时频分析

“雷达对抗原理”作业报告题目时频分析学生李林森年级2009级班级020931班学号********专业信息对抗技术学院电子工程学院西安电子科技大学2012年11月目录一、时频分析方法 (3)1．1：短时傅立叶变换STFT (3)1.3:小波变换 (4)1.4:wigner-vill分布 (5)二、Wigner-Vill分布的数学定义 (6)2.1：连续时间信号的WVD定义 (6)2.2：离散时间信号的WVD定义 (6)2.3：举例 (6)三、Wigner-Vill分布的数学性质 (6)3.1:时域和频域的性质对称性 (7)3.2:Wigner-Vill分布的函数特性 (7)3.3:Wigner-Vill分布与信号能量 (7)3.4:Wigner-Vill分布在非平稳信号处理中的应用 (7)四、Wigner-Vill分布的MATLAB实现与应用仿真 (8)4.1:MATLAB编程思路分析 (8)4.2:程序流程图 (10)4.3：程序代码 (12)五、短时傅里叶变化 (14)5.1：短时傅里叶变化定义 (15)5.2：脉内调制分类 (15)5.3:举例短时傅里叶变化仿真 (16)六、时频分析优缺点 (20)七、时频分析应用前景 (21)参考文献 (22)引言在传统的信号处理领域，基于Fourier 变换的信号频域表示及其能量的频域分布揭示了信号在频域的特征，它们在传统的信号分析与处理的发展史上发挥了极其重要的作用。

但是，Fourier 变换是一种整体变换，即对信号的表征要么完全在时域，要么完全在频域，作为频域表示的功率谱并不能告诉我们其中某种频率分量出现在什么时候及其变化情况。

然而，在许多实际应用场合，信号是非平稳的，其统计量（如相关函数、功率谱等）是时变函数。

这时，只了解信号在时域或频域的全局特性是远远不够的，最希望得到的乃是信号频谱随时间变化的情况。

为此，需要使用时间和频率的联合函数来表示信号，这种表示简称为信号的时频表示。

时频分析的主要研究对象是非平稳信号或时变信号，主要的任务是描述信号的频谱含量是怎样随时间变化的。

时频分析是当今信号处理领域的一个主要研究热点，它的研究始于20 世纪40 年代，为了得到信号的时变频谱特性，许多学者提出了各种形式的时频分布函数，从短时傅立叶变换到Cohen 类，各类分布多达几十种。

如今时频分析已经得到了许多有价值的成果，这些成果已在工程、物理、天文学、化学、地球物理学、生物学、医学和数学等领域得到了广泛应用。

时频分析在信号处理领域显示出了巨大的潜力，吸引着越来越多的人去研究并利用它。

（一）:时频分析方法一般将时频分析方法分为线性和非线性两种。

典型的线性时频表示有短时傅立叶变换(简记为STFT)、Gabor 展开和小波变换(Wavelet Transformation ，简记为WT)等。

非线性时频方法是一种二次时频表示方法(也称为双线性)，最典型的是WVD(Wigner-Ville Distribution)和Cohen 类。

（1．1）：短时傅立叶变换STFT :为了分析语音信号，Koenig 等人提出了语谱图(Spectrogram)方法，定义为信号的短时傅立叶变换STFT 的模平方，故亦称为STFT 方法或者STFT 谱图。

离散短时傅立叶变换定义如下:STFT X (n,ϖ)=∑x (m )ω（n −m ）e−jϖm +∞m=−∞ 式中ω（n ）是时间窗函数。

短时傅立叶变换的基本思想是用一个时间宽度足够 窄的固定的窗函数乘时间信号，使取出的信号可以被看成平稳的，然后对取出的这一段信号进行傅立叶变换，便可以反映出该时间宽度中的频谱变化规律，如果让这个固定的窗函数沿着时间轴移动，那就可以得到信号频谱随时间变化的规律了。

(1.2):Gabor 展开：1946 年，Gabor 提出了一种同时使用频率和时间来表示一个时间函数的思想 和方法，这种方法便是后来的Gabor 展开，连续的Gabor 展开公式定义如下：S(t)=∑∑a mn +∞n=−∞+∞m=−∞g mn (t)式中g mn (t)=g(t-mT)e −jnΩt系数a mn 称为 Gabor 展开系数，而g mn (t)则称为(m,n)阶Gabor 基函数，T 为时间采样间隔， Ω为频率采样间隔。

a mn 的积分表示形式则被称为Gabor 变换。

从定义中可以看出，Gabor 展开式将信号s(t)展开成了平移和调制窗函数的离散集合，我们仍然可以看出当窗函数已经选定的情况下，时间采样间隔T 和频率采样间隔Ω的选取是否恰当必然影响到了Gabor 展开的完备性、唯一性和数据完整性，所以Gabor 提出保证其完备性的必要条件是T Ω≤2π ，即过采样 Gabor 展开或者临界采样Gabor 展开，在实际应用当中，离散Gabor 展开一般都是需要过采样的。

为了使Gabor 基函数具有更好的时间频率局域性能，Gabor 选择了高斯函数。

对于 Gabor 基函数g mn (t)的选择，只要时频采样网格足够多，即处于TΩ≥2π 过采样状态下，基函数可以是任何形式。

有很多性能很好的窗函数可以用来构造Gabor 基函数，最常用的窗函数是矩形函数和高斯函数。

Gabor 展开的思想在很大程度上开创了时频分析的先河，近年来许多学者在Gabor 展开的离散化和有限化方面作了大量的研究工作，其中包括运用解析方法来进行临界采样Gabor 展开，运用框架理论来进行过采样Gabor 展开等等，现在Gabor 展开己经在暂态信号检测，时变滤波，图像信号处理等领域取得了成功的应用。

(1.3):小波变换：在短时傅立叶变换和Gabor 展开中我们都使用了固定的时间窗函数，这就引出了时间分辨率和频率分辨率的概念，时间分辨率和频率分辨率是一对矛盾。

根据海森堡的测不准原理，即时间窗函数的长度越长，频率分辨率就越高，而对于时间分辨率则越差。

为了平衡时间分辨率和频率分辨率这个矛盾，可以采取对存在高频分量的部分采用高的时间分辨率和低的频率分辨率，而对于低频分量则采用高的频率分辨率和低的时间分辨率的方法，这就是多分辨分析的思想。

小波变换是一种在时间-尺度平面内，利用多分辨率分析思想分析非平稳号的方法。

所谓小波，就是一个满足容许条件:∫φ(t )+∞−∞dt = 0 的一个函数族φab (t )φab (t )=1√a φ（t−b a ） a,b ∈R ，a ≠0 可以看出函数族是由窗函数φ（t ）在时间上平移b ，在尺度上伸缩a ，再乘上归一化因子后的结果，所以非平稳信号s （t ）的连续小波变换定义为:WT S (a,b)=∫s (t )+∞−∞φab ∗(t)dt将小波变换和短时傅立叶变换两者的基函数相比较，可以看出，小波变换基函数的尺度参数决定了小波变换的多分辨分析特性，即利用时间-尺度联合函数来分析非平稳信号的“变焦距”法，以达到分析信号局部特性的目的。

小波变换由于其本身分辨力的优良吐能，因此一经提出，很快就成了非平稳信号分析和处理的一大热点，经过近20 年的发展，小波变换取得了突破性的发展，形成了多分辨分析，框架和滤波器组三大完整丰富的小波变换理论体系。

现在小波变换己经被广泛地应用在信号的奇异性检测、计算机视觉、图像处理、语音分析与合成等等诸多领域、在分形和混沌理论中也有了很多的应用。

以上是线性时频的几种表示，它们采用基于被分析信号和具有时频局部特性的基本分析或综合函数之间的内积或扩展方法而实现的。

(1.4):魏格纳-威利变换:E.P.Wigner于1932年首先提出Wigner分布的概念，之后J.Vill将此分布引入信号处理领域，并且经过几十年的不断发展，如今的Wigner-Vill分布（WVD）分析法已经克服了许多自身的缺点，不断推动信号处理理论不断前进。

下面将就短时傅里叶变化和wigner-vill变换做进一步研究！（二）：Wigner-Vill分布的数学定义（2.1）：连续时间信号的WVD定义：现设有连续时间复信号x(t)，t∈R，则x(t)的Wigner-Vill分布定义为：WVD x(t,Ω)=∫x(t+τ2)∙x∗(t−τ2)∙e−jΩτdτ∞−∞若有两个连续时间的复信号x(t)和y(t)，则它们的互Wigner-Vill分布可定义为：WVD xy(t,Ω)=∫x(t+τ2)∙y∗(t−τ2)∙e−jΩτdτ∞−∞（2.2）：离散时间信号的WVD定义：由于其它关于离散信号的WVD定义可能不满足边缘效应，或者频域内信号频谱混叠严重，故此定义采用目前应用面较广的Classen关于离散信号的WVD的定义如下：在连续信号的WVD中，令t=nT s,τ=2kT s，则有：WVD(n,ω)=2∑x(n+k)∙x∗(n−k)∙e−j2kω∞k=−∞其中，ω为数字角频率(2.3)：举例：设有正弦连续信号x1(t)=e jΩ0t，WVD x1(t,Ω)=∫x1(t+τ2)∙x1∗(t−τ2)∙e−jΩτdτ∞−∞=δ(Ω−Ω0)对延时冲击函数x2=δ(t−t0)，有WVD x2(t,Ω)=∫x2(t+τ2)∙x2∗(t−τ2)∙e−jΩτdτ∞−∞=δ(t−t0)由以上两例可知，WVD具有较好的时-频聚集性。

对线性调频信号x3=e j(βt 22+Ω0t)，WVDx2(t,Ω)=δ(Ω−Ω0−βt2π)，显然，线性调频信号的WVD为一系列频率随时间线性变化的冲积函数。

对φ(t)=βt22+Ω0t求导可知，瞬时频率Ω(t)=12π∙dφ(t)dt=βt2π+Ω0（三）:Wigner-Vill分布的数学性质(3.1)时域和频域的性质对称性:设有两个连续信号x (t )、y(t)，其对应的傅里叶变换分别为X (jΩ)、Y(jΩ)，分别对时域信号和其傅里叶变换去WVD ，则有如下结果：WVD x (t )y (t )(t,Ω)=∫x(t +τ2)∙y ∗(t −τ2)∙e −jΩτdτ∞−∞WVD X (jΩ)Y(jΩ)(t,Ω)=∫x(Ω+θ2)∙y ∗(Ω−θ2)∙e −jθτdθ∞−∞ 这一结果对信号的自WVD 也同样成立。

(3.2)Wigner-Vill 分布的函数特性:a) 无论x(t)是否为实函数，其自WVD 均为t 和Ω的实函数。

b) 若x(t)为实数，其自WVD 是频率Ω的偶函数，且此时的WVD 可看做某信号s(t)=x (t +τ2)∙x(t −τ2)的傅里叶变换。

c) 设x(t)和y(t)为两个复信号，其互WVD 具有如下性质：WVD x (t )y (t )(t,Ω)=WVD ∗y (t )x (t )(t,Ω)(3.3):Wigner-Vill 分布与信号能量:由WVD 定义，两边对t 积分，可得：12π∫WVD x (t,Ω)∞−∞dΩ=∫∫x (t +τ2)∙x ∗(t −τ2)∙e −jΩτdτ∞−∞dΩ∞−∞ =|x(t)2|该式表明，信号x(t)的WVD 沿频率轴的积分等于该信号在时刻的瞬时能量。