2019上海市初三数学中考一模各区试卷第18题解析
2019中考金山区初三数学一模及答案
y
O
x
第 24 题图
25．已知多边形 ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，联结 AC、FD，点 H 是射线 AF 上的一 个动点，联结 CH，直线 CH 交射线 DF 于点 G，作 MH⊥CH 交 CD 的延长线于点 M，设 ⊙O 的半径为 r（r＞0）． （1）求证：四边形 ACDF 是矩形． （2）当 CH 经过点 E 时，⊙M 与⊙O 外切，求⊙M 的半径（用 r 的代数式表示）． （3）当∠HCD=α（0＜α＜90°），求点 C、M、H、F 构成的四边形的面积（用 r 及含 α 的 三角比的式子表示）．
2
r c
55
19、2 20、（1） x1 5 ， x2 1
（1） cot MCB 1 2
11、20 16、 2 3
21、（1） 24 10 米
（2）126 米
22、（1）证明略 23、（1）证明略 24、（1） y x2 4x 6
（2） EH 2 （2）证明略 （2）相离
为 H．联结 OD 交弦 BC 于 E，交 CH 于 F，联结 EH． （1）求证: △BHE∽△BCO． （2）若 OC=4，BH=1，求 EH 的长．
C
ED F
A
O
H
B
第 22 题图
23．如图，M 是平行四边形 ABCD 的对角线上的一点，射线 AM 与 BC 交于点 F，与 DC
的延长线交于点 H． （1）求证: AM 2 MF MH ．
2019年上海市金山区中考数学一模试卷-解析版
2019年上海市金山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列函数是二次函数的是()A. y=xB. y=1x C. y=x−2+x2 D. y=1x22.在Rt△ABC中，∠C=90°，那么sin∠B等于()A. ACAB B. BCABC. ACBCD. BCAC3.如图，已知BD与CE相交于点A，ED//BC，AB=8，AC=12，AD=6，那么AE的长等于()A. 4B. 9C. 12D. 164.已知e⃗是一个单位向量，a⃗、b⃗ 是非零向量，那么下列等式正确的是()A. |a⃗|e⃗=a⃗B. |e⃗|b⃗ =b⃗C. 1|a⃗ |a⃗=e⃗ D. 1|a⃗ |a⃗=1|b⃗|b⃗5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)如图所示，那么a、b、c的取值范围是()A. a<0、b>0、c>0B. a<、b<0、c>0C. a<0、b>0、c<0D. a<0、b<0、c<06.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，∠B=60°，⊙A的半径为3，那么下列说法正确的是()A. 点B、点C都在⊙A内B. 点C在⊙A内，点B在⊙A外C. 点B在⊙A内，点C在⊙A外D. 点B、点C都在⊙A外二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.已知二次函数f(x)=x2−3x+1，那么f(2)=______．8.已知抛物线y=12x2−1，那么抛物线在y轴右侧部分是______(填“上升的”或“下降的”)．9.已知xy =52，那么x+yy=______．10.已知α是锐角，sinα=12，那么cosα=______．11.一个正n边形的中心角等于18°，那么n=______．12.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，AB=4，那么AP=______．13.如图，为了测量铁塔AB的高度，在离铁塔底部(点B)60米的C处，测得塔顶A的仰角为30°，那么铁塔的高度AB=______米．14.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为2和5，圆心距为d，若⊙O1与⊙O2相交，那么d的取值范围是______．15.如图，已知O为△ABC内一点，点D、E分别在边AB、AC上，且ADAB =25，DE//BC，设OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ 、OC⃗⃗⃗⃗⃗ =c⃗，那么DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______(用b⃗ 、c⃗表示)．16.如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，延长连心线O1O2交⊙O2于点P，联结PA、PB，若∠APB=60°，AP=6，那么⊙O2的半径等于______．17.如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB=AC=5，cos∠C=45，那么GE=______．18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6.在边AB上取一点O，使BO=BC，以点O为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A′B′C′(点A、B、C的对应点分别是点A′、B′、C′)，那么△ABC与△A′B′C′的重叠部分的面积是______三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.计算：cos245°−cot30°2sin60∘+tan260°−cot45°⋅sin30°．20.已知二次函数y=x2−4x−5，与y轴的交点为P，与x轴交于A、B两点．(点B在点A的右侧)(1)当y=0时，求x的值．(2)点M(6,m)在二次函数y=x2−4x−5的图象上，设直线MP与x轴交于点C，求cot∠MCB的值．21.如图，已知某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD是6米，坝高24米，背水坡AB的坡度为1：3，迎水坡CD的坡度为1：2．求(1)背水坡AB的长度．(2)坝底BC的长度．22.如图，已知AB是⊙O的直径，C为圆上一点，D是BC⏜的中点，CH⊥AB于H，垂足为H，联OD交弦BC于E，交CH于F，联结EH．(1)求证：△BHE∽△BCO．(2)若OC=4，BH=1，求EH的长．23.如图，M是平行四边形ABCD的对角线上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC的延长线交于点H．(1)求证：AM2=MF⋅MH．(2)若BC2=BD⋅DM，求证：∠AMB=∠ADC．24.已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,6)，点B(1,3)，直线l1：y=kx(k≠0)，直线l2：y=−x−2，直线l1经过抛物线y=x2+bx+c的顶点P，且l1与l2相交于点C，直线l2与x轴、y轴分别交于点D、E.若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线l2上(此时抛物线的顶点记为M)，再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线l1上(此时抛物线的顶点记为N)．(1)求抛物线y=x2+bx+c的解析式．(2)判断以点N为圆心，半径长为4的圆与直线l2的位置关系，并说明理由．(3)设点F、H在直线l1上(点H在点F的下方)，当△MHF与△OAB相似时，求点F、H的坐标(直接写出结果)．25.已知多边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，联结AC、FD，点H是射线AF上的一个动点，联结CH，直线CH交射线DF于点G，作MH⊥CH交CD的延长线于点M，设⊙O的半径为r(r>0)．(1)求证：四边形ACDF是矩形．(2)当CH经过点E时，⊙M与⊙O外切，求⊙M的半径(用r的代数式表示)．(3)设∠HCD=α(0<α<90°)，求点C、M、H、F构成的四边形的面积(用r及含α的三角比的式子表示)．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、y=x属于一次函数，故本选项错误；B、y=1x的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误；C、y=x−2+x2=x2+x−2，符合二次函数的定义，故本选项正确；D、y=1x2的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误；故选：C．根据二次函数的定义判定即可．本题考查二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．2.【答案】A【解析】解：∵∠C=90°，∴sin∠B=ACAB，故选A．我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A．本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，注意：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵ED//BC，∴ABAD =ACAE，即86=12AE，∴AE=9，故选B．4.【答案】B【解析】解：A.由于单位向量只限制长度，不确定方向，故本选项错误；B.符合向量的长度及方向，故本选项正确；C.得出的是a的方向不是单位向量，故本选项错误；D.左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故本选项错误．故选B．长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．本题考查了向量的性质，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由图象开口可知：a<0，由图象与y轴交点可知：c<0，<0，由对称轴可知：−b2a∴b<0，即a<0，b<0，c<0，故选D．根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内．也考查了含30°角的直角三角形的性质．先解直角△ABC，求出AB、AC的长，再根据点到圆心距离与半径的关系可以确定点B、点C与⊙A的位置关系．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，∠B=60°，∴∠A=30°，∴AB=2BC=4，AC=√3BC=2√3，∵⊙A的半径为3，4>3，2√3>3，∴点B、点C都在⊙A外．故选：D．7.【答案】−1【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．计算自变量为2对应的函数值即可．【解答】解：把x=2代入f(x)=x2−3x+1得f(2)=22−3×2+1=−1．故答案为−1．8.【答案】上升的【解析】【分析】本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数在对称轴右侧y随x的增大而增大是解题的关键．根据抛物线解析式可求得其对称轴，结合抛物线的增减性可得到答案．【解答】x2−1，解：∵y=12∴其对称轴为y轴，且开口向上，∴在y轴右侧，y随x增大而增大，∴其图象在y 轴右侧部分是上升的， 故答案为：上升的．9.【答案】72【解析】 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确表示出x ，y 的值是解题关键．直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案． 【解答】 解：∵xy =52，∴设x =5a ，则y =2a ， 那么x+y y =2a+5a 2a =72． 故答案为：72．10.【答案】√32【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解决问题的关键是熟记一些特殊角的三角函数值．先确定α的度数，即可得出cosα的值． 【解答】解：∵α是锐角，sinα=12， ∴α=30°， ∴cosα=√32． 故答案为：√32．11.【答案】20【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角和为360°是解答此题的关键．根据正多边形的中心角和为360°计算即可． 【解答】 解：n =360°18∘=20，故答案为：20． 12.【答案】2√5−2【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3−√52，较长的线段=原线段的√5−12.根据黄金分割点的定义，知AP 是较长线段；则AP =√5−12AB ，代入数据即可得出AP 的长． 【解答】解：由于P 为线段AB =4的黄金分割点， 且AP 是较长线段；则AP =√5−12AB =√5−12×4=2√5−2． 故答案为2√5−2． 13.【答案】20√3【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出AB 的值进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：tan30°=AB CB=AB 60=√33， 解得：AB =20√3，答：铁塔的高度AB 为20√3m. 故答案为：20√3． 14.【答案】3<d <7【解析】 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d 、两圆的半径分别为r 、R ：①两圆外离⇔d >R +r ；②两圆外切⇔d =R +r ；③两圆相交⇔R −r <d <R +r(R ≥r)；④两圆内切⇔d =R −r(R >r)；⑤两圆内含⇔d <R −r(R >r).利用两圆相交⇔R −r <d <R +r(R ≥r)求解． 【解答】解：∵⊙O 1与⊙O 2相交， ∴3<d <7．故答案为3<d <7． 15.【答案】−25b ⃗+25c ⃗【解析】 【分析】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．根据三角形法则和平行线分线段成比例来求DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【解答】解：∵ADAB =25，DE//BC ， ∴DEBC =ADAB =25， ∴DE =25BC ． ∵OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ 、OC ⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ −b ⃗ ， ∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−25b ⃗ +25c ⃗ ．故答案是：−25b ⃗+25c ⃗ ． 16.【答案】2√3【解析】 【分析】本题考查了相交两圆的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．连接AB 交O 1P 于C ，根据相交两圆的性质得到AB ⊥O 1P ，AC =BC ，得到∠APC =12∠APB =30°，根据直角三角形的性质得到AC =12AP =3，连接AO 2，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：连接AB 交O 1P 于C ， 则AB ⊥O 1P ，AC =BC ， ∴AP =PB ，∴∠APC =12∠APB =30°，∴AC =12AP =3， 连接AO 2， ∵AO 2=PO 2， ∴∠AO 2C =60°， ∴AO 2=ACsin60∘=√32=2√3，∴⊙O 2的半径等于2√3．17.【答案】√172【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数定义，解答本题的关键是正确作出辅助线构造相似三角形，作EF ⊥BC 于点F ，根据余弦定义求出CD 长，根据等腰三角形性质求出BC 长，根据平行关系易证△BDG∽△BFE ，再根据相似三角形的对应边成比例结合线段的和差关系求出GE 即可． 【解答】解：作EF ⊥BC 于点F ，∵AD 、BE 分别是边BC 、AC 上的中线，AB =AC =5，cos∠C =45， ∴AD ⊥BC ，AD =3，CD =4， ∴AD//EF ，BC =8，∴EF =1.5，DF =2，△BDG∽△BFE ，∴DGFE =BDBF=BGBE，BF=6，∴DG=1，∴BG=√17，∴46=√17BE，得BE=3√172，∴GE=BE−BG=3√172−√17=√172，故答案为√172．18.【答案】5.76【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的画出图形是解题的关键．根据勾股定理得到AB=10，根据旋转的性质得到OA′=OA=4，∠A′=∠A，根据相似三角形的性质得到OM=3，求得AM=1，根据相似三角形的性质得到S△AON=6，同理，S△AMP= 0.24，于是得到结论．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，∴BO=BC=6，∵把△ABC逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，∴OA′=OA=4，∠A′=∠A，∵∠A′OM=∠C=90°，∴△A′OM∽△ACB，∴OMBC =OA′AC，∴OM=3，∴AM=1，∵∠A′MO=∠AMP，∴∠APM=∠A′ON=90°，∴△AON∽△ACB，∴S△AONS△ACB =(AOAC)2=14，∵S△ABC=12×8×6=24，∴S△AON=6，同理，S△AMP=0.24，∴△ABC与△A′B′C′的重叠部分的面积是6−0.24=5.76．故答案为：5.76．19.【答案】解：原式=(√22)2−√32×√32+(√3)2−1×12=12−1+3−12 =2．【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20.【答案】解：(1)把y =0代入y =x 2−4x −5，得x 2−4x −5=0，解得，x 1=5，x 2=−1，即当y =0时，x 的值是−1或5；(2)∵点M(6,m)在二次函数y =x 2−4x −5的图象上，∴m =62−4×6−5=7，∴点M(6,7)，∵二次函数y =x 2−4x −5，与y 轴的交点为P ，∴点P 的坐标为(0,−5)，设直线MP 的函数解析式为y =kx +b ，{6k +b =7b =−5，得{k =2b =−5， 即直线MP 的解析式为y =2x −5，当y =0时，x =52，即点C 的坐标为(52,0)，由(1)知，当y =0时，x 的值是−1或5，∵二次函数y =x 2−4x −5与x 轴交于A 、B 两点(点B 在点A 的右侧)，∴点B 的坐标为(5,0)，∴cot∠MCB =6−527=12．【解析】(1)根据题目中的函数解析式，可以求得当y −0时对应的x 值；(2)根据题意可以求得点M 的坐标，点C 的坐标和点B 的坐标，从而可以求得cot∠MCB 的值．本题考查抛物线与x 轴的交点、一次函数与二次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 21.【答案】解：(1)分别过点A 、D 作AM ⊥BC ，DN ⊥BC ，垂足分别为点M 、N ，根据题意，可知AM =DN =24(米)，MN =AD =6(米)，在Rt △ABM 中，∵AM BM =13，∴BM =72(米)，∵AB 2=AM 2+BM 2，∴AB =√242+722=24√10(米)，答：背水坡AB 的长度为24√10米；(2)在Rt△DNC中，DNCN =12，∴CN=48(米)，∴BC=72+6+48=126(米)，答：坝底BC的长度为126米．【解析】(1)直接分别过点A、D作AM⊥BC，DN⊥BC垂足分别为点M、N，得出AM= DN=24(米)，MN=AD=6(米)，进而利用坡度以及勾股定理进而得出答案；(2)利用(1)中所求，进而得出BC的长．此题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．22.【答案】(1)证明：∵OD为圆的半径，D是BC⏜的中点，∴OD⊥BC，BE=CE=12BC，∵CH⊥AB，∴∠CHB=90°，∴HE=12BC=BE，∴∠B=∠EHB，∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，∴∠EHB=∠OCB，又∵∠B=∠B∴△BHE∽△BCO．(2)解：∵△BHE∽△BCO，∴BHBC =BEOB，∵OC=4，BH=1，∴OB=4，得12BE =BE4，解得BE=√2，∴EH=BE=√2．【解析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明；(2)由△BHE∽△BCO，可得BHBC =BEOB，由此即可解决问题；本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD，∴AMMF =DMMB，DMMB=MHAM，∴AMMF =MHAM，即AM2=MF⋅MH．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，又∵BC2=BD⋅DM，∴AD 2=BD ⋅DM 即AD DB =DM AD ，又∵∠ADM =∠BDA ，∴△ADM∽△BDA ，∴∠AMD =∠BAD ，∵AB//CD ，∴∠BAD +∠ADC =180°，∵∠AMB +∠AMD =180°，∴∠AMB =∠ADC ．【解析】(1)根据平行线分线段成比例定理即可解决问题；(2)由△ADM∽△BDA ，推出∠AMD =∠BAD ，由AB//CD ，推出∠BAD +∠ADC =180°，由∠AMB +∠AMD =180°，可得∠AMB =∠ADC ；本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24.【答案】解：(1)把点A 、B 坐标代入y =x 2+bx +c 得：{c =63=1+b +c ，解得：{b =−4c =6， 则抛物线的表达式为：y =x 2−4x +6；(2)y =x 2−4x +6=(x −2)2+2，故顶点坐标为(2,2)，把点P 坐标代入直线l 1表达式得：2=2k ，即k =1，∴直线l 1表达式为：y =x ，设：点M(2,m)代入直线l 2的表达式得：m =−4，即点M 的坐标为(2,−4)，设：点N(n,−4)代入直线l 1表达式得：n =−4，则点N 坐标为(−4,−4)，同理得：点D 、E 的坐标分别为(−2,0)、(0,−2)、联立l 1、l 2得{y =x y =−x −2，解得：{x =−1y =−1，即：点C 的坐标为(−1,−1)， ∴OC =√(−1−0)2+(−1−0)2=√2，CE =√2=OC ，∵点C 在直线y =x 上，∴∠COE =∠OEC =45°，∴∠OCE =90°，即：NC ⊥l 2，NC =√(−1+4)2+(−1+4)2=3√2>4，∴以点N 为圆心，半径长为4的圆与直线l 2相离；(3)①当点F 在直线l 2下方时，设：∠OBK =α，点A 、B 的坐标分别为(0,6)，(1,3)，则AO =6，AB =BO =√10， 过点B 作BL ⊥y 轴交于点L ，则tan∠OAB =13，sin∠OAB =√10，OK =AOsin∠OAB =√10×6√10，sinα=OK OB =35， ∵等腰△MHF 和等腰△OAB 相似，∴∠HFM =∠ABO ，则∠KBO =∠OFM =α，点C 、M 的坐标分别为(−1,−1)、(2,−4)， 则CM =3√2，FM =CM sinα=5√2，CF =4√2，OF =OC +FC =5√2，则点F 的坐标为(−5,−5)，∵FH =FM =5√2，OH =OF +FH =10√2，则点H 的坐标为(−10,−10)；②当点F 在直线l 2上方时，同理可得点F 的坐标为(8,8)，点H 的坐标为(3,3)或(−10,10)；故：点F 、H 的坐标分别为(−5,−5)、(−10,−10)或(8,8)、(3,3)或(8,8)、(−10,−10)．【解析】(1)把点A 、B 坐标代入y =x 2+bx +c ，即可求解；(2)求而出点N 、点C 的坐标，计算NC 得长度即可求解；(3)分点F 在直线l 2下方、点F 在直线l 2上方两种情况，求解即可．本题考查的是二次函数综合运用，难点在(3)，利用等腰三角形相似得出∠KBO =∠OFM =α，再利用解直角三角形的方法求线段的长度，从而求解．25.【答案】解：(1)证明：∵多边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，∴AB =AC ，∠ABC =∠BAF =180×(6−2)6=120°，∴∠BAC =∠BCA ，∵∠BAC +∠BCA +∠ABC =180°，∴∠BAC =30°，得∠CAF =90°，同理∠ACD =90°，∠AFD =90°，∴四边形ACDF 是矩形；(2)如图1，连接OC 、OD ，由题意得：OC =OD ，∠COD =360°6=60°，∴△OCD 为等边三角形，∴CD =OC =r ，∠OCD =60°，作ON ⊥CD ，垂足为N ，即ON 为CD 弦的弦心距，∴CN =12CD =12r ，由sin∠OCD =ON OC =√32得ON =√32r ， 作OP ⊥AC 垂足为P ，即OP 为AC 弦的弦心距，∴CP=12AC，∵∠OCP=90°−60°=30°，∴CP=OC⋅cos30°=√32r，得AC=√3r，当CH经过点E时，可知∠ECD=30°，∵四边形ACDF是矩形，∴AF//CD，∴∠AHC=∠ECD=30°，∴在Rt△ACH中，CH=2AC=2√3r，∵MH⊥CH，∴cos∠HCM=CHCM =√32，得CM=4r，∴MN=72r，∴在Rt△MON中，OM=√ON2+MN2=√13r，∵⊙M与⊙O外切，∴r Q+r M=OM，即⊙M的半径为(√13−1)r．(3)如图2，作HQ⊥CM垂足为Q，由∠HCD=α，MH⊥CH可得∠QHM=α，∵AF//CD，AC⊥CD，∴HQ=AC=√3r，∴CQ=HQ·1tan∠HCQ =√3r⋅1tanα，MQ=HQ⋅tan∠QHM=√3r⋅tanα，即CM=√3r(tanα+1tanα)，①当0°<α<60°时，点H在边AF的延长线上，此时点C、M、H、F构成的四边形为梯形，∵FH=DQ=CQ−CD=√3r⋅1tanα−r，∴S=(FH+CM)⋅HQ2=(6×1tana)2．②当α=60°时，点H与点F重合，此时点C、M、H、F构成三角形，非四边形，所以舍去．③当60°<α<90°时，点H在边AF上，此时点C、M、H、F构成的四边形为梯形，∵FH=DQ=CD−CQ=r−√3r⋅1tanα，∴S=(FH+CM)⋅HQ2=(√3+3tanα)⋅r22．综上所述，当∠HCD=α(0°<α<90°)时，点C、M、H、F构成的四边形的面积为(6tan+3tana−√3)·r22或(√3+3tanα)⋅r22．【解析】(1)根据正多边形的性质和矩形的判定解答即可；(2)连接OC、OD，证△OCD为等边三角形得CD=OC=r，∠OCD=60°，作ON⊥CD求得ON=√32r，再作OP⊥AC，求得AC=√3r，由四边形ACDF是矩形知∠AHC=∠ECD=30°，据此得CH=2AC=2√3r，由cos∠HCM=CHCM =√32，得CM=4r，MN=72r，利用勾股定理求得OM=√ON2+MN2=√13r，依据⊙M与⊙O外切可得答案；(3)作HQ⊥CM垂足为Q，由∠HCD=α，MH⊥CH可得∠QHM=α，再由AF//CD，AC⊥CD知HQ=AC=√3r，继而求得CQ=√3r⋅1tanα，MQ=√3r⋅tanα，则CM=√3r(tanα+1tanα)，再分0°<α<60°、α=60°和60°<α<90°三种情况分别求解可得．本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、垂径定理、平行线的性质、圆与圆的位置关系、三角函数的应用及分类讨论思想的运用等知识点．。
2019上海初三数学一模18题解析
2019年上海市初三一模数学考试18题解析2019.1一、宝山18．如图，Rt △A BC 中，90∠=︒ACB ，4=AC ，5BC =， 点P 为AC 上一点，将BCP △沿直线BP 翻折，点C 落在 C '处，连接A C '，若AC BC '∥，那么CP 的长为 ． 【答案】52． 【解析】如图，BPC BPC '△≌△， 222A C A D DC A D BC BD '''=-=--=，设(04)CP C P x x '==<<，则4AP x =-， 由22252C P A C A P x ''=+⇒=，即CP 的长为52．二、崇明18．如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形ABCD 中， 点M 在CD 边上，连结A M 、BM ，90AMB ∠=︒，则 点M 为直角点．若点E 、F 分别为矩形ABCD 边AB 、CD 上的直角点，且5AB =，6BC =，则线段EF 的长为 ．【答案】6或7．【解析】① 当线段EF AB ⊥时，6EF =； ② 当线段EF 不垂直于AB 时，取CD 中点M ，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知11522M E CD ==，从而222111112M F M F M E E F ==-=，∴121F F =，221212117E F F F E F =+=； 综上，线段EF 的长为6或7．三、奉贤18．如图，在A BC △中，5AB AC ==，3sin 5C =，将A BC △绕点A 逆时针旋转得到ADE △，点B 、C 分别与点D 、E 对应，A D 与 边BC 交于点F ．如果AE BC ∥，那么BF 的长是 ．【答案】258． 【解析】过点A 作AH BC ⊥，垂足为H ，∵5AB AC ==，3sin 5C =，∴B C ∠=∠且28BC CH ==， ∵A BC A DE △≌△，∴BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即BAF EAC ∠=∠， ∵AE BC ∥，∴EAC C ∠=∠，从而BAF C ∠=∠， 于是A BC FBA △∽△，∴258A B BC BF BF A B =⇒=． 四、虹口18．如图，正方形ABCD 的边长为4，点O 为对角线AC 、BD 的交点，点E 为边AB 的中点，BED △绕着点B 旋转至11BE D △， 如果点1D E D 、、在同一直线上，那么1E E 的长为 ． 【答案】610． 【解析】过点B 作1DD 的垂线，垂足为H ，由题意，2,42,25BE BD ED ===，由等面积法可得1122BDE S BE A D ED BH =⋅=⋅△，解得45BH =，从而22124522DD DH BD BH ==-=， ∵11D BE DBE ∠=∠，∴1111D BE D BE D BE DBE ∠+∠=∠+∠， 即11EBE DBD ∠=∠，又1BE BE =，1BD BD =， ∴11EBE DBD △∽△，∴111610EE BE EE DD BD =⇒=．五、黄浦18．如图，在矩形ABCD 中，点E 是边A D 上的点，EF BE ⊥， 交边CD 于点F ，联结CE 、BF ，如果3tan 4A BE ∠=，那么 :CE BF = ．【答案】45． 【解析】由3tan 4A BE ∠=可得::3:4:5AE AB BE =， 由一线三直角模型可知，A BE DEF △∽△，∴A B BEDE EF=， ∵AB CD =，∴CD BE CD DE DE EF BE EF =⇒=，从而Rt Rt CDE BEF △∽△，∴45CE CD BF BE ==．六、嘉定18．在A BC △中，90ACB ∠=︒，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，3A C A E =，45CDE ∠=︒（如图），DCE △沿直线DE 翻折，翻 折后的点C 落在A BC △内部的点F ，直线A F 与边BC 相交于点G ， 如果BG AE =，那么tan B = ． 【答案】37． 【解析】如图，易得四边形CDFE 为正方形，设(0)A E BG a a ==>，则3AC a =，2FE EC a ==， ∵EF BC ∥，∴FE A E GC A C =，得6GC a =，∴33tan 77A C aB BC a ===．七、金山18．如图，在Rt A BC △中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =．在边AB 上取一点O ，使BO OC =，以点O 为旋转中心，把A BC △逆时针旋转90︒， 得到A B C '''△（点A 、B 、C 的对应点分别是点A '、B '、C '），那么 A BC △与A B C '''△的重叠部分的面积是 ． 【答案】14425【解析】如图，易证A BC A FO A DE A DO '△∽△∽△∽△， 224116844A FO A FO A BC A BC S A O S S S A C ⎛⎫⎛⎫===⇒== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△△， 3314OD OD AD OA =⇒=⇒='，2211161010010025A DE A DE A BC A BCS A D S S S A B ⎛⎫⎛⎫===⇒== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△△，则14425ODEF A FO A DE S S S S ==-=△△重叠． 八、静安18．如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 所在直线翻折后， 点A 与点E 重合，且ED 交BC 于点F ，联结A E ．如果 2tan 3DFC ∠=，那么BD A E的值是 ． 【答案】13． 【解析】2222313tan 3DF DFC CD +∠=⇒==， 易证Rt Rt BFE DFC △≌△，∴BF DF =，∵90BAE ABD ABD FBD ∠+∠=∠+∠=︒，∴BAE FBD ∠=∠，又AB EB =，∴可证A BE BFD △∽△，∴13BD BF DF A E A B CD ===．九、闵行18．如图，在Rt A BC △中，90ACB ∠=︒，3BC =，4AC =，点D 为边AB 上一点．将BCD △沿直线CD 翻折，点B 落在点E 处，联结A E ． 如果AE CD ∥，那么BE = ．【答案】245． 【解析】联结BE ，交CD 于点M ，易证DM 为EB 的垂直平分线， ∵AE CD ∥，∴AE EB ⊥，又∵EM M B =，∴D 为AB 中点，∴1522CD A B ==，由等面积法可得1122BCD A BC BM CD S S ⋅==△△，1224255BM BE BM ⇒=⇒==． 十、浦东18．将矩形纸片ABCD 沿直线A P 折叠，使点D 落在原矩形ABCD 的边BC 上的点E 处，如果AED ∠的余弦值为35，那么A BBC= ．【答案】2425． 【解析】联结DE ，交A P 于点M ，易证A M 为ED 的垂直平分线，由AED ∠的余弦值为35，设3,5(0)EM a A E A D a a ===>，则26ED EM a ==，4AM a =，易证Rt Rt A EM DEC △∽△， ∴42455CD A M CD a ED A E ==⇒=，从而2425A B CD BC A D ==．十一、普陀18．如图，A BC △中，8AB AC ==，3cos 4B =，点D 在边BC 上，将A BD △沿直线A D 翻折得到AED △，点B 的对应点为E ，A E 与边BC 相交于点F ，如果2BD =， 那么EF = ．【答案】3215． 【解析】过点A 作BC 的垂线，垂足为H ，由题意，6CH =，27A H =，A BD A ED △≌△，∴B E C ∠=∠=∠，2DE BD ==，8AE AB ==，从而可证DEF A CF △∽△， ∴14EF DE CF A C ==，设(0)EF x x =>，则4CF x =，46FH x =-，8AF x =- ∵222AF AH FH =+，∴22(8)28(46)x x -=+-，解得3215x =或0x =（舍），即3215EF =．十二、青浦18．对于封闭的平面图形，如果图形上或图形内的点S 到图形上的任意一点P 之间的线段都在图形内或图形上，那么这样的点 S 称为“亮点”．如图，对于封闭图形ABCDE ，1S 是“亮点”， 2S 不是“亮点”，如果AB DE ∥，AE DC ∥，2AB =，1AE =，60B C ∠=∠=︒，那么该图形中所有“亮点”组成的图形的 面积为 ．【答案】3． 【解析】由“亮点”的定义，可得所有“亮点”组成的图形为 图中的正三角形EFG ，其边长为1，∴面积为3．十三、松江18．如图，在直角坐标平面xOy 中，点A 坐标为(3,2)，90AOB ∠=︒，30OAB ∠=︒，AB 与x 轴交于点C ，那么:AC BC 的值为 ． 【答案】23． 【解析】如图，过点A 、B 作y 轴的垂线，垂足为D 、E ， 过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足为F 、G ，于是，由题意可得3,2,3OAA D OD OB===， 由一线三直角模型可知，A OD OBE △∽△， ∴23,3A O OD A D BE OE OB BE OE ==⇒==， 易证，CGA CFB △∽△，∴233A C A G OD BC BF OE ====．十四、徐汇18．在梯形ABCD 中，AB DC ∥，90B ∠=︒，6BC =，2CD =，3tan 4A =．点E 为BC 上一点，过点E 作EF AD ∥交边AB 于点F ．将BEF △沿直线EF 翻折得到GEF △，当EG 过点D 时，BE 的长 为 ．【答案】6512． 【解析】如图，过点D 作EF 的垂线，垂足为H ，交BC 于点I ，∵EF AD ∥，∴A EFB ∠=∠，由同角的余角相等，可得EFB DIC ∠=∠， ∵3tan 4A =，∴3810tan ,433CD DIC CI DI CI ∠==⇒==，易证，DEH IEH △≌△，∴DH HI =，1523H I DI ==，由34525tan 45412H I DIC EI H I EI ∠=⇒=⇒==，∴712CE CI EI =-=，6512BE BC CE =-=．十五、杨浦18．Rt A BC △中，90C ∠=︒，3AC =，2BC =，将此三角形绕点A 旋转，当点B 落在直线BC 上的点D 处时，点C 落在点E 处，此时点E 到直线BC 的距离为 ． 【答案】2413． 【解析】如图，A BC A DE △≌△且四边形ACFG 为矩形， ∴2BC DE ==，3AC AE ==，由一线三直角模型可知，A GE EFD △∽△，∴32GE A E FD ED ==， 设3,2GE x DF x ==，则33EF x =-， 由勾股定理，得222DE DF EF =+，解得513x =，∴点E 到直线BC 的距离243313EF x =-=．十六、长宁18．如图，点P 在平行四边形ABCD 的边BC 上，将A BP △ 沿直线A P 翻折，点B 恰好落在边A D 的垂直平分线上，如果 5AB =，8A D =，4tan 3B =，那么BP 的长为 ． 【答案】257或7． 【解析】记A D 的垂直平分线为l 交A D 、BC 分别于点E 、F ，过点A 作BC 的垂线，垂足为H ， 由已知条件，易得5AB AB '==，3BH =，223EB A B A E ''=-=，4AH EF ==，7BF =， 设(08)BP BP x x '==<<，则7PF x =-，如图，情况一（B 点翻折后的对称点B '在线段EF 上），此时1B F '=，在Rt B PF '△中应用勾股定理，得222B P PF B F ''=+，解得257x =或0x =（舍）；情况二（B 点翻折后的对称点B '在线段EF 的延长线上），此时7B F '=， 类似有222B P PF B F ''=+，解得7x =（表示P 与F 重合）或0x =（舍）；综上，BP 的长为257或7．。
2019-2020学年上海市崇明区初三数学一模(试卷+参考答案)
崇明区2019学年第一学期教学质量调研测试卷九年级数学（满分150分，完卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．下列各组图形一定相似的是（▲）(A)两个菱形；(B)两个矩形；(C)两个直角梯形；(D)两个正方形． 2．在Rt △ABC 中，∠C90，如果AC8，BC6，那么∠B 的余切值为（▲）3 (A) 43．抛物线；(B)4；(C)3 352 y3(x1)2的顶点坐标是（▲）；(D)4 5． (A)(1,2)；(B)(1,2)；(C)(1,2)；(D)(1,2)．4．已知c 为非零向量，a3c ，b2c ，那么下列结论中错．误．的是（▲）(A)a ∥b ；(B)3 ab ；(C)a 与b 方向相同；(D)a 与b 方向相反．25．如图，在55正方形网格中，一条圆弧经过A 、B 、C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（▲）(A)点P ；(B)点Q ；(C)点R ；(D)点M ． AB··AP·Q ··R·CDE NM·B C M(第6题图)(第5题图)6．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 和AC 边上且DE ∥BC ，点M 为BC 边上一点（不与点B 、C 重合），联结AM 交DE 于点N ，下列比例式一定成立的是（▲）(A)A DAN ANAE；(B)D NBM NECM；(C)D NAE BMEC；(D)D NNE MCBM．九年级数学共6页第1页二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．已知xy23，那么x yx▲．8．已知线段A B8cm，点C在线段A B上，且2ACBCAB，那么线段A C的长▲cm．9．如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为50°和60°，那么另一个三角形的最大角为▲度．10．小杰沿坡比为1︰2.4的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了▲米．11．在某一时刻，测得一根高为1.8米的竹竿影长为3米，同时同地测得一栋楼的影长为90米，那么这栋楼的高度为▲米．12．如果将抛物线221yxx先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么所得的新抛物线的顶点坐标为▲．13．如果二次函数2yaxbxc图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示，那么它的图像与x轴的另一个交点坐标是▲．x⋯1012⋯y⋯0343⋯14．一个正五边形的中心角的度数为▲度．15．两圆的半径之比为3︰1，当它们外切时，圆心距为4，那么当它们内切时，圆心距为▲．16．如果梯形两底分别为4和6，高为2，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大底边的距离是▲．17．如图，在△ABC中，ACAB，点D在BC上，且BDBA，∠ABC的平分线BE交AD 于点E，点F是AC的中点，联结EF．如果四边形DCFE和△BDE的面积都为3，那么△ABC 的面积为▲．18．如图，在Rt△ABC中，∠C90，AB10，AC8，点D是AC的中点，点E在边AB 上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A处，当AEAB时，那么AA的长为▲．BAEFB DC C·DA (第17题图)(第18题图)九年级数学共6页第2页三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：2cot602tan302tan60sin452sin30．20．（本题满分10分，第(1)小题5分，第(2)小题5分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC2AD，对角线AC、BD相交于点O，设A D a，ABb．（1）试用a、b的式子表示向量AO；A D（2）在图中作出向量DO在a、b方向上的分向量，O 并写出结论．BC(第20题图)21．（本题满分10分，第(1)小题5分，第(2)小题5分）如图，AC是O的直径，弦BDAO于点E，联结BC，过点O作OFBC于点F，BD8，AE2．（1）求O的半径；（2）求OF的长度．(第21题图)九年级数学共6页第3页22．（本题满分10分，第(1)小题５分，第(2)小题５分）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC150，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD150时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？D· D·CC···B·BEA l·Al(图2)(图3)(图1)(第22题图)23．（本题满分12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分）如图，△ABC中，ADBC，E是AD边上一点，联结BE，过点D作DFBE，垂足为F，且AEDFEFCD，联结AF、CF，CF与边AD交于点O．求证：（1）∠EAF∠DCF；（2）AFBDACDF．AEFOBCD(第23题图)九年级数学共6页第4页24．（本题满分12分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题4分）如图，抛物线与x轴相交于点A(3,0)、点B(1,0)，与y轴交于点C(0,3)，点D是抛物线上一动点，联结OD交线段AC于点E．（1）求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）求∠ACB的正切值；（3）当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标．(第24题图)（备用图）九年级数学共6页第5页25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题6分）如图，在△ABC中，ABAC10，BC16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AFAD交射线DE于点F．（1）求证：ABCEBDCD；A（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；F（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．EBCD(第25题图)AB DCBC(备用图)崇明区2019学年第一学期教学质量调研测试卷九年级数学答案及评分参考2020.1 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1、D2、A3、C4、C5、B6、B二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、528、4549、7010、5011、5412、(1,1)13、(3,0)14、7215、216、617、1018、285 2 或452三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19、解：原式=33223322(3)()1222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分3312⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分523 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分20、（1）∵AD∥BC，BC2ADAOAD ∴OCBC 12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分AO AC ∴13即1AOAC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分3∵ADa，BC与AD同向∴BC2a⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵ACABBCb2a⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分12∴AOba⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分33（2）略，画图正确得4分，结论正确得1分21、（1）解：∵AC是O的直径，弦BDAO，BD8∴1BEDEBD4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分2联结O B，设O的半径为x，则O AOBx∵AE2∴OEx2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵在Rt△OEB中，222OEBEOB⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分222∴(x2)4x解得x5∴O的半径为5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分（2）∵在Rt△CEB中，222 CEBEBC又∵CE538，BE4∴BC45⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分∵OBOC，OFBC∴1BFCFBC25⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分2∵在Rt△OFB中，222 OFBFOB∴OF25205⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分22、（1）解：过点B作BHDE，垂足为H由题意可得：ABHE5cm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分BDBCCD40cm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∠ABH∠DHB90，∠DBH1509060⋯⋯1分∴在Rt△DHB中，sin∠DBH D HDH3 DB402∴DH203cm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴DE2035(cm)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分（2）解：过点C作CGBH，CKDE，垂足分别为G、K由题意可得：BCCD20cm，CGKH九年级数学共6页第8页∴在Rt△CGB中，C GCG3sin∠CBH∴CG103cm BC202∴KH103cm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠BCG906030∴∠DCK150903030⋯⋯1分∴在Rt△DCK中，sinDCK∠D KDK1 DC202∴DK10cm⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴现在的高度为15103厘米⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴(2035)(15103)10310比原来降低了10310厘米⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分23、（1）证明：∵ADBC，DFBE∴∠ADB∠DFE90⋯⋯⋯1分∴∠DBE∠BED90，∠DBE∠BDF90∴∠BED∠BDF∴∠AEF∠CDF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵AEDFCDEFAEEF∴CDDF∴△AEF∽△CDF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分∴∠EAF∠DCF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分（2）证明：∵△AEF∽△CDF∴∠EFA∠DFC∴∠AFO∠EFD90∵∠DFB90∴∠BFD∠AFC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠EAF∠DCF，∠AOF∠COD∴△AOF∽△COD∴AOOFOCOD九年级数学共6页第9页AOOC∴OFOD又∵∠AOC∠FOD∴△AOC∽△FOD∴∠ACF∠EDF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠DBE∠BED∠FDE∠BED90∴∠DBE∠EDF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴∠ACF∠DBE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分又∵∠BFD∠AFO∴△BFD∽△CFA⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分AFAC∴DFBD∴AFBDACDF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分24、（1）解：设抛物线的解析式为2(0)yaxbxca∵抛物线2yaxbxc过点A(3,0)、B(1,0)、C(0,3)9a3bc0∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分abc0c3a1b2解得⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分c3223 ∴这条抛物线的解析式为y xx⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分顶点坐标为(1,4)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分（2）解：过点B作BHAC，垂足为H∵∠AOC90，OAOC3∴∠OAC∠OCA45，AC32⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠BHA90∴∠HAB∠HBA90∴∠HAB∠HBA45∵在Rt△AHB中，222 AHBHAB，AB4∴AHBH22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分九年级数学共6页第10页∴CH32222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分BH22∵∠BHC90∴tanACB2∠⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分CH2 （3）解：过点D作DKx轴，垂足为K2设(,23)Dxxx，则K(x,0)，并由题意可得点D在第二象限223∴DKxx，OKx∵∠BAC是公共角∴当△AOE与△ABC相似时存在以下两种可能1°∠AOD∠ABC∴tan∠AODtan∠ABC3∴223xxx3113113解得x1，x2（舍去）⋯⋯⋯1分221133133∴D(,)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分222°∠AOD∠ACB∴tan∠AODtan∠ACB2∴223xxx2 解得x13，x23（舍去）⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴D(3,23)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分综上所述：当△AOE与△ABC相似时，1133133点D的坐标为(,)22或(3,23)．25、（1）证明：∵ABAC∴∠B∠C⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠ADC∠B∠BAD即∠ADE∠CDE∠B∠BAD九年级数学共6页第11页∵∠ADE∠B∴∠BAD∠CDE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴△BDA∽△CED⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分ABBD∴CDCE∴ABCEBDCD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分（2）∵OF平分∠ADC∴∠ADE∠CDE∵∠CDE∠BAD∴∠ADE∠BADAEBDACBC∴DF∥AB∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵∠ADE∠B∠C∴∠BAD∠C又∵∠B是公共角∴△BDA∽△BAC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分BDBA ∴BABCBD10∴101625∴BD⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分4254AE ∴1016125∴AE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分32（3）过点A作AHBC，垂足为H1 ∵ABAC，AHBC∴BHCHBC28由勾股定理得出AH6∴3tanB4∵∠ADE∠B，AFAD∴tanADF∠A FAD34ADAB设A F3k，则A D4k，DF5k∵△BDA∽△CED∴DECD ①点F在线段D E的延长线上，当△AEF是等腰三角形时，存在以下三种情况：1°FAFE3k，则D E2k104k∴CD2k∴CD5∴BD16511⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分2°EAEF则D E2.5k九年级数学共6页第12页104k ∴CD2.5k252539∴CD∴BD16⋯⋯⋯⋯⋯2分44473°AEAF3k则D Ek5104k∴75 CDk7725∴CD∴BD16⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分222②点F在线段D E上，当△AEF是等腰三角形时，∵∠AFE90∠ADF∴∠AFE是一个钝角∴只存在FAFE3k这种可能，则D E8k104k∴CD8k∴CD20＞16，不合题意，舍去综上所述，当△AEF是等腰三角形时，BD的长11或394或252．（做对1种情况2分，做对2种情况4分，做对3种情况但没有讨论在线段D E上的这种可能5分，做对3种情况并分类讨论出不存在的情况6分）九年级数学共6页第13页。
2019年上海市普陀区中考数学一模试卷-解析版
2019年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1. 已知二次函数y =(a −1)x 2+3的图象有最高点，那么a 的取值范围是( )A. a >0B. a <0C. a >1D. a <12. 下列二次函数中，如果图象能与y 轴交于点A(0,1)，那么这个函数是( )A. y =3x 2B. y =3x 2+1C. y =3(x +1)2D. y =3x 2−x3. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使△ADE 与△ABC 相似，那么这个条件是( )A. ∠AED =∠BB. ∠ADE =∠CC. AD AC =AE ABD. AD AB =DE BC 4. 已知a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 都是非零向量，如果a ⃗ =2c ⃗ ，b ⃗ =−2c ⃗ ，那么下列说法中，错误的是( ) A. a ⃗ //b ⃗ B. |a ⃗ |=|b ⃗ |C. a ⃗ +b ⃗ =0D. a ⃗ 与b ⃗ 方向相反5. 已知⊙O 1和⊙O 2，其中⊙O 1为大圆，半径为3.如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于( )A. 1B. 4C. 5D. 86. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE//BC ，且DE 经过重心G ，在下列四个说法中①DE BC =23；②BD AD =13；③C △ADE C △ABC =23；④S △ADE S 四边形DBCE =45，正确的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 如果x y =72，那么x−2yy 的值是______．8. 化简：3(a⃗ +12b ⃗ )−2(a ⃗ −b ⃗ )=______． 9. 如果抛物线y =2x 2+x +m −1经过原点，那么m 的值等于______．10. 将抛物线y =12(x +3)2−4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是______． 11.已知抛物线y =2x 2+bx −1的对称轴是直线x =1，那么b 的值等于______． 12.已知△ABC 三边的比为2：3：4，与它相似的△A′B′C′最小边的长等于12，那么△A′B′C′最大边的长等于______． 13.在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =3，BC =1，那么∠A 的正弦值是______． 14. 正八边形的中心角为______度．15.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，BD⊥DC，tan∠ABD=1，BC=5，2那么DC的长等于______．16.如图，AB//CD，AD、BC相交于点E，过E作EF//CD交BD于点F，如果AB：CD=2：3，EF=6，那么CD的长等于______．17.已知二次函数y=ax2+c(a>0)的图象上有纵坐标分别为y1、y2的两点A、B，如果点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，那么y1______y2(填“<”、“=”或“>”)18.如图，△ABC中，AB=AC=8，cosB=3，点D在边BC上，将△ABD沿直线AD4翻折得到△AED，点B的对应点为点E，AE与边BC相交于点F，如果BD=2，那么EF=______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.计算：4sin45°+cos230°−2cot45°．tan60°−√2四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在边BC 上，AE与BD 相交于点G ，AG ：GE =3：1．(1)求EC ：BC 的值；(2)设BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______，GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =______(用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示)21. 如图，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，O 1O 2与AB 交于点C ，O 2A 的延长线交⊙O 1于点D ，点E 为AD 的中点，AE =AC ，联结OE ．(1)求证：O 1E =O 1C ；(2)如果O 1O 2=10，O 1E =6，求⊙O 2的半径长．22. 如图，小山的一个横断面是梯形BCDE ，EB//DC ，其中斜坡DE 的坡长为13米，坡度i =1：2.4，小山上有一座铁塔AB ，在山坡的坡顶E 处测得铁塔顶端A 的仰角为45°，在与山坡的坡底D 相距5米的F 处测得铁塔顶端A 的仰角为31°(点F 、D 、C 在一直线上)，求铁塔AB 的高度．(参考数值：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6)23.已知：如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2=AF⋅AB，∠DAF=∠EAC．(1)求证：△ADE∽△ACB；(2)求证：DFDE =CECB．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−3(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)和点B，且OB=3OA，与y轴交于点C，此抛物线顶点为点D．(1)求抛物线的表达式及点D的坐标；(2)如果点E是y轴上的一点(点E与点C不重合)，当BE⊥DE时，求点E的坐标；(3)如果点F是抛物线上的一点．且∠FBD=135°，求点F的坐标．25.如图，点O在线段AB上，AO=2OB=2a，∠BOP=60°，点C是射线OP上的一个动点．(1)如图①，当∠ACB=90°，OC=2，求a的值；(2)如图②，当AC=AB时，求OC的长(用含a的代数式表示)；(3)在第(2)题的条件下，过点A作AQ//BC，并使∠QOC=∠B，求AQ：OQ的值．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．【解答】解：由题意可知：a−1<0，∴a<1，故选：D．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．根据y轴上点的坐标特征，分别计算出x=0时四个函数对应的函数值，然后根据函数值是否为1来判断图象能否与y轴交于点A(0,1)．【解答】解：当x=0时，y=3x2=0；当x=0时，y=3x2+1=1；当x=0时，y=3(x+1)2=9；当x=0时，y=3x2−x=0，所以抛物线y=3x2+1与y轴交于点(0,1)．故选B．3.【答案】D【解析】【分析】由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可．本题考查了直角三角形相似的判定：①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．【解答】解：由题意得，∠A=∠A，A.当∠ADE=∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；B.当∠ADE=∠C时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；C.当ADAC =AEAB时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；D.当ADAB =DEBC时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意；故选：D．4.【答案】C【解析】【分析】根据平面相等向量的定义、共线向量的定义以及向量的模的计算方法解答．考查了向量，向量是既有方向又有大小的．【解答】解：A.因为a⃗=2c⃗，b⃗ =−2c⃗，所以a⃗//b⃗ ，且a⃗与b⃗ 方向相反，故本选项说法正确；B.因为a⃗=2c⃗，b⃗ =−2c⃗，所以|a⃗|=|b⃗ |=|2c⃗|，故选项说法正确；C.因为a⃗=2c⃗，b⃗ =−2c⃗，所以a⃗//b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =0，故本选项说法错误；D.因为a⃗=2c⃗，b⃗ =−2c⃗，所以a⃗//b⃗ ，且a⃗与b⃗ 方向相反，故本选项说法正确；故选：C．5.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了两圆的位置关系，用到的知识点为：两圆内切，圆心距=两圆半径之差，外切时，r+R=d．【解答】根据两圆位置关系是内切，则圆心距=两圆半径之差，以及外切时，r+R=d，分别求出即可．解：∵两圆相内切，设小圆半径为x，圆心距为2，∴3−x=2，∴x=1，∴小圆半径为1，这两圆外切时，圆心距为：1+3=4．故选：B．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质以及三角形重心的性质的运用，解决问题的关键是知道相似三角形的对应边对应成比例．连接AG并延长，交BC于F，依据DE//BC，且DE经过重心G，即可得到△ADE∽△ABC，且相似比为2：3，依据相似三角形的性质，即可得到正确结论．【解答】解：如图所示，连接AG并延长，交BC于F，∵DE//BC，且DE经过重心G，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =ADAB=AGAF=23，故①正确；∴C△ADEC△ABC =23，故③正确；∵DG//BF，∴GFGA =DBDA=12，故②错误；∵△ADE∽△ABC ，DE BC =23，∴S △ADE S △ABC =49， ∴S △ADES 四边形DBCE =45，故④正确； 故选C ．7.【答案】32【解析】解：∵x y =72，∴设x =7a ，则y =2a ，那么x−2y y =7a−4a 2a=32． 故答案为：32．直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案．此题主要考查了比例的性质，正确表示出x ，y 的值是解题关键．8.【答案】a ⃗ +72b ⃗【解析】解：3(a⃗ +12b ⃗ )−2(a ⃗ −b ⃗ )=3a ⃗ +32b ⃗ −2a ⃗ +2b ⃗ =(3−2)a ⃗ +(32+2)b ⃗ =a ⃗ +72b ⃗ ．故答案是：a⃗ +72b ⃗ ． 平面向量的运算法则也符合实数的运算法则．考查了平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算法则．9.【答案】1【解析】解：把(0,0)代入y =2x 2+x +m −1得m −1=0，解得m =1，故答案为1．把原点坐标代入抛物线解析式即可得到对应m 的值．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 10.【答案】y =12(x +1)2−1【解析】解：将抛物线y =12(x +3)2−4向右平移2个单位所得直线解析式为：y =12(x +3−2)2−4=12(x +1)2−4；再向上平移3个单位为：y =12(x +1)2−4+3，即y =12(x +1)2−1．故答案是：y =12(x +1)2−1．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．11.【答案】−4【解析】解：∵y=2x2+bx−1，∴抛物线对称轴为x=−b2×2=−b4，∴−b4=1，解得b=−4，故答案为−4．由对称轴公式可得到关于b的方程，可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键，即y=ax2+bx+c的对称轴为x=−b2a．12.【答案】24【解析】解：设△A′B′C′的最大边长是x，根据相似三角形的对应边的比相等，可得：2 12=4x，解得：x=24，∴△A′B′C′最大边的长等于24．故答案为：24．由于△A′B′C′∽△ABC，因此它们各对应边的比都相等，可据此求出△A′B′C′的最大边的长．本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．13.【答案】13【解析】解：∵∠ACB=90°，AB=3，BC=1，∴∠A的正弦sinA=BCAB =13，故答案为13．我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA.代入数据直接计算得出答案．本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．14.【答案】45【解析】解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；故答案为45．根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．15.【答案】2√5【解析】解：∵AB⊥BC，∴∠ABD+∠DBC=90°，∵BD⊥DC，∴∠C+∠DBC=90°，∴∠ABD=∠C，∴tanC=BDDC =12，∴BD=12CD，由勾股定理得，BD2+CD2=BC2，即(12CD)2+CD2=52，解得，CD=2√5，故答案为：2√5．根据垂直的定义得到∠ABD=∠C，根据正切的定义得到BD=12CD，根据勾股定理计算即可．本题考查的是梯形的性质，正切的定义，勾股定理，掌握梯形的性质，正切的定义是解题的关键．16.【答案】15【解析】【分析】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．由△ABE∽△DCE，推出BEEC =ABCD=23，可得BEBC=25，再证明△BEF∽△BCD，可得EFCD=BEBC=25，由此即可解决问题．【解答】解：∵AB//CD，∴△ABE∽△DCE，∴BEEC =ABCD=23，∴BEBC =25，∵EF//CD，∴△BEF∽△BCD，∴EFCD =BEBC=25，∵EF=6，∴CD=15，故答案为15．17.【答案】<【解析】解：∵二次函数y=ax2+c(a>0)，∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，∵点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，∴y1<y2．故答案为<．由于二次函数y=ax2+c(a>0)的图象的开口向上，对称轴为y轴，然后根据点A和点B离对称轴的远近可判断y1与y2的大小关系．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足解析式y= ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)．18.【答案】3215【解析】解：如图所示，过A作AH⊥BC于H，∵AB=AC=8，cosB=34，∴BH=6=CH，BC=12，由折叠可得，BD=DE=2，∠E=∠ABC=∠C，AB=AE=6，又∵∠AFC=∠DFE，∴△AFC∽△DFE，∴DFAF =EFCF=DEAC=14，设EF=x，则CF=4x，AF=8−x，∴DF=14AF=2−14x，∵BD+DF+CF=BC，∴2+2−14x+4x=12，解得x=3215，∴EF=3215，故答案为3215．过A作AH⊥BC于H，依据等腰三角形的性质即可得到BH=6=CH，由折叠可得，BD=DE=2，∠E=∠ABC=∠C，AB=AE=6，依据△AFC∽△DFE，即可得到DFAF =EFCF=DE AC =14，设EF=x，则CF=4x，AF=8−x，DF=14AF=2−14x，依据BD+DF+CF=BC，可得x的值，进而得出EF的长．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是利用相似三角形的对应边成比例，列方程求解．19.【答案】解：原式=4×√22+(√32)2−2×1√3−√2=2√2+34−2(√3+√2)=34−2√3．【解析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20.【答案】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC，∴ADBE =AGGE=3，∴BC BE =3， ∴EC ：BC =2：3． (2)23a ⃗ +43b ⃗ ，12a ⃗ +12b ⃗ .【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．(1)根据平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理即可解决问题；(2)利用三角形法则计算即可．【解答】解：(1)见答案；(2)∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AC =2AO ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b ⃗ ，∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +2b ⃗ ，EC =23BC ，∴EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ +43b ⃗ ， ∵AD//BE ，∴BG GD =EG AG =13，∴BG =14BD ，∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +a ⃗ +2b ⃗ =2a ⃗ +2b⃗ ， ∴BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(2a ⃗ +2b ⃗ )=12a ⃗ +12b ⃗ ， 故答案为23a ⃗ +43b ⃗ ，12a ⃗ +12b ⃗ ． 21.【答案】(1)证明：连接O 1A ，∵点E 为AD 的中点，∴O 1E ⊥AD ，∵⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，O 1O 2与AB 交于点C ，∴O 1C ⊥AB ，在Rt △O 1EA 和Rt △O 1CA 中，{O 1A =O 1A AE =AC， ∴Rt △O 1EA≌Rt △O 1CA(HL)∴O 1E =O 1C ；(2)解：设⊙O 2的半径长为r ，∵O 1E =O 1C =6，∴O 2C =10−6=4，在Rt △O 1EO 2中，O 2E =√O 1O 22−O 1E 2=8，则AC =AE =8−r ，在Rt △ACO 2中，O 2A 2=AC 2+O 2C 2，即r 2=(8−r)2+42，解得，r=5，即⊙O2的半径长为5．【解析】本题考查的是相交两圆的性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理的应用，掌握相交两圆的连心线，垂直平分两圆的公共弦是解题的关键．(1)连接O1A，根据垂径定理得到O1E⊥AD，根据相交两圆的性质得到O1C⊥AB，证明Rt△O1EA≌Rt△O1CA，根据全等三角形的性质证明结论；(2)设⊙O2的半径长为r，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．22.【答案】解：延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，则四边形EHGB是矩形，∵斜坡DE的坡长为13米，坡度i=1：2.4，∴设EH=5x，则DH=12x，∵EH2+DH2=DE2，∴(5x)2+(12x)2=132，∴x=1(负值舍去)，∴EH=5，DH=12，∵EB//DC，∴∠ABE=∠AGH=90°，∵∠AEB=45°，∴AB=BE，∴HG=AB，∴FG=5+12+AB，AG=AB+5，∵∠F=31°，∴tanF=tan31°=AGFG =AB+517+AB=0.6，∴AB=13米，答：铁塔AB的高度是13米．【解析】延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，则四边形EHGB是矩形，根据勾股定理得到EH=5，DH=12，根据三角函数的定义解直角三角形，然后列方程可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解直角三角形的应用−坡度坡角问题，矩形的性质，掌握的作出辅助线是解题的关键．23.【答案】证明：(1)∵AE2=AF⋅AB，∴AEAB =AFAE，∵∠EAF=∠BAE，∴△AEF∽△ABE，∴∠AEF=∠B，∵∠DAF=∠EAC，∴∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ACB．(2)∵△ADE∽△ACB，∴DE BC =AD AC ，∠D =∠C ，∵∠DAF =∠EAC ，∴△ADF∽△ACE ，∴AD AC =DF EC ， ∴DEBC=DF EC ， ∴DF DE =CE CB ．【解析】(1)由AE 2=AF ⋅AB ，推出△AEF∽△ABE ，推出∠AEF =∠B ，再证明∠DAE =∠BAC ，即可解决问题；(2)由△ADE∽△ACB ，推出DE BC =AD AC ，∠D =∠C ，再证明△ADF∽△ACE ，可得AD AC =DFEC ，由此即可解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24.【答案】解：(1)OB =3OA =3，则点B 的坐标为(3,0)，将点A 、B 的坐标代入二次函数表达式得：{0=a −b +c 0=9a +3b +c，解得：{a =1b =−2， 则抛物线的表达式为：y =x 2−2x −3…①，函数对称轴为x =−b2a =1，则点D 的坐标为(1,−4)；(2)如图，过点D 作DL ⊥y 轴，交于点E ，设：OE =m ，则EL =4−m ，OB =3，DL =1，∵∠LED +∠OEB =90°，∠OEB +∠OBE =90°，∴∠LED =∠OBE ，∴tan∠LED =tan∠OBE ，即：OE OB =LD EL ，m 3=14−m ，解得：m =1或3(舍去x =3)，则点E 的坐标为(0,−1)；(3)延长BD 交y 轴于点H ，将△BCH 围绕点B ，顺时针旋转135°至△BC′H′的位置，延长BH′交抛物线于点F ，∵OB=OC=3，∴∠OCB=∠OBC=45°，则∠FBD=135°，BC′⊥x轴，则点C′(3,3√2)，∠H′C′B=∠HCB=180°−45°=135°，tan∠ABD=−y DOB−x D =42=2，OH=OB⋅tan∠ABD=2×3=6，则：HC=6−3=3=H′C′，过点C′作C′G⊥GH′交于点G，在△BGH′中，GC′=H′C′cos45°=3√22=GH′，则点H′的坐标为(3−3√22,9√22)，将点H′、B的坐标代入一次函数表达式y=kx+b得：{0=3k+b9√22=(3−3√22)k+b，解得：{k=−3b=9，则直线BH′的表达式为：y=−3x+9…②，联立①②并解得：x=3或−4(x=3舍去)，故点F的坐标为(−4,21)．【解析】(1)把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；(2)设：OE=m，则EL=4−m，OB=3，DL=1，利用∠LED=∠OBE，即可求解；(3)延长BD交y轴于点H，将△BCH围绕点B顺时针旋转135°至△BC′H′的位置，延长BH′交抛物线于点F.确定直线BH′的表达式，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、图形旋转等知识，其中(3)用图形旋转的方法，确定旋转后图形的位置时本题的难点．25.【答案】解：(1)如图①中，作CH⊥AB于H．∵CH ⊥AB ，∴∠AHC =∠BHC =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACH +∠BCH =90°，∵∠ACH +∠A =90°，∴∠BCH =∠A ，∴△ACH∽△CBH ， ∴CH BH =AH CH ， ∵OC =2，∠COH =60°，∴∠OCH =30°，∴OH =12OC =1，CH =√3， ∴√3a−1=√3，整理得：2a 2−a −4=0，解得a =1+√334或1−√334(舍弃)．经检验a =1+√334是分式方程的解． ∴a =1+√334．(2)如图②中，设OC =x.作CH ⊥AB 于H ，则OH =x 2，CH =√32x.在Rt △ACH 中，∵AC 2=AH 2+CH 2，∴(3a)2=(√32x)2+(2a +12x)2，整理得：x 2+ax −5a 2=0，解得x =(√6−1)a 或(−√6−1)a(舍弃)，∴OC =(√6−1)a ；(3)如图②−1中，延长QC 交CB 的延长线于K ．∵∠AOC=∠∠AOQ+∠QOC=∠ABC+∠OCB，∠QOC=∠ABC，∴∠AOQ=∠KCO，∵AQ//BK，∴∠Q=∠K，∴△QOA∽△KCO，∴AQOK =OQKC，∴AQOQ =OKKC，∵∠K=∠K，∠KOB=∠AOQ=∠KCO，∴△KOB∽△KCO，∴OKKC =OBOC，∴AQOQ =OBOC=(√6−1)a=√6+15．【解析】(1)如图①中，作CH⊥AB于H.证明△ACH∽△CBH，可得CHBH =AHCH，由此构建方程即可解决问题．(2)如图②中，设OC=x.作CH⊥AB于H，则OH=x2，CH=√32x.在Rt△ACH中，根据AC2=AH2+CH2，构建方程即可解决问题．(3)如图②−1中，延长QC交CB的延长线于K.利用相似三角形的性质证明AQOQ =OBOC，即可解决问题．本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
2019年上海市青浦区中考数学一模试卷-解析版
2019年上海市青浦区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列图形中，一定相似的是()A. 两个正方形B. 两个菱形C. 两个直角三角形D. 两个等腰三角形2.如图，已知AB//CD//EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF=3：1，BE=10，那么CE等于()A. 103B. 203C. 52D. 1523.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，BC=a，那么AC等于()A. a⋅tanαB. a⋅cotαC. a⋅sinαD. a⋅cosα4.下列判断错误的是()A. 0⋅a⃗=0⃗B. 如果a⃗+b⃗ =2c⃗，a⃗−b⃗ =3c⃗，其中c⃗≠0⃗，那么a⃗//b⃗C. 设e⃗为单位向量，那么|e⃗|=1D. 如果|a⃗|=2|b⃗ |，那么a⃗=2b⃗ 或a⃗=−2b⃗5.如图，已知△ABC，D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，不能确定△ADE∽△ACB的是()A. ∠AED=∠BB. ∠BDE+∠C=180°C. AD⋅BC=AC⋅DED. AD⋅AB=AE⋅AC6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是()A. ac>0B. b>0C. a+c<0D. a+b+c=0二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.如果xx+y =25，那么xy=______．8.计算：3(a⃗−2b⃗ )−2(a⃗−3b⃗ )=______．9.两个相似三角形的相似比为1：3，则它们周长的比为______．10. 抛物线y =x 2−4x −1的顶点坐标是______．11. 抛物线y =−x 2+mx −3m 的对称轴是直线x =1，那么m =______．12. 抛物线y =x 2−2在y 轴右侧的部分是______.(填“上升”或“下降”)13. 如果α是锐角，且sinα=cos20°，那么α=______度．14.如图，某水库大坝的橫断面是梯形ABCD ，坝高为15米，迎水坡CD 的坡度为1：2.4，那么该水库迎水坡CD 的长度为______米．15. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 都在这些小正方形的顶点上，则tan∠ABC 的值为______．16. 在△ABC 中，AB =AC ，高AH 与中线BD 相交于点E ，如果BC =2，BD =3，那么AE =______．17. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =1，tan∠CAB =2，将△ABC 绕点A 旋转后，点B 落在AC的延长线上的点D ，点C 落在点E ，DE 与直线BC 相交于点F ，那么CF =______．18. 对于封闭的平面图形，如果图形上或图形内的点S 到图形上的任意一点P 之间的线段都在图形内或图形上，那么这样的点S 称为“亮点”.如图，对于封闭图形ABCDE ，S 1是“亮点”，S 2不是“亮点”，如果AB//DE ，AE//DC ，AB =2，AE =1，∠B =∠C =60°，那么该图形中所有“亮点”组成的图形的面积为______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19. 计算：(sin30°)−1+|1−cot30°|+√3tan30°−1cos 245∘．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，CE =2BE ，AC 、DE 相交于点F ．(1)求DF ：EF 的值；(2)如果CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，试用a ⃗ 、b ⃗ 表示向量EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ．21. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AE 2=AD ⋅AB ，∠ABE =∠ACB ． (1)求证：DE//BC ；(2)如果S △ADE ：S 四边形DBCE =1：8，求S △ADE ：S △BDE 的值．22. 如图，在港口A 的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B ，A 、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A 的北偏东67°方向上，有一渔船C 发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C 处？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125)23. 已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，点F 在DE 的延长线上，AD =AF ，AE ⋅CE =DE ⋅EF ．(1)求证：△ADE∽△ACD ；(2)如果AE ⋅BD =EF ⋅AF ，求证：AB =AC ．24.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=−x2平移后经过点A(−1,0)、B(4,0)，且平移后的抛物线与y轴交于点C(如图)．(1)求平移后的抛物线的表达式；(2)如果点D在线段CB上，且CD=√2，求∠CAD的正弦值；(3)点E在y轴上且位于点C的上方，点P在直线BC上，点Q在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ是菱形，求点Q的坐标．25.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BC=18，DB=DC=15，点E、F分别在线段BD、CD上，DE=DF=5.AE的延长线交边BC于点G，AF交BD于点N、其延长线交BC的延长线于点H．(1)求证：BG=CH；(2)设AD=x，△ADN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3)联结FG，当△HFG与△ADN相似时，求AD的长．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法．本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑．【解答】解：A、两个正方形，角都是直角，一定相等，四条边都相等，一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；C、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．故选：A．2.【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得到ADDF =BCCE=3，则BC=3CE，然后利用BC+CE=BE=10可计算出CE的长．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【解答】解：∵AB//CD//EF，∴ADDF =BCCE=3，∴BC=3CE，∵BC+CE=BE，∴3CE+CE=10，∴CE=52．故选：C．3.【答案】B【解析】【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．【解答】解：cotα=ACBC，∴AC=BC⋅cotα=a⋅cotα，故选：B．4.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答．考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．【解答】解：A.0⋅a⃗=0⃗，故本选项不符合题意．B.由a⃗+b⃗ =2c⃗，a⃗−b⃗ =3c⃗得到：a⃗=52c⃗，b⃗ =−12c⃗，故两向量方向相反，a⃗//b⃗ ，故本选项不符合题意．C.e⃗为单位向量，那么|e⃗|=1，故本选项不符合题意．D.由|a⃗|=2|b⃗ |只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意．故选：D．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．A和B：根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；C、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；D、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可．【解答】解：A.由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；B.由∠BDE+∠C=180°，∠ADE+∠BDE=180°，得∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；C.由AD⋅BC=AC⋅DE，得ADAC =DEBC不能判断△ADE∽△ACB；D.由AD⋅AB=AE⋅AC得ADAC =AEAB，∠A=∠A，故能确定△ADE∽△ACB，故选：C．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：A.由图象可知：a<0，c>0，∴ac<0，故A错误；B.由对称轴可知：x=−b2a<0，∴b<0，故B错误；C.由对称轴可知：x=−b2a=−1，∴b=2a，∵x=1时，y=0，∴a+b+c=0，∴c=−3a，∴a+c=a−3a=−2a>0，故C错误；故选D．7.【答案】23【解析】【分析】由xx+y =25可得x+yx=52，进一步得到1+yx=52，可求yx，进一步得到xy的值．考查了比例的性质，关键是得到1+yx =52．【解答】解：∵x x+y=25，∴x+yx =52，1+yx =52，y x =32，∴xy =23．故答案为：23．8.【答案】a⃗【解析】【分析】实数的运算法则同样适用于该题．考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加法结合律即可解题，属于基础计算题．【解答】解：3(a⃗−2b⃗ )−2(a⃗−3b⃗ )=3a⃗−3b⃗ −2a⃗+3b⃗=(3−2)a⃗+(−3+3)b⃗=a⃗．故答案是：a⃗．9.【答案】1：3【解析】【分析】由两个相似三角形的相似比为1：3，根据相似三角形周长的比等于相似比，即可求得答案．此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形周长的比等于相似比定理的应用是解此题的关键．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：3，∴它们的周长比为：1：3．故答案为：1：3．10.【答案】(2,−5)【解析】【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a(x−ℎ)2+k的顶点坐标为(ℎ,k)，对称轴为x=ℎ，此题还考查了配方法求顶点式．已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．【解答】解：∵y=x2−4x−1=x2−4x+4−4−1=(x−2)2−5，∴抛物线y=x2−4x−1的顶点坐标是(2,−5)．故答案为：(2,−5)11.【答案】2【解析】【分析】是解题的关键．本题考查了二次函数的性质，牢记抛物线的对称轴为直线x=−b2a由抛物线的对称轴为直线x=1，利用二次函数的性质可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y=−x2+mx−3m的对称轴是直线x=1，∴−m=1，2×(−1)∴m=2．故答案为2．12.【答案】上升【解析】【分析】本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数图象在对称轴右侧y随x的增大而增大是解题的关键．根据抛物线解析式可求得其对称轴，结合抛物线的增减性可得到答案．【解答】解：∵y=x2−2，∴其对称轴为y轴，且开口向上，∴在y轴右侧，y随x增大而增大，∴其图象在y轴右侧部分是上升，故答案为上升．13.【答案】70【解析】【分析】此题主要考查了互余两角三角函数的关系，正确把握相关性质是解题关键．直接利用sinA=cos(90°−∠A)，进而得出答案．【解答】解：∵sinα=cos20°，∴α=90°−20°=70°．故答案为：70．14.【答案】39【解析】【分析】直接利用坡度的定义得出EC的长，进而利用勾股定理得出答案．此题主要考查了坡度的定义，正确得出EC的长是解题关键．【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，∵坝高为15米，迎水坡CD的坡度为1：2.4，∴DE=15m，则DEEC =12.4，故EC=2.4×15=36(m)，则在Rt△DEC中，DC=√ED2+EC2=39(m)．故答案为：39．15.【答案】12【解析】【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．根据题意和勾股定理的逆定理、锐角三角函数可以求得tan∠ABC的值．【解答】解：连接CD，如右图所示，设每个小正方形的边长为a，则CD=√2a，BD=2√2a，BC=√10a，∵(2√2a)2+(√2a)2=(√10a)2，∴△BCD是直角三角形，∴tan∠ABC=tan∠DBC=CDBD =√2a2√2a=12，故答案为：12．16.【答案】2√3【解析】【分析】连接DH，依据等腰三角形的性质，即可得到DH为△ABC的中位线，依据△DEH∽△BEA，即可得到BE=2，进而得出AE的长．本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【解答】解：如图所示，连接DH，∵AB=AC，AH⊥BC，∴H为BC的中点，又∵D为AC的中点，∴DH为△ABC的中位线，∴DH//AB，DH=12AB，∴△DEH∽△BEA，∴EDEB =DHBA=12=EHEA，又∵BD=3，∴BE=2，∴Rt△BEH中，EH=√BE2−BH2=√3，∴AE=2EH=2√3，故答案为：2√3．17.【答案】√5−12【解析】【分析】根据已知条件得到BC=AC⋅tan∠CAB=2，根据勾股定理得到AB=√AC2+BC2=√5，根据旋转的性质得到AD=AB=√5，∠D=∠B，根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正确的画出图形是解题的关键．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，tan∠CAB=2，∴BC=AC⋅tan∠CAB=2，∴AB=√AC2+BC2=√5，∵将△ABC绕点A旋转后，点B落在AC的延长线上的点D，∴AD=AB=√5，∠D=∠B，∴∠CFD=∠CAB∵AC=1，∴CD=√5−1，∵∠FCD=∠ACB=90°，∴CDCF=tan∠CFD=tan∠CAB=2，∴CF=√5−12，故答案为：√5−12．18.【答案】√34【解析】【分析】如图，延长DE交BC于点M，延长AE交BC于点N.由题意：该图形中所有“亮点”组成的图形是△EMN，证明△EMN是等边三角形，求出EN即可．本题考查平行线的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【解答】解：如图，延长DE交BC于点M，延长AE交BC于点N．由题意：该图形中所有“亮点”组成的图形是△EMN，∵AB//DE，AE//DC，∴∠EMN=∠B=60°，∠ENM=∠C=60°，∴△EMN，△ABN是等边三角形，∴AN=AB=2，∵AE=1，∴EN=1，∴S△EMN=√34×12=√34．故答案为√34．19.【答案】解：(sin30°)−1+|1−cot30°|+√3tan30°−1cos245∘=(12)−1+|1−√3|+√3×√33−1(√22)2=2+√3−1+1−2=√3．【解析】本题涉及特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．20.【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD =BC ，AD//BC ， ∴DFEF =ADEC ， ∵CE =2BE ， ∴BC EC =32， ∴DF EF =32． (2)∵CE =2BE ， ∴CE =23CB ，∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ ，∵ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CE⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −23a ⃗ ，∵DF EF=32，∴EF =25ED ，∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =25ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =25(b ⃗ −23a ⃗ )=25b ⃗ −415a ⃗ ．【解析】(1)利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；(2)利用三角形法则即可解决问题；本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21.【答案】解：(1)证明：∵AE 2=AD ⋅AB ， ∴AEAD =ABAE ，又∵∠EAD =∠BAE ， ∴△AED∽△ABE ， ∴∠AED =∠ABE ， ∵∠ABE =∠ACB ， ∴∠AED =∠ACB ， ∴DE//BC ； (2)∵DE//BC ， ∴△ADE∽△ABC ，， ，，∴(ADAB )2=19，∴ADAB =13，∴ADDB =12，．【解析】本题考查了平行线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．(1)根据已知条件得到AEAD =ABAE，根据相似三角形的性质得到∠AED=∠ABE，从而∠AED=∠ACB，根据平行线的判定定理即可得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到，由已知条件得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．22.【答案】解：过点A作AH⊥BC，垂足为点H．由题意，得∠ACH=67°，∠B=37°，AB=20．在Rt△ABH中，∵sinB=AHAB，∴AH=AB⋅sin∠B=20×sin37°≈12，∵cosB=BHAB，∴BH=AB⋅cos∠B=20×cos37°≈16，在Rt△ACH中，∵tan∠ACH=tan∠ACH=AHCH AH CH，∴CH=AHtan∠ACH =12tan67∘≈5，∵BC=BH+CH，∴BC≈16+5=21．∵21÷25<1，所以，巡逻艇能在1小时内到达渔船C处．【解析】由已知可得△ABC中∠C=67°，∠B=37°且AB=20海里．要求BC的长，可以过A作AD⊥BC于D，先求出CD和BD的长，就可转化为运用三角函数解直角三角形．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．23.【答案】证明：(1)∵AD=AF，∴∠ADF=∠F，∵AE⋅CE=DE⋅EF，∴AEDE =EFCE，又∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF∽△DEC，∴∠F=∠C，∴∠ADF=∠C，又∵∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD；(2)∵AE⋅BD=EF⋅AF，∴AEAF =EFBD，∵AD=AF，∵∠AEF =∠EAD +∠ADE ，∠ADB =∠EAD +∠C ， ∴∠AEF =∠ADB ， ∴△AEF∽△ADB ， ∴∠F =∠B ， ∴∠C =∠B ， ∴AB =AC ．【解析】本题考查等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．(1)由AE ⋅CE =DE ⋅EF ，推出△AEF∽△DEC ，可得∠F =∠C ，再证明∠ADF =∠C ，即可解决问题；(2)欲证明AB =AC ，利用相似三角形的性质证明∠B =∠C 即可．24.【答案】解：(1)设平移后的抛物线的解析式为y =−x 2+bx +c ， 将A(−1,0)、B(4,0)，代入得{−1−b +c =0−16+4b +c =0.，解得：{b =3c =4.，所以，y =−x 2+3x +4； (2)如图1∵y =−x 2+3x +4， ∴点C 的坐标为(0,4)，设直线BC 的解析式为y =kx +4，将B(4,0)，代入得kx +4=0，解得k =−1， ∴y =−x +4．设点D 的坐标为(m,4−m)．∵CD =√2，∴2=2m 2，解得m =1或m =−1(舍去)， ∴点D 的坐标为(1,3)．过点D 作DM ⊥AC ，过点B 作BN ⊥AC ，垂足分别为点M 、N ． ∵12AC ⋅BN =12AB ⋅OC ， ∴√17⋅BN =5×4， ∴BN =√17=20√1717，∵DM//BN ，∴DM BN=CDCB ，∴DM=5√1717，∴sin∠CAD=DMAD =5√1717×√13=5√221221；(3)如图2设点Q的坐标为(n,−n2+3n+4)．如果四边形ECPQ是菱形，则n>0，PQ//y轴，PQ=PC，点P的坐标为(n,−n+4)．∵PQ=−n2+3n+4+n−4=4n−n2，PC=√2n，∴4n−n2=√2n，解得n=4−√2或n=0(舍)．∴点Q的坐标为(4−√2,5√2−2).【解析】(1)根据平移前后a的值不变，用待定系数法求解即可；(2)求出直线BC的解析式，确定点D的坐标，过点D作DM⊥AC，过点B作BN⊥AC，垂足分别为点M、N，运用面积法求出BN，再根据相似三角形的性质求出DM，根据直角三角函数求解即可；(3)设点Q的坐标为(n,−n2+3n+4)，如果四边形ECPQ是菱形，则n>0，PQ//y轴，PQ=PC，点P的坐标为(n,−n+4)，根据邻边相等列出方程即可求解．此题主要考查二次函数综合问题，会灵活运用待定系数法求抛物线，直线的解析式，会运用面积法，相似三角形性质求相关线段，会根据菱形性质确定顶点坐标是解题的关键．25.【答案】解：(1)∵AD//BC，∴ADBG =DEEB，ADCH=DFFC．∵DB=DC=15，DE=DF=5，∴DEEB =DFFC=12，∴ADBG =ADCH．∴BG=CH；(2)过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q．∵DB=DC=15，BC=18，∴BP=CP=9，DP=12．∵ADBG =DEEB=12，∴BG=CH=2x，∴BH=18+2x．∵AD//BC，∴ADBH =DNNB，∴x18+2x =DNNB，∴x18+2x+x =DNNB+DN=DN15，∴DN=5xx+6．∵AD//BC，∴∠ADN=∠DBC，∴sin∠ADN=sin∠DBC，∴NQDN =PDBD，∴NQ=4xx+6．∴y=12AD⋅NQ=12x⋅4x6+x=2x2x+6(0<x≤9)；(3)∵AD//BC，∴∠DAN=∠FHG．(i)当∠ADN=∠FGH时，∵∠ADN=∠DBC，∴∠DBC=∠FGH，∴BD//FG，∴BGBC =DFDC，∴BG18=515，∴BG=6，∴AD=3．(ii)当∠ADN=∠GFH时，∵∠ADN=∠DBC=∠DCB，又∵∠AND=∠FGH，∴△ADN∽△FCG．∴AD DN =FCCG ， ∴x ⋅(18−2x)=5x x+6⋅10，整理得x 2−3x −29=0，解得 x =3+5√52，或x =3−5√52(舍去)．综上所述，当△HFG 与△ADN 相似时，AD 的长为3或3+5√52．【解析】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用等知识点． (1)由AD//BC 知ADBG =DEEB ，ADCH =DFFC，结合DB =DC =15，DE =DF =5知DE EB =DF FC=12，从而得ADBG =ADCH ，据此可得答案；(2)作DP ⊥BC ，NQ ⊥AD ，求得BP =CP =9，DP =12，由ADBG =DEEB =12知BG =CH =2x ，BH =18+2x ，根据ADBH =DNNB 得x18+2x+x =DNNB+DN =DN15，即DN =5x x+6，再根据NQ DN =PDBD 知NQ =4x x+6，由三角形的面积公式可得答案；(3)分∠ADN =∠FGH 和∠ADN =∠GFH 两种情况分别求解可得．。
2019年上海市静安区中考数学一模试卷含答案解析
2019年上海市静安区中考数学一模试卷
一、选择题（每小题4分，共24分）
1．a（a＞0）等于（）
A．B．﹣C．D．﹣
2．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）
A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣4
3．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，=，要使DE∥BC，还需满足下列条件中的（）
A．=B．=C．=D．=
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=m，∠A=α，那么AC的长为（）A．m?sinαB．m?cosαC．m?tanαD．m?cotα
5．如果锐角α的正弦值为，那么下列结论中正确的是（）
A．α=30°B．α=45°C．30°＜α＜45° D．45°＜α＜60°
6．将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线y=ax2﹣1上的点A（2，3）同时平移到A′，那么点A′的坐标为（）
A．（3，4） B．（1，2） C．（3，2） D．（1，4）
二．填空题（每个小题4分，共48分）
7．16的平方根是．
8．如果代数式有意义，那么x的取值范围为．
9．方程+=1的根为．
10．如果一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限，那么常数m的取值范围为．
11．二次函数y=x2﹣8x+10的图象的顶点坐标是．
12．如果点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，那么m的值
第1页（共23页）。
2019上海各区中考数学一模压轴题18题图文解析
例2015年上海市宝山区中考一模第18题如图1，在直角梯形ABCD中，AD//BC，CD＝2，AB＝BC，AD＝1．动点M、N分别在AB边和BC的延长线上运动，且AM＝CN，联结AC交MN于点E，MH⊥AC于H，则EH＝____ _____．图1动感体验图2例2015年上海市崇明县中考一模第18题如图1，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C 落在点Q处，EQ与BC交于点G，那么△EBG的周长是________．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14崇明一模18”，可以体验到，FB＝FD，△FAE与△EBQ相解得△EBG的周长＝12．例2015年上海市奉贤区中考一模第18题在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．在平面内将△ABC绕点B旋转，点A落到点A′，点C落到点C′，若旋转后点C的对应点C′和点A、B正好在同一直线上，那么∠A′AC′的正切值等于________．动感体验请打开几何画板文件名“14奉贤一模18”，拖动点C′绕着点B旋转，可以体验到，点C′可以落在线段AB上（如图1），也可以落在AB的延长线上（如图2）．答案3或1．思路如下：3如图1，当点C′落在线段AB上时，AC′＝AB－BC′＝5－4＝1，A′C′＝3．如图2，当点C′落在线段AB的延长线上时，AC′＝AB＋BC′＝5＋4＝9，A′C′＝3．图1 图2例 2015年上海市虹口区中考一模第18题如图1，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，联结DE ，点F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B ．若AB ＝5，AD ＝8，AE ＝4，则AF 的长为________．图1动感体验请打开几何画板文件名“14虹口一模18”，可以体验到，在△AEF 中，已知两个角和其中一个角的对边，求AF 的长，AF 是直角三角形AFH 的斜边．在Rt △AFH 中，AH ，sin ∠AFE ＝sin ∠B ＝45，所以AF ＝sin AH B＝图2 图3例 2015年上海市黄浦区中考一模第18题如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，BE ⊥CD ，垂足为E ，联结AE ，∠AEB ＝∠C ，且2cos 5C ∠=，若AD ＝1，则AE 的长是______．图1动感体验请打开几何画板文件名“14黄浦一模18”，拖动点A 运动，可以体验到，△ADE 、例2015年上海市嘉定区中考一模第18题如图1，在△ABC中，AB＝9，AC＝5，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D．△ABD沿直线AD翻折后，点B落到点B1处，如果∠B1DC＝12∠BAC，那么BD＝_______．图1动感体验请打开几何画板文件名“14嘉定一模18”，拖动点C绕点A旋转，可以体验到，AB1与A图2例2015年上海市金山区中考一模第18题如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．将△ABC绕着点C旋转90°，点A、B的对应点分别为D、E，那么tan∠ADE的值为_________．图1动感体验请打开几何画板文件名“14金山18”，拖动点D绕着点C旋转，可以体验到，旋转90°存在顺时针和逆时针两种情况，因此∠ADE的大小存在两种情况．在Rt△ADH中，DH＝DE－EH＝5－215＝45，所以tan∠ADE＝AHDH＝7．图2 图3例2015年上海市浦东新区中考一模第18题把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们把这样的三角形运动称为三角形的T-变换，这个顶点称为T-变换中心，旋转角称为T-变换角，放大或缩小的三角形与原三角形的对应边之比称为T-变换比．已知△ABC在直角坐标平面内，点A(0,－1)，B(，C(0, 2)，将△ABC进行T-变换，T-变换中心为点A，T-变换角为60°，T-变换比为23，那么经过T-变换后点C所对应的点的坐标为________．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14浦东新区18”，拖动点B′绕着点A逆时针旋转，可以体验到此时点H与点O重合，所以点C′′的坐标为(,0)．图1 图2例2015年上海市普陀区中考数学一模第18题如图1，已知△ABC中，AB＝AC，tan B＝2，AD⊥BC于D，G是△ABC的重心．将△ABC绕着重心G旋转，得到三角形A′B′C′，并且点B′在直线AD上，联结CC′，那么tan∠CC′B′的值等于________________．图1动感体验打开几何画板文件名“15普陀一模18”，拖动点在B′绕重心G旋转，可以体验到，当B′落在直线AD上时，C、C′、D′三点共线，∠CC ′B′就是Rt△CC′D′的一个锐角（如图2，图3）．图2 图3 图4例 2015年上海市徐汇区中考数学一模第18题如图1，△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8．点M 、N 分别在边AB 、BC 上，沿直线MN 将△ABC 折叠．点B 落在点P 处，如果AP //BC 且AP ＝4，那么BN ＝_____．图1动感体验打开几何画板文件名“15徐汇一模18”，可以体验到，△BAP 与△NBM 相似，△MAP图2 图3 图4【方法2】如图4，作NH ⊥AP ，垂足为H ，那么△MAP ∽△PHN ．所以MA AP PM PH HN NP==．设BN ＝PN ＝n ，那么PH ＝AH －AP ＝n －4．所以446MA PM n n ==-．所以+446MA PM n n =-+，即4246AB n =-．所以64246n =-．解得n ＝132．例 2015年上海市闸北区中考一模第18题如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 在边AB 上，线段DC 绕点D 逆时针旋转，端点C 恰好落在边AC 上的点E 处．如果AD DB ＝m ，AE EC＝n ，那么m 与n 满足的关系式是m ＝_______（用含n 的代数式表示m）．图1动感体验请打开几何画板文件名“14闸北一模18”，拖动点D 在AB 上运动，观察m 随n 变化的函数图像，可以体验到，m 是n 的一次函数．答案 2n ＋1．思路如下：如图2，作DH ⊥AC ，垂足为H ．由于DC ＝DE ，所以H 是EC 的中点．已知AE EC ＝n ＝1n ，所以122+112n AH n HC+==．因此m ＝AD DB ＝2+1AH n HC =． 图2例 2015年上海市长宁区中考一模第18题如图1，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转，得到正方形AB ′C ′D ′．当两正方形重叠部分的面积是原正方形面积的14时，1sin '2B AD ＝_________．图1当重叠部分的面积等于原正方形面积的14时，DE 的长等于正方形边长的14．设正方形的边长为4，此时DE ＝1，所以sin ∠EAD ．图2。