能被……整除的特点
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除是数论中的一个重要概念，它描述了一个整数能够被另一个整数整除，也就是除法运算的结果是整数。
整除有着许多重要的性质和特征，下面将详细介绍。
1.定义：整数a能够被整数b整除，即b是a的因数，记作b，a，当且仅当存在一个整数c，使得a=b·c。
其中，c称为a除以b的商，b称为a的约数，a称为b的倍数。
2.可加性：如果c是a的一个约数，那么c也是a的倍数。
换句话说，如果一个整数能够整除a，那么它也能够整除a的倍数。
3.可乘性：如果b，a且c，a，那么b·c也，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a与b的乘积。
4.整除的传递性：如果b，a且c，b，那么c，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a。
5.算术基本定理：任意一个大于1的整数，都可以表达为多个质数的积。
这意味着，如果一个整数可以整除另一个整数，那么它必然可以整除这个整数的所有质因数。
6. 两个非零整数的最大公约数和最小公倍数：两个非零整数a和b的最大公约数（记作gcd(a,b)）是能够同时整除a和b的最大正整数。
两个非零整数a和b的最小公倍数（记作lcm(a,b)）是能够同时被a和b整除的最小正整数。
于是有gcd(a,b)·lcm(a,b)=a·b。
7.唯一分解定理：任何一个整数都能够唯一地分解为几个质数的乘积。
这个定理也说明了一个数的因数有限，不会无限增多。
8. 整除与除法的关系：一个整数a能够被b整除，相当于a除以b 的余数为0。
对于任意的整数a和b，总能够找到唯一的两个整数商q和余数r，使得a=bq+r，其中r满足0≤r<，b。
9. 整除与模运算的关系：一个整数a能够被b整除，等价于a除以b的余数为0，即a mod b = 0。
在模运算中，a mod b表示a除以b的余数。
10. 除法的消去律：如果一个整数a能够被b整除，那么对于任意的整数c，ac也能够被bc整除。
能整除3的数的特征
能整除3的数的特征在日常生活中，我们常常遇到一些数字，而其中有一类数字在我们处理问题时显得特别重要，那就是能够整除3的数。
在数学中，我们对这类数字有着丰富的研究，可以发现整除3的数有着许多特征，这篇文档将会对这些特征进行详细的解析。
一、基本特征第一个基本特征是：能够被3整除的数的个位数只能是0、3、6、9。
即：一个数能够被3整除，当且仅当它的个位数是0、3、6、9中的一个。
这个特征非常重要，因为它是判断一个数是否能够被3整除最为基础的条件。
第二个基本特征是：如果一个数能够被3整除，那么它的各位数字之和也必定能被3整除。
例如，18、39、84都是能够被3整除的数，而它们的各位数字之和分别为9、12、12，这三个数都能够被3整除。
二、深入特征除了上述的基本特征外，能够被3整除的数还有一些深入的特征值得我们去了解。
第一个深入特征是：如果一个数的各位数字之和能够被3整除，那么这个数字就有可能能被3整除。
例如，526，它的各位数字之和为13，13能被3整除，而526也能够被3整除；再例如，521，它的各位数字之和为8，8不能被3整除，因此521也不能被3整除。
第二个深入特征是：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么将这个数的各个数字顺序翻转的结果也可能能被3整除。
例如，123，它的各位数字之和为6，6能被3整除，而将它的顺序翻转得到的数字是321，而321也能被3整除；再例如，225，它的各位数字之和为9，9能被3整除，而将它的顺序翻转得到的数字是522，而522也能被3整除。
第三个深入特征是：一个数如果能够被3整除，那么如果它的任意一位数字加上9后，各位数字之和仍然能被3整除。
例如，24，它能够被3整除，而2+9=11，1+1=2，2也能被3整除；再例如，138，它能够被3整除，而1+9=10，3+9=12，8+9=17，10+12+17=39，39也能被3整除。
三、利用特征求解问题了解了整除3的数字的特征后，我们可以运用这些特征来快速解答一些问题。
能被7和11整除数的特点
能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除。
例如：判断491678能不能被11整除。
—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=1223-12=11因此，491678能被11整除。
这种方法叫“奇偶位差法”。
除上述方法外，还可以用割减法进行判断。
即：从一个数里减去11的10倍、20倍、30倍……到余下一个100以内的数为止。
如果余数能被11整除，那么，原来这个数就一定能被11整除。
又如：判断583能不能被11整除。
用583减去11的50倍（583-11×50=33）余数是33，33能被11整除，583也一定能被11整除。
能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
数的整除（能被7、9、1、13整除的数的特征）专题训练知识梳理：1、整数a除以整数b(b≠0)，所得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除(也可以说b能整除a)。
2、如果整数a能被整数b(b≠0)整除，则称a是的倍数，b是a的约数。
3、能被9整除的数，其数字和一定是9的倍数．4、能被11整除的数的特征是这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除。
5、一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。
数的整除
数的整除（背的内容）
1、被3或9整除的数的特点:各位数字的和是3或9的倍数
2、被2整除的数的特点：个位数是偶数。
3、被5整除的数的特点：个位是0或5.
4、被4或25整除的数的特点：末两位数能被4或25整除。
5、被8或125整除的数的特点：末三位数能被8或125整除。
6、被11整除的数的特点:这个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数。
7、被7或11或13整除的数的特点：这个数的末三位数与末三位以前的数字组成的数之差能被7或11或13整除。
写的内容
1、把一个棱长为4厘米的正方体以任意长度横着切两片，以任意长度竖着切两条，在每一条上切三块，共切出12块。
不一样的长方体，则这12块长方体的表面积是多少？
2、有一个长方体和一个正方体，正好可以拼成一个新的长方
体，新长方体的表面积比原长方体的表面积增加60平方厘米，求正方体的表面积？
3、一个长方体，表面积为184平方厘米，底面积是20平方厘
米，底面周长为18平方厘米，求长方体的体积？
4、一个长方形跑道长150米，宽60米，王丽和杨乐同时从一
个顶点同向起跑，王丽每分钟跑500米，杨乐
每分钟跑450米，两人第一次相遇时各跑多少米？
5、一轮船往返于A、B两港运送货物，去时顺水每小时行24
千米，返回时逆水每小时行16千米，返回时比去时
多用4小时，求AB两港间相距多少千米？
6、一架飞机顺风而行每小时飞900千米。
现在它从甲地到乙
地顺风而去，逆风返回，返回时比去时多用2小时，
已知风速每小时为75千米，求往返甲、乙两地共用多长时
间？。
能被9整除的数的特点
崔子荣
２０ 年 ７月 ２ ０９ ２日．０ 年一遇 的 日全食 的 否被 ９ 除 ，只要看这个数 的各位数 字 的和就 ｔ ５０ 整 壮丽景观 ． 相信 同学们还记忆犹新吧 ！ 这次 日全 行 了． 由此 ， 我们 可以得 出一个 结论 ： 一个 数 的 ： 食长度达 １ 万多公里 ， 宽度约 ２ ０ ５ 公里 ， 经过我 各 位数字的和能被 ９ 除 ，这个数就能被 ９整 ： 整 国长江流域 ， 全过程约两个小时 ， 全食最长可达 除 ； 反过来 ， 一个 数能被 ９整除 ， 它的各位数 字
．
数减去小数 ：０ ２ ２ —２ ０７ ２ ０ ２ ９ ． ９ ２ ７ ０ ｏ ９２ ＝７ ｌ９ ８ 把差 的各位数字加起来 ： ＋０ ＋２ ＋ ７ ＋１ ＋９
９ ８ ３． ＋ ＝ ６
１Ｏ ＋ｌ ｃ ＝９ １ ｂ ） ａ ＋ｃ ． Ｏ ｂ Ｏ ＋ａ （ ｌ ＋ｃ ＋ ＋６ ）
容易知道 。变换后 的数与原数 的差 一定 能 ：
第八步： 把所得的一位数乘２３再加３ ２， ．
｛ 籍＿
如果没有计算错误 的话 ，得到 的数一定会 ～
从变形的结果可以看 出 ，原来 的三位数 能
是２１１ ００
豫
ｌ 。
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么呢？
同学们 ，相 信你们 已经明 白了其 中的道理
：
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人类文 明在飞速发展 ， 科学技术 日新月异 ， 我们 吧． 那么我们一起来玩下面的游戏 ：
第一 步 ： 任意写一个你喜欢 的 自然数 ；
第二步 ： 加上你的年龄 ；
第三 步 ： 若你是男同学 ， 将新得 的数减去 １ ， ， ： 第 四步 ： 乘一个你 喜欢 的两位数 ： 第五步 ： 乘一个你喜欢 的 自然数 ：
能被2整除的数的特征
https://
REPORTING
• 引言 • 能被2整除的数的定义 • 能被2整除的数的性质 • 特殊情况 • 结论
目录
PART 01
引言
REPORTING
WENKU DESIGN
主题简介
01
能被2整除的数是指一个整数除以 2得到的商也是整数，没有余数。
例如：10除以2等于 5，所以10能被2整 除。
PART 03
能被2整除的数的性质
REPORTING
WENKU DESIGN
偶数的性质
定义
偶数是能被2整除的整数，表示为 2n，其中n是整数。
性质
偶数可以写成2乘以另一个整数的 形式，因此它具有偶数个因数。
特性
偶数可以表示为两个相同整数之和 或之差的形式。
末位是5的数
例如75、85、95等，这 些数的末位都是5，而5是 奇数的特殊情况。
连续自然数
例如3、4、5，或者11、 12、13等，这些连续的自 然数中，总有一个数是奇 数。
PART 05
结论
REPORTING
WENKU DESIGN
对能被2整除的数的总结
01
02
03
能被2整除的数是偶数。
偶数的个位数一定是0、 2、4、6或8。
能被5整除的数的特征
一个数的个位数是0或5，则这个数 能被5整除。
能被6整除的数的特征
一个数如果既能被2整除又能被3整 除，则这个数能被6整除。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
程。
在几何学中，能被2整除的数与 角度、长度等度量单位相关，因 为它们可以表示完整的度量单位。
能被3和9整除的数的特征
能被3和9整除的数的特征一、引言在数学中，有一类特殊的数被称为能被3和9整除的数。
这些数具有一些独特的特征，本文将从不同角度展开讨论，探究能被3和9整除的数的特点和性质。
二、能被3整除的数的特征1. 数字和能被3整除能被3整除的数具有一个明显的特点，即它们的各位数字之和能被3整除。
例如，12、15、18都是能被3整除的数，因为1+2=3，1+5=6，1+8=9，都能被3整除。
2. 末位数字规律能被3整除的数的末位数字具有一定的规律性。
例如，3、6、9、12等数的末位数字都是3的倍数，因此它们能被3整除。
三、能被9整除的数的特征1. 数字和能被9整除能被9整除的数的各位数字之和能被9整除。
这是因为9是3的倍数，即9=3*3。
例如，27、36、45等数的各位数字之和都能被9整除。
2. 末位数字规律能被9整除的数的末位数字为0。
这是因为9是10的一个因子，而10的倍数的末位数字为0。
四、能被3和9整除的数的特征1. 数字和能被3和9整除能被3和9整除的数的各位数字之和既能被3整除，又能被9整除。
例如，27、36、45都是能被3和9整除的数，因为它们的各位数字之和都能被3和9整除。
2. 末位数字规律能被3和9整除的数的末位数字为0。
这是因为能被3和9整除的数既能被3整除，又能被9整除，而9是10的一个因子，因此这类数的末位数字为0。
五、能被3和9整除的数的例子1. 30、90、120、150等都是能被3和9整除的数。
它们的各位数字之和都能被3和9整除，且末位数字为0。
六、结论通过对能被3和9整除的数的特征进行分析，我们可以得出以下结论：1. 能被3整除的数的各位数字之和能被3整除，且末位数字为3、6、9。
2. 能被9整除的数的各位数字之和能被9整除，且末位数字为0。
3. 能被3和9整除的数的各位数字之和既能被3整除，又能被9整除，且末位数字为0。
以上是关于能被3和9整除的数的特征的讨论。
这类数在数学中具有一些独特的性质，通过研究它们的特点，可以帮助我们更好地理解数学规律。
数学阅读
整除的特征一、【能被2或5整除的数的特征】一个数的末位上的数能被2或5整除，这个数就能被2或5整除。
（2×5=10）例如：58的个位上的数是8，8能被2整除，所以58就能被2整除；85的个位上的数是5，5能被5整除，所以85就能被5整除。
二、【能被4或25整除的数的特征】一个数的末两位数字所表示的数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除。
（4×25=100）例如：1932的末两位数字是32，32能被4整除，所以1932就能被4整除；650的末两位数字是50，50能被25整除，所以650就能被25整除。
三、【能被8或125整除的数的特征】一个数的末三位数字所表示的数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除。
（8×125=1000）例如：1024的末三位数字是024，24能被8整除，所以1024就能被8整除；12375的末三位数字是375，375能被125整除，所以12375就能被125整除。
四、【能被3或9整除的数的特征】一个数的各个数位上的数之和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。
例如：123各个数位上的数之和是1＋2＋3＝6，6能被3整除，所以123就能被3整除；918各个数位上的数之和是9＋1＋8＝18，18能被9整除，所以918就能被9整除。
五、【能被7、11、13整除的数的特征】—割差型一个自然数的末三位数字所表示的数与末三位数字前面所表示的数的差（大减小）能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除。
（可进行多次割差判断）例如：98/112的末三位数字所表示的数是112,末三位数字前面所表示的数是98, 112－98＝14，14能被7整除，所以98112就能被7整除。
173/052的末三位数字所表示的数是052,末三位数字前面所表示的数是173, 173－52＝121，121能被11整除，所以173052就能被11整除。
25/285的末三位数字所表示的数是285,末三位数字前面所表示的数是25, 285－25＝260，260能被13整除，所以25285就能被13整除。
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（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的各数位上数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！
（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（17）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（19）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。
如果和太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
1000以内
1000以内37的倍数中，三位数字相同的，就能被37整除，有九个：111 222 333 444 555 666 777 888 999
1000以上
这个数的后三位数加上前边的数之和能被37整除，那么这个数就能够被37整除，如果前边的数超过三位，那么三个数字为一组，相加能够被37整除，这个数就能被37整除。
举例：6549 549+6=555，555/37=15，所以6549能被37整除；12360146 146+360+12=518，518/37=14,所以12360146能被37。