高二数学直线中的对称问题PPT教学课件
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专题：直线方程中的对称问题课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
则
y' x'
y0 x0
A BBiblioteka 1Ax'
2
x0
B
y'
2
y0
c
0
（2）当直线斜率不存在时：点 x0, y0 关于 x m 的对称点为2m x0, y0
题型三 点关于直线的对称问题
【例 3】点 A(1,3) 关于直线 x y 3 0 的对称点的坐标．
【答案】 (0, 4)
化简得 y 4x 9 ，故选：C．
三、点关于直线的对称问题
1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线
2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，
就可求出对称点的坐标，一般地：设点 x0, y0 关于直线 Ax By C 0 的对称点
x', y' ，
题型二 直线关于点的对称问题
【例 2】直线 y 2x 1关于原点对称的直线方程是（ ）
A． y 2x 1
B． y 2x 1
C． y 2x 1
D． y 2x
关于原点对称的点 x,y位置不变 符号都变！！
【变式 2-1】直线 y 4x 5 关于点 P2,1 对称的直线方程是（
A．y 4x 5
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
二、直线关于点的对称问题 1、实质：两直线平行 2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在 l 上找两个特殊点（通常取直线与 坐标轴的交点），求出各自关于 A 对称的点，然后求出直线方程） 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到 直线距离相等）
3 4
.
基础巩固
1.已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原
点直线的对称问题课件
详细描述
直线关于点的对称定义是几何学中的基本概念之一。如果一条直线上的任意一点关于某一定点对称的点都在该直 线上，则这条直线被称为关于该定点对称。这个定义是理解点、线、面对称关系的基础。
直线关于点的对称性质
总结词
根据对称的性质，直线关于点的对称具 有平移不变性、旋转不变性和反射不变 性。
VS
详细描述
详细描述
直线关于点的对称是几何学中的基本概念之一，它在解 析几何、光学、力学和机器人学等领域中都有广泛的应 用。例如，在光学中，光的反射和折射都涉及到对称的 概念；在力学中，物体运动轨迹的对称性可以用对称的 直线来表示；在机器人学中，机器人的运动路径规划和 姿态调整也需要用到对称的概念。因此，理解直线关于 点的对称性质和应用对于深入理解这些领域中的基本概 念和原理非常重要。
点关于直线的对称性质
总结词
点关于直线的对称具有一些重要的性质，如对称点的连线与 对称轴垂直，且被对称轴平分。
详细描述
如果点A关于直线l对称于点B，则线段AB与直线l垂直，且线 段AB的中点M位于直线l上。此外，对称轴上的任意一点到两 个对称点的距离相等。
点关于直线的对称应用
总结词
点关于直线的对称在几何学、物理学和工程学等领域有广泛的应用。
详细描述
在几何学中，点关于直线的对称可用于研究图形的性质和变换。在物理学中，点关于直线的对称可用 于描述粒子的运动轨迹和电磁场的分布。在工程学中，点关于直线的对称可用于设计、分析和优化各 种结构。
03
直线关于点的对称
直线关于点的对称定义
总结词
根据对称的定义，如果一个直线上的任意一点关于某一定点对称的点都在该直线上，则该直线被称为关于该定点 对称。
美丽的图案。
直线关于点的对称定义是几何学中的基本概念之一。如果一条直线上的任意一点关于某一定点对称的点都在该直 线上，则这条直线被称为关于该定点对称。这个定义是理解点、线、面对称关系的基础。
直线关于点的对称性质
总结词
根据对称的性质，直线关于点的对称具 有平移不变性、旋转不变性和反射不变 性。
VS
详细描述
详细描述
直线关于点的对称是几何学中的基本概念之一，它在解 析几何、光学、力学和机器人学等领域中都有广泛的应 用。例如，在光学中，光的反射和折射都涉及到对称的 概念；在力学中，物体运动轨迹的对称性可以用对称的 直线来表示；在机器人学中，机器人的运动路径规划和 姿态调整也需要用到对称的概念。因此，理解直线关于 点的对称性质和应用对于深入理解这些领域中的基本概 念和原理非常重要。
点关于直线的对称性质
总结词
点关于直线的对称具有一些重要的性质，如对称点的连线与 对称轴垂直，且被对称轴平分。
详细描述
如果点A关于直线l对称于点B，则线段AB与直线l垂直，且线 段AB的中点M位于直线l上。此外，对称轴上的任意一点到两 个对称点的距离相等。
点关于直线的对称应用
总结词
点关于直线的对称在几何学、物理学和工程学等领域有广泛的应用。
详细描述
在几何学中，点关于直线的对称可用于研究图形的性质和变换。在物理学中，点关于直线的对称可用 于描述粒子的运动轨迹和电磁场的分布。在工程学中，点关于直线的对称可用于设计、分析和优化各 种结构。
03
直线关于点的对称
直线关于点的对称定义
总结词
根据对称的定义，如果一个直线上的任意一点关于某一定点对称的点都在该直线上，则该直线被称为关于该定点 对称。
美丽的图案。
点关于直线对称ppt课件
数学组：张杰霖
点关于直线对称
常见的点关于直线对称关系： 1、点P(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y) 2、点P(x,y)关于y 轴的对称点为(-x,y) 3、点P(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x) 4、点P(x,y)关于直线y=-x的对称点为(-y,-x)
2
点关于直线对称
点A (x0 , y0 ) 关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为
A
x
x0 2
B
y
y0 2
C
0
P
l
B(x,y)
9
10
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B（x，y）
A(x0,y0)
l
kAB kl 1 AB中点在l上
P
B(x,y)
3
点关于直线对称
点A (x0 , y0 ) 关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为
B（x，y）
A(x0,y0)
l
y x
y0 x0
(
A) B
1
A
x
x0 2
B
y
y0 2
C
0
P
B(x,y)
4
例：求点A（2,1）关于直线l： x+y+1=0的对称点B的坐标.
5
练习1：求点A（2,-1）关于直线l： x-y+1=0的对称点B的坐标.
6
练习2：课本P144 A组第七题.
7
规律总结
例：点A（2,1）关于直线l：x+y+1=0的对称 点B的坐标为（-2，-3）.
点关于直线对称
常见的点关于直线对称关系： 1、点P(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y) 2、点P(x,y)关于y 轴的对称点为(-x,y) 3、点P(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x) 4、点P(x,y)关于直线y=-x的对称点为(-y,-x)
2
点关于直线对称
点A (x0 , y0 ) 关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为
A
x
x0 2
B
y
y0 2
C
0
P
l
B(x,y)
9
10
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B（x，y）
A(x0,y0)
l
kAB kl 1 AB中点在l上
P
B(x,y)
3
点关于直线对称
点A (x0 , y0 ) 关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为
B（x，y）
A(x0,y0)
l
y x
y0 x0
(
A) B
1
A
x
x0 2
B
y
y0 2
C
0
P
B(x,y)
4
例：求点A（2,1）关于直线l： x+y+1=0的对称点B的坐标.
5
练习1：求点A（2,-1）关于直线l： x-y+1=0的对称点B的坐标.
6
练习2：课本P144 A组第七题.
7
规律总结
例：点A（2,1）关于直线l：x+y+1=0的对称 点B的坐标为（-2，-3）.
直线对称专题-安徽省淮北市第一中学高中数学必修二课件(共13张PPT)优质课件PPT
直线对称专题
思考
思考
例题
例题
例题
例题
例 题 例题 5 对称应用
（1）已知点 A(-1,-2),B(1,3),P 为 x 轴上的一点,求|PA|+|PB|的最小值; （2）已知点 A(2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2),B(3,4),P 为 x 轴上一点,求||PB|-|PA||的最大值.
（1）由题设知,点 A 在第三象限,点 B 在第一象限,连接 PA,PB,则
所以当 P 为直线 AB 与 x 轴的交点时,|PA|+|PB|取得最小值为|AB|,
而| AB|=
,故
的最小值为 .
（2）由题设知,A,B 两点同处 x 轴上方,对于 x 轴上任意一点 P,
当 P,A,B 不共线时,在
中,||PB|- |PA||<|AB|,而|AB|=
∴||PB|-|PA||< .
当 P 为直线 AB 与 x 轴的交点,即 P,A,B 共线时,||PB|-|PA||=|AB|= ,
∴||PB|-|PA||的最大值为 .
. ,
例题
变式训练
•我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激 的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性 富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在 前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，挥动依旧 球棒和球，然后用更大的力气对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”可是接下来的结果，并未如愿。男孩子似乎有些气馁，可是转念一想：我抛球这么刁，一定是 自己喊：“我是世界上最棒的挥球手！”其实，大多数情况下，很多人做不到这看似荒谬的自我鼓励，可是，这故事却深深反映了这个男孩子自我鼓励下的执著，而这
思考
思考
例题
例题
例题
例题
例 题 例题 5 对称应用
（1）已知点 A(-1,-2),B(1,3),P 为 x 轴上的一点,求|PA|+|PB|的最小值; （2）已知点 A(2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2),B(3,4),P 为 x 轴上一点,求||PB|-|PA||的最大值.
（1）由题设知,点 A 在第三象限,点 B 在第一象限,连接 PA,PB,则
所以当 P 为直线 AB 与 x 轴的交点时,|PA|+|PB|取得最小值为|AB|,
而| AB|=
,故
的最小值为 .
（2）由题设知,A,B 两点同处 x 轴上方,对于 x 轴上任意一点 P,
当 P,A,B 不共线时,在
中,||PB|- |PA||<|AB|,而|AB|=
∴||PB|-|PA||< .
当 P 为直线 AB 与 x 轴的交点,即 P,A,B 共线时,||PB|-|PA||=|AB|= ,
∴||PB|-|PA||的最大值为 .
. ,
例题
变式训练
•我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激 的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性 富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在 前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，挥动依旧 球棒和球，然后用更大的力气对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”可是接下来的结果，并未如愿。男孩子似乎有些气馁，可是转念一想：我抛球这么刁，一定是 自己喊：“我是世界上最棒的挥球手！”其实，大多数情况下，很多人做不到这看似荒谬的自我鼓励，可是，这故事却深深反映了这个男孩子自我鼓励下的执著，而这
对称问题PPT完美课件
点M（或直线l）的对称点仍在C上 .
1．两点之间的中心对称
如果点P1(x1, y1), P2(x2, y2),关于点M(a, b)对称，
那么点M是线段P1P2的中点，
y
根据中点坐标公式有：
.P 1(x 1,y1)
x1 x2 2 a
y1
y2
2b
M(a,b)
.x . O
P 2(x 2,y 2)
|AB | 5
B
在 RA t B 中 |C B|C 1， ta nABC 2.C o
x
设所求直线斜率为 k
则
k ( 3) 4
1 ( 3) k
2 k1或k11
2
2
4
故所求直线 x2方 y4 程 0或 1 为 x 1： 2y16 0.
对称问题PPT完美课件
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巩固1.光线沿着x直 2y线 50射入 ,遇到直线
则点P关于点A(1,2)的对称点为 Q(2x,4y)
由点Q在直线 x－y＋2=0上得 (2 x ) (4 y) 2 0
即 x y 0 为所求对称直线方程.
. y
l
Q
l’
.. A P
②点A(1,2)关于直线x－y＋2=0对称的点为 ；
解：设所求的对称点为 A(x, y), 则
1 x
2 y
2
x 1
1
2 y 2
1
2
0
x
y
0 3
A(0,3).
对称问题PPT完美课件
对称问题PPT完美课件
③直线x－y＋2=0关于点A(1,2)对称的直线为
；
解：在直线 x－y＋2=0上取两点P1(－2,0)，P2(0, 2)， 设它们关于点A(1,2)对称点Q1(x1, y1), Q2(x2, y2), 则中点公式得
1．两点之间的中心对称
如果点P1(x1, y1), P2(x2, y2),关于点M(a, b)对称，
那么点M是线段P1P2的中点，
y
根据中点坐标公式有：
.P 1(x 1,y1)
x1 x2 2 a
y1
y2
2b
M(a,b)
.x . O
P 2(x 2,y 2)
|AB | 5
B
在 RA t B 中 |C B|C 1， ta nABC 2.C o
x
设所求直线斜率为 k
则
k ( 3) 4
1 ( 3) k
2 k1或k11
2
2
4
故所求直线 x2方 y4 程 0或 1 为 x 1： 2y16 0.
对称问题PPT完美课件
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巩固1.光线沿着x直 2y线 50射入 ,遇到直线
则点P关于点A(1,2)的对称点为 Q(2x,4y)
由点Q在直线 x－y＋2=0上得 (2 x ) (4 y) 2 0
即 x y 0 为所求对称直线方程.
. y
l
Q
l’
.. A P
②点A(1,2)关于直线x－y＋2=0对称的点为 ；
解：设所求的对称点为 A(x, y), 则
1 x
2 y
2
x 1
1
2 y 2
1
2
0
x
y
0 3
A(0,3).
对称问题PPT完美课件
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③直线x－y＋2=0关于点A(1,2)对称的直线为
；
解：在直线 x－y＋2=0上取两点P1(－2,0)，P2(0, 2)， 设它们关于点A(1,2)对称点Q1(x1, y1), Q2(x2, y2), 则中点公式得
直线中的对称问题PPT课件
连接 A!B交 l 于Q
在 l 上任取一异于点Q的点Q1·
连接AQ , AQ1, A1Q1, BQ1.
y=x
Y
·B A· Q
·Q1
O
·A1
X
则 |AQ1|+|BQ1|=|A1Q1|+|BQ1＞| |A1B|= |A1Q|+|BQ=||AQ|+|BQ ∴点Q 使 |AQ| + |BQ| 最小.
∵ A(1,2) ∴A1(2,1) 又 B(2,4)
∴P点为所求的点
y=x
Y ·B
P1,
A· P ·C
O X
∵B(2,4) C(3,1) ∴直线 BC的方程为: y= －3x +10
｛ ｛ 由
y= x y=－3x
+10 得:
x= 2.5 y = 2.5
即直线 l 上的点P(2.5,2.5)使 |PA| + |PB|最小.
5
(2)做点 A 关于直线 y = x 的对称点A1
1
1、已知P(1,2),求P点关于以下各直线的对称点的坐标。 (1) l: x = 0 (2) l: y = 0 (3) l: x = 2 (4) l: y = 3 (5) l: y = x (6) l: y= -x
2、如何 求P (1,2)关于直线 2x – y +1= 0的对称点Q的坐标？
2
在某东西方向公路边有一村庄M. 在M村的北偏西30o 方向且与M村相距1000米处有一村A ，在M村的北偏东 60o的方向且相距800米处有一村B. A庄的村民主要靠 每天外出打工、做生意获得收入， B庄的村民主要靠种 菜、卖菜获得收入。前几年，风调雨顺，两村村民都忙 于自己的生活，没有意识到脚下的泥土路给生活带来的 不便。今年8、9两月的连绵秋雨，使两村村民深受交通 不便之苦。于是他们集资修路，拟定在公路上找一C处， 由C向两村分别修路，为了使修路费用最低，C处应如何 选择？
点直线的对称问题课件
点直线的对称问题课件
contents
目录
• 对称问题概述 • 点关于直线的对称点 • 线关于点的对称直线 • 点直线对称问题的综合应用
01
对称问题概述
对称的定义与性质
对称定义
如果一个图形关于某一直线（称 轴）对称，那么它被称为轴对称 图形，这条直线叫做对称轴。
对称性质
对称具有传递性、反身性、结合 性和不可分解性。
求点直线的对称点及对称直线方程
求对称点
设$PP^{\prime}$的中点为$M(x_{0},y_{0})$，则$M$点坐标为$(x+x^{\prime})/2， (y+y^{\prime})/2$，代入直线$l$的方程可得$Ax_{0}+By_{0}+C=0$，又因为$M$是 $PP^{\prime}$的中点，所以有$(x-x_{0})/2=(y-y_{0})/2$，解得$x=x^{\prime}$， $y=y^{\prime}$
距离问题
利用对称性可以找到两点 之间的最短距离或某点到 直线的最短距离。
角度问题
利用对称性可以找到两个 角之间的补角或余角。
02
点关于直线的对称点
定义
若点P(x0,y0)关于直线L的对称点为P'(x1,y1)，则PP'垂直于L ，且PP'的中点在L上。
性质
点P(x0,y0)关于直线x=a的对称点为P'(2a-x0,y0)； 点P(x0,y0)关于直线y=b的对称点为P'(x0,2b-y0)。
方法二
利用截距式方程求解。首先确定原直线的截距，然后根据对 称点的坐标求出新直线的截距，再根据截距式方程求出新直 线的方程。
线关于点的对称直线在实际问题中的应用
contents
目录
• 对称问题概述 • 点关于直线的对称点 • 线关于点的对称直线 • 点直线对称问题的综合应用
01
对称问题概述
对称的定义与性质
对称定义
如果一个图形关于某一直线（称 轴）对称，那么它被称为轴对称 图形，这条直线叫做对称轴。
对称性质
对称具有传递性、反身性、结合 性和不可分解性。
求点直线的对称点及对称直线方程
求对称点
设$PP^{\prime}$的中点为$M(x_{0},y_{0})$，则$M$点坐标为$(x+x^{\prime})/2， (y+y^{\prime})/2$，代入直线$l$的方程可得$Ax_{0}+By_{0}+C=0$，又因为$M$是 $PP^{\prime}$的中点，所以有$(x-x_{0})/2=(y-y_{0})/2$，解得$x=x^{\prime}$， $y=y^{\prime}$
距离问题
利用对称性可以找到两点 之间的最短距离或某点到 直线的最短距离。
角度问题
利用对称性可以找到两个 角之间的补角或余角。
02
点关于直线的对称点
定义
若点P(x0,y0)关于直线L的对称点为P'(x1,y1)，则PP'垂直于L ，且PP'的中点在L上。
性质
点P(x0,y0)关于直线x=a的对称点为P'(2a-x0,y0)； 点P(x0,y0)关于直线y=b的对称点为P'(x0,2b-y0)。
方法二
利用截距式方程求解。首先确定原直线的截距，然后根据对 称点的坐标求出新直线的截距，再根据截距式方程求出新直 线的方程。
线关于点的对称直线在实际问题中的应用
直线对称专题-安徽省淮北市第一中学高中数学必修二课件(共13张PPT)
直线对称专题
思考
思考
例题
例题
例题
例题
例 题 例题 5 对称应用
（1）已知点 A(-1,-2),B(1,3),P 为 x 轴上的一点,求|PA|+|PB|的最小值; （2）已知点 A(2,2),B(3,4),P 为 x 轴上一点,求||PB|-|PA||的最大值.
（1）由题设知,点 A 在第三象限,点 B 在第一象限,连接 PA,PB,则
所以当 P 为直线 AB 与 x 轴的交点时,|PA|+|PB|取得最小值为|AB|,
而| AB|=
,故
的最小值为 .
（2）由题设知,A,B 两点同处 x 轴上方,对于 x 轴上任意一点 P,
当 P,A,B 不共线时,在
中,||PB|- |PA||<|AB|,而|AB|=
∴||PB|-|PA||< .
功地把自己推销给别人之前，你必须百分之百的把自己推销给自己。即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。
当 P 为直线 AB 与 x 轴的交点,即 P,A,B 共线时,||PB|-|PA||=|AB|= ,
∴||PB|-|PA||的最大值为 .
. ,
例题
变式训练
用微笑告诉别人，今天的我，比昨天更强。瀑布跨过险峻陡壁时，才显得格外雄伟壮观。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。孤独是 每个强者必须经历的坎。有时候，坚持了你最不想干的事情之后，会得到你最想要的东西。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。只有经历人生 的种种磨难，才能悟出人生的价值。没有比人更高的山，没有比脚更长的路学会坚强，做一只沙漠中永不哭泣的骆驼！一个人没有钱并不一定就穷，但没 有梦想那就穷定了。困难像弹簧，你强它就弱，你弱它就强。炫丽的彩虹，永远都在雨过天晴后。没有人能令你失望，除了你自己人生舞台的大幕随时都 可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双 脚也无法到达。有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。我成功因为我志在成功！再冷的石头，坐上三年也会暖。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 有福之人是那些抱有美好的企盼从而灵魂得到真正满足的人。如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。只有不断找寻机会的人才 会及时把握机会。人之所以平凡，在于无法超越自己。无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。你可以选择这样的“三 心二意”：信心恒心决心；创意乐意。驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。如果一个人不知道他要驶向哪个码头， 那么任何风都不会是顺风。行动是理想最高贵的表达。你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。勇气是控制恐惧心理，而不是心里毫无恐惧。不举步， 越不过栅栏；不迈腿，登不上高山。不知道明天干什么的人是不幸的！智者的梦再美，也不如愚人实干的脚印不要让安逸盗取我们的生命力。别人只能给 你指路，而不能帮你走路，自己的人生路，还需要自己走。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。后悔是一种耗费精神的情绪，后悔是 比损失更大的损失，比错误更大的错误，所以，不要后悔！复杂的事情要简单做，简单的事情要认真做，认真的事情要重复做，重复的事情要创造性地做。 只有那些能耐心把简单事做得完美的人，才能获得做好困难事的本领。生活就像在飙车，越快越刺激，相反，越慢越枯燥无味。人生的含义是什么，是奋 斗。奋斗的动力是什么，是成功。决不能放弃，世界上没有失败，只有放弃。未跌过未识做人，不会哭未算幸运。人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到 达终点，而在乎你有没有跑完全程。累了，就要休息，休息好了之后，把所的都忘掉，重新开始！人生苦短，行走在人生路上，总会有许多得失和起落。 人生离不开选择，少不了抉择，但选是累人的，择是费人的。坦然接受生活给你的馈赠吧，不管是好的还是坏的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发 现其实那都不算事。要先把手放开，才抓得住精彩旳未来。可以爱，可以恨，不可以漫不经心。我比别人知道得多，不过是我知道自己的无知。你若不想 做，会找一个或无数个借口；你若想做，会想一个或无数个办法。见时间的离开，我在某年某月醒过来，飞过一片时间海，我们也常在爱情里受伤害。1、 只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。人生就像奔腾的江水，没有岛屿与暗礁，就难以激起美丽的浪花。别人能做到的事，我一定也能做到。不 要浪费你的生命，在你一定会后悔的地方上。逆境中，力挽狂澜使强者更强，随波逐流使弱者更弱。凉风把枫叶吹红，冷言让强者成熟。努力不不一定成 功，不努力一定不成功。永远不抱怨，一切靠自己。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的 路。社会上要想分出层次，只有一个办法，那就是竞争，你必须努力，否则结局就是被压在社会的底层。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的 损失，比错误更大的错误所以不要后悔。每个人都有潜在的能量，只是很容易:被习惯所掩盖，被时间所迷离,被惰性所消磨。与其临渊羡鱼，不如退而结网。有目标和远见的人让路。不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不 能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。赚钱之道很多，但是 找不到赚钱的种子，便成不了事业家。最有效的资本是我们的信誉，它小时不停为我们工作。销售世界上第一号的产品——不是汽车，而是自己。在你成
思考
思考
例题
例题
例题
例题
例 题 例题 5 对称应用
（1）已知点 A(-1,-2),B(1,3),P 为 x 轴上的一点,求|PA|+|PB|的最小值; （2）已知点 A(2,2),B(3,4),P 为 x 轴上一点,求||PB|-|PA||的最大值.
（1）由题设知,点 A 在第三象限,点 B 在第一象限,连接 PA,PB,则
所以当 P 为直线 AB 与 x 轴的交点时,|PA|+|PB|取得最小值为|AB|,
而| AB|=
,故
的最小值为 .
（2）由题设知,A,B 两点同处 x 轴上方,对于 x 轴上任意一点 P,
当 P,A,B 不共线时,在
中,||PB|- |PA||<|AB|,而|AB|=
∴||PB|-|PA||< .
功地把自己推销给别人之前，你必须百分之百的把自己推销给自己。即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。
当 P 为直线 AB 与 x 轴的交点,即 P,A,B 共线时,||PB|-|PA||=|AB|= ,
∴||PB|-|PA||的最大值为 .
. ,
例题
变式训练
用微笑告诉别人，今天的我，比昨天更强。瀑布跨过险峻陡壁时，才显得格外雄伟壮观。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。孤独是 每个强者必须经历的坎。有时候，坚持了你最不想干的事情之后，会得到你最想要的东西。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。只有经历人生 的种种磨难，才能悟出人生的价值。没有比人更高的山，没有比脚更长的路学会坚强，做一只沙漠中永不哭泣的骆驼！一个人没有钱并不一定就穷，但没 有梦想那就穷定了。困难像弹簧，你强它就弱，你弱它就强。炫丽的彩虹，永远都在雨过天晴后。没有人能令你失望，除了你自己人生舞台的大幕随时都 可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双 脚也无法到达。有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。我成功因为我志在成功！再冷的石头，坐上三年也会暖。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 有福之人是那些抱有美好的企盼从而灵魂得到真正满足的人。如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。只有不断找寻机会的人才 会及时把握机会。人之所以平凡，在于无法超越自己。无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。你可以选择这样的“三 心二意”：信心恒心决心；创意乐意。驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。如果一个人不知道他要驶向哪个码头， 那么任何风都不会是顺风。行动是理想最高贵的表达。你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。勇气是控制恐惧心理，而不是心里毫无恐惧。不举步， 越不过栅栏；不迈腿，登不上高山。不知道明天干什么的人是不幸的！智者的梦再美，也不如愚人实干的脚印不要让安逸盗取我们的生命力。别人只能给 你指路，而不能帮你走路，自己的人生路，还需要自己走。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。后悔是一种耗费精神的情绪，后悔是 比损失更大的损失，比错误更大的错误，所以，不要后悔！复杂的事情要简单做，简单的事情要认真做，认真的事情要重复做，重复的事情要创造性地做。 只有那些能耐心把简单事做得完美的人，才能获得做好困难事的本领。生活就像在飙车，越快越刺激，相反，越慢越枯燥无味。人生的含义是什么，是奋 斗。奋斗的动力是什么，是成功。决不能放弃，世界上没有失败，只有放弃。未跌过未识做人，不会哭未算幸运。人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到 达终点，而在乎你有没有跑完全程。累了，就要休息，休息好了之后，把所的都忘掉，重新开始！人生苦短，行走在人生路上，总会有许多得失和起落。 人生离不开选择，少不了抉择，但选是累人的，择是费人的。坦然接受生活给你的馈赠吧，不管是好的还是坏的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发 现其实那都不算事。要先把手放开，才抓得住精彩旳未来。可以爱，可以恨，不可以漫不经心。我比别人知道得多，不过是我知道自己的无知。你若不想 做，会找一个或无数个借口；你若想做，会想一个或无数个办法。见时间的离开，我在某年某月醒过来，飞过一片时间海，我们也常在爱情里受伤害。1、 只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。人生就像奔腾的江水，没有岛屿与暗礁，就难以激起美丽的浪花。别人能做到的事，我一定也能做到。不 要浪费你的生命，在你一定会后悔的地方上。逆境中，力挽狂澜使强者更强，随波逐流使弱者更弱。凉风把枫叶吹红，冷言让强者成熟。努力不不一定成 功，不努力一定不成功。永远不抱怨，一切靠自己。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的 路。社会上要想分出层次，只有一个办法，那就是竞争，你必须努力，否则结局就是被压在社会的底层。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的 损失，比错误更大的错误所以不要后悔。每个人都有潜在的能量，只是很容易:被习惯所掩盖，被时间所迷离,被惰性所消磨。与其临渊羡鱼，不如退而结网。有目标和远见的人让路。不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不 能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。赚钱之道很多，但是 找不到赚钱的种子，便成不了事业家。最有效的资本是我们的信誉，它小时不停为我们工作。销售世界上第一号的产品——不是汽车，而是自己。在你成
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(2)做点 A 关于直线 y = x 的对称点A1
连接 A!B交 l 于Q
在 l 上任取一异于点Q的点Q1·
连接AQ , AQ1, A1Q1, BQ1.
y=x
Y
·B A· Q
·Q1
O
·A1
X
则 |AQ1|+|BQ1|= |A1Q1|+|BQ1| ＞|A1B| = |A1Q|+|BQ| =|AQ|+|BQ| ∴点Q 使 |AQ| + |BQ| 最小.
A ·
l
P ·B
2、当A、B在直线 l 的同侧时，作A(或B)关于
l 的对称点 A1(或B1),则线段A1B(或AB1)与 l 的 交点P使|PA|+|PB| 最小,且最小值为|A1B|(|AB1|).
·B
A
·
P
l
A1·
已知直线 l ： x+y=0, 点 A(–3, 0), B( 0, –5). 试在 l 上求一点 P 使 |PA| + |PB| 最小.
4+√5 3 4√ 3 +5
∴直线A1B 的方程为
y+50√0
3=
4+√5 4√ 3
3 (x+500) +5
注 ︱ 坐 标
由y=0， 得x =316
∴ C( 316 , 0)
法 的
答：当C处选在M村正东 316 米时可使修路费用最低。 应
用
√ √ 例3：求函数 y = x2+6x+18 + x2－10x+26 的最小值及对应x的值。
∵ A(1,2) ∴A1(2,1) 又 B(2,4)
｛ ｛ ∴
由
直线A1B方程为x =
x =2
得
y=x
2
x y
=2 =2
即Q(2,2)
∴直线 l 上的点Q使|AQ|+|BQ|最小.
已知平面内有两个定点 A、B和一条定直线 l
1 、当 A与B在直线 l 异侧时，线段AB与 l 的 交点 P使 |PA|+|PB|最小,且最小值为|AB|.
则|P1B|+ | P1C|＞|BC|=|BP|+|PC|.
∴P点为所求的点
y=x
Y ·B
P1,
A· P ·C
O X
∵B(2,4) C(3,1) ∴直线 BC的方程为: y= －3x +10
｛ ｛ 由
y= x y=－3x
+10得:
x= 2.5 y = 2.5
即直线 l 上的点P(2.5,2.5)使 |PA| + |PB|最小.
A
B
M
问题：已知直线 l : y=x, A(1,2) , B(2,4) C(3,1)
1 、在直线 l上求一点 P使|PB| + |PC|最小。
2、在直线 l 上求一点Q使 |QA| + |QB|最小。
Y
B ·
y=x
A· ·C
O
X
解:(1) 连接BC交 l 于P.
在 l 上任取一异于P的点P1,连 P1B, P1C.
√ √ 解： y = x2+6x+18 + x2－10x+26
Y
√ √ = (x+3)2+(0－3)2 + (x－5)2+(0－1)2
A·
则y表示动点M(x,0)到定点A(-3, 3) 和B(5,1)距离之和，即直线 y = 0上 的点到两。点A、B 的距离之和
而A、B位于直线 y = 0的同侧
O A1 ·
解：以公路为x轴，以M村为原点，建立
直角坐标系（如图）
A
则 A(–500, 500√ 3) B(400√ 3,400)
作A关于x轴的对称点A1
∴ A1(–500, –50√0 3)
连A1B交x轴于C， 则C使 |CA| +|CB|最小。
Y
B
·M C
X
又B（ 40√0 3,400)
A1
∴kA1B =
·B
P
X
故作点A关于 y = 0的对称点A1 ∴A1(–3, –3) 连A1B交y = 0于P，则 P使 |PA|+|PB|=|A1B|最小，即y最小值为|A1B|
√ 由A1(–3, –3) B(5,1) 得 |A1B|= 4 5
且 A1B方程为 y = 12(x-3)
由y = 0 得x = 3 ∴P(3,0)
1、已知P(1,2),求P点关于以下各直线的对称点的坐标。 (1) l: x = 0 (2) l: y = 0 (3) l: x = 2 (4) l: y = 3 (5) l: y = x (6) l: y= -x
2、如何 求P (1,2)关于直线 2x – y +1= 0的对称点Q的坐标？
在某东西方向公路边有一村庄M. 在M村的北偏西30o 方向且与M村相距1000米处有一村A ，在M村的北偏东 60o的方向且相距800米处有一村B. A庄的村民主要靠 每天外出打工、做生意获得收入， B庄的村民主要靠种 菜、卖菜获得收入。前几年，风调雨顺，两村村民都忙 于自己的生活，没有意识到脚下的泥土路给生活带来的 不便。今年8、9两月的连绵秋雨，使两村村民深受交通 不便之苦。于是他们集资修路，拟定在公路上找一C处， 由C向两村分别修路，为了使修路费用最低，C处应如何 选择？
∴ 当 x = 3时y取最小值√4 5 注：等价转化、数形结合
1、同一平面内，在定直线 l上求点P使P到两定点 A、B距离和最小的方法。
2、探究过程中: （1）坐标法使数和形有机的结合起来，充分体现
了数形结合的思想。
（2）类比联想和等价转化使问题的解决找到了突 破口。