时频分析与小波变换的发展历程
瞬态信号分析
注： gn - -小波系数
hn - -尺度系数
分解算法
cnj1
h* k 2n
ckj
k
d
j n
1
g
* k 2n
ckj
k
gn d j1 c hn j1
逼近信号 细节信号
小波重构
重构算法与上述分解算法恰好相反，重构算法的表达 式为：
两个正弦信号 2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
20
40
5.小 结
一、瞬态信号
1、定义
一般将持续时间短，有明显的开端和结束的信号称 为瞬态信号。
2、特点
强时变、短时段
3、实例
机器部件受瞬时冲击、各种撞击声、火箭发射等
4、处理方法
Wigner-Ville(魏格纳-威利)分布
时频分析 小波分析
二、时频分析
1、方法引入
在许多实际应用场合，信号是非平稳的，其统计量 （如相关函数、功率谱等）是时变函数，只了解信号在时 域或频域的全局特性远远不够，而希望得到信号频谱随时 间变化的情况。因此，引入了信号的时频分析概念
60
80
100
120
分解信号1 1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
20
40
60
80
100
120
重构低频信号 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
20
40
60
80
瞬态信号分析
重构高频信号
60
80
100
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重构信号与原始信号比较 2 重构信号 原始信号
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
20
40
60
80
100
120
四、Wigner-Ville分布
1、发展历程
⌂1932年，由Wigner在提出，最初用于量子力学的研究
⌂1948年，Ville开始将它引入信号分析领域
幅值 A
-2
-3
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25 频率 f
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Wigner-Ville波 形 0.45 0.4 0.35 10000 8000
三维图形
频率 f
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 10 20 30 时间 t 40 50 60
幅值 A
0.3
式中，C
t b dadb WTx b, a a a 2
2
d
是 b,a t 的傅里叶变换
t b a
小波变换的实质就是以基函数 号 x t 分解为不同频带的子信号
的形式将信
6000 4000 2000 0 0.8 0.6 0.4 0.2 频率 f 0 0 20 时间 t 60 40 80
小 结
以上部分分析非平 稳信号的分类以及 对应于各类信号的 时频分析方法。现 就各种方法的适用
范围总结如右：
d2
gn
小波变换发展史
小波变换发展史传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。
在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。
小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。
小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。
1.从傅立叶分析到小波分析1807年，法国学者Fourier指出任何周期函数都可以用一系列正弦波来表示，开创了傅立分析。
傅立叶分析揭示了时域与频域之间内在的联系，反映了“整个”时间范围内信号的“全部”频谱成分，是研究信号的周期现象不可缺少的工具。
建立在傅立叶分析基础上的采样定理和FFT技术奠定了现代数字化技术的理论基础。
尽管傅立叶变换具有很强的频域局域化能力，但是它明显的缺点，那就是无法反映非平稳信号在局部区域的频域特征及其对应关系，即FT在时域没有任何分辨率，无法确定信号奇异性的位置。
为了研究信号在局部时间范围内的频谱特征，1946年，Gabor提出了短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform，STFT），但是STFT的窗口宽度是固定的（和频率无关），这使得它无法同时兼顾信号的低频和高频特征，在分析时变信号时也有一定的局限性。
另外，STFT的窗口函数或核函数不能提供一组离散正交基，所以给数值计算带来了不便，这也是导致STFT 没有得到广泛应用的重要原因。
从傅立叶分析演变而来的小波分析的优点恰恰可以弥补傅立叶变换中存在的不足之处。
小波分析简述第五章
可编辑ppt
“正变换” 低频 和
高频 “滤波系数 “ ”反变换” 低频 和
高频 “滤波系24 数
5、小波基与滤波器系数
有的小波基是正交的，有的是非正交的。有的 小波基是对称的，有的是非对称的。 小波基（尺度函数和小波函数）可以通过给定 滤波系数生成。 小波的近似系数和细节系数可以通过滤波系数 直接导出，而不需要确切知道小波基函数，这 是 I. Daubechies 等的重要发现，使计算简 化，是快速小波分解和重建的基础。
的。小波变换既看到了森林（信号概貌），又看 到了树木（信号细节），能精确地在时间-频率 （时间-尺度）平面内刻画非平稳信号的特征，被 誉为“数学显微镜”。小波变换是迄今为止最优 秀的非平稳信号处理方法。
小波基的形状、紧支性、衰减性、对称性、光滑
性及正交性的不同决定了小波的千差万别，在小
波变换时，基函数的选择非常关键,在信号分解时，
可编辑ppt
11
CWT & DWT
CWT
1. Scale
At any scale
2. Translation At any point
3. Wavelet
Any wavelet that satisfies minimum criteria
4. Computation Large
5. Detection
第三阶段：全面应用时期。
从1992年开始，小波分析方法进入全面应用阶段。 MATLAB中，特意把小波分析作为其“ToolBox” 的单独一个工具箱。
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4
二、小波定义
可编辑ppt
5
因为小波 (t)只有在原点附近才会存在明显的起伏，在
远离原点的地方函数值将迅速“衰减”为零，所以我 们 (t)称 为“小波”
北航 时间-频率分析(2017_L3)
大时，窗中心向低频方向移动，窗口变窄。
CWTf (a, b) f , a , b 1 2 ˆ, ˆ a,b f a 2 | a |
ˆ( ) e ib ˆ ( a )d f
连续小波变换
时－频特性
前述窗口有一重要特点：它的中心频率
之比为与尺度a无关的常数。
种思想方法已有相当长的历史，可以追溯到1910年Haar 提出的“小波”规范正交基；
小波的原始概念是七十年代末法国Elf Acquitaine石油公
司的地球物理学工程师J.Morlet在处理地震波数据时提 出的，用于能对信号的高频成分获得好的时间分辨率 和对信号的低频成分获得好的频率分辨率；
小波变换概述
连续小波变换
小波变换与STFT的的相互表达关系：
相互表达关系
CWTf ( a, b ) 1 2 Cg
g STFT ( , ) g , , a , b d d f
STFTfg ( t , )
1 C
CWT ( a , b ) a , b , gt , f
( ) 称为由基本小波 (t ) 生成的依赖于参数的连续小波。 是 (t )的Fourier变换。
如果满足
(3.2) 则称为允许小波(Admissible Wavelet)，而式(3.2)称为允许 条件。
( ) | 2 | | 1 d C |
( ) ( ) | | 1 d C ,
有更一般的重构公式
f (t)
1 C,
CWT
f
( a , b ) a, b
da db (t) a2
连续小波变换
【第1讲】小波变换概述
2.傅里叶分析与小波分析的区别
傅立叶分析中，以单个变量（时间或频率）的函数 表示信号，对时域信号进行傅立叶变换，求得信号 频率函数，这时已经没有时间因素，因此，傅立叶 变换只能作频域分析，不能同时作时域频域分析。 在小波分析中，利用联合时间 — 尺度函数分析信号 ，通过平移和伸缩巧妙地构造小波基，使小波同时 具有时间平移和多尺度分辨率的特点，可以同时进 行时频域分析。 小波分析是一种时间和频率的局域变换，采用多分 辨率分析的思想，非均匀地划分时频空间。
在我国，对小波分析的研究起步较晚，20世纪90年代以 来，小波理论研究和应用研究几乎同时开始，1994年形 成国内小波研究的高潮。
4.小波分析的发展前景
目前人们普遍认为以下研究具有重要意义：
非线性小波变换的理论研究和应用。 快速小波算法与小波包算法。 超大规模科学计算的快速小波变换与算法。 小波理论在混沌湍流中的应用。 小波理论在偏微分方程求解中的应用。
出伸缩和平移的概念，第一次使用“Wavelet”。 1985年，Meyer证明了一维小波基的存在。 1987年，法国马赛召开第一次有关小波的国际会议。
1988年，Mallat与Meyer提出了多分辨分析理论。
1988年，比利时数学家Daubechies发表一篇长达
87页的论文，被认为是小波分析的纲领性文献。 1989年，Mallat构造了Mallat算法。 1990年，Meyer出版第一部专著《小波与算子》。 1992年，Daubechies的《小波10讲》系统介绍了 离散小波变换和连续小波变换等。 1992年以后，转向小波的应用推广。
通过伸缩和平移等运算功能对信号进行多尺度细化分 析（Multiscale Analysis），可以在不同尺度上来观 察信号。 对低频部分采取较高的频率分辨率和较低的时间分辨 率，在高频部分采取较高的时间分辨率和较低的频率 分辨率。 逐渐精细的时域步长，可以聚焦到被分析信号的任意 细节，因而它比傅立叶分析更适合处理非平稳信号。 被誉为“数学显微镜”。
信号变换技术的发展历史
信号变换技术的发展历史
信号变换技术是指将信号从一种表示形式转变为另一种表示形式的技术。
它的发展历史可以追溯到很早的时期，以下是信号变换技术的主要发展历史：
1. 傅里叶变换：傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法，由法国数学家傅里叶在19世纪初提出。
傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
2. 拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是将时域信号转换为复频域信号的方法。
它在控制系统、电路分析等领域有重要应用。
拉普拉斯变换由法国数学家拉普拉斯在19世纪初提出。
3. Z变换：Z变换是一种将离散时间信号转换为复变量信号的方法。
它在离散时间系统分析与设计中广泛使用。
Z变换于20世纪40年代由美国电气工程师拉斯·高斯特提出。
4. 小波变换：小波变换是一种将信号分解为不同频率的成分的方法。
它能提供更好的时域和频域局部特性描述，被广泛应用于信号处理、图像处理、数据压缩等领域。
小波变换的理论和方法在20世纪60年代到80年代逐渐形成。
5. 离散余弦变换：离散余弦变换是一种将离散时间信号转换为离散频域信号的方法。
它广泛应用于图像编码、数据压缩等领域。
离散余弦变换于20世纪70年代提出。
6. 离散傅里叶变换：离散傅里叶变换是一种将离散时间信号转
换为离散频域信号的方法。
它在信号处理和通信领域中得到广泛应用。
离散傅里叶变换是在20世纪60年代到70年代发展起来的。
随着技术的不断进步和需求的不断变化，信号变换技术也在不断发展和演进，不断涌现出新的变换方法和算法，为各个领域的信号处理提供了更多选择和解决方案。
【实用】时频分析与小波变换PPT文档
Wx (t, )
1
2
X ( / 2)X *( / 2) e j td
信号 x(t) 和 y(t) 的联合 Wigner-Ville 分布定义为
Wx, y (t, )
1
2
X ( / 2)Y *( / 2) e j td
Wigner-Ville分布的性质
(1) 实值性，即信号 x(t) 的自 Wigner-Ville 分布是 t 和的实函数：
一个著名的例子就是 Dirac 引入的 (t) 函数，时间上的点脉冲在 频域上具有正负无限伸展的均匀频谱。因此，信号 x(t) 和频谱 X ( ) 彼 此是整体刻画，不能反映各自在局部区域上的特征，因此不能用于信 号的局部分析。
例8-1
两个频率突变信号及其频谱。这两个信号均是由两种频率分量 sin(8 t) 和 sin(16 t) 组成，但两个频率分量在两个信号中出现的顺序 不同。对于信号 1，频率分量 sin(8 t) 和 sin(16 t) 分别占信号持续过 程的前一半和后一半，信号 2 则正好相反，频率分量 sin(16 t) 占信号 持续过程的前一半，后一半为 sin(8 t) 。对比两个信号的频谱可以看 出，不同的时间过程却对应着相同的频谱，这说明仅采用频谱不能区 分这两个信号。
8.2 小波变换
8.2.1 空间与基的概念 8.2.2 连续小波变换 8.2.3 离散小波变换 8.2.4 多分辨率分析 8.2.5 小波变换的应用
8.1 时频分析
8.1.1 概述
对于给定信号 x(t) ， t ，如果 x(t)满足 Dirichlet 条件， 且绝对可积，则 x(t)的 Fourier 变换及其逆变换存在
MATLAB提供了计算谱图的函数spectrogram， 其调用格式为：
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已有 1441 次阅读2010-6-13 13:07|个人分类:学术|系统分类:科研笔记|关键词:时频分析，发展
傅立叶分析的发展历程
1807年，法国学者Fourier指出任何周期函数都可以用一系列正弦波来表示，开创了傅立叶分析。
（1）操作过程：从数学角度而言，对一个函数进行傅立叶变换
（Fourier Transform，FT）。
从信号处理的角度而言，对任意信号f(t) 的频谱F(ω)进行分析。
（2）优点：能够准确刻画平稳信号在整个时（空）域的频率性质。
（3）缺点：不能反映非平稳信号在局部区域的频域特征及其对应关系，即FT
在时域没有任何分辨率，无法确定信号奇异性的位置。
1946年，Gabor提出了短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform，STFT）。
（1）操作过程：对信号进行加窗，再对加窗后的信号进行傅立叶变换，从而得到信号在局部区域的频谱。
（2）优点：能够分析信号局部频域特征。
（3）缺点：由于STFT中时间窗的宽度与频率无关，它仍然是一种恒分辨率分析。
1948年，Ville提出了维格纳-威尔分布（Wigner-Ville Distribution，WVD），并引入时频信号分析。
（1）操作过程：信号中心协方差函数的傅立叶变换。
（2）优点：具有对称性、时移不变性、真边缘性、平均瞬时频率等优良性质，WVD的时频分辨率比STFT的分辨率高。
（3）缺点：存在交叉干扰项（Cross-Term Interference，CTI），这是二次型时频分布的固有结果，大量的CTI会淹没或严重干扰信号的自项，模糊信号的原始特征。
小波分析的发展历程
一、小波分析
1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。
（1）操作过程：Haar正交基是以一个简单的二值函数作为母小波经平移和伸缩而形成的。
（2）优点：Haar小波变换具有最优的时（空）域分辨率。
（3）缺点：Haar小波基是非连续函数，因而Haar小波变换的频域分辨率非常差。
1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。
1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。
1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。
1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。
1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov 空间的一组基。
1981年，Stromberg引入了Sobolev空间Hp的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。
1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。
1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。
1986年，Meyer在证明不可能存在同时在时频域都具有一定正则性（即光滑性）的正交小波基时，意外发现具有一定衰减性的光滑性函数以构造L2(R)的规范正交基（即Meyer基），从而证明了正交小波系的存在。
1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。
1987年，Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。
它标志着第一代小波的开始？
（1）操作过程：先滤波，再进行抽二采样。
（2）优点：Mallat算法在小波分析中的地位相当于FFT在经典傅立叶分析中的地位。
它是小波分析从纯理论走向实际应用。
（3）缺点：以傅立叶变换为基础，直接在时（空）域中设计滤波器比较困难，并且计算量大。
1988年，Daubechies基于多项式方式构造出具有有限支集的光滑正交小波基（即Daubechies基）。
Chui和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法。
1988年，Daubechies 在美国NSF/CBMS主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲，引起了广大数学家、物理学家、工程师以及企业家的重视，将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮。
1992年，Daubechies对这些演讲内容进行了总结和扩展形成了小波领域的经典著作——小波十讲《Ten Lectures on Wavelet》。
1992年3月，国际权威杂志《IEEE Transactions on Information Theory》专门出版了“小波分析及其应用”专刊，全面介绍了此前的小波分析理论和应用及其在不同学科领域的发展，从此小波分析开始进入了全面应用阶段。
1992年，Kovacevic和Vetterli提出了双正交小波的概念。
1992年，Cohen、Daubechies和Feauveau构造出具有对称性、紧支撑、消失矩、正则性等性质的双正交小波。
（1）操作过程：利用两组互为对偶的尺度函数和小波函数实现函数的分解与重构。
（2）优点：具有正交小波无法同时满足的对称性、紧支撑、消失矩、正则性等性质。
1992年，Coifman和Wickerhauser提出了小波包（Wavelet Packet，WP）分析。
（1）操作过程：不仅对低通子带进行分解，而且也对高通分量分解，从而聚焦到感兴趣的任意频段。
（2）优点：突破了小波分析对信号频带进行等Q划分的局限性。
（3）缺点：最优基的搜索问题
1992年，Zou等提出了多带小波（M-band Wavelet）理论，将人们对小波变换的研究从“二带”推广到“多带”情况。
基于“二带”小波变换的多分辨率分析中，尺度函数对应一个低通滤波器，而小波函数对应一个高通滤波器。
“二带”小波变换把信号分解成不同的通道，而这些通道的带宽相对于尺度函数的对数是相同的，因此高频通道具有较宽的带宽，而低频通道具有较窄的带宽。
1993年，Goodman等基于r阶多尺度函数及多分辨率分析建立了多小波
（Multi-Wavelet）理论框架。
（1）操作过程：将单小波中由多个尺度函数生成的多分辨率空间扩展为由多个尺度函数生成，以此获得更大的自由度。
（2）优点：
1994年，Geronimo等提出了多小波变换（Multi-Wavelet Transform，MWT），将单尺度小波变换推广到多尺度小波变换。
（1）操作过程：小波函数的构造是由多个尺度函数完成的。
（2）优点：与二带小波、小波包、多带小波等单尺度小波相比，多小波在非常窄的紧支范围内同时具有光滑性、正交性、对称性、利普希茨Lipschitz连续性（消失矩）等特性。
——发展中
1991年，Alpert用多项式构造了第一个多小波。
Geronimo等利用分形插值函
数构造了正交、对称、紧支撑、逼近阶位2的GHM多小波。
1995年，Sweldens等提出了一种新的小波构造算法——提升方案
（Lifting Scheme）。
它标志着第二代小波的开始。
（1）操作过程：先将原始离散样本信号进行奇偶剖分，然后对奇偶样本点进行滤波处理。
（2）优点：所有的第一代小波都可以用提升方案构造出来。
具有运算速度快、对内存需求量小、能实现整-整变换等特点。
（3）缺点：对于边缘、轮廓和纹理等具有高维奇异性的几何特征，小波不是表示图像的最优基。
小波变换的局限性：
1）二维小波变换只有2.5个方向选择性。
小波是表示具有点奇异性目标函数的最优基（能有效表示信号的零维奇异特征，反映奇异点的位置和特性），但是难以表示更高维的几何特征。
2）二维小波变换的基函数都是各向同性的。
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