《用频率估计概率》概率的进一步认识PPT课件
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《用频率估计概率》概率的进一步认识PPT
2 在“拋掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别 标有数字“1”，“2”，“3”，“4”（，来自“《5”典中和点“6》”）， 如果试验的次数增多，出现数字“6”的频率的变化趋势 是接近________．
知识点 2
知2－讲
利用频率估计非等可能事件的概率
1．非等可能事件是无法用概率公式求概率的，只 能通过大量试验，用频率来估计概率．
种 方 法
器产生 随机数 来模拟
器模拟试验．设计模拟试验时有n种可能，就要用计算器产生1～n的随机 数，调查n个人就需一次取n个数作为一次试验
试验 (2)用计算器产生随机数的步骤：进入随机数的状态→输入所产生的随机数
的范围→按键得出随机数．不同的计算器产生随机数的具体步骤可能不同
知3－讲
【例3】假设某省12个地区买该省发行的第188期某彩票的
（来自《点拨》）
解：(1)表中从左到右依次填18，0.52，0.55. (2)绘制的频率分布折线图如图.
知2－讲
(3)随着试验次数的增加，“兵”字面朝上（的来自频《率点逐拨渐》稳） 定在0.55左右，利用这个频率估计P（“兵”字面朝上）
知2－练
1 王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅
知3－练
2 某人做投硬币试验时，投掷m次，正面朝上n次(即正
n
面朝上的频率P＝1 m )，则下列说法正确的是( )
2
A．P一定等于 1
2 1
B．P一定不等于
2
1
C．多投一次，P更接近
2
（来自《典中点》）
D．投掷次数逐渐增加，P稳定在 附近
频率与概率间的关系： (1)概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映； (2)概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，
知识点 2
知2－讲
利用频率估计非等可能事件的概率
1．非等可能事件是无法用概率公式求概率的，只 能通过大量试验，用频率来估计概率．
种 方 法
器产生 随机数 来模拟
器模拟试验．设计模拟试验时有n种可能，就要用计算器产生1～n的随机 数，调查n个人就需一次取n个数作为一次试验
试验 (2)用计算器产生随机数的步骤：进入随机数的状态→输入所产生的随机数
的范围→按键得出随机数．不同的计算器产生随机数的具体步骤可能不同
知3－讲
【例3】假设某省12个地区买该省发行的第188期某彩票的
（来自《点拨》）
解：(1)表中从左到右依次填18，0.52，0.55. (2)绘制的频率分布折线图如图.
知2－讲
(3)随着试验次数的增加，“兵”字面朝上（的来自频《率点逐拨渐》稳） 定在0.55左右，利用这个频率估计P（“兵”字面朝上）
知2－练
1 王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅
知3－练
2 某人做投硬币试验时，投掷m次，正面朝上n次(即正
n
面朝上的频率P＝1 m )，则下列说法正确的是( )
2
A．P一定等于 1
2 1
B．P一定不等于
2
1
C．多投一次，P更接近
2
（来自《典中点》）
D．投掷次数逐渐增加，P稳定在 附近
频率与概率间的关系： (1)概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映； (2)概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，
新北师大版九年级数学上册《用频率估计概率》课件(共9张)
np
20 0.4114 29 0.6810 38 0.8641 47 0.9548
21 0.4437 30 0.7105 39 0.8781 48 0.9606
22 0.4757 31 0.7305 40 0.8912 49 0.9658
23 0.5073 32 0.7533 41 0.9032 50 0.9704
28 0.6545 37 0.8487 46 0.9483 55 0.9863
练习提高
1、 每个同学课外调查的10个人的 生肖分别是什么?
2、 他们中有两个人的生肖相同吗? 为什么?
3、 6个人中呢?为什么?
4、 利用全班的调查数据设计一个 方案,估计6个人中有两个人的生肖 相同的概率.
课时小结
24 0.5383 33 0.7750 42 0.9140 51 0.9744
25 0.5687 34 0.7953 43 0.9239 52 0.9780
26 0.5982 35 0.8144 44 0.9329 53 0.9811
27 0.6269 36 0.8322 45 0.9410 54 0.9839
成读 的书
两，
件要
事么
。旅
。行
，
身
体
和
灵
魂
总
要
我们，还在路上……
想一想
如果你们班50个同学中没有两个 同学的生日相同,那么能说明50个同 学中没有两个同学的生日相同的概率 是0吗?为什么?
设计活动
每个同学课外调查10个人的生日, 从全班的调查结果中随机选取50个被调 查人,看看他们中有无两个人的生日相 同.将全班同学的调查数据集中起来,设 计一个方案,估计50个人中有两个人的 生日相同的概率.
北师大版九年级数学上册《用频率估计概率》概率的进一步认识PPT
计，并把获得的数据记录在表中. 请你帮忙完成此表.
柑橘总质量 n/kg
50
100 150 200 250 300 350 400 450 500
损坏柑橘质
量 m/kg
5.5 10.5 15.15 19.42 24.25 30.92 35.32 39.24 44.57 51.54
柑橘损坏的 频率( 结果 保册小数点 0.110 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 后三位 )
北师大版九年级上册数学同步课件
3.2 用频率估计概率
1 学习目标 2 新课引入 3 新知学习 4 课堂小结
用频率估计概率 学习目标
1. 理解试验次数较大时试验频率趋于稳定这一规律； 2. 结合具体情境掌握如何用频率估计概率； 3. 通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系．
用频率估计概率 新课引入
试验次数越多，频率越趋向于概率.
温馨提示 用试验的频率估计概率时，必须保证每次试验都是在相同的条件下 进行的，且试验次数要足够多.
用频率估计概率 频率与概率的区别
频率
试验值 与试验次数的变化有关
概率
理论值 与试验次数的变化无关
温馨提示 注意：最后答案要写“估计”，或“大约”.
用频率估计概率
3. 某池塘里养了鱼苗 10 万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为 95%，一段时间准备打捞出售，第一网捞出 40 条，称得平均每条鱼重 2.5 千克，第二网捞出 25 条，称得平均每条鱼重 2.2 千克，第三网捞出 35 条，称得平均每条鱼重 2.8 千克，试估计这池塘中鱼的重量.
抛掷一枚硬币，硬币落地后，会出现哪些可能的结果呢？ 出现“正面朝上”和“反面朝上”2 种情况
《用频率估计概率》PPT课件 北师大版九年级数学
第三章
概率的进一步认识
3.2 用频率估计概率
导入新课
在班级中有多少人生日相同？
探究新知
1. 400个同学中，一定有2人的生日相同（可以不同年）吗？
2. 300个同学中，一定有2人的生日相同吗？
3. 50个人中，就很可能有2人的生日相同的.
你同意这种说法吗？
探究新知
想一想
如果你们班50个同学中有2个同学的生日相同，那么
－
.
当堂训练
1. 每个同学课外调查的10个人的生肖分别是什么？
他们中有 2个人的生肖相同吗？6个人中呢？
当堂训练
2. 一个口将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的
颜色后再放回口袋中. 不断重复这一过程，共摸了100次球，
发现有69次摸到红球. 请你估计口袋中红球和白球的数量.
相同. 从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球的概率
是多少？
这个球是红球的概率是
3
10
.
探究新知
2. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相
同. 如果不将球倒出来数，那么你能设计一个试验方案，
估计其中红球和白球的比例吗？
探究新知
可以先将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个，记下
颜色后放回. 不断重复这个过程，共摸n次（n要足够大，例如，
口袋中大约有7个红球、3个白球.
课堂小结
1. 经历了调查、收集数据、整理数据、进行试验、
统计结果、合作交流的过程，知道了用试验频
率来估计一些复杂的随机事件的概率，当试验
次数越多时，试验频率稳定于理论概率.
2. 直觉不可靠.
说明50个同学中有2个同学的生日相同的概率是1吗？为
概率的进一步认识
3.2 用频率估计概率
导入新课
在班级中有多少人生日相同？
探究新知
1. 400个同学中，一定有2人的生日相同（可以不同年）吗？
2. 300个同学中，一定有2人的生日相同吗？
3. 50个人中，就很可能有2人的生日相同的.
你同意这种说法吗？
探究新知
想一想
如果你们班50个同学中有2个同学的生日相同，那么
－
.
当堂训练
1. 每个同学课外调查的10个人的生肖分别是什么？
他们中有 2个人的生肖相同吗？6个人中呢？
当堂训练
2. 一个口将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的
颜色后再放回口袋中. 不断重复这一过程，共摸了100次球，
发现有69次摸到红球. 请你估计口袋中红球和白球的数量.
相同. 从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球的概率
是多少？
这个球是红球的概率是
3
10
.
探究新知
2. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相
同. 如果不将球倒出来数，那么你能设计一个试验方案，
估计其中红球和白球的比例吗？
探究新知
可以先将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个，记下
颜色后放回. 不断重复这个过程，共摸n次（n要足够大，例如，
口袋中大约有7个红球、3个白球.
课堂小结
1. 经历了调查、收集数据、整理数据、进行试验、
统计结果、合作交流的过程，知道了用试验频
率来估计一些复杂的随机事件的概率，当试验
次数越多时，试验频率稳定于理论概率.
2. 直觉不可靠.
说明50个同学中有2个同学的生日相同的概率是1吗？为
初中数学九年级上册25.3《用频率估计概率》PPT课件
袋中摇匀，不断重复上述过程20次，得到红球数与10的
比值的平均数为0.4．根据上述数据，估计口袋中大约
答案:15.
有
个黄球．
4.在有一个10万人的小镇, 随机调查了2000人,其 中有250人看中央电视 台的早间新闻.在该镇 随便问一个人,他看早 间新闻的概率大约是 多少?该镇看中央电视 台早间新闻的大约是
券，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖20个，三等奖
（301个）一.已张知奖每券张中奖特券等获奖奖的的概可率能；性P =相1同010 .求：
（2）一张奖券中奖的概率；P =
1+10+20+30 100
61 = 100
（3）一张奖券中一等奖或二等奖的概率.
P
=1100+02=0
13000=
3 10
2、九年级三班同学作了关于私家车乘坐人数的统计,在
100辆私家车中,统计结果如下表:
每辆私家车乘客数目
1
2
3
4
5
私家车数目
58
27
8
4
3
根据以上结果,估计抽查一辆私家车而它载有超过2名乘客
【的解概析率】是P多=少8?1+040+3 =
15 100
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=
3 20
=
0.15
例题
【例2】生命表又称死亡 表,是人寿保险费率计算 的主要依据,如下图是 2010年6月中国人民银行 发布的中国人寿保险经验 生命表,(2006-2009年)的 部分摘录,根据表格估算
摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复
上述过程后，她发现摸到黑球的频率在0.7附近波动，
据答此案可:2以10估0计个黑. 球的个数约是
2用频率估计概率PPT课件(沪科版)
决的问题有办法解决了．这个问题是：在一个不透明的口 袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，
拓展与延伸
如何估计白球的个数？请你应用统计与概率的思想和方法
解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法
(可以借助其他工具及用品)．
解：（3）白球有20×0.6＝12(个)，黑球有20－12＝8(个)．
事
件
产生结果
频 率
1.频率与概率的 区分与联系
产 生 的 可 能
等可能
产生结果不 等可能
值 大量重复 逐
实验 渐 稳 定
概 转化成数 率 学问题
2.用频率估计事 件产生的概率
3.用替代物进行 模拟实验
性
当堂小练
1.在大量重复实验中，关于随机事件产生的频率与概 率，下列说法正确的是（ D ） A.频率就是概率 B.频率与实验次数无关 C.概率是随机的，与频率无关 D.随着实验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
拓展与延伸
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ___0_._6___(精确到0.1)．
(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是___0_.6____，摸 到黑球的概率是___0_._4___．
(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？ (4)解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未
每批实验粒数n 2 5 10 70 130 310 700 1500 2000 3000
发芽粒数m 2 4
9 60 116 282 639 1339 1806 2715
发芽的频率 1 0.800 0.900 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905
拓展与延伸
如何估计白球的个数？请你应用统计与概率的思想和方法
解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法
(可以借助其他工具及用品)．
解：（3）白球有20×0.6＝12(个)，黑球有20－12＝8(个)．
事
件
产生结果
频 率
1.频率与概率的 区分与联系
产 生 的 可 能
等可能
产生结果不 等可能
值 大量重复 逐
实验 渐 稳 定
概 转化成数 率 学问题
2.用频率估计事 件产生的概率
3.用替代物进行 模拟实验
性
当堂小练
1.在大量重复实验中，关于随机事件产生的频率与概 率，下列说法正确的是（ D ） A.频率就是概率 B.频率与实验次数无关 C.概率是随机的，与频率无关 D.随着实验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
拓展与延伸
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ___0_._6___(精确到0.1)．
(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是___0_.6____，摸 到黑球的概率是___0_._4___．
(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？ (4)解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未
每批实验粒数n 2 5 10 70 130 310 700 1500 2000 3000
发芽粒数m 2 4
9 60 116 282 639 1339 1806 2715
发芽的频率 1 0.800 0.900 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905
《用频率估计概率》ppt课件
频率的定义
01
频率是指在一定数量的 试验或观察中某一事件 发生的次数与总次数之 比。
02
03
04
频率通常用分数或小数 表示，并且具有以下特 点
• 频率介于0和1之间， 即0≤频率≤1。
• 当试验次数趋向于无 穷时，频率趋向于某 一固定值，即概率。
频率与概率的关系
频率是概率的近似值，当试验次数足够多时，频率趋近于概率。
人工智能算法
人工智能算法中，频率估计概率的方法也被 广泛应用。许多机器学习算法和自然语言处 理算法都需要用到概率和统计学的知识，而 频率估计概率是其中的重要组成部分。
例如，在自然语言处理中，词频统计是一种 常见的方法，通过对大量文本数据的分析， 可以估计某个词出现的概率，从而更好地理 解和处理自然语言。同样地，在机器学习中 ，频率估计概率的方法也被用于分类、聚类
交叉验证
采用交叉验证等方法评估频率 估计概率的准确性，以提高预
测的可靠性。
05
频率估计概率的应用场景
统计学研究
统计学研究是频率估计概率的重要应用领域之一。在统计 学中，频率估计概率的方法被广泛应用于数据分析和推断 中，例如在样本大小的计算、假设检验和置信区间的确定 等方面。
频率估计概率可以帮助统计学家了解数据分布的特征和规 律，从而为决策提供科学依据。例如，在市场调研中，通 过频率估计概率可以对市场趋势和消费者行为进行预测和 分析。
0到1之间，其中0表示事件不可能发 生，1表示事件一定发生。
概率的估计方法
01
02
03
直接估计
通过观察和实验直接得到 随机事件的频率，从而估 计概率。
间接估计
通过已知的概率分布函数 或者概率密度函数来计算 概率。
北师大版九年级数学上册《用频率估计概率》概率的进一步认识PPT精品课件
◆问题3
为什么要用投掷硬币的方法呢？ 理由： _这__样__做_公__平___．_能___保__证__小__强__和__小__明__得__到__球__票__的__可__能__性__一__样__大__，___ _即_得__票__概___率__相_同___．_______________________________________
试验者
抛掷次数 n
“正面向上” 次数m
棣莫弗 2048
1061
布 丰 4040
2048
费 勒 10000
4979
皮尔逊 12000
6019
皮尔逊 24000 12012
“正面向上” 频率( ) 0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
归纳总结
通过大量重复试验，可以用随机事件 发生的频率来估计该事件发生的概率.
活动2
图钉落地的试验 从一定高度落下的图钉，着地时会有哪些可能的结果？ 其中顶帽着地的可能性大吗？
做做试验来解 决这个问题.
(1)选取20名同学，每位学生依次使图钉从高处落下20次，并根据试验结 果填写下表.
试验累计次数
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
钉帽着地的次数(频数) 9 19 36 50 61 68 77 84 95 109
对于问题(2)， “不一定”的答案．
对于问题(3)，表示怀疑，不太相信．
典例讲解
例1 某篮球队教练记录该队一名主力前锋练习罚篮的结果如下：
练习罚篮次数
30
60 90 150 200 300 400 500
罚中次数
27
45 78 118 161 239 322 401
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出现反面的可能也为0.5
这就是为什么我们在抛一次硬币时,说出现正面的 可能为0.5,出现反面的可能为0.5.
随机事件在一次试验中是否 发生虽然不能事先确定，但是在 大量重复试验的情况下，它的发 生呈现出一定的规律性．出现的 频率值接近于常数.
随机事件及其概率
某批乒乓球产品质量检查结果表：
m 优等品数
当试验的油菜籽的粒数很多时，油菜籽发芽
m 的频率 n 接近于常数0.9，在它附近摆动。
随机事件及其概率
事件 A 的概率的定义:
一般地，在大量重复进行同一试
验的时次，数,事m件是事A 件发发生生的的频频率数mn )(总n为是实接验
近于某个常数，在它附近摆动，这时
就把这个常数叫做事件A 的概率，记
做 PA p ．
成活数（m） 8 47
235 369 662
成活的频率( m )
n
0.8
0.94 0.870 0.923
0.883
1500
1335
0.890
3500 7000 9000 14000
3203 6335 8073 12628
0.915 0.905 0.897
0.902
数学史实
人们在长期的实践中发现,在随机试验中,由于众多微 小的偶然因素的影响,每次测得的结果虽不尽相同,但大量 重复试验所得结果却能反应客观规律.这称为大数法则,亦 称大数定律.
求抽取一件衬衫是优等品的概率约是多少？ 抽取衬衫2000件，约有优质品几件？
例２填表
某射手进行射击，结果如下表所示：
射击次 ２０ １００ ２００ ５００ ８００ 数n
击中靶
心次数 １３ m
５８
１０４ ２５５ ４０４
击中靶
心频率 0.65 0.58 0.52 0.51 0.55
m/n
(1)这个射手射击一次，击中靶心的概率是
频率m/n
1
0.5
抛掷次数n
2048 4040 12000
24000 30000
72088
实验结论: 当抛硬币的次数很多时,出现下面的频率值是
稳定的,接近于常数0.5,在它附近摆动.
我们知道,当抛掷一枚硬币时,要么出现正面,要么出现反面, 它们是随机的.通过上面的试验,我们发现在大量试验中出现正 面的可能为0.5,那么出现反面的可能为多少呢?
移植总数（n） 10
成活数（m） 8
成活的频率( m )
n
0.8
50
47
0.94
270
235
0.870
400
369
0.923
750
662
0.883
1500
1335
0.890
3500 7000 9000
3203 6335 8073
0.915 0.905 0.897
14000
12628
0.902
估计移植成活率
由下表可以发现，幼树移植成活的频率在＿＿0＿.9 ＿左右摆动，
并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显.
所以估计幼树移植成活的概率为＿＿＿0.＿9 ＿．
移植总数（n） 10
成活数（m） 8
成活的频率( m )
n
0.8
1.林业50部门种植了该幼树140700棵,估计能成活0__.99_04_0___棵.
可以看到事件发生的可
能性越大概率就越接近 1;反之, 事件发生的可能 性越小概率就越接近0
例１：对一批衬衫进行抽查，结果如下表：
抽取 50 件数n
100 200 500 800 1000
优等
品件 数m
42 88 176 445 724 901
优等
品频 0.84 0.88 0.88
率m/n
0.89 0.905 0.901
由定义可知:
（1）求一个事件的概率的基本方法是通 过大量的重复试验；
（2）只有当频率在某个常数附近摆动时， 这个常数才叫做事件A 的概率；
（3）概率是频率的稳定值，而频率是概 率的近似值；
（4）概率反映了随机事件发生的可能性 的大小；
（5）必然事件的概率为1，不可能事件的
概率为0．因此 0 PA 1．
多少？
０.５
(2)这射手射击1600次，击中靶心的次数是 800 。
估计移植成活率 是实际问题中的一种概率,可理解为成活的概率. 某林观业察部在门各要次考试查某验种中幼得树到在的一幼定条树件成下活的的移频植率成活，率谈,应谈
应你采的用什看么法具．体做法?
移植总数（n） 10 50 270 400 750
第三章 概率的进一步认识
在同样条件下，随机事件可能发生，也可 能不发生，那么它发生的可能性有多大呢？ 这是我们下面要讨论的问题。
探究：投掷硬币时，国徽朝上的可能性有多大？
历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复实验， 结果如下表所示
抛掷次数（n) 2048 4040 12000 30000 24000 72088 正面朝上数(m) 1061 2048 6019 14984 12012 36124 频率(m/n) 0.518 0.506 0.501 0.4996 0.5005 0.5011
共同练习
完成下表, 利用你得到的结论解答下列问题:
柑橘总质量（n）/千克
损坏柑橘质量（m）/千克
柑橘损坏的频率（
m n
）
50
5.50
0.110
100
10.5
0.105
150
15.15
Байду номын сангаас0.101
200
19.42
0.097
250
24.25
0.097
300
30.93
0.103
350
35.32
0.101
400
39.24
0.098
270
235
0.870
2.我们学校需种植这样的树苗500棵来绿化校园,则至少
400
369
0.923
向林业部门购买约__5_5_6___棵.
750
662
0.883
1500
1335
0.890
3500 7000 9000
3203 6335 8073
0.915 0.905 0.897
14000
12628
0.902
45 92 194 470 954 1902
n 抽取球数
50 100 200 500 1000 2000
m 优等品频率
0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
n
m
当抽查的球数很多时，抽到优等品的频率
接近于常常数数0.95，在它附近摆动。
n
某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果 表：
频率稳定性定理
由频率可以估计概率是由瑞士数学家雅 各布·伯努利（1654－1705）最早阐明的，因 而他被公认为是概率论的先驱之一．
估计移植成活率
由下表可以发现，幼树移植成活的频率在＿＿0＿.9 ＿左右摆动，
并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显.
所以估计幼树移植成活的概率为＿＿＿0.＿9 ＿．
这就是为什么我们在抛一次硬币时,说出现正面的 可能为0.5,出现反面的可能为0.5.
随机事件在一次试验中是否 发生虽然不能事先确定，但是在 大量重复试验的情况下，它的发 生呈现出一定的规律性．出现的 频率值接近于常数.
随机事件及其概率
某批乒乓球产品质量检查结果表：
m 优等品数
当试验的油菜籽的粒数很多时，油菜籽发芽
m 的频率 n 接近于常数0.9，在它附近摆动。
随机事件及其概率
事件 A 的概率的定义:
一般地，在大量重复进行同一试
验的时次，数,事m件是事A 件发发生生的的频频率数mn )(总n为是实接验
近于某个常数，在它附近摆动，这时
就把这个常数叫做事件A 的概率，记
做 PA p ．
成活数（m） 8 47
235 369 662
成活的频率( m )
n
0.8
0.94 0.870 0.923
0.883
1500
1335
0.890
3500 7000 9000 14000
3203 6335 8073 12628
0.915 0.905 0.897
0.902
数学史实
人们在长期的实践中发现,在随机试验中,由于众多微 小的偶然因素的影响,每次测得的结果虽不尽相同,但大量 重复试验所得结果却能反应客观规律.这称为大数法则,亦 称大数定律.
求抽取一件衬衫是优等品的概率约是多少？ 抽取衬衫2000件，约有优质品几件？
例２填表
某射手进行射击，结果如下表所示：
射击次 ２０ １００ ２００ ５００ ８００ 数n
击中靶
心次数 １３ m
５８
１０４ ２５５ ４０４
击中靶
心频率 0.65 0.58 0.52 0.51 0.55
m/n
(1)这个射手射击一次，击中靶心的概率是
频率m/n
1
0.5
抛掷次数n
2048 4040 12000
24000 30000
72088
实验结论: 当抛硬币的次数很多时,出现下面的频率值是
稳定的,接近于常数0.5,在它附近摆动.
我们知道,当抛掷一枚硬币时,要么出现正面,要么出现反面, 它们是随机的.通过上面的试验,我们发现在大量试验中出现正 面的可能为0.5,那么出现反面的可能为多少呢?
移植总数（n） 10
成活数（m） 8
成活的频率( m )
n
0.8
50
47
0.94
270
235
0.870
400
369
0.923
750
662
0.883
1500
1335
0.890
3500 7000 9000
3203 6335 8073
0.915 0.905 0.897
14000
12628
0.902
估计移植成活率
由下表可以发现，幼树移植成活的频率在＿＿0＿.9 ＿左右摆动，
并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显.
所以估计幼树移植成活的概率为＿＿＿0.＿9 ＿．
移植总数（n） 10
成活数（m） 8
成活的频率( m )
n
0.8
1.林业50部门种植了该幼树140700棵,估计能成活0__.99_04_0___棵.
可以看到事件发生的可
能性越大概率就越接近 1;反之, 事件发生的可能 性越小概率就越接近0
例１：对一批衬衫进行抽查，结果如下表：
抽取 50 件数n
100 200 500 800 1000
优等
品件 数m
42 88 176 445 724 901
优等
品频 0.84 0.88 0.88
率m/n
0.89 0.905 0.901
由定义可知:
（1）求一个事件的概率的基本方法是通 过大量的重复试验；
（2）只有当频率在某个常数附近摆动时， 这个常数才叫做事件A 的概率；
（3）概率是频率的稳定值，而频率是概 率的近似值；
（4）概率反映了随机事件发生的可能性 的大小；
（5）必然事件的概率为1，不可能事件的
概率为0．因此 0 PA 1．
多少？
０.５
(2)这射手射击1600次，击中靶心的次数是 800 。
估计移植成活率 是实际问题中的一种概率,可理解为成活的概率. 某林观业察部在门各要次考试查某验种中幼得树到在的一幼定条树件成下活的的移频植率成活，率谈,应谈
应你采的用什看么法具．体做法?
移植总数（n） 10 50 270 400 750
第三章 概率的进一步认识
在同样条件下，随机事件可能发生，也可 能不发生，那么它发生的可能性有多大呢？ 这是我们下面要讨论的问题。
探究：投掷硬币时，国徽朝上的可能性有多大？
历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复实验， 结果如下表所示
抛掷次数（n) 2048 4040 12000 30000 24000 72088 正面朝上数(m) 1061 2048 6019 14984 12012 36124 频率(m/n) 0.518 0.506 0.501 0.4996 0.5005 0.5011
共同练习
完成下表, 利用你得到的结论解答下列问题:
柑橘总质量（n）/千克
损坏柑橘质量（m）/千克
柑橘损坏的频率（
m n
）
50
5.50
0.110
100
10.5
0.105
150
15.15
Байду номын сангаас0.101
200
19.42
0.097
250
24.25
0.097
300
30.93
0.103
350
35.32
0.101
400
39.24
0.098
270
235
0.870
2.我们学校需种植这样的树苗500棵来绿化校园,则至少
400
369
0.923
向林业部门购买约__5_5_6___棵.
750
662
0.883
1500
1335
0.890
3500 7000 9000
3203 6335 8073
0.915 0.905 0.897
14000
12628
0.902
45 92 194 470 954 1902
n 抽取球数
50 100 200 500 1000 2000
m 优等品频率
0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
n
m
当抽查的球数很多时，抽到优等品的频率
接近于常常数数0.95，在它附近摆动。
n
某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果 表：
频率稳定性定理
由频率可以估计概率是由瑞士数学家雅 各布·伯努利（1654－1705）最早阐明的，因 而他被公认为是概率论的先驱之一．
估计移植成活率
由下表可以发现，幼树移植成活的频率在＿＿0＿.9 ＿左右摆动，
并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显.
所以估计幼树移植成活的概率为＿＿＿0.＿9 ＿．