矩阵四种分解：PALU,QR,Household,Givens的c程序
第三、四节矩阵满秩谱分解
6 3
e3
令
3 22 66 3 6 22 33 , Q 6 3 6 0 3 3
2 R 0 0
2 3 0
2 2 3 3 6 3
则
A QR
Householder变换
Householder变换又称为反射变换或镜像变换，有明 显的几何意义。在 R 3 中，给定一个向量，令表示 关于平面（以 为法向量）的反射变换所得像， 如图所示， R3 记
（1）H是Hermite矩阵，H H H ； （2）H是酉矩阵，H H H I ； H （3）H是对合矩阵， 2 I ； H 1 H （4）H是自逆矩阵 （5）diag(I,H ) 也是一个Householder矩阵; （6）det H = -1。
定理
令Householder矩阵 H ( ) I 2 , 其中 2
i 0 1 1 0 1 2i 2 2 r2 3r3 2 1 i H 0 0 0 1 r2 r3 0 0 0 0 0 0
满秩分解定理：设 A C rmn r 0, 且A的Hermite 标准形H为
k1 0 0 H 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 * 0 0 0 * 0 0 0 k2 0 1 0 0 0 * * * 0 * * 0 0 0 0 1 0 0 kr * * * 0 * * * 第r行 0 0 0
说明：1· 若不要求R具有正对角元，则A的不同QR分解仅在正交 矩阵的列和上三角矩阵R的对应行相差模为1的因子。
2· 若A为满秩复矩阵，则存在酉矩阵Q与复非奇异上三角矩阵 R，使A = QR 该定理的证明过程给出了利用Schmidt正交化方法求可逆矩阵 QR分解的方法。 例1 解
线性代数中的矩阵分解方法
线性代数中的矩阵分解方法矩阵分解方法是线性代数中的关键概念之一，它通过将一个矩阵分解为多个简化的矩阵形式，从而简化计算和分析。
在本文中，我们将介绍线性代数中常见的矩阵分解方法，并讨论它们的应用和优势。
一、LU分解LU分解是将一个方阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的过程。
通过LU分解，我们可以方便地求解线性方程组，计算逆矩阵等操作。
LU分解的过程可以通过高斯消元法来实现，如下所示：[ A ] = [ L ] [ U ]其中，[ A ]是需要分解的方阵，[ L ]是下三角矩阵，[ U ]是上三角矩阵。
二、QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R 的过程。
QR分解广泛应用于最小二乘拟合、信号处理和图像处理等领域。
QR分解的过程可以通过Gram-Schmidt正交化方法来实现，如下所示：[ A ] = [ Q ] [ R ]其中，[ A ]是需要分解的矩阵，[ Q ]是正交矩阵，[ R ]是上三角矩阵。
三、奇异值分解（SVD）奇异值分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵U、一个对角矩阵Σ和一个正交矩阵V的过程。
SVD广泛应用于图像压缩、降噪和数据降维等领域。
奇异值分解的过程可以通过特征值分解和奇异值分解算法来实现，如下所示：[ A ] = [ U ] [ Σ ] [ V ]^T其中，[ A ]是需要分解的矩阵，[ U ]是正交矩阵，[ Σ ]是对角矩阵，[ V ]是正交矩阵。
四、特征值分解特征值分解是将一个方阵分解为一个特征向量矩阵P和一个特征值对角矩阵D的过程。
特征值分解广泛应用于谱分析、动力系统和量子力学等领域。
特征值分解的过程可以通过求解特征值和特征向量来实现，如下所示：[ A ] = [ P ] [ D ] [ P ]^(-1)其中，[ A ]是需要分解的方阵，[ P ]是特征向量矩阵，[ D ]是特征值对角矩阵。
五、Cholesky分解Cholesky分解是将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵L和其转置矩阵的乘积的过程。
第五章 矩阵分解
, yn 即可（其实 y r 1 , 可以是任意数， 它们是自由变量）。那么
c1 / 1 c2 / 2 H V x cr / r 0 0 c1 / 1 c2 / 2 x V c r / r 0 0
设A是 m 矩阵， b是n维列向量，考虑如 n 下线性方程组
Ax b
在很多情形下，上述方程组没有解，
因此，我们计算其最小二乘解，即求x使 得 Ax 最小。 b2
设 A的奇异值分解为
0 r Vn A U ， 0 0
其中U,V是酉矩阵。可以证明2-范数具
有酉不变性，因此
A , Q R
则称此分解为A的QR分解(或酉三角分解)。
n n 当A R 时称为 A的正交三角分解。
例 5.2.3
m n 定理5.2.3 设 A C ，则存在酉矩阵
m m 使得 QC
，其中 A QR
是 R C m n
阶梯型矩阵。
例 5.2.4
5.2.3 QR分解的应用
的解，通常只需迭代几步就可以得到很精确 Ax b
的解。
5.2 QR分解
QR分解在解决最小二乘问题，特征值的 计算等方面有十分重要的应用。
5.2.1 Householder变换 在平面解析几何中，将向量 x 映射为关
于 x 轴对称的向量 y 的变换称为关于 x 轴的
x (x1 , x 2，则 )T 镜像变换（见图5.2.1）。设
D diag(1 ,, n ), i 0(i 1,, n)
矩阵分解方法
矩阵分解方法矩阵分解方法是一种将一个大型矩阵分解成小矩阵的技术。
这种方法在数学、计算机科学、物理和化学等领域都得到了广泛的应用。
本文将介绍这种技术的基本原理、常见方法以及应用案例。
一、基本原理矩阵分解技术的基本原理是将一个大型矩阵分解成小矩阵，这些小矩阵可以更容易地进行计算和存储。
通常情况下，矩阵可以分解成若干个子矩阵的乘积形式，即$A=BC$，其中$A$为大矩阵，$B$为左边的小矩阵，$C$为右边的小矩阵。
二、常见方法1.奇异值分解(SVD)奇异值分解是一种将一个矩阵分解成三个正交矩阵的乘积形式的方法。
其中一个正交矩阵包含了原矩阵的奇异值，而另外两个正交矩阵则包含了原矩阵的左右奇异向量。
这种方法在数据降维、信号处理、模式识别等领域得到了广泛的应用。
2.QR分解QR分解是一种将一个矩阵分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积形式的方法。
这种方法在线性代数、统计学、数值分析等领域得到了广泛的应用。
3.LU分解LU分解是一种将一个矩阵分解成一个下三角矩阵与一个上三角矩阵的乘积形式的方法。
这种方法在求解线性方程组时得到了广泛的应用。
三、应用案例1.推荐系统推荐系统是一种基于用户历史行为和偏好的算法，通过对用户喜好和商品特征进行分析和预测，为用户推荐最可能感兴趣的商品。
矩阵分解技术可以对用户行为和商品特征进行分解，从而得到用户和商品的隐含特征向量，从而更好地实现推荐。
Netflix prize就是一个基于矩阵分解技术的推荐系统竞赛。
2.图像处理图像处理是一种将数字信号处理与计算机视觉相结合的技术。
在图像处理中，矩阵分解技术可以将图像矩阵分解成若干个小矩阵，从而更好地实现图像处理和压缩。
3.自然语言处理自然语言处理是一种将人类语言转化为计算机可处理的形式的技术。
在自然语言处理中，矩阵分解技术可以将句子矩阵分解成若干个小矩阵，从而更好地实现语言模型训练和文本分类。
综上所述，矩阵分解方法具有广泛的应用价值和理论意义，在学术界和工业界都得到了广泛的关注和应用。
矩阵分解的原理及应用
矩阵分解的原理及应用1. 简介矩阵分解是一种数学方法，用于将一个矩阵拆分为多个子矩阵，以便更好地理解和处理复杂的数据结构。
通过矩阵分解，我们可以将原始数据表示为更简洁和易于处理的形式，从而方便进行各种分析和计算。
2. 矩阵分解的原理矩阵分解的原理基于线性代数的基本概念。
在矩阵分解中，我们将一个大矩阵拆分为若干个小矩阵，其中每个小矩阵都有特定的性质和结构。
这些小矩阵的组合可以恢复原始矩阵，并且在处理和分析数据时更加方便。
常见的矩阵分解方法包括：•LU分解：将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵，用于解线性方程组和计算行列式。
•QR分解：将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵，用于解决线性方程组和最小二乘拟合问题。
•奇异值分解（SVD）：将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是正交矩阵，另外两个矩阵分别是对角矩阵，用于降低数据维度和特征提取。
3. 矩阵分解的应用矩阵分解在很多领域都有广泛的应用，下面列举了几个常见的应用场景。
3.1 机器学习在机器学习中，矩阵分解被广泛应用于推荐系统、降维和聚类等任务。
通过对用户-物品评分矩阵进行矩阵分解，可以得到用户和物品的隐含特征向量，进而进行用户推荐和相似物品发现等任务。
3.2 图像处理图像处理中的矩阵分解常用于图像压缩和去噪等任务。
例如，奇异值分解可以将一幅图像表示为若干个特征图像的加权和，通过只保留其中的重要特征图像，可以实现图像的压缩和降噪。
3.3 自然语言处理在自然语言处理中，矩阵分解常用于词嵌入和主题模型等任务。
通过将单词-上下文共现矩阵进行矩阵分解，可以得到单词和上下文的隐含特征向量，进而进行语义相似度计算和文本分类等任务。
3.4 数据挖掘矩阵分解在数据挖掘中也有广泛的应用。
例如，矩阵分解可以用于聚类分析，将数据矩阵分解为聚类中心和样本权重矩阵，从而实现数据聚类和异常检测等任务。
4. 结语矩阵分解是一种重要的数学方法，可以将复杂的数据结构拆分为更简洁和易于处理的形式。
几种矩阵分解的条件
矩阵分解的条件有多种，具体取决于所选择的分解方法。
以下是几种常见矩阵分解方法的条件：
1. 奇异值分解（SVD）：一个矩阵A可以被分解为U S V^T的形式，其中U和V是酉矩阵，S 是对角矩阵，对角线上的元素是A的奇异值，且按降序排列。
A可以被分解的充分必要条件是A是方阵，且其奇异值非零。
2. QR分解：一个矩阵A可以被分解为Q R^T的形式，其中Q是酉矩阵，R是上三角矩阵。
A 可以被分解的充分必要条件是A是方阵，且其所有的特征值均非零。
3. Schmidt正交化：一个矩阵A可以被分解为P H^T的形式，其中P是正交矩阵，H是实对称矩阵。
A可以被分解的充分必要条件是A是方阵，且其所有的特征值均非零。
4. Givens变换：一个矩阵A可以被分解为一系列Givens变换的组合，每个Givens变换都是一个上/下三角矩阵的乘法。
A可以被分解的充分必要条件是A是方阵，且其所有的特征值均非零。
请注意，这些条件是充分必要条件，即满足这些条件的矩阵一定可以被成功分解，但反过来并不一定成立。
此外，对于某些特定的矩阵分解方法，可能还有一些额外的限制条件。
矩阵理论中的矩阵分解算法
矩阵理论中的矩阵分解算法矩阵是线性代数中的重要概念，常被用于描述线性映射、线性变换、方程组等问题。
在矩阵运算中，矩阵分解是一种常见的方法，它将一个大型复杂的矩阵分解成一些维度更小、结构更简单的矩阵，使得问题的解决更加高效。
在矩阵计算、数据分析、信号处理、图像处理等领域中，矩阵分解算法被广泛应用。
本文将简要介绍几种经典的矩阵分解算法。
1. LU分解LU分解是最基本的矩阵分解算法之一。
对于一个$n\times n$的矩阵$A$，如果可以将其分解为一个下三角矩阵$L$和一个上三角矩阵$U$的积，即$A=LU$，则称$A$可以进行LU分解。
其中下三角矩阵$L$的对角线元素全为1，上三角矩阵$U$的对角线元素即为矩阵$A$的主元，即$A_{ii}=U_{ii}$。
LU分解可以在$O(n^3)$的时间内完成，是一种较为简单和实用的矩阵分解算法。
LU分解可用于求解线性方程组、求行列式和矩阵的逆矩阵等问题。
2. QR分解QR分解是一种将矩阵分解为正交矩阵和上三角矩阵的积的方法，即$A=QR$。
对于一个$n\times n$的矩阵$A$，$Q$是一个正交矩阵，即$Q^TQ=I_n$，$R$是一个上三角矩阵。
QR分解可以在$O(n^3)$的时间内完成。
QR分解可以用于计算线性最小二乘问题、求解特征向量和特征值等问题。
3. SVD分解SVD分解全称奇异值分解（Singular Value Decomposition），是一种将矩阵分解为三个矩阵乘积的方法：$A=U\Sigma V^T$，其中$U$是一个正交矩阵，$\Sigma$是一个对角矩阵，$V$也是一个正交矩阵。
其中，$\Sigma$的对角线上的元素称为奇异值，它们是矩阵$A$奇异值分解的重要参数，反映了矩阵$A$的性质。
SVD分解可以在$O(n^3)$的时间内完成。
SVD分解常常用于图像处理、数据降维、矩阵压缩等问题。
4. Cholesky分解Cholesky分解是一种将对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵和其转置矩阵的积的方法。
(完整word版)矩阵分解及其简单应用
对矩阵分解及其应用矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质若干矩阵之积或之和，大体分为三角分解、QR 分解、满秩分解和奇异值分解。
矩阵的分解是很重要的一部分内容，在线性代数中时常用来解决各种复杂的问题，在各个不同的专业领域也有重要的作用。
秩亏网平差是测量数据处理中的一个难点，不仅表现在原理方面，更表现在计算方面，而应用矩阵分解来得到未知数的估计数大大简化了求解过程和难度。
1. 矩阵的三角分解如果方阵A可表示为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U之积，即A=LU 则称A可作三角分解。
矩阵三角分解是以Gauss消去法为根据导出的，因此矩阵可以进行三角分解的条件也与之相同，即矩阵A的前n-1个顺序主子式都不为0, 即?k工0.所以在对矩阵A进行三角分解的着手的第一步应该是判断是否满足这个前提条件，否则怎么分解都没有意义。
矩阵的三角分解不是唯一的，但是在一定的前提下，A=LDU勺分解可以是唯一的，其中D是对角矩阵。
矩阵还有其他不同的三角分解，比如Doolittle 分解和Crout 分解，它们用待定系数法来解求 A 的三角分解，当矩阵阶数较大的时候有其各自的优点，使算法更加简单方便。
矩阵的三角分解可以用来解线性方程组Ax=b。
由于A=LU，所以Ax=b可以变换成LU x=b，即有如下方程组：Ly = b{{Ux = y先由Ly = b依次递推求得y i, y2, ........ ，y n，再由方程Ux = y依次递推求得X n，x n-1 ， ... ，X1 .必须指出的是，当可逆矩阵A不满足?k工0时，应该用置换矩阵P左乘A以便使PA 的n个顺序主子式全不为零，此时有：Ly = pb{{ Ux = y 这样，应用矩阵的三角分解，线性方程组的解求就可以简单很多了。
2. 矩阵的QF分解矩阵的QR分解是指，如果实非奇异矩阵A可以表示为A=QR其中Q为正交矩阵，R为实非奇异上三角矩阵。
QR分解的实际算法各种各样，有Schmidt正交方法、Give ns方法和Householder方法，而且各有优点和不足。
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} for(i=0;i<m;i++) for(j=0;j<m;j++) { *(P+i*m+j)=*(L+i*m+j)=0; } for(i=0;i<m;i++) { *(P+i*m+i)=*(L+i*m+i)=1; } for(i=0;i<m&&i<n&&exsit==1;i++) { if(*(arrt+i*n+i)==0) //判断主元是否为0； { for(j=i+1;j<m+1;j++)//对主元下面的元素进行考察； { if(*(arrt+j*n+i)>0&&j<m)//存在大于0的主元； { for(k=0;k<n;k++) { t=*(arrt+j*n+k); //arr的i行与j行逐个进行值交换； *(arrt+j*n+k)=*(arrt+i*n+k); *(arrt+i*n+k)=t; change1=i; change2=j; } for(k=0;k<m;k++) { t=*(P+j*m+k); //P的i行与j行逐个进行值交换； *(P+j*m+k)=*(P+i*m+k); *(P+i*m+k)=t; } break; } if(j==n) {
float *Rsum= (float *)malloc(sizeof (float) * m*m); for(i=0;i<m;i++) //矩阵初始化 for(j=0;j<n;j++) { *(arrt+i*n+j)=*(arr+i*n+j); } for(i=0;i<m;i++) //矩阵初始化 for(j=0;j<m;j++) { *(H+i*m+j)=*(R+i*m+j)=0; } for(i=0;i<m;i++) { *(H+i*m+i)=*(R+i*m+i)=1; } for(j=0;j<n;j++) //对第A（n-j)阶子矩阵操作 { mod=0; modu=0; for(i=j;i<m;i++) //求列模值 { mod=sqrt((*(arrt+i*n+j))*(*(arrt+i*n+j))+mod*mod); } if(*(arrt+j*n+j)-mod) *(arrt+j*n+j)=*(arrt+j*n+j)-mod; else if((*(arrt+j*n+j)+mod)!=0) *(arrt+j*n+j)=*(arrt+j*n+j)+mod; else { printf("矩阵分解有误，存在全为0元素列！"); flag=0; break; } for(i=j;i<m;i++) //求列模值 {
if(n&&flag) { printf("A=QT的分解矩阵如下（其中Q为PA=T中P的逆矩阵）：\n"); printm('Q',RT,m,m); printm('T',arrt,m,n); printm('P',Rsum,m,m); } free(arrt); free(H); free(RT); free(Rsum); free(R); } void Givens(float *arr,int m,int n) { int i,j,l,k,flag=1; float mod,modu,c,s; float *arrt= (float *)malloc(sizeof (float)* m* n); float *G= (float *)malloc(sizeof (float) * m*m); float *R= (float *)malloc(sizeof (float) * m*m); float *RT= (float *)malloc(sizeof (float) * m*m); float *Rsum= (float *)malloc(sizeof (float) * m*m); for(i=0;i<m;i++) for(j=0;j<n;j++) { *(arrt+i*n+j)=*(arr+i*n+j); } for(i=0;i<m;i++) for(j=0;j<m;j++) { *(G+i*m+j)=*(R+i*m+j)=0; } for(i=0;i<m;i++) { *(G+i*m+i)=*(R+i*m+i)=1; }
} free(L); free(P); free(arrt); } void Gram_Schmint(float *arr,int m,int n) { int i,j,l; float mod,ip; float *arrt= (float *)malloc(sizeof (float)*m*n); float *Q= (float *)malloc(sizeof (float)*m*n); float *R= (float *)malloc(sizeof (float)*n*n); for(i=0;i<m;i++) for(j=0;j<n;j++) { *(arrt+i*n+j)=*(arr+i*n+j); *(Q+i*n+j)=0; } for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<n;j++) { *(R+i*n+j)=0; } for(j=0;j<n;j++) { mod=0; for(l=0;l<j;l++) { ip=0; for(i=0;i<m;i++) //A[*][j]与Q[*][l]做一次内积； { ip=ip+(*(arr+i*n+j))*(*(Q+i*n+l)); } *(R+l*n+j)=ip; //i行l行的Q值； for(i=0;i<m;i++) //A[*][l]存放消除前面基底的分量； {
{ case 1: PALU(arr,m,n); break; case 2: Gram_Schmint(arr,m,n); break; case 3: Household(arr,m,n); break; case 4: Givens(arr,m,n); break; case 5: flag=0; break; } } flag=1; printf("输入#结束，否则继续重新输入矩阵开始分解:"); getchar(); c=getchar(); free(arr); } } void PALU(float *arr,int m,int n) { int i,j,k,p,q,exsit=1,change1=0,change2=0; float t,s; float *arrt= (float *)malloc(sizeof (float)*m*n); float *P= (float *)malloc(sizeof (float) * m*m); float *L= (float *)malloc(sizeof (float) * m*m); for(i=0;i<m;i++) for(j=0;j<n;j++) { *(arrt+i*n+j)=*(arr+i*n+j);
*(arrt+i*n+j)=*(arrt+i*n+j)-ip*(*(Q+i*n+l)); } } for(i=0;i<m;i++) //计算模值 { mod=sqrt((*(arrt+i*n+j))*(*(arrt+i*n+j))+mod*mod); } if(!mod) { printf("A矩阵并不是行间线性无关！！无法QR分解！！\n"); break; } *(R+j*n+j)=mod; for(i=0;i<m;i++) { *(Q+i*n+j)=(*(arrt+i*n+j))/mod; } } if(mod) { printf("A=QR的分解矩阵如下：\n"); printm('Q',Q,m,n); printm('R',R,n,n); } free(Q); free(R); free(arrt); } void Household(float *arr,int m,int n) { int i,j,l,flag=1; float mod,modu; float *arrt= (float *)malloc(sizeof (float)* m* n); float *H= (float *)malloc(sizeof (float) * m*m); float *R= (float *)malloc(sizeof (float) * m*m); float *RT= (float *)malloc(sizeof (float) * m*m);