人教版八年级数学下册第十九章一次函数函数变量与函数教案
人教版数学八年级下册《19.1.1 变量与函数》教学设计
人教版数学八年级下册《19.1.1 变量与函数》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册《19.1.1 变量与函数》是初中数学的重要内容，主要让学生了解变量的概念，以及变量与函数的关系。
本节课通过具体的实例，引导学生理解函数的概念，并能够运用函数解决实际问题。
教材内容由浅入深，循序渐进，符合学生的认知发展规律。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了代数的基础知识，对数学概念有一定的理解能力。
但是，对于函数的概念和意义，以及如何运用函数解决实际问题，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过实例理解函数的概念，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解变量与函数的概念，能够识别函数关系，并运用函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：理解变量与函数的概念，掌握函数的表示方法。
2.难点：函数概念的理解，以及如何运用函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和情境教学法。
通过设置问题情境，引导学生观察、操作、思考，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
同时，鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的团队协作意识和创新精神。
六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生学情，设计教学问题和活动。
2.学生准备：预习教材，了解变量与函数的基本概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如温度随时间的变化，引出变量与函数的概念。
提问：什么是变量？什么是函数？引导学生思考并回答。
2.呈现（15分钟）呈现教材中的例题和练习题，让学生观察、分析，引导学生发现变量与函数之间的关系。
提问：如何判断两个变量之间存在函数关系？如何表示函数关系？3.操练（15分钟）学生分组讨论，选取一个实例，尝试用函数表示变量之间的关系。
人教版八年级数学下册第19章一次函数19.1.1变量与函数1教案新版
三、课堂练习
指出下列问题中的变量和常量：
1.某市的自来水价为4元/t.现在抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为xt,月应交水费y元.
2.某地手机通话费为0.2元/min.李明在手 机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为tmin,话费卡中的余额为w元.
情感态度与价值观
引导学生探索实际问题中的数量关系,培养学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心.
教学重点难点
教学
重点
能判断常量和变量，感知两个变量之间的变化关系.
教学
难点
变量和常量的概念的理解.
教学媒体选择分析表
知识点
学习目标
媒体类型
教学作用
及时对概念进行理解巩固
及时归纳总结，提升课堂效果
3.水滴落入水中时，产生圆形水波，水波随时间慢慢扩大，在这一过程中，当圆的半径r分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积S分别为多少？
4.用10m长的绳子围一个矩形.当矩形的一边长x分别为3m，3.5m，4m，4.5m时，它的邻边长y分别为多少？
归纳：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
使用
方式
所得结论
占用时间
媒体来源
介绍
知识目标
图片
B
G
建立表 象
2分钟
自制
讲解
过程与方法
PPT
A
E
5分钟
下载
讲解
过程与方法
PPT
A
E
帮助理解
5分钟
下载
①媒体在教学中的作用分为：A.提供事实， 建立经验；B.创设情境，引发动机；C.举例验证，建立概念 ；D.提供示范，正确操作；E.呈现过程，形成表象；F.演绎原理，启发思维；G.设难置疑，引起思辨；H.展示事例，开阔视野；I.欣赏审美，陶冶情操；J.归纳总结，复习巩固；K.其它。
人教版八年级数学下册第十九章一次函数(图象信息)优秀教学案例
1.通过小组合作、讨论的方式，引导学生观察、分析一次函数图象的特点，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
2.引导学生运用数形结合的思想，将实际问题转化为数学模型，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.通过对一次函数图象的探究，培养学生归纳总结的能力，使学生能够从具体实例中提炼出一般性规律。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解一次函数的定义，掌握一次函数的表示方法，能够准确地识别一次函数的图象。
2.学会运用一次函数图象分析实际问题，掌握一次函数图象与实际问题之间的联系，提高解决问题的能力。
3.能够运用一次函数的性质，解决线性方程和不等式问题，为后续学习打下基础。
4.学会使用现代教育技术手段，如图形计算器、电脑软件等，绘制一次函数图象，提高实际操作能力。
人教版八年级数学下册第十九章一次函数（图象信息）优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教学中，一次函数是学生接触到的第一个具体的函数概念，它对于培养学生的函数思想具有重要的意义。人教版八年级数学下册第十九章一次函数，特别是图象信息部分，旨在帮助学生通过图象直观地理解一次函数的性质，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。在教学实践中，我们发现，由于一次函数图象信息的抽象性，学生往往难以把握其与实际问题的联系。为此，本教学案例将结合实际生活情境，运用现代教育技术手段，引导学生探究一次函数图象的特点及其应用，从而提高学生的数学素养和实际操作能力。在教学过程中，注重培养学生观察、分析、归纳和运用数学语言表达的能力，使学生在轻松愉快的氛围中掌握一次函数图象信息的内涵和应用。
4.鼓励学生积极参与课堂活动，敢于提出问题、表达观点，培养学生的表达能力和沟通能力。
（三）情感态度与价值观
人教版八年级下册第十九章19.1.1变量与函数(第1课时)教案设计
第十九章19.1.1变量与函数（第1课时）教学内容：初中数学人教版八年级下册第十九章一次函数P70-P72。
一、教学目标：（一）、知识与技能目标1、理解变量、常量的概念及其相互关系；2、会识别一个变化过程中，哪些量是变量，哪些量是常量；3、学会用含一个变量的代数式表示另一个变量。
（二）、过程与方法目标1、通过探索变化过程中的数量关系和变化规律来了解常量、变量的意义；2、逐步感知变量间的关系。
（三）、情感、态度与价值观目标1、以生活为支点，以实事求是的态度培养独立思考的习惯。
二、教学重点、难点重点：认识变量、常量。
难点：用含有一个变量的式子表示另一个变量．三、教学过程：（一）、创设情境，引出问题情景问题：一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时。
1．请同学们分析题意、认真思考后填写下表：2．在以上这个过程中，有几个量？变化的量是什么？没有变化的量是什么？3．试用含t的式子表示s。
下面我们来共同探究和解决这些问题。
（二）、新课导入学生分组探究后，通过学生的回答，总结：从题意中可以知道汽车是匀速行驶，那么它1小时行驶60千米，2小时行驶2×60千米，即120千米，3小时行驶3×60千米，即180千米，4小时行驶4×60 千米，即240千米，5小时行驶5×60千米，即300千米……因此行驶里程s（千米）与时间t（小时）之间有关系：s=60t．其中里程s 与时间t是变化的量，速度60•千米／小时是没有变化的量。
这种问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化而变化过程。
现实生活中有很多类似的问题，都是反映不同事物的变化过程的，其中有些量的是按照某种规律变化的，如上例中的时间t、•里程s，有些量的数值是始终不变的，如上例中的速度60千米／小时。
（三）、例题例1、每张电影票售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元，y的值随x的值的变换而变化吗？怎样用含x的式子表示y?例2、画出一个半径r为10cm的圆，该圆的面积s是多少？r分别是20cm、30cm时，s分别是多少？s的值随r的值的变换而变化吗？怎样用含r的式子表示s?引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律，启发学生经历尝试运算、猜想探究、归纳总结及验证等过程得到正确的结论解：1、早场电影票房收入：150×10=1500（元）；日场电影票房收入：205×10=2050（元）；晚场电影票房收入：310×10=3100（元）；y的值会随x的值的变换而变化；关系式：y=10x。
人教版八年级数学RJ下册精品教案 第19章 一次函数 19.1 函数 19.1.1 变量与函数
第十九章一次函数19．1 函数19．1.1 变量与函数第1课时变量与常量教师备课素材示例●情景导入大千世界万物皆变！物体的速度随时间的变化而变化；行星在宇宙中的位置随时间的变化而变化；人体体重随饮食和运动的变化而变化；城市人口数随时间的变化而变化；弹簧长度随所挂物体质量的变化而变化……生活中充满着许许多多变化的量．你了解这些变化的量之间的关系吗？了解这些关系，可以帮助我们更好地认识世界．而函数是刻画变化的量之间关系的常用模型，从这章开始我们就来研究这些问题吧！【教学与建议】教学：通过常见的生活情景引入新课，激发学生的学习兴趣．建议：学生通过观察、思考、分析、归纳，有助于学生把握概念的本质特征．●归纳导入飞机从武汉飞往上海，在这个飞行过程中，哪些量没有发生改变，哪些量发生了改变？学生说出自己的看法：如飞机上乘客的人数不变；飞机离地面的高度在改变；飞机油箱中的油在不停地减少；飞机离上海越来越近，离武汉越来越远……举例生活中一个量随另一个量变化的例子．如：婴幼儿随着年龄的增长，身高和体重都在变化；两个数的积不变，一个数乘n，另一个数除以n(n≠0).【归纳】在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.【教学与建议】教学：由学生经历过的事情提出问题，归纳并初步认识变量．建议：给学生充分的时间探究、交流，体会生活中存在的有关变量的例子．一个变化过程中的量，包含变量和常量．常量是数值始终不变的量，可以是数值不变的字母，字母不一定都是变量．变量随不同的问题而有所不同，常量和变量是相对的，是视具体问题而定的．【例1】在圆的面积公式S ＝πr 2中，常量是(B)A ．SB ．πC ．rD ．S 和r【例2】小王计划用100元钱买乒乓球，所购买乒乓球的个数W(个)与单价n(元/个)的关系式W ＝100n中(A) A ．100是常量，W ，n 是变量B ．100，W 是常量，n 是变量C ．100，n 是常量，W 是变量D ．无法确定有些运动变化现象中找不到变量之间的依赖关系，但是有些运动变化现象中变量之间存在依赖关系，这样就可以用一个变量表示出另一个变量．【例3】用黑、白两种颜色的正六边形地板砖镶嵌成若干图案(如图)，则第n 个图案中白色地板砖的总块数N(块)与n 之间的关系式是__N ＝4n ＋2__，其中常量是__4，2__，变量是__N ，n__．【例4】某超市销售某种物品时，其销售数量x(kg)与售价y(元)如下表所示，请你根据表中所提供的信息列出y 与x 之间的关系式，指出变时，售价是21.7元．高效课堂 教学设计1．能正确认识变量与常量，会用式子表示变量间的关系．2．通过分析，探索现实生活中大量的具体实例中的变量、常量之间的关系，理解它们的相对性．▲重点理解变量的实际意义．▲难点理解常量与变量之间的关系，准确判断常量与变量．◆活动1 新课导入大千世界处在不停的运动变化之中，如何来研究这些运动变化并寻找规律呢？数学上常用常量与变量来刻画各种运动变化从今天开始我们将学习函数的相关知识，本节课将要学习的是变量与常量．◆活动2 探究新知1．教材P 71 内容．提出问题：(1)问题(1)中，汽车行驶路程s 与行驶时间t 的关系式是什么？(2)问题(2)中，票房收入y 与售出电影票的张数x 的关系式是什么？(3)问题(3)中，圆的面积S 与圆的半径r 的关系式是什么？(4)问题(4)中，矩形的邻边y 与其中一边x 的关系式是什么？(5)什么叫变量？什么叫常量？学生完成并交流展示．2．教材P 72 思考．学生完成并交流展示．◆活动3 知识归纳1．数值发生变化的量为__变量__，数值始终不变的量为__常量__．2．每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有__唯一确定的值__与其对应．◆活动4 例题与练习例1 分析下列关系中的变量与常量．(1)球的表面积S(cm 2)与球的半径R(cm)的关系式是S ＝4πR 2；(2)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h(m)与它下落的时间t(s)之间的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)； (3)已知橙子1.8元/kg ，则购买数量x(kg)与所付款w(元)之间的关系式是w ＝1.8x.解：(1)S ＝4πR 2，常量是4，π，变量是S ，R ；(2)h ＝12gt 2，常量是12，g ，变量是h ，t ； (3)w ＝1.8x ，常量是1.8，变量是w ，x.例2 观察图表，根据表格中的数据回答问题：(1)与n 的关系式；(2)在上述变化过程中，常量、变量分别是什么？(3)求n ＝11时图形的周长．解：(1)l ＝3n ＋2；(2)常量是3，2，变量是l ，n ；(3)当n ＝11时，l ＝3×11＋2＝35，即此时图形的周长为35.练习1．教材P 71 练习．2 C )A.B ．仅有一个，是人口数C ．有两个，一个是人口数，另一个是年份D ．一个也没有3．张老师带领x 名学生到某动物园参观，已知成人票每张10元，学生票每张5元，设门票的总费用为y 元，则y ＝__10＋5x__，其中__10，5__是常量，__y ，x__是变量.4．写出下列问题中的关系式，并指出其中的变量和常量．(1)直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系；(2)甲、乙两地相距ykm ，小明骑自行车以每小时30km 的速度从甲地驶向乙地，试用行驶时间t(h)表示小明离乙地的距离s(km).解：(1)α＝90°－β，α和β是变量，90°是常量；(2)s ＝y －30t ，s 和t 是变量，y 和－30是常量．◆活动5 完成附赠手册◆活动6 课堂小结1．变量和常量的概念．2．确定两个变量之间的关系．1．作业布置学生用书对应课时练习．2．教学反思。
人教版八年级下第19章一次函数19.1.1变量与函数教案
3.培养学生合作交流、自主探究的学习习惯，提高数学建模和数学运算的核心素养。
4.激发学生学习兴趣，培养勇于挑战、善于思考的学习态度，提升学生的数学素养和综合素质。
在教学过程中，重点关注学生在以下方面的表现：
1.能否运用所学知识，分析并解决实际问题，体现数学的应用价值。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调变量与常量的区别以及函数的三要素。对于难点部分，我会通过举例和图示来帮助大家理解一次函数的定义和图像特点。
（三）实践活动（用时10ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一次函数相关的实际问题，如公交车票价与乘车距离的关系。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如用尺子和直尺绘制一次函数的图像，观察斜率和截距的变化。
五、教学反思
在上完这节课之后，我对自己的一些教学设计和学生的反应进行了思考。我发现，通过生活中的实例引入变量和函数的概念，学生们能够更直观地理解这些抽象的数学概念。他们对于一次函数的应用表现出浓厚的兴趣，尤其是当我将函数与他们的日常生活联系起来时，比如购物打折、手机话费等问题。
我注意到，在教学过程中，有些学生对一次函数的图像绘制感到困惑。我意识到，这里可能需要更多的直观演示和实际操作，让学生亲手尝试，从而更好地理解图像的生成过程。在接下来的课程中，我打算增加一些互动环节，比如让学生分组在教室里用道具来模拟一次函数的图像，这样既能增强他们的动手能力，也能加深对一次函数图像特征的理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解变量与函数的基本概念。变量是随着某些条件变化而变化的量，而函数则是描述两个变量之间依赖关系的数学模型。它们在数学和生活中都有着广泛的应用。
人教版八年级下册数学教案-第19章 一次函数-19.1.1 变量与函数
19.1函数19.1.1变量与函数第1课时常量与变量教学目标一、基本目标【知识与技能】1．认识变量、常量．2．学会用含一个变量的代数式表示另一个变量．【过程与方法】经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有条理地、清晰地阐述自己观点．【情感态度与价值观】培养学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲．二、重难点目标【教学重点】1．认识变量、常量．2．用式子表示变量间关系．【教学难点】用含有一个变量的式子表示另一个变量．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P71的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．在一个变化的过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．2．判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是看它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值是否发生变化．3．每张电影票售价为10元，如果早场售出150张，日场售出205张，晚场售出310张．三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元．怎样用含x的式子表示y?解：早场电影票房收入：150×10＝1500(元)，日场电影票房收入：205×10＝2050(元)，晚场电影票房收入：310×10＝3100(元)， 关系式：y ＝10x .4．在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10 cm ，每1 kg 重物使弹簧伸长0.5 cm ，怎样用含有重物质量m 的式子表示受力后的弹簧长度？解：挂1 kg 重物时弹簧长度：1×0.5＋10＝10.5(cm)， 挂2 kg 重物时弹簧长度：2×0.5＋10＝11(cm)， 挂3 kg 重物时弹簧长度：3×0.5＋10＝11.5(cm)， 关系式：L ＝0.5m ＋10. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】分析并指出下列关系中的变量与常量： (1)球的表面积S 与球的半径R 的关系式是S ＝4πR 2；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h (m)与它下落的时间t (s)的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8 m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量x 千克与所付款W 元之间的关系式是W ＝1.8x .【互动探索】(引发学生思考)在一个变化的过程中，常量和变量怎样区分？ 【解答】(1)S ＝4πR 2，常量是4，π，变量是S ，R . (2)h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0,4.9，变量是h ，t .(3)h ＝12gt 2(其中g 取9.8 m/s 2)，常量是12，g ，变量是h ，t .(4)W ＝1.8x ，常量是1.8，变量是x ，W .【互动总结】(学生总结，老师点评)常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是看它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．活动2 巩固练习(学生独学)1．小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q (元)与他买这种笔记本的本数x 之间的关系是( C )A ．Q ＝8xB ．Q ＝8x －50C ．Q ＝50－8xD ．Q ＝8x ＋502．甲、乙两地相距s 千米，某人行完全程所用的时间t (时)与他的速度v (千米/时)满足v t ＝s ，在这个变化过程中，下列判断中错误的是 ( A )A ．s 是变量B ．t 是变量C ．v 是变量D ．s 是常量3．某种报纸的价格是每份0.4元，买x 份报纸的总价为y 元，先填写下表，再用含x 的式子表示y .份数/份 1 2 3 4 5 6 7 100 价钱/元0.40.81.21.62.02.42.840x 与y 之间的关系是y ＝0.4x ，在这个变化过程中，常量是报纸的单价，变量是报纸的份数．4．先写出下列问题中的函数关系式，然后指出其中的变量和常量： (1)直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系；(2)一个铜球在0 ℃的体积为1000 cm 3，加热后温度每增加1 ℃，体积增加0.051 cm 3，t ℃时球的体积为V cm 3；(3)等腰三角形的顶角为x 度，试用x 表示底角y 的度数． 解：(1)α＝90°－β.90°是常量，α、β是变量．(2)V ＝1000＋0.051t .其中1000,0.051是常量，t 、V 是变量．(3)y ＝180－x 2 ＝90－x 2(0＜x ＜180°)．其中90，12 是常量，x 、y 是变量．活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图，等腰直角三角形ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为10 cm ，AC 与MN 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，最后A 点与N 点重合．试写出重叠部分的面积y cm 2与MA 的长度x cm 之间的关系式，并指出其中的常量与变量．【互动探索】根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA 的长度可得出y 与x 的关系，再根据变量和常量的定义得出常量与变量．【解答】由题意知，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，两图形重合的长度为AM ＝x cm.∵∠BAC ＝45°，∴S 阴影＝12·AM ·h ＝12AM 2＝12x 2，则y ＝12x 2,0≤x ≤10.其中的常量为12，变量为重叠部分的面积y cm 2与MA 的长度x cm.【互动总结】(学生总结，老师点评)通过分析题干中的信息得到等量关系并用字母表示是解题的关键，区分其中常量与变量可根据其定义判别．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)常量与变量⎩⎪⎨⎪⎧定义判断练习设计请完成本课时对应训练！第2课时 函 数教学目标一、基本目标 【知识与技能】1．认识变量中的自变量与函数． 2．进一步掌握确定函数关系式的方法． 3．会确定自变量的取值范围． 【过程与方法】1．经历回顾思考过程，提高归纳总结概括能力．2．通过从图或表格中寻找两个变量间的关系，提高识图及读表能力，体会函数的不同表达方式．【情感态度与价值观】积极参与活动，提高学习兴趣，并形成合作交流意识及独立思考的习惯． 二、重难点目标 【教学重点】1．进一步掌握确定函数关系的方法． 2．确定自变量的取值范围． 【教学难点】认识函数、领会函数的意义．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P72～P74的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数．2．用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子叫做函数的解析式． 3．对函数的理解，要抓住三点：(1)两个变量；(2)一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而发生变化；(3)自变量的每一个确定的值，函数都有唯一的一个值与其对应．4．使得函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围．确定自变量取值范围的条件：(1)使函数解析式有意义；(2)使函数所代表的实际问题有意义．5．对于自变量的取值范围内的一个确定的值，如当x ＝a 时，y ＝b ，函数有唯一的值b 与之对应，则这个对应值b 叫做x ＝a 时的函数值．环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】下列变量间的关系不是函数关系的是( ) A ．长方形的宽一定，其长与面积 B ．正方形的周长与面积 C ．等腰三角形的底边长与面积 D ．圆的周长与半径【互动探索】(引发学生思考)如何判断两个变量是否是函数关系？【分析】长方形的宽一定，它是常量，而面积＝长×宽，长与面积是两个变量，若长改变，则面积也改变，故A 选项是函数关系；正方形的面积＝(正方形的周长)216，正方形的周长与面积是两个变量，16是常量，故B 选项是函数关系；等腰三角形的面积＝12×高×底，底边长与面积虽然是两个变量，但面积公式中还有底边上的高，而这里高也是变量，有三个变量，故C 选项不是函数关系；圆的周长＝2π×半径，圆的周长与其半径是函数关系，故D 选项是函数关系．【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应关系．【例2】根据如图所示程序计算函数值，若输入x 的值为52，则输出的函数值y 为( )A ．32B ．25C ．425D ．254【互动探索】(引发学生思考)已知函数解析式，怎样求函数值？自变量的取值范围不同，对应的函数关系式不同，又怎样求函数值呢？【分析】∵2<52<4，∴将x ＝52代入函数y ＝1x ，得y ＝25.【答案】B【互动总结】(学生总结，老师点评)根据所给的自变量的值结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．【例3】写出下列函数中自变量x 的取值范围： (1)y ＝2x －3； (2)y ＝31－x ； (3)y ＝4－x ； (4)y ＝x －1x －2. 【互动探索】(引发学生思考)怎样确定自变量的取值范围？ 【解答】(1)全体实数． (2)分母1－x ≠0，即x ≠1. (3)被开方数4－x ≥0，即x ≤4.(4)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0， 解得x ≥1且x ≠2.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列变量之间的关系是函数关系的是( C ) A ．水稻的产量与用肥量 B ．小明的身高与饮食 C ．球的半径与体积 D ．家庭收入与支出2．如图，△ABC 底边BC 上的高是6 cm ，当三角形的顶点C 沿底边所在直线向点B 运动时，三角形的面积发生了变化．(1)在这个变化过程中，自变量是BC ，因变量是 △ABC 的面积； (2)如果三角形的底边长为x (cm)，三角形的面积y (cm 2)可以表示为y ＝3x ； (3)当底边长从12 cm 变到3 cm 时，三角形的面积从36cm 2变到9cm 2； (4)当点C 运动到什么位置时，三角形的面积缩小为原来的一半？ 解：当点C 运动到中点时，三角形的面积缩小为原来的一半．3．下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．(1)一个弹簧秤最大能称不超过10 kg 的物体，它的原长为10 cm ，挂上重物后弹簧的长度y (cm)随所挂重物的质量x (kg)的变化而变化，每挂1 kg 物体，弹簧伸长0.5 cm ；(2)设一长方体盒子高为30 cm ，底面是正方形，底面边长a (cm)改变时，这个长方体的体积V (cm 3)也随之改变．解：(1)y ＝10＋12x (0＜x ≤10)，其中x 是自变量，y 是自变量的函数．(2)V ＝30a 2(a >0)，其中a 是自变量，V 是自变量的函数．4．一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒后的速度经测量如下表： 时间 (秒) 012345678910速度 (米/秒)0.31.32.84.97.611.014.118.424.228.9(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)如果用t 表示时间，v 表示速度，那么随着t 的变化，v 的变化趋势是什么？ (3)当t 每增加1秒时，v 的变化情况相同吗？在哪1秒时，v 的增加量最大？ (4)若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/时，试估计大约还需几秒这辆小汽车速度就将达到这个上限？解：(1)上表反映了时间和速度之间的关系，时间是自变量，速度是因变量．(2)如果用t 表示时间，v 表示速度，那么随着t 的变化，v 的变化趋势是v 随着t 的增大而增大．(3)当t 每增加1秒，v 的变化情况不相同，在第9秒时，v 的增加量最大． (4)120×10003600＝1003≈33.3(米/秒)，由33.3－28.9＝4.4，且28.9－24.2＝4.7＞4.4，所以估计大约还需1秒．活动3 拓展延伸(学生对学)【例4】水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经t 分钟时，水箱内存水y 升．(1)求y 关于t 的函数关系式和自变量的取值范围； (2)7：55时，水箱内还有多少水？ (3)何时水箱内的水恰好放完？【互动探索】(1)根据水箱内存有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t 的取值范围；(2)当7：55时，t ＝55－30＝25，将t ＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y ＝0，求出t 的值即可．【解答】(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水， ∴y ＝200－2t .∵y ≥0，∴200－2t ≥0， 解得t ≤100， ∴0≤t ≤100，∴y 关于t 的函数关系式为y ＝200－2t (0≤t ≤100)． (2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t ＝25时，y ＝200－2t ＝200－50＝150(升)， ∴7：55时，水箱内还有水150升． (3)令y ＝0，即200－2t ＝0，解得t ＝100. 100分＝1时40分，7时30分＋1时40分＝9时10分， 故9：10水箱内的水恰好放完．【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)已知函数解析式求函数值，就是将自变量x 的值带入解析式，求代数式的值；(2)已知函数解析式并给出函数值，求相应的自变量x 的值，实际上就是解方程．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 函数⎩⎪⎨⎪⎧概念自变量的取值范围函数值练习设计请完成本课时对应训练！。
八年级数学下册第19章一次函数19.1变量与函数19.1.1变量与函数教案(新版)新人教版
1
3
3.4
4
9
……
行驶路程S
①找一名学生填表；
②根据此例表格中的数值，归纳出单值对应的关系，即对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与其对应。
【设计意图】通过表格中一对对具体的数值，直观展示S与t的单值对应关系，便于教师描述，也有助于学生理解“对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与其对应”，为总结函数的概念做铺垫。
函数的作用：描述两个变量的单值对应关系；
描述方法：一个变量是自变量，另一个变量是它的函数。
【设计意图】将定义内容拆解成函数产生、前提、作用和描述方法，逐句解释函数的定义，使抽象的概念具体化，帮助学生理解函数的本质。其中函数的前提也为接下来判断两个变量是否属于函数关系提供了依据。
（4）思考问题4中，矩形的宽y为自变量，矩形的长x是y的函数是否正确
③归纳变量与常量的概念，并让学生在教材上画出概念。
【设计意图】先明确函数产生的背景——运动变化的问题，再从数量的变与不变的角度引入变量和常量的概念，为接下来的提问与回答做铺垫。
2、每张电影票的售价为10元，设某场电影售出x张票，票房收入为y元．
3、圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，圆的半径r厘米，圆的面积为S平方厘米,圆周率（圆周长与直径之比）为π.
【设计意图】通过这三道例题，使学生学会根据定义判断函数关系，经过反复训练，突破难点。
4、P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为x，它的坐标记为y，y是x的函数吗？为什么？
【设计意图】通过这道题，说明点的坐标y与绝对值x不是单值对应关系，所以不是函数；但反过来，x却是y的函数，采用小组讨论的方式，升华对函数定义的理解。
练习1：指出下列变化过程中的变量和常量：
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19.1.1 变量与函数第1课时常量与变量教学目标知识与技能：借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。
初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系。
过程与方法：借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简。
情感态度与价值观：从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣。
学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科。
重点:借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念难点:怎样理解“唯一对应”教学过程：一、创设情境、导入新课我们生活在一个运动的世界中，周围的事物都是运动的。
例如，地球在宇宙中的运动这一问题，此时地球在宇宙中的位置随着时间的变化而变化，这是生活中的常识，学生都很容易理解。
再例如，气温随着高度的升高而降低，年龄随着时间的增长而增长。
这几个问题中都涉及两个量的关系，地球的位置与时间，温度与高度，年龄与时间。
二、合作交流、解读探究1、气温问题：下图是北京春季某一天的气温Ｔ随时间t变化的图象，看图回答：（1）这天的8时的气温是℃，14时的气温是℃，最高气温是℃，最低气温是℃；（2）这一天中，在4时~12时，气温（），在16时~24时，气温（）。
A.持续升高B.持续降低C.持续不变思考：（1）气温随的变化而变化，即T随的变化而变化；（2）当时间t取定一个确定的值时，对应的温度T的取值是否唯一确定？2、当正方形的边长x分别取1、2、3、4、5、6、7，……时，正方形的面积S分别是多少？3、某城市居民用的天然气，1m3收费2.88元，使用xm3天然气应缴纳费用y=2.88x ,当x=10时，缴纳的费用为多少？思考：上述三个问题，分别涉及哪些量的关系？哪些量是变化的？哪些量是不变的？哪个量的变化导致另一个量的变化而变化？在一个问题中，当一个量取了确定的值之后，另一个量对应的能取几个值？在上面的三个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按照某种规律变化），变化的量叫作变量；有些量的值始终不变（如正方形的面积……）．并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定，且它的对应值只有一个。
教师根据学生的回答，在黑板上板书：时间－－－－气温正方形边长－－－－正方形面积天然气费用－－－－－－－－天然气体积学生们会得出：,x yy xx y⎧⎪⎨⎪⎩都有两个变量都是变量随着的变化而变化当取一个确定值的时候，只有一个值与之对应师生对上述三个问题进行分析，找出它们的共性，归纳出函数的概念。
在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y总有唯一的值与它对应，我们就说x是自变量，y是x的函数。
三、应用迁移、巩固提高例1已知圆柱的高是4 cm，底面半径长是r cm，当圆柱的底面半径长r由小变大时，圆柱的体积V cm3是r的函数。
（1）用含r的代数式表示圆柱的体积V，指出自变量r的取值范围；（2）当r=5,10时，V是多少（结果保留π）？（3）r的变化会引起圆柱中哪些量发生变化？这些变量是半径长r的函数吗？（4）试求体积V随r变化的关系式，并指出其中的常量、变量与自变量。
课堂练习1.请同学们找出这些函数的常量、变量、自变量和函数：(1)y =3000-300x；(2) y=x；πg；(3) S=2r解：(1)常量是3000，－300；变量是x，y；自变量是x；y是x的函数。
(2)常量是1；变量是x，y；自变量是x；y是x的函数。
(3)常量是π；变量是r，s；自变量是r；s是r的函数。
2.根据所给的条件，写出y与x的函数关系式：①y比x的1/3 少2。
②y是x的倒数的4倍。
③矩形的周长是18 cm ,它的长是y cm，宽是x cm。
④等腰三角形的顶角度数y与底角x的关系。
四、全课小结1．这一节课你有什么收获？还有什么疑问？你可以编一道题考一考同学，也可以向同学请教。
2．函数是一种“数”吗？五、布置作业：课后反思：第2课时函数的表示方法教学目标:知识与技能：1、了解函数的三种表示法：(1)公式法(2)列表法(3)图象法;2、进一步理解函数值的概念;3、会在简单情况下，根据函数的表示式求函数的值。
过程与方法：1. 经历回顾思考，训练提高归纳总结能力。
2. 利用数形结合思想，根据具体情况选用适当方法解决问题的能力。
情感态度与价值观：积极参与活动，提高学习兴趣。
重点:认清函数的不同表示方法，知道各自的优缺点，能按具体情况选用适当的方法。
难点:函数表示方法的应用教学过程：一、创设情境问题1 小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元／时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为t时，应得的报酬为m元，填写下表后回答下列问题：（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量16，变量t、m）（2）能用t的代数式来表示m的值吗？（能，m=16t）教师指出：在这个变化过程中，有两个变量t，m，对t的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与它对应．问题 2 跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s(米)与助跑的速度v(米／秒)有关．根据经验，跳远的距离2s=(0<v<10.5) 然后回答下列问题：085.0v（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量0.085，变量v、s）（2）计算当v分别为7.5，8，8.5时，相应的跳远距离s是多少(结果保留3个有效数字)?(3)给定一个v的值，你能求出相应的s的值吗?教师指出：在这个变化过程中，有两个变量v，s，对v的每一个确定的值，s都有唯一确定的值与它对应．二、探究新知：函数的表示法：①公式法：在问题1、2中，m=16t和2s=这两个函数用等式来表示，085.0v这种表示函数关系的等式，叫作函数解析式，简称函数式．用函数解析式表示函数的方法也叫公式法．②列表法：有时把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表．这种表示函数关系的方法是列表法．③图象法:我们还可以用图象法来表示函数．教师指出：（1）公式法、列表法、图象法是表示函数的三种方法，都很重要．尤其是列表法、图象法在今后代数、统计领域的学习中经常用到，教学中应引起学生的重视．（2）对于列表法，图象法，如何表示两个变量之间的函数关系，学生可能不太容易理解，教学中可以用课本表7-2和图7-1来具体说明它们表示两个变量之间的函数关系的方法．（3）函数值概念：与自变量对应的值叫作函数值，它与自变量的取值有关，通常函数值随着自变量的变化而变化．若函数用公式法表示，只需把自变量的值代入函数式，就能得到相应的函数值．例如，函数m=16t，当t=5时，把它代入函数解析式，得m=16×5=80(元)．m=80叫作当自变量t=5时的函数值．由于函数值的概念是由函数的概念派生出来，用列表法、图象法表示函数时同样存在函数值的概念，教学中也可以增加一些具体例子，来加深学生的印象．若函数用列表法表示．我们可以通过查表得到．例如，在正方形面积与边长的函数关系中，当x=2时，函数值S=4；当x=6时，函数值S=36．若函数用图象法表示．例如，在骑车时热量消耗W(焦)与身体质量x(千克)之间的函数关系中，对给定的自变量的值，怎样求它的函数值呢？如x=50，我们只要作一直线垂直于x轴，且垂足为点(50，0)，这条直线与图象的交点P(50，399)的纵坐标就是就是当函数值x=50时的函数值，即W=399(焦)．学生看书自学动脑筋和例2内容并完成课本练习题。
三、应用迁移、巩固提高例1 等腰三角形ABC的周长为20，底边BC长为y，腰AB长为x，求：（1）y关于x的函数解析式；（2）当腰长AB=7时，底边的长；（3）当x=11和x=4时，函数值是多少？答案：（1）y=20-2x；（2）当腰长AB=7，即x=7时，y=6，所以底边长为6；（3）当x=11和x=4时，函数值不再有意义．说明（1）第1问中的函数解析式不能写成20+xy的形式，一定要把y写成关于x的代数2=式，（2）在实际问题中，自变量的取值范围往往受到条件的限制，此题的自变量的取值范围是5<x<10,具体的求法本节课不作介绍，放到下一节课中去完成，当x=11和x=4时，尽管可求出它对应的值，但自变量x的值都不在相应的取值范围内，因此当x=11和x=4时，函数值不再有意义．例2 某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表:月用水量x/度0<x≤12 12<x≤18 x>18收费标准y/ （元/度） 2.00 2.50 3.00（1）y是x的函数吗？为什么？（2）分别求当x=10,16,20时的函数值，并说明它的实际意义．答案：（1）是，根据函数的概念，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值；（2）当x=10时，y=2×10=20（元）．月用水量10度需缴水费20（元）；当x=16时，y=2×12+4×2.50=34（元）．月用水量16度需缴水费34（元）；当x=20时，y=2×12+6×2.50+2×3=45（元）．月用水量45度需缴水费45（元）．说明本例安排的目的有两个：①是让学生进一步巩固函数的概念；②让学生体会当函数用列表法给出时函数值的求法．本例教学时教师应向学生解释“收费实行阶梯水价”的含义，即月用水量不超过12度时每度2元，超过12度不超过18度时每度2.5元，超过18度时每度3元，如月用水量为38度时，应缴水费y =2×12+6×2.5+3×20=99（元）．例3 下图是小明放学回家的折线图，其中t表示时间，s表示离开学校的路程．请根据图象回答下面的问题：(1)这个折线图反映了哪两个变量之间的关系？路程s可以看成t的函数吗？(2)求当t=5时的函数值？(3)当 10≤t≤15时对应的函数值是多少并说明它的实际意义？(4)学校离家有多远？小明放学骑自行车回家共用了几分钟？答案：（1）折线图反映了s、t两个变量之间的关系，路程s可以看成t的函数；（2）当t=5时函数值为1km；（3）当 10≤t≤15时，对应的函数值是始终为2，它的实际意义是小明回家途中停留了5分钟；（4）学校离家有3.5km，小明放学骑自行车回家共用了20分钟．四、全课小结：1、我们认识了函数的三种不同的表示方法：(1)公式法(2)列表法(3)图象法。