相似三角形的判定2_课件ppt(华师大版九年级上)
三角形相似的判定方法2：
两边对应成比例且夹角相等的两个 三角形相似
A E F C D
在△
∵
ABC与△DEF中
B
∠B=∠E，
AB DE
∴
=
BC EF
△ ABC∽ △ DEF (两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)
上述判定方法中的“角”一定只能是两
对应边的夹角吗？
我爱思考
想一想：在上述问题中如果这个角 是这两条边中其中一条边的对角呢,两个 三角形还一定相似吗？
∴ △AEB∽△FEC （两边成比例并且夹角 依据下列各组条件，证明△ABC和△A′B′C′ 相似 相等两个三角形相 ∠A＝40°，AB＝8，AC＝15 ，∠A′＝ 似）． 40°，A′B′＝16，A′C′＝30．
答： △ACD∽△ABC 2、如图，D在△ABC 证明 的AB边上AD=1,BD=2, ∵AD=1 AC= 3 : AC= 3 .问：△ACD AD = 1 = 3 AC 3 = 与△ABC相似吗？ ∠A=∠A AC AB D C
执教者
刘新志
我们学习了哪几种判定三角形相似的 方法？
利用定义: 预备定理： 相似三角形的判定定理1：
二、探索新知
观察图，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置 如果一个三角形的两条边 才能使△ADE与△ABC相似呢？ 与另一个三角形的两条边对 类比猜想:我们在 应成比例，并且夹角相等， 图中两个三角形的一组对应边 判断两个三角形全 那么这两个三角形相似吗？ AD与AB 的长度的比值为 1 等时，使用了哪些 3 方法？判断三角形 相似是否有类似的 将点 E由点A开始 方法呢？ 在AC 1 上移动，可以发现当AE＝ ________AC 时，△ADE与 3 △ABC相似．此时
∴ △ACD∽△ABC （两边对应成比例且夹 角相等的两个三角形相 似）．
B
课本82页练习题
生活中的三角形
如图，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙1.6 米，梯子上一点D距离墙1.4米，BD长为0.55米， 则梯子的长为——————
A
D B
E
C
似．( 简单的说成： 两边对应成比例 且夹角相等的两个三角形 AB AC 又A'D=AB，A' B' = A' C ' 相似 )
A' D A' E AC = = ∴A A' C ' ' B' A' C '
A' B'
A' C '
∴A'E=AC ∵∠A=∠A' ∴△ A'DE≌△ ABC ∴△ ABC≌△ A'B'C'
E
AD AB
AE =_______ AC ．
活动一：利用刻度尺和量角器画两个三角形，使
它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量 第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边 的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出 什么结论？
= A' C ' 如图：在△ ABC与△ A'B'C'中，已知∠A=∠A', A' B' 求证：△ ABC~△ A'B'C'
A D E B C
AB
AC
A'
B'
C'
证明：在A'B'上截取点D，使A'D=AB.过点D作DE̸ ̸ B'C'交A'C'于点E. ∵DE ̸ ̸ B'C', 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条 ∴ △ A'DE~△ A'B'C'. 边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相 ∴ A' D = A' E
两边对应成比例且一边的对角 对应相等的两三角形不一定相似 A
4
50°
3.2 C
3.2 G E
2
50°
D 1.6 F
B
例3 证明图中△AEB和 △FEC相似．
，
AE 54 证明 ∵ 1.5 FE ＝ 36＝ BE 45 1.5 CE ＝ 30＝ ∴ AE BE FE ＝CE ∵ ∠AEB＝∠FEC，
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23.相似三角形PPT课件(华师大版)
2、作用：本定理是类似三角形判定定理的预备定理： 它通过平行证三角形类似，再由类似证对应角相等、 对应边成比例．
例2 如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点， DE∥BC，DE＝5.求BC的长．
解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC(平行于三角形 一边的直线，和其他两边相交所 构成的三角形和原三角形类似)， ∴ DE AD 1 ， BC AB 3 ∴BC＝3DE＝15.
23.3 类似三角形
类似三角形
类似三角形及相关概念 平行线判定两三角形类似
复
习提问Fra bibliotek1、平行线分线段成比例定理及其推论是什么？ 2、什么是类似图形？类似多边形？
知识点 1 类似三角形及相关概念
1. 定义：如果两个三角形中，各角对应相等，各边对应成 比例，那么这两个三角形类似． 数学表达式：如图下图，在△ABC和△A′B′C′中，
总结
利用证三角形类似求线段的长的方法：当三角形 被平行线所截形成“A”型或“X”型的图形，并且所 求的线段或已知线段在平行的边上，通常考虑通过 证三角形类似，再利用类似三角形的对应边成比例 构建包含已知与未知线段的比例式，即可求出线段 的长．
1 如图，点P是平行四边形ABCD的边AB上一点， 射线CP交DA的延长线于点E，则图中类似的三 角形有( ) A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
2 在△ABC中，DE∥BC，AE∶EC＝2∶3，DE
＝4，则BC等于( )
A．10
B．8
C．9
D．6
利用平行线证比例式或等积式的方法：当比例式或 等积式中的线段不在平行线上时，可直接利用平行线分 线段成比例定理证明；当比例式或等积式中的线段有的 在平行线上时，可直接利用平行线截三角形类似的对应 边成比例证明；当比例式或等积式中的线段不是对应线 段时，利用转化思想，用等线段、等比例、等积替换进 行论证．
相似三角形的性质PPT课件(华师大版)
C′
结论：类似三角形对应角的 角平分线的比等于类似比.
归纳
类似三角形的性质
1、类似三角形对应边成比___例_,对应角_相__等___.
2、类似三角形对应边上的高、对应边上的中线、
对应角平分线的比都等于类__似__比____. 3、类似三角形周长的比等于_类__似__比___，
类似三角形面积的比等于类__似___比__的__平__方___.
猜想：类似三角形面积的比等于类似比的平方.
已知△ABC∽△ A，BC且 类似比为k， AD、
分别A是D△ ABC、△ 对应边ABBC、 上的高B，C
求证：
S ABC k 2
SABC
A
证明：∵△ABC∽△ABC
∴ AD k, BC k
AD BC
B
∴
SABC SABC
1 AD• BC 2 1 AD • BC
k2
2
B'
D
C
A'
D' C'
探究3
∽
相似比为1
2
B
对应中线的比
AD AD ___________
B′
A
填一填
C A′
C′
探究3 ∽
相似比为1 2
对应角平分线的比 B
AD AD ___________
A 填一填
C A′A′
B′B′
C′C′
Байду номын сангаас
探究3
类似结论
如图, ABC∽ ABC,相似比为k,
探究1
∽
相似比为1
2
B
对应高的比
AD AD ___________
B′
华东师大版九年级上册 数学 课件 23.3.2相似三角形的判定
相似三角形的判定
如图，为了测量某棵树的高度，小明 用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿， 使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的 同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，
与树相距12m，则树的高度为___相似三角形的预备定理。
02 了解相似三角形的判定定理。
Pk大比拼
C
Pk大比拼
A
相似基本型
K型
(e)
个性化作业
A
B
层
层
1.挑战自我 、2.考试说 明相似综合 题
考试说明相 似基础知识
C 层
相似基 础知识
挑战自我
2.如图所示,△ABC中,∠B=90°AB=6,BC=8, P点从A点开始沿AB边向点B以1cm/s速度移 动,点Q从B点开始,沿BC 边向点C以2cm/s速度移 动,P、Q两点同时出发, 出发多长时间, △PBQ
能利用相似解决一些简单的实际问题
03 。
基
1 课前分组将定理形成知识 结构图。
础
知
识
基
1 课前分组将知识形成结构图 。
础
知 2 课上展示汇报
识
链接中考
1.如图，在正方形网格中，△ABD 与 △ADC是否相似？请说明理由.
A
链接中考
2.如图：在矩形ABCD中，点E在 AD上，EF⊥BE交CD于F，连接 BF，已知AE=4，ED=2， AB=3 ，求DF的长。
挑战自我
1.如图：在△ABD中,点P在边AB上,点 C 在边 BD上∠B=∠D=∠ACP=60， 图中有哪几对相似三
角形？请说明理由.
Pk大比拼
1.如图，在 ABCD 中，E是AB的中点，
连接EC、BD，相交于F，则△BEF与 △DCF的面积比为 ( B )
如图，为了测量某棵树的高度，小明 用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿， 使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的 同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，
与树相距12m，则树的高度为___相似三角形的预备定理。
02 了解相似三角形的判定定理。
Pk大比拼
C
Pk大比拼
A
相似基本型
K型
(e)
个性化作业
A
B
层
层
1.挑战自我 、2.考试说 明相似综合 题
考试说明相 似基础知识
C 层
相似基 础知识
挑战自我
2.如图所示,△ABC中,∠B=90°AB=6,BC=8, P点从A点开始沿AB边向点B以1cm/s速度移 动,点Q从B点开始,沿BC 边向点C以2cm/s速度移 动,P、Q两点同时出发, 出发多长时间, △PBQ
能利用相似解决一些简单的实际问题
03 。
基
1 课前分组将定理形成知识 结构图。
础
知
识
基
1 课前分组将知识形成结构图 。
础
知 2 课上展示汇报
识
链接中考
1.如图，在正方形网格中，△ABD 与 △ADC是否相似？请说明理由.
A
链接中考
2.如图：在矩形ABCD中，点E在 AD上，EF⊥BE交CD于F，连接 BF，已知AE=4，ED=2， AB=3 ，求DF的长。
挑战自我
1.如图：在△ABD中,点P在边AB上,点 C 在边 BD上∠B=∠D=∠ACP=60， 图中有哪几对相似三
角形？请说明理由.
Pk大比拼
1.如图，在 ABCD 中，E是AB的中点，
连接EC、BD，相交于F，则△BEF与 △DCF的面积比为 ( B )
23.3.2 相似三角形的判定——利用角的关系 华师大版数学九年级上册课件
数学表达式∴：△在A△BCA∽BC△与A1△B1AC′1B.′C′中，∵∠A＝∠A′， ∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.
（来自教材）
知1－导
2、常见的相似三角形类型： (1) 平行线型：如图(1)，若DE∥BC，则，△ADE∽△ABC. (2) 相交线型：如图(2)，若∠AED＝∠B，则△AED∽△ABC. (3)“子母”型：如图 (3)，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC.
我们在判断两个三角 形全等时，使用了哪 些方法？判定三角形 相似是否有类似的方
法？
知1－导
让我们先从最常见的三角尺开始. 观察你和同伴的直角三角尺，同样角度（30°与 60°，或45°与45°)的三角尺看起来是相似的.这样 从直观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角 形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了.确实 是这样吗？
知1－导
知识点 1 用两角对应相等判定两三角形相似
回顾
你还记得八年级上学期学习全等三角形的判定时，曾就
边与角分类考察的几种不同情况吗？它们是:两边一角，两角
一边，三角，三边.从这几种情况出发，我们得到了一些重要
的判定三角形全等的方法. 那么，对于相似三角形的判定，是否
也存在类似的分 类与判定方法呢？
知识点 2 判定两直角三角形相似
知2－讲
【例2】 如图23.3.8，在Rt△ABC和Rt△A ′ B ′ C ′中， ∠C
与 ∠C ′都是直角， ∠ A = ∠ A ′ .
求证： △ABC ∽ △A ′ B ′ C ′.
证明：∵ ∠C= ∠C ′=90°. ∠A=∠A′，
∴△ABC ∽ △A ′ B ′ C ′ （两角分别相等的两个三角
∠3＝∠B＋∠1，∠FAD＝∠4＋∠2，根据已知条件可 得到∠3＝∠FAD，∠1＝∠2，从而得到∠B＝∠4，可 得△ABF∽△CAF.
（来自教材）
知1－导
2、常见的相似三角形类型： (1) 平行线型：如图(1)，若DE∥BC，则，△ADE∽△ABC. (2) 相交线型：如图(2)，若∠AED＝∠B，则△AED∽△ABC. (3)“子母”型：如图 (3)，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC.
我们在判断两个三角 形全等时，使用了哪 些方法？判定三角形 相似是否有类似的方
法？
知1－导
让我们先从最常见的三角尺开始. 观察你和同伴的直角三角尺，同样角度（30°与 60°，或45°与45°)的三角尺看起来是相似的.这样 从直观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角 形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了.确实 是这样吗？
知1－导
知识点 1 用两角对应相等判定两三角形相似
回顾
你还记得八年级上学期学习全等三角形的判定时，曾就
边与角分类考察的几种不同情况吗？它们是:两边一角，两角
一边，三角，三边.从这几种情况出发，我们得到了一些重要
的判定三角形全等的方法. 那么，对于相似三角形的判定，是否
也存在类似的分 类与判定方法呢？
知识点 2 判定两直角三角形相似
知2－讲
【例2】 如图23.3.8，在Rt△ABC和Rt△A ′ B ′ C ′中， ∠C
与 ∠C ′都是直角， ∠ A = ∠ A ′ .
求证： △ABC ∽ △A ′ B ′ C ′.
证明：∵ ∠C= ∠C ′=90°. ∠A=∠A′，
∴△ABC ∽ △A ′ B ′ C ′ （两角分别相等的两个三角
∠3＝∠B＋∠1，∠FAD＝∠4＋∠2，根据已知条件可 得到∠3＝∠FAD，∠1＝∠2，从而得到∠B＝∠4，可 得△ABF∽△CAF.
华东师大版数学九年级上册相似三角形的性质课件
之间的关系
2.运用类似三角形的判定和性质解决简
单的问题
尝试猜想
1
B'
B
A
DE F
C
A'
D' E' F'
C'
猜想：当两三角形类似时，相应高、中线、角平分
线的比与类似比有什么关系？
合作探究
A'
A
B
C B'
D
D'
A'
A
B
C'
C
F
B'
F'
A'
C'
A
B
E
C
B'
E'
C'
类似三角形的性质：
A
类似三角形对应高的比等于类似比.
′
′
′
问题:已知∆~∆ ,类似比为，
′
′
= ′ ,求 ′ 是多少？
′
′
=
′ ′
,
′ ′
A'
我
想
想
A
E'
E
B
F
C
B'
F'
C'
类似三角形对应线段的比等于类似比
比一比谁快
AB
BC
CA
AB
B C
C A
AB BC CA
B
D
C
A'
AD
AB
k
A' D ' A' B '
B'
2.运用类似三角形的判定和性质解决简
单的问题
尝试猜想
1
B'
B
A
DE F
C
A'
D' E' F'
C'
猜想：当两三角形类似时，相应高、中线、角平分
线的比与类似比有什么关系？
合作探究
A'
A
B
C B'
D
D'
A'
A
B
C'
C
F
B'
F'
A'
C'
A
B
E
C
B'
E'
C'
类似三角形的性质：
A
类似三角形对应高的比等于类似比.
′
′
′
问题:已知∆~∆ ,类似比为，
′
′
= ′ ,求 ′ 是多少？
′
′
=
′ ′
,
′ ′
A'
我
想
想
A
E'
E
B
F
C
B'
F'
C'
类似三角形对应线段的比等于类似比
比一比谁快
AB
BC
CA
AB
B C
C A
AB BC CA
B
D
C
A'
AD
AB
k
A' D ' A' B '
B'
相似三角形的判定2_课件ppt(华师大版九年级上)
∴ △AEB∽△FEC （如果一个三角形的两 依据下列各组条件，证明△ABC和△A′B′C′相似 条边与另一个三角形的 两条边对应成比例，并 ∠A＝40°，AB＝8，AC＝15，∠A′＝ 且夹角相等，那么这两 40°，A′B′＝16，A′C′＝30． 个三角形相似）．
答： △ACD∽△ABC 2、如图，D在△ABC 的AB边上AD=1,BD=2, 证明: ∵AD=1 AC= 3 AC= 3 .问：△ACD AD = 1 = 3 AC 3 = 与△ABC相似吗？为什 AC 3 3 AB 3 么？ A ∴ AD = AC ∠A=∠A AC AB D C
∴ △ACD∽△ABC （两边对应成比例且夹 角相等，两三角形相 似）．
B
3.如果AF×AC=AE×AB,那么相似三角形有 （ ）组，分别是————————————
A
AF AE AF AB = AC 或者 AB = AC AE
E
F D
B
C
4、下面图中的两个三角形是否相似？ 请说说你的理由：
如果两个三角形 的三条边对应成 比例，那么这两 个三角形相似吗？ 感觉上应该是能 “相似”了．
E
1 3 △ADE与△ABC相似．此 1 时 AD 3 AB =__________．
方法？判断三角形 相似是否有类似的 在AC上移动，可以发现当 方法呢？ AE＝________AC时，
图 24.3.6
如果一个三角形的两条边与另一个三角形 它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量 的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这 第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边 两个三角形相似．( 简单的说成：两边对应成比例且 的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出 什么结论？ 夹角相等，两三角形相似 )