几种时频分析综述1——傅里叶变换和小波变换

几种时频分析方法综述1——傅里叶变换和小波变换

夏巨伟

(浙江大学空间结构研究中心)

摘 要：传统的信号理论，是建立在Fourier 分析基础上的，而Fourier 变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier 变换进行各种改进，小波分析由此产生了。小波变换与Fourier 变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis ），解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题。本文对傅里叶变换和小波变换进行了详细介绍，并用算例分析指出了两者的差别。 关键词：傅里叶变换； 小波变换；时频分析技术；

1 傅里叶变换（Fourier Transform ）

1

2/201

22/0()()()()1()()()(::::)N j nk N ft N ft j nk N n H T h kT e H f h t e d DFT FT IFT IDFT t NT k h t H f e dt h nT H e N NT ππππ--∞

--∞∞--∞⎫=⎫⎪=⋅⎪⎪−−−−−−−→⎬⎬⎪⎪=⋅=⎭⎪⎭

∑⎰⎰∑离散化(离散取样)

周期化（时频域截断） 2 小波变换（Wavelet Transform ）

2.1 由傅里叶变换到窗口傅里叶变换（Gabor Transform(Short Time Fourier

Transform)/）

从傅里叶变换的定义可知，时域函数h(t)的傅里叶变换H(f )只能反映其在整个实轴的性态，不能反映h （t ）在特定时间区段内的频率变化情况。如果要考察h(t)在特定时域区间（比如：t ∈[a,b]）内的频率成分，很直观的做法是将h(t)在区间t ∈[a,b]与函数[][]11,t ,()0,t ,a b t a b χ⎧∈⎪=⎨

∈⎪⎩，然后考察1()()h t t χ傅里叶变换。但是由

于1()t χ在t= a,b 处突然截断，导致中1()()h t t χ出现了原来h （t ）中不存在的不连

续，这样会使得1()()h t t χ的傅里叶变化中附件新的高频成分。为克服这一缺点，

D.Gabor 在1944年引入了“窗口”傅里叶变换的概念，他的做法是，取一个光滑的函数g(t),称为窗口函数，它在有限的区间外等于0或者很快地趋于0，然后将窗口函数与h(t)相乘得到的短时时域函数进行FT 变换以考察h(t)在特定时域内的频域情况。

22(,)()()()()(,)ft f ft f STFT ISTF G f h t g t e dt

h t df g t G f e d T ππτττττ

+∞

--∞

+∞+∞

-∞

-∞

=-=-⎰⎰⎰

：：

图：STFT 示意图

2.2 STFT 算例

cos(210) 0s t 5s cos(225) 5s t 10s (t)=cos(250) 10s t 15s cos(2100) 15s t 20s

t t x t t ππππ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨

≤≤⎪⎪≤≤⎩

图：四个余弦分量的STFT

2.3 窗口傅里叶变换（Gabor ）到小波变换（Wavelet Transform ）

图：小波变换

定义满足条件：

()()()()2

=ˆ=00ˆ0t dt t dt f df f

ψψψψ+∞

-∞+∞

<+∞-∞

+∞-∞

⎰<+∞−−−−−−→

⇔⎰

⎰假定：

的平方可积函数ψ(t)(即ψ(t)∈L 2（—∞，+∞）)为——基本小波或小波母函

数。

Haar 小波函数

db3小波函数

db4小波函数

db5小波函数

mexh 小波函数 图：几种常用的小波函数

令

()ab t b t a ψ-⎛⎫

=

⎪⎝⎭

，a 、b 为实数，且a ≠0， 称ψab 为由母函数生成的有赖于参数a,b 的连续小波函数。设f(t)∈L 2（—∞，+∞），定义

其小波变换为：

(

)(),,f ab t b W a b f f t dt a ψψ+∞

-∞

-⎛⎫==

⎪⎝⎭

⎰

与Fourier 类似，小波变化也具有反演公式：

()()()

2

1

,f ab dadb

f t W a b t C a ψ

ψ+∞+∞

-∞

-∞

=

⎰⎰

， 以及Parseval 等式：

()(

)

()

()2

22

2,,,,1,.f g f dadb

W a b W a b C f g a

dadb

W a b f t dt C a

ψψ

+∞+∞

-∞

-∞+∞

+∞+∞-∞

-∞

-∞==⎰⎰

⎰⎰

⎰ 小波变换虽然具有频率愈高相应时间或空间分辨率愈高的优点，但其在频率域上的分辨率

却相应降低。这是小波变换的弱点，使它只能部分地克服Fourier

变换的局限性。小波包变

换将在一定程度上弥补小波变换的这一缺陷。

图：FT变换、STFT变换及Wavelet Analysis比较

图：Wavelet应用1——探测数据突变点