2019上海初三数学一模综合题25题
上海市长宁区金山区2019届中考一模数学试题含答案
2019上海长宁区初三数学一模试题(与金山统考)（满分150分，考试时间100分钟） 2019.1.6考生注意：1、本试卷含有三个大题，共25小题；2、答题时，考生务必按照答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤一、选择题：（本题共6个小题，每题4分，共24分）1. 如果两个三角形的相似比是1:2，那么他们的面积比是（ ）.A. 1:2B. 1:4C. 1D. 2:12. 如图，在△ABC 中，∠ADE=∠B ，DE:BC=2:3，则下列结论正确的是（ ）.A. AD :AB =2:3B. AE:AC =2:5C. AD:DB =2:3D. CE:AE =3:23.在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =2，AC =1，则sin B 的值是（ ）.A. B. C. 12 D. 2 4. 在△ABC 中，若cos A =22，tan B =3，则这个三角形一定是（ ）. A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形5. 已知1O 的半径r 为3cm ，2O 的半径R 为4cm ，两圆的圆心距12O O 为1cm ，则这两个圆的位置关系的（ ）.A. 相交B. 内含C. 内切D. 外切 6. 二次函数1)2(2-+=x y 的图像可以由二次函数2x y =的图像平移得到，下列平移正确的是（ ）.A. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7. 已知抛物线12+=x y 的顶点坐标是 .8. 已知抛物线32++=bx x y 的对称轴为直线x =1，则实数b 的值为 .9. 已知二次函数bx ax y +=2，阅读下面表格信息，由此可知y 与x 的函数关系式是 .10. 已知二次函数2(3)y x =-图像上的两点()3,A a 和(),B x b ，则a 和b 的大小关系是a b .11. 圆是轴对称图形，它的对称轴是 .12. 已知⊙O 的弦AB =8cm ，弦心距OC =3cm ，那么该圆的半径是 cm.13. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 垂直AB ，已知AC =1，BC =22,那么sin ∠ACD 的值是 .14. 王小勇操纵一辆遥控汽车从A 处沿北偏西60°方向走10m 到B 处，再从B 处向正南方走20m 到C 处，此时遥控汽车离A 处 m .15. 已知△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，设AD m =，那么用m 表示AG = .16. 如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED =1，BD =4，那么AB = .17. 的矩形称作黄金矩形。
长宁区2019学年初三一模数学试卷含答案
长宁区2019学年初三⼀模数学试卷含答案长宁区2019学年第⼀学期初三数学教学质量检测试卷（考试时间：100分钟满分：150分）考⽣注意:1.本试卷含三个⼤题,共25题.答题时,考⽣务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题⼀律⽆效.2.除第⼀、⼆⼤题外,其余各题如⽆特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤.⼀、选择题（本⼤题共6题, 每题4分, 满分24分）【每题只有⼀个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上⽤2B 铅笔正确填涂】 1. 下列函数中是⼆次函数的是（A ）22xy =；（B ）22)3(x x y -+=；（C ）122-+=x x y ；（D ）)1(-=x x y . 2. 如图，已知在平⾯直⾓坐标系xOy 内有⼀点），（32A ，那么OA 与x的夹⾓α的余切值是（A ）23；（B ）32；（C ）13133；（D ） 13132.3. 将抛物线3)1(2-+=x y 向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（A ） 3)1(2--=x y ；（B ）3)3(2-+=x y ；（C ）1)1(2-+=x y ；（D ）5)1(2-+=x y . 4. 下列命题正确的是（A ）如果b a=，那么b a =；（B ）如果b a 、都是单位向量，那么b a =；（C ）如果)0(≠=k b k a ，那么b a// ；（D ）如果0=m 或0 =a ，那么0=a m．5. 已知在矩形ABCD 中，5=AB ，对⾓线13=AC ，⊙C 的半径长为12，下列说法正确的是（A ）⊙C 与直线AB 相交；（B ）⊙C 与直线AD 相切；（C ）点A 在⊙C 上；（D ）点D 在⊙C 内.6. 如果点D 、E 、F 分别在ABC ?的边AB 、BC 、AC 上，联结EF DE 、，且AC DE //，那么下列说法错误的是（A ）如果AB EF //，那么AB BD AC AF ::=；（B ）如果AC CF AB AD ::=，那么AB EF //；（C ）如果EFC ?∽BAC ?，那么AB EF //；（D 如果AB EF //，那么EFC ?∽BDE ?.第2题图⼆、填空题（本⼤题共12题, 每题4分, 满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7. 计算：=++-)(3)2(2b a b a▲．8. 如果23=-y x x ，那么y x 的值等于▲．9. 已知点P 在线段AB 上，且满⾜AP AB BP ?=2，则ABBP的值等于▲． 10. 已知抛物线2)1(x a y +=的开⼝向上，则a 的取值范围是▲． 11. 抛物线122-=x y 在y 轴左侧的部分是▲．（填“上升”或“下降”） 12. 如果⼀条抛物线经过点)5,2(A ，)5,3(-B ，那么它的对称轴是直线▲．13. 如图，传送带把物体从地⾯送到离地⾯5⽶⾼的地⽅，如果传送带与地⾯所成的斜坡的坡度4.2:1=i ，那么物体所经过的路程AB 为▲⽶．14. 如图，AC 与BE 交于点D ，?=∠=∠90E A ，若点D 是线段AC 的中点，且10==AC AB ，则BE 的长等于▲．15. 如图，在ABC Rt ?中，?=∠90BAC ，点G 是重⼼， 4=AC ，31tan =∠ABG ，则BG 的长是▲．16. 已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆⼼距为17，则这两圆的公共弦长为▲． 17. 如果直线l 把ABC ?分割后的两个部分⾯积相等，且周长也相等，那么就把直线l 叫做ABC ?的“完美分割线”．已知在ABC ?中，AC AB =，ABC ?的⼀条“完美分割线”为直线l ，且直线l 平⾏于BC ，若2=AB ，则BC 的长等于▲．18. 如图，在ABC Rt ?中，?=∠90ABC ，2=AB ，4=BC ，点P 在边BC 上，联结AP ，将ABP ?绕着点A 旋转，使得点P 与边AC 的中点M 重合，点B 的对应点是点B '，则B B '的长等于▲．三、解答题（本⼤题共7题, 满分78分）【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分）计算：22sin 30tan 60cot 45cos 60cos30sin 45-?+?-．第15题图第18题图AB第13题图传送带第14题图E DB CA20．（本题满分10分，第（1）⼩题6分，第（2）⼩题4分）如图，在梯形ABCD 中，点E 、 F 分别在边AB 、CD 上，BC EF AD ////，EF 与BD 交于点G ，5=AD ，10=BC ，32=EB AE ．（1）求EF 的长；（2）设a AB =，b BC =，那么=DB ▲；=FC ▲（⽤向量a 、b 表⽰）．21．（本题满分10分，第（1）⼩题5分，第（2）⼩题5分）如图，已知AB 是⊙O 的弦，点C 在⊙O 上，且AC BC =，联结AO 、CO ，并延长CO 交弦AB 于点D ，34=AB ，6=CD （1）求OAB ∠的⼤⼩；（2）若点E 在⊙O 上，AO BE //，求BE 的长．22．（本题满分10分）图1是⼀台实物投影仪，图2是它的⽰意图，折线C B A O ---表⽰⽀架，⽀架的⼀部分B A O --是固定的，另⼀部分BC 是可旋转的，线段CD 表⽰投影探头，OM 表⽰⽔平桌⾯，OM AO ⊥，垂⾜为点O ，且7cm =AO ，?=∠160BAO ，OM BC //，cm 8=CD ．将图2中的BC 绕点B 向下旋转?45，使得BCD 落在D C B ''的位置（如图3所⽰），此时OM D C ⊥''，OM D A //'，16cm ='D A ，求点B 到⽔平桌⾯OM 的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1 cm ）23.（本题满分12分，第（1）⼩题5分，第（2）⼩题7分）如图，在ABC ?中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，AE 与CD 交于点F ．若AE 平分BAC ∠，AE AC AF AB ?=?（1）求证：AEC AFD ∠=∠；（2）若CD EG //，交边AC 的延长线于点G ，求证：BD FC CG CD ?=?．第20题图 A B CD E FG图1第21题图 ABCD O图3MD 'OA BC ' 45°160°第23题图GAC E DF 图2 M O A B160°C D24.（本题满分12分，每⼩题4分）如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，抛物线n mx x y ++=231经过点)1,6(B 、)0,5(C ，且与y 轴交于点A ．（1）求抛物线的表达式及点A 的坐标；（2）点P 是y 轴右侧抛物线上的⼀点，过点P 作OA PQ ⊥，交线段OA 的延长线于点Q ，如果=∠45PAB ，求证：PQA Δ∽ACB Δ；（3）若点F 是线段AB （不包含端点）上的⼀点，且点F 关于AC 的对称点F '恰好在上述抛物线上，求F F '的长．25.（本题满分14分，第（1）⼩题4分，第（2）⼩题6分，第（3）⼩题4分）如图，已知在ABC Rt ?中，?=∠90C ，8=AC ，6=BC ，点P 、Q 分别在边AC 、射线CB 上，且CQ AP =，过点P 作AB PM ⊥，垂⾜为点M ，联结PQ ．以PM 、PQ 为邻边作平⾏四边形PQNM ．设x AP =，平⾏四边形PQNM 的⾯积为y ．（1）当平⾏四边形PQNM 为矩形时，求PQM ∠的正切值；（2）当点N 在ABC ?内，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点P 且平⾏于BC 的直线经过平⾏四边形PQNM ⼀边的中点时，直接写出x 的值．ABC备⽤图ABCP QM NABC备⽤图x长宁区2019学年第⼀学期初三数学参考答案和评分建议2019.1⼀、选择题：（本⼤题共6题，每题4分，满分24分） 1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．D ； 6．C ．⼆．填空题：（本⼤题共12题，满分48分） 7．b a-5； 8．3； 9．215-； 10．1->a ； 11．下降； 12．21-=x ； 13．13； 14．56； 15．3104； 16．17240； 17．424-； 18．5102．三、（本⼤题共7题，满分78分）19. （本题满分10分）解：原式= 2123211)3(212-+-? (6分) =132- (2分) =13+ (2分) 20．（本题满分10分，第（1）⼩题6分，第（2）⼩题4分）解：（1）∵32=EB AE ∴35=EB AB ， 52=AB AE （1分）∵AD EF // ∴EB ABEG AD =∵5=AD ∴355=EG ∴ 3=EG （2分）∵BC EF // ∴DC DF BC GF = ⼜∵BC EF AD //// ∴DCDFAB AE =∴AB AE BC GF = ∵10=BC ∴5210=GF ∴4=GF （2分）∴743=+=+=GF EG EF （1分）（2）21-=，10353+= （2分+2分） 21．（本题满分10分，第（1）⼩题5分，第（2）⼩题5分）解：（1）设圆O 的半径为r ,则OD 的长为r -6 （1分）∵CD 过圆⼼O , AC BC = ∴3221==AB AD ，AB CD ⊥（1分）在ADO Rt ?中，?=∠90ADO ∴ 222OD AD AO +=∴222)6()32(r r -+= ∴4=r （2分）在ADO Rt ?中，?=∠90ADO ， 23432cos ===∠AO AD BAO ∴ ?=∠30BAO （1分） (2) 过点O 作 BE OH ⊥，垂⾜为点H ，∴BH BE 2= （1分）∵ AO BE // ∴?=∠=∠30OAB EBA （1分）联结BO ，∴ 4==AO BO ∴?=∠=∠30OAB OBA∴?=∠+∠=∠60OBA EBA OBH （1分）在OBH Rt ?中，?=∠90BHO ， BOBH OBH =∠cos ∴260cos 4==?BH （1分）∴42==BH BE （1分） 22．（本题满分10分）解：过点B 作C D ''的垂线交C D ''的延长线于点E ，延长OA 交BE 于点F ，设x E C ='，由题意可知：=∠70EBA ，?='∠45C EB ，8=''D C ，16='=D A EF ，8+='=x E D AF （4分）在 C BE Rt '?中，?='∠90C BE ， EC BEC EB '='∠cot 得 x E C E C C EB E C BE ='='='∠'=?45cot cot （1分）∴ 16-=-=x EF BE BF （1分）在 BFA Rt ?中，?=∠90BFA ， BF AF ABF =∠tan 得16870tan -+=?x x ∴5.2936.0136.081670cot 170cot 816=-?+≈-+=x （1分）∴cm 455.44785.2978≈=++≈++=+=x AO AF FO ．（1分）∴点B 到⽔平桌⾯OM 的距离约为45cm （1分） 23．（本题满分12分，第（1）⼩题5分，第（2）⼩题7分）证明：（1）∵AE AC AF AB ?=? ∴AFAEAC AB =（1分）∵AE 平分BAC ∠∴CAF BAE ∠=∠（1分）∴ABE ?∽ACF ? （1分）∴ACF B ∠=∠（1分）⼜∵BAE B AEC CAF ACF AFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,∴AEC AFD ∠=∠（1分） (2)∵AEC AFD ∠=∠，CFE AFD ∠=∠∴AEC CFE ∠=∠（1分）∴CE FC = （1分）∵CD EG // ∴CEG DCB ∠=∠ G ACF ∠=∠⼜∵B ACF ∠=∠∴G B ∠=∠（2分）∴BCD ?∽GEC ? （1分）∴CG BDCE CD =（1分）∴CGBD FC CD =即BD FC CG CD ?=?．（1分） 24．（本题满分12分，每⼩题4分）解：（1）∵抛物线n mx x y ++=231过点)1,6(B 、 )0,5(C ∴ =++?=++?055311663122n m n m ∴=-=538n m （2分）∴538312+-=x x y （1分）令0=x 得5=y ，∴点A 的坐标为)5,0( （1分）（2）∵)5,0(A ，)1,6(B ，)0,5(C ∴25=AC ，2=BC ，132=AB∴222BC AC AB += ∴?=∠90ACB⼜∵OA PQ ⊥∴?=∠90PQA ∴ACB PQA ∠=∠（1分）∵)5,0(A ，)0,5(C ∴OC OA =，∵?=∠90AOC ∴?=∠=∠45OCA OAC （1分）∵?=∠+∠+∠+∠180CAO BAC PAB QAP ， ?=∠45PAB∴?=∠+∠90BAC QAP ∵?=∠+∠90BAC ABC ∴ABC QAP ∠=∠（1分）∴PQA Δ∽ACB Δ （1分）（3）设点B '是点B 关于直线AC 的对称点，则2=='BC C B ，?=∠='∠90ACB B AC过点B 作x B ⊥'G 轴，垂⾜为点G ∵?=∠+'∠90OCA CO B ， ?=∠45OC A ，∴?='∠45CO B ∴1=='GC G B ∴），（1-4B ' （1分）∵点F '同时在线段B A '与抛物线上，∴设)53831,(F 2+-'x x x 分别过点F '，B '作轴y H F ⊥'，轴y H ⊥''B ，垂⾜分别为H 、H '，则H B H//F '''∴H A AH H B H F B A F A '='''='' 即6313842xx x -= ∴27=x （1分）⼜∵AC F F ⊥'，AC B B ⊥' ∴B //B F F '' ∴ B B F F B A F A ''='' ∴ 87427=='''=''H B H F B B F F （1分）∵222==BC BB ∴8722='F F ∴247='F F （1分）25．（本题满分14分，第（1）⼩题4分，第（2）⼩题6分，第（3）⼩题4分）解：（1）∵四边形PQNM 是矩形∴?=∠90MPQ ∵AB PM ⊥，∴?=∠90PMB∴?=∠+∠180PMB MPQ ∴AB PQ // ∴CPQ A ∠=∠（1分）在ABC Rt ?中，?=∠90C ，8=AC ，6=BC ，∴10=AB ， 53106sin ===AB BC A ∴在PMA Rt ?中，?=∠90AMP ，AP A AP PM 53sin =?= （1分）在PCQ Rt ?中，?=∠90C ，CQ CPQ CQ PQ 35sin =∠=∵CQ AP = ∴AP PQ 35=（1分）∴ 2593553tan ===∠AP APPQ PM PQM （ 1分）（2）过点Q 作AB QH ⊥，垂⾜为点H 在ABC Rt ?中，?=∠90C ，8=AC ，6=BC ，10=AB∴ 54108cos ===AB AC A ， 53106cos ===AB BC B ∴在PMA Rt ?中，?=∠90AMP ，x AP A AP AM 5454cos ==?= （1分）在BHQ Rt ?中，?=∠90BHQ ，x CQ BC BQ -=-=6 ∴ )6(53cos x B BQ BH -== （1分）∴ x x x BH AM AB MH 51532)6(535410-=---=--= （1分）由（1）知，x PM 53=，∴)7240(2532596)51532(532<<-=-=?=x x x x x MH PM y （ 2+1分）（3） 43200或59400 （ 2+2分）。
上海市徐汇区2019年中考一模(即期末)数学试题及答案(word版)
2019学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷初三年级数学学科 2019.1(满分150分，考试时间100分钟)考生注意：1. 本试卷含3个大题，共25题；2. 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。
一、 选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1. 在比例尺为1:2000的地图上测得A 、B 两地间的图上距离为5cm ，则A 、B 两地间的实际距离为( ) (A) 10m ；(B) 25m ；(C) 100m ；(D) 10000m.2. 在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( )(A)513 (B) 1213 (C) 512(D)1353. 抛物线()21232y x =--的顶点坐标是( )(A) ()2,3 (B) ()2,3-(C) ()2,3-(D) ()2,3--4. 已知抛物线()232y ax x a =++-，a 是常数且a <0，下列选项中可能是它大致图像的是( )5. 下列命题中是假命题的是( )(A) 若,a b b c ==，则a c =.(B) ()222a b a b -=-第9题EDABC第10题FDCABEP CD BA DCBA (C) 若12a b =-，则a b ∥.(D) 若a b =，则a b =6. 已知△ABC 和△DEF 相似，且△ABC 的三边长为3、4、5，如果△DEF 的周长为6，那么下列不可能是△DEF 一边长的是( ) (A) 1.5；(B) 2；(C) 2.5；(D) 3.二、 填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 已知34a b =，则2aa b+的值为__________. 8. 计算：()()23m n m n ++-=___________.9. 如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，CD 平分∠ACB ，DE ∥BC ，若AC =10，AE =4，则BC =________.10. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，联结AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，若:2:3DE EC =，则:DEFABFSS=_________.11. 如图，已知抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线x =1，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，若点A 的坐标为30,2⎛⎫⎪⎝⎭，则点B 的坐标为___________.12. 如果抛物线()231y x =++经过点()11,A y 和点()23,B y ，那么1y 与2y 的大小关系是1y ___2y (填写“>”或“<”或“=”).13. 如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，且AD ⊥BD ，若CD =1，BC =3，那么∠A 的正切值为________.14. 在高位100米的楼顶得得地面上某十字路口的俯角为，那么娄底到这个十字路口的水平距离是____________米(用含的代数式表示).F CBA DE15. △ABC 中，AD 是中线，G 是重心，,AB a AD b ==，那么BG =_______(用a b 、表示). 16. △ABC 中，AB=AC =5，BC =8，那么sin B =__________.17. 将二次函数23y x =的图像向左平移2个单位再向下平移4个单位，所得函数表达式是()2324y x =+-，我们来解释一下其中的原因：不妨设平移前图像上任意一点P 经过平移后得到点P ’，且点P ’的坐标为(),x y ，那么P ’点反之向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点()2,4P x y ++，由于点P 是二次函数23y x =的图像上的点，于是把点P (x +2,y +4)的坐标代入23y x =再进行整理就得到()2324y x =+-.类似的，我们对函数()11y x x =+的图像进行平移：先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图像的函数表达式为_____.18. 如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =9，点P 在BC 边上，CP =3，点Q 为线段AP 上的动点，射线BQ 与矩形ABCD 的一边交于点R ，且AP =BR ，则QRBQ=____________. 三、 解答题：(本大题共7分，满分78分) 19. (本题满分10分)计算：2222sin 30+tan60tan30+sin 60cos 45+cot60cos30︒︒⋅︒︒︒︒⋅︒20. (本题满分10分，其中第(1)小题6分，第(2)小题4分)如图，点D 、E 分别在△ABC 的边BA 、CA 的延长线上，且DE ∥BC ，12AE AC =，F 为AC 的中点.(1) 设BF a =，AC b =，试用xa yb +的形式表示AB 、ED ；(x 、y 为实数)(2) 作出BF 在BA 、BC 上的分向量.第13题第18题FEACDB (保留作图痕迹，不写作法，写出结论)21. (本题满分10分)某商场为了方便顾客使用购物车，将滚动电梯由坡角30°的坡面改为坡度为1:2.4的坡面。
青浦区2019学年初三一模数学试卷含答案
青浦区2019学年第一学期九年级期终学业质量调研测试数学试卷 2020.1（完成时间：100分钟 满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂] 1．如果两个相似三角形对应边之比是1∶2，那么它们的对应高之比是（ ）A ．1∶2；B ．1∶4；C ．1∶6；D ．1∶8．2．如图，DE ∥AB ，如果CE ∶AE =1∶2，DE =3，那么AB 等于（ ）A ．6；B ．9；C ．12；D ．13．3．在Rt △ABC 中，∠C =90º，AC =1，AB =3，则下列结论正确的是（ ）A ．sin 4B =； B ．cos 4B =； C．tan 4B =； D ．cot 4=B ．4．已知非零向量a 、b ，且有2=-a b ，下列说法中，不正确的是（ ）A ．||2||=a b ；B ． a ∥b ；C ．a 与b 方向相反；D ．20a b +=． 5．如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，点G 在线段AD 上，GE ∥BD ，且交AB 于点E ，GF ∥AC ，且交CD 于点F ，则下列结论一定正确的是（） A ．=AE CFAB CD； B ．=AE DFEB FC； C ．=EG FGBD AC； D ．=AE ADAG AB．6．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表，那么下列结论中正确的是（ ） A ．0a >； B ．0b <； C ．0c <； D ．0abc <．二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分） [请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7． 已知25a b =，那么ab a-的值为 ▲ ． 8． 已知线段AB =2，P 是AB 的黄金分割点，且AP > BP ，那么AP= ▲ ．EAGFEDCBA（第2题图）（第5题图）9． 已知向量a 与单位向量e 方向相反，且3a =，那么a = ▲ ．（用向量e 的式子表示） 10．如果抛物线21y ax =-的顶点是它的最低点，那么a 的取值范围是 ▲ ．11．如果点A （-3，1y ）和点B （-2，2y ）是抛物线2y x a =+上的两点，那么1y ▲ 2y ．（填“>”、“=”、“<”）．12．某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为)0>x x （，12月份的产值为y 万元，那么y 关于x 的函数解析式是 ▲ ． 13．在△ABC 中，∠C =90°，如果tan B =2，AB =4，那么BC = ▲ ．14．小明沿着坡度i =1∶2.5的斜坡前行了29米，那么他上升的高度是 ▲米． 15．点G 是△ABC 的重心，如果AB =AC =5，BC =8，那么AG = ▲ ． 16．如图，在菱形ABCD 中，O 、E 分别是AC 、AD 的中点，联结OE ．如果AB =3，AC =4，那么cot ∠AOE = ▲ ．17．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中， 找出一个格点三角形DEF ．如果△DEF 与△ABC 相似（相似比 不为1），那么△DEF 的面积为 ▲ ．18．已知，在矩形纸片ABCD 中，AB =5cm ，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，折叠矩形纸片ABCD ，折痕BM交AD 边于点M ，在折叠的过程中，如果点A 恰好落在线段EF 上，那么边AD 的长至少是 ▲ cm ．三、解答题（本大题共7题，满分78分）[请将解题过程填入答题纸的相应位置] 19．（本题满分10分）计算：13tan 3045cos60︒︒︒-+20．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 上一点，AE 与BD 交于点F ，DE ∶EC =2∶3．（1）求BF ∶DF 的值；（2）如果AD a =，AB b =，试用a 、b 表示向量AF ．FE D CBACBAABCDE O（第20题图）（第17题图）（第16题图）21．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90º，AC =2，BC =3．点D 为AC的中点， 联结BD ，过点C 作CG ⊥BD ，交AC 的垂线AG 于点G ，GC 分别交BA 、 BD 于点F 、E ． （1）求GA 的长； （2）求△AFC 的面积．22．（本题满分10分）水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观． 在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：如 图，先在D 处测得点A 的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C 处，测得点A 的仰角为 31°（点D 、C 、B 在一直线上），求该 水城门AB 的高．（精确到0.1米） （参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60 23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，AE ∥BC ，BE 与AD 、AC 分别相交于点F 、G ， 2AF FG FE =⋅． （1）求证：△CAD ∽△CBG ；（2）联结DG ，求证：DG AE AB AG ⋅=⋅．AlG F EDBAEFGDCBA（第22题图）（第23题图）（第21题图）24．（本题满分12分， 其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x =2，点A 的坐标为（1，0）． （1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P 为抛物线上一点（不与点A 重合），联结PC ．当∠PCB=∠ACB 时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y 轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D ，点P 的对应点为点Q ，当OD ⊥DQ 时，求抛物线平移的距离．25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=BD=10，CD=4，AD=6．点P 是线段BD 上的动点，点E 、Q 分别是线段DA 、BD 上的点，且DE=DQ=BP ，联结EP 、EQ ．（1）求证：EQ ∥DC ；（2）当BP>BQ 时，如果△EPQ 是以EQ 为腰的等腰三角形，求线段BP 的长； （3）当BP=m （0<m<5）时，求∠PEQ 的正切值．（用含m 的式子表示）A B CDE QPDCBA（第25题图）（第24题图） （备用图）（备用图）青浦区2019学年第一学期期终学业质量调研 九年级数学试卷参考答案及评分说明2020.1一、选择题：1．A ； 2．B ； 3．C ； 4．D ； 5．A ； 6．D ． 二、填空题： 7．23； 81； 9．3-e ； 10．0>a ； 11．>； 12．()21001=+y x ； 13．5； 14． 15．2； 16．5； 17．1； 18．2． 三、解答题：19．解：原式=131322⨯-． ······················································· （8分）1． ······················································································ （1分） =1． ······································································································· （1分）20．解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC//AB ，DC=AB ， ························································································· （2分） ∴=BF ABDF DE． ······························································································· （1分） ∵DE ∶EC =2∶3，∴DC ∶DE =5∶2，∴AB ∶DE =5∶2， ····························· （1分） ∴BF ∶DF=5∶2． ····························································································· （1分） （2）∵BF ∶DF=5∶2，∴57=BF BD ． ······························································· （1分） ∵=-BD AD AB ，∴=-BD a b ． ··························································· （1分） ∴555777==-BF BD a b ． ········································································· （1分） ∵=+AF AB BF ，∴55527777=+-=+AF b a b a b ．·························· （2分）21．解：（1）∵∠ACB =90°，∴∠BCE +∠GCA =90°．∵CG ⊥BD ，∴∠CEB =90°，∴∠CBE +∠BCE =90°，∴∠CBE =∠GCA ． ···························································································· （2分） 又∵∠DCB =∠GAC= 90°，∴△BCD ∽△CAG ． ························································································ （1分） ∴CD BCAG CA=， ································································································ （1分） ∴132AG =，∴23AG =． ············································································ （1分）（2）∵∠GAC +∠BCA =180°，∴GA ∥BC ． ······················································· （1分）∴GA AFBC FB=． ······························································································ （1分） ∴29AF FB =． ·································································································· （1分） ∴211AF AB =．∴211AFC ABCS S =． ··································································· （1分） 又∵12332ABCS=⨯⨯=，∴611AFC S =． ··········································· （1分） 22．解：由题意，得∠ABD =90°，∠D =20°，∠ACB =31°，CD =13． ··························· （1分）在Rt △ABD 中，∵tan ∠=AB D BD ，∴tan 200.36==︒AB ABBD ． ······················· （3分） 在Rt △ABC 中，∵tan ∠=AB ACB BC ，∴tan 310.6==︒AB ABBC ． ···················· （3分） ∵CD =BD -BC ， ∴130.360.6=-AB AB． ····························································································· （1分） 解得11.7≈AB 米． ······························································································ （1分） 答：水城门AB 的高约为11.7米． ········································································ （1分）23．证明：（1）∵2AF FG FE =⋅，∴=AF FEFG AF． ························································ （1分） 又∵∠AFG =∠EFA ，∴△FAG ∽△FEA ． ······················································· （1分） ∴∠FAG =∠E ． ······························································································· （1分） ∵AE ∥BC ，∴∠E =∠EBC ． ··········································································· （1分） ∴∠EBC =∠FAG ． ·························································································· （1分） 又∵∠ACD =∠BCG ，∴△CAD ∽△CBG ． ··················································· （1分） （2）∵△CAD ∽△CBG ，∴=CA CDCB CG． ····························································· （1分）又∵∠DCG =∠ACB ，∴△CDG ∽△CAB ． ··················································· （1分） ∴=DG CGAB CB． ····························································································· （1分） ∵AE ∥BC ，∴=AE AGCB GC． ········································································· （1分） ∴=AG GC AE CB ，∴=DG AGAB AE， ································································· （1分） ∴⋅=⋅DG AE AB AG ． ·············································································· （1分）24．解：（1）∵A 的坐标为（1，0），对称轴为直线x =2，∴点B 的坐标为（3，0） ···· （1分）将A （1，0）、B （3，0）代入2+=+y x bx c ，得10930.，++=⎧⎨++=⎩b c b c 解得：43.，=-⎧⎨=⎩b c ························································· （2分） 所以，243=-+y x x ．当x =2时，2242+3=1=-⨯-y∴顶点坐标为（2，-1） ················································································ （1分）．（2）过点P 作PN ⊥x 轴，垂足为点N ．过点C 作CM ⊥PN ，交NP 的延长线于点M ．∵∠CON =90°，∴四边形CONM 为矩形． ∴∠CMN =90°，CO = MN ．∵243=-+y x x ，∴点C 的坐标为（0，3） ···················································· （1分）． ∵B （3，0），∴OB =OC ．∵∠COB =90°，∴∠OCB =∠BCM = 45°， ···················· （1分）． 又∵∠ACB =∠PCB ，∴∠OCB -∠ACB =∠BCM -∠PCB ，即∠OCA =∠PCM ． ······ （1分）． ∴tan ∠OCA= tan ∠PCM ．∴13=PMMC． 设PM =a ，则MC =3a ，PN =3-a ． ∴P （3a ，3-a ）．······························································································· （1分）将P （3a ，3-a ）代入243=-+y x x ，得()231233-+=-a a a ．解得111=9a ，2=0a （舍）．∴P （113，169）． ···················································· （1分） （3）设抛物线平移的距离为m ．得()221=---y x m ，∴D 的坐标为（2，1--m ）． ····················································································· （1分） 过点D 作直线EF ∥x 轴，交y 轴于点E ，交PQ 的延长线于点F ． ∵∠OED =∠QFD =∠ODQ =90°，∴∠EOD+∠ODE = 90°，∠ODE+∠QDF = 90°， ∴∠EOD =∠QDF ，······························································································· （1分）∴tan ∠EOD = tan ∠QDF ．∴=DE QF OE DF ．∴1612911123-++=+-m mm ．解得15=m ．所以，抛物线平移的距离为15． ························································· （1分）25．解：（1）∵AD//BC ，∴∠EDQ =∠DBC ． ········································································ （1分）∵1=DE DQ ，1=BDBC，∴=DE BD DQ BC ． ······················································· （1分） ∴△DEQ ∽△BCD ． ························································································ （1分） ∴∠DQE =∠BDC ，∴EQ//CD ． ········································································ （1分） （2）设BP 的长为x ，则DQ =x ，QP =2x -10． ··············································· （1分） ∵△DEQ ∽△BCD ，∴=EQ QD DC CB ，∴25=EQ x ． ································· （1分） （i ）当EQ =EP 时，∴∠EQP =∠EPQ ，∵DE =DQ ，∴∠EQP =∠QED ，∴∠EPQ =∠QED ，∴△EQP ∽△DEQ ，∴EQ QP DE EQ =，∴()222105x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭， 解得 12523x =，或0x =（舍去）． ······························································ （2分） （ii ）当QE =QP 时，∴22105x x =-，解得 254x =， ······························································· （1分） ∵2564>，∴此种情况不存在． ··································································· （1分） ∴12523BP =（3）过点P 作PH ⊥EQ ，交EQ 的延长线于点H ；过点B 作BG ⊥DC ，垂足为点G ． ∵BD =BC ，BG ⊥DC ，∴DG =2，BG = ∵BP = DQ =m ，∴PQ =10-2m ． ∵EQ ▲DC ∴∠PQH =∠BDG ． 又∵∠PHQ =∠BGD= 90°，。
2019上海初三数学一模综合题24题
2019上海初三数学一模二次函数综合题24题24.（普陀） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =+-（0a ≠）与x 轴交于点(1,0)A -和点B ，且3OB OA =，与y 轴交于点C ，此抛物线顶点为点D .（1）求抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）如果点E 是y 轴上一点（点E 与点C 不重合），当BE DE ⊥时，求点E 的坐标；（3）如果点F 是抛物线上的一点，且135FBD ∠=︒，求点F 的坐标.24. （奉贤）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与抛物线2y ax bx =+交于点(6,0)A 和点(1,5)B -. （1）求这条抛物线的表达式和直线AB 的表达式；（2）如果点C 在直线AB 上，且BOC ∠的正切值是32，求点C 的坐标.24. （金山）已知抛物线2y x bx c =++经过点(0,6)A ，点(1,3)B ，直线1:l y kx =(0)k ≠，直线2:2l y x =--，直线1l 经过抛物线2y x bx c =++的顶点P ，且1l 与2l 相交于点C ，直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线2l 上（此时抛物线的顶点记为M ），再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线1l 上（此时抛物线的顶点记为N ）.（1）求抛物线2y x bx c =++的解析式；（2）判断以点N 为圆心，半径长为4的圆与直线2l 的位置关系，并说明理由；（3）设点F 、H 在直线1l 上（点H 在点F 的下方），当△MHF 与△OAB 相似时，求点F 、H 的坐标. （直接写出结果）24. （宝山）如图，已知，二次函数2y x bx =+的图像交x 轴正半轴于点A ，顶点为P ，一次函数132y x =-的图像交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，OCA ∠的正切值为23. （1）求二次函数的解析式与顶点P 坐标； （2）将二次函数图像向下平移m 个单位，设平移后抛物线顶点为P '，若ABP BCP SS ''=，求m 的值.24. （闵行）已知，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx =+经过点(5,0)A 、(3,4)B -，抛物线的对称轴与x 轴相交于点D .（1）求抛物线的表达式；（2）联结OB 、BD ，求BDO ∠的余切值；（3）如果点P 在线段BO 的延长线上，且PAO BAO ∠=∠，求点P 的坐标.24. （青浦）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x =-平移后经过点(1,0)A -、(4,0)B ，且平移后的抛物线与y 轴交于点C （如图）.（1）求平移后的抛物线的表达式；（2）如果点D 在线段CB 上，且CD =CAD ∠的正弦值；（3）点E 在y 轴上且位于点C 的上方，点P 在直线BC 上，点Q 在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ 是菱形，求点Q 的坐标.24. （浦东）已知，如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线12y x b =-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，抛物线244y ax ax =-+经过点A 和点B ，并与x 轴相交于另一点C ，对称轴与x 轴相交于点D .（1）求抛物线的表达式；（2）求证：△BOD ∽△AOB ；（3）如果点P 在线段AB 上，且BCP DBO ∠=∠，求点P 的坐标.24. （静安）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的图像经过点(4,0)B 、(5,3)D ，设它与x 轴的另一个交点为A （点A 在点B 的左侧），且△ABD 的面积是3.（1）求该抛物线的表达式；（2）求ADB ∠的正切值；（3）若抛物线与y 轴交于点C ，直线CD 交x 轴于点E ，点P 在射线AD 上，当△APE 与△ABD 相似时，求点P 的坐标.24. (杨浦）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与y 轴交于点(0,2)C ， 它的顶点为(1,)D m ，且1tan 3COD ∠=. （1）求m 的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且OA OB =，若点 A 是由原抛物线上的点E 平移所得，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 是抛物线对称轴上的一点（位于x 轴上方），且45APB ∠=︒， 求点P 的坐标.24. （徐汇）如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线1C ：2y ax bx =+（0a <）经过点A 和x 轴上的点B ，2AO OB ==，120AOB ∠=︒.（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AM ，求AOM S ；（3）将抛物线1C 向上平移得到抛物线2C ，抛物线2C 与x 轴分别交于点E 、F ，（点E 在点F 的左侧），如果△MBF 与△AOM 相似，求所有符合条件的抛物线2C 的表达式.24. （虹口）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于原点O 和点(4,0)B ，点(3,)A m 在抛物线上.（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；（2）求tan OAB ∠的值；（3）点D 在抛物线的对称轴上，如果45BAD ∠=︒，求点D 的坐标.24.（松江） 如图，抛物线212y x bx c =-++经过点(2,0)A -，点(0,4)B .（1）求这条抛物线的表达式；（2）P 是抛物线对称轴上的点，联结AB 、PB ，如果PBO BAO ∠=∠，求点P 的坐标； （3）将抛物线沿y 轴向下平移m 个单位，所得新抛物线与y 轴交于点D ，过点D 作DE ∥x 轴交新抛物线于点E ，射线EO 交新抛物线于点F ，如果2EO OF =，求m 的值.24. （黄浦）在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c =++(0)a >与x 轴交于(1,0)A -、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点D ，对称轴为直线1x =，交x 轴于点E ，1tan 2BDE ∠=. （1）求抛物线的表达式；（2）若点P 是对称轴上一点，且DCP BDE ∠=∠， 求点P 的坐标.24. （崇明）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数26y ax bx =++（a 、b 都是常数，且0a <）的图像与x 轴交于点(2,0)A -、(6,0)B ，顶点为点C .（1）求这个二次函数的解析式及点C 的坐标；（2）过点B 的直线132y x =-+交抛物线的对称轴于点D ，联结BC ，求CBD ∠的余切值；（3）点P 为抛物线上一个动点，当PBA CBD ∠=∠时，求点P 的坐标.24. （嘉定）在平面直角坐标系xOy （如图）中，抛物线22y ax bx =++经过点(4,0)A 、(2,2)B ，与y 轴的交点为C .（1）试求这个抛物线的表达式；（2）如果这个抛物线的顶点为M ，求△AMC 的面积；（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 在线段AB 上，且45DOE ∠=︒，求点E 的坐标.24. （长宁）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O 、(1,3)B ，又与x 轴正半轴相交于点A ，45BAO ∠=︒，点P 是线段AB 上的一点，过点P 作PM ∥OB ，与抛物线交于点M ，且点M 在第一象限内.（1）求抛物线的表达式；（2）若BMP AOB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）过点M 作MC x ⊥轴，分别交直线AB 、x 轴于点N 、C ，若△ANC 的面积等于△PMN 的面积的2倍，求MNNC 的值.。
2019学年杨浦初三数学一模试卷含答案
杨浦区2019学年度第一学期期末质量调研初 三 数 学 试 卷 2019.12（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．把抛物线2x y =向左平移1个单位后得到的抛物线是A ．21y x =+（）；B ．21y x =-（）； C ．21y x =+；D ．21y x =-.2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果AC =2，3cos 4A =，那么AB 的长是 A ．52；B ．83；C ．103； D3．已知a 、b 和c 都是非零向量，下列结论中不能判定//a b 的是A ．////a c b c ，；B ．12a c =，2bc =；C ．2a b =；D ．a b =.4．如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A 、B ，如果线段AB 与网格线的其中两个交点为M 、N ，那么AM ∶MN ∶NB 的值是 A ．3∶5∶4； B ．3∶6∶5； C ．1∶3∶2；D ．1∶4∶2.5．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上 水珠的高度y （米）关于水珠和喷头的水平距离x （米）的函数解析式是236042y x x x =-+≤≤（），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是 A ．1米； B ．2米； C ．5米； D ．6米．6．如图，在正方形ABCD 中，△ABP 是等边三角形，AP 、BP 的延长线分别交边CD 于点E 、F ，联结AC 、CP ，AC 与BF 相交于点H ，下列结论中错误的是 A ．AE ＝2DE ；B ．△CFP ∽△APH ；C ．△CFP ∽△APC ；D ．CP 2＝PH •PB ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果cot α，那么锐角α= ▲ 度．8．如果抛物线231y x x m =-+-+经过原点，那么m = ▲ ． 9ADBCEP FH第6题图第4题图10．已知点11A x y （，）、22B x y （，）为抛物线22y x =-（）上的两点，如果122x x <<，那么1y ▲ 2y ． （填“>”、“<”或“=”）11．在比例尺为1：8 000 000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为 ▲ 千米．12．已知点P 是线段AB 上的一点，且2BP AP=⋅ 13．已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作MN ∥BC 分别交边AB 、AC 于点M 、N ，那么AMNABCS S ∆∆14．如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB 绕固定点O 旋转到位置DC ，已知栏杆AB 的长为3.5米，OA 的长为3米，点C 到AB 的距离为0.3米，支柱OE 的高为0.6米，那么栏杆端点D 离地面的距离为▲ 米． 15．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的坡角为31°，AB 的长为12米，那么大厅两层之间BC 的高度为 ▲ 米．（结果保留一位小数）【参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.867，tan31°＝0.601】 16．如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，AB =3，BC =2，4tan 3A =，那么CD = ▲ ．17．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD 中，对角线BD 是它的相似对角线，∠ABC =70°，BD 平分∠ABC ，那么∠ADC= ▲ 度．18．在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =4，AB =a ，将△ABC 沿着斜边BC 翻折，点A 落在点A 1处，点D 、E 分别为边AC 、BC 的中点，联结DE 并延长交A 1B 所在直线于点F ，联结A 1E ，如果△A 1EF 为直角三角形时，那么a = ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 中，函数值y 与自变量x 之间的部分对应关系如下表：（1）求该抛物线的表达式；（2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点M （2，4）的位置，那么其平移的方法是 ▲ .ABC第15题图31°第16题图第14题图20．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）如图，已知在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =12，CD =7，点E 在边AD 上，23DE AE =，过点E 作EF //AB 交边BC 于点F .（1）求线段EF 的长；（2）设AB a =，AD b =，联结AF ，请用向量a 、b 表示向量AF ．21. （本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90º，3sin 5B =，延长边BA 至点D ，使AD =AC ，联结CD . （1）求∠D 的正切值；（2）取边AC 的中点E ，联结BE 并延长交边CD 于点F ，求CFFD的值．22．（本题满分10分）某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D 处用测角仪测得楼顶M 的仰角为30︒，再沿DF 方向前行40米到达点E 处，在点E 处测得楼顶M 的仰角为45︒，已知测角仪的高AD 为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF 的高．（结果精确到0.1m 1.414≈ 1.732≈ 2.449） 23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，已知在ABC △中，AD 是ABC △的中线，DAC B ∠=∠，点E 在边AD 上，CE CD =.（1）求证：AC BDAB AD =； （2）求证：22AC AE AD =⋅.第21题图ABCD第20题图第23题图A CDE30º 45º 第22题图A B C DFEM24．（本题满分12分，每小题各4分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx mx =-+(0)m ≠与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），且AB=6．（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；（2）在y 轴上取点E 02（，），点F 为第一象限内抛物线上一点，联结BF 、EF ，如果=10OEFB S 四边形， 求点F 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点F 在抛物线对称轴右侧，点P 在x 轴上且在点B 左侧，如果直线PF 与y 轴的夹角等于∠EBF ，求点P 的坐标.25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）已知在菱形ABCD 中，AB=4，120BAD ∠=︒，点P 是直线AB 上任意一点，联结PC ，在∠PCD 内部作射线CQ 与对角线BD 交于点Q （与B 、D 不重合），且∠PCQ=30︒． （1）如图，当点P 在边AB 上时，如果3BP =，求线段PC 的长；（2）当点P 在射线BA 上时，设BP =x ，CQ =y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）联结PQ ，直线PQ 与直线BC 交于点E ，如果△QCE 与△BCP 相似，求线段BP 的长．第24题图 A BC DPQ第25题图备用图A BCD杨浦区2019学年度第一学期初三数学期末质量调研试卷答案2019.12一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．A ； 2．B ； 3．D ； 4．C ； 5．B ； 6．C 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．8．1； 9．0（，-1）；10．320； 1213 14．2.4； 15．6.2； 16．145； 18．、4 （本大题共7题，满分78分） 19．解：（1）∵二次函数2y ax bx c =++图像过点10（-，）、 (01)-，和(14)-，， ∴01 4.a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩，， ··········································································· （3分） ∴121.a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，，∴二次函数解析式为221y x x =---. ·································· （3分） （2）平移的方法是先向右平移3个单位再向上平移4个单位或先向上平移4个单位再向右平移3个单位. ······················· （4分）20．解：（1）过D 作DH //BC 交AB 于H ，交EF 于G .∵DH //BC ，AB //DC ，∴四边形DHBC 是平行四边形. ································· （1分） ∴BH =CD ，∵CD=7，∴BH =7.······························································ （1分） 同理GF =7. ······················································································· （1分） 又AB=12，∴AH =5. ············································································ （1分）∵EF //AB ， ∴EG DEAH DA=. ···································································· （1分） ∵23DE AE =，∴25DE DA =. ∴255EG =，2EG =，∴9EF =. ·························································· （1分） （2）3345a b →→+ ··················································································· （4分）21. 解：（1）过C 作CH ⊥AB 于H ． 在Rt △ABC 中，∵3sin =5B ，∴3=5AC AB . ·········································· （1分） ∴设AC =3k ，AB =5k ，则BC =4k . ∵1122ABC S AC BC AB CH ∆=⋅=⋅，∴125AC BC CH k AB ⋅==. ··············· （1分） ∴9=5AH k . ················································································ （1分）∵AD=AC ，∴DH =924355k k k +=. ················································· （1分） 在Rt △CDH 中，1215tan =2425kCH CDH DH k ∠==. ··································· （1分） （2）过点A 作AH//CD 交BE 于点H.∵AH//CD ，∴AH AECF EC =. ···································································· （1分） ∵点E 为边AC 的中点，∴AE CE =.∴AH CF =. ···································· （1分） ∵AH//CD ，∴AH ABDF BD=. ···································································· （1分） ∵AB =5k ，BD =3k ，∴58AB BD =.∴58AH DF =. ·············································· （1分） ∴58CF DF =. ······················································································· （1分） 22．解：由题意可知∠MCA =90°，∠MAC =30°，∠MBC =45°，AB =40，CF =1.5. 设MC =x 米，则在Rt △MBC 中，由 tan MCMBC BC∠=得BC =x . ················· （2分） 又Rt △ACM 中，由cot ACMAC MC∠=得AC=. ···································· （2分）∴40x -=. ············································································· （2分） ∴x=20. ··············································································· （1分） ∴MF =MC+CF=56.1≈米. ····················································· （2分） 答：此楼MF 的高度是56.1米. ······························································ （1分）23．证明：（1）∵CD =CE ，∴∠CED =∠CDA . ········································ （1分） ∴∠AEC =∠BDA . ······························································· （1分） 又∵∠DAC =∠B ，∴△ACE ∽△BAD. ········································ （1分）∴AC CEAB AD=. ····································································· （1分） ∵AD 是ABC △的中线，∴BD CD =. ········································ （1分）∵CD =CE ，∴BD CE =.∴AC BDAB AD=. ······································· （1分） （2）∵∠DAC =∠B ，又∠ACD =∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA. ······················· （1分）∴AC CD BC AC=，∴2AC CD CB =?. ················································· （1分） ∵AD 是ABC △的中线，∴2BC CD =，∴222AC CD =. ·················· （1分）∵△ACE ∽△BAD ，∴CE AEAD BD=. ················································ （1分） 又∵CD =CE=BD ，∴2CD AD AE =?. ············································ （1分） ∴22AC AD AE =?. ································································ （1分）24．解：（1）抛物线对称轴212mx m-=-=... ................................................................. （1分）∵AB =6，∴抛物线与x 轴的交点A 为(20)，-，B (40)，.................................................. （1分） ∴4440m m ++=（或16840m m -+=）.. ................................................................ （1分）∴12m =-.∴抛物线的表达式为2142y x x =-++. ..................................................... （1分）（2）设点F 21(4)2x x x ，-++. ...................................................................................... （1分） ∵点E 02-（，），点B 4（，0），∴OE = 2，OB = 4. ∵=+10OEF OBF OEFB S S S ∆∆=四边形， ∴211124(4)10222x x x ⨯⨯+⨯⨯-++=.. .................... （1分）∴12x =或，∴点F 912（，）、24（，）.. ............................................................................... （2分） （3）∵=+10OBE BEF OEFB S S S ∆∆=四边形，又1142422OBE S OB OE ∆=⋅=⨯⨯=，∴6BEF S ∆=.过F 作FH BE ⊥，垂足为点H .∵162BEF S BE FH ∆=⋅=，又BE =FH =............................... （1分）又BF ==BH ∴在Rt BFH ∆中，tan ∠EBF=3584FH BH ==.................................................................. （1分）设直线PF 与y 轴的交点为M ，则∠PMO=∠EBF ，过F 作FG x ⊥轴，垂足为点G.∵FG//y 轴，∴∠PMO=∠PFG . ∴tan ∠PFG=tan ∠EBF ................................................ （1分）∴tan ∠PFG=34PG FG =.又FG =4，∴PG =3.∴点P 的坐标10（-，）. .......................................................................................................... （1分）25．解：（1）过P 作PH BC ⊥，垂足为点H. 在Rt BPH ∆中，∵BP =3，∠ABC =60°，∴32BH PH =，................................. （2分） 在Rt PCH ∆中，35422CH PC =-===，................................... （1分） （2）过P 作PH BC ⊥，垂足为点H. 在Rt BPH ∆中，12BH x PH =，.∴在Rt PCH∆中，142CH x PC=-==，........... （1分）设PC与对角线BD交于点G. ∵AB//CD，∴BP PG BG xCD===.∴BG CG=···················································（1分）∵∠ABD=∠PCQ，又∠PGC=∠QGC，∴△PBG∽△QCG.∴PB BGCQ CG=，∴xy···················································（1分）∴y=08x≤<）. ······················································（2分）（3）i）当点P在射线BA上，点E在边BC的延长线时.∵BD是菱形ABCD的对角线，∴∠PBQ=∠QBC=1302ABC∠=︒.∵△PBG∽△QCG，∴PG BGQG CG=，又∠PGQ=∠BGC，∴△PGQ∽△BGC.∴∠QPG=∠QBC30=︒，又∠PBQ=∠PCQ30=︒，∴60CQE QPC QCP∠=∠+∠=︒.∴60CQE PBC∠=∠=︒. ····································································（1分）∵PCB E∠>∠，∴PCB QCE∠=∠.又180PCB QCE PCQ∠+∠+∠=︒，∠PCQ30=︒，∴75PCB QCE∠=∠=︒.过C作CN BP⊥，垂足为点N，∴在Rt CBN∆中，2BN CN==，∴在Rt PCN∆中，PN CN==∴2BP=. ................................................................................................................. （2分）ii）当点P在边AB的延长线上，点E在边BC上时，同理可得2BP=. ...... （3分）。
2019-2020年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-25题含详解
专题2020年上海各区分类汇编-25题专题一动点函数下的相似三角形【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•奉贤区期末）如图，已知平行四边形ABCD中，AD AB＝5，tan A＝2，点E在射线AD上，过点E作EF⊥AD，垂足为点E，交射线AB于点F，交射线CB于点G，联结CE、CF，设AE＝m．（1）当点E在边AD上时，①求△CEF的面积；（用含m的代数式表示）②当S△DCE＝4S△BFG时，求AE：ED的值；（2）当点E在边AD的延长线上时，如果△AEF与△CFG相似，求m的值．2．（2019秋•杨浦区期末）已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果△QCE与△BCP相似，求线段BP的长．专题二动点函数背景下的面积问题【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•黄浦区期末）如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，点D 与点B 分别位于直线AC 的两侧，且AD ＝AC ，联结BD 、CD ，BD 交直线AC 于点E ．（1）当∠CAD ＝90°时，求线段AE 的长．（2）过点A 作AH ⊥CD ，垂足为点H ，直线AH 交BD 于点F ，①当∠CAD ＜120°时，设AE ＝x ，y ＝BCE AEFS S ∆∆（其中S △BCE 表示△BCE 的面积，S △AEF 表示△AEF 的面积），求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；②当BCE AEFS S ∆∆＝7时，请直接写出线段AE 的长．2．（2019秋•松江区期末）已知tan∠MON＝2，矩形ABCD的边AB在射线OM上，AD＝2，AB＝m，CF⊥ON，垂足为点F．（1）如图（1），作AE⊥ON，垂足为点E，当m＝2时，求线段EF的长度．（2）如图（2），联结OC，当m＝2，且CD平分∠FCO时，求∠COF的正弦值；（3）如图（3），当△AFD与△CDF相似时，求m的值．专题三动点函数背景下的等腰三角形【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D为AB边上一动点（点D与点A、B不重合），联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．（1）如图，当ED＝EB时，求AD的长；（2）设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；（3）把△BCD沿直线CD翻折得△CDB'，联结AB'，当△CAB'是等腰三角形时，直接写出AD的长．2．（2019秋•青浦区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝BD＝10，CD＝4，AD＝6．点P是线段BD上的动点，点E、Q分别是线段DA、BD上的点，且DE＝DQ＝BP，联结EP、EQ．（1）求证：EQ∥DC；（2）当BP＞BQ时，如果△EPQ是以EQ为腰的等腰三角形，求线段BP的长；（3）当BP＝m（0＜m＜5）时，求∠PEQ的正切值．（用含m的式子表示）3．（2019秋•闵行区期末）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，CD＝2，（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD＝x，CE＝y．（1）求证：∠DAB＝∠DCF；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．4．（2019秋•崇明区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．5．（2019秋•宝山区期末）如图，OC是△ABC中AB边的中线，∠ABC＝36°，点D为OC上一点，如果OD＝k⋅OC，过D作DE∥CA交于BA点E，点M是DE的中点，将△ODE绕点O顺时针旋转α度（其中0°＜α＜180°）后，射线OM交直线BC于点N．（1）如果△ABC的面积为26，求△ODE的面积（用k的代数式表示）；（2）当N和B不重合时，请探究∠ONB的度数y与旋转角α的度数之间的函数关系式；（3）写出当△ONB为等腰三角形时，旋转角α的度数．专题四动点函数背景下的线段问题【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝3 5，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．（1）当点D在BC的延长线上时，如果CD＝2，求tan∠FBC；＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写函数的定义域）；（2）当点D在BC的延长线上时，设AG＝x，S△DAF（3）如果AG＝8，求DE的长．2．（2019秋•静安区期末）已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB2＝BE•DC，DE：EC＝3：1，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G．（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；（2）当DF平分∠ADC时，求DG：DF的值；（3）如图2，当∠BAC＝90°，且DF⊥AE时，求DG：DF的值．专题四动点函数背景下四边形【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•长宁、金山区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P、Q分别在边AC、射线CB上，且AP＝CQ，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，联结PQ，以PM、PQ为邻边作平行四边形PQNM，设AP＝x，平行四边形PQNM的面积为y．（1）当平行四边形PQNM为矩形时，求∠PQM的正切值；（2）当点N在△ABC内，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时，直接写出x的值．2．（2019秋•嘉定区期末）已知：点P在△ABC内，且满足∠APB＝∠APC（如图），∠APB+∠BAC＝180°．（1）求证：△PAB∽△PCA；（2）如果∠APB＝120°，∠ABC＝90°，求PCPB的值；（3）如果∠BAC＝45°，且△ABC是等腰三角形，试求tan∠PBC的值．3．（2019秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是边AB上的动点（点D不与点AB重合），点G在边AB的延长线上，∠CDE＝∠A，∠GBE＝∠ABC，DE与边BC交于点F．（1）求cos A的值；（2）当∠A＝2∠ACD时，求AD的长；（3）点D在边AB上运动的过程中，AD：BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD：BE的值；如果变化，请说明理由．4．(2019秋•普陀区期末)如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，AD=2，BC=5，DC=3，点E在边BC上，tan∠AEC=3，点M是射线DC上一个动点(不与点D、C重合)，联结BM交射线AE于点N，设DM=x，AN=y．(1)求BE的长；(2)当动点M在线段DC上时，试求y与x之间的函数解析式,并写出函数的定义域；(3)当动点M运动时，直线BM与直线AE的夹角等于45°，请直接写出这时线段DM的长．专题2020年上海各区分类汇编-25题专题一动点函数下的相似三角形【历年真题】1．（2019秋•奉贤区期末）如图，已知平行四边形ABCD 中，AD AB ＝5，tan A ＝2，点E 在射线AD 上，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为点E ，交射线AB 于点F ，交射线CB 于点G ，联结CE 、CF ，设AE ＝m ．（1）当点E 在边AD 上时，①求△CEF 的面积；（用含m 的代数式表示）②当S △DCE ＝4S △BFG 时，求AE ：ED 的值；（2）当点E 在边AD 的延长线上时，如果△AEF 与△CFG 相似，求m 的值．【考点】相似形综合题．【专题】综合题；运算能力；推理能力．【分析】（1）①先根据三角函数表示出EF ，再用勾股定理表示出AF ，再判断出△AEF ∽△BGF ，得出比例式表示出CG ，即可得出结论；②先表示出FG ，再用S △DCE ＝4S △BFG 建立方程求出m ，即可得出结论；（2）分两种情况：①当△AEF ∽△CGF 时，得出∠AFE ＝∠CFG ，进而得出BG ＝12BC ＝52，FG ＝BG tan ∠CBFBF ＝52，进而得出AF ＝AB +BF ＝5+52＝152，最后判断出△BGF ∽△AEF ，得出比例式建立方程求解即可得出结论；②当△AEF ∽△CGF 时，先判断出∠AFC ＝90°，进而得出CF ＝2BF ，再根据勾股定理得，求出BF ＝1，得出AF ＝AB +BF ＝6，同理：BG ＝，再判断出△BGF ∽△AEF ，得出比例式建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）①∵EF ⊥AD ，∴∠AEF ＝90°，在Rt △AEF 中，tan A ＝2，AE ＝m ，∴EF ＝AE tan A ＝2m ，根据勾股定理得，AF ，∵AB ＝5，∴BF ＝5，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD AD ∥BC ，∴∠G ＝∠AEF ＝90°，∴△AEF ∽△BGF ，∴AE AFBG BF =，∴m BG =，∴BG m ，∴CG ＝BC +BG ＝m ＝m ，∴S △CEF ＝12EF •CG ＝12•2m •（m ）＝m ﹣m 2；②由①知，△AEF ∽△BGF ，∴BF FG AF EF =，∴FG ＝BFAF •EF •2m ＝2m ），∴EG ＝EF +FG ＝2m +2﹣m ）＝∴S △CDE ＝12DE •EG ＝12（m ）•5，S △BFG ＝12BG •FG ＝12m ）•2m ﹣m ）2，S △DCE ＝4S △BFG 时，∴5＝4m ）2，∴m m ＝354，∴DE ＝AD ﹣AE ﹣4＝4，∴AE ：ED ＝354：54＝3，即：AE ：ED 的值为3；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD ，AD ∥BC ，∵EF ⊥AD ，∴EF ⊥BC ，∴∠AEF ＝∠CGF ＝90°，∵△AEF 与△CFG 相似，∴①当△AEF ∽△CGF 时，如图1，∴∠AFE ＝∠CFG ，∵EF ⊥BC ，∴BG ＝12BC ＝52，∵AD ∥BC ，∴∠CBF ＝∠A ，∵tan A ＝2，∴tan ∠CBF ＝2，在Rt △BGF 中，FG ＝BG tan ∠CBF根据勾股定理得，BF 52，∴AF ＝AB +BF ＝5+52＝152，∵BC∥AD，∴△BGF∽△AEF，∴BG BFAE AF=，∴，∴m ＝35 2；②当△AEF∽△CGF时，如图2，∴∠EAF＝∠GFC，∵∠EAF+∠AFE＝90°，∴∠GFC+∠AFE＝90°，∴∠AFC＝90°，∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠A，∴tan∠CBF＝tan A＝2，在Rt△BFC中，CF＝BF•∠CBF＝2BF，根据勾股定理得，BF2+CF2＝BC2，∴BF2+4BF2）2，∴BF＝1，∴AF＝AB+BF＝6，在Rt△BGF中，同理：BG ＝5 5，∵AD∥BC，∴△BGF∽△AEF，∴AE AFBG BF=6155=，∴m ＝655．即：如果△AEF与△CFG相似，m 的值为35 2或．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的性质，锐角三角函数，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．2．（2019秋•杨浦区期末）已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ ，直线PQ 与直线BC 交于点E ，如果△QCE 与△BCP 相似，求线段BP 的长．【考点】相似形综合题．【专题】几何综合题；应用意识．【分析】（1）如图1中，作PH ⊥BC 于H ．解直角三角形求出BH ，PH ，在Rt △PCH 中，理由勾股定理即可解决问题．（2）如图1中，作PH ⊥BC 于H ，连接PQ ，设PC 交BD 于O ．证明△POQ ∽△BOC ，推出∠OPQ ＝∠OBC ＝30°＝∠PCQ ，推出PQ ＝CQ ＝y ，推出PC ，在Rt △PHB 中，BH ＝12x ，PH ＝2x ，根据PC 2＝PH 2+CH 2，可得结论．（3）分两种情形：①如图2中，若直线QP 交直线BC 于B 点左侧于E ．②如图3中，若直线QP 交直线BC 于C 点右侧于E ．分别求解即可．【解答】解：（1）如图1中，作PH ⊥BC 于H ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝4，AD ∥BC ，∴∠A +∠ABC ＝180°，∵∠A ＝120°，∴∠PBH ＝60°，∵PB ＝3，∠PHB ＝90°，∴BH ＝PB •cos60°＝32，PH ＝PB •sin60°＝332，∴CH ＝BC ﹣BH ＝4﹣32＝52，∴PC =．（2）如图1中，作PH ⊥BC 于H ，连接PQ ，设PC 交BD 于O ．∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°，∵∠PCQ ＝30°，∴∠PBO ＝∠QCO ，∵∠POB＝∠QOC，∴△POB∽△QOC，∴PO BOQO CO=，∴PO QOBO CO=，∵∠POQ＝∠BOC，∴△POQ∽△BOC，∴∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，∴PQ＝CQ＝y，∴PC y，在Rt△PHB中，BH＝12x，PH＝32x，∵PC2＝PH2+CH2，∴3y2＝（2x）2+（4﹣12x）2，∴y＝3（0≤x＜8）．（3）①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．此时∠CQE＝120°，∵∠PBC＝60°，∴△PBC中，不存在角与∠CQE相等，此时△QCE与△BCP不可能相似．②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．则∠CQE＝∠B＝QBC+∠QCP＝60°＝∠CBP，∵∠PCB＞∠E，∴只可能∠BCP＝∠QCE＝75°，作CF⊥AB于F，则BF＝2，CF＝PCF＝45°，∴PF＝CF＝，此时PB＝2+2，③如图4中，当点P在AB的延长线上时，∵△QCE 与△BCP 相似，∴∠CQE ＝∠CBP ＝120°，∴∠QCE ＝∠PCB ＝15°，作CF ⊥AB 于F ．∵∠FCB ＝30°，∴∠FCP ＝45°，∴BF ＝12BC ＝2，CF ＝PF ＝23∴PB ＝3﹣2．综上所述，满足条件的PB 的值为3或232．【点评】本题考查相似形综合题，考查了菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．专题二动点函数背景下的面积问题【历年真题】1．（2019秋•黄浦区期末）如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，点D 与点B 分别位于直线AC 的两侧，且AD ＝AC ，联结BD 、CD ，BD 交直线AC 于点E ．（1）当∠CAD ＝90°时，求线段AE 的长．（2）过点A 作AH ⊥CD ，垂足为点H ，直线AH 交BD 于点F ，①当∠CAD ＜120°时，设AE ＝x ，y ＝BCE AEFS S ∆∆（其中S △BCE 表示△BCE 的面积，S △AEF 表示△AEF 的面积），求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；②当BCE AEFS S ∆∆＝7时，请直接写出线段AE的长．【考点】三角形综合题．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【分析】（1）过点E 作EG ⊥BC ，垂足为点G ．AE ＝x ，则EC ＝2﹣x ．根据BG ＝EG 构建方程求出x 即可解决问题．（2）①证明△AEF ∽△BEC ，可得22BCE AEF S BE S AE∆∆=，由此构建关系式即可解决问题．②分两种情形：当∠CAD ＜120°时，当120°＜∠CAD ＜180°时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝2，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°．∵AD ＝AC ，∴AD ＝AB ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵∠ABD +∠ADB +∠BAC +∠CAD ＝180°，∠CAD ＝90°，∠ABD ＝15°，∴∠EBC ＝45°．过点E 作EG ⊥BC ，垂足为点G．设AE ＝x ，则EC ＝2﹣x ．在Rt △CGE 中，∠ACB ＝60°，∴3sin ACB=)2EG EC x =- ∠，1cos ACB=12CG EC x =- ∠，∴BG ＝2﹣CG ＝1+12x ，在Rt △BGE 中，∠EBC ＝45°，∴131)22x x +=-，解得4x =-．所以线段AE的长是4-．（2）①设∠ABD ＝α，则∠BDA ＝α，∠DAC ＝∠BAD ﹣∠BAC ＝120°﹣2α．∵AD ＝AC ，AH ⊥CD ，∴1CAF=DAC=60-2α ∠∠，又∵∠AEF ＝60°+α，∴∠AFE ＝60°，∴∠AFE ＝∠ACB ，又∵∠AEF ＝∠BEC ，∴△AEF ∽△BEC ，∴22BCE AEF S BE S AE∆∆=，由（1）得在Rt △CGE 中，BG ＝1+12x，EG )2x =-，∴BE 2＝BG 2+EG 2＝x 2﹣2x +4，∴2224x x y x-+=（0＜x ＜2）．②当∠CAD ＜120°时，y ＝7，则有7＝2224x x x-+，整理得3x 2+x ﹣2＝0，解得x ＝23或﹣1（舍弃），2AE=3．当120°＜∠CAD ＜180°时，同法可得22+24x x y x +=当y＝7时，7＝22+24x xx，整理得3x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣23（舍弃）或1，∴AE＝1．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．2．（2019秋•松江区期末）已知tan∠MON＝2，矩形ABCD的边AB在射线OM上，AD＝2，AB＝m，CF⊥ON，垂足为点F．（1）如图（1），作AE⊥ON，垂足为点E，当m＝2时，求线段EF的长度．（2）如图（2），联结OC，当m＝2，且CD平分∠FCO时，求∠COF的正弦值；（3）如图（3），当△AFD与△CDF相似时，求m的值．【考点】相似形综合题．【专题】分类讨论；图形的相似；推理能力．【分析】（1）如图1，延长FC交OM于点G，证∠BCG＝∠MON，在Rt△AOE中，设OE＝a，可求得OA，OG，OF的长，则EF＝OF﹣OE＝65 5；（2）如图2，延长FC交OM于点G，由（1）得CG＝5，推出CO＝CG＝5，在Rt△COB中，由勾股定理求出a的值，得出OF的长，可求出cos∠COF的值，进一步推出sin∠COF的值；（3）需分情况讨论：当D在∠MON内部时，△FDA∽△FDC时，此时CD＝AD＝2，m＝2；当△FDA∽△CDF 时，延长CD交ON于点Q，过F作FP⊥CQ于P，可利用三角函数求出m的值；当D在∠MON外部时，可利用相似的性质等求出m的值．【解答】解：（1）如图1，延长FC交OM于点G，∵∠BCG+∠CGB＝90°，∠MON+∠CGB＝90°，∴∠BCG＝∠MON，则tan∠BCG＝tan∠MON＝2，∴BG＝2BC＝4，CG＝，在Rt△AOE中，设OE＝a，由tan∠MON＝2，可得OA a，则OG+6，OF＝OG＝a+，∴EF＝OF﹣OE＝65 5；（2）如图2，延长FC交OM于点G，由（1）得CG＝∵CD平分∠FCO，∴∠FCD＝∠DCO，∵CD∥OM，∴∠FCD＝∠CGO，∠DCO＝∠COG，∴∠CGO＝∠COG，∴CO＝CG＝在Rt△COB中，由BC2+BO2＝OC2，得22++2）2＝（2，解得a1＝﹣655（舍去），a2＝255，∴OF＝a+5＝5，cos∠COF＝45 OFOC=，∴sin∠COF＝3 5；（3）当D在∠MON内部时，①如图3﹣1，△FDA∽△FDC时，此时CD＝AD＝2，∴m＝2；②当△FDA∽△CDF时，如图3﹣2，延长CD交ON于点Q，过F作FP⊥CQ于P，则∠FDC＝∠FDA＝135°，∴∠FDP＝45°，∵PC＝FP•tan∠PFC＝FP•tan∠MON＝2FP＝2DP＝CD+DP，∴FP＝PD＝CD＝m，∴FD m，∵△FDA∽△CDF，∴FD CD DA FD=，∴FD==，∴m＝1；当D在∠MON外部时，∠ADF＞90°，∠DFC＞90°，∴∠ADF ＝∠DFC ，∴∠DFI ＝∠FDI ，ID ＝IF ，①如图3﹣3，△FDA ∽△DFC 时，此时△FDA ≌△DFC ，∴CF ＝AD ＝2，∵∠DAF ＝∠FCD ＝∠FHD ，∴A 、O 重合，延长BC 交ON 于R ，∴FR ＝2CF ＝4，CR ＝BR ＝，∴m ＝CD ＝AB ＝12BR ＝；②如图3﹣4，△FDA ∽△CFD 时，设CF ＝（t ＞0），延长BC 交ON 于R ，过F 作FS ⊥CD 于S ，∵△DFC ≌△FDH ，∴DH ＝FC ，∴ID ＝IF ＝12CF ，∴IS ＝t ，FS ＝2t ，CS ＝4t ，DS ）t ，DH ＝FC ＝，∵△FDA ∽△CFD ，∴AD DF DF FC=，∴DF 2＝AD •FC ＝2DH ＝t ，∵DF 2＝DS 2+FS 2，∴＝4t 2+）2t 2，解得t 1＝512-，t 2＝0（舍去），∴DH ＝t ＝52＝AD ，矛盾，综上所述：m ＝1或m ＝2，或m ＝【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是注意分类讨论思想的运用．专题三动点函数背景下的等腰三角形【历年真题】1．（2019秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D为AB边上一动点（点D与点A、B不重合），联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．（1）如图，当ED＝EB时，求AD的长；（2）设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；（3）把△BCD沿直线CD翻折得△CDB'，联结AB'，当△CAB'是等腰三角形时，直接写出AD的长．【考点】几何变换综合题．【专题】几何综合题；应用意识．【分析】（1）证明∠ACD＝∠EDB＝∠B，推出tan∠ACD＝tan∠B，可得AD ACAC AB=，由此构建方程即可解决问题．（2）如图1中，作EH⊥BD于H．证明△ACD∽△HDE，推出AC ADDH EH=，由此构建关系式即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N．利用角平分线的性质定理求出BD即可．②如图3﹣2中，当CB′交BA的延长线于K时，同法可得BD．【解答】解：（1）∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠B，∵CD⊥DE，∴∠CDE＝∠A＝90°，∵∠ACD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠EDH＝90°，∴∠ACD＝∠EDB＝∠B，∴tan∠ACD＝tan∠B，∴AD ACAC AB=，∴334AD=，∴94AD=．（2）如图1中，作EH⊥BD于H．在Rt△ACB中，∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC=5，∵BE＝y，∴EH＝35y，BH＝45y，DH＝AB﹣AD﹣BH＝4﹣x﹣45y，∵∠A＝∠DHE＝90°，∠ACD＝∠EDH，∴△ACD∽△HDE，∴AC AD=DH EH，∴3x=434-x-55y y，∴220594x xyx-=+（0＜x＜4）．（3）①如图3﹣1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N∵AC ＝AB ′＝3，AE ⊥CB ′，∴CE ＝'EB ='12CB ＝52，∴AE 22225113()22AC CE -=-，由△ACE ∽△KCA ，可得AK ＝3115，CK ＝185，∴BK ＝AB ﹣AK ＝4﹣3115，∵∠DCK ＝∠DCB ，DM ⊥CM ，DN ⊥CB ，∴DM ＝DN ，∴181185215252CDK CDB CK DM S DK CK S DB CB BC DN ∆∆===== ，∴BD ＝2543BK ＝10043151143，∴AD ＝AB ﹣BD ＝4﹣（10043151143）＝7242151143．②如图3﹣2中，当CB ′交BA 的延长线于K 时，同法可得BD ＝2543BK ＝10043151143，∴AD ＝AB ﹣BD ＝7242﹣151143．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．2．（2019秋•青浦区期末）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝BD ＝10，CD ＝4，AD＝6．点P 是线段BD 上的动点，点E 、Q 分别是线段DA 、BD 上的点，且DE ＝DQ ＝BP ，联结EP 、EQ ．（1）求证：EQ ∥DC ；（2）当BP ＞BQ 时，如果△EPQ 是以EQ 为腰的等腰三角形，求线段BP 的长；（3）当BP ＝m （0＜m ＜5）时，求∠PEQ 的正切值．（用含m 的式子表示）【考点】相似形综合题．【专题】综合题；运算能力；推理能力．【分析】（1）先利用两边对应成比例，夹角相等，判断出△DEQ ∽△BCD ，得出∠DQE ＝∠BDC ，即可得出结论；（2）先用△DEQ ∽△BCD ，得出比例式表示出EQ ，再分两种情况，建立方程求解，即可得出结论；（3）先判得出△PHQ ∽△BGD ，得出PH PQ HQ BG BD GD ==，进而表示出HQ ＝1025m -，PH ＝26(102)5m -，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠EDQ ＝∠DBC ，∵DE ＝DQ ，BD ＝BC ，∴1DE DQ =，BD BC ＝1，∴DE BD DQ BC=，∴△DEQ ∽△BCD ，∴∠DQE ＝∠BDC ，∴EQ ∥CD ；（2）设BP ＝x ，则DQ ＝x ，QP ＝2x ﹣10，∵△DEQ∽△BCD，∴EQ QDDC BC=，∴410EQ x=，∴EQ＝25x，∵△EPQ是以EQ为腰的等腰三角形，∴Ⅰ、当EQ＝EP时，∴∠EQP＝∠EPQ，∵DE＝DQ，∴∠EQP＝∠QED，∴∠EPQ＝∠QED，∴△EQP∽△DEQ，∴，∴EQ2＝DE•QP，∴（25x）2＝（2x﹣10）•x，解得，x＝0（舍）或x＝12523＜6，即：BP＝12523，Ⅱ、当QE＝QP时，25x＝2x﹣10，解得，x＝254＞6，此种情况不存在，即：BP＝125 23；（3）如图，过点P作PH⊥EQ，交EQ的延长线于点H，过点B作BG⊥DC，垂足为点G，∵BD＝BC，BG⊥DC，∴DG＝2，BG＝，∵BP＝DQ＝m，∴PQ＝10﹣2m，∵EQ∥DC，∴∠PQH＝∠BDG，∵∠PHQ＝∠BGD＝90°，∴△PHQ∽△BGD，∴PH PQ HQBG BD GD==102102m HQ-==，∴HQ＝1025m-，PH＝2)5m-，∴EH＝102255m m-+＝2，∴tan∠PEQ＝PHEH＝2)5m-12⨯＝﹣5m．【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，锐角三角函数，用方程的思想解决问题是解本题的关键．3．（2019秋•闵行区期末）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，CD＝2，（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD＝x，CE＝y．（1）求证：∠DAB＝∠DCF；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．【考点】相似形综合题．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）由点G是Rt△ABC的重心，证明CF⊥AB，即∠AFC＝90°，利用外角的性质即可证明结论；（2）过点B作BH⊥CD于点H，先证△CAD≌△BCH，得出BH＝CD＝2，CH＝AD＝x，DH＝2﹣x，再证△ADE ∽△BHE，利用合比性质即可求出结论；（3）分两种情况讨论，当GC＝GD时，如图2﹣1，取AC的中点M，联结MD，可证AD＝CH＝12CD=1；当CG＝CD时，如图2﹣2，可由重心分别求出CF，AC，CD的长，可由勾股定理求出AD的长．【解答】（1）证明：∵点G是Rt△ABC的重心，∴CF是Rt△ABC的中线，又∵在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CF⊥AB，即∠AFC＝90°，∵∠DEF＝∠ADE+∠DAE＝∠EFC+∠ECF，且∠ADE＝∠EFC＝90°，∴∠DAB＝∠DCF；（2）解：如图1，过点B作BH⊥CD于点H，则∠CBH+∠BCH＝90°，又∵∠BCH+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠CBH，又∵∠ADC＝∠CHB＝90°，AC＝CB，∴△CAD≌△BCH，∴BH＝CD＝2，CH＝AD＝x，DH＝2﹣x，∵∠ADC＝∠CHB＝∠BHD＝90°，∴AD∥BH，∴△ADE∽△BHE，∴AD DEBH EH=，∴2x DEEH=，∴22x DE EH DHEH EH++==，∴4-2xEH=x+2，∴2424(02)22x xy CE CH HE x xx x-+==+=+=<≤++；（3）解：当GC＝GD时，如图2﹣1，取AC的中点M，联结MD，那么MD＝MC，联结MG，MG⊥CD，且直线MG经过点B，那么BH与MG共线，又CH ＝AD ，那么AD ＝CH ＝12CD =1；当CG ＝CD 时，如图2﹣2，即CG ＝2，点G 为△ABC 的重心，∴332CF CG ==，∴AB ＝2CF ＝6，∴22AC AB ==，∴AD ==；综上所述，AD ＝1【点评】本题考查了函数，相似三角形的判定与性质，重心的性质等，解题关键是熟练掌握重心的性质．4．（2019秋•崇明区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝16，点D 为BC 边上的一个动点（点D 不与点B 、点C 重合）．以D 为顶点作∠ADE ＝∠B ，射线DE 交AC 边于点E ，过点A 作AF ⊥AD 交射线DE 于点F ．（1）求证：AB •CE ＝BD •CD ；（2）当DF 平分∠ADC 时，求AE 的长；（3）当△AEF 是等腰三角形时，求BD 的长．【考点】相似形综合题．【专题】几何综合题；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B ＝∠C ，根据三角形的外角性质得到∠BAD ＝∠CDE ，得到△BAD ∽△CDE ，根据相似三角形的性质证明结论；（2）证明DF ∥AB ，根据平行线的性质得到AE BD AC BC =，证明△BDA ∽△BAC ，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案；（3）分点F 在DE 的延长线上、点F 在线段DE 上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∠ADC ＝∠BAD +∠B ，∠ADE ＝∠B ，∴∠BAD ＝∠CDE ，又∠B ＝∠C ，∴△BAD ∽△CDE ，∴AB BD CD CE=，即AB •CE ＝BD •CD ；（2）解：∵DF 平分∠ADC ，∴∠ADE ＝∠CDE ，∵∠CDE ＝∠BAD ，∴∠ADE ＝∠BAD ，∴DF ∥AB ，∴AE BD AC BC=，∵∠BAD ＝∠ADE ＝∠B ，∴∠BAD ＝∠C ，又∠B ＝∠B ，∴△BDA ∽△BAC ，∴BD BA BA BC =，即101016BD =解得，254BD =，∴2541016AE =，解得，AE ＝12532；（3）解：作AH ⊥BC 于H ，∵AB ＝AC ，AH ⊥BC ，∴BH ＝HC ＝12BC ＝8，由勾股定理得，AH 22221086AB BH -=-=，∴tan B ＝AH BH ＝34，∴tan ∠ADF ＝AF AD ＝34，设AF ＝3x ，则AD ＝4x ，由勾股定理得，DF 22AD AF +＝5x ，∵△BAD ∽△CDE ，∴AD AB DE CD =，当点F在DE的延长线上，FA＝FE时，DE＝5x﹣3x＝2x，∴1042xCD x=，解得，CD＝5，∴BD＝BC﹣CD＝11，当EA＝EF时，DE＝EF＝2.5x，∴1042.5xCD x=，解得，CD＝254，∴BD＝BC﹣CD＝39 4；当AE＝AF＝3x时，DE＝75x，∴10475xCD x=，解得，CD＝72，∴BD＝BC﹣CD＝252；当点F在线段DE上时，∠AFE为钝角，∴只有FA＝FE＝3x，则DE＝8x，∴1048x CD x=，解得，CD＝20＞16，不合题意，∴△AEF是等腰三角形时，BD的长为11或394或252．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．5．（2019秋•宝山区期末）如图，OC是△ABC中AB边的中线，∠ABC＝36°，点D为OC上一点，如果OD＝k⋅OC，过D作DE∥CA交于BA点E，点M是DE的中点，将△ODE绕点O顺时针旋转α度（其中0°＜α＜180°）后，射线OM交直线BC于点N．（1）如果△ABC的面积为26，求△ODE的面积（用k的代数式表示）；（2）当N和B不重合时，请探究∠ONB的度数y与旋转角α的度数之间的函数关系式；（3）写出当△ONB为等腰三角形时，旋转角α的度数．【考点】几何变换综合题．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【分析】（1）通过证明△ODE ∽△OCA ，可得2()DEO OAC S OD S OC∆∆=，即可求解；（2）通过证明△OEM ∽△BAC ，可得∠EOM ＝∠ABC ＝36°，分两种情况讨论可求解；（3）分四种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵OC 是△ABC 中AB 边的中线，△ABC 的面积为26，∴S △OAC ＝13，∵DE ∥AC ，∴△ODE ∽△OCA ，∠OEM ＝∠OAC ，∴2()DEO OAC S OD S OC∆∆=，且OD ＝k ⋅OC ，∴S △ODE ＝13k 2，（2）∵△ODE ∽△OCA ，∴OE OD DE k OA OC AC ===，∵OC 是△ABC 中AB 边的中线，点M 是DE 的中点，∴AB ＝2AO ，EM ＝12DE ，∴2OE k EM AB AC==，且∠OEM ＝∠OAC ，∴△OEM ∽△BAC ，∴∠EOM ＝∠ABC ＝36°，如图2，当0＜α＜144°时，∵∠AON ＝∠B +∠ONB ，∴∠AOE +∠EOM ＝∠B +∠ONB ∴y ＝α如图3，当144°＜α＜180°时，∵∠BON ＝∠EOM ﹣∠BOE ＝36°﹣（180°﹣α）∴∠NOB ＝α﹣144°，∵∠BNO ＝∠ABC ﹣∠NOB ＝36°﹣（α﹣144°）＝180°﹣α；（3）当0＜α＜144°时，若OB＝ON，则∠ABC＝∠BNO＝36°＝α，若OB＝BN，则∠ONB＝180362-＝72°＝α，若ON＝BN，则∠ABC＝∠BON＝36°，∴∠ONB＝180°﹣2×36°＝108°＝α，当144°＜α＜180°时，若OB＝BN，则∠N＝∠NOB＝18°＝180°﹣α，∴α＝162°．【点评】本题是几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，证明△OEM∽△BAC是本题的关键．专题四动点函数背景下的线段问题【历年真题】1．（2019秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，sin∠ABC＝3 5，点D为射线BC上一点，联结AD，过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AG∥BD，交直线BE于点G．（1）当点D在BC的延长线上时，如果CD＝2，求tan∠FBC；（2）当点D在BC的延长线上时，设AG＝x，S△DAF＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写函数的定义域）；（3）如果AG＝8，求DE的长．【考点】三角形综合题．【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．【分析】（1）求出AC＝3，可得∠DAC＝∠FBC，则tan∠FBC＝tan∠DAC＝23 DCAC=；（2）由条件可得∠AGF＝∠CBF，可得AF CFAG BC=，可用x表示CF和AF的长，求出CD，则S△DAF＝12AF CD，可用x表示结果；（3）分两种情况，①当点D 在BC 的延长线上时，②当点D 在BC 的边上时，可求出AE 长AD 的长，则DE ＝AD ﹣AE 可求出．【解答】解：（1）∵∠ACB ＝90°，BC ＝4，sin ∠ABC ＝35，∴设AC ＝3x ，AB ＝5x ，∴（3x ）2+16＝（5x ）2，∴x ＝1，即AC ＝3，∵BE ⊥AD ，∴∠AEF ＝90°，∵∠AFE ＝∠CFB ，∴∠DAC ＝∠FBC ，∴tan ∠FBC ＝tan ∠DAC ＝23DC AC =；（2）∵AG ∥BD ，∴∠AGF ＝∠CBF ，∴tan ∠AGF ＝tan ∠CBF ，∴AF CF AG BC =，AG AF BC CF =，∴34x CF CF-=，∴124CF x =+．∴12334AF CF x =-=-+＝34x x+．∵∠EAF ＝∠CBF ，∴CD CF AC BC =，∴94CD x =+，∴S △DAF ＝12AF CD ＝2193272442(4)x x x x x ⨯⨯=+++；（3）①当点D 在BC 的延长线上时，如图1，∵AG ＝8，BC ＝4，AG ∥BD ，∴21AG AF BC CF ==，∴AF ＝2CF ，∵AC ＝3，∴AF ＝2，CF ＝1，∴CF 1tan AGE=tan CBF==BC 4∠∠，∴AE 1=GE 4，设AE ＝x ，GE ＝4x ，∴x 2+16x 2＝82，解得x ＝，即AE ．同理tan ∠DAC ＝tan ∠CBF ，∴DC 1=AC 4，∴DC ＝34，∴AD∴DE AD AE=-=②当点D在BC的边上时，如图2，∵AG∥BD，AG＝8，BC＝4，∴8241AG AFBC CF===．∴AF＝6，∵∠EAF＝∠CBF＝∠ABC，∴cos∠EAF＝cos∠ABC，∴654AE=，∴245AE=，同理AC BCAD AB=，∴345AD=，∴154AD=．∴DE＝AE﹣AD＝241521 5420-=．综合以上可得DE的长为191768或2120．【点评】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，平行线的性质，三角形的面积，锐角三角函数等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．2．（2019秋•静安区期末）已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB2＝BE•DC，DE：EC＝3：1，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G．（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；（2）当DF平分∠ADC时，求DG：DF的值；（3）如图2，当∠BAC＝90°，且DF⊥AE时，求DG：DF的值．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据相似三角形的判定定理进行判定即可；（2）由相似三角形的性质即可得出答案；（3）由等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质即可得出答案．【解答】解：（1）与△ACD 相似的三角形有：△ABE 、△ADE ，理由如下：∵AB 2＝BE •DC ，∴BE AB AB DC=，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，BE AC AB DC =，∴△ABE ∽△DCA ．∵△ABE ∽△DCA ，∴∠AED ＝∠DAC ．∵∠AED ＝∠C +∠EAC ，∠DAC ＝∠DAE +∠EAC ，∴∠DAE ＝∠C ．∴△ADE ∽△CDA ；（2）∵△ADE ∽△CDA ，又∵DF 平分∠ADC ，∴DG DE AD DF AD CD==，设CE ＝a ，则DE ＝3CE ＝3a ，CD ＝4a ，∴34a AD AD a=，解得：AD ＝23a ，∴23342DG AD a DF CD a ===；（3）∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝45°，∴∠DAE ＝∠C ＝45°∵DG ⊥AE ，∴∠DAG ＝∠ADF ＝45°，∴AG ＝DG ＝22AD ＝22×236a ，∴EG 2222(3)(6)3DE DG a a -=-a ，∴AE ＝AG +EG ＝（63）a ，∵∠AED ＝∠DAC ，∴△ADE ∽△DFA ，∴AD AE DF AD=，∴22AD AE ==a ，∴24DG DF +==．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．专题四动点函数背景下四边形【历年真题】1．（2019秋•长宁、金山区期末）如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 、Q 分别在边AC 、射线CB 上，且AP ＝CQ ，过点P 作PM ⊥AB ，垂足为点M ，联结PQ ，以PM 、PQ 为邻边作平行四边形PQNM ，设AP ＝x ，平行四边形PQNM 的面积为y ．（1）当平行四边形PQNM 为矩形时，求∠PQM 的正切值；（2）当点N 在△ABC 内，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点P 且平行于BC 的直线经过平行四边形PQNM 一边的中点时，直接写出x 的值．【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；应用意识．【分析】（1）当四边形PQMN 是矩形时，PQ ∥AB ．根据tan ∠PQM ＝PM PQ求解即可．（2）如图1中，延长QN 交AB 于K ．求出MK ，PM ，根据y ＝PM •MK 求解即可．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当平分MN 时，D 为MN 的中点，作NE ∥BC 交PQ 于E ，作NH ⊥CB 交CB 的延长线于H ，EG ⊥BC 于G ．根据EG ＝12PC 构建方程求解．②如图3﹣2中，当平分NQ 时，D 是NQ 的中点，作DH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．根据PC ＝GH 构建方程求解即可．【解答】解：（1）在Rt △ACB 中，∵∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，∴AB ＝＝10，当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．∴tan∠PQM＝PMPQ=3955253PACQ=．（2）如图1中，延长QN交AB于K．由题意BQ＝6﹣x，QN＝PM＝35x，AM＝45x，KQ＝45BQ＝2445x-，BK＝35BQ＝1835x-，∴MK＝AB﹣AM﹣BK＝325x-，∵QN＜QK，∴35x＜2445x-，∴x＜247，∴y＝PM•MK＝296325x x-（0＜x＜247）．（3）①如图3﹣1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．∵PD∥BC，EN∥BC，∴PD∥NE，∵PE∥DN，∴四边形PDNE是平行四边形，∴PE＝DN，∵DN＝DM，PQ＝MN，∴PE＝EQ，∵EG∥PC，∴CG＝GQ，∴EG＝12PC，∵四边形EGHN是矩形，∴NH＝EG＝35NQ＝35PM＝925x，PC＝8﹣x，∴925x＝12•（8﹣x），解得x＝20043．②如图3﹣2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．∵DH＝PC，∴8﹣x＝12•925x，解得x＝40059，综上所述，满足条件x的值为20043或40059．【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．2．（2019秋•嘉定区期末）已知：点P在△ABC内，且满足∠APB＝∠APC（如图），∠APB+∠BAC＝180°．（1）求证：△PAB∽△PCA；（2）如果∠APB＝120°，∠ABC＝90°，求PCPB的值；（3）如果∠BAC＝45°，且△ABC是等腰三角形，试求tan∠PBC的值．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；等腰三角形的性质．【专题】图形的相似；应用意识．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）证明△PAB∽△PCA，利用相似三角形的性质解决问题即可．（3）分三种情形：AB＝AC，AB＝BC，AC＝BC分别求解即可解决问题．【解答】证明：（1）∵∠ABP +∠BAP +∠APB ＝180°，∠APB +∠BAC ＝180°，∴∠ABP +∠BAP +∠APB ＝∠APB +∠BAC ，即∠ABP +∠BAP +∠APB ＝∠APB +∠BAP +∠CAP ，∴∠ABP ＝∠CAP ，又∵∠APB ＝∠APC ，∴△PAB ∽△PCA ．（2）如图1中，∵∠APB +∠BAC ＝180°，∠APB ＝120°，∴∠BAC ＝60°，在△ABC 中，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴，又∵△PAB ∽△PCA ，∴12PB PA AB PA PC AC ===，∴14PB PB PA PC PA PC == ，即4PC PB =．（3）∵∠BAC ＝45°，∠APB +∠BAC ＝180°，∠APB ＝∠APC ，∴∠APB ＝∠APC ＝135°．∴∠BPC ＝360°﹣∠APB ﹣∠APC ＝360°﹣135°﹣135°＝90°，∵△PCA ∽△PAB ，∴PA PC AC PB PA AB==，∴163．①如图2中，当△ABC 是等腰三角形，且AB ＝AC 时，2tan PBC=()=1PC AC PB AB =∠．②如图3中，当△ABC 是等腰三角形，且AB ＝BC 时，∠ACB ＝∠BAC ＝45°，∠ABC ＝90°，易得2AC AB ，∴2tan PBC=()=2PC AC PB AB=∠．③如图10﹣4，当△ABC 是等腰三角形，且AC ＝BC 时，∠ABC ＝∠BAC ＝45°，∠ACB ＝90°，易得2=2AC AB ，∴21tan PBC=()=2PC AC PB AB =∠．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．3．（2019秋•徐汇区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点D 是边AB 上的动点（点D 不与点AB 重合），点G 在边AB 的延长线上，∠CDE ＝∠A ，∠GBE ＝∠ABC ，DE 与边BC 交于点F ．（1）求cos A 的值；（2）当∠A ＝2∠ACD 时，求AD 的长；（3）点D 在边AB 上运动的过程中，AD ：BE 的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD ：BE 的值；如果变化，请说明理由．【考点】三角形综合题．。
上海初中数学一模-2019年-25题分题合集(含解析)
上海初中数学一模-2019年-25题分题合集1. （2019•徐汇区一模）已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，10AC BC ==，4cos 5ACB ∠=，点E 在对角线AC 上（不与点A 、C 重合），EDC ACB ∠=∠，DE 的延长线与射线CB 交于点F ，设AD 的长为x ．（1）如图1，当DF BC ⊥时，求AD 的长；（2）设EC y =，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域；（3）当DFC ∆是等腰三角形时，求AD 的长．2.（2019•闵行区一模）如图，在梯形ABCD中，//AD BC，AB CD=，5AD=，15BC=，5 cos13ABC∠=．E为射线CD上任意一点，过点A作//AF BE，与射线CD相交于点F．连接BF，与直线AD相交于点G．设CE x=，AGy DG=．（1）求AB的长；（A）（2）当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（C）（3）如果23ABEFABCDSS=四边形四边形，求线段CE的长．（D）3.（2019•奉贤区一模）如图，已知梯形ABCD中，//AD=，DABAB CD，90∠=︒，4 ==，E是边BC上一点，过点D、E分别作BC、CD的平行线交于点F，26AB CD联结AF并延长，与射线DC交于点G．（1）当点G与点C重合时，求:CE BE的值；（B）（2）当点G在边CD上时，设CE m∆的面积；（用含m的代数式表示）=，求DFG（D）（3）当AFD ADG∠的余弦值．（C）∽时，求DAG∆∆4.（2019•松江区一模）如图，已知ABC∠=︒，D是边AB的中点，P是边∆中，90ACBAC上一动点，BP与CD相交于点E．（1）如果6AC=，且P为AC的中点，求线段BE的长；（B）BC=，8（2）联结PD，如果PD AB⊥，且2ED=，求cos A的值；（D）CE=，3（3）联结PD，如果22=，且22BP CDED=，求线段PD的长．（D）CE=，35.（2019•嘉定区一模）在矩形ABCD中，6AD=，点E是边AD上一点，AB=，8⊥交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．EM EC（1）如图1，求证：ANE DCE∠=∠；（B）（2）如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；（C）（3）连接AC，如果AEC∆与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE 的长．（D）6.（2019•崇明区一模）如图，在ABCBC=，AD BC⊥，垂足为==，6AB AC∆中，5D，点P是边AB上的一个动点，过点P作//⊥交PF AC交线段BD于点F，作PG AB AD于点E，交线段CD于点G，设BP x=．（1）用含x的代数式表示线段DG的长；（B）（2）设DEF∆的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（C）（3）PEF∆能否为直角三角形？如果能，求出BP的长；如果不能，请说明理由．（C）7.（2019•黄浦区一模）在ABC∆中，90ACB∠=︒，3BC=，4AC=，点O是AB的中点，点D是边AC上一点，DE BD⊥，交BC的延长线于点E，OD DF⊥，交BC边于点F，过点E作EG AB⊥，垂足为点G，EG分别交BD、DF、DC于点M、N、H．（1）求证：DE NEDB OB=；（B）（2）设CD x=，NE y=，求y关于x的函数关系式及其定义域；（C）（3）当DEF∆是以DE为腰的等腰三角形时，求线段CD的长．（D）8. （2019•静安区一模）已知：如图，在ABC ∆中，6AB =，9AC =，tan 22ABC ∠=．过点B 作//BM AC ，动点P 在射线BM 上（点P 不与B 重合），联结PA 并延长到点Q ，使AQC ABP ∠=∠．（1）求ABC ∆的面积；（2）设BP x =，AQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（C ）（3）连接PC ，如果PQC ∆是直角三角形，求BP 的长．（C ）9.（2019•青浦区一模）如图，在梯形ABCD中，//DB DC==，AD BC，18BC=，15点E、F分别在线段BD、CD上，5DE DF==．AE的延长线交边BC于点G，AF 交BD于点N、其延长线交BC的延长线于点H．（1）求证：BG CH=；（C）（2）设AD x∆的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；=，ADN（C）（3）联结FG，当HFG∆相似时，求AD的长．（D）∆与ADN10. （2019•虹口区一模）如图，在四边形ABCD 中//AD BC ，90A ∠=︒，6AB =，10BC =，点E 为边AD 上一点，将ABE 沿BE 翻折，点A 落在对角线BD 上的点G 处，连接EG 并延长交射线BC 于点F ．（1）如果2cos 3DBC ∠=，求EF 的长；（B ） （2）当点F 在边BC 上时，连接AG ，设AD x =，ABG BEFS y S ∆∆=，求y 关于x 的函数关系式并写出x 的取值范围；（C ） （3）连接CG ，如果FCG ∆是等腰三角形，求AD 的长．（D ）11.（2019•宝山区一模）如图，已知：梯形ABCD中，90AB DC，DAB∠=︒，//∠=︒，45ABCAB=，点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射3DC=，5线EP于射线CB交于点F．（1）若13AP=，求DE的长；（B）（2）联结CP，若CP EP=，求AP的长；（C）（3）线段CF上是否存在点G，使得ADE∆与FGE∆相似？若相似，求FG的值；若不相似，请说明理由．（C）12.（2019•金山区一模）已知多边形ABCDEF是O的内接正六边形，联结AC、FD，点H是射线AF上的一个动点，联结CH，直线CH交射线DF于点G，作MH CH⊥交r r>．CD的延长线于点M，设O的半径为(0)（1）求证：四边形ACDF是矩形．（B）（2）当CH经过点E时，M与O外切，求M的半径（用r的代数式表示）．（B）（3）设(090)∠=<<︒，求点C、M、H、F构成的四边形的面积（用r及HCDαα含α的三角比的式子表示）．（E）13.（2019•长宁区一模）已知锐角MBN∠的余弦值为35，点C在射线BN上，25BC=，点A在MBN∠的内部，且90BAC∠=︒，BCA MBN∠=∠．过点A的直线DE分别交射线BM、射线BN于点D、E．点F在线段BE上（点F不与点B重合），且EAF MBN∠=∠．（1）如图1，当AF BN⊥时，求EF的长；（B）（2）如图2，当点E在线段BC上时，设BF x=，BD y=，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；（D）（3）联结DF，当ADF∆与ACE∆相似时，请直接写出BD的长．（E）14.（2019•普陀区一模）如图，点O在线段AB上，22∠=︒，点C是BOPAO OB a==，60射线OP上的一个动点．（1）如图①，当90OC=，求a的值；（B）∠=︒，2ACB（2）如图②，当AC AB=时，求OC的长（用含a的代数式表示）；（B）（3）在第（2）题的条件下，过点A作//AQ OQ的AQ BC，并使QOC B∠=∠，求:值．（C）15.（2019•杨浦区一模）已知：梯形ABCD中，//AD=，6AB=，⊥，3AD BC，AB BC⊥分别交射线AB、射线CB于点E、F．DF DC（1）当点E为边AB的中点时（如图1)，求BC的长；（B）（2）当点E在边AB上时（如图2)，联结CE，试问：DCE∠的大小是否确定？若确定，请求出DCE∠的正切值为y，请求出∠的正切值；若不确定，则设AE x=，DCEy关于x的函数解析式，并写出定义域；（B）（3）当AEF∆的面积为3时，求DCE∆的面积．（C）16.（2019•浦东新区一模）将大小两把含30︒角的直角三角尺按如图1位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点C重合，小三角尺的顶点D、E分别在大三角尺的直角边AC、∠=∠=︒，BC上，此时小三角尺的斜边DE恰好经过大三角尺的重心G．已知30A CDEAB=．12（1）求小三角尺的直角边CD的长；（2）将小三角尺绕点C逆时针旋转，当点D第一次落在大三角尺的边AB上时（如图2)，求点B、E之间的距离；（3）在小三角尺绕点C旋转的过程中，当直线DE经过点A时，求BAE∠的正弦值．上海初中数学一模-2019年-25题分题合集参考答案与试题解析一．解答题1. 已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，10AC BC ==，4cos 5ACB ∠=，点E 在对角线AC 上（不与点A 、C 重合），EDC ACB ∠=∠，DE 的延长线与射线CB 交于点F ，设AD 的长为x ．（1）如图1，当DF BC ⊥时，求AD 的长；（2）设EC y =，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域；（3）当DFC ∆是等腰三角形时，求AD 的长．【分析】（1）证明ADC DCE ∆∆∽，利用22223616105AC CE CD DF FC a a ==+=+=，即可求解；（2）过点C 作CH AD ⊥交AD 的延长线于点H ，22222(sin )(cos )CD CH DH AC AC x αα=+=+-，即可求解；（3）分DF DC =、FC DC =、FC FD =三种情况，求解即可．【解答】解：（1）设：ACB EDC CAD α∠=∠=∠=∠，4cos 5α=， 3sin 5α∴=， 过点A 作AH BC ⊥交于点H ，sin 6AH AC DF α===，2BH =，如图1，设：4FC a =， 4cos5ACB ∴∠=，则3EF a =，5EC a =， EDC CAD α∠=∠=∠，ACD ACD ∠=∠，ADC DCE ∴∆∆∽，22223616105AC CE CD DF FC a a ∴==+=+=，解得：2a =或98（舍去2)a =， 710242AD HF a ==--=； （2）过点C 作CH AD ⊥交AD 的延长线于点H ，22222(sin )(cos )CD CH DH AC AC x αα=+=+-，即：2236(8)CD x =+-，由（1）得：2AC CE CD =，即：21810(010)105y x x x =-+<⋯①， （3）①当DF DC =时，ECF FDC α∠=∠=，DFC DFC ∠=∠，DFC CFE ∴∆∆∽，DF DC =，FC EC y ∴==，10x y ∴+=，即：2181010105x x x =-++， 解得：6x =；②当FC DC =，则DFC FDC α∠=∠=，则：EF EC y ==，10DE AE y ==-，在等腰ADE ∆中，11422cos cos 105AD x DAE AE y α∠====-，即：5880x y +=，将上式代入①式并解得：394x =； ③当FC FD =，则FCD FDC α∠=∠=，而ECF FCD α∠=≠∠，不成立，故：该情况不存在；故：AD 的长为6和394． 【点评】本题为四边形的综合题，涉及到解直角三角形、一元二次方程，三角形相似等诸多知识点，其中三角形相似是本题的突破点，难度较大．2.如图，在梯形ABCD中，//AD BC，AB CD=，5AD=，15BC=，5cos13ABC∠=．E 为射线CD上任意一点，过点A作//AF BE，与射线CD相交于点F．连接BF，与直线AD相交于点G．设CE x=，AGy DG=．（1）求AB的长；（2）当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果23ABEFABCDSS=四边形四边形，求线段CE的长．【分析】（1）分别过点A、D作AM BC⊥、DN BC⊥，垂足为点M、N，根据三角函数解答即可；（2）根据相似三角形的判定和性质解答，进而利用函数解析式解答即可；（3）根据两种情况，利用勾股定理解答即可．【解答】思路：解直角三角形解：（1）分别过点A、D作AM BC⊥、DN BC⊥，垂足为点M、N．//AD BC ，AB CD =，5AD =，15BC =，11()(155)522BM BC AD ∴=-=⨯-=， 在Rt ABM ∆中，90AMB ∠=︒， ∴55cos 13BM ABM AB AB ∠===． 13AB ∴=．（2）思路一：合分比性质AG y DG=， ∴1AG DG y DG+=+．即得51DG y =+， 思路二：运动过程中始终有△AFD ∽△BECAFD BEC ∠=∠，ADF C ∠=∠．ADF BCE ∴∆∆∽． ∴51153FD AD EC BC ===， 又CE x =，13FD x =，13AB CD ==．即得1133FC x =+． 思路三：运动过程中始终有△FGD ∽△FBC ，或者说始终有A 字形//AD BC ， ∴FD DG FC BC=． ∴5113115133x y x +=+． ∴3923x y x-=． ∴所求函数的解析式为3923xy x -= 临界点1：E 和C 重合临界点2：G 和A 重合，此时E 、F 交于一点，为射线BA 和射线CF 交点函数定义域为3902x <<． （3） 梯形ABCD 为定梯形，所以面积苛求，所以ABEF 面积可求在Rt ABM ∆中，利用勾股定理，得12AM =． ∴()()115151212022ABCD S AD BC AM =+⋅=+⨯=梯形． 23ABEFABCD S S =四边形四边形， 80ABEF S ∴=四边形．设ADF S S ∆=．由ADF BCE ∆∆∽，13FD EC =，得 9AEC S S ∆=． 由题意，本题有两种情况：方法一：△BEC 面积可求，因为BC 和∠C 知道，所以EC 可求方法二：△BEC 面积可求，因为BC 知道，则BC 边上高知道，利用比例线段EC 可求 过点E 作EH BC ⊥，垂足为点H ．（ⅰ）如果点G 在边AD 上，则 840ABCD ABEF S S S -==四边形四边形．5S ∴=．945AEC S S ∆∴==． ∴11154522BEC S BC EH EH ∆=-=⨯-=． 6EH ∴=．由 DN BC ⊥，EH BC ⊥，易得 //EH DN ．∴61122CE EH CD DN ===． 又 13CD AB ==， ∴132CE =，（ⅱ）如果点G 在边DA 的延长线上，则 9AEF ABCD ABEF S S S S ∆++=四边形四边形． 8200S ∴=．解得25S =．9225BEC S S ∆∴==． ∴111522522BEC S BC EH EH ∆=-=⨯-=．解得 30EH =． ∴305122CE EH CD DN ===． ∴652CE =， ∴136522CE =或． 【点评】此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及梯形的性质进行解答即可．3. 如图，已知梯形ABCD 中，//AB CD ，90DAB ∠=︒，4AD =，26AB CD ==，E 是边BC 上一点，过点D 、E 分别作BC 、CD 的平行线交于点F ，联结AF 并延长，与射线DC 交于点G ．（1）当点G 与点C 重合时，求:CE BE 的值；（2）当点G 在边CD 上时，设CE m =，求DFG ∆的面积；（用含m 的代数式表示）（3）当AFD ADG ∆∆∽时，求DAG ∠的余弦值．【分析】（1）由题意可得四边形DCEF 是平行四边形，可得CD EF =，通过证明CFE CAB ∆∆∽，可得12CE EF CB AB ==，可得BE CE =，则可求:CE BE 的值； （2）延长AG ，BC 交为于点M ，过点C 作CN AB ⊥于点N ，交EF 于点H ，由题意可得四边形ADCN 是矩形，可得4AD CN ==，3CD AN ==，3BN =，由平行线分线段成比例可求BE ，ME ，MC ，CH ，GC 的长，即可求GD 的长，由三角求形面积公式可DFG ∆的面积；（3）由AFD ADG ∆∆∽，可得90AFD ADG ∠=∠=︒，由余角的性质可得DAG B ∠=∠，即可求DAG ∠的余弦值．【解答】解：（1）如图，//DC EF ，//DF CE∴四边形DCEF 是平行四边形CD EF ∴=，26AB CD ==，2AB EF ∴=，//EF CD ，//AB CD ，//EF AB ∴，CFE CAB ∴∆∆∽ ∴12CE EF CB AB == 2BC CE ∴=，BE CE ∴=:1:1EC BE ∴=（2）方法一：中间面积法,思路点：梯形ABCD 是定梯形，DFEC 始终是平行四边形，△ADH 为定三角形方法二：直接表示法因为底和高都不知道，所以需要一个一个表示因为梯形ABCD 是定梯形，解梯形AD CD ⊥，CN CD ⊥//AD CN ∴，且//CD AB∴四边形ADCN 是平行四边形，又90DAB ∠=︒∴四边形ADCN 是矩形，4AD CN ∴==，3CD AN ==，3BN AB AN ∴=-=，在Rt BCN ∆中，225BC CN BN =+=利用比例线段或者相似或者解直角三角形求出CH//EF AB∴CE HE HC BC BN CN == 45HC m ∴=， 求DG ，因DC 知道，所以求CG如图，延长AG ，BC 交为于点M ，过点C 作CN AB ⊥于点N ，交EF 于点H利用比例线段MC5BE BC CE m ∴=-=-， //EF AB ∴EF ME AB MB=， 即12CD ME AB BM == 5ME BE m ∴==-，52MC ME CE m ∴=-=-，利用比例线段CG （随意一组A 字形都可以）//CG EF∴GC MC EF ME= 即5235GC m m-=- 1565m GC m -∴=-1563355m m DG CD GC m m-∴=-=-=-- 2162255DFGm S DG CH m∆∴=⨯⨯=- （3）因为ADG 是直角三角形，所以只能是∠DFA 为直角，做出图形即可求解 过点C 作CN AB ⊥于点N ，//AB CD ，90DAB ∠=︒，90DAB ADG ∴∠=∠=︒，若AFD ADG ∆∆∽，90AFD ADG ∴∠=∠=︒DF AG ∴⊥又//DF BCAG BC ∴⊥90B GAB ∴∠+∠=︒，且90DAG GAB ∠+∠=︒B DAG ∴∠=∠3cos cos 5BN DAG B BC ∴∠=== 【点评】本题是相似形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，熟练运用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．4. 如图，已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是边AB 的中点，P 是边AC 上一动点，BP 与CD 相交于点E ．（1）如果6BC =，8AC =，且P 为AC 的中点，求线段BE 的长；（2）联结PD ，如果PD AB ⊥，且2CE =，3ED =，求cos A 的值；（3）联结PD ，如果222BP CD =，且2CE =，3ED =，求线段PD 的长．【分析】（1）根据已知条件得到4CP =，求得213BP =，根据三角形重心的性质即可得到结论；（2）如图1，过点B 作//BF CA 交CD 的延长线于点F ，根据平行线分线段成比例定理得到BD FD BF DA DC CA ==，求得13CP PA =，设CP k =，则3PA k =，得到3PA PB k ==根据三角函数的定义即可得到结论；（3）根据直角三角形的性质得到12CD BD AB ==，推出PBD ABP ∆∆∽，根据相似三角形的性质得到BPD A ∠=∠，推出DPE DCP ∆∆∽，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）P 为AC 的中点，8AC =，4CP ∴=，90ACB ∠=︒，6BC =，213BP ∴= D 是边AB 的中点，P 为AC 的中点，∴点E 是ABC ∆的重心，241333BE BP ∴=；方法一：从中点出发，回归到旗帜模型方法二：（2）如图1，过点B作//BF CA交CD的延长线于点F，∴BD FD BF DA DC CA==，BD DA=，FD DC∴=，BF AC=，2CE=，3ED=，则5CD=，8EF∴=，∴2184 CP CEBF EF===，∴14 CPCA=，∴13 CPPA=，设CP k=，则3PA k=，PD AB ⊥，D 是边AB 的中点，3PA PB k ∴==BC ∴=，AB ∴=，4AC k =，cos A ∴=； 方法一：方法二：（3）90ACB ∠=︒，D 是边AB 的中点，12CD BD AB ∴==，222PB CD =，22BP CD CD BD AB ∴==，PBD ABP ∠=∠，PBD ABP ∴∆∆∽，BPD A ∴∠=∠，A DCA ∠=∠，DPE DCP ∴∠=∠，PDE CDP ∠=∠，DPE DCP ∴∆∆∽，2PD DE DC ∴=，3DE =，5DC =，PD ∴．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5.在矩形ABCD中，6AB=，8AD=，点E是边AD上一点，EM EC⊥交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．（1）如图1，求证：ANE DCE∠=∠；（2）如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；（3）连接AC，如果AEC∆与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长．【分析】（1）由比例中项知AM AEAE AN=，据此可证AME AEN∆∆∽得AEM ANE∠=∠，再证AEM DCE∠=∠可得答案；（2）先证ANE EAC∠=∠，结合ANE DCE∠=∠得DCE EAC∠=∠，从而知DE DC DC AD=，据此求得97822AE=-=，由（1）得AEM DCE∠=∠，据此知AM DEAE DC=，求得218AM=，由AM AEAE AN=求得4924MN=；（3）分ENM EAC∠=∠和ENM ECA∠=∠两种情况分别求解可得．【解答】解：（1）AE是AM和AN的比例中项∴AM AEAE AN=，A A∠=∠，AME AEN∴∆∆∽，AEM ANE ∴∠=∠，90D∠=︒，∴∠+∠=︒，DCE DEC90⊥，EM BC∴∠+∠=︒，AEM DEC90∴∠=∠，AEM DCE∴∠=∠；ANE DCE（2）AC与NE互相垂直，EAC AEN∴∠+∠=︒，90BAC∠=︒，90∴∠+∠=︒，90ANE AENANE EAC ∴∠=∠，由（1）得ANE DCE ∠=∠，DCE EAC ∴∠=∠，tan tan DCE DAC ∴∠=∠， ∴DE DC DC AD=， 6DC AB ==，8AD =，92DE ∴=， 97822AE ∴=-=， 由（1）得AEM DCE ∠=∠，tan tan AEM DCE ∴∠=∠， ∴AM DE AE DC=， 218AM ∴=， AM AE AE AN=， 143AN ∴=， 4924MN ∴=； 相似通解通法·第二种情况利用面积法或者利用旗帜模型解决问题（3）NME MAE AEM∠=∠+∠，AEC D DCE∠=∠+∠，又90MAE D∠=∠=︒，由（1）得AEM DCE∠=∠，AEC NME∴∠=∠，当AEC∆与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时①ENM EAC∠=∠，如图2，ANE EAC∴∠=∠，由（2）得：92 DE=；②ENM ECA∠=∠，如图3，过点E作EH AC⊥，垂足为点H，由（1）得ANE DCE∠=∠，ECA DCE∴∠=∠，HE DE∴=，又6 tan8HE DCHAEAH AD∠===，设3DE x=，则3HE x=，4AH x=，5AE x=，又AE DE AD+=，538x x∴+=，解得1x=，33DE x∴==，综上所述，DE的长分别为92或3．【点评】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质、三角函数的应用等知识点．6. 如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，AD BC ⊥，垂足为D ，点P 是边AB 上的一个动点，过点P 作//PF AC 交线段BD 于点F ，作PG AB ⊥交AD 于点E ，交线段CD 于点G ，设BP x =．（1）用含x 的代数式表示线段DG 的长；（2）设DEF ∆的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）PEF ∆能否为直角三角形？如果能，求出BP 的长；如果不能，请说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得3BD =，通过证明ABD GBP ∆∆∽，可得5533BG BP x ==，即可得DG 的长度； （2）根据相似三角形的性质可得635FD BD BF x =-=-，5944DE x =-，根据三角形面积公式可求y 与x 之间的函数关系式；（3）分EF PG ⊥，EF PF ⊥两种情况讨论，根据相似三角形的性质可求BP 的长． 模型：8字形【解答】解：（1）5AB AC ==，6BC =，AD BC ⊥，3BD CD ∴==， 在Rt ABD ∆中，224AD AB BD =-，B B ∠=∠，90ADB BPG ∠=∠=︒，ABD GBP ∴∆∆∽ ∴35BD BP AB BG == 5533BG BP x ∴==， 533DG BG BD x ∴=-=- DE 已经表示出来了，那就只剩下DF ，△BPF 是含参定三角形，所以每条边都可以表示出来（2）//PF ACBFP BCA ∴∆∆∽ ∴BF BP BC AB= 即56x BF = 65BF x ∴=， 635FD BD BF x ∴=-=-， DGE DEG DGE ABD ∠+∠=∠+∠，ABD DEG ∴∠=∠，90ADG ADB ∠=∠=︒DEG DBA ∴∆∆∽ ∴BD DE AD DG= ∴35433DE x =- 5944DE x ∴=- 2116593129(3)()22544440DEF S y DF DE x x x x ∆∴==⨯⨯=⨯-⨯-=-+需要注意定义域，临界情况一，F 和D 重合；临界请客二，D 和G 重合方法一：直接勾股定理，△PEF 的三边都是可以表示出来的方法二：利用几何性质解题方法三：相似，射影定理，比例线段 （3）若EF PG ⊥时，EF PG ⊥，ED FG ⊥，90FED DEG ∴∠+∠=︒，90FED EFD ∠+∠=︒，EFD DEG ∴∠=∠，且EDF EDG ∠=∠，EFD GDE ∴∆∆∽∴ED DF DG ED= 2ED FD DG ∴=⨯25965()(3)(3)4453x x x ∴-=-- 2557113822550x x ∴⨯-+⨯=95x ∴=（不合题意舍去），12557x = 若EF PF ⊥，90PFB EFD ∴∠+∠=︒，且PFB ACB ∠=∠，90ACB DAC ∠+∠=︒EFD DAC ∴∠=∠，且90EDF ADC ∠=∠=︒，EDF CDA ∴∆∆∽ ∴ED CD DF AD= ∴593446435x x -=- 9043x ∴= 综上所述：当BP 为12557或9043时，PEF ∆为直角三角形． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形判定和性质，以及分类讨论思想，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．7.在ABC∆中，90ACB∠=︒，3BC=，4AC=，点O是AB的中点，点D是边AC上一点，DE BD⊥，交BC的延长线于点E，OD DF⊥，交BC边于点F，过点E作EG AB⊥，垂足为点G，EG分别交BD、DF、DC于点M、N、H．（1）求证：DE NE DB OB=；（2）设CD x=，NE y=，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）当DEF∆是以DE为腰的等腰三角形时，求线段CD的长．【分析】（1）只要证明OBD NED∆∆∽，即可解决问题．（2）由tanDC DEDBCBC BD∠==，又因为DE NEDB OB=，可得CD NEBC OB=，由此即可解决问题．（3）分两种情形分别求解即可解决问题．通过比例推测△OBD和△NED相似，所以只需要证明相似鸡爪模型和8字形得角等【解答】（1）证明：如图1中，OD DF⊥，BD DE⊥，90ODF BDE∴∠=∠=︒，ODB NDE∴∠=∠，EG AB ⊥，90BGM MDE ∴∠=∠=︒， BMG EMD ∠=∠， OBD DEN ∴∠=∠， OBD NED ∴∆∆∽，（2）解：如图1中，90BCD BDE ∠=∠=︒，tan DC DE DBC BC BD ∴∠==， DE NE DB OB=，在Rt ABC ∆中，5AB ===， 2.5OB OA ∴==， ∴3 2.5x y =，。
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2019上海初三数学一模综合题25题
25.（普陀） 如图，点O 在线段AB 上，22AO OB a ==，60BOP ∠=︒，点C 是射线OP 上的一个动点.
（1）如图①，当90ACB ∠=︒，2OC =，求a 的值；
（2）如图②，当AC AB =时，求OC 的长（用含a 的代数式表示）；
（3）在第（2）题的条件下，过点A 作AQ ∥BC ，并使QOC B ∠=∠，求:AQ OQ 的值.
25.（奉贤） 如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=︒，4AD =，
26AB CD ==，E 是边BC 上一点，过点D 、E 分别作BC 、CD 的平行线交于点F ，联结AF 并延长，与射线DC 交于点G .
（1）当点G 与点C 重合，求:CE BE 的值；
（2）当点G 在边CD 上，设CE m =，求△DFG 的面积；（用含m 的代数式表示）
（3）当△AFD ∽△ADG 时，求DAG ∠的余弦值.
25. （金山）已知多边形ABCDEF是O的内接正六边形，连接AC、FD，点H是射线AF上的一个动点，连接CH，直线CH交射线DF于点G，作MH⊥CH交CD的延长线于点M，设O
的半径为r (0)r >.
（1）求证：四边形ACDF 是矩形；
（2）当CH 经过点E 时，M 与O 外切，求M 的半径；（用r 的代数式表示）
（3）设HCD α∠=(090)α︒︒<<，求点C 、M 、H 、F 构成的四边形的面积. （用r 及含α的三角比的式子表示）
25.（宝山） 如图，已知，梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，45A ∠=︒，AB ∥DC ，3DC =，5AB =，点P 在AB 边上，以点A 为圆心AP 为半径作弧交边DC 于点E ，射线EP 与射线CB 交于点F .
（1）若AP =DE 的长；
（2）联结CP ，若CP EP =，求AP 的长；
（3）线段CF 上是否存在点G ，使得△ADE 与△FGE 相似，若相似，求FG 的值，若不相似，请说明理由.
25. （闵行）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB CD =，5AD =，15BC =，
5cos 13
ABC ∠=
，E 为射线CD 上任意一点（点E 与点C 不重合），过点A 作AF ∥BE ，与射线CD 相交于点F ，联结BF ，与直线AD 相交于点G （点C 与点A 、D 都不重合），
设CE x =，AG y DG =. （1）求AB 的长；
（2）当点G 在线段AD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果23
ABEF
ABCD S S =四边形四边形，求线段CE 的长.
25. （青浦）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，18BC =，15DB DC ==，点E 、F 分别在线段BD 、CD 上，5DE DF ==，AE 的延长线交边BC 于点G ，AF 交BD 于点N ，其延长线交BC 的延长线于点H .
（1）求证：BG CH =；
（2）设AD x =，△ADN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结FG ，当△HFG 与△ADN 相似时，求AD 的长.
25. （浦东）将大小两把含30°角的直角三角尺按如图1位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点C 重合，小三角尺的顶点D 、E 分别在大三角尺的直角边AC 、BC 上，此时小三角尺的斜边DE 恰好经过大三角尺的重心G ，已知30A CDE ∠=∠=︒，12AB =.
（1）求小三角尺的直角边CD 的长；
（2）将小三角尺绕点C 逆时针旋转，当点D 第一次落在大三角尺的边AB 上时（如图2），求点B 、E 之间的距离；
（3）在小三角尺绕点C 旋转的过程中，当直线DE 经过点A 时，求BAE ∠的正弦值.
25. （静安）已知，如图，在△ABC 中，6AB =，9AC =，tan ABC ∠=B 作
BM ∥AC ，动点P 在射线BM 上（点P 不与B 重合）
，联结PA 并延长到点Q ，使AQC ABP ∠=∠.
（1）求△ABC 的面积；
（2）设BP x =，AQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；
（3）联结PC ，如果△PQC 是直角三角形，求BP 的长.
25. （杨浦）已知，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB BC ⊥，3AD =，6AB =，DF DC ⊥分别交射线AB 、射线CB 于点E 、F .
（1）当点E 为边AB 的中点时（如图1），求BC 的长；
（2）当点E 在边AB 上时（如图2），联结CE ，试问：DCE ∠的大小是否确定？若确定， 请求出DCE ∠的正切值，若不确定，则设AE x =，DCE ∠的正切值为y ，请求出y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；
（3）当△AEF 的面积为3时，求△DCE 的面积.
25. （徐汇）已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，10AC BC ==，4cos 5
ACB ∠=
，点E 在对角线AC 上（不与点A 、C 重合），EDC ACB ∠=∠，DE 的延长线与射线CB 交于点F ，设AD 的长为x . （1）如图1，当DF BC ⊥时，求AD 的长；
（2）设EC 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域；
（3）当△DFC 是等腰三角形时，求AD 的长.
25. （虹口）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，6AB =，10BC =，点E 为边AD 上一点，将△ABE 沿BE 翻折，点A 落在对角线BD 上的点G 处，联结EG 并延长交射线BC 于点F .
（1）如果2cos 3
DBC ∠=，求EF 的长； （2）当点F 在边BC 上时，联结AG ，设AD x =，ABG BEF S
y S =，求y 关于x 的函数关系式，
并写出x 的取值范围； （3）联结CG ，如果△FCG 是等腰三角形，求AD 的长.
25. （松江）如图，已知△ABC 中，90ACB ︒∠=，D 是边AB 的中点，P 是边AC 上一动点，BP 与CD 相交于点E .
（1）如果6BC =，8AC =，且P 为AC 的中点，求线段BE 的长；
（2）联结PD ，如果PD ⊥AB ，且2CE =，3ED =，求cos A 的值；
（3）联结PD ，如果222BP CD =，且2CE =，3ED =，求线段PD 的长.
25. （黄浦）在△ABC 中，90ACB ︒∠=，3BC =，4AC =，点O 是AB 的中点，点D 是边AC 上一点，DE ⊥BD ，交BC 的延长线于点E ，OD ⊥DF ，交BC 边于点F ，过点E 作EG ⊥AB ，垂足为点G ，EG 分别交BD 、DF 、DC 于点M 、N 、H .
（1）求证：DE NE DB OB
=； （2）设CD x =，NE y =，求y 关于x 的函数关系式及其定义域；
（3）当△DEF 是以DE 为腰的等腰三角形时，求线段CD 的长.
25.（崇明） 如图，在△ABC 中，5AB AC ==，6BC =，AD BC ⊥，垂足为D ，点P 是边AB 上的一个动点，过点P 作PF ∥AC 交线段BD 于点F ，作PG AB ⊥交AD 于点E ，交线段CD 于点G ，设BP x =.
（1）用含x 的代数式表示线段DG 的长；
（2）设△DEF 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；
（3）△PEF 能否为直角三角形，如果能，求出BP 的长；如果不能，请说明理由.
25. （嘉定）在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E 是边AD 上一点，EM EC ⊥交AB 于点M ，点N 在射线MB 上，且AE 是AM 和AN 的比例中项.
（1）如图1，求证：ANE DCE ∠=∠；
（2）如图2，当点N 在线段MB 之间，联结AC ，且AC 与NE 互相垂直，求MN 的长；
（3）联结AC ，如果△AEC 与以点E 、M 、N 的顶点所组成的三角形相似，求DE 的长.
25. （长宁）已知锐角MBN ∠的余弦值为
35
，点C 在射线BN 上，25BC =，点A 在MBN ∠的内部，且90BAC ∠=︒，BCA MBN ∠=∠，过点A 的直线DE 分别交射线BM ，射线BN 于点D 、E ，点F 在线段BE 上（点F 不与点B 重合），且EAF MBN ∠=∠. （1）如图1，当AF BN ⊥时，求EF 的长；
（2）如图2，当点E 在线段BC 上时，设BF x =，BD y =，求y 关于x 的函数解析式并 写出函数定义域；
（3）联结DF ，当△ADF 与△ACE 相似时，请直接写出BD 的长.。