线性时频分析方法综述_李振春
线性调频信号的时频分析研究
线性调频信号的时频分析研究随着通信技术的发展，线性调频信号（Linear Frequency Modulation，LFM）在通信系统中得到了广泛的应用。
线性调频信号是一种在一段时间内频率线性变化的信号，其具有宽带、抗多径衰落、抗高噪声等特点，因此适用于高分辨率雷达、超声定位、地震勘探等领域。
为了更好地理解和设计线性调频信号的应用系统，对其进行时频分析研究是非常重要的。
时频分析是一种将信号在时间和频率域上进行联合分析的方法，可以提供关于信号特性的更详细的信息。
对于线性调频信号而言，时频分析可以帮助我们获得信号的调频特性和调制参数。
下面将介绍几种常见的时频分析方法，以及它们在线性调频信号研究中的应用。
STFT是一种将信号在时间和频率上进行分析的方法，它通过将信号分成多个小时间窗口，并对每个窗口进行傅里叶变换，得到该窗口内信号的频谱信息。
STFT可以提供线性调频信号的瞬时频率信息，帮助我们理解信号的调频特性。
2. Wigner-Ville分布（Wigner-Ville Distribution，WVD）WVD是一种采用时频联合分析的方法，它通过计算信号的瞬时相位和瞬时幅度，得到信号在时频上的分布。
WVD可以提供线性调频信号的瞬时频率和瞬时频谱信息，有助于我们研究信号的调频参数和调频性质。
3. 希尔伯特-黄变换（Hilbert-Huang Transform，HHT）此外，还有一些其他的时频分析方法，如连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）、自适应滤波器（Adaptive Filter），它们在线性调频信号研究中也有一定的应用。
通过将这些方法相互结合，可以更好地理解线性调频信号的时频特性和调制参数。
在线性调频信号的时频分析研究中，我们可以分析信号的频谱特性、瞬时频率变化、调制参数等。
通过这些分析，我们可以了解信号是否具有带宽限制特性、频率变化规律，以及在特定调制参数下，信号的传输性能如何。
线性系统的频率分析法
对于非线性系统中的周期信号，可以通过傅里叶级数展开进行分析，以 了解系统在不同频率下的行为。
03
非线性控制策略
基于非线性系统的频率响应，可以设计非线性控制器，以实现系统的稳
定性和性能要求。
基于频率分析法的控制策略设计
控制系统设计
基于频率分析法的控制策略设计，首先需要确定控制目标，然后根据系统模型和性能要求 ，设计合适的控制器。
以对数尺度绘制频率响应函数的幅度和相位与频 率的关系曲线，便于观察系统在不同频率范围内 的性能变化。
Nyquist图
以极坐标形式绘制频率响应函数的极点和零点分 布，用于判断系统的稳定性以及动态响应特性。
3
Nichols图
以极坐标形式绘制系统的开环和闭环频率响应函 数，用于分析系统的开环和闭环性能。
系统稳定性分析
03 频率响应函数
CHAPTER
频率响应函数的定义与性质
定义
稳定性
频率响应函数是线性系统对正弦输入 信号的稳态输出与输入的比值，表示 系统在不同频率下的性能特性。
通过判断频率响应函数的极点和零点 分布，可以确定系统的稳定性以及动 态响应特性。
性质
频率响应函数具有复数形式，包括幅度 和相位两部分，分别表示系统对不同频 率信号的放大或缩小以及相位移动。
线性系统的研究方法
01
02
03
频域分析法
通过将系统函数进行傅里 叶变换，将时域问题转化 为频域问题，从而在频域 内分析系统的频率特性。
时域分析法
通过对方程进行数值积分 或解析求解，直接在时域 内分析系统的动态响应特 性。
状态空间分析法
通过建立系统的状态方程 和输出方程，在状态空间 内分析系统的动态行为和 稳定性。
声学信号处理的时频分析方法概述
声学信号处理的时频分析方法概述声学信号处理是指对声音信号进行处理和分析的一门学科，其目的是从声音信号中获取有用的信息和特征。
声学信号处理在音频处理、语音识别、音频编码等领域有着广泛的应用。
而声学信号的时频分析是声学信号处理中的重要内容之一，它可以将信号在时间和频率上进行分析，从而揭示出声音信号的时域特征和频域特征。
时频分析是一种将信号在时间和频域上进行分析的方法。
在声学信号处理中，时频分析可以帮助我们理解声音信号的频率内容随时间的变化。
常用的时频分析方法有傅里叶变换、短时傅里叶变换、小波变换和光谱分析等。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法。
它可以将一个连续时间的信号分解为不同频率的正弦波成分，从而得到信号在频域上的表示。
傅里叶变换的主要思想是将信号拆解成一系列正弦波的叠加，而每个正弦波都有不同的频率和振幅。
通过对傅里叶变换结果的分析，可以得到信号的频谱信息，即不同频率成分的强度和相位。
短时傅里叶变换（STFT）是一种将信号分解成时域和频域上的幅度谱的方法。
它通过在时间上将信号进行分帧处理，然后对每一帧信号进行傅里叶变换，得到该时刻的频谱信息。
STFT的一个重要参数是窗函数，它决定了每一帧信号的长度和形状。
不同的窗函数选择会影响到STFT的频率分辨率和时间分辨率。
小波变换是一种时频分析方法，它可以同时提供高时间分辨率和高频率分辨率。
小波变换使用一组具有不同尺度和位置的小波函数来分析信号的时频内容。
通过对小波变换系数的处理和分析，可以得到信号在时频域上的局部特征，更好地揭示信号的瞬时变化。
除了以上提到的方法，光谱分析也是声学信号处理中常用的一种时频分析方法。
光谱分析通过对信号的频谱进行分析，得到信号在频率上的分布情况。
常用的光谱分析方法包括理想光谱估计、周期图谱和功率谱估计等。
这些方法可以帮助我们分析信号的频率特征和谱线性质。
总结起来，声学信号处理的时频分析方法有傅里叶变换、短时傅里叶变换、小波变换和光谱分析等。
数字信号处理的时频分析方法综述_张丽娜
小波变换具有多分辨率，可以由粗及细地逐步
观察信号； 在时域和频域均具有局部性而适合对信 号做局部分析［10］，且可以准确地分析出信号在什么 时刻发生畸变。但也有如下缺点： 在实际应用中，采 用不同的小波基会得到不同的分析结果［11］； 小波变 换本质也是一种窗口可调的 FT，其小波窗内的信号 必须是平稳的，仍然受傅里叶分析的局限； 小波基的 有限长会造成信号能量的泄漏，继而影响信号时频 能量分析的准确度［12］。
1 短时傅里叶变换
信号的短时傅里叶变换的基本思想是将原始信
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号划分成多个小的时间间隔，对每一个时间间隔作 傅里叶变换（ Fourier Transform，简称 FT） 得到此间 隔的频率。
根据定义，对于原始信号 x（ ） ，其短时傅里叶变 换为：
+∞
∫ STFT（ t，w） = ［s（ τ） g（ τ － t） ］e －jωtdτ （ 1） －∞
文章编号： 1009 － 2552（ 2013） 06 － 0026 － 03 中图分类号： TP391． 42 文献标识码： A
数字信号处理的时频分析方法综述
张丽娜
（ 宝鸡文理学院计算机科学系，陕西 宝鸡 721016）
摘 要： 现代数字信号处理方法众多，时频分析在此领域应用广泛并仍然具有发展潜力。介绍 了数字信号处理的时频分析方法的发展，从短时傅里叶变换，到 Wigner-Ville 分布，小波变换， 希尔伯特-黄变换，EEMD，分别论述了 5 种方法的原理以及优缺点。 关键词： 短时傅里叶变换； Wigner-Ville 分布； 小波变换； 希尔伯特-黄变换； EEMD
［9］ 杨福生． 小波变换的工程分析与应用［M］． 北京： 科学出版社，
时频分析方法范文
时频分析方法范文时频分析是一种用于分析非平稳信号的方法，它基于时间和频率域的分析技术，能够给出信号在不同时间和频率上的变化规律。
时频分析通常用于处理具有瞬态特征的信号，例如声音、图像、生物信号等。
本文将介绍时频分析的基本原理、常见方法及其在不同领域的应用。
一、基本原理时频分析基于声学和数学等领域的原理，旨在研究信号在时间和频率两个维度上的变化。
传统的傅里叶变换只能提供信号的频域信息，无法描述非定常或非线性信号在时间上的变化。
时频分析通过引入窗函数来实现信号在时间和频率上的分解。
1.窗函数窗函数是时频分析的关键概念，它将信号在时间上切割成多个片段，并将每个片段与一个特定的函数进行乘积。
窗函数通常是时域上的一种窄带滤波器，能够减小信号在时频域的交叉干扰。
常见的窗函数有矩形窗、汉宁窗、高斯窗等。
2.短时傅里叶变换（STFT）短时傅里叶变换是时频分析的最基本方法，它将信号分成多个时间窗口，并对每个窗口进行傅里叶变换。
STFT的窗口长度和重叠率可以根据信号的特性进行调整，从而控制时间和频率分辨率。
STFT分析得到的结果是一个时频矩阵，可以直观地表示信号在不同时间和频率上的能量分布。
3. 维纳-辛钦（Wigner-Ville）分布维纳-辛钦分布是一种时频分析方法，它基于短时傅里叶变换，通过在矩阵的对角线上进行平均来消除交叉干扰。
Wigner-Ville分布能够提供更精确的时频信息，但对噪声和窗口选择比较敏感。
4.小波变换小波变换是一种基于频率域的时频分析方法，它利用小波函数的局部性质，将信号分解成不同频率段的子信号。
小波变换具有良好的时间和频率局部化特性，能够捕捉到信号中的瞬态特征。
常见的小波变换方法有连续小波变换（CWT）和离散小波变换（DWT）。
二、常见方法除了上述方法，时频分析还有一些其他常见的方法，如下所示。
1. 希尔伯特-黄（Hilbert-Huang）变换希尔伯特-黄变换是一种非平稳信号的时频分析方法，它由希尔伯特变换和经验模态分解（EMD）两部分组成。
信号处理中的时频分析方法研究
信号处理中的时频分析方法研究一、引言在信号处理领域，时频分析是一种重要的分析方法，它可以展示信号在时间和频率两个维度上的变化规律。
时频分析方法可以被广泛应用于许多领域，例如通信、医学、音乐和地震学等领域。
本文将介绍一些常见的时频分析方法，并探讨它们的应用与优缺点。
二、短时傅里叶变换（STFT）短时傅里叶变换是时频分析中最常见的一种方法。
它可以通过将信号分解成不同时间窗口内的频率成分来获得时域和频域分布。
在STFT中，信号被乘以一个窗口函数，然后在每个时间点上窗口的长度和形状都保持不变。
然后，使用快速傅里叶变换在每个时间窗口内计算频域分量。
由于不同的时间窗口可以为其提供不同的频率分辨率，因此可以选择窗口长度以平衡时间和频率分辨率之间的折衷。
STFT的优点是可以清晰地看到信号随时间和频率的变化。
它在信号处理和地震学分析方面得到了广泛的应用。
但它也有一些局限性，例如窗口函数的选择对分析结果有很大的影响，一般情况下只能得到离散的时频信息，无法获得连续的时频特性。
三、连续小波分析（CWT）连续小波分析是一种时变滤波器的应用，是一种常用的时频分析方法。
它采用一组母小波（通常称为分析小波），在不同的时刻对输入信号进行滤波。
这些分析小波可以缩放和平移，以便提供不同的频率和时间精度，并且可以在尺度和时间轴上提供常规分析不能提供的信息。
相较于STFT，CWT可以获得更连续的时频信息，而且由于可以根据需要改变小波的尺度和位置，因此比STFT更加灵活。
然而，CWT计算时需要进行大量的计算，处理大量的数据将导致算法效率较低。
四、峭度尺度分析（KSA）峭度尺度分析是一种基于二阶统计的非参数时频分析方法。
它利用峭度作为指标来计算信号在不同尺度下的频率分解表达。
KSA通过计算每个尺度下信号的二阶矩来确定信号的局部频率，因此不需要进行时域和频域的分析。
此外，KSA可以提供高频率分辨率和极低频的有效处理，因此可以获得有关信号的更广泛的信息。
时频分析方法综述
时频分析方法综述时频分析是一种用于信号分析的方法，可以同时考虑信号在时间域和频率域中的特征。
它通过观察信号在时间和频率上的变化来提取出信号中的各种信息，包括瞬态特性、频率成分和时域波形。
时频分析方法可以被分为线性和非线性两类。
线性时频分析方法主要包括傅里叶分析、短时傅里叶变换（STFT）、小波变换和重构分离算法；非线性时频分析方法主要包括弯曲时间分布（Wigner Ville分布和Cohen’s类分布）、支持向量机（SVM）等。
傅里叶分析是最基本的时频分析方法之一，它是将信号分解为一系列正弦和余弦函数的加权和来表示信号的方法。
傅里叶变换可以提取信号的频率成分，但无法提供信号在时间域上的信息，因此在处理时变信号时不适用。
STFT是一种在短时间窗口内对信号进行傅里叶变换的方法，它通过在不同时间上计算短时傅里叶变换来获取信号的时频信息。
STFT克服了傅里叶变换不能提供时域信息的问题，但由于窗口长度的固定性，无法同时获得较好的时域分辨率和频域分辨率。
小波变换是一种基于多尺度分析的时频分析方法，它通过将信号与一组基函数进行卷积来提取时频信息。
小波变换可以根据需要选择不同的基函数，从而在时域和频域上取得折中的效果。
重构分离算法是一种通过对信号进行分解和重构来估计信号的时频特征的方法。
它将信号分解成多个子信号，并分别估计子信号的时频信息，然后通过重构得到原始信号的时频特性。
弯曲时间分布是一种非线性时频分析方法，它可以同时提供信号在时域和频域上的信息。
Wigner Ville分布是最早提出的弯曲时间分布方法之一，它可以准确反映信号的瞬态特性，但由于存在交叉项，容易产生模糊效应；Cohen’s类分布通过引入平滑函数来减小交叉项的影响，提高了分辨率。
支持向量机是一种基于统计学习理论的非线性时频分析方法。
它通过在特征空间中找到一个最优超平面来进行分类和回归分析，可以有效地提取信号的时频特征。
综上所述，时频分析方法包括线性和非线性方法，线性方法主要包括傅里叶分析、STFT、小波变换和重构分离算法，非线性方法主要包括弯曲时间分布和支持向量机。
S域时频滤波分析与改进
S域时频滤波分析与改进王德营;李振春;王姣【摘要】S变换能够提供局域化的时频谱,给信号的时变滤波提供了条件,但S变换基函数具有一定的时频局部支撑,导致传统的S域滤波会产生虚假信号和处理噪声.为此,提出了一种改进的S域滤波方法,将滤波器的时间变量与信号的时间变量严格对应,提高了滤波处理的时频局域性.将该方法应用于模拟数据和实际资料的面波压制,验证了改进方法的正确性和有效性.研究结果表明,改进的S域滤波方法可以很好地解决滤波边界处的能量泄露问题,在保真性方面明显优于传统的S域滤波方法.【期刊名称】《石油物探》【年(卷),期】2015(054)004【总页数】8页(P396-403)【关键词】S变换;时变滤波;局域化;保真性;时频分析;面波压制【作者】王德营;李振春;王姣【作者单位】中国石油大学(华东)地球科学与技术学院,山东青岛266580;中国石油天然气集团公司东方地球物理公司博士后科研工作站,河北涿州072751;中国石油大学(华东)地球科学与技术学院,山东青岛266580;中国石油大学(华东)地球科学与技术学院,山东青岛266580【正文语种】中文【中图分类】P631地震勘探中,不同类型地震波(如P波、S波、面波等)的到达时间、振幅幅度、频带分布等都是不同的,地震记录的频谱也是随时间变化而变化的[1]。
S变换作为时变信号的重要分析工具之一,在地震数据的初至检测[2-3]、噪声衰减[4]、波场分离[5-7]、油气识别[8-9]、沉积旋回提取[10]、提高分辨率处理[11]等方面有着广泛的应用。
S变换是一种线性时频变换,用时频滤波器作为权函数对S谱系数进行加权重构可以实现时变滤波[1]。
S反变换是一个超定问题,存在多种重构方法,采用不同的重构方法进行时变滤波会得到不同的滤波效果[12]。
Schimmel等[1]研究指出:在S域进行时变滤波时,由Stockwell等[13]给出的S反变换进行重构的结果在时间域存在能量泄露,会产生虚假信息。
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文章编号:1671-8585(2010)04-0239 -08收稿日期:2010-04-30;改回日期:2010-05-19。
第一作者简介:李振春(1963)),男,理学博士,教授,博士生导师,中国石油大学(华东)地球物理系主任,主要从事地震波传播与正演模拟、地震成像与偏移速度分析、多尺度地震资料联合反演与CFP -AVP 分析理论与方法的教学与研究工作。
基金项目:国家自然科学基金(40974073)、国家863课题(2007A A060504)、国家973课题(2007CB209605)资助。
线性时频分析方法综述李振春1,刁 瑞1,韩文功2,刘力辉3(1.中国石油大学地球资源与信息学院,山东青岛266555;2.中国石油化工股份有限公司胜利油田分公司,山东东营257000;3.北京诺克斯达石油科技有限公司,北京100192)摘要:较详细地综述了目前已有的短时傅里叶变换、小波变换、S 变换和广义S 变换等几种线性时频分析方法,概括了线性时频分析方法的特点和优缺点,阐述了各种方法的发展历程。
窗函数对分辨率影响巨大,是线性时频分析方法的关键,通过对窗函数的调节和改进,可以得到不同的线性时频分析方法和相对应的时频分辨率。
理论分析和试验表明,广义S 变换的时频窗口能够随着频率尺度自适应地调整,具有较高的时频分辨率,在应用中具有更高的实用性和灵活性。
利用广义S 变换对地震数据体进行谱分解,可以得到更丰富的地震属性信息,对储层预测和油气识别有重要作用。
关键词:时频分析;窗函数;小波变换;广义S 变换;谱分解中图分类号:P631.4文献标识码:A基于傅里叶变换的信号频域表示及能量频域分布揭示了信号在频域的特征,但傅里叶变换是一种整体变换,只能了解信号的全局特性,不能有效检测信号频率随时间的变化情况,只有把时域和频域结合起来才能更好地反映非平稳信号的特征。
时频分析(Time -Frequency A nalysis,TFA)的基本思想是设计时间和频率的联合函数,同时描述信号在不同时间和频率的能量密度或强度[1]。
时频分析以联合时频分布的形式来表示信号的特性,克服了傅里叶分析时域和频域完全分离的缺陷,可以较准确地定位某一时刻出现哪些频率分量,以及某一频率分量分布在哪些时刻上。
线性时频分析方法主要有:短时傅里叶变换(STFT)、Gabor 换、小波变换(WT)、S 变换(ST )和广义S 变换(GST )等。
20世纪40年代,Koenig 等[2]提出了语谱图的方法。
短时傅里叶变换由于实现简单已成为分析非平稳信号的有力工具,缺点是分辨率单一。
法国地球物理学家Mo rlet 发现地震信号在低频端应该具有较高的频率分辨率,在高频端频率分辨率可以较低[3]。
根据这一特点,由Meyer [4]和Grossm an 等[3]共同发展了小波变换方法,这是一种多分辨率分析方法。
经过20多年的发展,小波变换取得了突破性的进展,形成了多分辨率分析、框架和滤波器组三大完整和丰富的小波理论体系。
Sto ckw ell 等[5]提出了S 变换,这是短时傅里叶变换和连续小波变换的延伸。
在S 变换中,基本小波由简谐波与高斯函数的乘积构成,简谐波要进行伸缩变换,高斯函数要进行伸缩和平移变换。
由于S 变换中的窗函数固定不变,因而在应用中受到了限制,Pinneg ar 等对S 变换进行了推广[6~11],提出或应用了不同窗函数的广义S 变换。
下面详细介绍短时傅里叶变换、小波变换、S变换、广义S 变换等方法的特点和优缺点。
1 短时傅里叶变换(ST FT )1946年Gabor 提出了短时傅里叶变换,用以测量声音信号的频率定位,对于信号h(t)的短时傅里叶变换定义为F x (t,8)=Q h(S )w *t,8(S )d S =Qh(S )w *(S -t)e -j 8S d S=3h(S ),w (S -t)e -j 8S 4(1)式中:w *t,8(S )是w t,8(S )的复共轭,w t,8(S )=w(S -t)#e -j 8S,+w(S )+=+w t,8(S )+=1,并且窗函数w (S )应取对称函数。
当窗函数w(S )选取高斯窗函数时,式(1)就是Gabor 变换;如果w (S )=1,窗函数变为无限宽的矩形窗,则STFT 变为傅里叶变换。
STFT 的含义可解释为:在时域用窗函数239第33卷第4期2010年8月勘探地球物理进展P ro gr ess in Ex plor ation Geo phy sicsV o l.33,N o.4A ug.,2010w (S )去截信号h(S ),假定h(S )在窗函数的一个短时间间隔内是平稳的,对截下来的局部信号作傅里叶变换,即得到在t 时刻该段信号的傅里叶变换。
不断地移动t,即不断地移动窗函数w (S )的中心位置,可得到不同时刻的傅里叶变换,这些傅里叶变换的集合即是F x (t,8)。
短时傅里叶变换实际上是一类加窗的傅里叶变换,用窗口函数w (t)把信号划分成许多时间间隔,把每一时间间隔内的信号看作平稳信号,用傅里叶变换分析每一时间间隔,确定在不同时间间隔存在的频率,研究局部时间范围的频域特征。
ST FT 的优点是:物理意义明确,对整个信号采用单一分辨率进行研究,可以反映信号的整体时频趋势;由于其概念直接,算法简单,实现容易,已经成为研究非平稳信号十分有力的工具,在许多领域(如时变滤波、提高分辨率、地震旋回分析和瞬时属性提取等)得到广泛的应用。
图1a 是输入的地震合成记录;图1b 是对合成记录进行傅里叶变换得到的振幅谱,振幅谱能确定主频及各频率的分布情况,但不能确定频率随时间的变化情况;图1c 是对合成记录进行短时傅里叶变换得到的时频谱,短时傅里叶变换克服了傅里叶变换的缺陷,从图1c 中可以看出各个时刻的频率分布,以及各个频率主要的分布时间段;图1d 是对合成记录进行短时傅里叶逆变换的结果,合成地震记录在变换前后是一致的,短时傅里叶变换与短时傅里叶逆变换是一一对应的关系。
图1 地震合成记录(a)与对其进行傅里叶变换得到的振幅谱(b)、进行短时傅里叶变换得到的时频谱(c)、进行短时傅里叶逆变换得到的结果(d)ST FT 的时频分辨率由窗函数w (t)的时频域大小直接决定,一旦窗口函数选定,其时频分辨率就已确定,不随频率和时间的变化而变化。
窗函数对STFT 的影响很大,为了提高时间分辨率,窗函数的时间宽度尽可能短,但为了提高频率分辨率,则窗函数的时间宽度尽可能长,受不确定性原理的约束,时间分辨率和频率分辨率是一对矛盾体[12],线性时频分析方法都存在这一问题。
图2为采用65点和17点hamm ing 窗的STFT 结果。
从图2a 可以看出,选择较宽的窗函数时,虽然提高了频率分辨率,但时间分辨率却明显降低了;而图2b 表明,选择较窄的窗函数,时间分辨率明显提高,此时频率分辨率却有所降低。
在处理非平稳信号过程中,对于高频信息,为了获得较高的时间分辨率,需要用较窄的窗函数进行分析,而对于低频信息,则需要用较宽的窗函数进行分析,以获得较高的频率分辨率[13]。
短时傅里叶变换的窗函数确定以后,只能以一种固定分辨率进行时频分析,无法兼顾高频信息和低频信息,这正是STFT 的不足之处。
240勘探地球物理进展第33卷图2采用65点(a)和17点(b)hamming窗的ST FT 2小波变换(WT)20世纪80年代后期,法国地球物理学家Mo rlet和理论物理学家Gr ossmam完成了小波理论系统框架的构建。
给定一个基本小波W(t),对其作移位和伸缩以后得到的函数族为W a,b(t),则信号h(t)的小波变化定义为W x(a,b)=1aQ h(t)W*(t-b a)d t=Q h(t)W*a,b(t)d t=3h(t),W a,b(t)4 (2)式中:W a,b(t)=1aW(t-ba);a是尺度因子;b是时移因子。
令h(t)的傅里叶变换为H(8),W(t)的傅里叶变换为7(8),根据傅里叶变换的性质和Parse-v als定理,式(2)可重新表示为:W x(a,b)=12P3H(8),7a,b(8)4=a2P Q+]-]H(8)7*(a8)ex p(j8b)d8(3)W(t)作为一个基本小波,它要满足容许条件,在时域里必须是有限支撑的,同时也希望在频域是有限支撑的,但受测不准原理的制约,在时域和频域的有限支撑方面只能取一个折中方式。
我们希望由基本小波W(t)形成的W a,b(t)是两两正交的,或是双正交的;此外,希望W(t)有高阶的消失矩,希望与W(t)相关的滤波器具有线性相位等。
根据上述要求对现已提出的基本小波作粗略地分类:第一类为所谓的/经典小波0,主要包括H aar小波、Morlet小波、Mexican hat小波和Gaussian小波等;第二类为Daubecheis构造的正交小波,大致包括Daubecheis小波、对称小波、Co iflets小波和M eyer小波等;第三类为由Cohen、Daubecheis构造的双正交小波,其目的是在放宽小波正交性的条件下得到线性相位的小波及相应的滤波器组。
小波变换的实质是将信号向一系列小波基函数上投影,即用一系列小波基函数去逼近信号。
WT是一种时间尺度分析方法,克服了ST FT的窗函数不能改变的缺陷,可以有效聚焦信号的瞬时结构[14]。
基本小波W(t)可以看作是一个带通滤波器的脉冲响应,W(t)通过平移与伸缩产生函数族W a,b(t)。
W a,b(t)确定的窗面积和W(t)确定的窗面积相同,但形状不同。
当a增大时,即选用展宽的窗函数,频宽减小,且W a,b(t)的窗口中心向低频方向移动,实现了在低频处有较高频率分辨率的要求;当a减小时,即选用一个压缩的窗函数,频宽增大,实现了在高频处有较高时间分辨率的要求。
小波变化不仅有短时傅里叶变换的优点,而且满足了变窗处理的要求,具有良好的时频局域化特性,与短时傅里叶变换相比,具有更好的时频特性窗口[15]。
基本小波的尺度参数决定了小波变换的多分辨率分析特性,因此WT具有逐渐局部化特性,即变焦距特性。
图3a是采用STFT方法得到的时频谱,在高频处和低频处时频分辨率固定不变,缺乏灵活性,两个高频分量的时间分辨率很低,频率分辨率也不高;图3b是基于M orlet小波的WT方法得到的时频谱,在低频处有较高的频率分辨率,而在高频处时间分辨率较高,并且两个高频分量具有较高的时间分辨率,频率分辨率也较高。
但是, WT对时频平面的划分是机械式的,不具备自适应的特点;引入的尺度因子a与频率f没有直接的联系,只是在时间-尺度二维平面分析信号,频率没有表现出来,因此WT的结果不是一种真正的时频谱。