超静定结构-力法基本原理
用力法求解超静定结构
用力法求解超静定结构概述超静定结构是指结构中的支座和约束条件多于结构自由度的情况。
用力法是一种经典的结构分析方法，常用于求解超静定结构。
本文将介绍用力法求解超静定结构的基本原理和步骤，并通过实例加以说明。
一、基本原理用力法的基本原理是根据平衡条件和变形约束，通过假设未知力的大小和方向，建立力的平衡方程和变形方程，解出未知力和结构的变形。
用力法适用于各种类型的结构，包括梁、柱、桁架等。
二、步骤用力法求解超静定结构的步骤如下：1. 选择合适的剖面根据结构的几何形状和约束条件，选择合适的剖面，将结构分割为若干个部分。
2. 假设未知力的方向和大小根据结构的特点和约束条件，假设未知力的方向和大小。
通常，未知力的方向可以根据结构的几何形状和外力的作用方向来确定，而未知力的大小则需要通过力的平衡方程来求解。
3. 建立力的平衡方程根据假设的未知力和结构的几何形状，建立力的平衡方程。
平衡方程包括力的平衡条件和力的矩平衡条件。
4. 建立变形方程根据结构的变形情况和约束条件，建立变形方程。
变形方程可以根据结构的刚度和约束条件来确定。
5. 解方程将力的平衡方程和变形方程联立，解方程组得到未知力和结构的变形。
6. 检验结果将求解得到的未知力和结构的变形代入原平衡方程和变形方程中，检验结果的准确性。
如果结果符合平衡和变形的要求，则求解成功；如果结果不符合要求，则需要重新假设未知力并重新求解。
三、实例分析为了更好地理解用力法求解超静定结构的步骤和原理，下面以一个简单的梁结构为例进行分析。
假设有一根悬臂梁，在梁的自重和外力作用下，需要求解支座反力和梁的变形。
1. 选择合适的剖面选择悬臂梁的剖面，将梁分割为两个部分：悬臂部分和支座部分。
2. 假设未知力的方向和大小假设支座反力的方向向上，大小为R。
3. 建立力的平衡方程根据力的平衡条件，可以得到悬臂部分的平衡方程：R - F = 0，其中F为梁的自重。
4. 建立变形方程根据梁的几何形状和约束条件，可以建立悬臂部分的变形方程，得到悬臂部分的弯矩和挠度。
第十四章：超静定结构
Fl3 8EI
0
l3 2EI
X1
l3 3EI
X2
l2 2EI
X3
5Fl3 48EI
0
3l 2
l2
2l
Fl 2
2 EI
X1
2EI
X2
EI
X3
8EI
0
14
化简，得：
32l X1 12l X 2 36X 3 3Fl 0 24l X1 16l X 2 24X 3 5Fl 0 12l X1 4l X 2 16X 3 Fl 0
14
11
1 EI
1 2
l
l
2l 3
l3 3EI
1 ql 2 2
1F
1 EI
1 3
ql2 2
l
3l 4
ql4 8EI
M图
11X1 1F 0
l
M图
X1
1F
11
ql4
8EI l3
3 ql （方向向上） 8
3EI
14
例2：解图示超静定问题。
多余约束可以是结构外部的（多余支撑条 件），也可以是结构内部的。
14
2.内部约束
多余内部约束的实例：
ab
静定
二次超静定
三次超静定 14
具有多余内部约束的结构的特点：平衡 方程可以求出所有反力，但不能求出所有内 力。
一个超静定结构，去掉 n 个约束后成为 静定结构，则原结构为 n 次超静定结构。
结构力学第六章 力法
四、n次超静定结构的力法典型方程
i1X1 i2 X 2 in X n iP 0(i 1、2、、n)
符号意义同前。 求解内力(作内力图)的公式：
M M1X1 M2X2 Mn Xn M P
FQ FQ1X1 FQ2 X2 FQn Xn FQP
FN FN1 X1 FN 2 X 2 FNn X n FNP 作内力图可以延用第三章的作法：由M→FQ→FN。
通常做法：拆除原结构的所有多余约束，代之 以多余力X，而得到静定结构。
规则： 1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束； 2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束； 3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去 掉三个约束； 4）在梁式杆上加一个简单铰，相当于去掉一个约束。
10
例： a)
X1
X2
37
2、列 力法方程
1211XX11
12 X 2 22 X 2
1P 2P
0 0
（B 0） （C 0）
讨论方程和系数的物理意义。
q
A
D
Δ1P B
C
A
X1=1
δ11 δ21
D
B
C
A
δ12
X2=1 δ22
D
B C
38
位移方程(力法方程)
ΔφB=0 ——B左右截面相对转角等于零。 ΔφC=0 —— C左右截面相对转角等于零。
d)
原结构
X2
X1
X1
X2
n=2
13
e)
原结构
X1 X1 n=1
f)
原结构
n=3
X1
X3
X2
特别注意：不要把原结
构拆成几何可变体系。此
超静定结构的计算
第二节力法
这样，原结构的内力计算问题就转变为基本结构在多余未知 力多的X余基1未本及知未荷力知载量Xq共1就，同是其作多余用余的下未计的知算内力就力。迎计刃算而问解题了了。。因只此要，设力法法求计出算
(二)力法方程 基本结构在月端不再受约束限制，因此在荷载y作用下月点
竖1小因5向-不此10位同基(d移而本)]向异结。下 ， 构显由 的[然图于 变在15形X二-11位是者0(c移取共)]状代，同态了在作应被X用1与拆下作原去B用点结约下竖构束月向完对点位全原竖移一结向将致构位随，的移X即作向1的B用上点大，[图 的余方竖未向向知产位力生移X的1位△共移1同必应作须与用为原下零结，，构在也在拆就X除是1方约说向束基的处本位沿结移多构相余在等未已。知知即力荷X:载1作与用多 △1=0 这就是基本结构应满足的变形谐调条件，又称位移条件。
用结所构示11、上。产则12生△、的11、1沿3 △表X11示2方、单向△位的13可力相以X应1表=位1示移, X为，2=如1,X图3=151-分12别(c作),(用d)于, (基c),本(d) 11 11X1、12 12 X 2、13 13 X 3，上面儿何条件(15-2)
中的第一式可以写为:
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第一节超静定结构基本知识
(1)去掉支座处的一根链杆或者切断一根链杆，相当于去掉一 个约束，如图15-3 (a),(b)所示的两个结构都多出来一个约束， 都是一次超静定结构。
(2)去掉一个铰支座或内部的一个单铰，相当于去掉两个约束。 图15-4 (a), (b)所示的两个刚架都多出来两个约束，都是二次 超静定结构。
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第二节力法
用力法计算超静定结构在支座移动所引起的内力时，其基本 原理和解题步骤与荷载作用的情况相同，只是力法方程中自 由项的计算有所不同，它表示基本结构由于支座移动在多余 约第束五处节沿“多支余 座未 移知 动力 时方 静向 定所 结引 构起 的的 位位 移移 计算△”iC，所可述用方第法十求四得帝。 此外，还应注意力法方程等号右侧为基本结构在拆除约束处 沿多余未知力方向的位移条件，也就是原结构在多余未知力 方正向值的，已否知则实 取际 负位 值移 。值△i，当△i与多余未知力方向一致时取
第五章力法超静定结构概述（ＰＤＦ）
第五章 力 法§5—1 超静定结构概述超静定结构是工程实际中常用的一类结构，前已述及，超静定结构的反力和内力只凭静力平衡条件是无法确定的，或者是不能全部确定的。
例如图5—1a所示的连续梁，它的水平反虽可由静力平衡条件求出，但其竖向反力只凭静力平衡条件就无法确定，因此也就不能进一步求出其全部内力。
又如图5—1b所示的加劲梁，虽然它的反力可由静力平衡条件求得，但却不能确定杆件的内力。
因此，这两个结构都是超静定结构。
分析以上两个结构的几何组成，可知它们都具有多余约束。
多余约束上所发生的内力称为多余未知力。
如图5—1a所示的连续梁中，可认为B支座链杆是多余约束，其多余未知力(图5—1c)。
又如图5—1b所示的加劲梁，可认为其中的BD杆是多余约束，其多余为FBy未知力为该杆的轴力F(图5—d)。
超静定结构在去掉多余约束后，就变成为静定结构。
N常见的超静定结构类型有：超静定梁（图5—2），超静定刚架（图5—3），超静定桁架（图5—4），超静定拱（图5—5），超静定组合结构（图5—6）和铰接排架（图5—7）等。
超静定结构最基本的计算方法有两种，即力法和位移法，此外还有各种派生出来的方法，如力矩分配法就是由位移法派生出来的一种方法。
这些计算方法将在本章和以下两章中分别介绍。
§5—2 力法的基本概念在掌握静定结构内力和位移计算的基础上，下面来寻求分析超静定结构的方法。
先举一个简单的例子加以阐明。
设有图5—8a 所示一端固定另一端铰支的梁，它是具有一个多余约束的超静定结构。
如果以右支座链杆作为多余约束，则去掉该约束后，得到一个静定结构，该静定结构称为力法的基本结构。
在基本结构上，若以多余未知力代替所去约束的作用，并将原有荷载q 作用上去，则得到如图5—8b 所示的同时受荷载和多余未知力作用的体系。
该体系称为力法的基本体系。
在基本体系上的原有荷载是已知的，而多余力是未知的。
因此，只要能设法先求出多余未知力，则原结构的计算问题即可在静定的基本体系上来解决。
材料力学 第14章 超静定结构
39
目录
例题 14-4
M1 图
M F图
1 a 2 2a a3 ⋅ = δ11 = EI 2 3 3EI ∆1F 1 a 2 qa 2 qa 4 ⋅ =− 2 8 = − 16EI EI
40
目录
例题 14-4
由力法正则方程δ11 X1 + ∆1F = 0得： 3qa X1 = 16 3qa ∴X C = ，YC = 0，M C = 0 16 qa 3qa X A (→) = X B (←) = ,YA = YB = (↑) 16 2 qa 2 M A (顺时针) = M B (逆时针) = 16
25
目录
对 称 结 构
对称结构的对称变形
26
目录
对 称 结 构
对称结构的对称变形
27
目录
对 称 结 构 对称结构的对称变形
28
目录
对 称 结 构
对称结构的对称变形
29
目录
对称结构，反对称载荷 对称结构，
判断载荷反对称的方法： 判断载荷反对称的方法：
将对称面（轴）一侧的载荷反向，若变为 将对称面（ 一侧的载荷反向， 对称的，则原来的载荷便是反对称的。 对称的，则原来的载荷便是反对称的。
24
目录
对 称 结 构
对称结构的对称变形－ 对称结构的对称变形－对称结构在对称载 荷作用下: 荷作用下:
约束力、内力分量以及变形和位移都是对称的; 约束力、内力分量以及变形和位移都是对称的; 反对称的内力分量必为零; 反对称的内力分量必为零; 某些对称分量也可等于零或变为已知。 某些对称分量也可等于零或变为已知
34
目录
对称结构，反对称载荷 对称结构，
7.2 力法的基本原理
A B
d11
X1=1
此方程便称为一次超静定结构的力法的基本方程。
δ11X1+Δ1P = 0
M 1M 1 d11 ds EI Ay 1 1 2 1 01 ( l l )( l ) EI EI 2 3 3 l 3EI
Δ1P M 1M P ds EI A y 1 1 l FP l 5 2 02 ( )( l ) EI EI 2 2 2 6 3 5 FP l 48 EI
(ql2/8) D ql2/8
ql2/8 ql2/8
A
(ql2/8) E
3ql/8
5ql/8 C B 5ql/8
C
A
3ql/8
B
M图
FQ 图
力法的基本原理是：以结构中的多余未知力为基本未知量；根 据基本体系上解除多余约束处的位移应与原结构的已知位移相 等的变形条件，建立力法的基本方程，从而求得多余未知力； 最后，在基本结构上，应用叠加原理作原结构的内力图
+
A B X1 Δ11
FP
A
l/2
C
(Δ1=ΔB =0) EI B l/2
FP
A C B Δ1P
=
X1
基本体系
+
A B X1 Δ11 =d11X1
若以d11表示基本结构在 单位力X1=1单独作用下沿 X1方向产生的位移，则有
Δ11=d11X1 (c ) 于是，上述位移条件（b）可写为 δ11X1+Δ1P = 0 (7-1)
A
C
B
A
B
基本体系
X1
基本结构
基本体系转化为原来超静定结构的条件是：基本体系沿 多余未知力X1方向的位移D1应与原结构位移ΔB相同，即 Δ1 = ΔB = 0 这个转化条件是一个变形条件或称位移条件，也就是 计算多余未知力时所需要的补充条件。
用力法解超静定结构
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n1 X1 n2 X 2 nn X n np 0
（三）力法典型方程中系数和自由项的计算
1、主系数δii — 表示基本结构由于 Xi 1的单独作用，在Xi 的作用点并沿Xi的方向产生的位移； 图A
ii
M
2 i
dx
EI
2、副系数δij —iiijijip表的示作基MMM用EM本EEIiii2E点MMiIIMd结Ix并jjpd构dx沿dxx由Xi于的X方j 向 1产的生单的独位作移用；，图在B Xi
例2：试用力法计算图示超静定刚架，并绘内力图。
解： 1.选择基本体系
2.建立力法方程
d11X1+D1P=0
3.计算系数和自由项，绘 M1和MP图
11
1 EI
1 2
l
l
2 3
l
2
2l 3 3EI
1P
1 EI
1
2
l ql 2
2 3
l2
2 3
l
ql 2 8
l
2
17ql 4
24EI
4.计算X1 5.绘内力图
=1
结构称为力法基本结构
基本结构
力法基本方程 — 利用基本体系的变形状态与原结构
一致的条件所建立的确定多余未知
力的方程
BACK
11X1 1P 0
11
M1M1 dx 1 (1 l l 2 l) l3
EI
EI 2
3
3EI
1P
M1M p dx 1 (1 l 1 ql 2 3 l) ql 4
ql3
24EI l
1 ql2 8
3EI
5、绘内力图 M M1X1 M p V V1 X1 Vp
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解法 2： FP
原 结
FP
基 本
构
体
系
解法3： FP
原 结
FP
构
基 本 体 系
实用文档
FP M1图
原 FP 结 构 a
M2图 B FP
基 本 体 系
F FP Paa 2
MP图
单位和荷载弯矩图
实用文档
由单位和荷载弯矩图可勾画出基本体系变形图 a
M1图
M2图 B FP
FP
F FP Paa 2
MP图
由单位和荷载 M 图可求得位移系数、建立方程
1212M11X X1图1112111221X 2X 22a22212Mp1p2P 2P 图00B00FPFP
X 11 8F 5 8Pa, X 21 4F 1P 实用文档
F FP Paa 2
（M×PF图pa）
基
FP
原 FP
本
结
体
构
系
M 1图
M 2 图 FP
FPa M P图
单位和荷载弯矩图
X 11 8F 5 8 P a 实,用文档X 28 3F 8 P a
问题：
能否取基本体系为
FP
()
小结：力法的解题步骤
(1) 确定结构的超静定次数和基本结构(体系)
超静定次数 = 基本未知力的个数 = 多余约束数 = 变成基本结构所需解除的约束数
实用文档
（3 次） 或
实用文档
（14 次）
或
实用文档
(1 次）
实用文档
(6 次)
实用文档
(4 次)
实用文档
确定超静定次数时应注意：
第五章 超静定结构的解法
Methods of Analysis of Statically Indeterminate Structures
§5-1 求解超静定问题的一般方法 §5-2 力法 §5-3 力法计算的简化
实用文档
遵循材料力学中同时考虑“变形、本构、平衡”分析 超静定问题的思想，可有不同的出发点：
实用文档
以掌握的问题
未知力的位移
“荷载”的位移
消除两者差别 总位移等于已知位移
1 1 1 1 P 1 0
变形协调条件 力法典型方程
(The Compatibility Equation of Force Method )
实用文档
δ 1 1 1 1 P 1 0或 1X 111P0
力法典型方程
121211122212pp00或 实用文档
11X112X21p0 21X122X22p0
作单位和荷载弯矩图
FP
FPa
求系数、建立力法方程并求解
X1
6
X
1
4
X 2 5 FP
4
96
5 X 2 FP
6
16
0 0
X仅 度1 与 相41F1刚 对P X值2 有 3关8F8 P
(a) 切断弯曲杆次数3、链杆1，刚结变单铰1， 拆开单铰2。总次数也可由计算自由度得到。 (b) 一个超静定结构可能有多种形式的基本 结构，不同基本结构带来不同的计算工作量。
因此，要选取工作量较少的基本结构。
(c) 可变体系不能作为基本结构
(2) 建立力法典型方程
11X11nXn1P 1
n1X1nnXnn实P用文档n
单位弯矩图 系数求法 荷载弯矩图
自 乘
ij — 位荷载位移
系数和未知力等于多少？
叠加作弯矩图
实用文档
例 2. 求解图示结构 解法1:
FP
原
结
构
有两个多于约束
FP
基
本 体
基 本
系未
一知
力
解除约束代以未知力
实用文档
FP P
基本未知力引起的位移 荷载引起的位移
变形协调条件
实用文档
X
1
4FP 11
X
2
3F 88
P
FP
FP
FPa
（×Fpa）
由叠加原理求得 M 实用M 文档 1 X 1 M 2 X 2 M P
力法基本思路小结
根据结构组成分析，正确判断多于约束个 数——超静定次数。
解除多余约束，转化为静定的基本结构。 多余约束代以多余未知力——基本未知力。
分析基本结构在单位基本未知力和外界因 素作用下的位移，建立位移协调条件——力 法典型方程。
11121P 1 由此可解得基本未知力，从 21222P 2 实用而文档解决受力变形分析问题
基本原理举例
例1. 求解图示单跨梁
原结构
转化
A
待解的未知问题 已掌握受力、变形 B 基本结体构系
prfiumnadraymsternutcatlusryesotermfuonrdapmrimenatrayl sstyrsutcetmure
或写作矩阵方程
δXP
(3) 作基本结构在单位未知力和荷载（如果
有）作用下的弯矩（内力）图 Mi ,MP
(4) 求基本结构的位移系数 ij 图乘来求
(5) 求基本结构的广义荷载位移 iP
注意：用图乘法求 ij 和 iP 时应注意图乘条件
在本章中将主要介绍力法实用和文档位移法(含弯矩分配法)。
1. 力法的基本原理
(Fundamentals of the Force Method)
有一个多于约束 的超静定结构， 有四个反力，只 有三个方程。
只要满足
F 1 Ay
FP1FP21
FBy
M 1 A
FPiai
1
FByl
i
1 F By 为任意值，均平衡。
因此必须设法补充方程 实用文档
力法的基本思路
超静定计算简图
解除约束转 基本结构承受荷 化成静定的 载和多余未知力
基本体系受力、变形解法已知
实用文档
力法的基本思路
用已掌握的方法，分析单个基本未 知力作用下的受力和变形
位移包含基本未知力Xi
同样方法分析 “荷载”下的
受力、变形
为消除基本结构与原结构差别，建立位移协调条件
从典型方程解得基本未知力，由叠加原理 获得结构内力。超静定结构分析通过转化为 静定结构获得了解决实。用文档
将未知问题转化为 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。
这是科学研究的 基本方法之一。
实用文档
由于从超静定转化为静定，将什么 约束看成多余约束不是唯一的，因此 力法求解的基本结构也不是唯一的。
以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础 上进行分析，这时主要应解决变形协调问题，这种 分析方法称为力法（force method）。
以位移作为基本未知量，在自动满足变形协调条件 的基础上来分析，当然这时主要需解决平衡问题， 这 种 分 析 方 法 称 为 位 移 法 （ displacement method）。 如果一个问题中既有力的未知量，也有位移的未知 量，力的部分考虑位移协调，位移的部分考虑力的 平 衡 ， 这 样 一 种 分 析 方 案 称 为 混 合 法 （ mixture method）。