复变函数复习提纲及例题

(2) f ( z ) =
1 ， z0 = 1 + i 4 − 3z
6.将
sin z 在 0 < z < +∞ 展成洛朗级数。 z
7.将
ez 在 0 < z < +∞ 展成洛朗级数。 z3
4
8.将 e z 在 0 < z < +∞ 展成洛朗级数。 1 在以下圆环域内展成洛朗级数。 ( z − 1)( z − 2) (2) 1 < z < 2 (3) 2 < z < +∞
1
9.将 f ( z ) =
(1) z < 1
10.将 f ( z ) =
1 在点 z = 1 和 z = 2 的去心邻域内展成洛朗级数。 ( z − 1)( z − 2)
第五章 备注：以下几个简单的结论在判断函数零点的级数和极点的级数时应该很有用。 请牢记。 (1) 设 f ( z ) = g ( z )ϕ ( z ) ， g ( z ), ϕ ( z ) 在 z0 解析且 ϕ ( z0 ) ≠ 0 。则 z0 为 f ( z ) 的 m 级零 点当且仅当 z0 为 g ( z ) 的 m 级零点。 这个结论说明函数之积的零点，只要看会使之为零的那一部分即可。 证明： 充分性 若 z0 为 g ( z ) 的 m 级零点，则 g ( z0 ) = g ′( z0 ) = ⋅⋅⋅ = g ( m −1) ( z0 ) = 0 ， g ( m ) ( z0 ) ≠ 0 。 当n < m，
3 −i ) 以及它们对应的主值。 2
2
5.求 1 2 ， i i 和 i 3 的值。 6.计算 cos(1 + i ), tan(3 − i ) 的值。
7.计算 sin(iz ) 的零点。 第三章
dz ， n∈Z ， r > 0 。 z − z0 = r ( z − z ) n +1 0
1.(1) 计算积分 v ∫
2
(2) 计算积分 v ∫
Γ
dz , n ∈ Z , Γ 为含 z0 在其内部的任意简单闭曲线。 ( z − z0 ) n
2.计算积分 v ∫
z =1
dz 。 2z − 3
3.计算积分 v ∫
z −i =
1 2
dz 。 z ( z 2 + 1) 2z −1 dz ， Γ 为包含圆周 z ( z − 1)
f ( z ) g ( z ) = ( z − z0 ) m + n ϕ ( z )ψ ( z )
6
这样， z0 为 f ( z ) g ( z ) 的 m + n 级零点。 (3) 设 f ( z ), g ( z ) 均在 z0 解析， z0 分别为 f ( z ) 和 g ( z ) 的 m 级和 n 级零点。若
∞
3.把
1 表成 z − a 的幂级数，并且收敛范围，其中， a ≠ b 。 z −b
4.把下列函数展成 z 的幂级数，并且收敛范围。
1 1+ z
(1)
(2)
1 (1 + z ) 2
(3) ln(1 + z )
5.把下列函数展成 z − z0 的幂级数，并求收敛范围。
(1) f ( z ) =
z ， z0 = 2 (1 + z )(2 + z )
2
2.求证函数 w =
x y −i 2 在 z ≠ 0 时解析，并求出其导数。 2 x +y x + y2
2
3.求证：若函数 w = f ( z ) 在区域 D 内解析且 f ′( z ) ≡ 0 ，则 f ( z ) 在 D 内为常数。
4.求 Ln 2 ， Ln( − e) ， Ln i ， Ln(1 + i ) ， Ln(
m −1
5
因此， z0 为 f ( z ) 的 m 级零点。 必要性 f ( z) 1 1 。 在 z0 解析，且 ≠ 0 。由充分性 ϕ ( z) ϕ ( z) ϕ ( z0 )
若 z0 为 f ( z ) 的 m 级零点。 g ( z ) = 论证， z0 为 g ( z ) 的 m 级零点。
10.由下列条件求解析 ， u = x 2 + xy − y 2 ， f (i ) = −1 + i 。 第四章
∞
1.求幂级数 ∑ z n 的收敛范围和和函数。
n=0
2.求下列幂级数的收敛半径。
(1)
zn ∑ p n =1 n
∞
(2)
zn ∑ n n =1 (ln in)
3ξ 2 + 7ξ + 1 d ξ ， z < 3 ，求 f ′(1 + i ) 。 C ξ−z
(5) 计算积分 v ∫
z =r
ez dz z ( z + 1)( z − 2)
3
9.已知曲线 C : z = r > 1 ，求下列积分值。
cos π z (1) v ∫C ( z − 1)5 dz
ez (2) v ∫C (1 + z 2 )2 dz
复变函数复习提纲： 第一章 复数的一般表达式，三角表达式，指数表达式；乘幂与方根（特别是 方根的计算）； 第二章 用 C-R 条件判断函数的可导性和解析性，如可导，会求导数；会做一些 初等函数的计算：主要是对数函数和幂函数； 第三章 这一章的东西比较多，会用柯西古莎基本定理，会用原函数算积分，会 用柯西积分公式和高阶导数公式算闭曲线上的积分；会做已知解析函数的实部 求虚部的题； 第四章 会求幂级数的收敛半径，会做简单的洛朗展开； 第五章 找出函数的奇点，并判断其类型，特别是极点的级；会做简单的留数的 计算。 一些例题： 第一章 1.将下列复数表示成 x + iy 的形式。
d n −1 1 2 ⎡ ( z − z0 ) n f ( z ) ⎤ ⎦ = (n − 1)!c−1 + n !c0 ( z − z0 ) + (n + 1)n(n − 1) ⋅⋅⋅ 3 ⋅ c1 ( z − z0 ) + ⋅⋅⋅ dz n −1 ⎣
若m > n，
f ( z) ϕ ( z) f ( z) = ( z − z0 ) m − n ，因此， z0 为 的 m − n 级零点。 g ( z) ψ ( z) g ( z)
若m = n，
ϕ ( z0 ) f ( z) f ( z) ϕ ( z) 的可去奇点。 = → ≠ 0 ，因此， z0 为 g ( z) g ( z ) ψ ( z ) ψ ( z0 )
f ( z ) = ( z − z0 ) m ϕ ( z ) ， g ( z ) = ( z − z0 ) nψ ( z )
且 ϕ ( z0 ) ≠ 0,ψ ( z0 ) ≠ 0 。 于是 ϕ ( z ),ψ ( z ) 均在 z0 解析，
ϕ ( z) ϕ ( z0 ) 在 z0 解析， 且 ≠ 0。 ψ ( z) ψ ( z0 )
(4) z = 1 − cos α + i sin α , 0 < α ≤ π
1 π π z (1 − 3i ) ， z2 = sin − i cos ，求 z1 z2 与 1 。 z2 2 3 3
3.已知 z1 =
4.化简 (1 + i ) n + (1 − i ) n 。 5.设 { xn } , { yn } 为实数列，且满足 xn + iyn = (1 + 3i)n ，求证：
4.分别用复合闭路定理和柯西积分公式计算积分 v ∫
Γ
z = 1 在内的任何正向简单闭曲线。
5.计算积分 v ∫
ez dz , Γ 由正向圆周 z = 2 和负向圆周 z = 1 所组成。 Γ z
6.计算积分 ∫ 7.计算积分 ∫
dz ，其中 C 为半圆周： z = 3 ， Re z ≥ 0 ，起点为 −3i ，终点为 3i 。 C z2 dz ，其中 C 为单连通区域： −π < arg z < π 内起点为 1，终点为 z 的 z
若m< n ，
f ( z) f ( z) = ，因此， z0 为 的 n − m 级极点。 n−m g ( z ) ( z − z0 ) g ( z)
ϕ ( z) ψ ( z)
(4) 留数求法规则 IV 设 z0 为 f ( z ) 的 m 级极点， n ≥ m ，则
Re s [ f ( z ), z0 ] =
证明：
由(1)结论， z0 为
(2) 设 f ( z ), g ( z ) 均在 z0 解析， z0 分别为 f ( z ) 和 g ( z ) 的 m 级和 n 级零点，则 z0 为
f ( z ) g ( z ) 的 m + n 级零点。
这个结论应该说是很容易想到的。 证明：由于 z0 分别为 f ( z ) 和 g ( z ) 的 m 级和 n 级零点，因此，
m > n ， z0 为
f ( z) f ( z) f ( z0 ) 的 m − n 级零点。(补充定义 的 = 0 ) 若 m = n ， z0 为 g ( z) g ( z) g ( z0 ) f ( z) 的 n − m 级极点。 g ( z)
可去奇点。若 m < n ， z0 为
这个结论应该说也是很容易想到的。 证明： z0 分别为 f ( z ) 和 g ( z ) 的 m 级和 n 级零点，因此，
因此，
( z − z0 ) n f ( z ) = c− m ( z − z0 ) n − m + c− m +1 ( z − z0 ) n − m +1 + ⋅⋅⋅ + c−1 ( z − z0 ) n −1 + c0 ( z − z0 ) n + c1 ( z − z0 ) n +1 + ⋅⋅⋅