《三角函数的应用》三角函数(1) 图文
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三角函数的应用(一)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
根据已知数据作出散点图，如下图所示．
y
由数据表和散点图可 22
知，振子振动时位移的最 20
18
大值为20mm，因此A＝20；16
14
振子振动的周期为0.6s，
即 = 0.6 解得ω＝ ；
再由初始状态(t＝0)振子
的位移为-20，可得sinφ
=－1，因此φ ＝- ．
所以振子位移关于时间
的函数解析式为
y=20sin( t
-
),
12
10
8
6
4
2
–2 O
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
–18
–20
–22
t∈[０，＋∞）．
x
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆
的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这
些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．
在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正
然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最
后利用这个函数模型来解决相应的实际问
题．
实际问题通常涉及复杂的数据，因此往
往需要使用信息技术．
课堂
小结
1.知识清单：
(1)简谐运动.
(2)函数的“拟合”.
(3)三角函数在物理中的应用.
2.方法归纳：数学建模、数形结合.
3.常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归
6
7
8
9
10
11
水
5.00 6.21 7.12 7.49 7.24 6.42 5.25 4.01 3.02 2.52 2.65 3.37
高中数学新教材必修一第五章《三角函数》(1)全套课件
（新教材）第五章 三角函 数（1）
全套课件
1.1 任意角
体操是力与美的结合，也充满了角的概念．2002年11 月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦 标赛中，“李小鹏跳”——“踺子后手翻转体180度接 直体前空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体180 度、 转体900度就是一个角的概念.
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧
度数是 2 ，而在角度制里它是360 ，
角度制与弧度制的互换：
（1）把角度换成弧度
360o 2 rad,
180o rad,
1o rad 0.01745rad.
180
（2）把弧度换成角度
2 rad 360o ,
rad 180o ,
1 rad
180
终边落在坐标轴上的情形
900 + k360°
y
1800 + k360°
o
或3600＋ k360°
x
00 + k360°
2700 + k360°
复习回顾
1、初中几何研究过角的度量，1°的角是如何定义？角度 制呢？
答 : 规定把周角的 1 作为1度的角;而把用度做单位 360
来度量角的制度叫做角度制.
1、角的范围
初中角的定义： 从一个点出发引出的两条射线构成的 几何图形(0°,360°)
“旋转”形成角
终边
B
顶点
o
A
始边
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一
个位置旋转到另一个位置所成的图形．
1、花样游泳中，运动员旋转的周数如何 用角度计算来表示？
2、汽车在前进和倒车中，车轮转动的角度 如何表示才比较合理？
2．我们可以使线段 OP 的长为多少，能简化上述计算？
全套课件
1.1 任意角
体操是力与美的结合，也充满了角的概念．2002年11 月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦 标赛中，“李小鹏跳”——“踺子后手翻转体180度接 直体前空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体180 度、 转体900度就是一个角的概念.
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧
度数是 2 ，而在角度制里它是360 ，
角度制与弧度制的互换：
（1）把角度换成弧度
360o 2 rad,
180o rad,
1o rad 0.01745rad.
180
（2）把弧度换成角度
2 rad 360o ,
rad 180o ,
1 rad
180
终边落在坐标轴上的情形
900 + k360°
y
1800 + k360°
o
或3600＋ k360°
x
00 + k360°
2700 + k360°
复习回顾
1、初中几何研究过角的度量，1°的角是如何定义？角度 制呢？
答 : 规定把周角的 1 作为1度的角;而把用度做单位 360
来度量角的制度叫做角度制.
1、角的范围
初中角的定义： 从一个点出发引出的两条射线构成的 几何图形(0°,360°)
“旋转”形成角
终边
B
顶点
o
A
始边
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一
个位置旋转到另一个位置所成的图形．
1、花样游泳中，运动员旋转的周数如何 用角度计算来表示？
2、汽车在前进和倒车中，车轮转动的角度 如何表示才比较合理？
2．我们可以使线段 OP 的长为多少，能简化上述计算？
5.7 三角函数的应用 课件(共26张PPT)
5.7 三角函数的应用课件（共26张PPT）(共26张PPT)5.7三角函数的应用第五章学习目标学科素养1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型;2.会用三角函数模型解决简单的实际问题1.数学建模2.逻辑推理1自主学习函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义Aωx＋φφ2经典例题题型一三角函数在物理中的应用解列表如下：2t＋0 π 2πts 0 4 0 －4 0描点、连线，图象如图所示.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？解小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.(3)经过多长时间小球往复振动一次？解因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.跟踪训练1已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).∴ω≥300π>942，又ω∴N*，故所求最小正整数ω＝943.题型二三角函数在生活中的应用解三角函数应用问题的基本步骤跟踪训练2健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg 和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较.解p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，p(t)min＝115－25＝90(mmHg)，即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内.3当堂达标√√√4.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为A.5B.6C.8D.10√解析根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.【课后作业】对应课后练习。
三角函数的应用(1)
三角函数能够模拟许多周期现 象，因此在解决实际问题中有着广 泛的应用。
比如:海水受日月的引力,在一定的 时候发生涨落.在通常情况下,船只 在涨潮时驶进港口卸货,要在落潮 前返回海洋,那么,港口将如何调度?
§1.3.4三角函数的应用(1)
学习目பைடு நூலகம்：
• 会用三角函数的图象与性质解决有关的简谐运动问 题及有关圆周运动的问题； • 体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型。
• 必做题:P45 练习2
• 作业:P46
11
自学指导：
• 在例1中，作简谐运动的物体对平衡位置的位移和时 间自己满足的函数关系是什么？ • 圆周运动是周期现象吗？在例2中，水轮上的某一定 点每秒钟转过的角是多少？这个点距离水面的高度与 时间的函数关系是怎样得到的？水轮上的最高点距离 水面的距离是多少？
自主检测:P45 练习1
链接
分层训练:
比如:海水受日月的引力,在一定的 时候发生涨落.在通常情况下,船只 在涨潮时驶进港口卸货,要在落潮 前返回海洋,那么,港口将如何调度?
§1.3.4三角函数的应用(1)
学习目பைடு நூலகம்：
• 会用三角函数的图象与性质解决有关的简谐运动问 题及有关圆周运动的问题； • 体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型。
• 必做题:P45 练习2
• 作业:P46
11
自学指导：
• 在例1中，作简谐运动的物体对平衡位置的位移和时 间自己满足的函数关系是什么？ • 圆周运动是周期现象吗？在例2中，水轮上的某一定 点每秒钟转过的角是多少？这个点距离水面的高度与 时间的函数关系是怎样得到的？水轮上的最高点距离 水面的距离是多少？
自主检测:P45 练习1
链接
分层训练:
《三角函数的应用(1)》仰角俯角
2.5 三角函数的应用(1)
学习目标
• 了解仰角、俯角的概念，能应用解直角三角形解 决一类观测实际问题
• 进一步了解数学建模思想，能将实际问题中的 数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系
解直角三角形：直角三角形中， 由已知元素求未知元素的过程
（1）三边之间的关系 ∠A＋ ∠ B＝90°
（2）两锐角之间的关系 a2+b2=c2
B
αD Aβ
BC BD CD 40 3 120 3
160 3 277（m）
答：这栋楼高约为277m.
C
跟踪练习2
意犹未尽
求图中避雷针的长度(结果精确到0.01m).
解：如图，根据题意，可知 AB=20m，∠CAB=50°，∠DAB=56°
在Rt△DBA中，DB=ABtan56° ≈20×1.4826 =29.652(m)；
小明的身高1.5 m.那么该塔有多高?(结果精确到1 m)，你能帮
小明算出该塔有多高吗?
A
D
C
B
解：由题意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°，D′C′=50m.
∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°.
设AB′=x m. ∵
A
∴D′B′=x·tan60°，C′B′=x·tan30°，
热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼 顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角 为60°，热气球与楼的水平距离为120m ，这栋楼有多高（结果取整数）？
在Rt△ABD中，α =30°，AD＝120， 所以利用解直角三角形的知识求出BD； 类似地可以求出CD，进而求出BC．
B αD Aβ
C
解：如图，α = 30°,β= 60°， AD＝120m．
学习目标
• 了解仰角、俯角的概念，能应用解直角三角形解 决一类观测实际问题
• 进一步了解数学建模思想，能将实际问题中的 数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系
解直角三角形：直角三角形中， 由已知元素求未知元素的过程
（1）三边之间的关系 ∠A＋ ∠ B＝90°
（2）两锐角之间的关系 a2+b2=c2
B
αD Aβ
BC BD CD 40 3 120 3
160 3 277（m）
答：这栋楼高约为277m.
C
跟踪练习2
意犹未尽
求图中避雷针的长度(结果精确到0.01m).
解：如图，根据题意，可知 AB=20m，∠CAB=50°，∠DAB=56°
在Rt△DBA中，DB=ABtan56° ≈20×1.4826 =29.652(m)；
小明的身高1.5 m.那么该塔有多高?(结果精确到1 m)，你能帮
小明算出该塔有多高吗?
A
D
C
B
解：由题意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°，D′C′=50m.
∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°.
设AB′=x m. ∵
A
∴D′B′=x·tan60°，C′B′=x·tan30°，
热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼 顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角 为60°，热气球与楼的水平距离为120m ，这栋楼有多高（结果取整数）？
在Rt△ABD中，α =30°，AD＝120， 所以利用解直角三角形的知识求出BD； 类似地可以求出CD，进而求出BC．
B αD Aβ
C
解：如图，α = 30°,β= 60°， AD＝120m．
《三角函数的应用》三角函数PPT教学课件(第1课时)
根据图象过点（0.005，311），代入U=311sin(100πt+φ)，可得φ=2kπ，k∈Z． 所以U=311sin(100πt)，t∈[0，+∞)．
归纳小结
问题9 对于一个周期性现象，你该如何利用三角函数来刻画？在本节课中， 涉及哪些数学思想？
答案：利用三角函数刻画周期性现象，就是要找出这一现象中哪两个变量满 足“当其中一个变量增加相同的常数时，另一个变量的值重复出现”，然后通过 数学建模，求出这两个变量之间满足的三角函数关系．
s 3cos( g t ), t ∈[0,∞).
l3
（1）当l=25时，求沙漏的最大偏角（精确到0.0001rad）； （2）已知g=9.8m/s2，要使沙漏摆动的周期是1s，线的长度应当是多少（精确到 0.1cm）?
新知探究
4．建模解模
解：（1）∵ s 3cos( g t ) ，∴可得s的最大值为3．
时，i
－5
；
当 t 1 时，i 0．
60
新知探究
4．建模解模
练习1 如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不 计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平 衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下铅锤面内做周 期摆动．若线长lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移为s（ 单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是
φ为初相． 问题8 根据图象3（2），你能说出电流的的最大值A，周期T，初始状态（
t=0）的电流吗？由这些值，你能进一步完成例2的解答吗？ 答案： 由图可知，A=5，T= 1 s，初始状态的电流为4.33A．
50
新知探究
4．建模解模
解：由图3（2）可知，电流最大为5A，因此A=5；
电流变化的周期T= 1 s，即 2π = 1 s，解得ω=100π；
76锐角三角函数的简单应用(1)概述PPT课件
D .80cos20m
2、如图是一个拦水大坝的横断面图,AD∥BC, 斜坡AB=10m,大坝高为8m, (1)则斜坡AB的坡B
我们把斜坡与水平面的 夹角称为坡角 .
A
C
斜坡的垂直高度BC与斜坡 的水平距离AC的比称为坡度 i .
i tan BC
AC
1、小明沿着坡角为20°的斜坡向上前进80m, 则他上升的高度是( ).
A. 80 m cos 20
B. 80 m sin 20
C .80sin20m
C
A
B
D C
A
DB
练习：为改善楼梯的安全性能,准备将楼梯的 倾斜角由60°调整为45 °.已知调整后的楼梯比 原来多占地4米,求楼梯的高度.
D
AB
C
请你试一试： 升国旗时,某同学站在离旗杆底部24m处行
注目礼,当国旗升至旗杆顶端时,该同学视线的 仰角恰为30°,若双眼离地面1.5m,求旗杆的高 度.
北
C
北
30
60
A
60km B
练习3：在航线L的两侧分别有观测点A和B，
点A到航线L的距离为2km ,点B位于点A北 l
偏东l 60°方向且与A相距10km处．现有一艘
轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿
该航线自西向东航行，5min后该轮船行至
点A的正北方向的D处．
（（2）1）求求该观轮测船点航B行到的航速线度L（的结距果离精；确到0.1km/h）
若已知楼CD高为
3
C
30+10
米，其他条件不变，你 能BD求吗出？两楼之间的距离A
45° 30°
36
B
D
问题2:如图,飞机在距地面9km高空上飞行, 先在A处测得正前方某小岛C的俯角为30°,飞 行一段距离后，在B处测得该小岛的俯角为 60°.求飞机的飞行距离。
第五章5.7三角函数的应用PPT课件(人教版)
(2)振子在1 s内通过的路程为4A，故在5 s内通过的路程s＝5×4A＝20A＝ 20×10＝200(cm). 5 s末物体处在B点，所以它的位移为0 cm.
题型二 已知三角函数解析式解决应用问题 【例 2】 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开
平衡位置的位移 s(单位：厘米)与时间 t(单位：秒)的函数关系是：s＝6sin(2πt＋π6). (1)画出它一个周期的图象； (2)回答以下问题： ①小球开始摆动(即 t＝0)，离开平衡位置是多少厘米？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？
解 (1)周期 T＝22ππ＝1(秒). 列表：
t
0
1 6
5 12
2 3
11 12
1
2πt＋π6
π 6
π 2
π
3π 2
2π 2π＋π6
6sin(2πt＋π6) 3
6
0 －6 0
3
描点画图：
(2)①小球开始摆动(t＝0)，离开平衡位置为3 厘米. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 厘米. ③小球来回摆动一次需要1 秒(即周期).
规律方法 根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，视察散点图，然后进行函数 拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题.
【训练4】 一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下 表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为 ________.
∴ω≥300π>942，又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943.
规律方法 已知三角函数图象解决应用问题，第一由图象确定三角函数的 解析式，其关键是确定参数A，ω，φ，同时在解题中注意各个参数的取值 范围.
《高中数学必修三课件：三角函数的应用》
高中数学必修三课件：三 角函数的应用
本课件将带你深入探索《高中数学必修三课件：三角函数的应用》的各个方 面，包括三角函数的基本性质、公式和在实际问题中的应用。
三角函数的概念和基本性质
1 三角函数定义
正弦、余弦和正切是三角函数的基本定义，它们可以表示角度和边长的关系。
2 三角函数的周期
正弦和余弦函数的周期是360度或2π弧度，正切函数的周期是180度或π弧度。
3
机械振动
正弦函数和余弦函数可以描述机械振动， 如弹簧振子和摆锤。
周期函数的概念与性质
1 周期函数定义
周期函数是在指定区间内具有重复模式的函数。
2 周期函数的性质
周期函数的图像在每个周期内相同，可以通过平移、伸缩和翻转进行变换。
正弦函数和余弦函数的合成、差、倍角公 式
公式 合成角公式 差角公式 倍角公式
正弦函数和余弦函数的解析式
正弦函数的解析式
y = A*sin(Bx + C) + D
余弦函数的解析式
y = A*cos(Bx + C) + D
正弦函数和余弦函数在实际问题中的应用
1
声音的波动
正弦函数和余弦函数可以描述声音的波
电流的变化
2
动，如频率和振幅。
正弦函数和余弦函数可以描述交流电流
的变化，用于电力传输和电器工程。
2 余切函数定义
余切函数是正切函数的倒数，表示角度的斜 率的倒数。
正切函数、余切函数的图像及其变换
正切函数
正切函数在坐标平面中呈现出连续的周期性图像， 具有无穷多个渐近线。
余切函数
余切函数在坐标平面中呈现出连续的周期性图像， 具有无穷多个渐近线。
3 三角函数的对称性
本课件将带你深入探索《高中数学必修三课件：三角函数的应用》的各个方 面，包括三角函数的基本性质、公式和在实际问题中的应用。
三角函数的概念和基本性质
1 三角函数定义
正弦、余弦和正切是三角函数的基本定义，它们可以表示角度和边长的关系。
2 三角函数的周期
正弦和余弦函数的周期是360度或2π弧度，正切函数的周期是180度或π弧度。
3
机械振动
正弦函数和余弦函数可以描述机械振动， 如弹簧振子和摆锤。
周期函数的概念与性质
1 周期函数定义
周期函数是在指定区间内具有重复模式的函数。
2 周期函数的性质
周期函数的图像在每个周期内相同，可以通过平移、伸缩和翻转进行变换。
正弦函数和余弦函数的合成、差、倍角公 式
公式 合成角公式 差角公式 倍角公式
正弦函数和余弦函数的解析式
正弦函数的解析式
y = A*sin(Bx + C) + D
余弦函数的解析式
y = A*cos(Bx + C) + D
正弦函数和余弦函数在实际问题中的应用
1
声音的波动
正弦函数和余弦函数可以描述声音的波
电流的变化
2
动，如频率和振幅。
正弦函数和余弦函数可以描述交流电流
的变化，用于电力传输和电器工程。
2 余切函数定义
余切函数是正切函数的倒数，表示角度的斜 率的倒数。
正切函数、余切函数的图像及其变换
正切函数
正切函数在坐标平面中呈现出连续的周期性图像， 具有无穷多个渐近线。
余切函数
余切函数在坐标平面中呈现出连续的周期性图像， 具有无穷多个渐近线。
3 三角函数的对称性
5.7三角函数的应用课件(人教版)(1)
A.60
B.70
C.80
D.90
解析：由函数解析式易知周期为 2π 1 ， 160π 80
故频率即为每分钟心跳的次数，为 80.
2.音叉是呈“Y”型的钢质或铝合金发声器（如图 1），各种音叉可因其质量
和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，
在一定时间内，音叉上点 P 离开平衡位置的位移 y 与时间 t 的函数关系
时刻 水深/m 时刻 水深/m
8:00 9:00 3.023 2.529 16:00 17:00 7.420 6.812
10:00 11:00 12:00 13:00 2.656 3.372 4.497 5.748 18:00 19:00 20:00 21:00 5.748 4.497 3.372 2.656
借助计算工具，用二分法可以求得点 P 的坐标约为(7.016,3.995) ， 因此为了安全，货船最好在 6.6 时之前停止卸货并驶离港口.
课堂小测
1.已知某人的血压满足函数解析式 f (t) 24sin160πt 115 ，其中 f (t) 为
血压（单位：mmHg），t 为时间（单位：min），则此人每分钟心跳的 次数为( )
为 y 1 sin t .图 2 是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可
1000
确定 的值为( )
A.200
B.400
C. 200π
D. 400π
解析：由题图可得，
0
，T
4
1 800
1 200
，即
2π
1 200
，则
400π
.故选
D.
3.如图所示的是一个单摆，以平衡位置 OA 为始边、OB 为终边的角