《线性代数与概率统计》概率统计答案及评分标准
计算机系
《线性代数与概率统计》(概率统计)(A)
参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 5题,每小题 3 分,共 15 分)
1. 一射手向目标射击3 次,i A 表示第i 次射击击中目标这一事件)3,2,1(=i ,
则3次射击中至多2次击中目标的事件为( B )
321321321321)()()()(A A A D A A A C A A A B A A A A ????
2. 若x x cos )(=?可以成为随机变量X 的概率密度函数,则X 的可能取值
区间为( A )
(A )]2
,0[π
(B) ],2
[ππ
(C ) ],0[π (D ) ]4
7,23[
ππ 3. 设随机变量X 的概率密度为()p x ,且{}01P x ≥=,则必有( C ) (A ) ()p x 在()0+∞,内大于零
(B ) ()p x 在(),0-∞内小于零
(C ) 0
1p(x)dx +∞
=?
(D ) ()p x 在()0+∞,上单调增加
4. 下列数列是随机变量的分布律的是( A ).
(A ) )5,4,3,2,1,0(15==i i
p i
(B ) )3,2,1,0(6
52
=-=
i i p i
(C ) )4,3,2,1(5
1
==
i p i (D ) )5,4,3,2,1(25
1=+=
i i p i
5. 设X 1,X 2,X 3,X 4是来自总体N (?,?2)的简单随机样本,则四个统计量:
μ1=( X 1+X 2+X 3+X 4 )/4, μ2=X 1,
μ3=X 1/2+X 2/3+X 3/6,
μ4=X 1/2+X 2/3+X 3/4
中,是?的无偏估计量的个数为( C ) (A ) 1
(B ) 2 (C ) 3 (D ) 4
二、填空题(本大题共 5 题,每小题 3 分,共 15 分)
1.设()0.4,()0.3,()0.6P A P B P A B ===U ,则()P AB =__0.3___.
2.将3个球随机地放入3个盒子中(每个盒子中装多少个球不限),则每盒中各有一球的事件的概率等于____2/9___.
3.设离散随机变量X的分布函数为
00;
1
,01;
3
()=
2
,12;
3
1, 2.
x
x
F x
x
x
<
?
?
?≤<
?
?
?≤<
?
?≥
?
,
则
1
2
2
P X
??
<≤=
??
??
___2/3______.
4.连续型随机变量取任何给定实数值a的概率为 0 .
5.设随机变量X与Y服从分布:X~(1,2)
N,Y~(100,0.2)
B,则
(23)
-+=
E X Y -15 .
三、计算题(本大题共 6 题,其中1、2小题每题8分,3、4小题每题10分,5、6小题每题12分,共 60 分)
1.设一口袋装有10只球,其中有4只白球,6只红球,从袋中任取一只球后,不放回去,再从中任取一只球。求下列事件的概率:
(1) 取出两只球都是白球;
(2) 第二次取的是白球.
解:(1) 设:取出两只球都是白球的事件为A
15
2
/)(1
91101314=
=C C C C A P …………(4分) (2) 设:第二次取的是白球的事件为B
5
2
//)(1
91101314191101416=
+=C C C C C C C C B P …………(8分)
2. 甲、乙是位于某省的二个城市,考察这二城市六月份下雨的情况,以A ,B 分别表示甲,乙二城市出现雨天这一事件,根据以往的气象记录知()()0.4P A P B ==,
()0.28P AB =, 求(|)P B A 和()P A B ?.
解:(|)P B A =
)()(A P AB P =4
.028
.0=0.7 …………(4分) ()P A B ?=)()()(AB P B P A P -+=0.4+0.4-0.28=0.52 …………(8分)
3.已知连续型随机变量X 有概率密度
1,02
()0,
kx x f x +<=?
?其它
(1) 求系数k ;
(2) 计算(1.5 2.5)<
(3) 求数学期望()E X .
解 (1)?+∞
∞
-=1)(dx x f ,即?=+2
1)1(dx kx …………
得2
1
-=k ………………………………(2分)
(2))5.25.1(< .25 .1)(dx x f ………………(4分) =dx x ?+-25.1)12 (==1/16=0.0625………(6分) (3))(X E =?+∞ ∞ -dx x xf )( …………………………(8分) =dx x x ?+-20)12(=3 2 ……………………(10分) 4.设随机变量),(Y X 在G 上服从均匀分布,其中G 由x 轴y ,轴及直线1x y +=所围成, ⑴ 求),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ,⑵ 计算{}P Y X <。 解:),(Y X 的联合概率密度为 2,(,); (,)0,x y G f x y ∈?=? ?其它. ……………… (2分) (1) 2(1),01; ()(,)0,X x x f x f x y dy ∞-∞ -<==???其它. , …………… (6分) ⑵ 1210 12 {}(,)2y y y x P Y X f x y dxdy dy dx -<<= == ???? 。 …………… (10分) 5.设X,Y 服从同一分布,其分布律为: 已知P (|X |=|Y |)=0,判断X 和Y 是否不相关?是否不独立? 解:根据P (|X |=|Y |)=0,易得X ,Y 的联合分布律为: ……(6分) 04/112/104/1)1()(=?+?+?-=X E 另易得:E (XY )=0 所以,COV(X ,Y ) = E (XY ) - E (X )E (Y ) = 0,即X 与Y 不相关。……(10分) 根据P (X =i ,Y =j ) ≠ P (X =i ) P (Y =j ) 得X 与Y 不是相互独立。 ………(12分) 6.设总体X 的概率分布为 1-2θ 其中θ(0<θ< 1 2 )是未知参数,利用总体的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3,求θ的矩估计值和极大似然估计值。 解: 8 13?(1)()34,()4 2 8 i i x E X E X x x x θθ =-=-====∑令得又 …………(3分) 所以θ的矩估计值31?.44 x θ -== ……………………(6分) (2) 似然函数8 6241 (,)4(1)(12).i i L P x θθθθ===--∏ …………(8分) 2ln ln 46ln 2ln(1)4ln(1), d ln 628628240,d 112(1)(12) L L θθθθθθθθθθθθ=++-+--+=--==---- 解2628240θθ-+= 得 1,2θ= . 由于 1 ,2 > 所以θ的极大似然估计值为 7?2 θ -=…………(12分) 四、应用题 设考生的外语成绩(百分制)X 服从正态分布,平均成绩(即参数μ之值)为72分,96以上的人占考生总数的2.3%,今任取100个考生的成绩,以Y 表示成绩在60分至84分之间的人数,求:Y 的分布律。 其中: (2)0.977,(1)0.8413Φ=Φ=. 解:),72(~2σN X ,),100(~p B Y ,其中 …………………………(2分) )8460(<<=X P p =1)12 (2)72 60( )72 84( -Φ=-Φ--Φσ σ σ …………………(4分) )24 ( 1)72 96( 1)96(023.0σ σ Φ-=-Φ-=>=X P Θ ………………(6分) 977.0)24 ( =Φ∴σ ,即 224 =σ ,故 112 =σ 所以6826.01)1(2=-Φ=p ……………………………………(8分) 故Y 的分布率为)6826.0,100(~B Y 即:k k k C k Y P -==100100 )3714.0()6826.0()( ……………………(10分)