换元积分法
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常用积分换元公式换元积分法的公式
常用积分换元公式换元积分法的公式积分换元法是求解积分的一种重要方法，通过引入合适的变量替换的方式，将原积分转化为更容易求解的形式。
下面是一些常用的积分换元公式和换元积分法：1.换元公式(1)第一类换元公式：设函数u=u(x)具有一阶连续导数，则有如下公式：∫f(u)du = ∫f(u(x))u'(x)dx(2)第二类换元公式：设函数x=x(u)可导，且反函数存在，则有如下公式：∫f(x)dx = ∫f(x(u))x'(u)du(3)第三类换元公式：设函数x=x(t)，y=y(t)可导，且满足y=y(x)，则有如下公式：∫f(x,y)dx = ∫f(x(t),y(t))x'(t)dt2.常见换元积分法(1)坐标换元法：根据问题中给定的坐标关系，选择适当的新坐标，从而简化积分的计算。
常见的坐标换元法包括：极坐标、柱坐标、球坐标等。
(2) 幂次换元法：对于形如∫f(x)(ax+b)^n dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为幂函数的积分。
(3) 三角换元法：对于形如∫f(x)sin(ax+b) dx或∫f(x)cos(ax+b) dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为三角函数的积分。
(4) 指数换元法：对于形如∫f(x)e^x dx的积分，可以引入变量u=e^x进行代换，从而将积分转化为指数函数的积分。
(5) 对数换元法：对于形如∫f(x)/x dx的积分，可以引入变量u=ln，x，进行代换，从而将积分转化为对数函数的积分。
(6) 倒代换法：对于形如∫f(g(x))dg(x)的积分，可以引入变量u=g(x)进行代换，然后将dg(x)用du表示，从而将积分转化为对u的积分。
(7) Weierstrass换元法：对于形如∫R(x,√(ax^2+bx+c)) dx的积分，可以引入变量u=√(ax^2+bx+c)+px+q进行代换，然后将积分转化为对u的积分。
积分的换元法
解 被积函数 (2 3x)7 是一个复合函数，
可令 u 2 3x ， 而 d(2 3x) 3dx ，则
(2 3x)7 dx 1 u7du 1 u8 C
3
24
1 (2 3x)8 C 24
一般，不需写出中间变量的代换过程，直接 通过凑微分计算.
3.4 积分的换元法
利用基本积分公式与直接积分法，所能计算的积 分非常有限，因此有必要寻找更有效的积分方法. 本节将介绍换元积分法，简称换元法.
3.4.1 不定积分的换元法
3.4.1.1 第一类换元法
cosxdx sin x C.
cos2xdx sin 2x C ?
定理3.2 设 f (u)du F(u) C , u (x) 具有连续导
cos
2
xd
(2
x)
x sin 2x C . 24
类似的可得
sin 2
xdx
x 2
sin 2x 4
C.
例3.34 计算 csc xdx.
解
csc
xdx
1 sin
x
dx
2sin
1 x cos
x
dx
22
tan
x 2
1 cos
x 2
2
d
(2 3x)7 dx
1 3
( 2 3x)7 d( 2 3x)
1 (2 3x)8 C 24
例3.23 计算
sec2
xd 3
x
解
原式 =
可令 u 2 3x ， 而 d(2 3x) 3dx ，则
(2 3x)7 dx 1 u7du 1 u8 C
3
24
1 (2 3x)8 C 24
一般，不需写出中间变量的代换过程，直接 通过凑微分计算.
3.4 积分的换元法
利用基本积分公式与直接积分法，所能计算的积 分非常有限，因此有必要寻找更有效的积分方法. 本节将介绍换元积分法，简称换元法.
3.4.1 不定积分的换元法
3.4.1.1 第一类换元法
cosxdx sin x C.
cos2xdx sin 2x C ?
定理3.2 设 f (u)du F(u) C , u (x) 具有连续导
cos
2
xd
(2
x)
x sin 2x C . 24
类似的可得
sin 2
xdx
x 2
sin 2x 4
C.
例3.34 计算 csc xdx.
解
csc
xdx
1 sin
x
dx
2sin
1 x cos
x
dx
22
tan
x 2
1 cos
x 2
2
d
(2 3x)7 dx
1 3
( 2 3x)7 d( 2 3x)
1 (2 3x)8 C 24
例3.23 计算
sec2
xd 3
x
解
原式 =
换元积分法
*
*
例14 求
解
令
*
*
例15 求
解
令
注
三角代换的目的是化掉根式.
*
*
例16 求
解
令Байду номын сангаас
2 根式代换
考虑到被积函数中的根号是困难所在，故
*
*
当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数）
一 问题的提出
二 第一类换元法（凑微分法）
三 第二类换元法
四 小结
五 思考与判断题
第二节 换元积分法
(Substitution Rules)
*
*
但是
解决方法
利用复合函数，设置中间变量.
令
我们知道
令
利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不 定积分是非常有限的；我们可以把复合函数的微分 法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换， 得到复合函数的积分法，称为换元积分法。
*
*
*
*
基本积分表 续
*
*
*
*
两类积分换元法：
（一）凑微分
（二）三角代换、根式代换、倒数代换
三角代换常有下列规律
可令
可令
可令
五 思考与判断题
1
2
*
*
目的是去掉根式。
若
则
设
（且可微，根据复合函数微分法，）
于是可得下述定理
二 第一类换元法
*
*
注意
使用此公式的关键在于将
第一类换元公式（凑微分法）
定理1
第一类换元法又称为凑微分法。
*
*
例1 求
*
例14 求
解
令
*
*
例15 求
解
令
注
三角代换的目的是化掉根式.
*
*
例16 求
解
令Байду номын сангаас
2 根式代换
考虑到被积函数中的根号是困难所在，故
*
*
当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数）
一 问题的提出
二 第一类换元法（凑微分法）
三 第二类换元法
四 小结
五 思考与判断题
第二节 换元积分法
(Substitution Rules)
*
*
但是
解决方法
利用复合函数，设置中间变量.
令
我们知道
令
利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不 定积分是非常有限的；我们可以把复合函数的微分 法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换， 得到复合函数的积分法，称为换元积分法。
*
*
*
*
基本积分表 续
*
*
*
*
两类积分换元法：
（一）凑微分
（二）三角代换、根式代换、倒数代换
三角代换常有下列规律
可令
可令
可令
五 思考与判断题
1
2
*
*
目的是去掉根式。
若
则
设
（且可微，根据复合函数微分法，）
于是可得下述定理
二 第一类换元法
*
*
注意
使用此公式的关键在于将
第一类换元公式（凑微分法）
定理1
第一类换元法又称为凑微分法。
*
*
例1 求
《换元积分法》课件
确定新变量
在原积分中，选择一个易于积分的变量替换 原积分中的变量，以简化积分过程。
选择新变量原则
选择的新变量应使得积分过程更简单、直观，便于 计算。
常见新变量选择
对于形如$int f(x) dx$的积分，常见的新变 量选择有$t = g(x)$或$x = g(t)$，其中 $g(x)$是原函数$f(x)$的可导函数。
要点二
计算简便
通过换元，可以将复杂积分转化为简单积分，降低计算难 度。
换元积分法的优缺点
• 易于理解：换元积分法的原理相对直观， 易于理解。
换元积分法的优缺点
需要选择合适的换元
选择合适的换元是关键，如果选择不当，可能导致计算 过程复杂化。
对初学者有一定难度
换元积分法涉及到变量替换，对初学者来说可能有一定 的学习难度。
新积分计算的注意事项
在计算新积分的过程中，需要注意积分的上下限是否发生变化，以及积分的计算是否正 确。
04
换元积分法的实例
实例一：计算定积分
总结词
换元积分法在计算定积分中的应用
VS
详细描述
通过换元积分法，可以将复杂的定积分转 化为容易计算的定积分，从而简化计算过 程。例如，利用三角换元法将复杂的定积 分转化为简单的定积分。
换元积分法的定义
换元积分法的定义
换元积分法是通过引入新的变量替换原来的变量，将复杂的积分转化为容易积分的积分，从而解决定积分问题的 一种方法。
换元积分法的步骤
首先，根据题目要求，选择适当的变量替换原来的变量；然后，根据新的变量，确定积分上下限；最后，进行定 积分计算。
换元积分法的公式
三角换元公式
确定新积分上下限
上下限变换原则
根据新变量的定义，将原积分的上下 限代入新变量的表达式中，得到新的 积分上下限。
在原积分中，选择一个易于积分的变量替换 原积分中的变量，以简化积分过程。
选择新变量原则
选择的新变量应使得积分过程更简单、直观，便于 计算。
常见新变量选择
对于形如$int f(x) dx$的积分，常见的新变 量选择有$t = g(x)$或$x = g(t)$，其中 $g(x)$是原函数$f(x)$的可导函数。
要点二
计算简便
通过换元，可以将复杂积分转化为简单积分，降低计算难 度。
换元积分法的优缺点
• 易于理解：换元积分法的原理相对直观， 易于理解。
换元积分法的优缺点
需要选择合适的换元
选择合适的换元是关键，如果选择不当，可能导致计算 过程复杂化。
对初学者有一定难度
换元积分法涉及到变量替换，对初学者来说可能有一定 的学习难度。
新积分计算的注意事项
在计算新积分的过程中，需要注意积分的上下限是否发生变化，以及积分的计算是否正 确。
04
换元积分法的实例
实例一：计算定积分
总结词
换元积分法在计算定积分中的应用
VS
详细描述
通过换元积分法，可以将复杂的定积分转 化为容易计算的定积分，从而简化计算过 程。例如，利用三角换元法将复杂的定积 分转化为简单的定积分。
换元积分法的定义
换元积分法的定义
换元积分法是通过引入新的变量替换原来的变量，将复杂的积分转化为容易积分的积分，从而解决定积分问题的 一种方法。
换元积分法的步骤
首先，根据题目要求，选择适当的变量替换原来的变量；然后，根据新的变量，确定积分上下限；最后，进行定 积分计算。
换元积分法的公式
三角换元公式
确定新积分上下限
上下限变换原则
根据新变量的定义，将原积分的上下 限代入新变量的表达式中，得到新的 积分上下限。
换元积分法
f (x)dx F(x) C
中的 x 换成了可微函数 j (x) . 所以说把基本积分表
中的积分变量换成可微函数 j (x) 后仍成立 .
1. 利 用 dx 1 d(ax b), a, b 均为常数，且 a 0. a
例 1 求 sin(3x 2)dx.
解 对照基本积分表，上式与表中 sinx dx 相似，
a
dx 1 x 2
a
dx a
1
x
2
a
arcsin x C. a
dx
x
arcsin C.
a2 x2
a
例 5 求
dx a2 x2
(a > 0 常数).
解
dx a2 x2
1 dx
a2
1
x
2
1 a
dx a
则
ln x dx x
ln xdln x
1 ln2 2
x C.
一般公式:
f
(ln
x)
dx x
f (u) d u
(u ln x) .
xdx 1 dx2. 2
则
xe x2 dx 1 e x2 dx 2 1 ex2 C
2
2
经求导验算，
即 结果正确 .
1 e x2 C xe x2 .
2
例7
求
ln x x
dx.
解 将被积分式中的 1 dx 因子凑微分，即 x
1 dx d(ln x). x
1
高等数学-换元积分法
解
න = න
1
= −න
( )′
1
= −න
= − | | + ．
同理可得 | | = + ．
8
01 第一类换元积分法
例3
解
1
求不定积分
．
2
令 2 = ，则 = ， = .
2
+1−1
න
=න
= න
1+
1+
1 + 2
1
= න(1 −
) = − | 1 + | +
1+
= 2 − | 1 + 2| + ．
14
02 第二类换元积分法
通过变量代换去掉根号的主要形式有：
而
= 5，考虑将被积函数恒等变形，得
1
1
1
1
1
= ⋅
⋅5= ⋅
⋅ (5 − 2)′
5 − 2 5 5 − 2
5 5 − 2
此时令 = 5 − 2， 得到
4
01 第一类换元积分法
1
1
1
න
= න
(5 − 2)′
5 − 2
5 5 − 2
1
1
= න
( 5 − 2)
0，又设[()] ′ ()的一个原函数为()，则
න()
= ()
න[()] ′ () = [() + ]=−1()
该公式称为第二换元公式． 其中 = −1 ()为函数
= ()的反函数.
න = න
1
= −න
( )′
1
= −න
= − | | + ．
同理可得 | | = + ．
8
01 第一类换元积分法
例3
解
1
求不定积分
．
2
令 2 = ，则 = ， = .
2
+1−1
න
=න
= න
1+
1+
1 + 2
1
= න(1 −
) = − | 1 + | +
1+
= 2 − | 1 + 2| + ．
14
02 第二类换元积分法
通过变量代换去掉根号的主要形式有：
而
= 5，考虑将被积函数恒等变形，得
1
1
1
1
1
= ⋅
⋅5= ⋅
⋅ (5 − 2)′
5 − 2 5 5 − 2
5 5 − 2
此时令 = 5 − 2， 得到
4
01 第一类换元积分法
1
1
1
න
= න
(5 − 2)′
5 − 2
5 5 − 2
1
1
= න
( 5 − 2)
0，又设[()] ′ ()的一个原函数为()，则
න()
= ()
න[()] ′ () = [() + ]=−1()
该公式称为第二换元公式． 其中 = −1 ()为函数
= ()的反函数.
定积分的换元积分法
定积分的换元积分法
换元积分法是指将一个原有的积分按某种规定定义相互换算兑换为新的积分的方法，
又称按档次分类法。
换元积分法是一种将原有积分分类标准化，并形成新分类规则的方法。
换元积分法建立在原有考核标准和实践考核指标基础上，以提高参加者考核成绩，以便做
出客观公正的评价和决策，从而实现考核绩效的改进。
换元积分法的基本原理是把原有积分按照规定的分类档次，换元无量纲化，即把原有
积分按规定的档次换元转换为新的标准积分，这样就可以很轻易比较不同参与考核者的考
核绩效。
换元积分法的设计要求考核指标的划分不可过于任意，也不可过多，考核标准的
标准分类档次应该越多越好，考核者的表现也应该由易至难分成多个档次，使考核更加客
观公正。
换元积分法还具有计算简便、考核灵活可编辑性、更利于客观评价等特点。
在考核中，有许多分类标准，比如能力和表现，进步程度等等，换元积分法可以利用各种标准进行积分，把原有积分按照规定的档次换算为新的标准积分，这样可以使考核更加客观公正，并
且它可以很灵活地根据考核过程不断改进，便于做出客观公正的评价和决策。
换元积分法是一种有效的考核方式，它可以有效规范各种考核测试，使考核成绩具有
一定的公正性和可比性，使市场参与者更容易把握自己的考核状态。
然而，换元积分法的
实施也有一定的局限性，即考核内容受限于原有的积分考核标准和实践考核指标，可能无
法满足实际考核的新要求，因而需要定期修正考核内容和指标，让它更适应变化的环境。
换元积分法
tan 2tdt (sec2t - 1)dt tan t - t C
x sect
2
1 cos t
1 cost , x
1 t arccos , x
1 原式 x - 1 - arccos C x
练习：
2、三角代换：被积函数型如→
(1) a 2 x 2 , 设x a sin t ; (3) x 2 a 2 , 设x a sect. (2) a 2 x 2 , 设x a tan t ;
例1：求 4 - x 2 dx
解：设x 2 sin t , 则 4 - x 2 4 - 4 sin 2 t
4(1 sin 2 t ) 2 cost
dx d (2 sin t ) (2 sin t)' dt 2 costdt
原式 2 cos t 2 cos tdt
2t sin 2t C x x 4 - x2 sin t , t arcsin , 又 cos t 2 2 2
解：设x 3 tan t , 则 x 2 9
dx d (3 tan t ) (3 tan t)' dt 3 sec2 tdt
原式 1 3 sec2 tdt 3 sect
sectdt
ln sect tan t C
x tan t , 3
sect
cosudu 求结果 sin u C
分析本例被积函数的特点：
sin x 2 C
1、被积函数能看做两函数的乘积; 2、其一为复合函数；
3、其二能看做复合函数的中间变量的导数。
此题的解法被称作第一换元法，又叫凑微分法。用公式表示为：
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即将
f [ ( x)] ( x)dx拼凑成 ( ( x))d ( x)
第一类换元法又称为凑微分法。
2018/8/1 5
例1
求
2 xe
x2
dx
x2
解
被积函数中的一个因子 为e
eu , u x2 ,
剩下的因子2 x恰好是u x 2的导数，于是有
2 xe
x2
dx e d ( x )
f ( x )dx化为积分 f [ (t )] (t )dt
2018/8/1
18
定理2 设 x ( t ) 是单调的、可导的函数， 并且 ( t ) 0，又设 f [ ( t )] ( t ) 具有原函数，
其中 ( x ) 是 x ( t ) 的反函数.
1 ln(3 2 x ) C . 2
1 1 1 du ln u C 2 u 2
2018/8/1
7
例3 求
解
1 x(1 5 ln x )dx.
1 1 x(1 5 ln x )dx 1 5 ln x d (ln x )
1 1 d (1 5 ln x ) 5 1 5 ln x u 1 2 ln x 1 1 du 5 u 1 1 ln u C ln(1 5 ln x ) C 5 5
2018/8/1
13
1 例10 求 dx. 1 cos x 1 dx 解 1 cos x 1 cos x 1 cos x dx 2 dx 2 1 cos x sin x 1 1 2 dx 2 d (sin x ) sin x sin x 1 cot x C. sin x
第二节
换元积分法
(Substitution
Rules)
一 问题的提出 二 第一类换元法（凑微分法）
三 第二类换元法
四 小结
五 思考与判断题
2018/8/1 1
一
我们知道 但是 解决方法
问题的提出
cos xdx sin x C cos 2 xdx sin2 x C , (sin2 x C ) cos2 x
将t e x 回代
2018/8/1
x e C. 原 式 2 ln e x 1
24
当被积函数含有两种或两种以上的 根式 k x ,, l x 时，可采用令 x t n （其中 n为各根指数的最小公倍数） 例17 求
1 dx . 3 x (1 x )
2018/8/1
20
1
三角代换
2 2
例13 求 a x dx
(a 0).
dx a cos tdt
2
解
x a sin t ,
2 2
2
t
2
2
2
a x a a sin t a cos t
a x dx a cos t a cos tdt
例6
求 cos xdx
2
2
解 cos
xdx
1 cos 2 x dx 2
x sin 2 x 1 1 C ( dx cox2 xd ( 2 x )) 2 4 2 2
例7
3 2 sin x dx sin 解 x sin xdx
3 sin xdx
例14 求
1 dx (a 0). 2 2 x a
解 令x a sec t
dx a sec t tan tdt
1 a sec t tan t dx dt 2 2 x a a tan t
t 0, 2
sec tdt ln(sec t tan t ) C
tan 4 x sec 2 x sec x tan xdx
(sec 2 x 1) 2 sec 2 xd sec x
(sec 6 x 2 sec 4 x sec 2 x )d sec x 1 2 5 1 3 7 se c x se c x se c x C 7 5 3
熟练以后就不需要进行
u ( x)
转化了
8
2018/8/1
x 例4 求 dx. 2 (1 x )
解
x (1 x )2 dx
x 11 (1 x)2 dx
1 1 [ ]d (1 x ) 2 (1 x ) (1 x ) 1 ln(x 1) C1 C2 (1 x ) 1 ln(x 1) C (1 x )
设 f ( u) 具有原函数， u ( x ) 可导，
则有换元公式
f [ ( x )] ( x )dx [ f (u)du]u ( x )
第一类换元公式（凑微分法） 注意
使用此公式的关键在于将
f [ ( x )] ( x )dx f ( ( x ))d ( x ) F ( ( x )) C
x ln a
2018/8/1
x a a
2
2
C.
x
t a
x a
2
2
22
例15 求
1 dx (a 0). 2 2 x a
2
解 令 x a tan t dx a sec tdt
1 1 2 dx a sec tdt 2 2 a sec t x a
2018/8/1 16
例13 求
1 sin x csc xdx 解 dx sin x sin2 x dx 1 d (cos x ) 2 1 cos x 1 1 1 1 du du 2 2 1 u 1 u 1 u 1 1 u 1 1 cos x ln C ln C. 2 1 u 2 1 cos x ln(cscx cot x ) C .
x x x x
e 1 d ( x ) de 1 e 1 e 1 d (1 e ) 1 e
x x x
x
x
x
ln( 1 e ) C .
x
2018/8/1
12
例9
解
求 tan 5 x sec 3 xdx
5 3 tan x sec xdx
2018/8/1 9
1 例5 求 2 dx. 2 a x 1 1 dx 2 解 2 2 a x a
1 a
1 2 dx x 1 2 a
1 x x 1 arctan C . 2d a x a a 1 a
2018/8/1
10
2018/8/1 19
f [ ( t )] f ( x ).
说明F ( x ) 为 f ( x ) 的原函数,
f ( x )dx F ( x ) C [( x)] C ,
f ( x )dx f [ (t )] (t )dt
t ( x)
三角代换 第二类积分换元法 分为两种基本类型 根式代换
则有换元公式 f ( x )dx
f [ (t )] (t )dt
t ( x )
证
( t ) 的原函数, 设 ( t ) 为 f [ ( t )]
令F ( x ) [ ( x )]
d dt 1 则 F ( x ) f [ ( t )] ( t ) , dt dx ( t )
x
dx.
考虑到被积函数中的根号是困难所在，故 1 令 t e x x 2 lnt , dx t dt, 1 2 1 1 dx dt 1 e x t (t 2 1) 2 t t 1 dt
2[lnt ln(t 1)] C
类似地可推出
2018/8/1
csc xdx .
sec xdx ln(sec x tan x ) C .
17
三
第二类换元法
第一类换元法是通过变量替换 u ( x ) 将积分
f [ ( x )] ( x )dx化为积分 f (u)du
下面介绍的第二类换元法是通过变量替 换 x ( t ) 将积分
x 1 x dx ? 令 x sin t
2 2
x 1 x dx (sin t ) 1 sin t cos tdt
2 2
2
2
sin t cos tdt
2 2
目的是去掉根式。
2018/8/1 3
二 第一类换元法
若 F ( u) f ( u), 则 设
f (u)du F (u) C .
2 2
2 2 2
a
t
a x
2
1 cos 2t a cos tdt a dt 2 a a t sin t cos t C x 2 2 x t arcsin a a2 x 1 arcsin x a 2 x 2 C 2 a 2
2 2
2
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2018/8/1 14
例11 求 sin 2 x cos5 xdx . 解
2 5 2 4 sin x cos xdx sin x cos xd (sin x ) 2 2 2
sin x (1 sin x ) d (sin x ) (sin x 2 sin x sin x )d (sin x )
u ( x )（且可微，根据复合函数微分法，）
dF [ ( x )] f [ ( x )] ( x )dx
f [ ( x )] ( x )dx F [ ( x )] C