信号与系统-郑君里第三章
【信号与系统(郑君里)课后答案】第三章习题解答
3-1 解题过程：（1）三角形式的傅立叶级数（Fourier Series ，以下简称 FS ）f ( t ) = a ++∞cos ( n ω t) + b sin ( n ω t ) a 0 ∑ n 1n 1 n =1式中ω1 =2π，n 为正整数，T 1 为信号周期T 11 t +T（a ）直流分量a 0 = 0 ∫ 1 f ( t ) dtT1 t2 t +T（b ）余弦分量的幅度a n = 0∫ 1f ( t ) cos ( n ω1t ) dtT1 t 02 t +T（c ）正弦分量的幅度b n = 0 ∫ 1f ( t ) sin ( n ω1t ) dtT 1 t（2）指数形式的傅立叶级数+∞f ( t ) = ∑ F ( n ω1 )e jn ω1tn =其中复数频谱F n= F ( n ω1 ) = 1 ∫t 0 +T 1f ( t ) e − jn ω1t dt T 1 t 0F n =1( a n − jb n ) F − n = 1 ( a n + jb n ) 2 2由图 3-1 可知， f ( t ) 为奇函数，因而a 0 = a n = 04 Tb n = T ∫02= 2Eπ n4TE−2EEf (t ) sin ( n ω t ) dt =sin ( n ω t ) dt = cos ( n ω t = 1 − cos ( n π2T 1 ∫0 2 1 n t 1 n ) 1n = 2, 4,n = 1, 3,所以，三角形式的 FS 为2 E1 12π f ( t ) =sin ( ω1t ) +sin ( 3ω1t ) +sin ( 5ω1t ) +ω1 =π 3 5T指数形式的 FS 的系数为1n = 0, ±2, ±4,F n = − jb n jE=2 n = 0,−± 1, ±3,n π1所以，指数形式的 FS 为f ( t ) = − jE π ej ω1t+ πjE e − j ω1t − 3jE π e j 3ω1t + 3jEπ e − j 3ω1t +3-15 分析：半波余弦脉冲的表达式 f ( t ) =πτ E cos t u t+ τ 2求 f ( t ) 的傅立叶变换有如下两种方法。
信号与系统_郑君里_第三版_课件
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积分器：
R
C vo ( t )
微分器： C
vi(t)
vi(t)
R
vo ( t )
电视系统：
黑灰白 消息 变换器 发射机 信道 （空间） 接收机 变换器
黑灰 白 消息
（图像） （摄像机）
（显像管） （图像）
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1.2 信号分类和典型信号
1.2.1 信号的分类
对于各种信号，可以从不同角度进行分类。
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5
系统：一组相互有联系的事物并具有特定功能的整体。
系统可分为物理系统和非物理系统。如：电路系统、 通信系统、自动控制系统、机械系统、光学系统等属于 物理系统；而生物系统、政治体制系统、经济结构系统、 交通系统、气象系统等属于非物理系统 。 每个系统都有各自的数学模型。两个不同的系统可 能有相同的数学模型，甚至物理系统与非物理系统也可 能有相同的数学模型。将数学模型相同的系统称为相似 系统。
(t )
t
( t0 )d u (t t0 )
（1）
0 u(t) 1 0
25
u(t)与 (t ) 的关系：
t
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t
( )d u(t )
d u (t ) (t ) dt
t
( t0 )d u(t t0 )
t
d u (t t0 ) (t t0 ) dt
f (t ) (t ) f (0) (t )
f (t )
f (0)
(1)
(t )
(1)
f (0) (t )
郑君里《信号与系统》(第3版)(上册)(课后习题 傅里叶变换)【圣才出品】
第3章 傅里叶变换3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅里叶级数（三角形式与指数形式）。
图3-1解：（1）三角形式由图3-1可知，f(t)为奇函数，故有所以三角形式的傅里叶级数为。
（2）指数形式因所以指数形式的傅里叶级数为。
3-2 周期矩形信号如图3-2所示。
若：重复频率f=5kHz脉宽τ=20μs幅度E=10V求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。
图3-2解：由图3-2可知，f(x)为偶函数，且f=5kHz，得：所以直流分量为1V基波分量为1sin() 1.3910Vπ=≈二次谐波为2sin( 1.325Vπ=≈三次谐波为。
33sin() 1.2110V π=≈3-3 若周期矩形信号f 1（t ）和f 2（t ）波形如图3-2所示，f 1（t ）的参数为τ=0.5μs，T=1μs，E=1V ；f 2（t ）的参数为τ=1.5μs，T=3μs，E=3V ，分别求：（1）f 1（t ）的谱线间隔和带宽（第一零点位置）频率单位以kHz 表示；（2）f 2（t ）的谱线间隔和带宽；（3）f 1（t ）与f 2（t ）的基波幅度之比；（4）f 1（t ）基波与f 2（t ）三次谐波幅度之比。
解：由题3-2的结论可知，f(t)的傅里叶级数可表示为其中，。
（1）f 1（t ）的谱线间隔，则带宽：。
（2）f 2（t ）的谱线间隔带宽：。
（3）由题3-2可知，所以f 1（t ）的基波幅度为：f 2（t ）的基波幅度为：故。
（4）的三次谐波幅度为：故。
3-4 求图3-3所示周期三角信号的傅里叶级数并画出频谱图。
图3-3解：由图3-3可知，f(t)为偶函数，故。
bn所以的傅里叶级数可表示为()f t其幅度谱如图3-4所示。
图3-43-5 求图3-5所示半波余弦信号的傅里叶级数。
若E=10V ，f=10kHz ，大致画出幅度谱。
图3-5解：由图3-5可知，f(t)为偶函数，因而b n =0，（）；所以其傅里叶级数可表示为若E=10V ，，则幅度谱如图3-6所示。
信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换
t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）
【信号与系统（郑君里）课后答案】第三章习题解答
【信号与系统（郑君⾥）课后答案】第三章习题解答3-1 解题过程：（1）三⾓形式的傅⽴叶级数（Fourier Series ，以下简称 FS ）f ( t ) = a ++∞cos ( n ω t) + b sin ( n ω t ) a 0 ∑ n 1n 1 n =1式中ω1 =2π，n 为正整数，T 1 为信号周期T 11 t +T（a ）直流分量a 0 = 0 ∫ 1 f ( t ) dtT1 t2 t +T（b ）余弦分量的幅度a n = 0∫ 1f ( t ) cos ( n ω1t ) dtT1 t 02 t +T（c ）正弦分量的幅度b n = 0 ∫ 1f ( t ) sin ( n ω1t ) dtT 1 t（2）指数形式的傅⽴叶级数+∞f ( t ) = ∑ F ( n ω1 )e jn ω1tn == F ( n ω1 ) = 1 ∫t 0 +T 1f ( t ) e ? jn ω1t dt T 1 t 0F n =1( a n ? jb n ) F ? n = 1 ( a n + jb n ) 2 2由图 3-1 可知， f ( t ) 为奇函数，因⽽a 0 = a n = 0 4 Tb n = T ∫02= 2Eπ n4TE2EEf (t ) sin ( n ω t ) dt =sin ( n ω t ) dt = cos ( n ω t = 1 ? cos ( n π2T 1 ∫0 2 1 n t 1 n ) 1n = 2, 4,n = 1, 3,所以，三⾓形式的 FS 为2 E1 12π f ( t ) =sin ( ω1t ) +sin ( 3ω1t ) +sin ( 5ω1t ) +ω1 =π 3 5Tn = 0, ±2, ±4,F n = ? jb n jE=2 n = 0,± 1, ±3,n π1所以，指数形式的 FS 为f ( t ) = ? jE π ej ω1t+ πjE e ? j ω1t ? 3jE π e j 3ω1t + 3jEπ e ? j 3ω1t +3-15 分析：半波余弦脉冲的表达式 f ( t ) =πτ E cos t u t+ τ 2求 f ( t ) 的傅⽴叶变换有如下两种⽅法。
(完整word版)信号与系统(郑君里)复习要点(良心出品必属精品)
信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。
第一章信号与系统1、信号的分类①连续信号和离散信号②周期信号和非周期信号连续周期信号f(t)满足f(t) = f(t + mT)，离散周期信号f(k)满足f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,…两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。
③能量信号和功率信号④因果信号和反因果信号2、信号的基本运算（+ - ×÷）2.1信号的（+ - ×÷）2.2信号的时间变换运算（反转、平移和尺度变换）3、奇异信号3.1 单位冲激函数的性质f(t) δ(t) = f(0) δ(t) ， f(t) δ(t –a) = f(a) δ(t –a)例：3.2序列δ(k)和ε(k)f(k)δ(k) = f(0)δ(k) f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0) 4、系统的分类与性质4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质T [af (·)] = a T [ f (·)](齐次性)T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性） ②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：y (·) = y f (·) + y x (·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x(0)}] (可分解性) T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}]T[{f 1(t) + f 2(t) }, {0}] = T[{ f 1 (·) }, {0}] + T[{ f 2 (·) }, {0}](零状态线性))0(d )()(f t t t f =⎰∞∞-δ)(d )()(a f t a t t f =-⎰∞∞-δ?d )()4sin(91=-⎰-t t t δπ)0('d )()('f t t f t -=⎰∞∞-δ)0()1(d )()()()(n n n ft t f t -=⎰∞∞-δ4)2(2])2[(d dd )(')2(0022=--=--=-==∞∞-⎰t t t t tt t t δ)(1||1)()()(t aa at n n n δδ⋅=)(||1)(t a at δδ=)(||1)(00at t a t at -=-δδ)0()()(f k k f k =∑∞-∞=δT[{0},{ax 1(0) +bx 2(0)} ]= aT[{0},{x 1(0)}] +bT[{0},{x 2(0)}](零输入线性) 4.4时不变系统与时变系统T[{0}，f(t - t d )] = y f (t - t d )(时不变性质) 直观判断方法：若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。
郑君里信号与系统习题答案
第三章 傅里叶变换一.周期信号的傅里叶级数二.傅里叶变换例题•例题1：傅里叶级数——频谱图 •例题2：傅里叶变换的性质 •例题3：傅里叶变换的定义 •例题4：傅里叶变换的性质 •例题5：傅里叶变换的性质 •例题6：傅里叶变换的性质•例题7：傅里叶变换的性质、频响特性 •例题8：傅里叶变换的性质 •例题9：抽样定理–例题10：周期信号的傅里叶变换例3-1 周期信号 1. 画出单边幅度谱和相位谱；()⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛++=328cos 265sin cos 3ππt t t t f 形式频谱：离散性、谐波性、收敛性 周期矩形脉冲信号的频谱特点定义及傅里叶变换存在的条件 典型非周期信号的频谱冲激函数和阶跃信号的傅里叶变换 性质→应用：调制和解调→频分复用 周期信号的傅里叶变换：由一些冲激函数组成 抽样信号的傅里叶变换→抽样定理→应用：时分复用2. 画出双边幅度谱和相位谱。
单边幅度谱和相位谱双边幅度谱和相位谱例3-2 分析：f (t )不满足绝对可积条件，故无法用定义求 其傅里叶变换，只能利用已知典型信号的傅里叶 变换和性质求解。
下面用三种方法求解此题。
方法一：利用傅里叶变换的微分性质 方法二：利用傅里叶变换的积分性质 方法三：线性性质方法一：利用傅里叶变换的微分性质要注意直流，设f A(t )为交流分量，f D(t )为直流分量，则 其中()⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=ππππ328cos 2265cos cos 3t t t t f ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=38cos 2315cos cos 3ππt t t()。
的傅里叶变换求信号 )(ωF t f ()()()t f t f t f D A +=()()()ωωωD A F F F +=()()()[]2321=∞+∞-=f f t f D ()()ωπδω3=D F ()()t f t f A'='()⎪⎭⎫ ⎝⎛-='211t G t f A ()ωωωωj Ae F j -⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴2Sa方法二：利用傅里叶变换的积分性质方法三：利用线性性质进行分解此信号也可以利用线性性质进行分解，例如例3-3已知信号f (t )波形如下，其频谱密度为F (j ω)，不必求出F (j ω)的表达式，试计算下列值：()ωωωωj e F j A -⎪⎭⎫⎝⎛=∴2Sa ()()()()ωπδωωωωωω32Sa +⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=∴-j e F F F j DA ())(11t f t f +=的积分为)()(21t f t f ()ωωωj e F -⎪⎭⎫ ⎝⎛=2Sa 2()()()ωωωπωωωπωωωj e e j F j j --⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∴2Sa 2Sa 11 ()[]()()ωωωπδωωωj e F F F j -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∴2Sa 311()[])1(2)1()()1()(-+--++-=t u t u t u t t u t f ()ωωπδj 1-()2121ωωωωωj e e j j j j ---+-()ωωωπδj e j -+22()()()ωπδωωω312+-=∴-j e F j ()()01=ωωF ()()⎰∞∞-ωωd 2F -t tj d ω(()⎰∞-====∴5.1d 00t t f F F ωω令t =0，则 则例3-4按反褶－尺度－时移次序求解已知方法二：按反褶－时移－尺度次序求解已知方法三利用傅里叶变换的性质其它方法自己练习。
信号与系统-课件-郑君里
1.1 Signals
Signals are functions of independent variables that carry information. The independent variables can be continuous or discrete. The independent variables can be 1-D, 2-D, ••• , n-D. For this course: Focus on a single (1-D) independent variable which we call “time”. Continuous-Time signals: x(t), t-continuous values. Discrete-Time signals: x(n), n-integer values only.
School of Computer Science and Information
Examples
Electrical signals — voltages and currents in a circuit. Acoustic signals — audio or speech signals. Video signals — intensity variations in an image. Biological signals — sequence of bases in a gene.
School of Computer Science and Information
1.3 Types of Signals
1. Certain Signal and Random Signal
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1 T
t0 T t0
f (t)(cosn0t j sin n0t)dt
1 t0T 2 t0
f (t)e jn0tdt Fn
•
F(nω0)是复常数， 通常简写为Fn。
Fn还可以表示成模和幅角的形式
Fn Fn e jn
(3.1-12)
三角函数标准形式中cn是第n次谐波分量的振幅， 但在指数形式中， Fn要与相对应的第-n项F-n合并， 构 成第n次谐波分量的振幅和相位。
n1
c0 cn cos(n0t n )
n1
• 两种三角形式系数
的关系为
a0 c0, cn
an2
bn2
,n
arctan bn an
sinn
bn an2 bn2
, cosn
an an2 bn2
an cn cosn , bn cn sinn
(1)在任意周期内存在有限个第一类间断点 (2)在任意周期内存在有限个的极值点； (3)在任意周期上是绝对可积的，即
t0T f (t) dt
t0
可以展开为三角形式的傅立叶级数，为
f (t) a0 a1 cos0t a2 cos20t b1 sin 0t b2 sin 20t
2．对称特性 （1）偶对称。若 f (t是) 关于纵轴对称的偶函数，即
j(Fn Fn ) j2 ImFn bn
• 例1的指数形式频谱图如下图所示。
1 12 4
Fn
c1
1
2 c2
2 c3
2
－0 －0 －0 0 0 0 0
(a)
π
n
2
π
π
4
4
－0
0
0
－0 －0 0
0
－
π 4
－
π 4
－
π 2
(b)
a0 (an cosn0t bn sin n0t) n1
式中,
a0
1 T
t0 TБайду номын сангаасt0
f (t)dt
an
2 T
t0 T t0
f (t) cosn0tdt
bn
2 T
t0 T t0
f (t)sin n0tdt
•
式中， ω0=2π/T是基波角频率，
有时也简称基波频率。 一般取t0=-T/2。
• 例1 已知周期信号f(t)如下， 画出其频谱图。
f (t) 1
2
c
os0t
c
os(20t
5
4
)
2
s in 0t
1 2
sin
30t
解 将f(t)整理为标准形式
f
(t)
1
2
c
os
(0t
4
)
c
os
(20t
5
4
)
1 2
c
os(30t
)
2
1
•利用欧拉公式
c osn0
1 (e jn0 2
e jn0 )
sin n0
1
(e jn0
e jn0 )
j2
e jn0 cosn0 j sin n0
• 我们可以将三角形式的傅里叶级数表示为复
指数形式的傅里叶级数
f (t) c0 cn cos(n0t n )
第3章 连续信号与系统的频域分析
引言 周期信号的频谱——傅立叶级数 非周期信号的频谱——傅立叶变换 傅立叶变换的性质 傅立叶分析的应用举例 利用MATLAB进行系统的频域分析
引言
3.1 周期信号的频谱——傅立叶级数 3.1.1 三角函数式傅立叶级数
若周期函数 f (t) 满足狄里赫利条件:
Fne jn0t
n
这样f(t)指数形式为
f (t)
F (n0 )e jn0t
Fe jn0t
n
n
• 其中系数
F
(n0 )
1 T
t0 T t0
f
(t)e j0tdt
1 2
cn
(c
os
n
j sinn )
1 2
(an
jbn )
2
c os (0t
4
)
cos(20t
5
4
)
1 2
cos(30t
2
)
振幅谱与相位谱如图3.1-1所示。
cn 2
1
11
2
π n
4
0
0
0
0
－
π 4
0 0 0 0
－π2
(a)
(b)
图 3.1-1 例3.1-1 (a) 振幅图； (b) 相位图
• 3.1.2 指数形式的傅里叶级数
n1
c0
n1
c e e n j(n0tn )
j(n0tn )
2
c0
n1
cn e e jn0t jn
2
n1
c e e n jn0t jn 2
c0
n1
c e e c e e n jn0t jn
• 指数形式与三角形式系数之间的关系为
F0 a0 c0
Fn
Fn
e jn
1 2
(an
jbn )
1 2
cn
e
j
n
Fn
1 2 (an
jbn )
1 2
cn
e
j
n
Fn
1 2
cn
Fn
n
arctan bn an
Fn Fn 2 ReFn an
•
•
利用三角函数的边角关系， 还可
以将一般三角形式化为标准的三角形式
f (t) a0 (an cos0t bn sin0t)
n1
a0
n1
an2 bn2
an an2 bn2
c os0t
bn an2
bn2
s in 0t
a0 cn (cosn cosn0t sinn sin n0t)
n jn0t jn
2
n1 2
c0
n1
cn e e jn0t jn 1 c e e n jn0t jn
2
n 2
• 令c0=F0代入上式， 并将两个和式合并得到
f (t)
n
cn 2
e e jn0t jn
n
F (n0 )e jn0t
例1 (a) 振幅图； (b) 相位图
3.1.3 傅立叶级数的存在性
傅立叶认为所有的周期信号都可以表示成正 弦信号或者复指数信号形式，但是这些周期信 号必须满足一定的条件。这个条件是：在一个 周期内，信号的变差是有界的。这一条件也就 是上文所述的狄里赫利条件。
3.1.4 傅里叶级数的性质
1. 线性性质