船量是 20 艘. 已知造船 x 艘的产值函数 R(x)=3700x + 45x2–10x3(单位：万元), 成本函数为 C(x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数 f(x)的边 际函数 Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:（提示：利润 = 产值 – 成本） (1)利润函数 P(x) 及边际利润函数 MP(x); (2)年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?
复习
实际生活中的很多优化问题的解决都可归结
为寻求一个量的最值问题,一个量的最值问题转化
为数学问题通常都是求一个函数的最值问题,而函
数的最值问题的解决导数是一个强有力的工具.
利用导数解决优化问题的基本思路：
建立数学模型
优化问题
用函数表示数学问题
优化问题的答案 作答
解决数学模型
用导数解决数学问题
北师大版高中数学选修2-2第三章导数应用-实际问题中导数的意义课件
25.02.2021
小雨是指24小时内降水量不超过10毫 米的雨，小到中雨为5毫米～18毫米， 中雨为10毫米～25毫米，中到大雨为 18毫米～38毫米，大雨为25毫米～50 毫米，大到暴雨为38毫米～75毫米。 24小时内雨量超过50毫米的称为暴雨， 超过100毫米的称为大暴雨，超过200 毫米的称为特大暴雨。
25.02.2021
(2) W’(t)= W (t)3t212t16
W’(1)=7j/s,W’(2)=4j/s W’(1),W’(2)分别表示t=1s和t=2s时，这 个人每秒做的功伟7j和4j 2、降水强度：在气象部门发布的天气预 报中，我们经常听到小雨、中雨、暴雨 等专业术语，如何反映和区别它们呢？ 在气象学中，通常把单位时间内的降水 量称为降水强度。常用的单位是毫米／ 天、毫米／小时。
例 4.5.4 设生产 q 件某产品的总成本函数为：
C(q) 1500 34q 0.3q 2
如果该产品销售单价为： p 280元／件，求
（1）该产品的总利润函数 L(q) ； （2）该产品的边际利润函数以及销量为 q 420 个 单位时的边际利润，并对此结论作出经济意义的解释． （3）销售量为何值时利润最大？
L(420) 246 0.6 420 6 ， 这说明，销售量达到 420 件时，多销售一件该产品，总利润 会减少 6 元．
（3）令 L(q) 0 ，得唯一驻点 q 410 （件），又最大利 润一定存在，且驻点唯一，所以当销售量 q 410 件时，获利 最大．
25.02.2021
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25.02.2021
阅读例2.思考降雨问题中导数的意义。
变式：比较T从10到30的的平均降水 强度和从40到70的平均降水强度的大 小。
小雨是指24小时内降水量不超过10毫 米的雨，小到中雨为5毫米～18毫米， 中雨为10毫米～25毫米，中到大雨为 18毫米～38毫米，大雨为25毫米～50 毫米，大到暴雨为38毫米～75毫米。 24小时内雨量超过50毫米的称为暴雨， 超过100毫米的称为大暴雨，超过200 毫米的称为特大暴雨。
25.02.2021
(2) W’(t)= W (t)3t212t16
W’(1)=7j/s,W’(2)=4j/s W’(1),W’(2)分别表示t=1s和t=2s时，这 个人每秒做的功伟7j和4j 2、降水强度：在气象部门发布的天气预 报中，我们经常听到小雨、中雨、暴雨 等专业术语，如何反映和区别它们呢？ 在气象学中，通常把单位时间内的降水 量称为降水强度。常用的单位是毫米／ 天、毫米／小时。
例 4.5.4 设生产 q 件某产品的总成本函数为：
C(q) 1500 34q 0.3q 2
如果该产品销售单价为： p 280元／件，求
（1）该产品的总利润函数 L(q) ； （2）该产品的边际利润函数以及销量为 q 420 个 单位时的边际利润，并对此结论作出经济意义的解释． （3）销售量为何值时利润最大？
L(420) 246 0.6 420 6 ， 这说明，销售量达到 420 件时，多销售一件该产品，总利润 会减少 6 元．
（3）令 L(q) 0 ，得唯一驻点 q 410 （件），又最大利 润一定存在，且驻点唯一，所以当销售量 q 410 件时，获利 最大．
25.02.2021
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25.02.2021
阅读例2.思考降雨问题中导数的意义。
变式：比较T从10到30的的平均降水 强度和从40到70的平均降水强度的大 小。
高中数学 第三章 导数应用 3.2导数在实际问题中的应用 3.2.2.2 导数在实际问题中的应用课件 北师大版选修22
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)因为次品率
3������
p=4������+32,
所以当每天生产 x 件时,有 x·4������3+������32件次品,
有x
1-
3������ 4������+32
件正品.
所以
T=200x· 1-
3������ 4������+32
-100x·4������3+������32=25·64���������+���-8������2(x∈N+).
用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=
������ 3������ +
5
(0≤x≤10).若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层
建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)当隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
第2课时 导数在实际问题中的应用
1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.
1.解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情 境”译为“数学语言”,找出问题的主要关系,抽象成数学问题,然后用 可导函数求最值的方法求最值.
2.解决优化问题的基本思路.
反思解决此类有关利润的实际应用题,应灵活运用题设条件,建立 利润的函数关系,常见的基本等量关系有:
(1)利润=收入-成本;
(2)利润=每件产品的利润×销售件数.
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 2】 某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x(单位:吨)与每吨产品的价格 p(单位:元/吨)之间的关系式为 p=24 200-15x2,且生产 x 吨的成本为 R=50 000+200x(元).问该厂每月生产 多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少万元?
北师大版高中数学选修2-2第三章导数应用-导数应用小结与复习课件
则 y f x 在该区间上是增函数；若 f x 0 ，则
y f x 为减函数。
2019/10/30
2. 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：
(1)求 y = f(x) 的定义域D (2)求导数 f (x). (3)解不等式; f ¢(x) > 0或解不等式 f ¢(x) < .0 (4)与定义域求交集 (5)写出单调区间
令S(r)2rV2 4r0,解得
4V V
3 23 2 ,即h=2r.
r
3
V ,从而
2
V
h r2
V
(3 V )2 2
由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值. 答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.
2019/10/30
例4: 如图,在二次函数f(x)=
从而当x>0时,f(x)≥1恒成立,即:
1
2 (1
3
x)3成立.
2019/10/30
lnx11(x1)2 x2
例6:已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2),
且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直.
(1)求a、b的值；
(2)若f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值
乙以每小时10km的速度向正北方向跑步前进，问经过多少时
间甲、乙相距最近？
B
2019/10/30
乙
甲A 如图
例2:如图,铁路线上AB段长
C
100km,工厂C到铁路的
距离CA=20km.现在要
在AB上某一处D,向C修
B
一条公路.已知铁路每吨
D
A
千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料
y f x 为减函数。
2019/10/30
2. 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：
(1)求 y = f(x) 的定义域D (2)求导数 f (x). (3)解不等式; f ¢(x) > 0或解不等式 f ¢(x) < .0 (4)与定义域求交集 (5)写出单调区间
令S(r)2rV2 4r0,解得
4V V
3 23 2 ,即h=2r.
r
3
V ,从而
2
V
h r2
V
(3 V )2 2
由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值. 答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.
2019/10/30
例4: 如图,在二次函数f(x)=
从而当x>0时,f(x)≥1恒成立,即:
1
2 (1
3
x)3成立.
2019/10/30
lnx11(x1)2 x2
例6:已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2),
且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直.
(1)求a、b的值；
(2)若f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值
乙以每小时10km的速度向正北方向跑步前进，问经过多少时
间甲、乙相距最近？
B
2019/10/30
乙
甲A 如图
例2:如图,铁路线上AB段长
C
100km,工厂C到铁路的
距离CA=20km.现在要
在AB上某一处D,向C修
B
一条公路.已知铁路每吨
D
A
千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数应用小结与复习课件
2019/8/16
例4: 如图,在二次函数f(x)=
4x-x2的图象与x轴所
y
围成的图形中有一个
内接矩形ABCD,求这
个矩形的最大面积.
解:设B(x,0)(0<x<2), 则
x
A(x, 4x-x2).
从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积
为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
(1)求a、b的值；
(2)若f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值
解:(1)
f
范围.
(x) 3ax
2
2bx,
由题意得:
f (1) 2
f (1) 3
ab2 3a 2b 3
a b
1 .
3
(2) f ( x) 3x2 6x 3x( x 2) 0,解得x>0或x<-2.
2019/8/16
题型一： 利用导数求切线斜率、瞬时速度
例1 求垂直于直线 2x 6 y 1 0 ，且与曲线 y x3 3x2 1 相切的直线方程.
解法提示：在某一点切线的斜率或在某一 时刻的瞬时速度就是该点或该时刻对应的导数.
2019/8/16
题型二 ：求函数的单调区间.
例2试确定函数 y 1 ln x 1 的单调区间.
练习3:若函数f(x)=x3+bx2+cx在(-∞,0]及[2,+∞)上都是 增函数,而在(0,2)上是减函数,求此函数在[-1,4]上 的值域.
答:由已知得 f (0) f (2) 0可, 求得c=0,b=-3,从而f(x)= x3-3x2.又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数f(x) 在[-1,4]上的值域是[-4,16].
3.2.1 实际问题中导数的意义 同步课件(北师大版选修2-2)
课前探究学习 课堂讲练互动
函数的导数即函数的瞬时变化率，在不同的环境中可
具有不同的实际意义，在本例中，t＝3时，即在3 s时的瞬时速
度．
课前探究学习
课堂讲练互动
【训练1】 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)＝ 65 2 －4.9t ＋6.5t＋10，求运动员在t＝ 98 s时的瞬时速度，并解 释此时的运动状况．
课前探究学习 课堂讲练互动
题型一 在物理学中的应用
1 2 【例1】 自由落体运动的运动方程为s＝2gt ，(1)求t从3 s 变到3.1 s时，s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际 意义；(2)求s′(3)(s的单位为m，t的单位为s)．
[思路探索] 若s＝f(t)为运动物体的位移关于时间的实际问题中导数的意义
【课标要求】 1．理解平均变化率与导数的关系．
2．理解导数的实际意义．
3．体会导数意义在实际生活中的应用．
【核心扫描】 1．理解导数的概念、导数的几何意义及实际意义． (重点、难点) 2．利用导数解决实际问题．(重点)
3．常与方程、不等式结合命题.
题型二 在经济生活中的应用
【例2】 东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c 元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7 000x＋600. (1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；
(2) 求产量由 1 000 台提高到 1 500 台时，总利润的平均改变
量； (3)求c′(1 000)与c′(1 500)，并说明它们的实际意义．
(6)气球的膨胀率是气球半径关于体积的导数．
课前探究学习 课堂讲练互动
： 吹气球时，会发现：随着气球内空气容量的增
函数的导数即函数的瞬时变化率，在不同的环境中可
具有不同的实际意义，在本例中，t＝3时，即在3 s时的瞬时速
度．
课前探究学习
课堂讲练互动
【训练1】 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)＝ 65 2 －4.9t ＋6.5t＋10，求运动员在t＝ 98 s时的瞬时速度，并解 释此时的运动状况．
课前探究学习 课堂讲练互动
题型一 在物理学中的应用
1 2 【例1】 自由落体运动的运动方程为s＝2gt ，(1)求t从3 s 变到3.1 s时，s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际 意义；(2)求s′(3)(s的单位为m，t的单位为s)．
[思路探索] 若s＝f(t)为运动物体的位移关于时间的实际问题中导数的意义
【课标要求】 1．理解平均变化率与导数的关系．
2．理解导数的实际意义．
3．体会导数意义在实际生活中的应用．
【核心扫描】 1．理解导数的概念、导数的几何意义及实际意义． (重点、难点) 2．利用导数解决实际问题．(重点)
3．常与方程、不等式结合命题.
题型二 在经济生活中的应用
【例2】 东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c 元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7 000x＋600. (1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；
(2) 求产量由 1 000 台提高到 1 500 台时，总利润的平均改变
量； (3)求c′(1 000)与c′(1 500)，并说明它们的实际意义．
(6)气球的膨胀率是气球半径关于体积的导数．
课前探究学习 课堂讲练互动
： 吹气球时，会发现：随着气球内空气容量的增
高中数学北师大版选修2-2第3章2《第1课时实际问题中导数的意义》ppt课件
• (2)电荷量对于时间的导数是电流．
[解析] (1)当t从1变到2时，电荷量从Q(1)变到Q(2)，此时
电荷量关于时间t的平均变化率为
Q2－Q1 2－1
＝
3×22－ln2－3×12－ln1 1
≈8.31，它表示从t＝1s到t＝2s这段时
间内，平均每秒经过该电路的电量为8.31C，也就是这段时间
＝4Δx＋ΔΔxx2－7Δx＝Δx－3，
所以，f′(2)＝ lim
Δx→0
Δy Δx
＝lim (Δx－3)＝－3.
Δx→0
• 同理可得f′(6)＝5.
• 所以在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分 别为－3和5，它说明在第2 h附近，原油温度大约以 3 ℃/h的速度下降；在第6 h附近，原油温度大约以
内电路的平均电流为8.31A．
(2)Q′(t)＝6t－1t ，Q′(2)＝11.5，它的实际意义是：在t＝
2s这一时刻，每秒经过该电路的电量为11.5C，也就是这一时
刻内电路的电流为11.5A．
•导数在生活中的应用
•
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种
不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x
h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋
Δt→0
s1＋Δ含义是t＝1时的瞬时速度．
• 3．火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100m/s.
则熄火后________秒后火箭速度为零(g取10m/s2)．
• [答案] 10
[解析]
由已知，得火箭的运动方程为h(t)＝100t－
1 2
gt2，
∴h′(t)＝100－gt.
(1)求c′(x)； (2)求c′(90)，c′(98)，并解释它们的实际意义．
[解析] (1)当t从1变到2时，电荷量从Q(1)变到Q(2)，此时
电荷量关于时间t的平均变化率为
Q2－Q1 2－1
＝
3×22－ln2－3×12－ln1 1
≈8.31，它表示从t＝1s到t＝2s这段时
间内，平均每秒经过该电路的电量为8.31C，也就是这段时间
＝4Δx＋ΔΔxx2－7Δx＝Δx－3，
所以，f′(2)＝ lim
Δx→0
Δy Δx
＝lim (Δx－3)＝－3.
Δx→0
• 同理可得f′(6)＝5.
• 所以在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分 别为－3和5，它说明在第2 h附近，原油温度大约以 3 ℃/h的速度下降；在第6 h附近，原油温度大约以
内电路的平均电流为8.31A．
(2)Q′(t)＝6t－1t ，Q′(2)＝11.5，它的实际意义是：在t＝
2s这一时刻，每秒经过该电路的电量为11.5C，也就是这一时
刻内电路的电流为11.5A．
•导数在生活中的应用
•
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种
不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x
h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋
Δt→0
s1＋Δ含义是t＝1时的瞬时速度．
• 3．火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100m/s.
则熄火后________秒后火箭速度为零(g取10m/s2)．
• [答案] 10
[解析]
由已知，得火箭的运动方程为h(t)＝100t－
1 2
gt2，
∴h′(t)＝100－gt.
(1)求c′(x)； (2)求c′(90)，c′(98)，并解释它们的实际意义．
高二数学北师大版选修2-2课件：3.2.1 实际问题中导数的意义
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
1234
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是反映一次降雨大小的一个重要指标. (3)在经济学中,通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数称为边际成
本,f'(x0)指的是当产量为x0时,生产成本的增加速度,也就是当产量为x0时,每增加一 个单位的产量,需要增加f'(x0)个单位的成本.
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⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
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是反映一次降雨大小的一个重要指标. (3)在经济学中,通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数称为边际成
本,f'(x0)指的是当产量为x0时,生产成本的增加速度,也就是当产量为x0时,每增加一 个单位的产量,需要增加f'(x0)个单位的成本.
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北师大版高中数学选修2-2第三章导数应用-导数应用小结与复习课件
答:由已知得 f(0)f(2)0 可, 求得c=0,b=-3,从而f(x)= x3-3x2.又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数f(x) 在[-1,4]上的值域是[-4,16].
2020/1/20
三、难点突破：
y f x 1. 关于单调性的定义,条件是充分非必要的. 若
x1(0,2), 所以当 因此2当020/点1/20B为 (2 2 2
x 3 ,02 )时2 ,矩33形时的, S最(x)大m面ax积39是23.
32 9
3
.
例5:证明不等式: ln x11(x 1 )2 1 2(1 x )3(x 0 ).
x2
3
证:设
f(x ) ln x 1 1 (x 1 )2 2 (x 1 )3 (x 0 ).
在（a，b）内， f x 0（或 f x 0），（其中有有限个 x
使 f x 0 ），则 y f x 在（a，b）内仍是增函数（或减
函数）。如：f x x3，有 fx3x20（其中 f 0 0），
但 y f x 在（-∞, +∞）内递增；
分析：此题属于逆向思维，但仍可根据求极值的步 骤来求. 但要注意极值点与导数之间的关系（极值 点为
f x 0 的根）.
2020/1/20
（三）、函y 数f的x最 大值与最小值
1. 设
是定义在区间[a，b]上的函数，y f x 在
（a，b）内有导数，求函数 y f x 在[a，b]上的最大值与
令 yt(
5x 400x2
3)0,在
0x10的0范围内有
唯一解x=15. 所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费 最省.
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三、难点突破：
y f x 1. 关于单调性的定义,条件是充分非必要的. 若
x1(0,2), 所以当 因此2当020/点1/20B为 (2 2 2
x 3 ,02 )时2 ,矩33形时的, S最(x)大m面ax积39是23.
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例5:证明不等式: ln x11(x 1 )2 1 2(1 x )3(x 0 ).
x2
3
证:设
f(x ) ln x 1 1 (x 1 )2 2 (x 1 )3 (x 0 ).
在（a，b）内， f x 0（或 f x 0），（其中有有限个 x
使 f x 0 ），则 y f x 在（a，b）内仍是增函数（或减
函数）。如：f x x3，有 fx3x20（其中 f 0 0），
但 y f x 在（-∞, +∞）内递增；
分析：此题属于逆向思维，但仍可根据求极值的步 骤来求. 但要注意极值点与导数之间的关系（极值 点为
f x 0 的根）.
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（三）、函y 数f的x最 大值与最小值
1. 设
是定义在区间[a，b]上的函数，y f x 在
（a，b）内有导数，求函数 y f x 在[a，b]上的最大值与
令 yt(
5x 400x2
3)0,在
0x10的0范围内有
唯一解x=15. 所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费 最省.
高中高中数学北师大版选修2-2练习课件3.2.1 实际问题中导数的意义精选ppt课件
－x2)＝解－析2x：3＋设1利8x润2(x为>0y)，，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3
∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．
令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6 既是函数的极大值点又是函数的最大值点．
答案：A
5．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销 售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系 式 y＝x－a 3＋10(x－6)2，其中 3<x<6，a 为常数．已知销售 价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最 大值等于42.
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销 售该商品所获得的利润最大．
课后提升训练
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再见
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)． 于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如 下表：
x f′(x) f(x)
(3,4) ＋ 单调递增
4 0 极大值42
(4,6) － 单调递减
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的 极大值点，也是最大值点．
(1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的 值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解：(1)因为 x＝5 时，y＝11， 所以a2＋10＝11，a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y＝x－2 3＋10(x－6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)＝(x－3)x－2 3＋10x－62 ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.